Derivación e Integración Numérica -...

1

Titulación:

Asignatura:

Autor:

Grado en Ingeniería

Métodos Numéricos

César Menéndez

Planificación:

Materiales:

Conocimientos previos:

Derivación e Integración Numérica

2 Teoría+1 Prácticas+2 Laboratorio

MATLAB

Tmas. básicos de Cálculo –

Desarrollos de Taylor – Sistemas

lineales –

Ultima actualización: 21/03/2011

Métodos Numéricos por César Menéndez Fernández

2

Motivación

Objetivos

Temario Introducción

Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Evaluación de la derivada en un punto o de la

integral de una función en un intervalo a partir

de los valores de la función – Función muy compleja (difícil de calcular su integral)

– No se conoce la función sino sólo sus valores en

algunos puntos

– No existe la primitiva de la función

– …

Fórmulas de derivación e integración

numérica

– Obtención de los valores de los coeficientes

– Determinación del error cometido

Descripción del problema

Derivación e Integración

0

nn

i i

i

f x f x

0

nb

i ia

i

f x dx f x


3

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Evaluación de la derivada en un punto o de la

integral de una función en un intervalo a partir

de los valores de la función – Función muy compleja (difícil de calcular su integral)

– No se conoce la función sino sólo sus valores en

algunos puntos

– No existe la primitiva de la función

– …

Fórmulas de derivación e integración

numérica

– Obtención de los valores de los coeficientes

– Determinación del error cometido

Ejemplo


0

nn

i i

i

f x f x

0

nb

i ia

i

f x dx f x


4

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Objetivos

Conocer las diferentes formas de obtener las fórmulas numéricas

– Interpolación – Coeficientes indeterminados – Desarrollo de Taylor o polinomios ortogonales

Aprender a obtener el error de la fórmulas Reconocer las ventajas de las fórmulas centradas

Aprender la motivación de la extrapolación de

Richardson Comprender que el error en la derivación numérica

depende no solo de la fórmula numérica y de la función a derivar sino del punto en que se calcula y del valor de espaciado h.

Entender cómo se aplica el algoritmo de integración de Romberg.

Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cuadratura gausiana.

Comprender el funcionamiento de la integración adaptativa

Aplicar las reglas a integrales impropias o múltiples



5

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Planteamiento y definiciones

Fórmulas de derivación numérica

Fórmulas de integración numérica

Procedimiento – Obtención de los valores de los coeficientes

– Determinación o acotación del error cometido

Error – Una fórmula es de orden n cuando es exacta para polinomios de grado menor

o igual que n

– El error de truncamiento de la fórmula es

– Se denomina parte principal del error de truncamiento al infinitésimo de menor

orden

0 0

n n

i i i i

i i

f a f x error f a f x

0 0

: lim : lim 0k k

k kh h

error errorh cte h

h h

, 0,1, 0kf x x k n error

2 5 6

1 2 3error k h k h k h

0 0

n nb b

i i i ia a

i i

f x dx f x error f x dx f x



6

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo

La siguiente fórmula de derivación es de orden 1 y con error de truncamiento O(h)

La siguiente fórmula de integración es de orden 1 y con error de truncamiento O(h3)

2

0

2

2 2

2

02

0

0 0 0

2!

1

1 1 10 1 1 1 2 2

2!lim lim lim2!h h h

f a h f a ff a h RN h h

h

f x f x x f x x

a h a a a h a a hh h h

fhf a RN h ferror

h h h


3 312 24

2

2 32 2 3 3 3 31 1 1 12 2 3 2 3 12

3124 1

243 3 30 0 0

1

1

lim lim lim

ba b

a

a b a b

b

a

h h h

f x dx f b a f h RN h h

f x f x x f x x

b a b a b a b a b a b a b a b a

f x dx RN h f herrorf

h h h


7

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Obtención de las fórmulas: Derivación

Fórmulas de tipo interpolatorio – Derivando los polinomios de interpolación (habitualmente con

puntos equiespaciados)

Métodos de desarrollo de Taylor – Desarrollando por Taylor en torno al punto de derivación y

eliminando los términos no deseados

Método de coeficientes indeterminados – Plantean un sistema de ecuaciones, dependiendo del orden de la

fórmula, cuya resolución permite obtener los coeficientes

n n n nf x P x E x f x P x E x

2 1

1! 2! 2

h h hf a h f a f a f f a f a h f a f

h

0

, 1,2 :n

k

i i

i

f x x k f a f x



8

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Obtención de las fórmulas: Integración

Fórmulas de Newton-Cotes – Integrando los polinomios de interpolación (habitualmente con

puntos equiespaciados)

Fórmulas de cuadratura gausiana – Utilizando las raíces de polinomios ortogonales como puntos de

interpolación (Dependen del intervalo y de la función)

Método de coeficientes indeterminados – Plantean un sistema de ecuaciones, dependiendo del orden de la

fórmula, cuya resolución permite obtener los coeficientes

0

, 1, 2 :nb

k

i ia

i

f x x k f x dx f x


b b b

n n n na a a

f x P x E x f x dx P x dx E x dx

2 1

b b b

n na a a

f x dx P x dx error R x dx error


9

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Formulas de tipo interpolatorio

Se definen por el número de puntos del polinomio de interpolación

Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados, aunque su

método de obtención es válido para cualesquiera puntos

Acotación del error

– No es posible la acotación para cualquier valor de x

– Se acota en uno de los puntos de interpolación

1

0 01 !

n nnxn

n n i i k

i k

n n

ff x P x E x f x L x x x

n

df x P x e x e x E x

dx


F. Interpolatorias

- Derivadas primeras

- Der. Orden superior

Desarrollo Taylor

Coeficientes indeterm.

1

0

1 1

0 0

1 1

000

1 !

1

1 ! 1 !

siendo 1 ! 1 !

n nx

n k

k

n nn nx x

k k

k k

n nn nnx x

k kkjk

k j

fd de x E x x x

dx dx n

df f dx x x x

n dx n dx

f fdx x x x

n dx n

1

01 !

n nx

i i kk

k i

fe x x x

n


10

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Derivadas primeras (2 y 3)

2 puntos

– Equiespaciados

3 puntos

– Equiespaciados

1 01 01 0 1 1

0 1 1 0 1 0

1 2

0

0 1 001 ! 2!

n nx

i i kk

k i

f x f xx x x xP x f x f x P x

x x x x x x

f fe x x x e x x x

n

2

0 0 0

02!

f x h f x ff x h

h

1 2 0 2 0 1

2 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

1 2 0 2 0 1

2 0 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

2 2 2

x x x x x x x x x x x xP x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x xP x f x f x f x

x x x x x x x x x x x x

3

0 2

0 0 0 0

3

0 2

1 1 1

1 3 12 2

2 2 3

1

2 6

ff x f x f x h f x h h

h

ff x f x h f x h h

h


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



11

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Derivadas primeras: (4 y 5)

4 puntos

5 puntos

0 0 0 0 0 0

5

0 4

1 1 1 1 1 1

5

1 4

2 2 2 2 2

5

2 4

125 48 36 2 16 3 3 4

12

5

16 20 36 12 2 2 3

24

20

12 8 8 2

12

30

f x f x f x h f x h f x h f x hh

fh

f x f x h f x f x h f x h f x hh

fh

f x f x h f x h f x h f x hh

fh

4

0 3

0 0 0 0 0

4

1 3

1 1 1 1 1

111 18 9 2 2 3

6 4

12 3 6 2

6 12

ff x f x f x h f x h f x h h

h

ff x f x h f x f x h f x h h

h


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



12

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Aplicación: f(x)=cos(x), calcular f’(/4) tomando h=0.5 y h=0.1

Pts h=0.5 h=0.1

2 -0.7413

3 -0.7096

-0.7059

4 -0.7070

-0.7072

5 -0.7071

-0.7071

-0.7071

4 4sin 0.7071f

4 4cos 0.5 cos

0.85110.5

4 4 4 4

111cos 18cos 0.5 9cos 1.0 2cos 1.5

3

0.7015

4 4 4

1 3 1cos 2cos 0.5 cos 1 0.7822

0.5 2 2

4 4

1cos 0.5 cos 0.5 0.6780

1

4 4 4 4

12cos 0.5 3cos 6cos 0.5 cos 1 0.7127

3

4 4

4 4

cos 1 8cos 0.510.7057

6 8cos 0.5 cos 1

f

4 4 4

4 4

6cos 0.5 20cos 36cos 0.510.7099

12 cos 1 2cos 1.5

4 4 4

4 4

25cos 48cos 0.5 36cos 110.6951

6 16cos 1.5 3cos 2


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



13

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Derivadas orden superior: Taylor

Fórmulas interpolatorias: acotación del error

– ¡ No se anula en los puntos de interpolación !

1 122 2

2 2 20 0

1 1 2

20 0

1

1 ! 1 !

12

1 ! 1 !

n nn nx x

n k k

k k

n nn nx x

k k

k k

f d fd de x E x x x x x

n ndx dx dx

df fd dx x x x

n dx dx n dx


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor


Taylor: – Plantea la obtención de las derivadas de cualquier orden en un punto

a partir del desarrollo de Taylor de la función en otros puntos

próximos

Proceso: – Desarrollar en serie en los puntos conocidos en torno al valor

deseado

– Combinar las expresiones anteriores, anulando todos los términos

posibles

– Obtener la expresión final de la formula y el error (cuando sea

posible)


14

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Taylor para derivadas primeras y segundas

Obtener, utilizando el desarrollamos en serie de Taylor, una fórmula numérica para calcular f’(a) y f”(a) a partir de los valores de f(x) en {a-h,a,a+h}

– Combinamos los desarrollos: (I)+(II) y anulamos los términos no deseados

– Derivada 1ª: anula términos en h2 (=-)

– Derivada 2ª: anula términos en h (=)

– Derivada 3ª: No tiene sentido

2 31 1 112! 3! !

2 31 1 122! 3! !

nn

n

n n

n

f a h f a hf a h f a h f a h f I

f a h f a hf a h f a h f a h f II

0

1

2 1

2!

2 12 1 1

2 1 !

22 1

2 !

:

:

:

:

:

kk

k

kk

k

h f a h f a h f a

h f a

h f a

h f a

h f a


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor


311 23!

21 12 6

2

h

f a h f a h f a h h f f

f a f a h f a h h f

2

2 411 24!

21 112

2

2

iv iv

iv

h

f a h f a h f a f a h h f f

f a f a h f a h f a h f


15

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Derivadas de orden superior (2)

Derivada segunda – Laterales

– Centradas

Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada segunda en /4 tomando h=0.5 y h=0.1

2

0 1 0 12

4

0 2 1 0 1 22

12

116 30 16

12

f x f x f x f x hh

f x f x f x f x f x f x hh

0 0 1 22

2

0 0 1 2 32

12 9

12 5 4

f x f x f x f x hh

f x f x f x f x f x hh

Pts Cent. h=0.5 h=0.1

3 No -0.6325

3 Si -0.7065

4 No -0.7128

5 Si -0.7071

4 4cos 0.7071f

2

1cos 2cos 0.5 9cos 1 0.2757

0.5 4 4 4

2

12cos 5cos 0.5 4cos 1 cos 1.5 0.7600

0.5 4 4 4 4

2

1cos 0.5 2cos cos 0.5 0.6925

0.5 4 4 4

4 4 4 4 4

1cos 1 16cos 0.5 30cos 16cos 0.5 cos 1

3

0.7066


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



16

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software


Derivada tercera – Laterales

– Centradas

Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada tercera en /4 tomando h=0.5 y h=0.1


4 No 0.8038

5 No 0.7211

5 Si 0.7053

7 Si 0.7071

4 4sin 0.7071f

3

1cos 3cos 0.5 3cos 1 cos 1.5 0.9686

0.5 4 4 4 4

2

1cos 1 2cos 0.5 2cos 0.5 cos 1 0.6640

0.5 4 4 4 4

4 4 4 4 42

15cos 18cos 0.5 24cos 1 14cos 1.5 3cos 2

0.5

1.1217

4 4 4

4 4 4

cos 1.5 8cos 1 13cos 0.510.7046

1 13cos 0.5 8cos 1 8cos 1

0 0 1 2 33

2

0 0 1 2 3 43

13 3

15 18 24 14 3

2



2

0 2 1 1 23

4

0 3 2 1 1 2 33

12 2

2

18 13 13 8

8


f x f x f x f x f x f x f x hh


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



17

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software


Derivada cuarta – Laterales

– Centradas

Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada cuarta en /4 tomando h=0.5 y h=0.1


5 No 0.5516

5 Si 0.7059

6 No 0.7223

7 Si 0.7071

4 4cos 0.7071ivf

4 4 4 4 44

1cos 4cos 0.5 6cos 1 4cos 1.5 cos 2 0.2042

0.5

4 4 4

4

4 4 4

3cos 14cos 0.5 26cos 110.6443

0.5 24cos 1.5 11cos 1 2cos 1.5

4 4 4 4 44

1cos 1 4cos 0.5 6cos 4cos 0.5 cos 1 0.6782

0.5

4 4 4 4

4 4 4

cos 1.5 12cos 1 39cos 0.5 56cos80.7059

3 39cos 0.5 12cos 1 cos 1.5

0 0 1 2 3 44

2

0 0 1 2 3 4 54

14 6 4

13 14 26 24 11 2

iv

iv

f x f x f x f x x f x hh

f x f x f x f x f x f x f x hh

2

0 2 1 0 1 24

4

0 3 2 1 0 1 2 34

14 6 4

112 39 56 39 12

6

iv

iv


f x f x f x f x f x f x f x f x hh


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



18

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

El método de Coeficientes Indeterminados

Fija los puntos de la fórmula

Parte de una relación de coeficientes

Plantea un sistema para que la fórmula sea

exacta para el mayor orden posible (grado

del polinomio)

Obtiene el orden del error

0

0

22

0

0

1

0

1 0

1

2

n

i

i

n

i i

in

ni i

i i i

i

nnn n

i i

i

f x

f x x x

f a f xf x x a x

f x x na x


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



19

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo de obtención por coef. Indet.

Calcular f”(a) a partir del valor de f(x) en {a-h,a,a+h} – Sistema

– Solución

– ¿Orden?

1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 2 22

1 2 3

1 0 1 1 1

0

2

f x

f a f a h f a f a h f x x a h a a h

f x x a h a a h

21

1

22 2

2 2 23

23

2

11 1 1 0

20

2 1

12

h

a h a a hh

a h a a hh

f a f a h f a f a hh

3 3 33

2

4 4 44 2 2 2

2

16 2

112 2 12 2

f x x a a h a a hh

f x x a a h a a h a hh


F. Interpolatorias



Desarrollo Taylor



20

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Extrapolación de Richardson: obtención de fórmulas de mayor orden

Sea M un valor exacto y N0(h) la fórmula numérica que lo aproxima dependiendo del parámetro h, pudiéndose expresar como

Donde los coeficientes son constantes. Aplicándola para ½h, se tiene

y anulando entre ambas expresiones los términos en h1: 2(II)-(I), se consigue aumentar la precisión de la fórmula. Repitiendo el proceso para anular h2:

Y por inducción se llega a

2 3

1 1 1 1 10 1 2 32 2 2 2 2

n

nM N h k h k h k h k h II

2 3

0 1 2 3 0

n

nM N h k h k h k h k h N h h I

2 22 31 1 1 12 2 2 20 0 2 3

2 3 2

1 2 3 1

2 1 1 1nn

n

n

n

M N h N h h k k h k h

N h k h k h k h N h h III

111 22 3

1 1 3

3 3

2 3 2

1114

4 1 2 4 1 4 1

n

n

n

n

n

hM N N h k h k h

N h k h k h N h h IV

1

1 1 1 1

1

donde

22 2

2 1 2 2 1

n

n

n

n n n n

n nn n

M N h h

h hN N h N N h

hN h N



21

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo

Dada la fórmula de derivación numérica

Aplicar la extrapolación de Richardson, tomado f(x)=cos(x) para calcular

f’(/4) tomando h=0.5. Compararla con la solución exacta: -0.7071

En este caso

2 3

1 2 3 0

n

n

f a h f af a k h k h k h k h N h h I

h

1 1

1

1

2 donde

2 2 1

n nn

n n n n

hN N h

hM N h h N h N

h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)

0.5 -0.8511

0.25 -0.7877 -0.7243

0.125 -0.7494 -0.7111 -0.7067

0.0625 -0.7287 -0.7081 -0.7071 -0.7071

0.03125 -0.7180 -0.7073 -0.7071 -0.7071 -0.7071



22

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Obtención de fórmulas de mayor orden

NOTA: Si la formula fuera

Este proceso generaría la relación

– Aplicar al ejemplo anterior tomando

2 2

1 1 1 1

1

donde

42 2

4 1 2 4 1

n

n

n

n n n n

n nn n

M N h h

h hN N h N N h

hN h N

2 4 6 2 2

0 1 2 3 0

n

nM N h k h k h k h k h N h h I

h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)

0.5 -0.6780

0.25 -0.6998 -0.7070

0.125 -0.7053 -0.7071 -0.7072

0.0625 -0.7066 -0.7071 -0.7071 -0.7071

0.03125 -0.7070 -0.7071 -0.7071 -0.7071 -0.7071

2 4 6 2 2

1 2 3 02

n

n

f a h f a hf a k h k h k h k h N h h I

h



23

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Inestabilidad numérica de la derivación

Partiendo de la fórmula de derivación numérica

pero al operar con aritmética finita, se evalúa

siendo el error de representación del ordenador. El error total es por tanto

que tiene un mínimo para

Por tanto le precisión no mejora indefinidamente con la disminución del valor de h.

En la práctica no podemos calcular el valor de h óptimo, ya que la cota del error de representación

depende de la máquina y M depende de la función y del intervalo en estudio.

2 ( ) ( )

( ) , con ,3! 2

h f a h f a hf a N a h f N a h

h

1 21 2

( ) ( )( ) ( ), donde ,

2 2

f a h f a hf a h f a hN a h

h h

2

( ) , ( ) , , , con sup3! a h x a h

hE h f a N a h f a N a h N a h N a h M M f x

h

33

opthM

con



24

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Introducción

Teorema del valor medio para integrales Sean f(x), g(x) C[a, b] donde g(x) es integrable y no cambia de signo en

[a,b], entonces existe un punto c en (a,b) tal que

Son formulas de tipo interpolatorio que se definen por el número

de puntos del polinomio de interpolación

Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados,

aunque su método de obtención es válido para cualesquiera

puntos

Motivación

b

a

b

adxxgcfdxxgxf


Introducción

Coef. Indeterminados

R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad

0

1

0

:

1 !

nn n

n i i i

i

n n n nx

n k

k

b b b

na a a

P x f x L x L x

f x P x E xf

E x x xn

f x dx P x dx e x e x E x dx


25

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Método de coeficientes indeterminados

Obtener los coeficientes de la siguiente fórmula para que tenga el mayor orden posible Planteamiento: debe ser exacta para polinomios del mayor orden, luego comenzamos en orden creciente Resolución del sistema Orden de la fórmula

1

31 14 2 40 1 2

0f x dx f f f

1

0 1 20

131 1

4 2 40 1 20

1 2 2 22 2 31 14 2 40 1 2

0

1 1 1 1 1 1

1

2

1

3

f x dx

f x x xdx

f x x x dx


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad

20 0 3

1 11 12 3

2 2 2 1 22 23 3

1 1 1 1

0.25 0.5 0.75

0.25 0.5 0.75

131 1

4 2 40

2 1 2

3 3 3f x dx f f f

?1 4 4 44 4 31 1

4 2 40

1 2 1 2 37

5 3 3 3 192f x x x dx

?1 3 3 33 3 31 1

4 2 40

1 2 1 2 1

4 3 3 3 4f x x x dx

Fórmula de orden 3


26

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplos de reglas simples

Interpolante de grado 0 – Valor en el extremo del intervalo

– Valor en el punto medio

Interpolante de grado 1

2

2

b b b

a a a

b af x dx f a dx f x a dx f a b a f

3

12 2 2 2 3

0 0 1 1 0 1 2

1 1 12 2 2 2 2

3

2

12

,2

como , , , , y =0

, , ,

, ,3

b b ba b a b a b a b

a a a

ba b

a

b ba b a b a b a b a b

a a

a b

a b

b af x dx f dx f x x dx f b a f

f x x f x x x x x f x x x dx

f x x dx f x x x x x dx x

xf x

b

a

11 2

1

3

1 12 2

2

12

b b b

a a a

b b b

a a a

b b

a a

f x dx P x dx f x a x b dx

f a f bx b x aP x dx f a dx f b dx b a

a b b a

b af x a x b dx f x a x b dx f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


27

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplos de reglas simples

Interpolante de grado 2

– Combinamos trapecio y punto medio

12 3!

2

b b b

a a a

a bf x dx P x dx f x a x x b dx

3 3 32 2 2 2

13! 2 2 2 2 2

5

como , , , , , , , , , , y =0

, , , ,

2

6 30 2

ba b a b a b a b

a

b ba b a b a b a b a b

a a

iv

f x a b f x a b x x x f a b x x a x x b dx

f x a x x b dx f x a b x x a x x b dx

f b a

3

2 2

2 2

3

12 2 22 3

2 2 2 22

2

2 12

2

2 3 42

46

b

a

ba b

a

ba b

a

ba b

a

P a P b b aRT P x dx b a P

b aRPM P x dx P b a P

b aRT RPM P x dx P a P P b

b aRSimpson f x dx f a f f b


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


28

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Reglas cerradas

El polinomio de interpolación SI incluye los extremos del intervalo

n=1 Regla del trapecio

n=2 Regla de Simpson

n=3

n=4 R. Boole

0 0

0

,nb

i i n ka

i

b af x dx f x x a x b x x kh h

n

23

2

0

12

0

1 n par2 !

,

1 n impar1 !

nnn

nnn

h fs s s n ds

na b

h fs s s n ds

n

Tma: Dada una fórmula cerrada de n+1 puntos el error es

Fórmulas cerradas usuales

7

620 1 2 3 445

87 32 12 32 7

945h

hf x f x f x f x f x f

5

4

0 1 234

90h

hf x f x f x f

3

0 1212

hh

f x f x f

5

430 1 2 38

33 3

80h

hf x f x f x f x f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


29

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo

n=1

n=2

n=3

n=4

2

0 12

33

2

0cos 0 cos 1 0 0.7854

2 4 42

00.3230

12 12

h f x f x

hError f

4

0 1 23

55

4

4 cos 0 4cos cos 1.00234 23

0.003390 90

h

iv

f x f x f x

hError f

6630 1 2 38

3 2

55

6

cos 0 3cos33 3 1.001

8 3cos cos

330.0015

80 80

h

iv

f x f x f x f x

hError f

20 1 2 3 445

5

75

7 32 12 32 7

28 37cos 0 32cos 12cos 32cos 7cos 1.000

8 4 8 245

88 81.2192 10

845 845

h

vi

f x f x f x f x f x

hError f

2 2

00cos sin 1x dx x


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


30

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Reglas abiertas

El polinomio de interpolación NO incluye los extremos del intervalo

n=0 Regla del punto medio

n=1

n=2

n=3

0 0

0

,2

nb

i i n ka

i

b af x dx f x x a h x b h x x kh h

n

231

2

1

121

1

1 n par2 !

,

1 n impar1 !

nnn

nnn

h fs s s n ds

na b

h fs s s n ds

n

Tma: Dada una fórmula abierta de n+1 puntos el error es

Fórmulas abiertas usuales

5

450 1 2 324

9511 11

144h

hf x f x f x f x f

3

30 12

3

4h

hf x f x f

3

023

hhf x f

5

440 1 23

142 2

45h

hf x f x f x f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


31

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo

n=0

n=1

n=2

n=3

2 2

00cos sin 1x dx x

4 40

3

3

12 2 cos 1.11072 2

40.1615

3 3

hf x

hError f

636 30 12

3

3

3cos cos 1.0729

2

33 60.1077

4 4

h f x f x

hError f

84 38 4 80 1 23

5

5

42 2 2cos cos 2cos 0.9980

3

33 80.0029

80 80

h

iv

f x f x f x

hError f

10 55

0 1 2 3243 2

10 5

5

5

5 11cos cos1011 11 0.9986

24 cos 11cos

9595 100.0020

144 144

h

iv

f x f x f x f x

hError f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


32

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Reglas Compuestas

Subdivisión en subintervalos y aplicación de la regla

simple a cada subintervalo

Reglas más habituales

– Regla del trapecio compuesta

– Regla de Simpson compuesta

1

i

nb

ai I

f x dx f x dx

1

3

12

1 1

21

02

1

12

212

i

i

n nb xh

i i ia x

i i

n

hi n

i

hf x dx f x dx f x f x f

b a hf x f x f x f

2

2 1

54

2 1 23 2 11 1

414

0 2 1 23

1 1

490

4 2180

i

i

n nb xh

i i iia xi i

n n

hi i n

i i

hf x dx f x dx f x f x f x f

b a hf x f x f x f x f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


33

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo: trapecio compuesta

Regla – 2 intervalos (3 puntos)

– 3 intervalos (4 puntos)


Cota y error real

– 2 intervalos

– 3 intervalos

– 4 intervalos

2 2

00cos sin 1x dx x

6

6 3 22 120 2 1.0 2 0.8660+0.5000 0.0 0.9770f f f f

4

4 22 80 2 1.0 2 0.7071+0.0 0.9481f f f

2, 0,

sup sup cos 1a b x

M f x

21

021

212

nbh

i na

i

b a hf x dx f x f x f x f

2

2 4

4

00.0807 1 0.9481 0.0519

12

b

ah M f x dx RT

8

3

8 22 161

0 2 1.0+2 0.9239+0.7071+0.3827 0.0 0.9871i

f f i f

2

2 6

6

00.0359 1 0.9770 0.0230

12

b

ah M f x dx RT

2

2 8

8

00.0202 1 0.9871 0.0129

12

b

ah M f x dx RT


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


34

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo: simpson compuesta

Regla – 2 intervalos (5 puntos)



Cota y error real

– 2 int.

– 3 int.

– 4 int.

2 2

00cos sin 1x dx x

12

3 22 1 2

12 12 22 241 1

0 4 2 1 4 1.9319 2 1.3660 0 1.0000263i i

i i

f f f f

8 3 28 8 8 22 16

0 4 2 1 4 0.9239+0.3827 2 0.7071+0 1.0001f f f f f

2

4

, 0,

sup sup cos 1a b x

M f x

414

0 2 1 231 1

4 2180

n nbh

i i na

i i

b a hf x dx f x f x f x f x f

4

2 8 4 4

8

02.07 10 1 1.00013 1.3 10

180

b

ah M f x dx RT

4

2 12 5 5

12

04.1 10 1 1.000026 2.6 10

180

b

ah M f x dx RT

4

2 16 5 6

16

01.3 10 1 1.000008 8.3 10

180

b

ah M f x dx RT

16

4 32 1 2

16 16 22 321 1

0 4 2 1 4 2.5629 2 2.0137 0 1.0000083i i

i i

f f f f


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


35

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Control de error y ejemplo

Las reglas compuestas permiten controlar el error variando el número de subintervalos (modifican el valor de h).

Cotas de error

– Trapecio

– Simpson

Ejemplo – Obtener el numero de subintervalos para poder asegurar que el cálculo

de la integral indicada mediante las reglas compuestas tenga un error no

superior a una millonésima

– Trapecio

– Simpson

2

2 2,

con sup12 a b

b a hM M f

4

4 4,

con sup180

iv

a b

b a hM M f

22 22 6 624

2

010 10 0.0028 568.31 569

12 24

hM h h n

h

42 24 6 64 360

4

010 10 0.1035 7.59 8

180 360 2

hM h h n

h


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


36

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Estabilidad numérica

Las fórmulas de integración numérica habituales son estables en h Trapecio compuesta (con errores de representación)

Simpson compuesta (con errores de representación)

Caso general (con errores de representación) En las reglas simples, se cumple generalmente que i>0 y ii=1

12

0

1

12

0

1

2 2

22 12

, , , 22 12

22 12 12

Nb

k k Na

k

Nb

c k Na

k

fhf x dx f a f x f b b a h

fhf x dx RT f a b h b a h

h M MN b a h b a b a h

14

0 2 1 2 2

1 1

14

0 2 1 2

1 1

4 4

4 23 180

, , , 4 23 180

63 180 180

ivN Nb

k k k k Na

k k

ivN Nb

c k k Na

k k

fhf x dx f a f x f x f b b a h

fhf x dx RS f a b h b a h

h M MN b a h b a b a h

0

0 0

, , ,

Nb

i i k trunca

i

N Nb

i k trunc i trunca

i i

f x dx h f x E

f x dx RN f a b h h E h E


Introducción


R. cerradas simples

R. abiertas simples

R. compuestas

Control del error

Estabilidad


37

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Cuadratura gaussiana

No fija los puntos. Valores óptimos para obtener mayor grado – Ejemplo

0 1

1 0 0 1 11coef.

2 2 2indeter10 0 0 1 1

3 3 3

0 0 1 1

2 24ª 00 1 0 12ª

1ª 12 2 3

0 1 0 0 0 33

0 3

30 1 0 11 3

1 2 1 1

0

23

0

1

123ª 2

3

2ª

i i

i

f x

f x x x xf x dx f x

f x x x x

f x x x x

x x x x

x x xx

x xx

1 43 3

3 311 1f x dx f f f x

Polinomios ortogonales

– Base de polinomios

– Definidos en un intervalo [a,b]

– Ortogonales para una determinada función w(x), denominada

peso

0 si

Sea , / 0 : 0 si

b

i ja

i jw x C a b w x w x x x

i j

0 1, , , /n nx x x grado x n


Introducción


Cambio de intervalo


38

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Relación de recurrencia

Orden de las fórmulas y error Dado el polinomio ortogonal n(x) con raíces {1, 2, …n,}, se tiene

Integrando Y por tanto el error viene dado por

Propiedades

0 1 1 1 2

2 2

0 1 1 2

1 2 2 2

0 1 2

1 k k k k k

b b b

k k ka a a

k kb b b

k ka a a

x x x B x x B x C x

xw x x dx xw x x dx xw x x x dxB B C

w x x dx w x x dx w x x dx

22

1

02 !

n nb b b

n ia a a

i

fw x f x dx w x R x dx w x x dx

n

1

2 1 1 1

1 2 1

1

2 1

1

n

b b b

n n n na a a

nb bk

n n ka a

k

n

k n k

k

w x P x dx w x x P x dx w x R x dx

w x R x dx P w x L x dx

P

2 1 1 1 2 1 1 1 1n n n n n k n k n k n k n kP x x P x R x P P R R


Introducción


Cambio de intervalo


39

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Nombre [a,b] w(x) Notas

Legendre [-1,1] 1 Se impone que su valor en x=1 sea 1

Asociados a la ecuación diferencial

Tchebishev [-1,1] Uso en interpolación (aproximación minimax)


Hermite (-,) Asociados a la ecuación diferencial

Laguerre [0,)


Jacobi, Gegenbaurer, Appell, Charlier, Jack, Krawtchouk, …

Familias de polinomios ortogonales

21 2 1 0x y xy n n y

2xe

xe

2

1

1 x

2 21 0x y xy y

2 0y xy y

1 0xy x y y


Introducción


Cambio de intervalo

http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html

http://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheFirstKind.html

http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html

http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html

http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html


40

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Polinomios de Legendre

Polinomios

Norma


1

1

2

2 1n nP x P x dx

n

0

1

212 2

313 2

4 214 8

5 315 8

1

3 1

5 3

35 30 3

63 70 15

L x

L x x

L x x

L x x x

L x x x

L x x x x

Raíces y coeficientes

N Raíces Coeff.

2 1

3

4

5

1 1

12 1

1n n nP x n xP x nP x

n

1

3

3

5,0

1

35

1

35

525 70 30

525 70 30

1

36

1

36

18 30

18 30

1

21

1

21

0

245 14 70

245 14 70

128

225

1

900

1

900

322 13 70

322 13 70

5 8

9 9,


Introducción


Cambio de intervalo

http://mathworld.wolfram.com/Legendre-GaussQuadrature.html


41

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Polinomios de Tchebishev

Polinomios

Norma


1

21

0

01 2

n nnT x T x

dxnx

0

1

2

2

3

3

4 2

4

5 3

5

1

2 1

4 3

8 8 1

16 20 5

T x

T x x

T x x

T x x x

T x x x

T x x x x


2 1cos 1,2,

2

2cos 1,2,

2

kraíces k n

n

kextremos k n

n

1 12

cos , cos

n n n

n

T x xT x T x

T x n arc x

N Raíces Coeff.

2

3

4

5

1

22 1

2

1

3

1

4

1

5

1

23

1

22 2

1 1

2 2

0

5 5


Introducción


Cambio de intervalo

http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html


42

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Polinomios de Hermite

Polinomios

Norma


2

2 !x n

n ne H x H x dx n

0

1

2

2

3

3

4 2

4

5 3

5

1

2

4 2

8 12

16 48 12

32 160 120

H x

H x x

H x x

H x x x

H x x x

H x x x x

2 2

1 12 2

1

n n n

nn x x

n n

H x xH x nH x

dH x e e

dx

N Raíces Coeff.

2

3

4

5 0

0.958572

2.02018

0.945309

0.393619

0.0199532

1

22

1

26,0

1

2

1

2

3 6

3 6

11

4

11

4

3 6

3 6

1 2

6 3,

1

2


Introducción


Cambio de intervalo


http://mathworld.wolfram.com/Hermite-GaussQuadrature.html


43

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Polinomios de Laguerre

Polinomios

Norma


0

1x

n ne L x L x dx

0

1

212 2

3 213 6

4 2

4

5 3

5

1

1

4 2

9 18 6

8 8 1

16 20 5

L x

L x x

L x x x

L x x x x

L x x x

L x x x x

1 1

!

1 2 1

x nn x

n n

n n n

e dL x x e

n dx

n L x n x L x nL x

N Raíces Coeff.

2

3

0.415775

2.29428

6.28995

0.711093

0.278518

0.0103893

4

0.322548

1.74576

4.53662

9.39507

0.603154

0.357419

0.0388879

0.000539295

5

0.26356

1.4134

3.59643

7.08581

12.6408

0.521756

0.398667

0.0759424

0.00361176

0.00002337

2 2

2 2

1

4

1

4

2 2

2 2


Introducción


Cambio de intervalo

http://mathworld.wolfram.com/Laguerre-GaussQuadrature.html


44

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Cambio de variable

Ejemplos

Integral en un intervalo cualquiera

22

1 02 !

b bb a

b a b aa ab a

n nn b

k k ka

k k

y x aF y dy F y x dx w x f x dx

dy dx

ff w x x dx

n

2 4

4 4 4014

1 1

4 4 43 3

5 3 8 5 3

4 9 4 5 9 4 9 4 5

1 1

36 4 35

4

11 cos cos 1

2 cos 1 cos 1 0.998472613404115

3 cos 1 cos 0 1 cos 1 1.000008121555498

18 30 cos 525 70 30 1 cos

4

nb

k ka

k

y xx dx x dx f

dy dx

n

n

n

1

4 35

1 1 1

36 4 35 4 35

1 1 1

900 4 21 4 21

128

4 225 4

1

900

525 70 30 1

0.999999977197115

18 30 cos 525 70 30 1 cos 525 70 30 1

322 13 70 cos 245 14 70 1 cos 245 14 70 1

5 cos 0 1

322 13 70 cos

n

1 1

4 21 4 21

1.000000000039565

245 14 70 1 cos 245 14 70 1


Introducción


Cambio de intervalo


45

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Integración de Romberg: Proceso

Utiliza la regla del trapecio compuesta

Se combina con la extrap. de Richardson

Aprovecha las relaciones de la regla

1

2 4 6

0 1 2 32

1

2nb

hi n

ai

f x dx f x f x f x k h k h k h

1

1

2

2

0 2

11 0 1 12 2 22

3 32 2 4 2 42

11 2 2 22

2

2 2 2

3

ho

hh a bo o

hh a b a b a bo

o

N h b a f a f b

N h f a f f b N h h f a h

N h f a f f f f b

N h h f a h f a h

1 1 1 1

1

42 2

24 1 4 1

k

k k k k

k kk k

h hN N h N N hhN h N


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


46

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Integración de Romberg: Relaciones

1

2

3

4

0 2

11 0 1 122

12 1 2 2 222

3 313 2 322

3 3

4 4

4 414 3 422

4 4

4 4

3

3

5 7

3

5 7

9 11

13 15

ho

ho o

ho o

ho o

ho o

N h b a f a f b

N h N h h f a h

N h N h h f a h f a h

f a h f a hN h N h h

f a h f a h

f a h f a h

f a h f a hN h N h h

f a h f a h

f a h f a h

12

1122

1

2 1

k

k

ho k o k k k

i

N h N h h f a i h


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


47

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo

Calcular, con un error inferior a 10-6, aplicando el método de integración de Romberg Aplicamos la fórmula de Romberg, donde h=(b-a)/n, para utilizar a continuación la extrapolación de Richardson

2 2

00cos sin 1x dx x

n h N0(h) N1(h) N2(h) N3(h) N4(h)

1 /2 0.7853982

2 /4 0.9480594 1.0022799

4 /8 0.9871158 1.0001346 0.9999916

8 /16 0.9967852 1.0000083 0.9999999 1.0000000

16 /32 0.9991967 1.0000005 1.0000000 1.0000000 1.0000000

1

0 02

1 1

4 4 0.9480594 0.78539821.0022799

4 1 3

hN N hN h

3

2 22

3 3

4 64 0.9999999 0.99999161.0000000

4 1 63

hN N hN h

2

1 12

2 2

4 16 1.0001346 1.00227990.9999916

4 1 15

hN N hN h


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


48

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Motivación

Basada en la fórmula de Simpson compuesta

Supone comportamiento “suave” de f(4)(x)

2

2

54

2 3 2

54

2 2

, con y , 490

1, ,

16 90

a b

a b

bb a h a b

a

ba b a b

a

hf x dx S a b f h S a b f a f f b

hf x dx f x dx S a S b f

4 4

5 54 4

2 2

54

Igualando y tomando

1, , ,

16 90 90

16, , ( , )

90 15 2 2

a b a b

f f

h hS a S b f S a b f

h a b a bf S a S b S a b

Estimación del error

1( ) , , , , ,

2 2 15 2 2

a

b

a b a b a b a bf x dx S a S b S a b S a S b


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


49

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Proceso

1. Calcular

2. Estimar el error como e=|I-Is|

3. Si e<15ε tomar Is como valor de la integral sino repetir el

proceso con cada semi-intervalo, dividiendo también por

dos el error admisible

2 2( , ), , , , ,a b a bI S a b Ii S a Id S b Is Ia Id

Ejemplo: Calcular, con un error inferior a 1 centésima

Representación de la función

5

8 4

8

cos 0.470355208182252x dx


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


50

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo: resultados

[a,b] I Ii Id Is |I-Is| tol

(4,20) /32 -0.2766 0.5715 0.3812 0.9526 1.2292 0.0100

(4,12) /32 0.5715 0.3861 0.1947 0.5808 0.0094 0.0050

(12,20) /32 0.3812 -0.1969 -0.2272 -0.4240 0.8052 0.0050

5 14 4 48 8 3 51

8 8 8

3 14 4 48 8 31 2

8 8 82

5 34 4 48 8 3 54

8 8 82

( , ) cos 4cos cos 0.27666

1.2292, cos 4cos cos 0.5715

>156

0.9526, cos 4cos cos 0.3812

6

a b

a b

I S a b

Is IIi S a

Is Ia Id

Id S b

(12,16) /32 -0.1969 -0.1568 0.0011 -0.1557 0.0412 0.0025

(16,20) /32 -0.2272 0.0136 0.0646 0.0781 0.3053 0.0025

(12,14) /32 -0.1568 -0.0622 -0.0947 -0.1569 0.0001 0.0013

(14,16) /32 0.0011 -0.0523 0.0555 0.0032 0.0021 0.0013

(16,18) /32 0.0136 0.0715 -0.0635 0.0081 0.0055 0.0013

(18,20) /32 0.0646 -0.0083 0.0462 0.0379 0.0266 0.0013

(18,19) /32 -0.0083 -0.0295 0.0217 -0.0078 0.0005 0.0006

(19,20) /32 0.0462 0.0448 -0.0000 0.0447 0.0015 0.0006

0.4721


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


51

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Ejemplo: representación gráfica

Integral: 0.5808+ 0.0081+ (-0.1569)+ (-0.0078)+ 0.0032+ 0.0447 = 0.4721


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


52

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Integración impropia (I)

Hay dos formas diferentes de abordar la integración impropia – Usando los polinomios ortogonales adecuados (Hermite o Laguerre)

– Utilizando un cambio de variable antes de resolver el límite impropio con

una fórmula abierta

– Nota: Se debe verificar ab>0 (el dominio no incluye el valor nulo),

sino es necesario realizar previamente una división del dominio

– Donde el valor b se elige lo suficientemente grande como para que

el comportamiento asintótico de la función sea O(x-2)

1

1 2

2

11

1

a

b

b

a

xt

f x dx f t dttdx dt

t

b

a a bf x dx f x dx f x dx

0 0 0

0

nx x

i ixi

g xg x dx e dx e f x dx f x

e


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


53

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Integración impropia (II)

Calcular

– Usando los polinomios de Laguerre (simples)

– Descomponiendo la integral en dos, utilizando la regla

del trapecio para la primera y la del punto medio para la

segunda

12 2 2 2 12 222 2 2 2

2 2

20 0 2 0 0

1

1.1741983013 0.0507831125 1.22498141383 2intervalos

1.1906738356 0.0555665510 1.24624038672 4intervalos

1.1948797590 0.0566733473 1.25155310642

x x x xte dx e dx e dx e dx e dt

t

8intervalos

1.1959356697 0.0569379755 1.25287364536 16intervalos

2 2

2 2

0 0

1.304677973964021 2

1.187176785267228 3

1.236879870719581 4

1.263673857958196 5

x x xx

n

ne dx e e dx

n

n

2

2

01.253314137315500

2

x

e dx


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


54

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Las integrales múltiples sobre recintos hipercúbicos se

resuelven aplicando de forma reiterada las fórmulas

simples o utilizando métodos estadísticos (Montecarlo)

– Ejemplo (utilizando Simpson)

Cuando el recinto no es hipercúbico la única solucion

es acudir a métodos estadísticos (Montecarlo)

Integración múltiple (I)

, ,d b d b

c a c af x y dxdy f x y dx dy

1 2 1 22 2

1 0 1 0

1 12 2 2 21

31 1

2 2 2 201

3 3

2 00 4 1 2 6 12 8

6

1 16 1 12 1 8 4 6 0 12 0 8 6 1 12 1 8

6

x y dxdy x y dx dy

y y y dy y y dy

, ,d b y d b y

c a y c a yf x y dxdy f x y dx dy


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


55

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Integración múltiple por Simpson

1

0 2 1 2 231 1

1

0 0 0 2 1 0 2 0 2

1 1

1

2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 1 1

3 3

, , 4 , 2 , ,

, 4 , 2 , ,

4 , 4 , 2 , ,

2

x

yx

n nd b dh

i i nc a c

i i

m m

j j m

j j

n m m

i i j i j i m

i j jhh

f x y dx dy f x y f x y f x y f x y dy

f x y f x y f x y f x y


f x

1 1

2 0 2 2 1 2 2 2 2

1 1 1

1

2 0 2 2 1 2 2 2 2

1 1

0 0 0 2 2 0 2 2

0 2 2 2

1

3 3

, 4 , 2 , ,

, 4 , 2 , ,

, , , ,

2 , ,

yx

n m m

i i j i j i m

i j j

m m

n n j n j n m

j j

m n n m

m

j n j

j

hh

y f x y f x y f x y



f x y f x y

1 1

2 0 2 2

1

0 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2

1 1

1 1 1 1

2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

, ,

4 , , , ,

4 , 8 , , 16 ,

n

i i m

i

m n

j n j i i m

j i

n m n m n m n m

i j i j i j i j

i j i j i j i j

f x y f x y




Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


56

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Interpretación gráfica de las reglas compuestas – Trapecio

– Simpson

Integración múltiple (III)

14

24

24

24

1

1

4

2

4

1

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

22

22

22

1

1

2

2

2

1

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

3 3

,

1,4,1 1,4,1yx

d b

c a

hh

x y

f x y dx dy

2 2

,

1,1 1,1yx

d b

c a

hh

x y

f x y dx dy


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple


57

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Método de Montecarlo (I)

Calcula

Proceso: genera una muestra aleatoria uniforme de valores xi y aproxima

la integral mediante

Nota 1: El error de la integral es proporcional a su varianza y por tanto

disminuye con (Reducirla a la mitad exige cuadruplicar el

número de muestras)

Nota 2: La convergencia depende del número de muestras, pero NO de

la dimensión del volumen

1 2

1 21 2 1 2 1

1 2 1 1 1 2 2 2

, ,

, , ; , ,

n

n

b b b

na a a V

n n n n

I f x x x dx dx dx f d

x x x V a x b a x b a x b

x x

x x

1

22

1

2 2

con valor medio muestral de la integral

1var

1

E var

n

i

i

n

i

i

V

VI f I f f

N

f f fN

VI f f d I f

N

x

x

x x

O N


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple

http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration


58

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Método de Montecarlo (II)

Calcular

1 2 2

1 0x y dxdy

102

103

104

105

106

107

5.5

6

6.5

7

7.5

puntos

inte

gra

l

102

103

104

105

106

107

10-4

10-3

10-2

10-1

100

puntos

err

or

Integracion de Montecarlo


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple



59

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Método de Montecarlo (III)

El volumen del elipsoide

Viene dado por

Calcular el volumen del elipsoide para x,y,z>0

4

3abc

2 2 2

0 0 0

2 2 21

x x y y z z

a b c

2 2 2

2 2 21

2 1 3

x y z

22 2 2 21 2 1

2 2 2 20 03 1 3 1 3.142183001731533

2 1 2 1

y

V

x y x yd dx dy

x

102

103

104

105

106

107

3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

puntos

inte

gra

l

102

103

104

105

106

107

10-4

10-2

100

10-1

10-3

puntos

err

or

Integracion de Montecarlo


Integ. Romberg

Integ. Adaptativa

Integ. impropia

Integ. múltiple



60

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Resumen

Hay tres formas diferentes de obtener fórmulas numéricas para derivación /

integración

Interpolación / Newton Cotes

Coeficientes indeterminados

Desarrollo de Taylor / cuadratura gausiana (derivación/integración)

Derivación:

La interpolación calcula la expresión del error, pero sólo para las primeras

derivadas

Los desarrollos de Taylor permiten obtener la parte principal del error

El método de coeficientes indeterminados sólo indica el orden de la fórmula.

Integración

Las fórmulas de Newton-Cotes compuestas permiten ajustar el error deseado

Las fórmulas de cuadratura se obtienen utilizando polinomios ortogonales

definidos en intervalos determinados y para funciones de peso, y permiten

fórmulas de mayor orden con un número menor de evaluaciones de la función

La integración de Romberg se obtiene al combinar la regla del trapecio y la

extrapolación de Richardson, y permite estimar numéricamente el error

La integración adaptativa permite ajustar el error y variar el tamaño del paso

Las integrales impropias requieren usar polinomios ortogonales o combinar

cambios de variables con reglas de Newton-Cotes abiertas

La integración en más de una dimensión se realiza combinando fórmulas de una

dimensión cuando el dominio es hipercúbico o utilizando el método de

Montecarlo en caso contrario



61

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Bibliografía comentada



62

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Instrucciones

M cumtrapz Cumulative trapezoidal numerical integration

M del2 Discrete Laplacian

M diff Differences and approximate derivatives

M gradient Numerical gradient

B polyder Polynomial derivative

B polyint Integrate polynomial analytically

O polyreduce Reduces a polynomial coefficient vector to a minimum number of

terms by stripping off any leading zeros

B dblquad Numerically evaluate double integral over rectangle

O colloc Compute derivative and integral weight matrices for orthogonal

collocation

B quad Numerically evaluate integral, adaptive Simpson quadrature

B quad2d Numerically evaluate double integral over planar region

B quadgk Numerically evaluate integral, adaptive Gauss-Kronrod quadrature

B quadl Numerically evaluate integral, adaptive Lobatto quadrature

B quadv Vectorized quadrature

B trapz Numerical integration using the trapezoidal method

B triplequad Numerically evaluate triple integral

Válidas en Matlab (M), Octave (O) o ambos (B)



63

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Anexos

Demostraciones y desarrollos



64

Motivación

Objetivos


Fórmulas Derivac.

Extrapolación*

Estab. Derivación

Reglas NewtonCotes

Cuadratura Gauss.*

Otras integrales*

Resumen General

Bibliografía

Software

Runge Kutta de Orden 2

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