Dependencia e Independencia

Lineal

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

• S es L.D si alguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.

• S es L.I cuando ninguno de sus vectores son combinaciones lineales de los otros

L.D

L.I

SEA

𝑆= {(2 ,−1 , 1 ) , (1 ,0 , 1 ) ,(3 ,−1,2) }

𝑆= {(1 , 0,0 ) , (0,1 ,0¿,(0,0,1) }

Proceso para demostrar L.I ó L.D

1.Realizar la Combinación lineal Nula.

2. Obtener el Sistema de ecuaciones Homogéneo.

3. Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo por Gauss o Gauss-Jordán.

𝟎𝒗=𝜶𝟏𝒖𝟏+𝜶𝟐𝒖𝟐+𝜶𝟑𝒖𝟑+…+𝜶𝒏𝒖𝒏

𝑆= {𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3 ,…𝑢𝑛 }

Ejemplos:1.Verificar si S es L.D

𝑺= {(𝟏 ,−𝟑 ); (−𝟐 ,𝟔)}

( 𝟏 −𝟐−𝟑 𝟔 |𝟎𝟎) f 2←f 2+3 f 1(

𝟏 −𝟐𝟎 𝟎 |𝟎𝟎)∴∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄

𝒔𝒊|𝑨|=𝟎→∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄

2.Verificar si S es L.I

𝑺= {(𝟐 ,𝟎 ); (𝟏 ,𝟏) }

(𝟐 𝟏𝟎 𝟏|𝟎𝟎) f 1←f 1−f 2(

𝟐 𝟎𝟎 𝟏|𝟎𝟎) f 1←f 1( 12 )(𝟐 𝟎

𝟎 𝟏|𝟎𝟎) ∴∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄

CONJUNTO GENERADOR

Sean (V, K, +,*) un espacio vectorial, S V,

S={s1; s2; s3…..sn}, u V

Si u= αs1+ βs2+ γs3, entonces S es conjunto generador de W

S genera W <S>=W

Pasos para hallar el conjunto generador S

1. Hallar las restricciones2. Reemplazar las restricciones3. Contar el número de variables involucradas4. Descomponer en suma de vectores5. Extraer los escalares mediante factor común6. Escribir el conjunto generador

Ejercicio 1

Calcular el conjunto generador de:

𝑾={(𝒙 ,𝒚 , 𝒛 ) /𝒚=𝟐 𝒙−𝒛 }

𝑾={𝒙 (𝟏 ,𝟐 ,𝟎 )+𝒛 (𝟎 ,−𝟏 ,𝟏 )/𝒙∧ 𝒛∈ℝ }

𝑺= {(𝟏 ,𝟐 ,𝟎 ) , (𝟎 ,−𝟏 ,𝟏 ) }

<S> = W

S genera a W

Ejemplo 2

Dado 1. Hallar las restricciones En éste caso, las restricciones son: a, b, c, d2, Reemplazar las restricciones

3. Contar el número de variables involucradas Existen cuatro variables involucradas, que son a, b, c y d

4. Descomponer en suma de vectores El numero de vectores depende de las variables involucradas

5. Extraer los vectores mediante factor común ( El factor común son las variables involucradas)

6. Escribir el Conjunto Generador

S

S genera a W

Ejemplo 3

Dada W= { / a= 2b – 3c} 1. Hallar las restricciones: a= 2b – 3c2. Reemplazamos la restricción :

W= { }3. Contar el número de variables involucradas4. Descomponer en suma de vectores

5. Extraer los vectores:

6. Escribir el conjunto generador :

S genera a W