OCTAVO 2020

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Para obtener la suma de dos números racionales expresados como fracciones, se deben considerar dos casos:

Si tienen igual denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador.

Si sus denominadores son distintos, se amplifica cada fracción con el fin de igualar los denominadores. Luego,

se aplica el caso anterior.

Analiza la deducción de la expresión que permite sumar las fracciones de distinto denominador 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑.

EJEMPLOS:

A) 1

5+

3

5=

1+3

5=

4

5

B) 1

7−

4

7=

1−4

7= −

3

7

C) 5

8+

2

3=

5∙3+2∙8

8∙3=

15+16

24=

31

24

D) 5

9−

1

3=

5∙3−1∙9

9∙3=

15−9

27=

6

27=

2

9

Para transformar una fracción MIXTA A FRACCIÓN IMPROPIA, recuerda que para obtener el NUMERADOR debes multiplicar el denominador por la parte entera y luego sumar el numerador; el DENOMINADOR se conserva.

PAUTA GUÍA N°10: ADICION DE NÚMEROS RACIONALES

Unidad: Números

Nombre: Fecha: Curso:

Objetivo de Aprendizaje : Utilizar las operaciones de multiplicación y división con los números racionales en el

contexto de la resolución de problemas

Habilidad: aplicar

Instrucciones: Responda las preguntas con lápiz grafito y la respuesta final en lápiz pasta, en el espacio asignado, con letra

clara y legible. En el caso de no contar con impresora, responder en el cuaderno, en orden correlativo

(destacando el número o letra de la pregunta), sacar fotografía y enviar el día correspondiente.

Para apoyar el desarrollo de esta guía te puedes apoyar en el texto de Matemáticas, en las páginas de la 28 a la 31.

El desarrollo de estas actividades, en condiciones adecuadas, debiera tomarle un tiempo estimado de 60 minutos, tiempo que puede distribuir de acuerdo a sus necesidades en el transcurso de esta semana.

Dentro de las posibilidades de cada estudiante, se propone realizar consultas respecto del desarrollo de la actividad o enviar el trabajo finalizado (pueden ser fotografías claras de éste con nombre del estudiante) al correo electrónico ariel.barriga@colegioangol.cl y/o yadira.yanez@colegioangol.cl

Fracciones con igual

denominador

Fracciones con distinto

denominador

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EJERCICIOS:

1. Determina el valor de la suma de las zonas coloreadas indicadas.

a) La suma de las zonas fucsias.

b)

c) La suma de las zonas amarillas.

d) La suma de las zonas verdes.

2. Resuelve cada adición y sustracción de números racionales.

a) 𝟑

𝟒+ 𝟏, 𝟓 − 𝟒

𝟏

𝟐

2

8+

3

8=

5

8

Respuesta:

5

8

3

8+

4

8=

7

8

Respuesta:

7

8

3

8+

1

8=

4

8

Observar que la fracción se puede simplificar.

4

8=

1 ∙ 4

2 ∙ 8=

1

2

Respuesta:

4

8=

1

2

Explicación:

Primero transformaremos el decima finito y el número mixto a fracción.

1,5 =15

10=

3

2 4

1

2=

ሺ4 ∙ 2ሻ + 1

2=

9

2

Notar que la fracción equivalente al decimal 1,5 se simplificó, para facilitar los cálculos. Pero, se

observa que ahora hay denominadores diferentes, son 4 y 2, por ende, amplificando por 2 las

fracciones cuyo denominador sea ese, obtendremos los siguiente:

3

2=

3 ∙ 2

2 ∙ 2=

6

4

9

2=

9 ∙ 2

2 ∙ 2=

18

4

Ahora se tiene que:

3

4+ 1,5 − 4

1

2=

3

4+

6

4−

18

4=

3 + 6 − 18

4= −

9

4

Solución

−9

4

Observar que cada circulo está dividido en 8 partes. Por lo tanto, tener en cuenta de que el denominador de las

fracciones debe ser 8. También notar que, por la condición antes mencionada, se podrá sumar inmediatamente las

fracciones.

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b) 𝟓𝟏

𝟔−

𝟕

𝟗+ 𝟏, 𝟏

c) 𝟏𝟐

𝟑− 𝟐, 𝟑 − 𝟏

Explicación:

Primero transformaremos el decimal periodico y el número mixto a fracción.

51

6=

ሺ5 ∙ 6ሻ + 1

6=

31

6 1, 1ത =

11 − 1

9=

10

9

Se observa que ahora hay denominadores diferentes, son 6 y 9, por ende, primero se buscará el mínimo común múltiplo

entre 6 y 9.

6 9 2

3 9 3

1 3 3

1

Así, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ6 ,9ሻ = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 18, por tanto, amplificamos todas las fracciones para que tenga el mismo denominador:

31

6=

31 ∙ 3

6 ∙ 3=

93

18

7

9=

7 ∙ 2

9 ∙ 2=

14

18

10

9=

10 ∙ 2

9 ∙ 2=

20

18

Ahora se tiene que:

51

6−

7

9+ 1, 1ത =

93

18−

14

18+

20

18=

93 − 14 + 20

18=

99

18

Solución

99

18

Explicación:

Primero transformaremos el decimal periodico, el número mixto y el número entero a fracción.

12

3=

ሺ1 ∙ 3ሻ + 2

3=

5

3 2, 3ത =

23 − 2

9=

21

9 1 =

1

1

Se observa que ahora hay denominadores diferentes, son 1, 3 y 9, por ende, primero se buscará el mínimo común múltiplo

entre 1,3 y 9. Notar que la única opción que queda para el denominador 1, es amplificarlo por el mcm que se obtenga.

3 9 3

1 3 3

1

Así, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ3,9ሻ = 3 ∙ 3 = 9, por tanto, amplificamos todas las fracciones para que tenga el mismo denominador:

5

3=

5 ∙ 3

3 ∙ 3=

15

9

1

1=

1 ∙ 9

1 ∙ 9=

9

9

Ahora se tiene que:

12

3− 2, 3ത − 1 =

15

9−

21

9−

9

9=

15 − 21 − 9

9= −

15

9= −1

6

9

Solución

−15

9

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d) 𝟓, 𝟐𝟑 −𝟏𝟕

𝟗𝟎

e) 𝟐

𝟕− (𝟓

𝟏

𝟏𝟒− 𝟐)

f) 𝟐, 𝟒 − (𝟎, 𝟒 −𝟑

𝟓)

Explicación:

Primero transformaremos el decimal semiperiodico a fracción.

5,23ത =523 − 52

90=

471

90

Se observa que ambos denominadores son iguales, por lo tanto, se puede operar sin problema

Ahora se tiene que:

5,23ത −17

90=

471

90−

17

90=

471 − 17

90=

454

90=

227

45

Solución

454

90

Explicación:

Primero transformaremos el número mixto y el número entero a fracción.

51

14=

ሺ5 ∙ 14ሻ + 1

14=

71

14 2 =

2

1

Se observa que ahora hay denominadores diferentes, son 7, 14 y 1, por ende, primero se buscará el mínimo común

múltiplo entre 1,7 y 14. Notar que la única opción que queda para el denominador 1, es amplificarlo por el mcm que se

obtenga, y que 7 es divisor de 14, por ente 7 se puede multiplicar por 2 para obtener 14, por ende, su fracción relacionada

se amplifica por 2.

Así, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ1,7,14ሻ = 14, por tanto, amplificamos las fracciones para que tenga el mismo denominador:

2

7=

2 ∙ 2

7 ∙ 2=

4

14

2

1=

2 ∙ 14

1 ∙ 14=

28

14

Ahora que las fracciones están arregladas para poder operarlas, resolvemos primero el paréntesis y luego lo demás:

2

7− ൬5

1

14− 2൰ =

4

14− ൬

71

14−

28

14൰ =

4

14− ൬

71 − 28

14൰ =

4

14−

43

14=

4 − 43

14= −

39

14

Ahora se tiene que:

2

7− ൬5

1

14− 2൰ = −

39

14

Solución

−39

14

Explicación 1:

Primero transformaremos los números decimales finitos a fracción.

2,4 =24

10=

12

5 0,4 =

4

10=

2

5

Se observa que todos los denominadores son iguales, por lo tanto, se puede operar. Partiendo desde el paréntesis:

12

5− ൬

2

5−

3

5൰ =

12

5− ൬

2

5−

3

5൰ =

12

5− ൬

2 − 3

5൰ =

12

5− ൬−

1

5൰ =

12

5+

1

5=

13

5= 2

3

5

Recordar que, menos por menos es más (regla de signos). Ahora se tiene que:

2,4 − ൬0,4 −3

5൰ =

13

5= 2

3

5

Solución

13

5

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g) (𝟐, 𝟑 − 𝟏) −𝟕

𝟗

h) 𝟏, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟓

Explicación:

Primero transformaremos el número decimal periódico y el número entero a fracción.

2, 3ത =23 − 2

9=

21

9 1 =

1

1

Se observa que los denominadores son 9 excepto la de la fracción equivalente a 1, pero para igualar, solamente

amplificamos, en este caso por 9.

Así, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ1,9ሻ = 9, por tanto, amplificamos las fracciones para que tenga el mismo denominador:

1

1=

1 ∙ 9

1 ∙ 9=

9

9

Ahora que las fracciones están arregladas para poder operarlas, resolvemos primero el paréntesis y luego lo demás:

ሺ2, 3ത − 1ሻ −7

9= ൬

21

9−

9

9൰ −

7

9= ൬

21 − 9

9൰ −

7

9=

12

9−

7

9=

12 − 7

9=

5

9

Ahora se tiene que:

ሺ2, 3ത − 1ሻ −7

9= −

5

9

Solución

5

9

Explicación:

Primero transformaremos los decimales, finito, semiperiodico y periódico a fracción.

1,45ത =145 − 14

90=

131

90 1,45 =

145

100=

29

20 1, 45തതതത =

145 − 1

99=

144

99=

16

11

Notar que cada fracción se dejó irreducible por medio de la simplificación, para facilitar el cálculo al determinar el mcm.

11 20 90 2

11 10 45 2

11 5 45 3

11 5 15 3

11 5 5 5

11 1 1 11

1

Asi, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ11,20,90ሻ = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 = 1980

Ahora amplificamos cada fracción para igualar los denominadores:

131

90=

131 ∙ 22

90 ∙ 22=

2882

1980

29

20=

29 ∙ 99

20 ∙ 99=

2871

1980

16

11=

16 ∙ 180

11 ∙ 180=

2880

1980

Ahora se tiene que:

𝟏, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟓 =2882

1980+

2871

1980+

2880

1980=

2882 + 2871 + 2880

1980=

8633

1980

Solución

8633

1980

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) De un trabajo grupal para el colegio, Martín ha realizado 2

9 partes, Carmen

1

4 y Andrea

1

7. ¿Qué parte del trabajo llevan

realizado en total? ¿Cuánto les falta por realizar?

Explicación:

Para poder saber cuánto trabajo han realizado en total, hay que sumar las fracciones, para eso, debemos

igualar los denominadores.

Primero se determinará el mínimo común múltiplo:

4 7 9 2

2 7 9 2

1 7 9 3

7 3 3

7 1 7

1

Por tanto, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ4,7,9ሻ = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 = 252. Ahora se amplificarán todas las fracciones para igualar

los denominadores:

1

4=

1 ∙ 63

4 ∙ 63=

63

252

1

7=

1 ∙ 36

7 ∙ 36=

36

252

2

9=

2 ∙ 28

9 ∙ 28=

56

252

Ahora podemos sumar las tres fracciones y así responder la primera pregunta:

63

252+

36

252+

56

252=

63 + 36 + 56

252=

155

252

Luego, para responder la segunda pregunta, al entero, hay que restarle lo que llevan trabajado. En este caso

nuestro entero será representado por 252252ൗ .

252

252−

155

252=

252 − 155

252=

97

252

Así, las respuestas son:

Respuesta 1: los alumnos han trabajado 155252ൗ del total.

Respuesta 2: a los alumnos les falta 97252ൗ para terminar el trabajo.

Solución 1

155

252

Solución 2

97

252

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b) cCuatro maestros pintaron por completo una casa. Uno pintó un quinto de ella, otro un sexto, otro dos séptimos y el último pintó el resto. ¿Qué parte de la casa pintó el último maestro?

c) Del total de los estudiantes de un colegio, se sabe que un décimo participa en el taller de deportes, dos onceavos en el taller de ciencias y tres quinceavos en el taller de teatro. Si cada estudiante puede participar solo en uno de los talleres, ¿qué parte de los estudiantes del colegio participa en ninguno de los talleres?

Explicación:

Según los datos, cuatro maestros pintan una casa entera. Las siguientes fracciones representan lo que pinta

cada uno:

1°: 1

5 2°:

1

6 3°:

2

7 4°: 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Primero se determinará el mínimo común múltiplo, para así saber cuánto pinta el cuarto maestro.:

5 6 7 2

5 3 7 3

5 1 7 5

1 7 7

1

Por tanto, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ5,6,7ሻ = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 210. Ahora se amplificarán todas las fracciones para igualar los

denominadores, para luego sumarlas:

1

5=

1 ∙ 42

5 ∙ 42=

42

210

1

6=

1 ∙ 35

6 ∙ 35=

35

210

2

7=

2 ∙ 30

7 ∙ 30=

60

210

Ahora podemos sumar las tres fracciones y así responder la primera pregunta:

42

210+

35

210+

60

210=

42 + 35 + 60

210=

137

210

Luego, para saber la fracción que pinta el cuarto maestro; al entero, hay que restarle la suma de lo que

pintan los demás. En este caso nuestro entero será representado por 210210ൗ .

210

210−

137

210=

210 − 137

210=

73

210

Así, el cuarto y último maestro, pinta 73

210 de la casa.

Solución

73

210

Explicación:

Según los datos, hay tres talleres en el colegio, y cada estudiante solo puede participar en uno de ellos. Las

siguientes fracciones representan la cantidad en cada uno de ellos, cabe resaltar que “el resto” son los

estudiantes que no participan en algún taller:

𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠: 1

10 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ∶

2

11 𝑡𝑒𝑎𝑡𝑟𝑜 ∶

3

15 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑜 ∶ 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Primero se determinará el mínimo común múltiplo, para así saber cuántos participan en ningún taller:

10 11 15 2

5 11 15 3

5 11 5 5

1 11 1 11

1 1

Por tanto, el 𝑚. 𝑐. 𝑚ሺ10,11,15ሻ = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 = 330. Ahora se amplificarán todas las fracciones para

igualar los denominadores, para luego sumarlas:

1

10=

1 ∙ 33

10 ∙ 33=

33

330

2

11=

2 ∙ 30

11 ∙ 30=

60

330

3

15=

3 ∙ 22

15 ∙ 22=

66

330

Solución

171

330

OCTAVO 2020

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

d) Del total del parque automotriz, el 22

25 corresponde a vehículos particulares,

3

50 a vehículos de carga y el resto a

vehículos colectivos. ¿Qué fracción del parque automotriz corresponde a vehículos colectivos?

Explicación continuación:

Ahora se suman las fracciones para luego restárselas al entero que en este caso será representado por 330330ൗ y

así se determinará la fracción de estudiantes que asiste a ningún taller:

33

330+

60

330+

66

330=

159

330

Ahora restamos:

330

330−

159

330=

171

330

De acuerdo a los anterior, la fracción de estudiantes que asiste a ningún taller es 171330ൗ .

Explicación:

Según los datos, en el parque automotriz hay vehículos particulares, de carga y colectivos, la cantidad se

representan con las siguientes fracciones:

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠: 22

25 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ∶

3

50 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 ∶ 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Notar que la fracción que representa a los vehículos particulares, se puede amplificar por 2, para así igualar

el denominador con la fracción que representa a los vehículos de carga.

Amplificando, obtenemos:

22

25=

22 ∙ 2

25 ∙ 2=

44

50

Ahora podemos sumar las dos fracciones y luego se resta al entero representado por 5050ൗ , para obtener

la fracción que representa a los vehículos colectivos:

44

50+

3

50=

44 + 3

50=

47

50

Ahora restamos:

50

50−

47

50=

3

50

Así, la fracción de colectivos que se encuentra en el parque automotriz es 3

50.

Solución

3

50

OCTAVO 2020

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TIPS

1. Determina el valor de las suma de las zonas coloreadas indicadas.

a) El numerador es el número de partes que se considera del total.

b) El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad en total.

c) La adición de fracciones de igual denominador, se conserva el denominador y se suman los

numeradores.

2. Resuelve cada adición y sustracción de números racionales.

a) Transforma el decimal finito en fracción.

b) Transforma el decimal periódico en fracción, también convierte la fracción mixta a una

fracción impropia ሺ𝑎𝑏

𝑐=

ሺ𝑎 ∙𝑐ሻ+𝑏

𝑐 )

c) El denominador de un entero siempre será 1

d) Transforma el decimal semiperiódico en fracción

e) Recuerda el orden de las operaciones (PAPOMUDAS)

f) Sustracción de distinto denominador, debes buscar el mínimo común múltiplo y luego

amplificar o simplificar según corresponda.

g) Sustracción de igual denominador se conserva el denominador y se restan los numeradores.

h) Transforma cada decimal en fracción, (recuerda que son decimales distintos (finito, periódico y

semiperiódico) por ende sus transformaciones también lo son).

3. Resuelve los siguientes problemas

a) Realiza una adición de las fracciones, recuerda que, si estas son de distinto denominador

debes amplificarlas (o simplificar) para igualar denominadores.

b) Realiza una adición entre las fracciones que indica la parte que pinta cada maestro, al entero

se le resta el resultado de esta adición para conocer la cantidad que pinta el ultimo pintor. (La

sustracción de distinto denominador amplificamos los denominadores hasta igualarlos)

c) Realiza una adición de fracciones que indica la cantidad de estudiantes que participan en algún

taller, y al entero le restas el resultado de la adición para conocer la cantidad de estudiantes

que NO participan en talleres.

d) Realiza una adición entre las fracciones que indican la cantidad de vehículos particulares y

vehículos de cargas, al entero le restas el resultado de la adición para conocer la cantidad de

vehículos colectivos.