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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

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FICHAS DE TRABAJO REFUERZO CONTENIDO

1. Números naturales a. Leer y escribir números naturales b. Orden de cifras c. Descomposición polinómica d. Operaciones combinadas e. Potencias f. Raíces cuadradas exactas g. Números romanos h. División de números naturales

2. Divisibilidad a. Divisores y múltiplos b. Criterios de divisibilidad c. Obtención de todos los divisores de un número

3. Números primos a. Números primos y compuestos b. Descomposición factorial en números primos. c. Máximo Común Divisor (M.C.D.) d. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)


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1. Números naturales El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} Con los números naturales podemos: 1. Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar. 2. Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

Ejemplo: Vivo en el segundo (2º) piso. 3. Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto. Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257. Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

3 < 5 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, ob-tenemos otro número natural.

Ejercicios:

1. Tacha los números que no sean naturales:

12 -4 23 -5 36 29 -1 -15 13 -20

a. Leer y escribir números naturales

Primero se separan las cifras de tres en tres empezando por la derecha. Después se leen de izquierda a derecha como si fuesen números de tres cifras. Se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda.

Ejercicios:

1. Escribe con palabras los siguientes números:

a. 90917

b. 1200219

http://www.vitutor.net/1/a_c.html

http://www.vitutor.net/1/a_0.html


3

c. 29073000116

d. 10023456789

2. Escribe con cifras los siguientes números:

a. mil millones:

b. tres billones y medio:

c. cien mil tres:

d. treinta y ocho mil cien:

e. Orden de cifras

Sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos. En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar...

Ejemplo: en el número 7 5 7 0 3 hay 3 unidades, 0 decenas, 7 centenas, 8 unidades de millar y 7 decenas de millar.

Ejercicios:

1. ¿Qué lugar ocupa la cifra 5 en los siguientes números? ¿En cuál de los

números tiene mayor valor?¿Y menor?

a) 508744

b) 65339001

c) 7092157 d) 9745

2. Razona por qué en un número natural con dos cifras repetidas, éstas no tie-

nen el mismo valor.


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f. Descomposición polinómica

La descomposición polinómica con potencias en base 10 la veremos con un ejemplo: En el número 5678342 tenemos:

- La cifra de las unidades: el 2

- Luego la cifra de las decenas: el 4, cuyo valor en el número es 10 veces más que el anterior, luego su valor será:

4·10 = 40 - En tercer lugar, las centenas: el 3, cuyo valor será el que resulte de multipli-

car la cifra situada en tercer lugar por 100 ( o por 102) 3·102=300

- En cuarto lugar las unidades de millar :8, cuyo valor obtenemos multiplicando por 1000 ( o por103 ) la cifra situada en ese lugar :

8·103 = 8000

- Luego, las decenas de millar: 7 cuyo valor será: 7·104 = 70000

- En sexto lugar, las centenas de millar: 6, cuyo valor se obtiene multiplicando la cifra por 105.

6·105 = 600000

- Y, por último, las unidades de millón: 5, cuyo valor obtenemos multiplicándolo por 106 :

5· 106 = 5000000

Con esto observamos que el número 5678342 se puede escribir utilizando potencias de 10 de la forma: 5678342 = 5 · 106 + 6 · 105 + 7 · 104 + 8 · 103 + 3 · 102 + 4 · 10 + 2 Ejercicios:

1. Escribe mediante potencias de 10 los siguientes números:

a) 3.345 =

b) 31.607 =

c) 34.560 =

d) 172.890 =

e) 100.451=


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g. Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones El orden para realizar operaciones es:

1) Operaciones entre paréntesis 2) Multiplicaciones y divisiones 3) Sumas y restas

Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha. Otras propiedades • Elemento neutro para la suma: 0. 0+a=a • Elemento neutro para el producto: 1. 1·a=a • Propiedad distributiva: a·(b+c)=a·b+a·c • 0·a=0

Ejercicios:

1. Calcula:

a) 23+6= b) 57+8= c) 39+4= d) 54+9=

e) 76+5= f) 88+7= g) 76-4= h) 52-5=

i) 66-8= j) 94-9= k) 25-7= l) 44-6= m) 3·9= n) 6·8= ñ) 7·7= o) 9·6=

p) 6·7= q) 8·8= r) 35:5= s) 63:9=

t) 18:6= u) 32:4= v) 56:8= w) 42:7=

2. Calcula:

a) (6+3)·5= b) (7+6)·3=

c) 3+3·3= d) 6+4·8=

e) 2·8+3·5= f) 6·7+8·5= g) 9+0= h) 8·1=

3. Opera:

a) 9·3+6·(9-5+9)=

b) 10+8·7-(6-10:5)=

c) 16+6·(6+16·2)=

d) 240+24·(48+40·8)=

e) 60+12·(28-20:4)=


6

f) 18·6-45:3+18=

g) 24·9+33:3-27=

h) 14·18-48:2-6=

i) 420 · 2 + 526 - 120 · 3 =

j) [(42 + 68 - 14 ) · 12 ] : 12 =

k) 17- 3· (8-4) + 54 : 2 =

l) 4 ·(9 - 3) +5 ·(12 -7) =

m) (3· 4 +4· 5)- (12 : 3+ 20 : 4) + 2· 5 – 6 =

n) 4· 2 ·5 : 10 +(12+ 5· 3)- 6· 5 =

o) (16 -3 ·4)+ (15 -15 : 3) -(20 : 2 -8) =


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h. Potencias Definición: Una potencia es una manera abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. Por ejemplo, 24 es una potencia. Se lee "dos elevado a cuatro" y significa 2·2·2·2. La base es 2, que es el factor que se repite. El exponente es 4, que es el número de veces que se repite la base. Ejemplos: 24·24·24·24·24·24·24·24·24=249

249 = 2641807540224

Observa que las potencias más sencillas son las que tienen como base 1 ó 10. Ejemplos: 15=1·1·1·1·1=1

110=1·1·1·1·1·1·1·1·1·1=1

103=10·10·10=1000

105=10·10·10·10·10=100000

No se debe confundir 24 y 2·4. 24=2·2·2·2=16 2·4=2+2+2+2=8 Propiedades de las potencias: • Producto con la misma base: am·an=am+n

Al multiplicar potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los expo-nentes

Ejemplo: 63·65=63+5=68

• Cociente con la misma base: am:an=am-n

Al dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponen-tes

Ejemplo: 58:52=58-2=56

• Potencia de una potencia: (am)n=am*n

La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (45)3=45*3=415

• Producto y el mismo exponente: an·bn=(a·b)n


8

El producto de potencias con el mismo exponente, es otra potencia con las bases mul-tiplicadas y el mismo exponente

Ejemplo: 63·23=(6·2)3=123

• Cociente y el mismo exponente: an:bn=(a:b)n El cociente de potencias con el mismo exponente, es otra potencia de base el cociente de las bases y el mismo exponente

Ejemplo: 95:35=(9:3) 5=35

• Exponente 0: a0=1

Una potencia de exponente 0 vale 1, excepto si la base es 0 Ejemplo: 70=1

• Exponente 1: a1=a

Una potencia de exponente 1 es igual a la base Ejemplo: 81=8

Ejercicios:

1. Expresa con una única potencia:

a) 82·85= b) 77·79= c) 126·128= d) 2319·2316=

e) 57:53= f) 96:92= g) 1310:135= h) 2218:226=

i) (46)2= j) (26)8= k) (1010)4= l) (2618)5=

m) 36·46= n) 87·67= o) 109·129= p) 2014·1214=


a) 70= b) 81= c) 470 = d) 1231=

e) 18= f) 104= g) 183 = h) 109=


a. (75:7)·72=

b. 510 :( 52·5) =

c. (33·34·3 ): 32 =

d. 20·24 :24=

e. 1021:( 107:100)=

f. 3316:( 333·33)2=

g. (m2·m3:m0)5:(m·m4) = h. (103)4 : (102 · 103) =

i. (65 : 62) · (63)4=

j. (35 : 32)3=


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i. Raíces cuadradas exactas

Sabemos que 25 es un cuadrado perfecto. Es el cuadrado de 5 (25 = 52). Lo mismo le ocurre al número 49. Es el cuadrado de 7 (49 = 72). Así, diremos que 5 es la raíz cua-drada de 25 y que 7 es la raíz cuadrada de 49.

La operación de raíz cuadrada se representa con el símbolo:

El número al que queremos calcular su raíz cuadrada se llama radicando. En el ejemplo anterior el radicando vale 25. Ejercicios:

1. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: 4, 9, 36, 81, 100,

121, 225.

j. Números romanos El Sistema de Numeración romano

Este sistema de numeración prácticamente sólo se emplea en la actualidad para repre-sentar los años. · Este sistema utiliza siete símbolos para representar los números: I = 1 X = 10 C = 100 M = 1.000 sólo pueden ser repetidos consecutivamente hasta tres veces. V = 5 L = 50 D = 500 estos no se repiten. · En este sistema tiene importancia el orden de los símbolos, es decir, para re-presentar un número se debe tomar en cuenta la posición donde se escribe determina-do número. · Principio aditivo: un símbolo escrito a la derecha de otro de igual o mayor valor le suma a este su valor. VI = 6 LX = 60 · Principio sustractivo: un símbolo ubicado a la izquierda de otro de mayor valor le resta a este su valor. IV = 4 XC = 90 · Principio multiplicativo: una rayita horizontal, escrita sobre un número lo multi-plica por mil. X= 10 · 1.000 = 10.000


10

· Sus agrupamientos se hacen de 10 en 10. · Los romanos no tienen un símbolo para representar el cero.

Ejercicios:

1. Escribe con números romanos los siguientes años:

a. 344 =

b. 519 = c. 1987 =

d. 48 =

e. 980 =

1. Escribe en sistema decimal los siguientes números romanos:

a. XIX =

b. CCXLIII =

c. MCMLXXXIV = d. MMXIII =

e. XXXV =

f. LXVI =

k. División de números naturales Pongamos un ejemplo: En una sala de convenciones, vemos que hay mesas de 3 personas y en total hay 630 invitados, ¿cuántas mesas ocuparán? Vemos que habrá 210 mesas ocupadas y no sobrarán invitados:

EL resto siempre debe ser inferior al divisor (no tiene por qué ser 0). En general, se cumple que:

· D = d · c + r

Ejercicios:

1. Realiza las siguientes divisiones y comprueba con cada una de ellas la pro-

piedad D = d· c + r


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a) 6.218 : 456

b) 32.520 : 30

c) 150.035 : 981 d) 386 : 45

Prueba:

Prueba: Prueba:

Prueba:

e) 34.900:60

f) 23.908 : 16 g)256.978 : 42 h)56.700: 100

Prueba:

Prueba: Prueba:

Prueba:

4. Divisibilidad

a. Divisores y múltiplos Múltiplos Se definen los múltiplos de un número entero n como los números que resultan de mul-tiplicar ese número n por todos los números enteros. Ejemplo: La tabla del 5 está formada por los valores: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,…. Todos ellos son múltiplos de 5.


12

Ejercicios:

1. Calcula los siete primeros múltiplos de 6 y de 9.

2. ¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 12?

12, 13, 22, 24, 25, 100, 112, 142, 144

3. Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre 12 y 90.

Divisores Un número entero a es divisor de otro número entero b cuando al dividir b entre a, el resto es 0. *Nota: Todo número tiene siempre como divisor a 1 y a sí mismo.

Ejemplos: a) 4 es divisor de 8 porque al dividir 8 entre 4, el resto es 0. b) 10 es divisor de 50 porque al dividir 50 entre 10, el resto es 0. Si a es divisor de b, entonces también se dice que b es divisible por a. Ejemplos: a) 8 es divisible por 4 porque 4 es divisor de 8, es decir, al dividir 8 entre 4, el resto es 0. b) 50 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 50, es decir al dividir 50 entre 10, el resto es 0. *Nota: a) No confundas las expresiones ser múltiplo, ser divisor y ser divisible. Veámoslo con un ejemplo: Ejemplo:

De la igualdad: 4 · 3 = 12, podemos deducir lo siguiente: 4 y 3 son divisores de 12. 12 es múltiplo de 3 y de 4. 12 es divisible por 3 y por 4.

Ejercicios:

4. A partir de la igualdad: 7·4=28, escribe las relaciones que existen entre

estos tres números.


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5. Escribe si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:

a. 2 es múltiplo de 34. b. 33 es divisible por 3.

c. 12 es múltiplo de 3.

d. 24 es divisor de 12.

e. 5 es divisor de 25.

b. Criterios de divisibilidad Criterio de divisibilidad del 2:

Un número entero es divisible por 2 cuando su última cifra es 0 o cifra par. Ejemplos:

Los números: 310, 6, 216, 500, 988 son divisibles por 2.

Criterio de divisibilidad por 3 Un número entero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplo:

El número 321 es divisible por 3 ya que 3 + 2 + 1 = 6 que es múltiplo de 3. Criterio de divisibilidad por 5

Un número entero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. Ejemplo:

Los números 35 y 60 son divisibles por 5. Criterio de divisibilidad por 9

Un número entero es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9 Ejemplo:

El número 6021 es divisible por 9 ya que: 6 + 0 + 1 + 2 = 9 El número 9312 no es divisible por 9 ya que: 9 + 3 + 1 + 2 = 15 que no es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10 Un número entero es divisible por 10 cuando termina en 0 Ejemplo:

El número 870 es divisible por 10. Criterio de divisibilidad por 11

Un número entero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las cifras que ocupan lugar par da 0 o múltiplo de 11 Ejemplo:

El número 80496 es divisible por 11 ya que: (8 + 4 + 6) (0 + 9) = 11


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Ejercicios:

1. Para los siguientes números, indica cuáles son sus divisores:

2 3 5 9 10 11

28

1.441

256

141.900

333.324

420

55

2.013

67

900

330

32

2. Escribe 3 números mayores que 500 y menores que 1000 que sean divisibles

por 3.

3. Escribe cuatro números que sean divisibles por 10 y por 3 a la vez.

c. Obtención de todos los divisores de un número

Para hallar los divisores naturales de un número entero N, lo vamos dividiendo sucesivamente entre 1, 2, 3, 4,..., N. De esta manera, los divisores de N serán aquellos números que lo dividan exactamente, es decir den de resto 0. Ejemplo: Si queremos hallar los divisores de 18 lo tendríamos que dividir entre 1, 2, 3, 4, 5,…., Ejercicios:

1. ¿Qué único número con tres cifras iguales es divisible por 2 y por 9 a la

vez?

2. Calcula todos los divisores de los siguientes números:

a) 65

b) 33

c) 60

d) 75

e) 100


15

f) 150

g) 1000

Números primos d. Números primos y compuestos

Un número primo es aquel número natural que solo es divisible por sí mismo y por la unidad. Se llama número compuesto a aquel número natural que tiene más de dos divisores, es decir, al que no es primo. Ejemplo: - Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29 son los diez primeros números primos. - Números como: 21, 55, 60, o 8 son compuestos.

e. Descomposición factorial en números primos.

Descomponer un número natural en factores primos es expresar dicho número como un producto, donde todos sus factores son números primos. Para descomponer el número 24 podríamos hacer: 24 = 4 · 6, pero la descomposición en factores primos no sería correcta porque ni el 4 ni el 6 son números primos. Ejemplo: Vamos a realizar la descomposición en factores primos del número 90: Como 90 es múltiplo de 2, lo dividimos: 90 : 2 = 45 Como 45 no es múltiplo de 2, buscamos el menor primo posible por el que se pueda di-vidir, que es 3, lo dividimos: 45 : 3 = 15. Como 15 se puede volver a dividir entre 3, tenemos: 15 : 3 = 5 Por tanto: 90 = 2 · 32· 5

Esto se suele realizar de la siguiente forma:

Ejercicios:

1. Descompón en factores primos los siguientes números:

a) 40 b) 36 c) 75 d) 55 e) 90 f) 120 g) 180


16

h) 300 i)133 j)800 k)44 l)230 ll)56 m)78

f. Máximo Común Divisor (M.C.D.) Lo veremos con un ejemplo: Vamos a calcular los divisores de los números 12 y 36:

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18

¿Cuáles son los mayores divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12 y se dice que 12 es el máximo común divisor de 12 y de 36. Definición: Se llama máximo común divisor de varios números naturales al mayor de los divsores comunes a todos ellos y se escribe M.C.D.

En el ejemplo anterior, escribiríamos: M.C.D (12, 36) = 12

Cálculo del M.C.D. 1. Hacemos la descomposición factorial en números primos de los números 2. Tomamos los factores primos comunes a todos los números elevados el menor expo-nente. 3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D. Ejemplo: Vamos a calcular el máximo común divisor de los números: 24, 36 y 40 1. Descomponemos en factores primos cada número y nos da estos resultados:

Ejemplo :


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Factores comunes (a todos los números): 2 , y elevado al menor exponente (dentro de

un recuadro) sería: 22.

Por tanto, M.C.D (24, 36 y 40) = 22= 4

*Nota: 2 números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es la unidad. Ejercicios:

1. Calcula el M.C.D: de los números

a. 24, 12 y 36

b. 34 y 66

c. 82, 44 y 16

d. 35 y 75

e. 33 y 122

g. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el menor de los múltiplos que tienen en común, y se escribe m.c.m. Ejemplo: Vamos a calcular m.c.m (10, 15) aplicando esta definición: Múltiplos de 10 10, 20, 30, 40, 50, 60, … Múltiplos de 15 15, 30, 45, 60, 75, 90, … Como vemos, múltiplos comunes a ambos son: 30, 60, 90, … pero el menor de ellos es el 30. Por tanto:

m.c.m (10, 15) = 30

Cálculo del m.c.m. 1. Hacemos la descomposición factorial en números primos de los números 2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3. El producto de esos factores del paso anterior es el m.c.m. Ejemplo: Veamos cómo calcular el mínimo común múltiplo de 16, 24, 40 siguiendo estos pasos:


18

1. Descomponemos en factores primos los números 16 = 24

24 = 23·3

40 = 23·5

2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. En nuestro caso: 24, 3 y 5

3. Multiplicando estos factores tenemos que: 24· 3 · 5 = 240

m.c.m(16, 24, 40) = 24

Ejercicios:

1. Calcula el m.c.m. de los siguientes números:

a. 21 y 18

b. 120 y 55

c. 33, 12 y 8

d. 22, 13, 24

e. 15, 35, 50

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