DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TEORÍA DE CONJUNTOS
Prof: Haroldo Cornejo Olivarí
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CONJUNTO• Es una colección o clase de objetos bien definidos,
dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección.
• 1.- Las vocales: a, e, i, o, u.• 2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, ....• 3.- Los siete enanitos de Blancanieves.• 4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional
participantes en el actual campeonato nacional.• 5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.
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• Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto.
• la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia.
• Se escribe x A • “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A“• Habitualmente los conjuntos se designan por
una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave.
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• Los conjuntos se pueden definir por: • EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente
(es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)
• Ejemplo: A={ Pedro, Juan, Luis, Manuel}• COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características
de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”.
• Ejemplo: B = { números pares}• C = { números enteros positivos
menores de 10 }
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• CONJUNTO FINITO: Es aquel que consta de un número determinado de elementos, dicho de otra forma, si al efectuar el proceso de contar los elementos, este proceso puede terminar.
• CONJUNTO INFINITO: Cuando el conjunto tiene un número indeterminado de elementos, infinitamente grande.
• CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo .
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SUBCONJUNTO
• Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.
• A está incluido en B y se anota A B.• Expresado de otra forma: A B = { x / x A x B }• Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A
B.
• Si A no es subconjunto de B se escribe A B.
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SUBCONJUNTO PROPIO
• Se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es distinto de A, lo que a veces se denota por A B, sin la barrita inferior que representa la igualdad de conjuntos.
• A B y A B• En alguna bibliografía se acostumbra a designar un
subconjunto propio como • A B• Y un subconjunto como A B
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• CONJUNTOS IGUALES: Dos conjunto A y B son iguales ( A = B) si
• x A x B x B x A • se verifica que A B B A.
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prueba por doble inclusión.
• Para probar que dos conjuntos son iguales, será siempre necesario probar que cada uno de ellos está contenido en el otro (dos pruebas).
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COMPARABILIDAD
• Dos conjuntos A y B se dicen comparables si:• A B o B A• Esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del
otro.• En cambio dos conjuntos C y D no son comparables si • C D y D C• Nótese que si C y D no son comparables, entonces
hay un elemento de C que no está en D y hay algún elemento de D que no está en C.
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CONJUNTO DE CONJUNTOS
• Hay ocasiones en que los elementos de un conjunto son a su vez también conjuntos, por ejemplo el conjunto de todos los subconjuntos de A . Para evitar decir conjunto de conjuntos se suele decir familia de conjuntos o clase de conjuntos, y para evitar mayor confusión, se emplean letras de tipo inglés.
• A B C D
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CONJUNTO UNIVERSAL
• Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con la letra U
• Si U es el conjunto Universo de A, B, C, y D, entonces
• x A x U, • y B y U, • z C z U, • u D u U,
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• CONJUNTO POTENCIA: Conjunto potencia de S se denomina a la familia de todos los subconjuntos de S, y se denomina por 2S.
• Ejemplo: Si F = { 1, 2} entonces 2F = { {1, 2}, {1}, {2}, }
• CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común.
• Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 }
• son conjuntos disjuntos.
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• Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo.
B = { b, c, d}
B
A = { a, b, c, d, e}
B A
DIAGRAMAS DE VENN EULER:
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Operaciones con conjuntos
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UNIÓN• La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos
los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos., y se representa por
• A U B• A U B = {x / x A x B} .• Ejemplo: Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4,
5, 6}, entonces la unión A U B se representa gráficamente por el diagrama de Venn
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INTERSECCIÓN• La intersección de dos conjuntos A y B ( A B ) es el
conjunto de todos los elementos comunes a A y a B al mismo tiempo.
• A ∩ B = {x / x A x B}
• Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos • A = { 1, 2, 3, 4 } entonces la Intersección de A y B es A
B = { 3, 4 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn
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DIFERENCIA• La diferencia entre los conjuntos A y B ( A – B ) o
( A \ B ) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B
• A B = A \ B = {x / x A x B}• Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y
B = {3, 4, 5, 6} entonces la diferencia de A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn
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COMPLEMENTO• El complemento de un conjunto A es el conjunto de
todos los elementos que no pertenecen a A , pero sí pertenecen a l Universo. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A.
• Se representa por A’ = Ac y es igual a U – A• Representado en un diagrama de Venn, se tiene:
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DIFERENCIA SIMÉTRICA• Es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos.
• A B = ( A B ) U ( B A ) • = ( A U B ) ( A ∩ B)
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Diagrama operación entre 2 conjuntos
EJERCICIOS
Diagrama operación entre 3 conjuntos
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ALGUNAS RELACIONES
• A A = • A = A• A U = Ac
• A B = B A• ( A B )c = ( A U B )c U ( A ∩ B)• ( A B ) C = A ( B C )
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CARDINALIDAD DE CONJUNTOS
• Sea un conjunto A en un universo U con una cantidad determinada de elementos (finito numerable).
• Se define la Cardinalidad de A como la cantidad de elementos distintos del conjunto A. Se anotará n(A) o también #(A).
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Propiedades Axiomáticas
• n( ) = 0 ∅• A = B n(A) = n(B); • A B n(A) ≤ n(B) • A∩B = ∅ n(AUB) = n(A) + n(B)
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Propiedades Algebraicas
• n(AUB) = n(A) + n(B) − n(A∩B)• n(AC) = n(U) − n(A) • n(A − B) = n(A) − n(A∩B)
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Algebra de conjuntos• Leyes Idempotentes • Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se
verifica: • 1. A A = A ∪• 2. A ∩ A = A
• Leyes Conmutativas • Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se
verifica: • 1. A B = B A ∪ ∪• 2. A ∩ B = B ∩ A
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• Leyes Asociativas • Dados tres conjuntos A, B y C de un universal
arbitrario U, se verifica: • 1. A (B C) = (A B) C ∪ ∪ ∪ ∪• 2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C• Leyes Distributivas • Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto
universal arbitrario U, se verifica: • 1. A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) ∪ ∪ ∪• 2. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)∪ ∪
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• Leyes de Identidad • Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario U, se
verifica: • 1. A ∪ ∅ = A • 2. A U = U ∪• 3. A ∩ ∅ = ∅ • 4. A ∩ U = A
• Ley Involutiva • Dado un conjunto cualquiera A de un universal U, se verifica: • (A c) c = A
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• Leyes del Complemento • Dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U,
se verifica: • 1. A A∪ c = U • 2. Uc = ∅• 3. A ∩ Ac = ∅• 4. ∅c = U • Leyes de De Morgan • Dados dos conjuntos A y B en un universal U, se verifica: • 1. (A B)∪ c = Ac ∩ Bc • 2. (A ∩ B)c = Ac B∪ c
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Otras relaciones entre Conjuntos
• A – A = • A ( B C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A C)• A ( B ∩ C ) = ( A B) ( A ∪ C)• A A• ( A B ) ( B C ) A C • ( A B ) ( B A ) A = A • ( A B ) A B = B ∪ A ∩ B = A• ( A B ) A B =
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Comparación
Entre el álgebra de proposiciones y
el Álgebra de Conjuntos
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Álgebra de Proposiciones. Álgebra de Conjuntos.
Leyes de idempotencia.
Leyes asociativas.
Leyes conmutativas.
ppp ppp
AAA
AAA
rqprqp
rqprqp
CBACBA
CBACBA
pqqp pqqp
ABBA
ABBA
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Álgebra de Proposiciones. Álgebra de Conjuntos.
Leyes distributivas.
Leyes de identidad. p F pp V Vp V pp F F
Leyes de complemento.
p Vp F F V
rpqprqp
rpqprqp
CABACBA
CABACBA
AA UUA
AUA
A
pp
pp
V
F
UAA '
'AA
AA ''
'U
U '
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Álgebra de Proposiciones. Álgebra de Conjuntos.
Leyes de DeMorgan.
Ley de Absorción p (p q) pp (p q) p
A U ( A B ) = AA ( A U B ) = A
qpqp
qpqp ''' BABA
''' BABA
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Encuestas
•Diagrama de Venn para una encuesta con 2 opciones
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Problema de EncuestasEn una academia se realiza una encuesta a 120
jovencitas y se obtienen los siguientes datos: •80 quieren ser actrices; •70 quieren ser cantantes, y •50 quieren ser actrices y cantantes.
Determine cuántas de ellas:
•no quieren ser cantantes•no quieren ser actrices•cantantes, pero no actrices•actrices, pero no cantantes•ni actrices ni cantantes
A C
C ’
A ∩ C
A ’ C - A A - C
( A U C ) ‘
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Desarrollo
50
A C
30 20
20
no quieren ser cantantesno quieren ser actricescantantes, pero no actricesactrices, pero no cantantesni actrices ni cantantes
C ’ =
A ’ = C - A = A - C =
( A U C ) ‘=
50 40
20 30 20
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Encuestas
•Diagrama de Venn para una encuesta con 3 opciones
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Demostrar que el conjunto es vacío
(A U B)c ∩ (C U B c) c
( A c ∩ B c ) ∩ ( C c ∩ ( B c) c )
( A c ∩ B c ) ∩ ( C c ∩ B )
A c ∩ B c ∩ C c ∩ B
A c ∩ C c ∩ B ∩ B c
A c ∩ C c ∩ ( B ∩ B c )
( A c ∩ C c ) ∩
Complemento
Ley de DeMorgan
Asociatividad
Conmutatividad
Asociatividad
Complemento
Identidad
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Demostrar que el conjunto es vacío
A [B c U (C A c) c] c
A ∩ {(B c ) c ∩ [(C ∩ A c) c] c}
A ∩ { B ∩ (C ∩ A c) }
A ∩ B ∩ C ∩ A c
B ∩ C ∩ A c ∩ A
( B ∩ C ) ∩ ( A c ∩ A )
( B ∩ C ) ∩
Complemento
Ley de DeMorgan
Asociatividad
Conmutatividad
Asociatividad
Complemento
Identidad
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Demostrar que:
( A C ) U ( B C) = A U B C
( A ∩ C c ) U (B ∩ C c ) =
( A U B ) ∩ C c =
( A U B ) C A U B C
Definición
Distribución
Definición
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TEORÍA DE CONJUNTOS
Prof: Haroldo Cornejo Olivarí