Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

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EconometríaEconometríaEconometríaEconometría

Capitulo 5

Modelos Pronósticos

Ingenuos y Adaptivos

Héctor Allende O. 2

Métodos IngenuosMétodos Ingenuos

Definición y NotaciónUna serie cronólogica o serie de tiempo es una colección de observaciones de un cierto fenómeno hechas secuencialmente en el tiempo (altura; espacio; etc).

Denotaremos una serie de tiempo mediante por la siguientesecuencia: x(t1) , x(t2) , ... , x(tn)

donde x(ti) es el valor tomado por el proceso estocástico en el instante ti .

Habitualmente supondremos que la serie es equiespaciada,

es decir, que existe tal que

IRh

httverificaseNii ii 1 ) : (


Entonces S.p.d.g. podemos considerar la serie

la cual también se puede denotar

Ejemplos de S.T. 1. Series Físicas

Meteorología: agua caída, temperatura máxima, velocidad del viento.

Geofísica: series sismológica, series de temp.volcánica

Medicina: electrocardiogramas, electroencefalogramas.

Química: viscosidad de un proceso, temperatura de un proceso

Telecomunicaciones: series de señales.

Astronomía: brillo de una estrella, actividad solar.

)(....,, )2( ),1( nxxx

nn xxxx .....,, , ,121



2. Series Económicas Precios de acciones, precio del cobre en Londres, índice de

cesantía, IPC; ADR; PIB;

3. Series de Marketing Series de ventas, gastos, utilidades, demanda, oferta.

4. Series Demográficas Tasa de natalidad, tasa de mortalidad, censos poblacionales.

5. Series de Energia Demanda de energia; Actividad de Energia Solar; etc.



Objetivos del Estudio de Series Cronológicas

1. Modelación: Encontrar un modelo estadístico que explique el

comportamiento de la serie (y que explique en lo posible el

fenómeno que originó la serie).

2. Predicción: Predicción de valores futuros de la serie dando, en

lo posible, límites de confianza.

MetodologíaEtapa 1: análisis exploratorio de datos Se grafica la serie: t en la abscisa, x(t) en la ordenada.

Esto debe hacerse siempre, independiente del nivel de

simplecidad de los datos o de los modelos que se emplean

posteriormente.



a) Permite detectar posibles “outliers”

Los outliers son observaciones que se alejan fuertemente del modelo estocástico subyacente ; ya sea por errores de medición o porque en el fenómeno en estudio presentó un comportamiento absolutamente inusual.



Observaciones: 1) Si se sospecha que una observación es un outlier, se debe

reunir información adicional desde fuera del observador, sobre posibles factores que afectaron el proceso. De verificarse que se trata de una observación aberrante y mostrar la serie un comportamiento similar antes y después del outlier conviene pre-procesar la seríe usando por ejemplo un filtro de medias, obteniendosé un nueva seríe.

2) En caso contrario ( huelgas; actos de terrorismo; terremotos etc) es necesario usar métodos o tecnicas especiales tales como el análisis de intervenciones.

1) Otra alternativa es utilizar procedimientos robustos en el modelado de la serie cronológica.



b) Permite determinar tendencias



c) Permite determinar variaciones cíclicas o estacionales.



Modelos Ingenuos

Antes de recurrir a los métodos más sofisticados uno debe preguntarse si el problema en cuestión realmente lo justifica o bien si bastaria con usar técnicas baratas.

Esto dependerá esencialmente de la importancia de las decisiones que se tomarán en base al modelo y sus predicciones ( Corto largo; o mediano plazo).

Modelos a) x(t) = T(t)+E(t)+A(t) aditivo

b) x(t) = T(t) E(t) A(t)multiplicativo

c) x(t) = T(t) E(t) + A(t) mixto



T: Tendencia de la serie Representa la dirección predominante de la serie,

es decir su comportamiento promedio.

E: Variación estacional Se caracteriza por períodos o ciclos de la serie.

A: variaciones accidentales. Se caracteriza cambios irregulares ya sean de

tendencia variancia o ciclos de la serie). Modelos

x(t) = T(t)*E(t)*A(t)

lnx(t) = lnT(t)+lnE(t)+lnA(t)



Estimación de la Tendenciaa) Regresión Mediante inspección gráfica se decide cual curva ajustar.

i) T(t) = a + bt (recta)ii) T(t) = a ebt (exponencial)iii) T(t) = a + bt + ct2 (parábola)

etc.b) Medias MóvilesLa idea es remover el efecto estacional antes de

estimar la tendencia.

(anual)

La estimación de T(t) se anotará

12

)6(21

)5()4()5()6(21

)(

txtxtxtxtx

tZ

)(ˆ tT



Estimación de la Variación EstacionalSi se utilizo regresión a x(t) para estimar tendencia se calcula la serie residual W(t)

W(t) Es una serie en que sólo deberían manifestarse los efectos

estacionales y accidentales. Si se aplicó medias móviles se tendrá que, además de la serie

W(t) se puede estimar mediante

también será una serie en que sólo se encontrará

presente efectos estacionales y accidentales.

Aditivo) Caso ( )(ˆ)()(ˆ tTtxtW

Mixto) Caso ( )(ˆ)(

)(ˆ tT

txtW

Mixto) ( )(

)((t)W

~ ; Aditivo) ( )()()(

~

tz

txtztxtW

:)(~tW



En cualquiera de estos casos denotaremos mediante w(t) la serie residual en que se han removido los efectos de la

tendencia.

Caso aditivo Caso mixto



Para estimar E(t) comenzaremos podemos considerar

e(h) = promedio de los valores de w en el mes h.

Como es razonable esperamos que el promedio de las

estimaciones sea 0 en el caso aditivo y 1 en el mixto, estimamos E(h) mediante

Para elegir entre ambos modelos se suele utilizar el gráfico de la serie residual.

En caso de series de Índices se sugiere usar modelos mixtos.

mensual serie suponiendo )(12

1 12

1

h

hee

mixto Caso ; )1()()(ˆ

Aditivo Caso ; )()(ˆ

ehehE

ehehE



Formulacion General del Problema de Predicción La predicción correspondiente, que dependerá del

modelo elegido y, en general, de n y k, se anotará

k es el horizonte de predicción o número de pasos adelante que se está prediciendo y n el origen de la predicción.

Una vez conocido x(n+k) podemos calcular el error de predicción correspondiente:

Mixto Caso )(ˆ)(ˆ)(ˆ

Aditivo Caso )(ˆ)(ˆ)(ˆ

knEknTkx

knEknTkx

n

n

)(ˆ)()( kxknxke nn



Ejemplo NuméricoIndíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País

Se toma t = 1 : 1er Trimestre 1977. Se grafica la serie:


1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 120 130 140 150 1802do Trimestre 90 110 120 140 1803er Trimestre 90 110 110 140 1704to Trimestre 100 130 150 170 190


Se suaviza la serie obteniéndose

Se grafica la serie suavizada:


1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 110 125 141,25 171,252do Trimestre 116,25 127,5 147,5 177,53er Trimestre 101,25 121,25 131,25 153,754to Trimestre 105 123,75 135 162,5


Se efectúa una regresión lineal con esta serie:

(r2 = 0.96)

Como se trata de un índice usamos el modelo mixto.

Calculamos la serie residual usando

de donde


ttT 71.465.84)(ˆ

)()(

)(tztx

tw

1977 1978 1979 1980 19811er Trimestre 1,18 1,12 1,06 1,052do Trimestre 0,95 0,94 0,95 1,013er Trimestre 0,89 0,91 0,84 0,914to Trimestre 0,95 1,05 1,11 1,05

04.1)4(ˆ;89.0)3(ˆ;96.0)2(ˆ;11.1)1(ˆ EEEE


Las predicciones para 1982 serán :

1er Trimestre :

2do Trimestre :

3er Trimestre :

4to Trimestre :


75.203)1(ˆ)21(ˆ)1(ˆ20 ETx

74.180)2(ˆ)22(ˆ)2(ˆ20 ETx

75.171)3(ˆ)23(ˆ)3(ˆ20 ETx

60.205)4(ˆ)24(ˆ)4(ˆ20 ETx


Introducción

Una de las críticas que se les hace a los métodos ingenuos es que no se adaptan a lo largo del tiempo en forma natural : tanto la tendencia como la estacionalidad, se estiman una sóla vez y las estimaciones deben ser actualizadas si se obtienen nuevas observaciones.

Una familia de modelos que aparece hacia fines de la década de los años 60, intenta solucionar este problema. Se les conoce técnicas de suavizamiento exponencial, y se constituyó en un avance en el modelado de series cronológicas.

Una de las principales características de estas técnicas es que son “baratas”. Debido a esto, aún siguen siendo utilizadas en ciertas actividades de pronóstico donde es necesario efectuar predicciones rutinarias (en el corto plazo) de ventas, control de inventario o planificación de la producción. Aplicar técnicas más sofisticadas en este caso no se justifica.

Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento ExponencialExponencial


Suavizamiento Exponencial Simple

En este caso se supone que la serie está compuesta por un nivel (constante) y una componente residual (impredecible)Es decir, la serie se supone localmente constante la mejor predicción de X(n+h) será la estimación que tengamos del nivel en el instante h.Luego parece razonable estimar el nivel como promedio ponderado de las observaciones dando un peso mayor a las últimas observaciones.

Modelos de Suavizamiento Modelos de Suavizamiento Exponencial Exponencial

ntosuavizamie de constante :

10 )1()1()( )(

nxnxnx


Observaciones:

1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos.

2) Como elegir la constante de suavizamiento volveremos más adelante.

3) Predicciones:

4) A partir de la ecuación 3) vemos que al obtener nuevos datos de la serie las predicciones se actualizan mediante:

5) Se puede comprobar que es el valor real z que minimiza la función


)(),(ˆ nxhnx

)(ˆ)()(),(ˆ 11 knxknxhknx

)1,(ˆ nx

0

2 )1(])([)(j

jzjnxzf


Método de Holt - Winters

La versión anterior es la más simple de los llamados modelos de suavizamiento exponencial. Se han desarrollado una serie de variantes, las cuales consideran la serie constituida localmente a partir de un nivel de tendencia y (eventualmente) por un factor de estacionalidad, además de un residuo impredecible aditivo.Posiblemente la extensión más natural del suavizamiento exponencial simple sean los modelos de Brown – AEG, los el modelos de Holt y Winters entre otros que veremos a continuación.



Caso no estacional

Supogamos que la serie se comporta localmente como la suma de un nivel y una tendencia lineal, más de un residuo impredecible.

Anotando y como las estimaciones del nivel y de la pendiente de la recta (de la tendencia lineal) en el instante t, una propuesta razonable es tomar.


10 )1( )1()1()( )(

10 )1()1( )1()()(

CtmCtxtxCtm

AtmtxAtxAtx

)(tx )(tm


Observaciones: (Caso no estacional)

1) Las fórmulas de actualización anteriores modifican las estimaciones al considerar nuevos datos.

2) Las estimaciones del nivel y de la pendiente en el instante “t”

se estiman como un promedio ponderado de la estimación

anterior y la estimación sugerida apartir del nuevo dato.

3) Para iniciar el algoritmo recursivo se propone tomar.

4) Predicciones: Siendo consecuentes con el modelo se propone


)1()2()2(

)2()2(

xxm

xx

hnmnxhnx )()(),(ˆ


Modelo de Holt - Winters (Multiplicativo)

A las suposiciones del modelo anterior le agregamos un factor estacional de período s, multiplicativo (respecto de la tendencia) se interpreta como un nivel desestacionalizado.Anotando a la estimacióm de la componente estacional en el instante t parece razonable tomar:


10 )(ˆ )1()(

)( )(ˆ

10 )1( )1()1()( )(

10 )1()1( )1()(ˆ

)( )(

DstEDtx

txDtE

CtmCtxtxCtm

AtmtxAstE

txAtx

)(tx

)(ˆ tE


Modelo de Holt – Winters (Aditivo)

El metodo anterior se adapta trivialmente al caso en que la estacionalidad es aditiva con respecto de la tendencia, en lugar de

ser multiplicativa

Modelos de Modelos de Suavizamiento Suavizamiento

ExponencialExponencial

10 )(ˆ )1()]()([ )(ˆ

10 )1( )1()1()( )(

10 )]1()1()[1()](ˆ)([ )(

DstEDtxtxDtE

CtmCtxtxCtm

AtmtxAstEtxAtx


Observaciones: (Caso Estacional)1) Las formulas modifican las estimaciones

considerando nuevos datos.

La estimación del nivel (t-1): junto a la estimación de la pendiente sugerirán un nivel en el instante t. Esta estimación se ve modificada al considerar la nueva observación.

La estimación en el instante (t-1) de la pendiente . Una nueva estimación de la pendiente sería en el anterior y la estimación sugerida por el valor tomado por la serie en t.

La estimación en el instante (t-s) de la estacionalidad es Dado una nueva estimación de la estacionalidad sería . La estacionalidad en t se estima como promedio ponderado de estimación anterior y la sugerida por el valor tomado por la serie en el instante t.


)1( tx)1()1( tmtx

)(ˆ stE

)1( tm

)1( tm)1()( txtx

)1( tx)(/)( txtx


2) Inicialización: Una manera de resolver el problema de inicialización en el modelo de H-W multiplicativo es

tomando

Para el caso aditivo la estimación de la componte estacional se modifica por


0)(con y )(1

)(

,2,1 )(

)()(ˆ

1

1

smkxs

sx

sjkx

jxjE

s

k

s

k

s

k

kxjxjE1

)()()(ˆ


3) Predicciones: Siendo consecuentes con las suposiciones hechas para el modelo multiplicativo se toma

Análogamente para el modelo aditivo se toma


ssshshnEhnmnxhnx

shshnEhnmnxhnx

2,,2,1,)2(ˆ])()([),(ˆ

,,2,1,)(ˆ])()([),(ˆ

ssshshnEhnmnxhnx

shshnEhnmnxhnx

2,,2,1,)2(ˆ)()(),(ˆ

,,2,1,)(ˆ)()(),(ˆ


Determinación de las constantes de suavizamiento Una alternativa es elegir de acuerdo a las

características particulares que se atribuye a las componentes

de la serie.

Si , las predicciones dan más importancia a observaciones pasadas que a las presentes.

Inversamente, si , las prediccionesdan menor importancia al pasado y más importancia al presente de la serie.

En el caso de suavizamiento exponencial simple:Si la serie varía lentamente (valor típico

0.3)En cambio si la serie varía bruscamente

(valor típico 0.7)


0,,, DCA

DCA ,,,

1,,, DCA

01


Otro método más objetivo es elegir que mejor habrían predicho los valores conocidos de la serie.

donde k se elige lo suficientemente grande como para que el efecto de inicialización del proceso sea despreciable.

Al estimar numéricamente se pierde la simplicidad de los métodos de suavizamiento exponencial.

Como esta es su carácteristica más importante, si se está dispuesto ha resolver el problema de minimización correspondiente entonces más vale usar métodos más sofisticados como por ejemplo: Box y Jenkins o ANN


DCA y ,

2

11,0,,)1,1(ˆ)(

3

n

ktDCAtxtxMin

DCA y ,


Ejemplo No1.

Indíces Trimestrales de Precios al Por Mayor de un País

Usando el método de Holtz y Winter prediga los valores de los índices trimestrales para 2002.

Considere A=0,30 B=0,50 y D=0,30


1997 1998 1999 2000 20011er Trimestre 120 130 140 150 1802do Trimestre 90 110 120 140 1803er Trimestre 90 110 110 140 1704to Trimestre 100 130 150 170 190


Debido a que es una serie de índices el modelo a ocupar debe ser el modelo multiplicativo.

Inicialización del método


0)4( m

0,1)4(ˆ9,0)3(ˆ)2(ˆ2,1)1(ˆ100

)()(ˆ EEEE

jxjE

4

1

)(41

)4(k

kxx


Formulas de actualización (1/3)


22,12,17,05,102

13030,0)1(ˆ7,0

)()5(

3,0)5(ˆ

25,105,0]1005,102[5,0)4(5,0)]4()5([5,0)5(

5,102]0100[7,02,1

1303,0)]4()4([7,0

)1(ˆ)5(

3,0)5(

Ekx

xE

mxxm

mxE

xx

932,09,07,029,109

11030,0)6(ˆ

02,425,15,0]5,10229,109[5,0)6(

29,109]25,15,102[7,09,0

1103,0)6(

E

m

x

915,09,07,098,115

11030,0)7(ˆ

36,502,45,0]29,10898,115[5,0)7(

98,115]02,429,109[7,09,0

1103,0)7(

E

m

x




19,122,17,085,125

14030,0)9(ˆ

28,466,65,0]94,12385,125[5,0)9(

85,125]66,694,123[7,022,1

1403,0)9(

E

m

x

932,0932,07,072,129

12030,0)10(ˆ

36,07,428,45,0]85,12572,129[5,0)10(

72,129]28,485,125[7,0932,0

1203,0)10(

E

m

x

015,10,17,094,123

13030,0)8(ˆ

66,636,55,0]98,11594,123[5,0)8(

94,123]36,598,115[7,00,1

1303,0)8(

E

m

x




03,1)20(ˆ;24,8)20(;07,192)20(

89,0)19(ˆ;62,10)19(;22,186)19(

97,0)18(ˆ;94,8)18(;92,173)18(

14,1)17(ˆ;44,5)17(;47,161)17(

05,1)16(ˆ;79,6)16(;38,157)16(

876,0)15(ˆ;96,5)15(;28,149)15(

946,0)14(ˆ;96,3)14(;26,142)14(

16,1)13(ˆ;19,2)13(;52,136)13(

04,1)12(ˆ;44,4)12(;57.136)12(

895,0)11(ˆ;04,2)11(;72,129)11(

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx

Emx


PrediccionesLas predicciones para 2002 son las siguientes:


35,22814,1)24,807,192()17(ˆ]1)20()20([)1,20(ˆ Emxx

29,20297,0)224,807,192()18(ˆ]2)20()20([)2,20(ˆ Emxx

94,19289,0)324,807,192()19(ˆ]3)20()20([)3,20(ˆ Emxx

78,23103,1)424,807,192()20(ˆ]4)20()20([)4,20(ˆ Emxx

Predicciones Método Ingenuo Método de Holtz-Winter203,75 228,35180,74 202,29171,75 192,94205,6 231,78

)1,20(x̂)2,20(x̂)3,20(x̂)4,20(x̂


Es posible mejorar los valores iniciales tomando:

donde : promedio del 1er año : promedio del 2do año


4

1

)(41

)1(k

kxx

][41

)1( 12 yym

21

)4()(21

)(ˆyjx

yjx

jE 4,3,2,1j

1y

2y

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