a) Demostrar que el rea del paralelogramo generada por los vectores u y v es igual al rea del paralelogramo generada por los vectores Au y Av, sea A una matriz 2x2.

||u|| ||v|| det(A) sen() = ||Au|| ||Av|| sen()

Donde la altura de la primera parte de la igualdad es igual a la magnitud de v por sen(), multiplicado por la base que es la magnitud de v.En la segunda parte de la igualdad, la magnitud de Av por el sen() es la base y la altura sera la magnitud de Au.

Por una propiedad, se sabe que

Det(A) = ||u|| ||v|| sen()

Donde el determinante de la matriz A es igual al rea del paralelogramo generado por los vectores u y v.

Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

La lnea verde es la proyeccin de u sobre la recta celeste (a la que vamos a llamar L) . Este proyeccin es:

Entonces, por Teorema de Pitgoras, la altura (que en este caso la vamos a dejar al cuadrado para facilitar los clculos) sera:

A su vez esto es igual a

Entonces, si

Si distribuimos el producto, tenemos:

Si los componentes del vector estaban en una matriz cuadrada de 2x2 en forma de columnas, entonces

A =

Cancelando los trminos opuestos, nos queda:

La expresin que queda se refiere al determinante de la matriz A elevado al cuadrado. Entonces, el rea sola de un paralelogramo generado por los vectores u y v estara dada por el determinante de la matriz que contiene a dichos vectores.

Lo que podra inferir de la primera expresin es que si el determinante de la matriz A representa un rea, esta misma rea se est multiplicando por otra dada por las magnitudes de los vectores u y v y el seno del ngulo, osea que estaramios hablando de la multiplicacin de dos reas.

Para la segunda igualdad, no pudimos demostrar mucho. Sea A= y el vector u= y el vector v=

Entonces Au= lo que dara un vector con componentes en i de y con componentes en j de .

La magnitud de Au sera y la magnitud de Av lo cual lo multiplicamos pero no logramos establecer una relacin del producto con el determinante de la matriz o el rea.