Angulos y Cortocircuitos

en espacios de Hilbert

Demetrio Stojanoff

November 4, 2017

Indice

1 Angulos entre subespacios. 31.1 Preliminares y Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Seudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Modulo mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Complementos de Schur de operadores positivos 182.1 Factorizacion e inclusiones de rangos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Operadores definidos positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Shorted de un operador (cortocircuitos)1g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Rango y Nucleo de los operadores shorted. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Otras caracterizaciones del Shorted. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 La ecuacion X = A−B∗X−1B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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Introduccion

El curso trata sobre tecnicas y problemas elementales pero poco frecuentados en el contextode operadores en espacios de Hilbert. En la primera parte se da una version organizada dela teorıa de angulos entre subespacios cerrados en un Hilbert, relacionandola con distanciasentre conjuntos y normas de productos de proyectores.

Las definiciones que daremos estan bastante estandarizadas, aunque hay numerosas varia-ciones menores en la literatura, y una infinidad de notaciones diferentes. Las propiedadesde estos angulos son muy utiles en dimension finita (entre otras razones por su relacion connormas, valores singulares, maximos y mınimos de matrices), pero son aun mas relevantes enel caso infinitodimensional, donde puede pasar que dos subespacios cerrados de un Hilbert Hcumplan que N ∩M = {0} pero el angulo entre ellos sea nulo. Veremos que eso significaraque N +M no es cerrado en H.

El uso de angulos y sus propiedades, una vez sistematizadas, simplifica drasticamente muchasdemostraciones en diversos campos de la Teorıa de operadores. Y al simplificar, permitetambien conseguir resultados nuevos. Pero es importante dar una version sistematizada,porque es usual cometer errores elementales con los angulos si uno no va con cuidado, y esoreducirıa las ventajas antedichas de la teorıa.

En la primera parte se exponen tambien dos conceptos muy relacionados con los angulos: lasseudoinversas y el modulo mınimo de operadores. Con esas tres cartas en la mano, veremosdiversas aplicaciones elementales a operadores.

La segunda parte tiene como principal objetivo entender las representaciones en matricesde bloques de los operadores positivos, particularmente que relaciones hay entre sus bloquescoordenados: desigualdades de normas, inclusiones de rangos y cosas de ese tipo.

Se comienza con un clasico resultado de Ron Douglas que caracteriza inclusiones de rangosde operadores (este teorema solo ya justifica el curso, porque es sorprendentemente util).Con esto y las herramientas de la primera parte se puede generalizar sin dificultades casitodos los resultados de matrices (positivas de bloques) al caso de espacios de Hilbert in-finitodimensionales. Se desarrolla en particular el concepto de complemento de Schur, o“cortocircuito” (shorted), otro caso de una teorıa elemental, con importantes aplicaciones,pero poco frecuantada en libros y cursos.

El contenido de este curso es una reformulacion de los dos primeros capıtulos del libro AnalisisFuncional vs, Matricial [6], en el que se estudian aspectos muy “matriciales” de la teorıa deoperadores.

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Capıtulo 1

Angulos entre subespacios.

1.1 Preliminares y Notaciones

En lo que sigue trabajaremos en espacios de Hilbert de dimension infinita. Para recordarconceptos, repasaremos a continuacion algunas propiedades y notaciones del tema, extraıdasde los primeros capıtulos del libro [6] en que se basa este apunte:

� Usaremos las letras H, K, H1 , H2 , etc, para denotar espacios de Hilbert (EH’s), queasumiremos son espacios vectoriales sobre C.

� Llamaremos L(H1 , H2) al espacio de operadores lineales acotados de H1 en H2 .

� Si H1 = H2 = H, escribiremos L(H) = L(H,H), que es una C-algebra.

� Dado C ∈ L(H1 , H2), notaremos R(C) a su rango, y kerC o N(C) a su nucleo.

� Si A ∈ L(H1 , H2), su norma (de operadores) es

‖A‖ = sup{‖Aξ‖ : ξ ∈ H1 , ‖ξ‖ = 1

}= min

{C ≥ 0 : ‖Aξ‖ ≤ C‖ξ‖ , ξ ∈ H1

}.

Con esta norma, L(H1 , H2) es un espacio de Banach (y L(H) un algebra de Banach).

� Gl (H) denota al grupo (abierto) de operadores inversibles de L(H).

� Si A ∈ L(H), su espectro es

σ(A) ={λ ∈ C : λI − A /∈ Gl (H)

},

que es compacto y no vacıo.

� Si A ∈ L(H), su radio espectral y radio numerico son

ρ(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)

}= lim

n→∞‖An‖1/n y w(A) = sup

‖ξ‖=1

| 〈Aξ, ξ〉 | .

Se tiene que ρ(A) ≤ w(A) ≤ ‖A‖ y las recıprocas no valen en general.

3

� Si A ∈ L(H1 , H2), su adjunto A∗ ∈ L(H2 ,H1) es el unico operador que cumple que

〈Aξ, η〉H2 = 〈ξ, A∗η〉H1 para todo ξ ∈ H1 , η ∈ H2 .

� A(H) ={A ∈ L(H) : A∗ = A

}es el subespacio real de operadores autoadjuntos.

� U(H) ={U ∈ Gl (H) : U−1 = U∗

}, el grupo unitario de H.

� L(H)+ ={A ∈ L(H) : 〈Aξ, ξ〉 ≥ 0 para todo ξ ∈ H

}⊆ A(H), el cono de los

operadores semidefinidos positivos.

� Notaremos Gl(H)+ = Gl (H) ∩ L(H)+, los operadores positivos inversibles.

� Usaremos la notacion S v H para denotar que S es un subespacio cerrado de H.

� Dado X ⊆ H, notaremos span {X} al subespacio generado por X.

� span {X} v H denotara a la clausura (en norma) de span {X}.

� Dados S, T v H, se escribe S + T = span {S ∪ T }. Noteremos S + T = S ⊕ T si lasuma es cerrada y S ∩ T = {0}. Si ademas S ⊆ T ⊥, escribiremos S ⊕ T = S ⊥ T .

� En cambio, dada una familia {Si}i∈I de subespacios cerrados de H, llamaremos

∨i∈I

Si = span

{⋃i∈I

Si

}.

Por otra parte, se usaran sin mayores explicaciones algunas propiedades usuales de los op-eradores en un espacio de Hilbert H, como por ejemplo:

• Todas las propiedades de los operadores compactos ([6, Cap. 7]).

• Los teoremas de la imagen abierta (TIA), del grafico cerrado (TGC), y de acotacionuniforme (PAU).

• Si M , N v H y M⊕N = H, la proyeccion PM/N de H sobre M dada por

PM/N (x+ y) = x , para x ∈M e y ∈ N (1.1)

es acotada (sale por el TGC).

• Existencia de raices cuadradas de operadores en L(H)+.

• La descomposicion polar (DP) A = U |A| para cualquier A ∈ L(H), donde |A| =(A∗A)1/2 y U : kerA⊥ → R(A) es una isometrıa parcial. Tambien la DP a derecha:A = |A∗|U , con el mismo U de antes.

• Si A ∈ L(H), entonces R(A∗)⊥ = kerA y kerA∗A = kerA.

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• Si A ∈ L(H)+, entonces R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(A).

• Las propiedades de proyectores oblıcuos P(H) y ortogonales P(H). Por elemplo que,si Q ∈ P(H) se tiene que Q ∈ L(H) y Q2 = Q,

1. R(Q) v H y ademas R(Q)⊕ kerQ = H.

2. Q ∈ P(H) ⇐⇒ Q ∈ A(H) ⇐⇒ Q ≥ 0 ⇐⇒ ‖Q‖ = 1 ⇐⇒ R(Q) = N(Q)⊥.

3. Si S v H existe un unico proyector ortogonal PS ∈ P(H) tal que R(PS) = S.

4. Si S, T v H cumplen S ⊕ T = H (suma no necesariamente ortogonal), entoncesel proyector PS/T dado por PS/T (s+ t) = s (si s ∈ S y t ∈ T ) es acotado.

• Propiedades basicas de la convergencia fuerte de operadores (SOT):

AnS.O.T.−−−→n→∞

A si Anx‖ · ‖−−−→n→∞

Ax para todo x ∈ H . (1.2)

En particular, que si la sucesion (An) esta en A(H) , es decreciente (resp. creciente) y

acotada, entonces existe A ∈ A(H) tal que AnS.O.T.−−−→n→∞

A. En este caso, al lımite se lo

llama A = infnAn (resp. A = supnAn).

• Propiedades basicas de la convergencia debil de operadores (WOT):

AnW.O.T.−−−→n→∞

A si 〈Anx, y〉 −−−→n→∞

〈Ax, y〉 para todo par x, y ∈ H .

En particular, que las topologıas WOT y w∗ (de L(H) pensado como el dual de L1(H),los operadores traza) coinciden en la bola cerrada BL(H) . Luego, por el Teorema deAlaoglu, sabemos que L(H)1 es WOT compacta.

• Tambien se usara que, si H es separable, entonces la topologıa WOT de L(H) esmetrizable, por lo que sera suficiente operar con sucesiones (en lugar de redes).

No se usara (salvo ocacionalmente, y con aclaraciones) el calculo funcional boreliano y elteorema espectral para operadores normales o autoajduntos. Sı usaremos el calculo funcionalcontinuo (CFC) para esos operadores, pensado como lımite de polinomios en z y z (o en lavariable real x, en el caso autoadjunto) evaluados en el operador. Esto se usara, en particular,para definir A1/2 o mas generalmente At, si A ∈ L(H)+ y 0 < t ∈ R.

1.2 Angulos

Es natural definir el angulo entre dos subespaciosN yMv H como el mınimo de los angulosentre pares de rectas, una en N y la otra enM. Sin embargo este metodo tiene problemas siN ∩M 6= {0}, porque no estarıa bien que en ese caso el angulo sea nulo. Para ello convienesacar a cada subespacio la interseccion, y quedarse con sus complementos ortogonales

MN =M∩ (M∩N )⊥ y N M = N ∩ (M∩N )⊥ .

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Sugerimos dibujar dos planos en R3 y convencerse de que esta tecnica (que deja tan soloun par de rectas para elegir) da lo que uno intuitivamente definirıa como angulo entre esosplanos.Las siguientes definiciones estan bastante estandarizadas, aunque hay numerosas variacionesmenores en la literatura, y una infinidad de notaciones diferentes. Las propiedades de estosangulos son muy utiles en dimension finita (entre otras razones por su relacion con normas,valores singulares, maximos y mınimos de matrices), pero es aun mas relevante en el casoinfinitodimensional, donde puede pasar que N ∩M = {0} pero el angulo entre ellos seanulo. Veremos que eso significara que N +M 6v H.

Definicion 1.2.1 (Friedrichs). Sean M,N v H.

1. Llamaremos M1 = {ξ ∈M : ‖ξ‖ = 1}, la cascara de la bola BM .

2. El angulo entre M y N es el numero θ ∈[

0,π

2

]cuyo coseno esta dado por

c [M , N ] = sup{| 〈x, y〉 | : x ∈ (MN )1 , y ∈ (N M)1

}.

Si M⊆ N o N ⊆M, ponemos c [M , N ] = 0, como si fueran ortogonales.

3. El seno del angulo entre N y M es s [M , N ] = (1− c [M , N ])1/2. 4

Observacion 1.2.2. Es importante aclarar que, si bien es cierto que el angulo entre M yN es cero si y solo si c [M , N ] = 1, en este approach se esta excluyendo de esa situacionel caso en que M = N , o mas generalemte que uno este contenido en el otro.

O sea que el decir que el angulo es nulo solo significara que se pueden ir encontrando paresde vectores cada vez mas alineados, uno en cada subespacio. Pero se excluye el tradicionalsignificado de tener angulo cero (que es estar alineados exactamente).

Sin ir mas lejos, veremos en seguida que basta que uno de los subespacios tenga dimensionfinita para que el angulo NO PUEDA ser nulo. 4

Proposicion 1.2.3. Sean M,N v H. Entonces

1. 0 ≤ c [M , N ] ≤ 1.

2. c [M , N ] = c [N ,M ].

3. c [M , N ] = c [MN , N ] = c [M , N M ] = c [MN , N M ].

4. c [M , N ] = ‖PMPN − PM∩N‖ = ‖PMPNM‖ = ‖PMPNP(M∩N )⊥‖. En particular,

si M∩N = {0} , se tiene que c [M , N ] = ‖PMPN‖ . (1.3)

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Demostracion. Los dos primeros enunciados se deducen facilmente de las definiciones. Elcoseno c [MN , N ] se calcula con vectores

x ∈ (MN )N =MN e y ∈ N (MN ) = N .

Observar que, si y = y1 + y2 ∈ N con y1 ∈ N M e y2 ∈M∩N , entonces 〈x, y〉 = 〈x, y1〉.Mirado con atencion, esto prueba 3. Para probar 4, asumamos en principio queM∩N = {0}.Observar que ‖PMPN‖ se realiza con vectores x ∈ N1 . Para un tal x, si PM x 6= 0, entonces

‖PMPN x‖ = ‖PM x‖ =

⟨PM x

‖PM x‖, x

⟩≤ c [M , N ] .

Esto prueba la desigualdad c [M , N ] ≥ ‖PMPN‖. Ahora bien, dados y ∈ M1 y x ∈ N1 ,se tiene (por Cauchy-Schwarz) que

|〈y, x〉| = |〈y, PM x〉| ≤ ‖y‖ 〈PM x, PM x〉1/2 = ‖PMPN x‖ ≤ ‖PMPN‖ ,

lo que prueba la desigualdad recıproca. Veamos ahora el caso en queM∩N 6= {0}. Usando3 y el caso anterior, sabemos que c [M , N ] = c [M , N M ] = ‖PMPNM‖. Las otrasdos identidades se deducen de que PNM = PN − PN∩M = PN (I − PN∩M). �

Observacion 1.2.4. La igualdad c [M , N ] = c [MN , N ] tiene su lado bueno y sulado malo. Lo bueno, como decıamos antes, es que permite calcular angulos entre paresarbitrarios de subespacios cerrados, y siempre reducirse al caso en que estos no se cortan.Lo malo es que en general, cuando los subespacios son muy especıficos (nucleos, sumas, etc),se hace dificultoso muchas veces calcular efectivamenteMN (que es donde hay que hacerlos productos escalares, o calcular distancias como veremos enseguida).

Y ademas pasan cosas raras, poco intuibles. Un ejemplo de cosa rara es que es falso queM ⊆ S =⇒ c [M , N ] ≤ c [S , N ], como uso supondrıa si calcula los productos internossin tener cuidado. Sin ir mas lejos, si S = N +M, entonces c [S , N ] se hace cero, mientrasque c [M , N ] era cualquier cosa. En general, al agrandarM puede surgir sorpresivamentemas interseccion con N , lo que al ser restado puede generar problemas.

El uso de angulos y sus propiedades, una vez sistematizadas, simplifica drasticamente muchasdemostraciones en diversos campos de la Teorıa de operadores. Y al simplificar, permitetambien conseguir resultados nuevos. Pero hay que ser cuidadoso, porque la intuicion erradaque mencionamos mas arriba suele generar excesos de opitimismo en las cuentas.

Un hecho sorprendente es que el subespacioMN que hay que usar para calcular c [M , N ],muchas veces coincide “magicamente” con subespacios que tienen pleno sentido conceptualen las aplicaciones, y esto hace que las complicaciones que uno teme desaparezcan, o masbien hasta ayuden. Esto se ira viendo paulatinamente en las diversas aplicaciones que iremoshaciendo de esta teorıa en los suscesivos capıtulos de estas notas (y del libro [6]) . 4

Ahora daremos caracterizaciones del s [M , N ] en terminos de distancias: Recordemos quedados X, Y ⊆ H, su distancia se calcula como

d (X, Y ) = inf{‖x− y‖ : x ∈ X e y ∈ Y

}.

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Proposicion 1.2.5. Sean M,N v H. Entonces

s [M , N ] = d (M1 ,N M) = d (N1 ,MN ) = d ( (N M)1 ,M) .

Si M∩N = {0}, tenemos que s [M , N ] = d (M1 , N ) = d (N1 ,M) y basta.

Demostracion. Por la Prop. 1.2.3, podemos asumir que M∩ N = {0}. Por la definiciondel seno y la Prop. 1.2.3, se tiene que s [M , N ]2 = 1 − ‖PMPN‖2. Por otro lado, comod (x , N ) = ‖x−PN x‖ = ‖PN⊥ x‖ (mostrarlo con un dibujo), para todo x ∈ H tenemos que

d (M1 ,N )2 = inf{‖PN⊥ x‖2 : x ∈M1} = inf{1− ‖PN x‖2 : x ∈M1}

= 1− sup{‖PN x‖2 : x ∈M1} = 1− ‖PNPM‖2 = 1− ‖PMPN‖2,

lo que pruba la igualdad anunciada (el segundo = usa Pitagoras). �

Observacion 1.2.6. Sean M,N v H. Supongamos que dimN < ∞. Entonces N1 escompacta, y por lo tanto 0 < d (N1 ,MN ) = s [M , N ], o sea que c [M , N ] < 1. ElCorolario de abajo dara una prueba alternativa del conocido resultado de que, en este caso,M+N v H. Sin embargo, si ambos subespacios tienen dimension infinita, bien puede pasarque M y N tengan “angulo nulo” aunque M∩N = {0} (ver el Ejem. 1.4.8).

Corolario 1.2.7. Dados M,N v H, las siguientes condiciones son equivalentes:

i. M+N v H.

ii. c [M , N ] < 1.

iii. Existe c0 > 0 tal que, si x ∈M e y ∈ N M, entonces ‖x+ y‖ ≥ c0‖x‖.

De hecho, la mejor constante para iii es c0 = s [M , N ].

Demostracion. Podemos suponer que M∩N = {0}, ya que M + N = M⊕ (N M) yc [M , N ] = c [M , N M ]. Observar que, por la Prop. 1.2.5,

c0def= max

{c ≥ 0 : ‖x+ y‖ ≥ c‖x‖ para todo par x ∈M, y ∈ N

}= ınf

{‖x+ y‖ : x ∈M1 , y ∈ N

}= d (M1 , N ) = s [M , N ] .

Si c0 > 0, y nos dan un sucesion M+N 3 xn + yn −−−→n→∞

z ∈M+N , tenemos que

‖xn − xm‖ ≤ c−10 ‖xn + yn − xm − ym‖ −−−−→

n,m→∞0 ,

es decir que la sucesion (xn) es de Cauchy. ComoMv H, existe x ∈M tal que xn −−−→n→∞

x.

Por ello yn −−−→n→∞

z − x ∈ N . Entonces z ∈M+N .

Reciprocamente, si M⊕N v H, la proyeccion PM/N de M⊕N sobre M dada por

PM/N (x+ y) = x , para x ∈M e y ∈ N

es acotada (esto es la Ec. (1.1), que necesita que el dominio M⊕N v H para que sea unHilbert). Por ende, podemos tomar c0 = ‖PM/N‖−1 > 0. �

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Corolario 1.2.8 (Ljance-Ptak). Sean M, N v H, tales que M⊕N = H. Tomemos laproyeccion oblicua PM/N ∈ L(H) sobre M con kerPM/N = N . Luego

‖PM/N‖ =(

1− ‖PM PN‖2)−1/2

=(

1− c [M , N ])−1/2

= s [M , N ]−1 . (1.4)

Demostracion. La formula (1.4) se deduce de la prueba anterior. �

1.3 Seudoinversas

Definicion 1.3.1. Dados A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H2,H1), decimos que B es seudoinversade A si

ABA = A y BAB = B .

Llamaremos SI(A) = {B ∈ L(H2,H1) : B es seudonversa de A}. 4

Teorema 1.3.2. Sea A ∈ L(H1,H2).

1. Si B ∈ SI(A), entonces

(a) AB es un proyector (oblicuo) con R(AB) = R(A).

(b) BA es un proyector (oblicuo) con ker(BA) = kerA.

2. Se tiene que R(A) v H2 si y solo si SI(A) 6= ∅.

3. En tal caso, para cada par de proyectores P ∈ P(H2), Q ∈ P(H1) tales que

R(P ) = R(A) y kerQ = kerA ,

existe un unico B ∈ SI(A) tal que AB = P y BA = Q.

Demostracion.

1. Sea B ∈ SI(A). Entonces

(BA)2 = BABA = BA y (AB)2 = ABAB = AB.

Es claro que R(AB) ⊆ R(A). Pero tambien R(A) = R(ABA) ⊆ R(AB). Por otraparte, kerA ⊆ kerBA ⊆ kerABA = kerA.

2. SiB ∈ SI(A), entoncesR(A) = R(AB) v H2 , porque es la imagen de un proyector. Larecıproca se deducira del item 3, aplicado a los proyectores P = PR(A) y Q = I−PkerA .

3. Si R(A) v H2 , y nos dan dos proyectores oblicuos P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) tales queR(P ) = R(A) y kerQ = kerA, llamemos S = kerP y T = R(Q) v H1 .

Nos queda la descomposicion H1 = kerA ⊕ T , y por ende A∣∣T ∈ L(T , R(A) ) es

inversible. Llamemos B0 ∈ L(R(A) , T ) a su inversa, que es acotada por el Teorema de

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la funcion inversa (TFI, se usa que ambos subespacios son cerrados para ser completos).Definamos ahora el operador lineal

B : H2 = S ⊕R(A)→ kerA⊕ T = H1 dado por B(x⊕ y) = B0 y , (1.5)

para x ∈ S and y ∈ R(A). Observar que B ∈ L(H2,H1). En efecto, tenemos que‖B‖ ≤ ‖B0‖ ‖P‖ <∞, ya que B(z) = B0(Pz) para todo z ∈ H2 .

Calculos elementales muestran que este B ∈ SI(A), AB = P y BA = Q. Veamosahora la unicidad: Si C ∈ SI(A) tambien cumple que AC = P y CA = Q, entoncespodemos hacer C = C(AC) = CP = CAB = QB = BAB = B. �

Definicion 1.3.3. Dado A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado, se llama A† ∈ L(H2,H1) alunico elemento de SI(A) tal que A†A y AA† son proyectores autoadjuntos. A† es conocidacomo la seudoinversa de Moore-Penrose de A. 4

Corolario 1.3.4. Dado T ∈ L(H1,H2), se verifican:

1. R(T ) es cerrado si y solo si R(T ∗) es cerrado.

2. SI(T ∗) = {B∗ : B ∈ SI(T )}.

3. (T ∗)† = (T †)∗.

Demostracion. La igualdad SI(T ∗) = {B∗ : B ∈ SI(T )} se deduce directamente de ladefinicion de seudoinversa. Luego la primera parte es consequencia del Teorema 1.3.2. Laultima, del hecho de que (T †)∗ verifica las condiciones de la definicion de (T ∗)†. �

La siguiente Proposicion, cuya prueba es semi trivial, es interesante porque describe en quesentidos T †b es la mejor solucion posible para la ecuacion Tx = b.

Proposicion 1.3.5. Sea T ∈ L(H1 , H2) tal que R(T ) v H2 , y sea b ∈ H2 . Entonces elvector x = T †b ∈ H1 cumple las siguientes condiciones:

1. Si b0 = Tx, entonces ‖b− b0‖ = d (b , R(T ) ), o sea que b0 = Tx es lo mas cerca de “b”que se puede llegar a traves de T .

2. El vector x es el mas chico de los que van por T a b0 . O sea que

‖x‖ = min{‖z‖ : z ∈ H1 y Tz = b0

}.

Demostracion. Es otra manera de decir que TT † = PR(T ) y T †T = I − PN(T ) . �

Proposicion 1.3.6. Sea T ∈ L(H1 , H2) tal que R(T ) v H2 . Entonces

‖T †‖ = min{ ‖B‖ : B ∈ SI(T ) } .

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Demostracion. Sea B ∈ SI(T ). Dado y ∈ R(T ), sea x ∈ N(T )⊥ el unico tal que Tx = y.Entonces x = T †Tx = T †y. Pero tambien tenemos que y = Tx = TBTx = T (By), y por lotanto By − x ∈ N(T ). Esto muestra, vıa Pitagoras, que

‖By‖2 = ‖x+ (By − x)‖2 ≥ ‖x‖2 = ‖T †y‖2 .

Si me dan ahora un z ∈ H2 con ‖z‖ = 1, lo parto z = y + w con y ∈ R(T ) y w ∈ R(T )⊥.Entonces tengo que ‖y‖ ≤ 1 y que ‖T †y‖ ≤ ‖By‖ (por lo de arriba). Por lo tanto

‖T †z‖ = ‖T †(TT †z)‖ = ‖T †y‖ ≤ ‖By‖ ≤ ‖B‖ ‖y‖ ≤ ‖B‖ .

Tomando supremo sobre tales z, me da que ‖T †‖ ≤ ‖B‖. �

Observacion 1.3.7. Sea Q =

[1 01 0

]∈ L(C2), que es un proyector oblicuo tal que

N(Q)⊥ = R(Q†) = span {e1}. Tomemos P =

[1 00 0

]. Como PQ = P y QP = Q, se

tiene que P ∈ SI(Q), pero no es la seudoinversa de Moore-Penrose de T . Sin embargo,1 = ‖P‖ es menor que la norma de cualquier otro proyector sobre span {e1}. ¿Que pasa?

Ejemplos 1.3.8.

1. Si A ∈ Gl(H), entonces SI(A) = {A−1}. En particular, A† = A−1.

2. Si A ∈ L(H1 , H2) es suryectivo, entonces SI(A) coincide con el conjunto de inversasa derecha de A, porque si AB = I, entonces ABA = A y BAB = B. La recıproca valepor la Prop. 1.3.2. Es facil ver ademas que A† = A∗(AA∗)−1.

3. En cambio, si A es inyectivo y R(A) v H2 , se tiene que

SI(A) = {B ∈ L(H2 , H1) : BA = I} y A† = (A∗A)−1A∗ .

Esto se deduce de que A∗ es suryectivo.

4. Si U ∈ L(H) es una isometrıa parcial (i.e., U es isometrico en (kerU)⊥), entonces setiene que U † = U∗.

5. Si A ∈ L(H) es normal y R(A) v H, entonces A conmuta con A†. Mas en detalle, sillamamos A0 = A

∣∣R(A)∈ L(R(A) ), se tiene que A0 ∈ Gl (R(A) ) ,

A =

[A0 00 0

]R(A)kerA

y A† =

[A−1

0 00 0

]R(A)kerA

. (1.6)

6. Si A ∈ L(H) y S ∈ Gl(H), entonces

SI(SAS−1) = {SBS−1 : B ∈ SI(A)},

pero no es facil averiguar quien es (SAS−1)† (si es que existe).

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7. Si A ∈ L(H) tiene R(A) v H, y V,W ∈ U(H), entonces (V AW )† = W ∗A†V ∗.

8. Si A ∈ Mn(C) es una matriz diagonal A = diag (x) para cierto x ∈ Cn, entoncesA† = diag

(x†), donde x† ∈ Cn esta dado por x†i = x−1

i si xi 6= 0 o x†i = 0 si xi = 0.

9. Sea A ∈Mn(C) con rk(A) = k. Si V,W ∈ U(n) verifican A = W ∗Σ(A)V , entonces,

A† = V ∗Σ(A)†W = V ∗diag(s1(A)−1, . . . , sk(A)−1, 0, . . . , 0

)W .

Esto se deduce de los dos items anteriores. 4

Dados A,B ∈ Gl (H), suele ser muy util (sobre todo para hacer acotaciones) la identidad

A−1 −B−1 = A−1(B − A)B−1 .

Con las seudoinversas de Moore Penrose no vale una formula tan linda, pero algo hay:

Proposicion 1.3.9. Sean A,B ∈ A(H), ambos con rango cerrado. Entonces:

B† − A† = −B†(B − A)A† + (I −B†B)(B − A)(A†)2 + (B†)2(B − A)(I − AA†).

En particular, si R(B) ⊆ R(A),

B† − A† = −B†(B − A)A† + (I −B†B)(B − A)(A†)2.

Demostracion. Ejercicio. �

1.4 Modulo mınimo

Definicion 1.4.1. Dado T ∈ L(H1,H2), llamaremos modulo mınimo de T al numero

γ(T )def= inf

{‖Tx‖ : x ∈ ker(T )⊥, ‖x‖ = 1

}. (1.7)

Cuando T = 0, usaremos la convencion γ(T ) =∞. 4

Proposicion 1.4.2. Sea T ∈ L(H1 , H2).

1. Si T es inversible, se tiene que γ(T ) = ‖T−1‖−1.

2. Si B ∈ L(H2 , H3) es inversible, entonces el γ(BT ) se acota por ambos lados:

‖B−1‖−1 γ(T ) = γ(B)γ(T ) ≤ γ(BT ) ≤ ‖B‖γ(T ) . (1.8)

12

Demostracion. Si T es invertible, entonces N(T ) = {0} y, por definicion,

γ(T ) = min{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} =(

max{ ‖y‖ : ‖Ty‖ = 1})−1

=(

max{ ‖T−1z‖ : ‖z‖ = 1})−1

= ‖T−1‖−1 .

Por otro lado, si ahora B es el inversible, tenemos que N(BT ) = N(T ). Como N(B) = {0},cualquiera sea el x ∈ N(T )⊥ = N(BT )⊥ (no importa donde caiga Tx), tenemos que

γ(B)‖Tx‖ ≤ ‖BTx‖ ≤ ‖B‖ ‖Tx‖ .

Tomando ınfimo en (N(T )⊥)1 , obtenemos que γ(B)γ(T ) ≤ γ(BT ) ≤ ‖B‖γ(T ). �

Proposicion 1.4.3. Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces

1. Se tiene la equivalencia R(T ) v H2 ⇐⇒ γ(T ) > 0.

2. En tal caso, γ(T ) = γ(T ∗) = ‖T †‖−1.

Demostracion. La primera parte es una cuenta usual de operadores, y se deja como ejercicio.Pasa por ver que γ(T ) > 0 ⇐⇒ T |(kerT )⊥ es acotado inferiormente. Si ahora asumimos queR(T ) v H2 y que T 6= 0, el hecho de que T † T = Pker(T )⊥ implica que

T †∣∣R(T )

: R(T )→ ker(T )⊥ es la inversa de T∣∣ker(T )⊥

: ker(T )⊥ → R(T ) .

Por lo tanto, la Prop. 1.4.2 nos asegura que

γ(T ) = γ(T∣∣ker(T )⊥

)=∥∥∥T †∣∣

R(T )

∥∥∥−1

.

Pero como kerT † = R(T )⊥, tenemos que ‖T †∣∣R(T )‖ = ‖T †‖. Finalmente, el Cor. 1.3.4 dice

que (T ∗)† = (T †)∗, por lo que

γ(T ∗) = ‖(T ∗)†‖−1 = ‖(T †)∗‖−1 = ‖T †‖−1 = γ(T ) ,

como querıamos demostrar. �

Proposicion 1.4.4. Sean A y B ∈ L(H)+ tales que 0 6= A ≤ B pero R(A) = R(B) v H.Entonces γ(A) ≤ γ(B). Ademas se tiene que

R(A) v H =⇒ γ(A) = min{λ ∈ σ(A) : λ 6= 0

}. (1.9)

Demostracion. El hecho de que S = R(A) = R(B) v H dice que S⊥ = kerA = kerB y que

A =

[A0 00 0

]S

kerA, B =

[B0 00 0

]S

kerB.

Ademas, se tiene que A0 ≤ B0 ambos en Gl(S)+. En tal caso es sabido que

0 < B−10 ≤ A−1

0 =⇒ γ(A) = γ(A0) = ‖A−10 ‖−1 ≤ ‖B−1

0 ‖−1 = γ(B0) = γ(B) .

Pero σ(A0) ={λ ∈ σ(A) : λ 6= 0

}y ‖A−1

0 ‖ = ρ(A−10 ) = max

{λ−1 : λ ∈ σ(A) \ {0}

}. Al

volver a invertir obtenemos la Ec. (1.9). �

13

Observacion 1.4.5. Si no asumimos la hipotesis de que R(A) = R(B), en general es falsoque 0 ≤ A ≤ B =⇒ γ(A) ≤ γ(B). Sugerimos pensar un contraejemplo (deberıa salirrapidito, no vale A = 0). 4

Corolario 1.4.6. Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces

γ(T ) = γ( |T | ) = γ(T ∗ T )1/2 .

Demostracion. Sea T = U |T | la DP de T . Recordemos que

‖T x‖ = ‖ |T |x‖ para todo x ∈ H1 =⇒ kerT = ker |T | .

Luego la igualdad γ(T ) = γ( |T | ) se deduce de las definiciones. Por otra parte,

T ∗T = |T |2 =⇒ σ(T ∗ T ) = σ( |T | )2 .

Entonces, si R( |T | ) v H1 , podemos deducir la igualdad γ(T ∗ T ) = γ( |T | )2 de la Ec. (1.9).En caso contrario ambos dan 0. �

Ejercicio 1.4.7.

1. Sea A ∈ A(H) que no es inversible. Probar que

R(A) v H ⇐⇒ el 0 ∈ σ(A) es punto aislado . (1.10)

2. Sea ahora T ∈ L(H) no inversible. Probar que

R(T ) v H ⇐⇒ 0 es aislado en σ( |T |). (1.11)

En realidad la Ec. (1.10) vale para todo T ∈ L(H) (sin pedir que T ∗ = T ). Pero laprueba es difıcil con las herramientas que tenemos aca. Probarlo para T normal. 4

Ejemplos 1.4.8. 1. Sea H = `2(N) y T ∈ L(H) dado por

T (x) =(x1,

x2

2, . . . ,

xnn, . . .

), x ∈ `2(N) . (1.12)

Es evidente que ‖T‖ = 1 y que kerT = {0}. Ademas, si {en}n∈N es la base canonicade `2(N), tenemos que

‖Ten‖ =∥∥∥enn

∥∥∥ =1

n−−−→n→∞

0 =⇒ γ(T ) = 0 .

Por lo tanto R(T ) 6v `2(N).

14

2. Tomemos los subespacios M = `2(N)⊕ {0} v `2(N)⊕ `2(N) y

N = Gr(T ) ={

(x, Tx) : x ∈ `2(N)}v `2(N)⊕ `2(N) ,

donde T es el operador definido en (1.12). El hecho de que kerT = {0} dice queM∩N = {0}. Por lo tanto,

s [M , N ] = d (M1 ,N ) = inf(x,0)∈M1

d ( (x, 0),Gr(T ) )

≤ inf(x,0)∈M1

‖(0, Tx)‖ = infx∈H1

‖Tx‖ = γ(T ) = 0 .

Esto nos dice que c [M , N ] = 1, y por ende M⊕N no es un subespacio cerrado,aunque ambos subespacios son cerrados y se cortan solo en {0}. 4

Proposicion 1.4.9. Sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= 0 (o sea N 6⊆ M). Entonces

γ(PM⊥PN ) = s [M , N ] .

Demostracion. Llamemos R =M⊥. Como ker(PRPN ) = N⊥ ⊕ (N ∩M), se tiene que

ker(PRPN )⊥ = N ∩ (N ∩M)⊥ = N M.

Luego, por la Prop. 1.2.3 y la definicion del modulo mınimo,

γ(PRPN ) = infx∈(NM)1

‖PRx‖ = infx∈(NM)1

d (x,M) = d ( (N M)1,M) = s [M , N ] ,

donde su usa nuevamente que d (x,M) = ‖PM⊥ x‖, para cualquier x ∈ H. �

El resultado anterior es interesante porque relaciona ajustadamente gamas y angulos, perolo es mas aun porque tiene las siguientes importantes consecuencias:

Proposicion 1.4.10. Sean M,N v H. Entonces

c [M , N ] = c[M⊥ , N⊥

].

Demostracion. Sabemos, por la Prop. 1.4.3, que para cada T ∈ L(H) se verifica que γ(T ) =γ(T ∗). Luego, aplicando la Prop. 1.4.9, nos queda que

s[M⊥ , N⊥

]= γ(PMPN⊥) = γ( (PMPN⊥)∗) = γ(PN⊥PM) = s [N ,M ] = s [M , N ] .

Por lo tanto, tambien c [M , N ] = c[M⊥ , N⊥

]. En los casos en que la Prop. 1.4.9 no se

puede aplicar (i.e. N ⊆M o vive versa), el enunciado es trivial. �

Proposicion 1.4.11. Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) y R(B) son cerrados. Entonces

R(AB) v H ⇐⇒ c [ kerA , R(B) ] < 1 .

15

Demostracion. Si AB = 0 es obvio. Sino, llamemos M = kerA⊥ y N = R(B). Notar queA∣∣M :M→ R(A) es un iso, porque R(A) v H. Luego, un subespacio S ⊆ M cumple que

S vM ⇐⇒ A∣∣M(S) v R(A) ⇐⇒ A

∣∣M(S) v H. Por lo tanto,

R(AB) = A(N ) = A∣∣M(PM(N ) ) v H ⇐⇒ PM(N ) = R(PMB) = R(PMPN ) vM .

Pero por la Prop. 1.4.9 (que se puede aplicar porque AB 6= 0 =⇒ PM(N ) 6= {0}),

γ(PMPN ) = s[M⊥ , N

]= s [ kerA , R(B) ] > 0 ⇐⇒ c [ kerA , R(B) ] < 1 .

El resultado se sigue, ahora, de la Prop. 1.4.3. �

A continuacion daremos una generalizacion de la Prop. 1.4.9, que sera muy util mas adelante.La prueba es parecida, aunque un poco mas cuidadosa.

Proposicion 1.4.12. Sean T ∈ L(H1 , H2) y Mv H1 tales que TPM 6= 0. Entonces

γ(T ) s [N(T ) ,M ] ≤ γ(TPM) ≤ ‖T‖ s [N(T ) ,M ] . (1.13)

Demostracion. Observar que N(TPM) =M⊥ ⊥M∩N(T ). Luego

N(TPM)⊥ =M∩ (M∩N(T ) )⊥ =M (M∩N(T ) ) =MN(T ) .

Por lo tanto, si x ∈MN(T ) y ‖x‖ = 1, tenemos que

‖TPMx‖ = ‖Tx‖ = ‖T (PN(T )⊥ x)‖

≥ γ(T )‖PN(T )⊥ x‖ = γ(T ) d (x,N(T ) )

≥ γ(T ) s [N(T ) ,M ] ,

donde la ultima desigualdad se deduce que s [N(T ) ,M ] = d(

(MN(T ) )1 , N(T ))

, como

asegura la Prop. 1.2.5. Tomando mınimo sobre los vectores unitarios de N(TPM)⊥, deduci-mos que

γ(TPM) ≥ γ(T ) s [N(T ) ,M ] .

La otra desigualdad de (1.13) se deduce de que ‖Ty‖ = ‖TPN(T )⊥ y‖ ≤ ‖T‖ ‖PN(T )⊥ y‖ paratodo y ∈ H1 , de que N(TPM) = N(PN(T )⊥ PM) y de la Prop. 1.4.9. �

Observacion 1.4.13. Con las mismas ideas puede probarse la siguiente formula, que gen-eraliza la Prop. 1.4.12: Dados A ∈ L(H2 , H3) y B ∈ L(H1 , H2) tales que AB 6= 0,

γ(A)γ(B) s [ kerA , R(B) ] ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖ ‖B‖ s [ kerA , R(B) ] .

En particualr, si A y B son isometrıas parciales, (o sea γ(A) = ‖A‖ = 1 = γ(B) = ‖B‖),entonces s [ kerA , R(B) ] = γ(AB). 4

16

Antes de leer el siguiente resultado, sugerimos hacer unos dibujos (no en este papel): Primerodos rectas (por el origen) N yM en R2. Luego agarrar un punto, e ir aplicandole sucesiva-mente PN y PM . Se vera que uno se va acercando a cero, mas despacito en tanto el anguloentre N yM sea mas pequeno. Ahora, extrapolar este dibujo al caso en que N yM son dosplanos en R3. Ahı adonde uno se acerca es a la recta N ∩M, y moviendose siempre dentrode un plano ortogonal a ella. Ahora sı, leamos la siguiente generalizacion (cuantitativa) desus dibujos:

Proposicion 1.4.14. Sean P y Q dos proyectores ortogonales en P(H). Entonces

‖(PQ)k − P ∧Q‖ = c [R(P ) , R(Q) ]2k−1 , para todo k ∈ N ,

donde P ∧Q es la proyeccion ortogonal sobre R(P ) ∩R(Q). En particular,

(PQ)k‖·‖−−−→k→∞

P ∧Q ⇐⇒ c [R(P ) , R(Q) ] < 1 .

Demostracion. Sean E = P − P ∧ Q = P (I − P ∧ Q) y F = Q − P ∧ Q. Observar queI − P ∧Q comnuta tanto con P como con Q (porque P ∧Q lo hace). Luego,

‖(PQ)k − P ∧Q‖2 = ‖(PQ)k(1− P ∧Q)‖2 = ‖(EF )k‖2

= ‖(FE)k(EF )k‖ = ‖(FEF )2k−1‖ = ‖FEF‖2k−1.

Por otro lado, usando la Prop. 1.2.3 y el hecho de que R(E) ∩ R(F ) = {0}, se tiene que‖FEF‖ = ‖EF‖2 = c [R(E) , R(F ) ]2 = c [R(P ) , R(Q) ]2. Por lo tanto

‖(PQ)k − P ∧Q‖2 = c [R(P ) , R(Q) ]2(2k−1) ,

lo cual concluye la demostracion. �

Ejercicio 1.4.15. SeanM, N v H tales queM∩N 6= {0} y c [M , N ] < 1. Supongamosque tenemos un subespacio

V v N tal que V ∩M = {0} pero V ⊕M = N +M .

Probar que entonces se tiene

s [M , N ] = s [M , N M ] ≥ s [M , V ] .

Observar que N M es un tal V . Pero lo interesante es la desigualdad para otros V . Sepodrıa refrasear el ejercicio como sigue: s [M , N ] es el maximo de los senos entreM y lossuplementos de M en M+N que estan contenidos en N .

Sug: Probar primero que si x ∈ N entonces, como N = N ∩M ⊥ N M, se tiene que

x = PN∩M x+ PNM x ∈ PNM x+M =⇒ d (x ,M) = d (PNM x ,M) .

Luego usar la Prop. 1.2.5 para calcular los senos. Tambien debe usarse que

V1 3 y 7→PNM y

‖PNM y‖∈ (N M)1 ,

ademas de bien definida es biyectiva (sobre todo que es sobre). 4

17

Capıtulo 2

Complementos de Schur deoperadores positivos

2.1 Factorizacion e inclusiones de rangos.

El siguiente resultado, extraido del trabajo [20] de R. Douglas de 1966, sera de una her-ramienta escencial en todo lo que sigue de estas notas, en las que se lo citara (muchısimasveces) como el Teorema de Douglas .

Teorema 2.1.1 (Douglas). Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

1. R(A) ⊆ R(B).

2. Existe λ ∈ R+ tal que AA∗ ≤ λBB∗.

3. Existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.

En tal caso, exite un unico

C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC y R(C) ⊆ R(B∗) = kerB⊥ .

Esta solucion satisface, ademas, las siguentes propiedades:

i) kerC = kerA

ii) ‖C‖2 = min{λ ∈ R+ : AA∗ ≤ λBB∗}

Demostracion.

3 ⇒ 1) Es claro.

3 ⇒ 2) Como todo D ∈ L(H3)+ verifica que D ≤ ‖D‖I, se tiene que

AA∗ = BCC∗B∗ ≤ ‖CC∗‖BB∗ .

18

2 ⇒ 3) La condicion AA∗ ≤ λBB∗ es equivalente a que ‖A∗x‖ ≤ λ1/2‖B∗x‖ para todox ∈ H3 . En particular, ker(B∗) ⊆ ker(A∗). Por lo tanto, es correcto definir

T : R(B∗)→ R(A∗) dado por T (B∗x) = A∗x para x ∈ H3 .

Es claro que T esta bien definido y es lineal. Como ‖A∗x‖ ≤ λ1/2‖B∗x‖ para todox ∈ H3 , deducimos que T es acotado (con ‖T‖ ≤ λ1/2). Extendemos T (manteniendosu nombre) a R(B∗) por continuidad y luego a todo H2 como cero en R(B∗)⊥. Quedaque T ∈ L(H2,H1), y sigue valiendo que ‖T‖ ≤ λ1/2. Es claro que A∗ = TB∗, lo cualmuestra que el operador que estamos buscando es C = T ∗ ∈ L(H1,H2). Notar queeste C que construimos cumple R(C) ⊆ kerT ⊥ ⊆ R(B∗) = kerB ⊥.

1 ⇒ 3) La condicion R(A) ⊆ R(B) permite asegurar que para todo x ∈ H1 existe un unicoy ∈ kerB ⊥ tal que Ax = By. Definamos C : H1 → H2 como Cx = y. Para ver queC ∈ L(H1,H2) basta verificar que su grafico es cerrado. Sea (xn, yn)n∈N una sucesionde puntos en el grafico de C tal que xn −−−→

n→∞x e yn −−−→

n→∞y . Luego

Ax = limn→∞

Axn = limn→∞

Byn = By

es decir (x, y) pertenece al grafico de C.

Es claro que la inclusion R(C) ⊆ R(B∗) = kerB ⊥ identifica univocamente al operador C,puesto que BC = A y B es inyectivo en kerB ⊥. Observar que tanto el C construido en(1⇒ 3) como el construido en (2⇒ 3) cumplen esa inclusion, y por ende coinciden.

Verifiquemos ahora este C satisface (i) y (ii). Como, A = BC, vemos que kerC ⊆ kerA.Pero si x ∈ kerA, entonces el unico y ∈ kerB ⊥ tal que By = Ax = 0 es y = 0, por lo queCx = 0 (el C de 1⇒ 3). Esto muestra que kerA ⊆ kerC.

Por otro lado, vimos en (2⇒ 3) que ‖C‖ = ‖T‖ ≤ λ1/2, para todo λ tal que AA∗ ≤ λBB∗.La otra desigualdad es clara, puesto que AA∗ = BCC∗B∗ ≤ ‖C‖2BB∗. �

Corolario 2.1.2. Sea A ∈ L(H1 , H2). Entonces R(|A∗|) = R(A).

Demostracion. Dado que AA∗ = |A∗|2, usando la equivalencia entre (1) y (2) del Teo. 2.1.1se tiene que R(|A∗|) = R(A). �

Definicion 2.1.3. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). Llamare-mos solucion reducida (o SR) de la ecuacion A = BX al unico operador C ∈ L(H1,H2)tal que A = BC y R(C) ⊆ kerB⊥, que exhibe el Teo. 2.1.1. 4

Observacion 2.1.4. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). SeaP ∈ L(H2) la proyeccion ortogonal sobre kerB⊥. Entonces, para todo C ∈ L(H1,H2) talque BC = A, se tiene que PC es la SR de la ecuacion BX = A. En efecto, como BP = By R(PC) ⊆ R(P ), la prueba es inmediata. Observar que esto dice que la SR el la mas chica(en norma) de todas las soluciones de la ecuacion BX = A (porque ‖P‖ ≤ 1). 4

19

Ejercicios 2.1.5. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3).

1. Probar queR(A) +R(B) = R( (AA∗ +BB∗)1/2) .

2. Supongmos que R(A) ⊆ R(B), sea C la SR de la ecuacon BX = A, y sea D otrasolucion. Entonces

‖Cξ‖ ≤ ‖Dξ‖ para todo ξ ∈ H1 .

En particular, ‖C‖ es mınima entre dichas soluciones.

3. Supongmos que R(A) ⊆ R(B) v H3 . Sea B† la seudoinversa de Moore-Penrose de B(ver Def. 1.3.3). Entonces la SR de la ecuacion BX = A es C = B†A.

4. Observar que B† es la SR de la ecuacion BX = PR(B) .

5. Mas generalmente, si P es un proyector (oblicuo) tal que R(P ) = R(B) y C es la SRde BX = P , entonces C ∈ SI(B) y CB es un proyector ortogonal.

6. Usar lo anterior para dar otra prueba de la Prop. 1.3.6.

2.2 Operadores definidos positivos.

Proposicion 2.2.1. Sea A ∈ L(H)+. Entonces su raiz A1/2 cumple que

1. Nucleos: kerA = kerA1/2.

2. Imagenes: R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(A) (= kerA⊥).

3. Si R(A) 6v H (o sea no es cerrado), entonces R(A) 6= R(A1/2) 6= R(A).

Demostracion. Los ıtems 1 y 2 son inmediatos. Supongamos que R(A) = R(A1/2). Fijadoun x ∈ (kerA)⊥, debe existir un y ∈ (kerA)⊥ tal que A1/2 x = Ay = A1/2 (A1/2 y).

Como tambien A1/2 y ∈ R(A1/2) ⊆ (kerA)⊥ y A1/2 es mono allı, deducimos que A1/2 y = x.Pero esto implica que R(A) = R(A1/2) = (kerA)⊥ v H. En cambio, si R(A1/2) v H, a laProp. 1.4.11 le sobra para implicar que tambien R(A) v H. �

Corolario 2.2.2. Sean A , B ∈ L(H)+ y S v H. Luego si

A ≤ B y R(B) ⊆ S =⇒ R(A) ⊆ S . (2.1)

Demostracion. Apliquemos Douglas 2.1.1 a A1/2 y B1/2. Como A ≤ B deducimos que

R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(B1/2) ⊆ S ,

donde el ultimo ⊆ surge de que R(B1/2) ⊆ R(B) ⊆ S, porque S era cerrado. �

20

Proposicion 2.2.3. Sea S v H, y consideremos un operador

M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+ .

Entonces R(B) ⊆ R(D1/2) y R(B∗) ⊆ R(A1/2).

Demostracion. Como A ∈ L(S)+, tenemos que A+ IS ∈ Gl (S)+. Con un pequeno abuso denotacion, llamemos (A+ IS)−1 a su inversa en L(S). Por cuentas elementales tenemos que

0 ≤[

IS 0−B(A+ IS)−1 IS⊥

] [A+ IS B∗

B D

] [IS −(A+ IS)−1B∗

0 IS⊥

]=

[A+ IS 0

0 D −B(A+ IS)−1B∗

]=⇒ B(A+ IS)−1B∗ ≤ D .

Por el Teo. 2.1.1, deducimos que R(B) = R(B(A + IS)−1/2) ⊆ R(D1/2). El hecho de queR(B∗) ⊆ R(A1/2) se prueba usando lo anterior para S⊥ en vez de S. �

Proposicion 2.2.4. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+ . Luego, si

C ∈ L(S,S⊥) es la SR de B = D1/2X =⇒ A ≥ C∗C en L(S) .

Mas aun, para todo x ∈ S, existe una sucesion (yn)n∈N en S⊥ tal que⟨(A− C∗C)x , x

⟩= lim

n∈N

⟨M

[xyn

],

[xyn

]⟩. (2.2)

Demostracion. Obsevar que M =

[A− C∗C 0

0 0

]+

[C∗C B∗

B D

]. Recordemos que, por

ser C la SR de B = D1/2X, se tiene que R(C) ⊆ R(D1/2). Luego, para cada x ∈ S, existeuna sucesion (yn)n∈N en S⊥ tal que D1/2yn −−−→

n→∞−Cx . Como[

C∗C B∗

B D

]=

[0 C∗

0 D1/2

] [0 0C D1/2

],

podemos deducir que⟨[C∗C B∗

B D

] [xyn

],

[xyn

]⟩=⟨Cx+D1/2yn , Cx+D1/2yn

⟩−−−→n→∞

0 .

Por lo tanto la sucesion (yn)n∈N cumple lo pedido en la Ec. (2.2). �

Ejercicio 2.2.5. Sea S v H. Consideremos la casimatriz M =

[? B∗

B D

]SS⊥ . Supon-

gamos que D ∈ L(S⊥)+ y R(B) ⊆ R(D1/2). Probar que se puede completar a la casimatrizM en el lugar 1, 1 de tal modo que quede una matriz en L(H)+. 4

21

El siguiente resultado ya fue visto para el caso de matrices. La prueba para operadores esalgo mas complicada:

Corolario 2.2.6. Sea C ∈ L(H1 , H2). Luego

‖C‖ ≤ 1 ⇐⇒ M =

[IH1 C∗

C IH2

]∈ L(H1 ⊕H2)

+ .

Demostracion. La ida se prueba igual que en dimension finita: si ‖C‖ ≤ 1, entonces paratodo z = (x , y) ∈ H1 ⊕H2 se tiene que

〈Mz , z〉 =⟨

(x+ C∗ y , C x+ y) , (x , y)⟩

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re 〈Cx , y〉 .

Pero como 2 Re 〈Cx , y〉 ≥ −2 | 〈Cx , y〉 | ≥ −2 ‖x‖ ‖y‖, deducimos que 〈Mz , z〉 ≥ 0. Sino

0 ≤[

0 C∗

0 IH2

] [0 0C IH2

]=

[C∗C C∗

C IH2

]≤[IH1 C∗

C IH2

].

Para probar la recıproca, observar que C misma es la SR de la ecuacion I1/2H2

X = C. SiM ∈ L(H1 ⊕H2)

+, la Prop. 2.2.4 asegura que C∗C ≤ IH1 , o sea que ‖C‖ ≤ 1. �

Teorema 2.2.7. Sea S v H, y sea M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H) . Entonces M ∈ L(H)+

si y solo si se verifican las siguientes condiciones:

1. A ∈ L(S)+ y D ∈ L(S⊥)+.

2. Existe una contraccion C ∈ L(S,S⊥) tal que B = D1/2CA1/2 .

Demostracion. Si se cumplen las condiciones pedidas, vemos que

M =

[A B∗

B D

]=

[A1/2 0

0 D1/2

] [IS C∗

C IS⊥

] [A1/2 0

0 D1/2

]∈ L(H)+ ,

por el Cor. 2.2.6. Si asumimos que M ≥ 0, es claro que A ∈ L(S)+ y D ∈ L(S⊥)+.

Sea C1 la SR de la ecuacion D1/2X = B (que existe por la Prop. 2.2.3). Por la Prop. 2.2.4se tiene que C∗1C1 ≤ A. Luego tomemos C2 la SR de la ecuacion A1/2X = C∗1 .

Veamos que C = C∗2 cumple lo pedido. En efecto, ‖C‖ = ‖C∗‖ = ‖C2‖ ≤ 1, porque A acotaa C∗1C1 con constante 1 (ver ii del Teorema de Douglas). Finalmente,

B = D1/2C1 = D1/2C∗2 A1/2 = D1/2C A1/2 . �

Observacion 2.2.8. En las condiciones del Teorema anterior, la contraccion C no esta, engeneral, unıvocamente determinada. Pero sus unicos grados de libertad dependen de losnucleos de A y D. Por ejemplo, si A > 0 y D > 0, entonces la unica solucion posiblees C0 = D−1/2BA−1/2. La soluciuon C0 obtenida en la prueba del Teorema (tomandodos veces soluciones reducidas) es mınima en varios sentidos, y puede caracterizarse porpropiedades de nucleo e imagen, o bien obtenerse a partir de cualquier solucion C de laecuacion B = D1/2XA1/2, tomando C0 = PCQ, donde P y Q son los proyectores ortogonalessobre kerD⊥ y kerA⊥, respectivamente (ver la Obs. 2.1.4). 4

22

Corolario 2.2.9. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ A(H) . Entonces

M =

[A BB A

]≥ 0 en L(H⊕H) ⇐⇒ −A ≤ B ≤ A en L(H) .

En particular, si B ∈ L(H)+, lo anterior equivale a que B ≤ A.

Demostracion. Si la matriz M es positiva, por el Teo. 2.2.7 sabemos que existe una con-traccion C ∈ L(H) tal que A1/2CA1/2 = B. Necesitarıamos usar que C ∈ A(H), lo que noes claro que sea cierto. Para safar, consideremos D = PCP , donde P = P

R(A1/2)∈ P(H).

Este D cumple la misma ecuacion (porque P A1/2 = A1/2 P = A1/2). Sigue cumpliendo que‖D‖ ≤ 1. Pero ahora sı vale que A1/2DA1/2 = B ∈ A(H) =⇒ D ∈ A(H) . En efecto,basta testear que 〈Dx , x〉 ∈ R para todo x ∈ R(P ) (donde opera D). Pero podemos usarque R(A1/2) es denso en R(P ) y que A1/2DA1/2 ∈ A(H). Ahora sı podemos hacer esto:

‖D‖ ≤ 1D=D∗=⇒ −I ≤ D ≤ I =⇒ −A ≤ A1/2DA1/2 = B ≤ A .

Para ver la recıproca, la cuenta saldrıa joya su uno pudiera “dividir” por A1/2. Para safaresta vez, tomemos An = A+ 1

nI ∈ Gl (H)+ (para cada n ∈ N). Luego

−An ≤ −A ≤ B ≤ A ≤ An =⇒ −I ≤ A−1/2n BA−1/2

n ≤ I =⇒ ‖A−1/2n BA−1/2

n ‖ ≤ 1 .

Ahora les podemos aplicar a todos ellos el Teo. 2.2.7 con Cn = A−1/2n BA

−1/2n y nos queda

0 ≤[An BB An

]= M +

1

nIH⊕H para todo n ∈ N =⇒ M ∈ L(H⊕H)+ ,

como querıamos demostrar. �

2.3 Shorted de un operador (cortocircuitos)1g.

Definicion y propiedades basicas

Comenzaremos con el siguiente resultado originalmente obtenido por Krein, y redescubiertovarios anos despues por Anderson-Trapp [11], el cual dara origen a la definicion de Shortedde un operador. La prueba que daremos se basa en un trabajo posterior de Pekarev [32].

Teorema 2.3.1. Sea A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces el conjunto

M(A,S)def= {D ∈ L(H)+ : D ≤ A y R(D) ⊆ S} (2.3)

posee un elemento maximo en el orden usual de A(H) .

23

Demostracion. Sean M = A−1/2(S) y T = A1/2PMA1/2. Claramente T ∈ M(A,S). Por

otra parte, si D ∈ M(A,S), en particular D ≤ A. Por el Teorema de Douglas 2.1.1 (conconstante λ = 1), debe existir una contraccion C ∈ L(H) tal que D1/2 = A1/2C.

Ahora bien, tenemos que A1/2(R(C) ) = R(D1/2) ⊆ R(D) ⊆ S =⇒ R(C) ⊆ M. Esto nosasegura que PMC = C. Usando que C C∗ ≤ I, podemos deducir que C C∗ ≤ PM . Luego

D = A1/2C C∗A1/2 ≤ A1/2 PMA1/2 = T ,

lo cual muestra que nuestro T = maxM(A,S). �

Definicion 2.3.2. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Llamaremos shorted de A al subespacio S,y lo notaremos SC (A , S), al maximo del conjunto M(A,S). 4

En la siguiente proposicion, recopilamos una serie de resultados mas o menos inmediatos apartir de la definicion del shorted y de la demostracion del Teo. 2.3.1.

Proposicion 2.3.3. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces:

1. Demas esta decir que SC (A , S) ≤ A y que R(

SC (A , S))⊆ S.

2. Para todo α ∈ R+ , se tiene que SC (αA , S) = α SC (A , S).

3. Si B ∈ L(H)+ cumple que A ≤ B, entonces

M(A , S) ⊆M(B , S) y por lo tanto SC (A , S) ≤ SC (B , S) .

4. Si S ⊆ T v H, entonces M(A , S) ⊆M(A , T ) y SC (A , S) ≤ SC (A , T ).

5. Como el R(

SC (A , S))⊆ S, tenemos que SC

(SC (A , S) , S

)= SC (A , S).

6. SC (A2 , S)1/2 ≤ SC (A , S) .

7. Si denotamos por M = A−1/2(S), se tiene la formula

SC (A , S) = A1/2 PMA1/2 . (2.4)

Demostracion. Los items 1 - 5 se deducen de la definicion y el 7 de la prueba del Teo. 2.3.1.El 6 usa el Teorema de Lowner: Como tomar raıces cuadradas preserva el orden, tenemosque D ∈ M(A2 , S) =⇒ D1/2 ∈ M(A , S), porque el R(D1/2) no puede salirse de S. En

particular nos queda que SC (A2 , S)1/2 ∈M(A , S). �

Como x2 no es MOP, siguiente resultado es mas fuerte que el item 6 de la Prop. 2.3.3:

Proposicion 2.3.4. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces, SC (A2 , S) ≤ SC (A , S)2.

24

Demostracion. Denotemos porM = A−1/2(S) y N = A−1(S). Consideremos los proyectoressobre ellos: PM , PN ∈ P(H). Observar que A1/2(N ) ⊆M. Por lo tanto, se tiene que

(I − PM)A1/2 PN = 0∗

=⇒ PN A1/2 (I − PM) = 0 .

En particular PN A1/2 = PN A

1/2 PM . Fijado un vector x ∈ H, nos queda que

〈A1/2 PN A1/2 x , x〉 = 〈PN A1/2 x , PN A

1/2 x〉 = ‖PN A1/2 x‖2 = ‖PN A1/2 PM x‖2

≤ ‖A1/2 PM x‖2 = 〈PMAPM x , x〉 .

Luego A1/2 PN A1/2 ≤ PMAPM . Conjugando con A1/2 nos queda que

SC(A2 , S

) (2.4)= APN A ≤ A1/2 PMAPMA

1/2 = (A1/2 PMA1/2 )2 (2.4)= SC (A , S)2 . �

Proposicion 2.3.5. Sean A ∈ L(H)+ y S, T v H. Entonces

SC(

SC (A , S) , T)

= SC (A , S ∩ T ) . (2.5)

Demostracion. Consideremos los conjuntos

M(A , S ∩ T ) = {D ∈ L(H)+ : D ≤ A y R(D) ⊆ S ∩ T } y

M(

SC (A , T ) , S)

= {D ∈ L(H)+ : D ≤ SC (A , T ) y R(D) ⊆ S} .

Probaremos que estos conjuntos son iguales y por ende sus maximos, que son los dos shorted’sde (2.5) tambien lo seran. Sea D ∈M(A , S ∩ T ). Luego tenemos que

R(D) ⊆ T ∩ S ⊆ T y D ≤ A =⇒ D ≤ SC (A , T ) y R(D) ⊆ S .

Eso nos dice que D ∈M(

SC (A , T ) , S). Recıprocamente, si asumimos que

D ∈M(

SC (A , T ) , S)

=⇒ D ≤ SC (A , T )(2.1)=⇒ R(D) ⊆ R

(SC (A , T )

)⊆ T .

Por lo tanto ya sabemos que R(D) ⊆ S ∩ T . Como ademas D ≤ SC (A , T ) ≤ A, llegamosa lo que querıamos: D ∈M(A,S ∩ T ). �

2.4 Rango y Nucleo de los operadores shorted.

Proposicion 2.4.1. Dados A ∈ L(H)+ y S v H, se tiene la igualdad

R(

SC (A , S)1/2 ) = R(A1/2) ∩ S . (2.6)

25

Demostracion. Sea M = A−1/2(S). Observar que, volviendo y yendo queda que

R(A1/2) ∩ S = A1/2(A−1/2(S)

)= A(M) = R(A1/2 PM) .

Luego, por el Cor. 2.1.2 (decıa que R(B∗) = R( |B| ) ), sale lo anunciado:

R(A1/2) ∩ S = R(A1/2 PM) = R(|PMA1/2|

)= R

((A1/2 PMA1/2)1/2

) (2.4)= R

(SC (A , S)1/2 ) . �

Corolario 2.4.2. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces

R(A) ∩ S ⊆ R(

SC (A , S))⊆ R(A1/2) ∩ S .

Demostracion. En la Prop. 2.4.1 (aplicada a A2) vimos que R(A)∩S = R(

SC (A2 , S)1/2 )

.

Por otro lado, la Prop. 2.3.4 dice que SC (A2 , S) ≤ SC (A , S)2. A partir de ello, el Teo. de

Douglas 2.1.1 nos asegura que R(A) ∩ S = R(SC (A2 , S)1/2

) ⊆ R(

SC (A , S)).

La otra inclusion se sigue de que R(

SC (A , S))⊆ R

(SC (A , S)1/2 ) (2.6)

= R(A1/2) ∩ S. �

El siguiente lema sera de utilidad en muchas cuentas futuras:

Lema 2.4.3. Sean B ∈ L(H)+ y N v H. Luego se tiene la igualdad

B−1 (N⊥ ) = B (N )⊥ (2.7)

Demostracion. Dado un y ∈ H se tiene que 〈B x , y〉 = 0 para todo x ∈ N si y solo si〈x , B y〉 = 0 para todo x ∈ N . Si se mira bien, eso es (2.7). �

Por comodidad notacional, para un X ⊆ H cuyo nombre sea muy largo, de ahora en masalgunas veces escribiremos c l (X) en vez de X para denotar a su clausura.

Proposicion 2.4.4. Sean A ∈ L(H)+, S v H y M = A−1/2(S). Entonces

1. c l(

kerA+ S⊥)⊆ ker SC (A , S) = A−1/2(M⊥).

2. ker SC (A , S) = kerA+ S⊥ ⇐⇒ A1/2(S⊥) es cerrado en R(A1/2).

Demostracion.

1. Por un lado, usando la Prop. 2.4.1 se tiene

c l(kerA+ S⊥

)⊆ (R(A1/2) ∩ S)⊥ = ker SC (A , S)1/2 = ker SC (A , S) .

Por el otro, como SC (A , S)(2.4)= A1/2 PMA1/2, vemos que

ker SC (A , S) = ker (A1/2 PMA1/2) = ker (PMA1/2) = A−1/2(M⊥) .

26

2. Dado que(A1/2(S⊥)

)⊥ (2.7)= A−1/2(S) =M, se tiene c l

(A1/2(S⊥)

)=M⊥. Luego

A1/2(S⊥) v R(A1/2) ⇐⇒ M⊥ ∩R(A1/2)?= A1/2(S⊥) .

Pero como ambos viven dentro de R(A1/2), la igualdad?= equivale a que

ker SC (A , S) = A−1/2(M⊥)A−1/2(?)

= A−1/2(A1/2(S⊥)

)= kerA+ S⊥ . �

EL shorted es la mayor “parte” de un A ∈ L(H)+ que trabaja dentro de un S v H. Dimosbastante informacion sobre quien es y cuales son su imagen y su nucleo. Estudiemos ahoralo que le “sobra”, que se suele llamar la S-compresion de A.

Definicion 2.4.5. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Al operador

ASdef= A− SC (A , S) ∈ L(H)+

lo llamaremos la S-compresion de A. 4

Proposicion 2.4.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces

R(AS1/2) ∩ S = {0} y kerAS = A−1(S) .

Demostracion. Supongamos que nos dan un x ∈ R(AS1/2) ∩ S. Consideremos el proyector

P = Px = x� x ∈ P(H). Como R(P ) ⊆ R(AS1/2), por el Teorema de Douglas 2.1.1,

existe λ > 0 tal que λP ≤ AS = A− SC (A , S) =⇒ λP + SC (A , S) ≤ A .

Pero al asumir que x ∈ S nos queda que λP + SC (A , S) ∈ M(A , S) y le gana al shorted.Luego P debe ser nulo y x era el 0, como anunciabamos.

Por otro lado, si M = A−1/2(S), entonces por la Prop. 2.3.3,

SC (A , S) = A1/2PMA1/2 =⇒ AS = A1/2(I − PM)A1/2 .

Luego el kerAS = ker (I − PM)A1/2 = A−1/2(M) = A−1/2(A−1/2(S)

)= A−1(S). �

2.5 Otras caracterizaciones del Shorted.

Teorema 2.5.1 (Ando - Descomposicion de Lebesgue). Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entoncesexisten unicos F y G ∈ L(H)+ tales que:

A = F +G , R(F 1/2) ⊆ S y R(G1/2) ∩ S = {0} . (2.8)

Mas aun, ellos no son otros que F = SC (A , S) y G = AS .

27

Demostracion. La definicion del shorted y la Prop. 2.4.6 nos dicen que si elegimos los oper-adores F = SC (A , S) y G = AS , ellos cumplen las condiciones de (2.8).

Supongamos ahora que nos dan otro par F y G ∈ L(H)+ que tambien las satisfacen. Luego

R(F ) ⊆ R(F 1/2) ⊆ S y F ≤ AF∈M(A ,S)

=⇒ Bdef= SC (A , S)− F ∈ L(H)+ .

Entonces escribamos a G = A− F = AS +B ≥ B. Luego tenemos que

R(B1/2) ⊆ S y por Douglas 2.1.1 R(B1/2) ⊆ R(G1/2) .

Como R(G1/2) ∩ S = {0} queda que B = 0 y SC (A , S) = F . �

Teorema 2.5.2. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+. Llamemos C ∈ L(S,S⊥)

a la SR de la ecuacion B = D1/2X (que existe por la Prop. 2.2.3). Entonces

SC (M , S) =

[A− C∗C 0

0 0

].

Demostracion. Podemos partir a M usando a la solucion C del siguiente modo:

M =

[A B∗

B D

]=

[A− C∗C 0

0 0

]+

[0 C∗

0 D1/2

] [0 0C D1/2

]= F +G .

Para mostrar que F = SC (M , S) bastarıa verificar que F y G estan en las condiciones delTeo. 2.5.1. Vamos por partes. Es claro que G ≥ 0. Por el Cor. 2.1.2, se tiene que

R(G1/2) = R

([0 C∗

0 D1/2

]).

Ahora bien, si

[0 C∗

0 D1/2

] [xy

]=

[C∗ yD1/2 y

]=

[z0

]∈ R(G1/2) ∩ S, entonces D1/2y = 0.

Pero observemos que ker(D1/2) ⊆ ker(C∗), porque C es la SR de B = D1/2X. Luego tambienz = C∗y = 0, y llegamos a que R(G1/2) ∩ S = {0}. Por otro lado, la Prop. 2.2.4 nos aseguraque F ≥ 0 y el hecho de que R(F 1/2) ⊆ S sale mirando su matriz. �

Corolario 2.5.3. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+. Supongamos ahora que

R(D) v H. Entonces tenemos esta nueva descripcion del shorted:

SC([

A B∗

B D

], S)

=

[A−B∗D†B 0

0 0

].

Demostracion. Sale porque la SR de la ecuacion B = D1/2X es (D1/2)†B = (D†)1/2B . �

28

Ejercicio 2.5.4. Sea S v H. Recorderemos la casimatriz M =

[? B∗

B D

]SS⊥ del

Ejer. 2.1.5. Consideremos ahora el conjunto de bloques 1,1 adecuados:

P(M , S) ={X ∈ L(S)+ :

[X B∗

B D

]∈ L(H)+

}.

El Ejer. 2.1.5 decıa que P(M , S) 6= ∅ ⇐⇒ R(B) ⊆ R(D1/2). Este ejercio consiste enprobar que, en tal caso, existe X0 = minP(M , S) y ademas identificarlo. 4

Alguien dijo que en un problema de aproximacion, todo maximo de algo puede tambien serdescrito como un mınimo. Eso pasa con las normas de operadores (supremo en la bola, peromınimo de las cotas superiores). Ahora veremos dos caracterizaciones del shorted (definidocomo un maximo) que se obtienen tomando ınfimos adecuados:

Proposicion 2.5.5. Sean M ∈ L(H)+ y S v H. Dado x ∈ S, se tiene que⟨SC (M , S)

[x0

],[x0

] ⟩= inf

{⟨M[xy

],[xy

] ⟩: y ∈ S⊥

}. (2.9)

Demostracion. Observar que para todo y ∈ S⊥ se debe cumplir que

mdef=

⟨SC (M , S)

[x0

],

[x0

]⟩=

⟨SC (M , S)

[xy

],

[xy

]⟩≤⟨M

[xy

],

[xy

]⟩,

por lo que m es una cota inferior. Pero escribiendo a M como una matriz 2× 2, el Teo. 2.5.2y la Ec. (2.2) de la Prop. 2.2.4, aseguran que m debe ser el ınfimo, porque hay una sucesion(yn)n∈N en S⊥ que aproxima el valor de 〈SC (M , S) x , x〉. �

Teorema 2.5.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Consideremos el conjunto

N (A,S) = {QAQ∗ : Q ∈ P(H) y R(Q) = S} .

Entonces SC (A , S) = ınfN (A,S), con respecto al orden usual de A(H).

Demostracion. Llamemos PS(H) = {Q ∈ P(H) : R(Q) = S}. Un ejercicio facil dice que

dado un Q ∈ PS(H), debe existir un B ∈ L(S⊥ , S) tal que Q =

[I B0 0

]SS⊥ (sale usando

que PS Q = Q) . Luego, dado y = x+ z ∈ S ⊕ S⊥ = H, se tiene que

〈QAQ∗y , y〉 =

⟨AQ∗

[xz

], Q∗

[xz

]⟩=

⟨A

[x

B∗ x

],

[x

B∗ x

]⟩. (2.10)

Observar que cualquier B ∈ L(S⊥ , S) produce un Q =

[I B0 0

]∈ PS(H). Luego los

valores w = B∗ x recorren todo S⊥. Usando la Prop. 2.5.5 y la Ec. (2.10) deducimos que

infQ∈PS〈QAQ∗ y , y〉 = inf

w∈S⊥

⟨A

[xw

],

[xw

]⟩(2.9)=

⟨SC (A , S)

[x0

],

[x0

]⟩= 〈SC (A , S) y , y〉 ,

29

para todo y = x + z ∈ S ⊕ S⊥ = H. Luego SC (A , S) = infN (A,S), en el sentido de quees cota inferior y debe ser mayor que todas las otras cotas. �

2.6 Convergencia.

Proposicion 2.6.1. Sean {An}n∈N una sucesion en L(H)+ tal que AnSOT

↘n→∞

A y {Sn}n∈N una

sucesion decreciente de subespacios cerrados de H. Entonces

SC (An , Sn)SOT

↘n→∞

SC (A , S) , donde S =∞⋂n=1

Sn .

Demostracion. Llamemos Bn = SC (An , Sn) para cada n ∈ N. Por la Prop. 2.3.3, nuestrasucesion {Bn}n∈N es decreciente en L(H)+. Por lo de abajo de la Ec. (1.2), debe tener unlımite (ınfimo) en la topologıa fuerte de operadores SOT, al cual denotaremos B ∈ L(H)+.

Como SC (A , S) ≤ Bn ≤ A para todo n ∈ N, nos queda que SC (A , S) ≤ B ≤ A. Luegobastarıa verificar que R(B) ⊆ S para que B ∈ M(A,S), porque ello nos darıa la otradesigualdad B ≤ SC (A , S). Para convencernos de que R(B) ⊆ S, usemos Douglas 2.1.1:

B ≤ Bn =⇒ R(B) ⊆ R(B1/2) ⊆ R(B1/2n

) (2.6)= R(A1/2

n ) ∩ Sn ⊆ Sn ,

para todo n ∈ N. Ası que R(B) ⊆∞⋂n=1

Sn = S. �

La Prop. 2.6.1 mata dos pajaros de un tiro. Para entenderla mejor veamos dos casos parti-culares que son interesantes en sı mismos:

Corolario 2.6.2. Trabajaremos en H que es un EH.

1. Sea S v H. Si nos dan una sucesion {An}n∈N en L(H)+ tal que AnSOT

↘n→∞

A, vale que

SC (An , S)SOT

↘n→∞

SC (A , S) .

2. Si ahora fijamos el operador A ∈ L(H)+ y tenemos una sucesion decreciente {Sn}n∈Nde subespacios cerrados de H, ahı nos queda que

SC (A , Sn)SOT

↘n→∞

SC (A , S) , donde S =∞⋂n=1

Sn .

Demostracion. Es la Prop. 2.6.1 fijando cada una de las variables. �

Ahora buscaremos condiciones suficientes para garantizar la convergencia en norma.

30

Lema 2.6.3. Sean A ∈ Gl(H)+ y S v H. Entonces

SC (A+ εI , S)‖ · ‖−−−→ε→0+

SC (A , S) .

Demostracion. Dado ε > 0, llamemos λε = 1 + ε‖A−1‖. Como I ≤ ‖A−1‖A, deducimos queA+ εI ≤ λεA y por ende SC (A+ εI , S) ≤ λε SC (A , S). Por lo tanto,

SC (A , S) ≤ SC (A+ εI , S) ≤ λε SC (A , S)‖ · ‖−−−→ε→0+

SC (A , S) ,

por lo que SC (A+ εI , S) converge ensanguchadamente a SC (A , S). �

Teorema 2.6.4. Sean A ∈ Gl(H)+ y (An)n∈N una sucesion en Gl(H)+ tal que

An‖ · ‖−−−→n→∞

A y An ≥ A para todo n ∈ N .

Entonces, para todo S v H, se cumple que

SC (An , S)‖ · ‖−−−→n→∞

SC (A , S) .

Demostracion. Observar que An = A + (An − A) ≤ A + ‖An − A‖ I para todo n ∈ N. Siabreviamos εn = ‖An − A‖ −−−→

n→∞0, por el Lema anterior se tiene que

‖SC (An , S)− SC (A , S) ‖ ≤ ‖SC (A+ εnI , S)− SC (A , S) ‖ −−−→n→∞

0 ,

donde el ≤ vale porque en general 0 ≤ B ≤ CEj.

=⇒ ‖B‖ ≤ ‖C‖. Y usamos que cada An ≥ Apara que lo de adentro de las normas sea siempre positivo. �

2.7 La ecuacion X = A−B∗X−1B.

Definicion 2.7.1. Sean A ∈ A(H) y B ∈ L(H). Dado n ∈ N, llamaremos

Zn(A,B) =

A B∗ 0 . . . 0B A B∗ . . . 0...

. . . . . . . . ....

0 . . . B A B∗

0 . . . 0 B A

∈ A(Hn+1) .

Si A = I, escribiremos Zn(B) en lugar de Zn(I, B). 4

Observacion 2.7.2. Sean a ∈ R∗+

y b ∈ C. Supongamos que Zn(a, b) > 0 para todo n ∈ N.

Llamemos d0 = a, dn = detZn(a, b) y xn =dndn−1

, n ∈ N. Es facil ver, desarrollando por las

primeras columnas, que se tiene la formula recursiva

dn+1 = a dn − |b|2 dn−1 =⇒ xn+1 =dn+1

dn= a− |b|2 dn−1

dn= a− |b|2x−1

n , n ∈ N .

31

Como x1 = a2−|b|2a≤ a = x0, uno muestra recursivamente que (xn)n∈N es un sucesion

decreciente. Por lo tanto, su lımite x debe cumplir

0 < x y x = a− |b|2x−1 = a− b x−1 b .

Veremos que una condicion de este tipo es necesaria y suficiente para la positividad de lasmatrices Zn(A,B), incluso en el caso de operadores. Tal ecuacion serıa

X = A−B∗X−1B (todos en L(H), pero A y X en L(H)+) .

Esta ecuacion es interesante en sı misma, dado que tiene aplicaciones en teorıa de circuitoselectricos. Para evitar pedir que nadie sea inversible, se la puede mejorar usando operadoresshorted, usando la formula (2.11) del siguiente Teorema. Si X > 0, el Cor. 2.5.3 dice que(2.11) es equivalente a la ecuacion anterior. 4

Teorema 2.7.3. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ L(H). Son equivalentes:

1. Existe X ∈ L(H)+ tal que[A B∗

B X

]∈ L(H⊕H)+ y SC

([A B∗

B X

], H⊕ {0}

)=

[X 00 0

]. (2.11)

2. El conjunto M(A,B) ={Y ∈ L(H)+ :

[A− Y B∗

B Y

]≥ 0}6= ∅.

3. Para todo n ∈ N, Zn(A,B) ∈ L(Hn+1)+.

En tal caso, existe X = maxM(A,B), y es una de las soluciones de la Ec. (2.11).

Demostracion. Si existe un X que cumpla la Ec. (2.11), entonces X ∈ M(A,B) 6= ∅.Supongamos ahora que existe Y ∈M(A,B). Tenemos que

0 ≤ Y ≤ A por lo que 0 ≤[A− Y B∗

B Y

]≤[A B∗

B A

]= Z2(A,B) .

Analogamente,

0 ≤

A− Y B∗ 0B Y 00 0 0

+

0 0 00 A− Y B∗

0 B Y

=

A− Y B∗ 0B A B∗

0 B Y

≤ Z3(A,B) .

Inductivamente, uno prueba que Zn(A,B) ≥ 0 para todo n ∈ N.

Veamos ahora que 3 → 1: Notemos X0 = A y Xn = SC (Zn(A,B) , H⊕ {0n}), para cadan ∈ N. Pensamos a todos los Xn como con operadores en L(H)+ (dado que solo operanen la primera cordenada de Hn+1). Llamemos Bn = (B, 0n−1) ∈ L(H)n, pensado como

32

una columna, o bien Bn = (0n−1 , B) ∈ L(H)n, como vector fila. Entonces, si tomamosZ0(A,B) = A, se tienen las igualdades

Zn+1(A,B) =

[A B∗n+1

Bn+1 Zn(A,B)

]=

A B∗n 0Bn Zn−1(A,B) B∗n0 Bn A

para todo n ∈ N .

Por la Prop. 2.5.5, para todo x ∈ H y todo n ∈ N,

〈Xnx, x〉 = inf

{⟨[A B∗nBn Zn−1(A,B)

] [xy

],

[xy

]⟩: y ∈ Hn

}

≥ inf

⟨ A B∗n 0

Bn Zn−1(A,B) B∗n0 Bn A

xyz

, xyz

⟩ : (y, z) ∈ Hn ⊕H

= 〈Xn+1 x, x〉 ,

es decir que la sucesion Xn es decreciente. Al tomar el ınfimo sobre y ∈ Hn de la ecuacionanterior, si escribimos y = (y1, y2) ∈ H ⊕Hn−1 nos queda

〈Xnx, x〉 = 〈Ax, x〉+ infy=(y1,y2)∈Hn

{2 Re 〈Bx, y1〉+ 〈Zn−1(A,B)y, y〉} .

Si fijamos y1 ∈ H y movemos y2 ∈ Hn−1, obtenemos

infy2∈Hn−1

⟨Zn−1(A,B)

[y1

y2

],

[y1

y2

]⟩= 〈Xn−1y1, y1〉 .

Tomando ahora ınfimo sobre y1 ∈ H, llegamos a que, para todo x ∈ H y n ∈ N,

〈Xnx, x〉 = inf

{⟨[A B∗

B Xn−1

] [xy1

],

[xy1

]⟩: y1 ∈ H

}.

Aplicando nuevamente la Prop. 2.5.5, esto se reescribe como[A B∗

B Xn−1

]≥ 0 y SC

([A B∗

B Xn−1

], H⊕ {0}

)=

[Xn 00 0

], (2.12)

para todo n ∈ N. Tomemos X el lımite para n → ∞ de los Xn (que existe, al menos en latopologıa fuerte de operadores, por ser la sucesion decreciente). Luego, mirando el lımite en

la Ec. (2.12), obtenemos que

[A B∗

B X

]≥ 0. Por la Prop. 2.6.1, deducimos que X verifica

la formula (2.11). Finalmente, observar que X ∈ M(A,B) y, si Y ∈ M(A,B), entoncesY ≤ A = X0 . Si hubieramos obtenido que Y ≤ Xn−1 , para cada x ∈ H tendrıamos que[

Y 00 0

]≤[A B∗

B Y

]≤[A B∗

B Xn−1

]=⇒ Y ≤ Xn ,

por la Ec. (2.12) y la Def. 2.3.2 de operador shorted. Tomando ınfimo, llegamos a que Y ≤ X.�

33

Observacion 2.7.4. El operador X construido en la prueba del Teo. 2.7.3 se puede obtenerrecursivamente por la siguiente receta, usando la formula (2.12): Tomar X0 = A y, paran ∈ N, tomar [

Xn+1 00 0

]= SC

([A B∗

B Xn

], H⊕ {0}

).

Luego Xn ≥ 0 para todo n ∈ N y XnS.O.T.−−−→n→∞

X decrecientemente. 4

Observacion 2.7.5. Una variacion: Fijemos cualquier Y0 ∈M(A,B). Como[A B∗

B Y0

]≥ 0 podemos definir Y1 = SC

([A B∗

B Y0

], H⊕ {0}

),

pensado en L(H)+ (sin los tres ceros). Del hecho de que Y0 ∈M(A,B), deducimos que[Y0 00 0

]≤[A B∗

B Y0

]=⇒ Y0 ≤ Y1 y

0 ≤[A− Y1 B∗

B Y0

]≤[A− Y1 B∗

B Y1

]=⇒ Y1 ∈M(A,B) .

Definiendo recursivamente Yn+1 = SC([

A B∗

B Yn

], H⊕ {0}

), obtenemos una sucesion

creciente en M(A,B) cuyo supremo Y debe cumplir la Ec. (2.11). En principio no se sabesi la solucion Y es la misma del proceso anterior (o del que resulte de empezar con otroelemento de M(A,B) ).

En efecto, la solucion X de la Ec. (2.11) no es necesariamente unica, como lo muestrael caso unidimensional, donde la ecuacion x = a − x−1|b|2 puede producir dos solucionespositivas: si b 6= 0,

x = a− x−1|b|2 ⇐⇒ x2 − ax+ |b|2 = 0 ⇐⇒ x =a±

√a2 − 4|b|22

,

siempre que 2|b| ≤ a. Esta condicion, que es entonces equivalente al hecho de que Zn(a, b) ≥ 0para todo n ∈ N, se puede generalizar a operadores (usando el radio numerico en lugar delmodulo). 4

Observacion 2.7.6. Si en el Teo. 2.7.3 se toman sistematicamente operadores shorted sobreel subespacio {0} ⊕H (es decir, que se trabaja en el lugar 2, 2 de las matrices en cuestion),se obtiene, bajo las mismas hipotesis (los Zn(A,B) ≥ 0), un operador X2 que es solucion dela Ec. (2.11) con B cambiado por B∗. Ademas,

X2 = max

{Z ∈ L(H)+ :

[Z B∗

B A− Z

]≥ 0

}= minM(A,B) ,

34

dado que la aplicacion Z 7→ A − Z = Y manda el conjunto del medio sobre M(A,B), einvierte el orden. En dimH = 1, se tiene que, si 0 < 2|b| ≤ a y 0 < y < a,[

a− y bb y

]≥ 0 ⇐⇒ (a− y)y ≥ |b|2 ⇐⇒ y2 − ay + |b|2 ≤ 0

⇐⇒a−

√a2 − 4|b|22

≤ y ≤a+

√a2 − 4|b|22

.

Por lo tanto, el mınimo y el maximo de M(a, b) son las soluciones de la Ec. (2.11) paraA = a y B = b. Esto sucede porque b es “normal” y porque x y b conmutan. En general,las ecuaciones

X = A−B∗X−1B y X = A−BX−1B∗

no tienen por que tener las mismas soluciones. Pero si B = B∗, sı sabemos que X2 = A−Xy es otra solucion de la Ec. (2.11). 4

Corolario 2.7.7. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ A(H) . Entonces se cumplen las condiciones delTeo. 2.7.3 si y solo si

A/2 ∈M(A,B) ⇐⇒[A/2 BB A/2

]≥ 0 ⇐⇒ −A

2≤ B ≤ A

2.

Demostracion. Observar que M(A,B) es convexo, yX + (A−X)

2= A/2. Luego la primera

equivalencia se sigue de la Obs. 2.7.6. La ultima ecuacion equivale a la del medio por elCor. 2.2.9. �

Nota: Los resultados de esta seccion estan basados en los trabajos de Ando [16] y Anderson-Morley-Trapp [12].

2.8 Ejercicios

Ejercicio 2.8.1. Sean S v Cn, y A =

[A11 A∗21

A21 A22

]SS⊥ ∈Mn(C)+.

1. R(SC (A , S)) = R(A) ∩ S y N(SC (A , S)) = N(A) + S⊥.

2. Si A ∈ Gl (n)+, entonces tambien SC (A , S) > 0 (pensado en L(S) ). Mas aun, si

A−1 =

[(A−1)11 (A−1)12

(A−1)21 (A−1)22

], entonces (A−1)11 = SC (A , S)−1 .

3. Dados A,B ∈ L(H)+ tales que A ≤ B, notemos

[A,B] = {X ∈ L(H)+ : A ≤ X ≤ B} .

Observar que [A,B] es convexo. Probar que

35

a. Los puntos extremales de [0, I] son los proyectores autoadjuntos de L(H).

b. Si A ∈ Gl (H)+, entonces ext([0, A]) = {SC (A , S) : S v H }, que incluyen a0 = SC (A , {0}) y A = SC (A , H).

4. Si f : [0,+∞)→ R es una funcion monotona de operadores tal que f(0) ≤ 0, entonces,f(SC (A , S)) ≤ SC (f(A) , S) .

5. La sucesion

{detA(

det (Am)nn)1/m

}m∈N

es decreciente, y

µn(A) ≤ limm→∞

detA(det (Am)nn

)1/m .

36

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