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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica2° de Secundaria
Base de datos03-2009-121509583800-01
Dibujo03-2009-121510131500-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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CONOCIENDO A PITÁGORAS
Ángel Luna
SECUNDARIA 2
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducciónAntecedentesJustificaciónObjetivos generalesEstrategias didácticas
Actividades con números naturalesTriángulo PitagóricoActividad 1 • Resolver problemas de conteo con el Triángulo PitagóricoActividad 2 • Reproducción a escalaActividad 3 • Construir sucesiones de númerosActividad 4 • Proyecciones isométricasActividad 5 • VolumenActividad 6 • Ruleta Pitagórica Demostración del Teorema de Pitágoras Aplicando la fórmula del Teorema de Pitágoras Otro uso del Teorema de Pitágoras ¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras? Resolución de problemas Calculando valores
Pitágoras sin palabrasActividad 7 • Demostrando Pitágoras Actividad 8 • El tangram se relaciona con PitágorasActividad 9 • Áreas y PitágorasActividad 10 • El recíproco de PitágorasActividad 11 • Corte para obtener Pitágoras
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El cuadrado mágicoIntroducción • Nivel • Cuadrado mágico, el juego clásicoActividad 15 • EjerciciosEl cuadrado mágico de 4×4Actividad 16 • EjerciciosEl cuadrado perfectoEl cuadrado del caballo El octágono mágicoEl triángulo mágicoLa estrella mágica
Actividad 12 • No es necesario siempre cortarActividad 13 • TeselasActividad 14 • Ejercicios libres
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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IntroducciónLa enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene como propósito el de-sarrollo de nociones y conceptos que sean útiles para los alumnos, así como permitirles comprender y describir su entorno y adquirir los conocimientos y herramientas para re-solver problemas de la vida real1. Los conocimientos, las habilidades y el razonamiento son necesarios para ahondar en el estudio de matemá ticas más complejas y acceder al conocimiento de otras disciplinas como, por ejemplo, la física, la biología, la economía, etcétera.
Lo anterior nos indica la constante necesidad que tenemos de fortalecer nuestros co-nocimientos matemáticos, tanto profesionistas y especialistas como el ciudadano común. Nuestros alumnos de secundaria forman parte de estos grupos para los que las matemá-ticas resultan indispensables dentro de su formación académica.
La Caja Pitagórica es un material didáctico de apoyo para el maestro en el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos matemáticos. Las actividades que se desarrollan a partir de este material propician la interrelación del alumno con su maestro, sus compa-ñeros y el medio, favoreciendo su evolución en lo individual y en lo social.
Propósitos generales A través de diversas actividades el alumno:
• Estimula la capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para recono-cer, plantear y resolver problemas.• Apoya en su papel formativo el desarrollo de las habilidades operatorias, comunica-tivas y de descubrimiento para que adquiera seguridad y destreza, además de fomentar su curiosidad e imaginación creativa, a fin de que adopte estrategias adecuadas en la resolución de diversos problemas.• Desarrolla habilidades para la realización de trazos y construcciones geométricas, la imaginación espacial y la práctica del razonamiento deductivo.• Amplía su capacidad de transitar por distintos códigos: verbal, algebraico y gráfico.
1 Lo anterior es posible, al propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conjeturas, se planteen preguntas y adquieran las herramientas y conocimientos necesarios en matemáticas.
El aprendizaje significativo de las matemáticas no se reduce a la memorización de hechos, definiciones y teoremas, ni a la aplicación mecánica de procedimientos. Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro pue-de diseñar e implementar actividades adicionales con los mismos, e incorporar tales actividades, según convenga.
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AntecedentesExiste un sinnúmero de problemas básicos en matemáticas que involucran aspectos aritméticos, geométricos y algebraicos. Es sorprendente que muchos de estos ejerci-cios requieren para su solución de un planteamiento elemental2, el cual puede utilizar técnicas de conteo, algún cuerpo geométrico, una expresión algebraica y, en algunos casos, pueden estar inmersos simultáneamente todos estos aspectos.
Una de las motivaciones de iniciar el estudio del Teorema de Pitágoras, en la instrucción a nivel secundaria, descansa en su utilidad, en las aplicaciones indirectas de dicho teorema. Para ello describamos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño que ya camina sin dificul-tad en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto un regalo (sobre la diagonal del rectángulo) y pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos observar que la mayoría de las veces la trayectoria que aproximadamente seguirá (salvo excepciones) es la trayectoria que des-cribe la diagonal. De forma inconsciente, el niño hace uso de manera implícita de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras, a saber, la que expresa: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento según sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario nuestra respuesta es: no. Podríamos aludir que la decisión de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia, adquirida de manera empírica, en cuanto al tiempo que requerimos para desplazarnos de un lugar a otro3. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si nosotros utilizamos a una rata en el experimento anterior, observaremos que se desplaza por las paredes, la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con, al menos, una situación de carácter real y que involucra a la distancia4 (aplicaciones en geometría, física, etc.) la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
Aclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior; sus alcances y aplicaciones son tales que, introdu-cirlo de manera informal5, facilita al alumno el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos trabajar de manera implícita con dicho teorema. Esto es posible porque éste expone, de manera aritmética, algebraica y geométrica, las propiedades que se estudian de manera más formal en este nivel.
2 Es importante mencionas que “elemental” no significa “fácil”.3 Aplicación del concepto distancia-tiempo.4 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.5 Podemos trabajar con él, sin mencionarlo por su nombre.
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JustificaciónEl estudio de los contenidos de matemáticas que se considera para nivel secundaria, pre-tende que los alumnos logren un conocimiento sólido y competitivo con mayor sentido, de modo que cuenten con más argumentos para abordar un problema. Se consideran los conocimientos y las habilidades que el alumno obtuvo en la primaria y en el primer grado de secundaria, para establecer lo que aprenderán en el segundo grado de secundaria.
Los contenidos que se estudian en el material didáctico de la Caja Pitagórica abarcan los siguientes ejes: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, y manejo de la información.
En sentido numérico y pensamiento algebraico se alude al estudio de la aritmética y el álgebra; en forma, espacio y medida, al estudio de la geometría y la medición, y en manejo de la información, a situaciones deterministas o aleatorias.
Con el desarrollo de los contenidos se pretende que el alumno adquiera la capacidad de comprender y expresar en forma clara y precisa diversos modelos matemáticos, con los cuales pueda cuantificar y relacionar los cambios que experimentan diversas ciencias. La aritmética, el álgebra, la geometría y el manejo de la información son temas que se abar-can con el material didáctico de la Caja Pitagórica. Además se tienen, entre otros propósi-tos, plantear y resolver problemas que propicien el desarrollo gradual del razonamiento inductivo-deductivo.
Sin duda, el Teorema de Pitágoras es una herramienta fundamental en el cálculo geométrico, algebraico y aritmético; para que los alumnos puedan usarla con soltura es necesario que, desde primero hasta tercero de secundaria, conozcan los alcances y aplicaciones del teorema.
Objetivos generales
Se pretenden mostrar en el área cognoscitiva y lúdica las siguientes estructuras de estudio:
• El alumno comprenderá, reconocerá y analizará el estudio de los triángulos y el Teo-rema de Pitágoras.• Desarrollará las estrategias de conteo y cálculo mental. • Comprenderá la aplicación de las fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas, así como del Teorema de Pitágoras.• Desarrollará capacidades de manipulación, dibujo y medida, así como el uso de las fórmulas.• Desarrollará gradualmente el razonamiento deductivo para analizar y resolver pro-blemas.
El alumno juega, al mismo tiempo que se relaciona con otros compañeros, de tal manera que la recreación matemática facilita mostrar el aspecto lúdico de la matemática.
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Las siguientes actividades tienen como objetivos reforzar habilidades manuales, visua-les y espaciales, así como estimular los procesos de razonamiento, pues el alumno utilizará la comparación entre objetos, quitará o agregará objetos, diferenciará objetos planos, etc. Más aún, obtendrá con estos conocimientos básicos demostraciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importante recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar las actividades que le conciernen.
Estrategias didácticasEl planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que sustentan los progra-mas para la educación secundaria consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los invite a reflexionar, a encontrar diferentes for-mas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados.
La importancia de la didáctica de las matemáticas radica en que el maestro oriente a los alumnos para que adquieran un mejor nivel de abstracción, mediante una formación aritmética que les permita adentrarse en el pensamiento y el lenguaje simbólico, mismos que les servirán para la construcción del pensamiento algebraico y geométrico. No es fácil lograrlo. Sin embargo, con las sugerencias didácticas, los procedimientos y la metodolo-gía, así como con la ejercitación constante, los alumnos seguramente lo desarrollarán.
Uno de los objetivos de la guía es apoyar al maestro en las cuatro competencias que tienen características claras: el planteamiento y la resolución de problemas, la argumenta-ción, la comunicación y el manejo de técnicas. Las estrategias que indican los programas de matemáticas para el desarrollo de las mismas incluyen una serie de actividades perma-nentes que sirvan de apoyo para el proceso enseñanza-aprendizaje; éstas son: resolución de problemas, estimación de resultados, cálculo mental, uso inteligente de la calculadora, uso de los instrumentos de dibujo y manejo del lenguaje simbólico.
El maestro debe elegir y organi zar de la manera que considere conveniente las actividades del curso, a fin de propiciar el aprendizaje de los alumnos, utilizando para ello su experiencia.
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Actividades con
números naturales
Triángulo Pitagórico
El Triángulo Pitagórico es un material didáctico que nos permite la interpretación geométri-ca, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras. El material facilita al alumno verificar la validez del teorema, cuya representación algebraica está dada por la siguiente expresión algebraica:
c2 =a2+b2
La cual establece la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Tiene el propósito de apoyar al maestro de nivel secundaria en la explicación de algunos contenidos temáticos del Teorema de Pitágoras, que constituye un tema de gran utilidad en diversas áreas de la matemática. Invita a utilizar el pensamiento lógico matemático y fomenta el desarrollo de habilidades matemáticas, a través de la utilización de diversos sentidos. Por ejemplo, “jugando” con los cubos (psicomotricidad, conteo, etc.), la obser-vación se estimula (desarrolla actividades que le permiten clasificar, obtener seriaciones, simetrías, conteo mental, etc.), con el objetivo de establecer y comprender la relación entre los catetos y la hipotenusa de los triángulos rectángulos, relación que establece el teorema.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; el reciproco del teorema puede verse en la sección Pitágoras sin palabras.
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: resolución de problemas, estimación de resultados, cálculo mental, uso inteligente de la cal-culadora, uso de los instrumentos de dibujo y manejo del lenguaje simbólico.
Observación:
En la ecuación anterior, cada uno de los términos representa el área de un cuadrado de lado a, b y c, respectivamente. Por tanto la expresión anterior, en términos de áreas, se expresa en la forma siguiente:
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Resolver problemas de conteo con el Triángulo Pitagórico
Realicen estos ejercicios con el tablero del Triángulo Pitagórico, “jugando” con el kit de cu-bos, regletas y tabletas de diversos tamaños, a través de la aplicación del conteo mental.
1.- El objetivo es analizar la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras, considerando su formula c² =a² + b² para poder comprender la relación entre los catetos y la hipotenusa de los triángulos rectángulos.Cuando el resultado del cálculo mental exceda lo que abarca un tablero, sea cateto o hipote-nusa, se podrá apilar sobre el tablero el faltante (regletas, tabletas, etc.) para completar.
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Se concede importancia especial al estudio del tema de los triángulos. Se abordan las definiciones de triángulo, vértice, lado y ángulo. Se estudia el cálculo de perímetro y área, para lo cual utilizaremos el sistema métrico decimal. Los ejemplos y ejercicios permiten que los alumnos analicen y trabajen problemas con triángulos.
Actividad 1
Ejercicios:
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Triángulo Pitagórico:
• ¿Cómo interpretar el Teorema de Pitágoras?
Objetivos:
• Desarrollar habilidades prácticas de operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación etc., por medio de la práctica del cálculo mental, en donde la co-ordinación ojo-mano juega un papel importante.• Comprender la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teorema de Pitá-goras.• Aplicar de manera inmediata los aprendizajes adquiridos al trabajo real, cumpliendo con la característica de “aprender haciendo”.
Recursos materiales:
• El material didáctico del Triángulo Pitagórico.• Hojas blancas y lápiz.
Introducción:
• Explique al grupo que vamos a aprender a manejar el material didáctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar la actividad.• Dividan a todos los miembros del grupo en equipos.• Disponga al grupo en forma de círculo o semicírculo, para que todos observen la ejecución de la actividad.
Desarrollo:
a) El resultado del aprendizaje es la interpretación del Teorema de Pitágoras, la visuali-zación geométrica de la relación pitagórica que se verifica con base en la fórmula del Teorema de Pitágoras: c² = a² + b².
Comprobaremos que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.b) Empiece el ejercicio, colocando las medidas de los catetos y dejando la longitud de la hipotenusa. Después, realicen el cálculo mental de las áreas del cuadrado de los catetos. A partir de esa suma se obtiene el área del cuadrado de la hipotenusa como resultado. Se procede a embonar los cubos, regletas y tabletas con las cantidades obtenidas del cálculo mental.c) Ejecute el procedimiento completo, explicando lo que se hace y cómo se hace, a un ritmo menor que el empleado en la realidad, con el fin de facilitar la comprensión.
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d) Cuando termine el procedimiento, invite al grupo, de acuerdo con su decisión, a trabajar en parejas, tríos o equipos, con sus respectivos representantes. Para comenzar el juego, pídales como reto solucionar correctamente todos los ejercicios de tercias que se proponen más adelante.e) El equipo que resuelva todos los ejercicios a la primera vez, ejecutando cálculo mental, será el equipo ganador de este juego. También pueden considerarse tiempos límites de 2 minutos para un ejercicio de tercias numéricas.
Ejemplo de ejercicio: Considere el triángulo rectángulo tal que a=3 y b=4 son las longitudes de los ca-tetos y c=5 la longitud de la hi-potenusa; se cumple:
2.- Las tercias numéricas pitagóricas para realizar los ejercicios de cálculo mental son los siguientes:
a² + b² = c²3² + 4² = 5²9 + 16 = 25
a) 12 b) 8c) 12d) 16e) 8f) 21g) 24h) 10
5691215207 24
13101520 17 292526
Catetos Hipotenusa Relación
a² + b² = c² c² = a² + b²
13² = 12²10² = 8²15² = 12²20² = 16²17² = 8²29² = 21²25² = 24²26² = 10²
+ 5²+ 6²+ 9²+ 12²+ 15²+ 20²+ 7²+ 24²
169 cubos =100 cubos =225 cubos =400 cubos =289 cubos =841 cubos =625 cubos =676 cubos =
144 cubos64 cubos144 cubos256 cubos64 cubos441 cubos576 cubos100 cubos
+ 25 cubos + 36 cubos+ 81 cubos+ 144 cubos+ 225 cubos+ 400 cubos+ 49 cubos + 576 cubos
c² = a² + b²
Hipotenusa = CatetosObr
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Reproducción a escala
1.- Con los cubos 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realicen las siguientes construcciones.
• Determine la relación que existe entre las longitudes de dos figuras dadas a escala. Al observar la construcción con los cubos 1×1×1, pida a los alumnos que las reproduzcan a escala de 2 a 1. El trazo y reproducción de esta construcción es respecto a la altura, utili-zando regla y compás y anotando en el cuaderno, queda como la muestra siguiente:
2.- Realice con los cubos de 1×1×1 un rectángulo y pida a los alumnos que reproduzcan a escala 2 a 1, como se muestra:
Ejercicios:
Construcción muestra Reproducción a escala 2:1 respecto a su altura
Actividad 2
Pregunta:
• ¿Qué relación hay entre las áreas y entre los perímetros?
Pregunta:
• ¿Qué relación hay entre las áreas y entre los perímetros?
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3.- Realice otros dibujos a escala. Considere la figura de un cuadrado y un triángulo, re-produciéndolos a escala 2:1 y 3:1. Respecto a los lados.
• En los casos del cuadrado y el triángulo, realice con los alumnos los ejercicios. Se ob-serva que la razón entre el área de una reproducción y el área de la figura original es el cuadrado de la escala. En consecuencia, con una escala 2:1, la razón entre las áreas es 2² = 4; en una escala 3:1, la razón entre las áreas es 3² = 9. En las siguientes figuras se muestra un cuadrado y su reproducción a escala 2:1. Como
se observa, el cuadrado original cabe cuatro veces en la reproducción. Realice con las piezas del tangram o con los cubos 1×1×1 lo siguiente:
Si el cuadrado y el triángulo originales se amplifican tres veces, cada uno cabe nueve veces en la reproducción correspondiente. Con los cubos 1×1×1 y piezas del tangram, realicen lo que se muestra en las siguientes figuras:
Se comprueba que la proporción entre las áreas es el cuadrado de la proporción entre los lados. ¿Ésto sucede con todas las figuras a escala?
4.- Observen un dibujo a escala 1 a 10 de la fachada del salón de clase que presente el maestro.
• Midan la altura de la puerta dibujada.• Midan la altura de la puerta del salón.• Comparen ambas medidas y observen que la altura de la puerta es 10 veces mayor que la altura representada en el dibujo.• Comparen otras longitudes reales del salón con las correspondientes del dibujo.
5.- Realicen otros ejercicios semejantes.
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Construir sucesiones de números
1.- Con los cubos 1×1×1 del material didáctico, realicen construcciones de sucesiones de números y figuras sencillas para encontrar la expresión general que define un elemento cualquiera de la sucesión, mediante cantidades de objetos dispuestos geométricamente. En este caso, la variación de un número implica la variación del otro. Por ejemplo, los triangulares son 1, 3, 6, 10 y 15, porque se representan como los siguientes arreglos:
a) Números triangulares.
b) Números cuadrados
c) Números pentagonales
Ejercicios:
• Construye los arreglos de los siguientes tres números triangulares.
• Construye los arreglos de los siguientes tres números cuadrados.
• Construye los arreglos de los siguientes tres números pentagonales.
Actividad 3
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• Escriban la relación que encuentren.
2.- Realicen con los cubos 1×1×1 la siguiente sucesión de figuras dada:
Preguntas:
Si la cantidad de cubos que forman cada figura continúa aumentando en la misma forma:• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 10?• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 20?• ¿Cuántos cubos tendrá la figura que ocupe el lugar 30?• ¿Puede obtenerse la expresión general que determina al número en función de su posición en la serie numérica?
Pregunta:
• ¿Encuentras alguna relación entre los números triangulares, cuadrados y pentagonales?
Este tipo de proyección es la que más utili-zan los dibujantes, por su sencillez y porque muestra un objeto tridimensional que nos ayuda a determinar su imagen de una manera más precisa, en la cual observamos sus cinco vistas más importantes: vista superior, vista frontal, vista lateral derecha e izquierda.
Con los cubos 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realice esculturas o cons-trucciones. Vea las figuras que se muestran:
Proyecciones isométricas
Actividad 4
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23Preguntas:
• ¿Cómo se ven los cuerpos desde arriba, de frente, de ambos lados? Dibújenlo en el cuaderno.• Las esculturas o construcciones están formadas con cubos:¿Cuántos cubos forman la construcción A? ¿Cuántos cubos forman la construcción B?¿Cuántos cubos forman la construcción C?
Construcción A
Construcción C
Construcción B
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Volumen
Se sabe que el volumen de un prisma es la cantidad de unidades cúbicas que caben en él. Un ejemplo de unidad cúbica es el centímetro cúbico, que se abrevia cm³ y es el volumen que tiene un cubo cuyos lados miden un centímetro.
• La fórmula para calcular el área de cada cara de un cubo es:
A = a²
• La fórmula para calcular el área total de las seis caras de un cubo es:
A = 6 × a² (unidades cuadradas)
• La fórmula para calcular el volumen de un cubo es:
V = a³ (unidades cúbicas).
• Realicen la construcción de los siguientes cuerpos con los cubos 1×1×1 y regletas.
1.- Calculen el área total y el volumen de un cubo que mide 5 cm en cada una de sus aristas.Respuesta: El área total del cubo es de 150 cm² y su volumen es de 125 cm³.
2.- ¿Cuál es el volumen del sólido B, considerando que la unidad de volumen es el sólido A? Realicen la siguiente construcción con los cubos 1×1×1 del material didáctico.
Ejercicios:
El volumen de un sólido se calcula determinando cuántas unidades de volumen o unidades cúbicas caben en él. Una unidad cúbica es un cubo de lado 1.
Observación:
Actividad 5
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Respuesta: El sólido A cabe 12 veces en el B, por tanto, el volumen de B es 12 cm³.
3.- Calculen el volumen en cm³ del siguiente prisma. Realicen la construcción con los cubos 1×1×1.
4.- Actividades con prismas y cubos
a) Construye, con los cubos de 1×1×1 el prisma de 3 cm de ancho, 8 cm de largo y 4 cm de alto.
b) Usando los cubos de 1cm³ formen los prismas que se indican y pidan a los alumnos que en su cuaderno elaboren una tabla como la que se muestra y que la completen con los datos de cada prisma:
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos de un centímetro cúbico se necesitan para formar otro prisma de las mismas dimensiones?• ¿Cuántos pisos tendrá?• ¿Cuántos centímetros cúbicos tendrá por piso?
A B C D E
Respuesta: 42 cm³.
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Preguntas:
• ¿Cuáles son las medidas del rectángulo de la base del prisma B?• ¿Cuál es su área?• Multiplicando por la altura del prisma su resultado es:• ¿Cuál es el área de la base del prisma E?• Multiplicando por la altura del prisma su resultado es:
Preguntas:
• ¿Cuál sería el volumen de los prismas si los cubos miden 1 cm de arista?• ¿Cuál sería el volumen de los prismas si los cubos miden 1 dm de arista?• ¿Cuál sería el volumen de los prismas si los cubos miden 1 m de arista?
c) Realice tres construcciones diferentes en forma de prisma que estén formadas con 48 cubos.
Ruleta Pitagórica
La Ruleta Pitagórica es un material didáctico en donde “jugaremos” para resolver triángulos rectángulos, utilizando y aplicando la fórmula del Teorema de Pitágoras. Tiene el propósito de auxiliar al maestro en la práctica de ejercicios. Recuerden que el lado más largo de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa. La hipotenusa siempre es el lado opuesto al án-gulo recto. Los otros dos lados se llaman catetos. Generalmente, utilizamos las variables a y b para identificar los catetos y c para hipotenusa; éstas están relacionadas de la manera siguiente:
Teorema de Pitágoras: En cualquier triángulo rectángulo, si a y b son las longitudes de los catetos y c es lalongitud de la hipotenusa, entonces a² + b² = c²
Es decir: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Observación:
Actividad 6
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Es muy importante tener presente que la Ruleta Pitagórica, sirve para practicar los ejer-cicios, a fin de comprender la aplicación de la fórmula del Teorema de Pitágoras.
Objetivos:
Mostrar y desarrollar el área cognoscitiva y lúdica de las siguientes estructuras de con-tenidos de estudio:
• El alumno comprenderá aplicaciones del Teorema de Pitágoras.• Desarrollará habilidades que le permitan aplicar la aritmética, el álgebra y la geome-tría en el planteamiento y resolución de problemas de triángulos rectángulos.• Reforzará habilidades en el uso de operaciones básicas de suma y resta, además de las operaciones de elevar al cuadrado y raíz cuadrada.• Desarrollará sus habilidades ope-ratorias y comunicativas, a fin de adquirir seguridad y destreza, y se fomentará su curiosidad e imaginación creativa, a fin de que adopte estrategias adecuadas en la resolu-ción de problemas.
Actividades de aprendizaje:
Presente a los alumnos el material didáctico de la Ruleta Pitagórica. En esta sección se aportan algunas sugerencias de actividades y ejercicios. El propósito de realizar todos los ejercicios de las seis actividades es que los alumnos comprendan una demostración y apli-caciones del Teorema de Pitágoras. La primera actividad es una demostración sencilla y clara del teorema con la teoría válida cognoscitiva de este principio para cualquier triángulo rec-tángulo, mediante los pasos y procedimientos necesarios. La segunda actividad consiste en aplicar la fórmula del Teorema de Pitágoras, planteando y resolviendo problemas que propicien el desarrollo gradual del razonamiento inductivo-deductivo. Y la última actividad es para que adquieran seguridad y destreza en sus habili-dades operatorias, a fin de aplicar la aritmética, el álgebra y la geometría en el planteamiento y resolución de problemas que involucren triángulos rectángulos.
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1.- Demostración del Teorema de Pitágoras
Explique en el pizarrón la siguiente demostración sencilla del Teorema de Pitágoras, con el apoyo del material del Triángulo Pitagórico. Solicite a los alumnos su atención para esta acti-vidad que se considera fundamental.
El teorema se deduce al considerar el siguiente triángulo rectángulo: a y b son las lon-gitudes de los catetos y c la de la hipotenusa.
• Los siguientes cuadrados miden a + b de lado. En cada uno se han trazado cuatro triángulos rectángulos idénticos al triángulo rectángulo original.
Como el área de los cuadrados es la misma, si a cada uno se le extraen los cuatro trián-gulos, lo que queda a la izquierda y a la derecha tiene la misma área. ¿Por qué?.
• A la izquierda queda un cuadrado de lado b y otro de lado a; a la derecha, uno de lado c.
Ejercicios:
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De lo anterior se deduce lo siguiente:
Conclusiones equivalentes:
• En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos: c = √a² + b².
• En todo triángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cua-
drado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto. Se tienen los siguientes dos casos:
Comente que este ejercicio demostrativo es importante para comprender la esencia de este material didáctico que es la Ruleta Pitagórica, en donde los alumnos comienzan a practicar su pensamiento lógico-matemático. Esta demostración se realiza con el material de la sección Pitágoras sin palabras.
Conclusión: Como el área del cuadrado de la derecha es c² y la suma de las áreas de los cuadrados de la izquierda es a² + b², entonces: c² = a² + b²Por lo tanto, el cuadrado de la hipotenusa es igual que la suma de los cua-drados de los catetos.
Observación:
a² + b² = c² Despejando: a² = c² − b², Sacando raíz cuadrada enambos miembros de la ecuación:
a=√c2−b2
a² + b² = c²Despejando: b² = c² − a²Sacando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:
b=√c2−a2
2.- Aplicando la fórmula del Teorema de Pitágoras
Realice el siguiente ejercicio de aplicación de la fórmula del Teorema de Pitágoras utilizando la Ruleta Pitagórica, en cada ruleta, intercambiando los valores numéricos de los dos te-rrenos:
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Ejemplo:
Don Jaime tiene dos terre-nos con forma de triángulo rectángulo. Abajo se muestran sus croquis, pero les faltan al-gunas medidas.
a) Entender el problema
Datos: • Primer terreno: calculen la hipotenusa, conocidos los catetos (c² = a² + b²)• Segundo terreno: calculen un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto. (b² = c² − a²)
¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras?
En este caso se aplica el Teorema de Pitágoras para resolver la situación métrica en un triángulo rectángulo.
b) Desarrollar y llevar a cabo un plan.Podemos plantear y resolver una ecuación utilizando el Teorema de Pitágoras.
Pregunta:
• ¿Cuáles son las medidas que faltan de los dos terrenos de don Jaime?
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Para calcular la hipotenusa, conocidos los catetos:
1.- Sustituye en la igualdad del Teorema de Pitágoras, los valores conocidos:
c² = a² + b² ⇒ c² = 15² + 20²
2.- Aplica la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad:
La hipotenusa c mide 25 m.
Para calcular un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto:
1.- Sustituye en la igualdad del Teorema de Pitágoras los valores conocidos:
a² + b² = c² ⇒ 18² +b² = 30²
2.- Despeja el cateto desconocido:
18² + b² -18² = 30²- 18² ⇒ b² = 30²- 18²
3.- Aplica la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad:
El cateto b mide 24 m.
Observación:
Observación:
c² = 15² + 20² ⇒ c = √225+400 ⇒ c = √625 ⇒ c = 25
b² = 30²-18² ⇒ b = √900-325 ⇒ b = √576 ⇒ b = 24
c) Encontrar la respuesta y verificar
La distancia del primer terreno es la hipotenusa y mide c = 25 m.La distancia del segundo terreno es un cateto y mide b = 24 m.
El cateto se calcula obteniendo la raíz cuadrada de la diferencia del cuadrado de la hipo-tenusa menos el cuadrado del otro cateto: b=√c 2-a 2 ó a=√ c 2-b 2
La hipotenusa se calcula obteniendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos: c=√a2+b2
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3.- Otro uso del Teorema de Pitágoras
La escalera
Una escalera está recargada sobre una pa-red de 5 metros de altura. La parte de la escalera que va del piso al borde superior de la pared mide 6 metros.
• ¿A qué distancia del borde está el pie de la escalera?
• Divida al grupo en dos equipos (“pares” e “impares”).• Dibuje la escalera en el pizarrón y explique a los alumnos el ejemplo, que vemos co-
tidianamente con normalidad y por costumbre, pero en el que en realidad entran en con-jugación elementos importantes del triángulo rectángulo que se resuelven por el Teorema de Pitágoras. Todos los alumnos deberán tener una hoja blanca para copiar el problema y el dibujo anotado en el pizarrón, para que lo realicen en forma individual.
• El equipo que haya resuelto bien el problema, sean los “pares” o “impares”, debe realizar la suma total, para así saber cuál es el equipo ganador.
Desarrollo:
a² = c² − b² ⇒ a² = 6² − 5² ⇒ a² = 36 − 25 ⇒ a² = 11 ⇒ a = √11 ⇒ a = 3.31 m
Observación:
Utilizando las regletas y una hoja cuadriculada ob-tenga una solución aproximada del problema. Vea la figura:
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4.- ¿Cómo se aplica el Teorema de Pitágoras?
Objetivos:
• Desarrollar la habilidad o capacidad de aplicación para resolver cualquier problema que se relacione con el Teorema de Pitágoras.• Aplicar de manera inmediata el aprendizaje adquirido al trabajo real, cumpliendo con la característica de “aprender haciendo”.• Fomentar el pensamiento reflexivo y el razonamiento inductivo-deductivo.
Integrantes:
• Todos los miembros del grupo participan, formando cuatro equipos de dos o cuatro integrantes, para jugar con una ruleta.
Disposición del grupo:
• En forma de círculo o semicírculo, para que todos observen la ejecución de la actividad.
Recursos materiales:
• El material didáctico Ruleta Pitagórica.• Hojas blancas, lápiz y plumín.• Calculadora.
Procedimiento de aplicación:
• Haga notar las características físicas de la Ruleta Pitagórica, permitiendo a los alumnos, manipular el material, a fin de familiarizarse con él.• Explique al grupo que vamos a aprender a manejar el material didáctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar la actividad.
Desarrollo:
• Muestre el acetato en donde se encuentran los triángulos y en donde se anotan los valores de los catetos o hipotenusas. Puede anotar los valores que considere pertinentes (hay que considerar los ejercicios que contiene esta guía) si son catetos o si es hipotenusa con un cateto, según lo determine, para girar la ruleta y comenzar el “juego”, con un tiempo limite de 1 minuto por triángulo.
• Anotados los valores de los catetos o hipotenusa en el acetato, proceda a pedir la presencia de los representantes de los equipos, para que cada uno gire la ruleta y señale el triángulo rectángulo correspondiente. Todos los integrantes del equipo deben dibujar en una hoja blanca el triángulo rectángulo que les tocó y desarrollarlo con base en la fórmula del Teorema de Pitágoras.
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• Dé las instrucciones siguientes:
Resuelva cada equipo un triángulo.A la señal, empiecen todos los equipos al mismo tiempo.
Conclusión:
• Al finalizar sus ejercicios, los equipos deberán anotar el resultado en la ruleta.• Evalúe el trabajo de los equipos, y si hubiera un empate, se vuelve a girar la ruleta; antes, debe anotar los valores de los catetos o hipotenusa correspondientes para el desempate.• En el desempate cuenta el tiempo que determine el maestro para resolver su trián-gulo rectángulo.• El equipo ganador será el que resolvió correctamente el triángulo en el desarrollo y aplicación de la formula del Teorema de Pitágoras.
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2.- ¿Cuál es la altura de un muro que apoya a una escalera de 4.5 m separada 1.8 m de su base?
3.- ¿Qué longitud debe tener la viga que sostiene la esca-lera?
4.- Un cable de 10 m de longitud se amarra en la parte
superior de un pos-te y en el piso a 8
m de su base. ¿Cuál es la
altura del poste?
5.- Un rectángulo mide 15 m de base y 20 m de altura. ¿Cuál es lon-gitud de su diagonal?
1.- El extremo de una cuerda de 50 m está sujeto a la parte superior de un edificio y el otro extremo al piso, a una distancia de 23 m de la construcción. ¿Cuál es la altura del edificio
5.- Resolución de problemas:
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36Respuestas:
1. – a = 44.3959 m. 2. – a = 4.1243 m. 3. – c = 5.8309 m. 4. – a = 6 m. 5. – a = 25 m. 6. – c = 10 7. – b = 3.87 8. – a = 12 9. – b = 16
6.- Calculando valores:
• Apliquen el Teorema de Pitágoras para calcular la medida del lado que falta en cada uno de los triángulos rectángulos (a y b representan las medidas de los catetos y c, la medida de la hipotenusa). Redondeen a la milésima más próxima.
10.-
11.– a = 7;12.– a = 12;13.– a = 12;14.– b = 63;15.– b = 11;16.– a = 8; 17.– b = 24;18.– a = 15;
b = 24 c = ___________b = 35 c = ___________c = 13 b = ___________ c = 65 a = ___________c = 61 a = ___________c = 10 b = ___________c = 26 a = ___________ c = 17 b = ___________
19.– b = 14;20.– a = 63;21.– b = 5; 22.– b = 9; 23.– c = 9;24.– a = 6;25.– b = 10;
c = 50 a = ___________ b = 16 c = ___________a = 12 c = ___________ a = 12 c = ___________b = 3 a = ___________ c = 13 b = ___________a = 24 c = ___________
10. – b = 5.29 11. – c = 25 12. – c = 3713. – b = 5 14. – a = 16 15. – a = 6016. – b = 6 17. – a =10
18. – b = 819. – a = 48 20. – c = 6521. – c = 1322. – c = 1523. – a = 8.48524. – b = 11.53225. – c = 26
c = ___________ a = ___________ a = ___________
b = ___________b = ___________
6.- 7.- 8.-
9.-
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Pitágoras
sin palabrasComo se mencionó anteriormente el Teorema de Pitágoras es quizá el resultado matemático más conocido. Recordemos la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referimos de manera explícita al resultado como tal. El teorema, como ya sabemos, enuncia lo si-guiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aunque se sabe que este teorema lo conocieron los babilonios de la época de Hammurabi, más de mil años antes, la primera demostración general del teorema pudo haber sido dada por Pitágoras. Se han hecho muchas conjeturas respecto a la demostración que Pitágoras pudo haber dado, y se considera en general que posiblemente fue un tipo de disección que utilizó en su demostración.
Las siguientes actividades tienen como objetivo reforzar habilidades manuales, visuales y espaciales y estimular los procesos de razonamiento, pues el alumno utilizará la compa-ración entre objetos, quitará o agregará objetos, diferenciará objetos planos, etc. Más aún, con estos conocimientos básicos, obtendrá demostraciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importante recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar las siguientes actividades.
La implementación de las siguientes actividades puede modificarse a criterio del maes-tro, según lo considere conveniente.
Demostrando Pitágoras
Para efectuar está actividad requerimos el uso de las siguientes figuras:
Ejercicios:
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Utilizando los treinta y seis cuadriláteros, solicite a los alumnos que los separen en gru-pos del mismo tamaño (o color, perímetro, área, longitud de un lado común, proporcio-nalidad). Debe contabilizar el número de piezas de cada uno estos grupos, independien-temente del criterio de selección que se haya solicitado. Cada grupo debe conformarse de 12 piezas iguales. El alumno debe concluir así que, en ocasiones, existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común). Muestre a los alumnos, mediante un dibujo, los dos tipos diferentes de cuadrados que pueden construirse tal como se ilustra en la siguiente figura:
Tome de cada colección 8 piezas, y arme ambos cuadrados. Indique a los alumnos que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubren; esta última es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anteriormente expuesto.
Subdividan las piezas en dos colecciones. Una de ellas debe agrupar a los cuadrados con hueco y la otra a los cuadrados sin hueco. Solicite que ordenen las colecciones por tamaños, utilizando cualesquiera de los siguientes criterios: de menor a mayor o de mayor a menor (puede subdividir al grupo en dos secciones, y solicitar a una que los ordene con un cierto orden, y a la otra sección con el otro orden).
Preguntas:
• ¿Cuál es el área que abarca cada cuadrado? • ¿Cuál es el perímetro de cada figura? • ¿Cuál es el perímetro y el área del cuadrado hueco? •¿Qué proporción hay entre las figuras?
Preguntas:
• ¿En ambos grupos existen piezas que sean del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no)? ¿Equivalentemente, abarcan las mismas áreas (no que las cubran)? En caso afirmativo, sepárelas del resto del grupo.• ¿Del grupo de las figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en la pieza hueca y cubrir el hueco? En caso afirmativo, sepárela y complete la pieza.
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Finalmente, pida al alumno que separe la figura formada por dos cuadrados, forme los dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño adjuntado el otro cuadrado en cuestión. Podre-mos concluir que al agregar o sumar los dos primeros cuadrados, obtenemos el otro cuadrado. Concluimos además que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.
• Una variante de esta actividad es solicitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (esto debe indicarles que es posible construir, tal vez, otro cuadrado pero hueco). Una vez obtenido esto, deben ordenarlas por tamaño de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a partir de éstas, que construyan un cuadrado. Aquí se desarrollan habilidades como las refe-ridas a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo, aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento, pues a partir de ciertas condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito se solicita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra. Si el maestro desea facilitar el procedimiento, puede efectuar toda esta actividad, solicitando al alumno que mire con atención todo el procedimiento (armado y desarmado), ya que él mismo lo realizará posteriormente.
Solicite a los alumnos que comenten acerca de la actividad desarrollada (estamos estimulan-do su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado el obtener una conclusión).
Hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es completamente geométrica. Más aún, estamos reproduciendo una de las posibles demostraciones obtenidas por Pitágoras.
Adicionalmente, puede solicitarles que calculen el área de cada uno de los cuadrados, sumen y comparen las mismas.
Finalmente, solicite que comenten acerca de la actividad desarrollada (estamos es-timulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado el obtener una conclusión).
Una posible respuesta es que a partir de dos cuadrados podemos armar otro cua-drado, o que la suma del área de dos cuadrados genera otro cuadrado.
Considere desarrollar la siguiente construcción: tomen cuatro triángulos isós-celes pequeños del tangram y armen un cuadrado. Luego, con cuatro triángulos isósceles medianos del tangram armen otro cuadrado. ¿A partir de estos cua-drados es posible armar siempre un cuadrado? Justifique su respuesta.
Aquí hemos probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
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El tangram se relaciona con Pitágoras
1.- Utilizaremos en esta actividad dos tangram. Solicite que con el primer tangram constru-yan un cuadrado, mientras que con el otro tangram construyen dos cuadrados del mismo tamaño (puede indicarles que para armar uno de los dos cuadrados se requieren dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir al otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor ¿Por qué?
• Además solicite que construyan, utilizando los lados de cada cuadrado, un triángulo, ¿El triángulo que se forma es isósceles? Justifique su respuesta.
2.- Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras, utilizando las piezas del tangram.
Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles pequeños o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquiera de las colecciones anteriores un par de trián-gulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicios:
Actividad 8
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• Solicite que verifiquen que el área total cubierta por los 2 cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isósceles correspondiente, a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.
3.- Ahora reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:
4.- Compare las áreas utilizando fracciones.
Preguntas:
• Si el área del cuadrado del tangram es de una unidad cuadrada ¿cuál es el área del cuadrado más grande que puede construirse utilizando un solo tangram? Si utiliza-mos ahora el tangram gigante, ¿cuál es el área, en términos del cuadrado del tangram, del cuadrado más grande que puede construirse?• Si iniciamos con el cuadrado del tangram ¿cuál es el número de veces que debe duplicarse esta área para obtener el área del cuadrado más grande que se indica en la pregunta anterior?• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño ¿cuál es el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande que se indica en la pregunta anterior? • ¿Utilizando dos cuadrados es posible construir, a partir de ellos, siempre un cuadra-do? ¿Qué tipo de disección se utiliza para obtener la construcción?
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Áreas y Pitágoras
Con los acetatos y las piezas adecuadas construyan las figuras indicadas a continuación:
Pregunte al grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de medi-ción (comparación) directa. Tome ahora el triángulo rectángulo que se utiliza para efec-tuar este ejercicio, muéstreselo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales al mismo.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la par-te del otro cuadrado, colocando los mismos sobre las fi-guras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) que la figura inicial. Acto seguido solicite al alumno que retire los triángulos del cuadrado y ahora los coloque en el otro cuadrado, utilizando las mis-mas indicaciones que para el primero. Finalmente, invítelos a que expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
Complete la siguiente construcción, con base en lo previamente discutido.
Ejercicios:
Preguntas:
• En cada construcción ¿qué tipo de figura completa cada cuadrado?• ¿Cuál es la longitud de cada lado?• ¿Qué figura es?• ¿Cuál es el área de cada figura?• Dibuje la diagonal en cada figura.• ¿Cuál es la medida de cada ángulo del triángulo que se forma? • ¿Cuál es la porción del área que cubren las figuras en cada caso?
Actividad 9
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El recíproco de Pitágoras
A continuación, realizamos la prueba del recíproco del Teorema de Pitágoras6. Utilizare-mos para nuestro propósito los cuadrados que usamos en la actividad 7. Solicitemos al alumno que utilice uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados y, a partir de ellos, construya un triángulo. Utilice una escuadra y recuerde que la escuadra forma la figura plana del menor número de lados rectos, siendo ésta la de un triángulo, pero con la par-ticularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que un par de sus lados pueden estar cada uno en contacto, a la vez, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamar de manera particular a este triángulo triángulo rectángu-lo, es decir posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, concluimos que el triángulo formado por los cuadrados que utilizamos en la actividad 7 es un triángulo rectángulo.
En función de esto, puede entonces decirse que los triángulos utilizados en la actividad 8 son todos triángulos rectángulos.
Previamente se obtuvo una demostración formal del Teorema de Pitágoras, que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se redu-ce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obte-ner dicho corte.
Ejercicio:
6 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitágoras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
Observación:
Actividad 10
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Corte para obtener Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro triángulos rectángulos, cuyos ángulos sean de 30° y 60°, para que, a partir de ellos, construya una figura de tal forma que sea posible obtener el cuadrado que se obtiene de los cuadriláteros de tama-ño mediano. La figura obtenida debe ser como la que se muestra a la derecha. El alumno observa que el corte resulta rela-tivamente simple a partir de dicha cons-trucción.
Solicite que, utilizando regla gradua-da, lápiz y transportador, le indiquen las características particulares del cuadriláte-ro construido a partir de esta técnica.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El cuadrilátero construido tiene dos lados del mismo tamaño?• ¿Cuál es la medida de los ángulos interiores del cuadrilátero?• ¿Cuántos ángulos rectos tiene el cuadrilátero?• ¿Los lados adyacentes a uno de los ángulos rectos son iguales?• ¿Por qué este cuadrilátero tiene un ángulo agudo y un obtuso? • ¿Qué medida tiene el ángulo agudo y qué medida el ángulo obtuso?• ¿El triángulo que se obtiene al hacer la bisección es un triángulo semejante al trián-gulo original? ¿Cuál es la proporcionalidad entre ellos?• ¿Cuál es el tamaño de los lados de los triángulos rectángulos que permiten obtener el cuadrilátero pequeño y el cuadrilátero grande? Puede utilizar aquí la técnica de pro-longar los lados adyacentes al ángulo recto y estimar los lados del triángulo rectángulo, o utilizar la proporcionalidad obtenida en la pregunta anterior.• ¿Es la proporcionalidad constante independientemente del triángulo rectángulo que se utilice para efectuar el corte?
Actividad 11
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Teselas
Aquí se trabajarán con formas con cuatro lados. La importancia de estas figuras se obtiene al observar a nuestro alrededor. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros li-bros, cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadrilá-teros. Esto es debido a que estas figuras se hacen fácilmente y también se unen fácilmente.
Solicite a los alumnos que construyan o identifiquen entre las piezas, los siguientes cuadriláteros: un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio y un rombo, tal como se muestran en las siguientes figuras:
No es necesario siempre cortar
Efectuaremos la misma actividad anterior, pero utilizando las piezas del tangram, es decir haremos uso de triángulos isósce-les. Observaremos que, en este caso, a diferencia de lo anterior, no se requiere hacer de ningún tipo de corte, es decir no se construye ningún cuadrilátero, sino que en el caso de triángu-los isósceles, ellos mismos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
• Lo anterior nos permite concluir que los triángulos rectán-gulos son sólo de dos tipos: escalenos e isósceles.
Ejercicio:
Ejercicios:
Pregunta:
• ¿Por qué un triángulo rectángulo no puede ser equilátero?
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Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos es las casas son ejemplos de teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre em-bonan sin importar su forma. Estos son ejemplos de teselas. Construya las teselas que se muestra a continuación:
Los triángulos y los hexágonos son otros ejemplos de teselas. Sin embargo hay otros polígonos que no embonan.
Muestre, utilizando el acetato del círculo trigonométrico, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (utilizará tres triángulos iguales) y de un cuadrilátero, 360º (utilizará cuatro piezas), tal como se ilustra a continuación:
Muestre ahora que la suma de los ángulos interiores de un cuadrado o rectángulo su-man 360º y que el paralelogramo del tangram satisface lo mismo.
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Los ángulos de las esquinas de los polígonos que embonan deben sumar 180º ó 360º. En caso contrario no embonan.
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de las actividades en el orden que considere pertinente, omitir alguna o implementarlas simultáneamente., Además, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
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Ejercicio 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Colóquelos de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o perímetro. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.
• Tome dos colecciones de la pregunta anterior y coloque primero una de las colec-ciones de menor a mayor y enseguida, la otra, utilizando el criterio de mayor a menor. Solicite que dibujen el punto de simetría de la figura resultante (vertical y horizontal).
Calcule el perímetro y área de cada uno de los cuadriláteros. ¿Cuál es la proporcio-nalidad entre las figuras (para hallar el área de los cuadriláteros puede hacer uso de una construcción auxiliar)?
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes en el ejercicio, así como en las preguntas.
Ejercicio 2
Utilizando los cuadrados del ejercicio anterior y con una regla o escuadra no graduada, lápiz y compás, obtengan los ejes de simetría paralelos a los lados de cada uno de los cuadrados.
Al utilizar ahora regla graduada y escuadras, obtengan los ejes de simetría anteriores. Para ello, utilicen los conceptos punto medio y ángulos rectos (Teorema de Pitágoras).
Solicite al alumno que trace las diagonales en los cuadrados. Él observará que también es posible hallar otro eje de simetría. ¿Qué ángulo forman estos ejes de sime-tría con los previamente obtenidos? En este caso, el punto de intersección de los ejes de simetría coincide con su centro de gravedad. Solicite que lo comprueben.
Preguntas:
• Aplique a los cuadrados: solicite que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado. Este criterio requiere de alguna restricción.• Considere los 36 cuadriláteros: ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente ta-maño pueden formarse?
Actividad 14
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Si consideramos ahora los otros cuadriláteros, es claro observar que éstos no tienen eje de simetría, pero si poseen centro de gravedad ¿Cuál será la dificultad para obtenerlo?
Ejercicio 3
Considere los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, res-pectivamente.
Puede sugerir al alumno que construya un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble de la anterior, es decir construimos una serie geométrica.
Ejercicio 4
Construya los tres cuadrados de interior hueco, complete cada uno de ellos y complete el correspondiente triángulo rectángulo.
Ejercicio 5
Obtenga el área de la figura, en términos de las áreas de los tres triángulos que lo forman.
Preguntas:
• ¿Qué puede concluir acerca de la longitud de los lados de cada uno de los cuadra-dos de esta serie geométrica?• ¿Éstos también determinan una serie geométrica?• ¿Es posible construir un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados sean todos en-teros? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 6
Considere la figura siguiente:
Observe que el cuadrado tiene longitud a + b. Luego su área es claramente (a + b)². Por otro lado, solicite al estudiante que obtenga el área de cada una de las figuras impresas en el cuadrado. Debe hacer énfasis en que, por la posición, tenemos dos diferentes rectángu-los (debe indicarles que la posición determina la naturaleza del rectángulo, es decir no es lo mismo colocar un rectángulo en posición vertical que horizontal, aun siendo el mismo rectángulo, pues la longitud de altura y la base serán distintas). El alumno, al utilizar las fórmulas respectivas, debe obtener:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Es el conocido producto notable llamado binomio al cuadrado. Esto establece otra co-nexión indirecta con el Teorema de Pitágoras.
A partir de lo anterior, determinen si es vali-da la expresión (a+b)2 − a2 − b2, para la siguien-te figura:
Ejercicio 7
Utilice el triángulo rectángulo como plantilla para dibujar el rectángulo en una hoja de papel. Considere los vértices de los ángulos no rectos y, a una distancia menor a la mitad de cada uno de los lados, corte. Luego, añada los ángulos obtenidos al ángulo recto. Esto permite mostrar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
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Ejercicio 8
Construya los siguientes triángulos rectángulos:
a) 1, √3 y 2. b) 1, 1 y √2
Calcule los ángulos de cada uno de ellos. Además, construya un triángulo equilátero de lados de longitud 2, y a partir de uno de los vértices del triángulo, trace la mediana (altura o bisectriz). Se subdivide en dos triángulos iguales. El triángulo que se obtiene corresponde al triángulo de los incisos a) o b).
Ejercicio 9
Realice la construcción que se muestran a continuación y observe a Pitágoras. La solución se discute en la guía de tercer año.
Ejercicio 10
Para probar que las figuras de cuatro lados siem-pre embonan, solicite que dibujen un cuadrilátero y apilen 12 hojas. La hoja superior debe contener la figura, recórtela para obtener 12 piezas iguales. Use los recortes para hacer el patrón y obtener la tesela correspondiente.
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Melancolía, del pintor alemánAlbrecht Dürer.
El cuadrado
mágicoIntroducción
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de aprendizaje de los alumnos de secundaria, corresponde al ya conocido por ellos cuadrado mágico. El alumno podría considerar este pasatiempo como ya muy visto. Sin embargo, él mismo podrá concluir, después de desarrollar las actividades descritas a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución, no sólo números naturales, sino tam-bién números enteros y números racionales; estos últimos expresados como cociente de números enteros o en forma decimal, ya sea finita o infinita periódica. De esta manera, reforzará las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera.
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece un cuadra-do mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser sumados en renglones, columnas o diagonales dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el
artista alemán.Este cuadrado satisface, ade-
más, que la suma de las cantidades
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localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró, asimismo, introducir en las colum-nas centrales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año de realización del cuadro). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que dichos cuadrados eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado también más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo. Invo-lucra, además, aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma. Pero, a lo largo de la discusión, podremos concluir que pueden utilizarse también en su solución las operaciones de resta, multipli-cación y división. Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información acerca de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico.
Nivel
Utilizaremos el cuadrado mágico para obtener la suma de cierto tipo de series de nú-meros. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3, el cual nos permitirá discutir un procedimiento aplicable (pero muy laborioso) para el caso del cuadrado má-gico de 4×4. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo. A su vez, aplicando este método, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podremos responder a preguntas como, por ejemplo: si utiliza-mos a los primeros nueve números naturales7 ¿por qué en el cuadrado mágico de la suma debe ser 15? Justificaremos además ¿por qué en el cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución?, o ¿por qué en el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos a los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Más aún, podremos garantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método alge-braico elemental; aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cual es realmente laborioso).
La implementación del cuadrado mágico, en esta forma, tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algu-nos temas durante el segundo año de secundaria.
7 Los naturales son un subconjunto de los números enteros y éstos un subconjunto de los números racionales.
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Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de tamaño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que, al realizar la suma en las direcciones horizontal (renglones), perpendicular (columnas) y en ambas diagonales sea 15. Puede verificarse que una solución es:
La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de con-siderar que los valores utilizados sean números reales, la respuesta es: una infinidad. el siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maes-tro, con la intención de que pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos hace uso de la aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas; ade-más se abordan algunos métodos de solución) y del método de eliminación aplicado en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incóg-nitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Es, sin duda, el más poderosos método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además su implementación com-putacional es la más eficiente.
Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que deseamos encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la con-dición estipulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos enteros consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más adelante, podemos garantizar que esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.
Observación:
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Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecuacio-nes lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría referida a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una infinidad de cuadrados mágicos, aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo esta descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
Sistema de ecuaciones 1
Sistema de ecuaciones 2
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Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i. Asignando a n el valor de 15 y tomando h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la dis-cusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras so-luciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿Por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obtenemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3nSistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutativa) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que pode-mos aplicar en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Subdivida los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque sea 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes sal-vo rotaciones y traslaciones de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presentada al inicio de esta sección.
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Podemos concluir además que si consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes solucio-nes para cada pareja de números que se den. Por ejemplo, si h=4 e i=11 puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el nú-mero 0 (el cero, la identidad aditiva) y al -1 (el inverso aditivo del 1).
Aplicaciones
A continuación, analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales, enteros y racionales. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento, basado en el análisis anterior, nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estu-diarlo; por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n = 15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Los ejemplos enlistados a continuación se exponen en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
Observación:
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Ejercicio 1
En este caso, el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales del cuadro. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderá a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura.
Pídale que obtenga, de ser posible, la suma de los números; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque de éstos la suma sea 15 (aplicación de cálculo mental). Después, indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego, solicítele que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debe-mos indicarle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente y tomando en cuenta todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto, aplique cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
Ejercicios:
Actividad 15
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El alumno de primer grado observa el uso del orden en una serie numérica, los con-ceptos de antecesor y sucesor, el valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números ter-minados en ceros.
Puede considerarse la siguiente modificación: los dígitos asociados describen de-cenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar, lo cual permite obtener un cuadrado mágico para decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar. En el primer caso, obtendríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalentemente 150 unidades; para el caso de centenas, obtendríamos 15 centenas, equivalentemente 1500 unidades; en el caso de uni-dades de millar, tenemos 15 unidades de millar o 15 000 unidades, y finalmente, para decenas de millar se tienen 15 decenas de millar, o 150 unidades de millar o 150 000 unidades.
Puede aplicarse la implementación discutida en el ejercicio anterior utilizando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obte-nidos. En este caso, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (que se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000, y equiva-lentemente la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
Observación:
Observación:
Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso de ser posible, que obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Obtenido el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora, separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
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Puede considerar como ejercicio adicional lo siguiente: utilizando las fichas del 1 al 17, pregunte a los alumnos por qué bajo la condición de ser el número solicitado múltiplo de tres y tomando en cuenta las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permite obtener 9 cuadrados mágicos diferentes que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Por ejemplo, para n=39 obtenemos el valor de 13, luego las fichas requeridas son:
El cuadrado mágico correspondiente es:
Ejercicio 3
Obtenga el cuadrado mágico cuya suma es 27 unidades (decenas, centenas o unidades de millar), pero sin la restricción de que los números sean nueve enteros consecutivos. Por ejemplo, proporcione los números considerados en el cuadrado mágico. Solicite a los alumnos que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que, si en el sistema de ecuaciones anterior reemplazamos h e i, para 5 y 7, respectivamente, obten-dríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para los casos siguientes, analicemos los valores asignados a h e i. Obtene-mos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
3
9
13
15 5 7
11
1 17
3
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De nuevo, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
Para el primer cuadrado mágico, la serie aritmética es 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, mientras que para el segundo cuadrado es 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33.
Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico para considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Claramente observamos que este es, de nuevo, un cuadrado mágico. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, restas, mul-tiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cua-drado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con denomina-dores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos denominadores, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos intro-duciendo una restricción en la construcción de los cuadros. Y es que, entre los elementos de la sucesión numérica, la diferencia (o distancia) entre dos números consecutivos es 1 (serie aritmética). Sin embargo, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restric-ciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo. Por esa razón, este ejemplo puede aplicarse a los alumnos de los distintos grados de secundaria, considerando obviamente las respectivas restricciones en la aplicación para el nivel correspondiente.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones. Pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Así por ejemplo, la disposición ascendente es:
Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma, el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, obteniendo así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en la expresión anterior estamos obteniendo la suma de los primeros nueve números impares (tenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la diferen-cia entre dos términos consecutivos es 2). Solicite que escriban el término general de la serie numérica. Indíqueles que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2, y pida
que justifiquen esto. Compare este cuadrado mágico
con el cuadrado mágico n=27. Para ello, considere la tabla del dos. ¿Exis-te alguna similitud entre los cuadrados mágicos? Jus-tifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Podemos aplicar ahora el procedimiento anterior para las fichas con denominador 3. Solicite las fichas:
Una de las cuestiones a considerar es la multifuncionalidad de las fichas para los alum-nos de secundaria, ya que una de las actividades para implementar es agrupar todas las fi-chas, separando cantidades enteras (denominador 1) y fraccionarias. Estas últimas debe-rán separarlas en bloques con denominador común, ordenándolas de forma ascendente y descendente. Posteriormente, deberán tomar dos grupos de fichas y colocarlas en orden; aplicar lo anterior a tres, y finalmente, a los cuatro grupos, o también separar, por ejemplo, en fracciones propias o impropias, o bien combinar algunas fichas, de tal forma que en suma o resta obtengan otra del grupo de ellas. En este punto, solicite una operación entre fichas que incluyan suma o resta (multiplicación o división) de tal forma que el resultado no se encuentre en ninguna de las fichas del juego.
Regresando al ejercicio, solicite que obtengan el correspondiente cuadrado mágico, el cual debe ser:
Podemos relacionar la serie numérica 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, con el cuadrado
mágico anterior, justifique su respuesta.
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Ejercicio 6
Indique las actividades a desarrollar para obtener el siguiente cuadrado mágico:
• Consideremos las siguientes observaciones para los tres últimos ejercicios (y que po-demos aplicarlas, en general a todos) con respecto al ejercicio 4. Un somero análisis nos permite concluir que para resolver dicho cuadrado mágico era suficiente con estudiar el numerador, y con esto obtener un cuadrado mágico cuya suma es 27. Así obtenemos un cuadrado mágico que es distinto al que puede obtenerse utilizando las técnicas de nueve números consecutivos. Sin embargo, si sustituimos en h e i los valores 5 y 7, respectiva-mente, en el sistema estudiado al principio, obtendríamos los restantes valores que invo-lucran la solución que mostramos a continuación:
• Para el caso de la fracción con denominador 3 y 4, obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
3
9
13
15 5 7
11
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3
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Si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sis-tema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente. Además, estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico para considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Ahora, en vez de sumar, pídale que reste el número 12 al cuadrado mágico clásico. El alumno debe concluir que el conjunto de números enteros utilizado es suficiente para re-solver este problema. La solución a lo anterior la describe el siguiente cuadrado mágico:
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Claramente, observamos que estos son de nuevo cuadrados mágicos. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y divisiones, como lo muestra este cuadrado mágico:
• Aplique lo siguiente: divida cada ficha entre 4, reemplace la ficha por la correspon-diente solución de esta operación, respetando como siempre la disposición de las mismas en el cuadrado. Así, con las correspondientes simplificaciones y sin dificultad, obtenemos como resultado el siguiente cuadrado mágico:
• Hasta este punto, hemos observado algunas operaciones básicas sobre cuadrados mágicos que se aplican a cualquiera de éstos y hemos abordado algunos casos particula-res. Los ejercicios que incluye esta guía incorporan combinaciones de números naturales y racionales positivos. Veamos ahora uno que involucre números decimales. Para este último, considere el cuadrado mágico clásico, dividiendo entre 10 cada uno de los núme-ros que aparecen en el mismo. Obtenemos así un ejemplo de un cuadrado mágico con números decimales:
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• Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico, es decir:Sume entrada a entrada el cuadrado mágico, pero considere la siguiente modificación:
un cuadrado mágico representa unidades y el otro, decenas. El cuadrado mágico que se obtiene es el siguiente:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada. Describa cuál es el cuadrado mágico que se obtiene.
• Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico y sumemos tres veces el mis-mo. Obtenemos entonces el siguiente cuadrado mágico cuya suma es 45:
Observe qué se obtiene si al cuadrado inicial lo multiplicamos por tres, indicando que se debe multiplicar cada ficha por ese valor. ¿El cuadrado final es igual al obtenido por medio de la suma de tres veces el cuadrado mágico?
Las operaciones realizadas con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas multiplicaciones y divisiones, son aplicables a un ente matemático llamado ma-triz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
sume tres veces cada entradaObra
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El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección se menciona un cuadrado mágico plasmado por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados mágicos, apli-cando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Sistema de ecuaciones 4
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Consideremos además que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discusión satisface las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer adiciona, al menos, las siguientes condiciones: los cuatro términos del interior del cuadra-do mágico suman 34, los cuatro términos de las esquinas suman 34; además, la suma de los términos 3, 2, 15, y 14, así como los términos 5, 9, 8 y 12 suman, respectivamente 34, lo cual adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial y aún con éstas el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Lo anterior implica que el sistema sería ahora un sistema de 14 ecuaciones en 16 incóg-nitas (aún así, el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que al aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando notación matricial, se requiere un número considerable de operaciones elementales para llevar a la matriz del sistema a su forma esca-lonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de tamaño 10×17) y requerimos para el mismo la utilización de un programa numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal para estudiar el método con mayor detalle y tener mucha paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mención de lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tamaño m×m, con m como un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione qué importancia puede llegar a significar una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos de solución utilizados para resolver un problema de esta naturaleza, y que tiene aplicación en diversos campos.
Sin embargo, tenemos posibilidad de dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo ¿por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba ser 34? Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico es 65; para un cuadrado de 6×6, la suma es 111, si se consideran los 36 primeros números naturales) y así sucesivamente.
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operacio-nes de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer; se sugieren ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
Observación:
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Ejercicios:
Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n = −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción nueve enteros consecutivos.
Divida los cuadrados mágicos entre 3, 5 y 6, y obtenga las soluciones correspondientes utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones propias e impropias. Considere otros ejemplos, con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n = −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2.
Ejercicio 3
Obtenga dos cuadrado mágico distintos para n = 21, 39.
Ejercicio 4
Si desea obtener un cuadrado mágico cuya suma sea 1, podrán ser enteros todos los nú-meros involucrados para su construcción.
Ejercicio 5
Proporcione 5 ejemplos de cuadrados mágicos de tamaño 3×3, de tal for-ma que sólo estén constituidos por números decimales.
Pregunta:
• ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n = 12 y que cumpla con las restricciones?
Actividad 16
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Ejercicio 6
Construya un cuadrado mágico de tamaño 3×3, con los siguientes valores para n = −3/2 y los valores de h = 1/3 e i = 5/4.
Ejercicio 7
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los valo-res de t siguientes:
{17, 10, −34, 1, 14, −6, 34, 17, 102, 340}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir puede sumar, restar, multiplicar o dividir, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operación al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
Ejercicio 8
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, cuál es el valor de n.
Ejercicio 9
Halle la suma de los primeros 100 números naturales.
Ejercicio 10
Halle la suma de los primeros 100 números pares y calcule la suma de los 100 primeros números impares.
Ejercicio 11
Construya dos cuadrados mágicos distintos, coloque uno seguido del otro, considerando poner uno sobre otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas).
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Ejercicio 12
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio 13
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos está en función del nivel de enseñanza.
Ejercicio 14
Considere algún cuadrado mágico de los previamente obtenidos. Omita alguna de la fi-chas del mismo y solicite al alumno que lo resuelva aplicando una ecuación lineal.
Ejercicio 15
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 16
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico, donde un valor se repita al menos 2 veces en el mismo.
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Ejercicio 17
Obtenga una fórmula para hallar la suma de los primeros n números naturales consecu-tivos, otra para obtener la suma de los primeros n números impares consecutivos y una más para la suma de los primeros n números pares consecutivos.
Ejercicio 18
Si la suma del cuadrado mágico es 369, utilizando los primeros m números naturales con-secutivos, ¿cuál es el valor de m?
Ejercicio 19
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que deban satisfacer la con-dición de determinar un cuadrado mágico. Colóquelos en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respe-tando el orden indicado en los números (ascendente), reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico por el número localizado por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta comple-tar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido después de realizar este proceso es mágico?
Ejercicio 20
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do correspondiente es mágico.
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8 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
Benjamin Franklin8 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los pri-meros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260; y que que deteniéndose a la mitad de cada una da 130 trazando una línea diagonal de puntos se ob-tienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
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El cuadrado del caballo
Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
Observación:
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutidos, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene además la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.
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El octágono mágico
En el siguiente octágono se utilizan nuevamente los primeros nueve números naturales. Debe satisfacerse que la suma de los tres números contenidos en cada diámetro sea 15. ¿Cuál es el valor de cada letra?
La observación anterior permite entonces aplicar a este octágono mágico lo discutido para el cuadrado mágico. Queda a criterio del maestro la implementación de las activida-des en este caso.
Al girar un ángulo de 22.5°, la figura anterior, manteniendo el centro fijo, nos permite obtener el cuadrado mágico clásico.
Observación:
a) ___5___ b) ___2___ c) ___ 9 ___ d) ___3___
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El triángulo mágico
En el siguiente triángulo mágico utilizamos nuevamente los primeros nueve números natu-rales. Aquí debe satisfacerse que la suma de los lados es 20. ¿Cuál es el valor de cada letra?
Aquí podemos aplicar procedimientos similares a los aplicados al cuadrado má-gico clásico. Nuevamente, el maestro puede implementar las modificaciones que considere adecuadas para este caso.
Observación:
x) ___6___ y) ___4___ z) ___ 1 ___
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La estrella mágica
Tenemos ahora la estrella mágica. Aquí utilizamos los primeros doce números naturales. En este caso, la suma de los cuatro números que aparece en cada lado de la estrella debe ser 26. Halle el valor de cada letra.
Puede aplicar, en este caso, modificaciones como las implementadas para el cua-drado mágico. Realice las modificaciones correspondientes para jugar.
Observación:
a) ___4___ b) ___7___ c) ___ 5 ___ d) ___11___ e) ___12___
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Forma de armado de la Ruleta Pitagórica
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Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular
de los derechos patrimoniales.Obra
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