LA AXIOMATICA MODERNA y EL PRINCIPIO DE IDENTtDAD

LUIS GONZ..\LEZ

Definiciones, postulados y axiomas en sentido clásico

La obra de Euc1ides "Elementos de Geometría", empieza con una seriede definiciones (veintitrés en total) ; luego vienen los postulados y por últimolas nociones comunes o axiomas.

Este orden no es indiferente, y tiene en sí mismo un significado. Primerovienen las definiciones; en efecto, para el pensamiento griego, lo primero es de-finir, delimitar con precisión y exactitud los entes sobre los cuales ha de versarla ciencia geométrica, porque no es posible edificar una ciencia sobre objetosindeterminados, y menos aún la geometría que es la ciencia de los formas. Si hayalgo que por su propia naturaleza debe ser limitado, es la forma. Lo indefinido,]0 indeterminado, lo ilimitado, carece de forma en la misma medida en que carecede límites. Esta idea se encuentra bien patente en la definición N<'> 14 de Euclides:

"Figura es lo comprendido por un límite o por varios".

Puede haber un solo límite, como en el caso del círculo, o bien varios;tantos, cuantos sean necesarios para encerrar una forma bien definida.

Por lo demás, estas definiciones de Euclides y, en general, toda su geo-metría, están dominadas por una concepción filosófica realista.

Bien es cierto que los entes geométricos son seres de razón, pero en todocaso, son imágenes mentales de cosas muy concretas. La posición del matemáticogriego ante los seres que va a estudiar, es semejante a la del naturalista ante losanimales y las plantas. Ni uno ni otro van a inventar a su gusto y sabor laspropiedades de los seres que estudian, sino que las van a descubrir. Esas pro-piedades están en los seres, pertenecen a los seres, y tienen una realidad objetivaque no depende en manera alguna de nuestra voluntad. Cualquiera que apliquesu entendimiento al estudio de esos seres, no podrá 'menos que encontrarles lasmismas propiedades. No se deja ningún margen a la actividad creadora del en-tendimiento, porque no se cree que tal actividad pueda tener influencia algunasobre una ciencia que nos viene impuesta por el mundo exterior. Las cosas sonromo son, y no como nosotros quisiéramos que fuesen. Es en este sentido quela geometría griega está dominada por una concepción realista del Universo; yes esto, también, lo que le confiere a la geometría -en el sentir de los griegros-su carácter de unicidad y de eternidad.

Esta concepción realista tiene una influencia decisiva en las definicionesde Euclides. Tales definiciones describen, si no cosas concretas, por lo menosimágenes de cosas concretas. El objeto a definir está allí, frente a nosotros, yhemos de describirlo con la mayor exactitud y precisión.

POSTULADOS

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Finalmente, una última consecuencia de esta concepcion realista de losgeómetras griegos, es la concordancia entre la especulación matemática y elmundo de las realidades sensibles. Dicha concordancia se debe a que la especu-lación matemática entre los griegos es un producto elaborado con una materiaprima suministrada directamente por la intuición sensible.

Vienen después los postulados y por último los axiomas. Resulta intere-sante, para los fines que aqui se persiguen, tener a la vista el conjunto de postu-lados y axiomas formulados por Euclides . e)

"Postúlese:

1. "Trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera".2. "Prolongar por continuidad en línea recta, una recta delimitada".3. "Para cada centro y radio, describir su círculo".4. "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí".S. "Que, si una recta incidente sobre dos rectas, hace ángulos internos y de

la misma parte menores que dos rectos, prolongadas esas dos rectas alinfinito, coincidirán por la parte en que estén los ángulos menores quedo rectos".

6. "Que dos rectas no circundan región".

NOCIONES COMUNES

1 . "Cosas iguales a una y la misma son iguales entre sí".2 . "Y si a cosas iguales se añaden otras iguales, las totales son iguales".3. "Y si de cosas iguales se quitan otras iguales, las restantes son iguales".4. "Y si a co as desiguales se añaden otras iguales, las totales son desiguales".S. "Y las cosas dobles de una y la misma, son iguales entre sí".6. "Y las cosas mitades de una y la misma COsa son iguales entre sí".7. "Y las cosas congruentes entre sí, son iguales entre sí".8. "Y el todo es mayor que la parte".

Nota: En la versión griega, el postulado 69 aparece después de la octavanoción común; pero advierte García Bacca que probablemente ese postulado nofue escrito por Euc1ides sino agregado posteriormente por alguno de sus comen-tadores. En todo caso, se ve bien que no es una noción común sino un postulado.

Aunque Euc1ides en su libro llama "nociones comunes" a las proposicionesdel segundo grupo, otros griegos -entre ellos Aristóteles- las \1amaron axiomas,que quiere decir "dignidades".

Se ve bien por este deta\1e, que los griegos distinguían un orden jerárquicoentre axiomas y postulados.

Tal orden ofrece para nosotros, en el presente ensayo, un interés especial,y por eso trataremos de precisar con exactitud el sentido de esa jerarquía.

En algunos libros de geometría elemental se leen a veces definiciones comoéstas:

(1) Traducción directa del griego por David García Bacca.

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Axioma es una verdad que, siendo evidente por sí misma, no necesita de-mostración.

Postulado es una verdad que, aunque no es evidente por sí misma, se admitesin demostración.

A mi entender, los postulados -excepto, tal vez, el quinto- son tan evi-dentes como los axiomas. Yo nunca he experimentado sinceramente la necesidadde demostrar, por ejemplo, que todos los ángulos rectos son iguales, o que dosrectas no circundan región, o que se puede trazar una circunferencia con un compás.

Mirando atentamente los postulados y los axiomas de Euclides, se adviertecon facilidad que la diferencia esencial entre unos y otros, no reside en la evi-dencia o no evidencia de las proposiciones.

La diferencia reside, más bien, en que las verdades enunciadas en lospostulados son de una naturaleza muy distinta de las que se enuncian en losaxiomas. Los postulados son verdades de la intuición sensible, mientras que losaxiomas son verdades de la razón pura.

Los axiomas son, por decirlo así, principios generales y elementales delrazonamiento lógico.

El desarrollo de la geometría griega se nos presenta entonces como elresultado de un connubio entre las exigencias de la sensibilidad y las de la razónpura.

Podemos resumir lo expuesto diciendo que los postulados son verdadescontingentes, mientras que los axiomas son verdades necesarias.

En apoyo de esta tesis podemos citar el hecho, hoy conocido por todo ell11tmdo, de que variando la postulación euc\ídea, se han construido sistemas degeometría, incompatibles unos con otros, pero perfectamente coherentes consigomismos. Y esto solamente es posible, si la postulación tiene el significado de unaverdad contingente.

Por otra parte, observando los axiomas de Euclides, podemos ver que sonsimples variaciones, modalidades, o conclusiones muy inmediatas del principiode identidad, el cual pasa por ser el prototipo de la verdad necesaria.

Como resumen de lo expuesto, diremos que en la acepción clásica de lostérminos, existe una diferencia tajante entre definiciones postulados y axiomas.Además, entre los dos últimos, hay una diferencia de jerarquía.

La geometría )' el ideal lógico

Acabamos de decir hace un instante que, debido al carácter intuitivo delos postulados, la geometría griega nos aparece como un compromiso entre lasexigencias de la intuición sensible y las de la razón pura.

Sin embargo, desde los tiempos más remotos, la geometría-y en generaltoda la matemática-ha pretendido ser una ciencia de la razón pura, una cienciaestrictamente lógica. Este ha sido su ideal científico a lo largo de toda su historia.

Decía Poincaré que la geometría es el arte de razonar bien sobre figurasmal hechas; con lo cual, indudablemente. deseaba acentuar esta primacía de larazón pura sobre la intuición sensible. Si bien es cierto que la geometría sevale de figuras para facilitar la exposición, estas figuras no son otra cosa queun excelente medio para echar a andar la maquinaria lógica.

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Se entendía, pues, que la estructura visible de las figuras geométricasestaba sustentada por una sólida estructura lógica, perfectamente autónoma,que se aguantaba bien a sí misma sin necesidad de apoyarse en la intuiciónsensible.

La intuición podía condicionar la forma del edificio geométrico, pero noera, en manera alguna, el fundamento de su estabilidad; así como las formasconstructivas de una gran catedral pueden estar condicionadas por las posibi-lidades de realización material del andamiaje, pero el fundamento de su esta-bilidad no reside en los andamios, sino en las leyes racionales de la estática.

A pesar de todo eso, transcurrían los siglos sin que la matemática-y enparticular la geometría-pudiera desvincular se enteramente de su andamiajesensible ; y la pretendida maquinaria lógica permanecía siempre con un pieencadenado a la carlanca de la ontología.

y así hubieran continuado las cosas hasta nuestros días, de no haberocurrido, en los albores del siglo XIX, un hecho de gran trascendencia que hizocambiar repentinamente el panorama de la ciencia matemática; ese hecho fue eldescubrimiento de las geometrías no euclidianas . En efecto, dicho descubri-miento vino a revelar una clave de capital importancia; que la posibilidad de las.demostraciones matemáticas no reside en el contenido intuitivo de las propo-siciones, sino solamente en su contenido relacional.

En esta forma quedó cortado de un solo tajo el vínculo que ataba lalógica a la ontología. Y este hecho es tan importante, que ha determinado uncambio total de rumbo en la trayectoria del pensamiento matemático del siglo XX.A partir de aquel instante, se inició el movimiento de la axiomática moderna,que tiende a expulsar de la matemática hasta el último vestigio de intuiciónsensible.

Los entes sobre los cuales ha de versar ahora la especulación matemática,son elementos totalmente vacíos de contenido intuitivo; ya no son cosas con-cretas, ni siquiera imágenes mentales de esas cosas; ahora son íastasmas intan-gibles, espíritus incorpóreos, recipientes vacíos.

Es obvio entonces que las definiciones axiornáticas ya no pueden darnos,como las de Euclides, de cripciones de entes concretos, puesto que los nuevosentes, por su propia naturaleza, son indescriptibles.

Lo que las definiciones axiomáticas nos dan ahora 011 relaciones entreesos elementos, cuya única realidad consiste en estar ligados por esas relaciones,en ser los términos de esas relaciones. Y nosotros no podemo saber si lasrelaciones estipuladas convienen realmente a la naturaleza de los elementos liga-dos por ellas, porque tales elementos carecen de naturaleza propia, están vacíos.de todo contenido ontológico.

Por consiguiente, las relaciones que entre ellos se establecen no son niciertas ni falsas, sino puramente convencionales. El movimiento de la axiomáticasignifica la primacía de la relación sobre la sustancia, y la matemática viene aser entonces una ciencia de puras relaciones.

Es obvio, también, que en una matemática rigurosamente axiornatizada,totalmente divorciada de la ontología, el postulado pierde por completo su signi-ficación clásica de verdad contingente, porque esto sólo tiene sentido en el mundo.de la ontología.

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A pesar de todo, la palabra "postulado" se usa mucho en el lenguaje dela axiomática, pero con la significación que tiene en el diccionario: "Principio.sobre el cual se basa una demostración". Se pide al interlocutor que acepte elpunto de partida, para sentar sobre él una doctrina matemática puramente con-ovencional.

Propiamente hablando, el lenguaje axiomático no hace distinción alguna.entre definición y postulado. El postulado postula y define al mismo tiempo.Pero es más, se emplean también como sinónimas las palabras axioma y pos-tulado. Y llegamos ahora al punto medular de este ensayo:

La axlomática y el principio de identidad

Hemos visto antes que, en la acepción clásica de los términos, existe unadiferencia de jerarquía entre postulados y axiomas, y que esta diferencia sefunda en la clara distinción entre verdad contingente y verdad necesaria, carac-terizada esta última por el principio de identidad. Pero ahora nos encontramoscon que la axiomática parece destruir esa jerarquía, al emplear los vocablos"axioma" y "postulado" con la misma acepción.

Entonces cabe preguntarse: ¿ se elevó la verdad contingente a la cate-goría de verdad necesaria? O bien ¿ descendió la verdad necesaria-el principiode identidad-a la categoría de verdad contingente? ¿ O es falso que se haya des-truido la jerarquía y ésta se mantiene siempre? En todo caso, ¿ en qué relación.queda la axiomática con respecto al principio de identidad?' La libertad de quegoza ahora el matemático para elegir arbitrariamente un sistema de postu-lados, ¿ es realmente tan absoluta que pueda desentenderse del principio deidentidad?

En lo que se refiere al problema planteado por la verdad con.tingente,la respuesta no es difícil y cualquiera puede adivinarla, basándose en lasexplicaciones anteriores. Lo que ocurre es que la matemática se mudó de casa;abandonó el mundo de la ontología, y se fue a vivir al país de la lógica pura,aséptica, impoluta, sin contaminación alguna con el mundo de la realidad sen-sible , Y en su viaje dejó perdida a la verdad contingente, porque allá, en esemundo de fantasmas incorpóreos, no hay verdad contingente, por la sencilla.razón de que tampoco hay ontología.

Así pues, la verdad contingente no subió ni bajó de categoría; simple-mente se quedó atrás. Quedó abandonada en la antigua casa, porque en sunueva morada la ciencia matemática no la necesita.

En esta forma, la palabra "postulado", despojada de su antigua signifi-eación, pasó a ser sinónima de axioma.

Pero ahora cabe preguntarse: ¿ qué suerte corrió el principio de iden-tidad en este viaje? ¿ Se quedó también abandonado en la antigua vivienda como.un objeto inútil, o fue entronizado en la nueva morada?

Esto es lo que veremos ahora.En realidad, la ciencia matemática hizo, por lo menos, el intento de lle-

varse el principio cle identidad a su nueva morada.En efecto, esa libertacl de que goza ahora el matemático para elegir

.arbitrariamente un sistema de postulados, no es tan absoluta como parece. La.

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lógica formal se apresuró a formular un conjunto de condiciones a priori concarácter normativo, a las cuales ha de ceñir e toda postulación para ser acep-table. La postulación debe ser:

a) Mínima.b) Completa.e) Independiente.d) N o contradictoria.

Vamos a detenemos un instante para hacer un breve comentario de estoscuatro puntos.

Los dos primeros obedecen simplemente a un anhelo de economía lógica.La postulación debe contener el número de postulados necesario y suficientepara el desarrollo completo de un cuerpo de doctrina.

Pero se ve inmediatamente que esto sólo es aplicable cuando se trata deaxiomatizar una doctrina matemática ya existente. Tal es el caso. por ejemplo,de la axiomatización de la geometría de Euclides llevada a cabo por DavidHilbert. para la cual necesitó nada menos que 20 axiomas. Pero cuando e tratade crear ciencia. esos preceptos son inaplicables, y resultan completamenteinútiles.

El tercer precepto quiere decir que cada postulado debe ser indepen-diente de los otros, es decir, que no se deduzca de los otros por la vía del razo-namiento deductivo; porque en tal caso ya no sería realmente un postulado,sino más bien un teorema.

El cuarto precepto es el único que tiene realmente una importancia fun-damental, y es también el único que nos interesa desde nuestro punto de vista.

La po tulación debe presentar coherencia lógica; ningún po tulado puedeestar en contradicción consigo mismo o con otro, porque si así fuera, esa con-tradicción saldría a relucir tarde o temprano en el desarrollo de la doctrina.

Pero cabe precisar aquí qué tipo de contradicción es el que debe evitarse.Un postulado puede proclamar algo que esté en abierta pugna con los datosde la intuición sensible. yeso no sería motivo para rechazarlo. o se trata, pues,de una contradicción de tipo ontológico, sino que se trata de una contradicciónde tipo estrictamente lógico, como por ejemplo: "a" y no "a".

Dicho en pocas palabras, la postulación debe respetar el principio deidentidad. Y esto tiene para nosotros una gran importancia, porque es aquí,precisamente aquí, donde descubrimos la huella de que la ciencia matemáticatrató de llevarse consigo el principio de identidad. cuando emprendió su viajeal país de la lógica impoluta ,

Todo esto parece muy claro, muy encillo y muy lógico pero... surgendificultades.

En efecto, la regla anterior prescribe que la postulación ha de presentarcoherencia interna, pero 110 nos da ningún criterio, norma o procedimiento que110S permita saber, a priori, si un determinado sistema de postulados es, o no,compatible con el principio de identidad. Y la verdad es que esto no es tansencillo como parece a primera vista.

Claro está que cuando se trata de axiomatizar una doctrina ya existente,-el problema ni siquiera se plantea, y la regla sale sobrando.

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Pero cuando no es ese el caso, la aplicación de dicho precepto puedepresentar dificultades insuperables.

Veámoslo en un ejemplo histórico.Los matemáticos que descubrieron las geometrías no euclidianas, estaban

convencidos de que su postulación era contradictoria, y esperaban que esa contra-dicción inicial saliera a relucir de una manera patente en el curso de sus demos-traciones; pero ocurrió que la tan ansiada contradicción no apareció por ningunaparte. Esto, sin embargo, no podía ser considerado como una prueba apodicticade la coherencia inicial del sistema de postulados, porque-se decían-e-el hechode no haber encontrado hasta ahora contradicción alguna, no quiere decir queno pueda ser encontrada más adelante.

y cabe preguntarse: ¿ Cómo es que matemáticos tan eminentes no pudie-ron saber, ni a priori ni a posteriori, si su postulación era o no contradictoria?

Vemos, pues, que estos preceptos a priori con carácter normativo quenos receta la lógica formal, resultan engañosos por la aparente simplicidad conque nos presentan las cosas y, con frecuencia inútiles por la imposibilidad depoderlos aplicar.

Por fin, el asunto vino a resolverse cuando el matemático Beltrami en-contró un modelo para representar los teoremas de una de esas geometrías noeuclidianas. El hallazgo del modelo fue considerado como prueba satisfactoriade la coherencia del sistema y, por ende, de la postulación inicial.

Es de notar, sin embargo, que la no existencia de un modelo o la impo-esibilidad de hallarlo, no prueba en manera alguna que el sistema propuesto sea.contradictorio.

Desde nuestro punto de vista, eso de recurrir a un modelo para decidiren última instancia acerca de la coherencia interna de un sistema matemático,tiene una significación muy honda.

En efecto, construir un modelo significa hallarle a una doctrina abstracta,un ámbito de representación sensible; o dicho en otras palabras, volver al mundode la ontología.

y no deja de ser un hecho insólito que la lógica, divorciada de laontología y abandonada a sus propios recursos, resulte incapaz de resolver unproblema tan básico y fundamental, y tenga que llamar humildemente a la puertade su antigua morada en demanda de auxilio.

A fin de mostrar más claramente la real dificultad que existe para decidira priori acerca de la coherencia interna de una postulación, vamos a ponertodavía dos ejemplos:

1Q-Invento un ente matemático abstracto que llamaré E, definido porla siguiente postulación:

E ~ O Y En = O SI n > 1

2Q-Invento un ente matemático abstracto que voy a llamar T, definidopor la siguiente postulación:

T = Tg x y T2 - 1

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Cualquiera podría creer a primera vista que estas postulaciones sonabsurdas pero la verdad es que no hay en ellas ningún elemento de juicio que nospermita saber a priori si son absurdas o no.

Se podrá objetar que queda siempre el recurso de saberlo a posteriori;pero resulta que la posibilidad de caer luego en una contradicción manifiestadel tipo Ha" y no Ha", depende más bien del sendero que escojamos para con-ducir nuestras especulaciones, y de la habilidad que despleguemos para no caeren una hoyanca lógi-ca. De hecho, esas dos postulaciones son los puntos de partidade interesante teorías matemáticas.

Se ve pues cuán difícil resulta-por no decir imposible-saber si en unapostulación de tipo axiomático se ha respetado o no, el principio de identidad,

y nosotros podemos preguntamos: ¿ dónde reside la raíz profunda de esasituación tan extraordinaria?

A mi entender, esto se debe a que en un mundo poblado de seres despro-vistos de toda significación ontológica, que no son nada en sí mismos, y cuyaúnica realidad consiste en poder efectuar con ellos operaciones matemáticas arbi-trarias, ya no podemos proclamar la identidad de cada ser consigo mismo, porla sencilla razón de que esos seres, en sí mismos, no existen.

El principio de identidad está sustentado por una concepción filosóficarealista Al proclamar que cada ser es idéntico a í mismo, admitimos la exis-tencia de seres que son en sí mismos, que tienen una existencia propia. Peroen un mundo de recipientes vacíos, de fantasmas intangibles y amoríos, dondelo seres no son nada en sí mismos, el principio de identidad ya no tiene mor-diente, no tiene agarre, no tiene asidero, no tiene base de sustentación ; carece desentido, y no puede tener vigencia ni soberanía. A mi entender, el principio deidentidad está indisolublernente vinculado al mundo de la ontología; no es unprincipio estrictamente lógico, sino más bien anta lógico . Por ese motivo, lalógica aséptica se ve forzada a volver al mundo de la ontología cuando quierecotejar una doctrina abstracta con el principio de identidad.

No deja de ser una extraña y decepcionante paradoja eso de que enel mundo de la lógica químicamente pura, despojada de todo elemento ontoló-ígico, uno nunca sabe de qué esta hablando, ni si lo que está diciendo es ciertoo falo, como lo hace notar con tanta agudeza Bertrand Russell.

Cuando se estudia una doctrina matemática rigurosamente axiornatizada,que no hace concesiones a la intuición, y de la cual no se tiene ninguna idea:previa, se experimenta la sensación de estar flotando en el vacío, y no se entiendenada; por lo meno , en el sentido corriente de la palabra "entender".

N os dicen los ictiólogos que los peces de superficie respiran el aire quese encuentra disuelto en el agua. Si esto es así, un pez de superficie no podríavivir en las profundidades del océano porque se asfixiaría; pero si lo sacan delagua, también se asfixia. De una manera semejante-s-creo yo-el entendimientose asfixiaría en las profundidades de un empirismo craso, pero también se asfixiaen esa atmósfera enrarecida de la lógica impoluta y a éptica. Al parecer, elentendimiento respira mejor el aire lógico cuando se encuentra disuelto en lasaguas ontológicas.

Podría uno preguntarse entonces cómo es posible que en un mundo tansingular como el de la axiomática, puedan los matemáticos orientarse, avanzary llegar a una meta sin perder el rumbo y sin extraviarse a cada instante.

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La clave de este enigma reside en que la axiomática no es un método deinvestigación, sino simplemente un método de exposición racional de una cienciaya hecha. Viene a ser una sublimación del método deductivo, en la que éste hasido despojado de sus elementos ontológicos.

El método axiomático reduce las matemáticas a un inmenso "herbario"lógicamente clasificado en el cual puede uno encontrar todo lo que la vida inte-lectual ha creado; todo, excepto la vida misma. La matemática axiomatizadapuede crecer como crecen los herbarios, por adición de nuevos especímenes.Pero no crecerá como las plantas de los jardines, por el hálito de vida que llevanen sí mismas.

A pesar de eso, el espíritu de la axiomática ha influido favorablemente enel desarrollo de la ciencia matemática; porque al desentenderse de las exigenciasdel mundo sensible, se han multiplicado los senderos accesibles a la especulaciónmatemática. Además, se ha puesto en claro que muchas teorías matemáticas deapariencia concreta muy distinta. presentan realmente una identidad esencial deestructura lógica, y esto ha traído grandes simplificaciones.

Para terminar, resulta interesante citar aquí la autorizada opmion deRichard Courant acerca de la axiomática, que yo suscribiría plenamente.

"Una amenaza seria para la verdadera vida de la ciencia aparece conte-nida en la afirmación de que la matemática no es más que un sistema de con-clusiones derivadas de definiciones y postulados que deben ser compatibles, peroque, por lo demás, pueden ser creación de la libre voluntad del matemático. Siesta descripción fuera exacta, las matemáticas no podrían interesar a ningunapersona inteligente. Sería un juego con definiciones, reglas y silogismos, sinmeta ni motivo alguno. La noción de que el intelecto puede crear sistemas depostulados plenos de significado de modo arbitrario es una verdad "a medias"decepcionante. Unicamente bajo una disciplina de respon abilidad frente a untodo orgánico, guiada sólo por necesidades intrínsecas, puede la mente libreobtener resultados de valor científico".