Definición de sistema binario

Un sistema de numeración es una serie de símbolos que se utilizan, de acuerdo a ciertas reglas, para construir aquellos números que se consideran válidos. Entre los diferentes sistemas de numeración, encontramos al sistema binario.

Antes de avanzar en la definición, podemos analizar a qué se refiere la noción. Un sistema es un conjunto de componentes que interactúan y están interrelacionados entre sí. Binario, por su parte, es aquello que está formado por dos componentes o unidades.

El sistema binario, de este modo, emplea sólo dos dígitos o cifras: el cero (0) y el uno (1). Distinto es el caso, por ejemplo, del sistema decimal, que utiliza diez dígitos: nueve (9), ocho (8), siete (7), seis (6), cinco (5), cuatro (4), tres (3), dos (2), uno (1) y cero (0).

En la actualidad, la popularidad del sistema binario radica en que es el sistema empleado por los ordenadores o computadoras. Como estos equipos, a nivel interno, funcionan con dos niveles diferentes de voltaje, apelan al sistema binario para indicar el apagado (representado con el 0) o el encendido (1).

Aunque puede parecer extraño, cualquier número del sistema decimal (el más empleado en la vida cotidiana) puede expresarse a través del sistema binario. Sólo hay que seguir alguno de los métodos establecidos para encontrar la equivalencia.

El método más común consiste en dividir la cantidad del sistema decimal por 2: el número entero que da como resultado se divide nuevamente por 2, de forma sucesiva hasta que el dividendo resulta inferior al divisor. Hecho esto, los restos de cada división se ordenan desde el último resto hasta el primero.

De este modo, si queremos expresar el número 34 en el sistema binario haremos lo siguiente:

34 / 2 = 17 (resto = 0)17 / 2 = 8 (resto = 1)8 / 2 = 4 (resto = 0)4 / 2 = 2 (resto = 0)2 / 2 = 1 (resto = 0)1 / 2 = 0 (resto = 1)

De este modo, el número decimal 34 es equivalente al número binario 100010.

Definición de sistema decimal

El sistema decimal es un sistema de numeración: una serie de símbolos que, respetando distintas reglas, se emplean para la construcción de los números que son considerados válidos. En este caso, el sistema toma como base al diez.

Esto quiere decir que el sistema decimal se encarga de la representación de las cantidades empleando diez cifras o dígitos diferentes: 0 (cero), 1 (uno), 2 (dos), 3 (tres), 4 (cuatro), 5 (cinco), 6 (seis), 7 (siete), 8 (ocho) y 9 (nueve).

Es importante destacar que el sistema decimal es un sistema posicional. Los dígitos adquieren su valor de acuerdo a la posición relativa que ocupan. Esta posición, a su vez, depende de la base en cuestión.

El sistema decimal, como dijimos, apela a diez dígitos y tiene las potencias del número diez como base. De este modo: 10 elevado a 0 es igual a 1; 10 elevado a 1 es igual a 10; 10 elevado a 2 es igual a 100; etc.

El número 523, por ejemplo, tiene tres cifras. En el sistema decimal, se construye de la siguiente forma, respetando las posiciones correspondientes:

(5 x 10 elevado a 2) + (2 x 10 elevado a 1) + (3 x 10 elevado a 0)

(5 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)

500 + 20 + 3

523

Como se puede apreciar, de derecha a izquierda, el primer lugar corresponde a la unidad (10 elevado a 0), el segundo lugar corresponde a la decena (10 elevado a 1) y el tercer lugar corresponde a la centena (10 elevado a 2).

¿Qué es un sistema de numeración?

Un sistema de numeración puede considerarse como un conjunto de símbolos y reglas que se usan para representar los números. Dicho sistema sólo puede usar los símbolos de que dispone para representar los números. Esto quiere decir que, se pueden usar desde dos hasta infinitos símbolos para representar las cantidades. A lo largo de la historia el sistema más usado ha sido el decimal, aunque muchos de las culturas y pueblos antiguos desarrollaron otro tipo de sistemas.

Estos sistemas podían básicamente ser de dos tipos, posicionales o no posicionales. Un sistema posicional es un sistema en el cuál un símbolo o cifra no tendrá un único valor numérico, sino que según su posición dentro del número final éste valor cambiará. Por ejemplo, nuestro sistema decimal o el sistema binario son tipos de sistemas posicionales. Los sistemas no posicionales con aquellos en los cuáles los símbolos nunca cambian su valor independientemente de su posición. Por ejemplo, en los números romanos se colocan los símbolos en posiciones diferentes para indicar sumas o restas, pero el valor o cantidad que representa cada símbolo no cambia.

En los sistemas posicionales, que son materia de estudio en el presente trabajo, se utiliza el concepto de base; se llama base a aquel número que indica el máximo de símbolos diferentes que podemos usar en ese sistema para representar los números. Así por ejemplo, en nuestro sistema decimal sólo disponemos de 10 dígitos, que van del 0 al 9.

Para indicar en que base está un número, esto es, para saber qué sistema se utiliza; se coloca un subíndice al número indicando la base y por tanto el sistema del mismo. Evidentemente el único sistema en el que no se utiliza subíndice es el decimal.

ARITMÉTICA BINARIA

Operaciones elementales con números binarios

La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.

Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+0 1

0 0 1

1 1 0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 00 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710

001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1:Realiza las siguientes sumas de números binarios:111011 + 110111110111 + 11100110111 + 11011 + 10111

Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

-0 1

0 0 1

1 1 + 1 0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 01 – 0 = 11 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1.  Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:

111011 - 110111110111 - 1110011010111 - 11011 – 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:        100110011101         1001    1001    1101        010101110010         0101       0111       0010         010000101011         0100    0010    1011

Calculando el complemento a dos del sustraendo

i. Complemento a dos

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 4510 n = 6 26 = 64 y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:Calcula el complemento a dos de los siguientes números:11001, 10001011, 110011010

ii. Complemento a uno

El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:

C1N = C2N - 1y, por la misma razón:

C2N = C1N + 1

Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:

siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011

C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010

C1N = 010010

Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para

calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:

  N = 110100101

obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:

C1N = 001011010y su complemento a dos es:

C2N = C1N + 1 = 001011011

¡es muy fácil!

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:

  N = 0110110101

El complemento a uno es:C1N = 1001001010

y el complemento a dos es:C2N = 1001001011

iii. Restar en binario usando el complemento a dos

Y, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Primer ejemplo:Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:

1011011 – 0101110 = 0101101

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:

1011011 + 1010010 = 0101101

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo:Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

21910 = 110110112, 2310 = 000101112C223 = 11101001

El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:

110001002 = 19610

¡Qué fácil!

Ejercicio 4:Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:11010001101 – 100011110110110011101 - 1110101

Multiplicación binaria

La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:

x0 1

0 0 0

1 0 1

En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Veamos, por ejemplo, una multiplicación:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537

¡correcto!

Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:10110101000101 x 101110100001111011 x 10011

División binaria

Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:10110101000101 : 101110100001111011 : 10011

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

1.  Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:

500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

 Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

10112 = 1110

2.  Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:77 : 2 = 38 Resto: 138 : 2 = 19 Resto: 019 : 2 = 9 Resto: 19 : 2 = 4 Resto: 14 : 2 = 2 Resto: 02 : 2 = 1 Resto: 01 : 2 = 0 Resto: 1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

Ejercicio 1:

Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276

i.  El tamaño de las cifras binarias

La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.

Ejercicio 2:Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

3.  Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83

10100112 = 8310

Ejercicio 4:

Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Desde antiguo el Hombre ha ideado sistemas para numerar objetos, algunos sistemas primitivos han llegado hasta nuestros días, tal es el caso de los "números romanos", pero sin duda el más extendido en la actualidad es el sistema decimal de números arábigos, llamado así por ser los árabes sus creadores.

En el sistema decimal, los números se forman por combinación de 10 signos distintos; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cada uno de estos signos tiene un valor, y el valor del número que forman se halla multiplicando el valor de cada uno de ellos por 10 elevado a la potencia correspondiente a su situación en el número, siendo 0 el de más a la derecha, 1 el siguiente y así sucesivamente. De esta forma, el número 5348 sería igual a: 5348 = 8*100 + 4*101 + 3*102 + 5*103 = 8*1 + 4*10 + 3*100 + 5*1000

La misma denominación del número nos lo recuerda, decimos: cinco mil, tres cientos, cuarenta y ocho. El sistema decimal es de uso tan frecuente que no vale la pena insistir en él, pero es importante hacer notar que la base de los exponentes es siempre 10 y por tanto, este sistema se denomina también "de base 10". Es posible crear sistemas que utilicen una base distinta, y de hecho, estos sistemas son muy usados en informática.

Historia De Los Sistemas Binarios

El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

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El sistema quinario es el nombre que se le da a la base 5 constantes. Este sistema tiene su desarrollo en el hecho de que los humanos tienen cinco dedos en cada mano, por lo que es uno de los sistemas de numeración, pero no se usa comúnmente

Para representar cualquier número en el sistema de numeración en base 5, se utilizan los dígitos del 0 al 4. De acuerdo con este método, el número cinco se escribe 10, el número veinticinco 100 y el sesenta se escribe 220.

En el siglo XX, solamente ciertas tribus del este de África seguían utilizando un sistema de base 5. Sin embargo, el sistema de base diez (decimal) ha prevalecido en la mayoría de los territorios y éstas tribus, como todas las otras culturas que usaban el sistema quinario, se han convertido a él.

Aun así, cinco es un número primo, y por ello el sistema quinario se utiliza como sub-base del sistema decimal y el vigesimal.

A pesar de su parecido, el término quinario no hace referencia a quince, sino a cinco, siendo también el nombre de una antigua moneda romana del mismo valor. El sistema de numeración en base quince se podría llamar, según aparece en algunos documentos, como Quindenario, o pentadecimal, aunque esta base no es tan importante como el resto.

Decimal Biquinario

0 ----> 01 00001

1 ----> 01 00010

2 ----> 01 00100

3 ----> 01 01000

4 ----> 01 10000

5 ----> 10 00001

6 ----> 10 00010

7 ----> 10 00100

8 ----> 10 010

9 ----> 10 1000

Para realizar estas operaciones, primero representamos mentalmente los números dados, en nuestro familiar sistema decimal, efectuamos la respectiva operación y una vez obtenido el resultado, lo representamos de nuevo en el correspondiente sistema no decimal. Pero también se puede proceder de otra forma: se construyen “la tabla de adición” y “la tabla de multiplicación” para los sistemas en los que estén dados los números, y se emplean directamente estas tablas.

  Por ejemplo, la tabla de adición en el sistema quinario tiene la siguiente forma:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 102 2 3 4 10 113 3 4 10 11 124 4 10 11 12 13

Por medio de esta tabla podemos sumar los números “4203” y “2132”, escritos en el sistema quinario, requiriendo un menor esfuerzo que con el método aplicado anteriormente.

Fácilmente se puede comprender, que también se simplifica la sustracción.

Formemos la tabla de multiplicar (“pitagórica”) para el sistema quinario:

X 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 11 133 3 11 14 224 4 13 22 31

Teniendo frente a nosotros esta tabla, podemos simplificar el proceso de multiplicación y división en el sistema quinario, como se puede comprobar, aplicándola a los ejercicios propuestos anteriormente. Por ejemplo, en la multiplicación.