Definición de límites, continuidad y derivadas

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SESIONES VIDEO MAT 1. LÍMITES 1.1.- Noción de límite de una función en un punto: Límite de una función f(x) en un punto a, es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a "a". Por ejemplo, vamos a ver el límite de la función f(x) = x^2 - 3x cuando x se acerca a -1: Damos valores a x próximos a -1 y vemos qué pasa con f(x): Gráficamente: Podemos ver que cuando x se acerca a -1 f(x) se acerca a 4. También podemos observar que en este caso, este valor coincide con f(-1). Esto siempre es así? No! en muchos casos esto no se cumple. 1.2.- Límites infinitos. Veamos qué pasa con la función f(x)= 1/(x+1) cuando x se acerca a -1: Upssss! se va haciendo cada vez más grande! En este caso diremos que cuando x tiende a -1, f(x) tiende a + , o, lo que es lo mismo: El límite de la función f(x)= 1/(x+1) cuando x tiende a -1 es + . Esto se expresa así: X -1,01 -1,001 -1,001 -1 -0,9999 0,999 -0,99 F(x) 4,0501 4,005001 4,000500 4 3,9995 3,9950 3,9501

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SESIONES VIDEO MAT 1. LÍMITES 1.1.- Noción de límite de una función en un punto: Límite de una función f(x) en un punto a, es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a "a". Por ejemplo, vamos a ver el límite de la función f(x) = x^2 - 3x cuando x se acerca a -1: Damos valores a x próximos a -1 y vemos qué pasa con f(x):

Gráficamente: Podemos ver que cuando x se acerca a -1 f(x) se acerca a 4. También podemos observar que en este caso, este valor coincide con f(-1). Esto siempre es así? No! en muchos casos esto no se cumple. 1.2.- Límites infinitos. Veamos qué pasa con la función f(x)= 1/(x+1) cuando x se acerca a -1: Upssss! se va haciendo cada vez más grande! En este caso diremos que cuando x tiende a -1, f(x) tiende a + ∞, o, lo que es lo mismo: El límite de la función f(x)= 1/(x+1) cuando x tiende a -1 es + ∞. Esto se expresa así:

X -1,01 -1,001 -1,001 -1 -0,9999 0,999 -0,99

F(x) 4,0501 4,0050014,00050001 4 3,9995 3,9950 3,9501

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Lim f(x) = L X->a En este caso: lim (1/(x+1) ) = + ∞ X->-1 En el caso anterior: Lim (x^2 -3x )= 4 X-> -1 En el último ejemplo vemos que el límite de la función en x= -1 no coincide con la imagen de -1 ya que ésta no existe por ser el denominador igual a cero. Esto es lo que se llama un límite infinito. 1.3.- Limites laterales. Existen funciones que en un cierto punto x = a, su gráfica da un "salto", así:

La función y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a. Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) , y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a es L+, y por la izquierda es L-. Smbólicamente: Sólo existirá límite de f(x) en el punto x = a sí los límites laterales son iguales, es decir, L+ = L-.

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1.4.- Límites en el infinito. Por último, nos puede interesar saber qué ocurre cuando x se hace infinitamente grande (decimos que x tiende a + ∞) o infinitamente "pequeña" (decimos que x tiende a - ∞). Entendiendo aquí pequeña como valores negativos altos: Puede ser que f(x) también se haga infinitamente grande o pequeña, o bien que se acerque a un determinado valor. Por ejemplo: f(x) = 1/x cuando x tiende a + ∞ y a - ∞: Observamos que cuando x se acerca a + ∞ f(x) se va acercando a 0 con valores positivos cada vez más pequeños, y que cuando x se acerca a - ∞ f(x) se va acercando a 0 con valores negativos cada vez más pequeños: Se dice entonces que el límite cuando x tiende a + ∞ es 0, y en este caso también el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es también 0, y simbólicamente: Lim f(x) = L X-> + ∞. Lim f(x) = L X-> -∞. en este caso L es 0. 1.5.- INDETERMINACIONES Cuando en al cálculo de un límite nos encontramos con expresiones com las siguientes, donde no podemos determinar el valor numérico:

estamos ante una indeterminación.

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De lo que se trata aquí es de realizar un cálculo equivalente que nos permita encontrar dicho valor, si existe. en la sesión de hoy veremos como resolver las indeterminaciones del tipo: A) Indeterminación cero partido cero. Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos: Caso 1: Función racional

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Caso 2: función con radicales

2.- CONTINUIDAD 2.1.- Definición de Continuidad de una función en un punto Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si podemos dibujar la función pasando por ese punto sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente hablando: si se cumple que: 1. F(x) existe en x = a. 2. Existe el límite de la función en el punto x = a. 3. La imagen del punto coincide con el límite de la función en el punto. Ejemplo Estudiar la continuidad de en x = 2 1. La función tiene imagen en x = 2. f(2)= 4 2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales. 3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

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2.2.- Tipos de discontinuidades: a) Evitable: cuando existen los límites laterales y son iguales, pero no existe el valor de

ella función en el punto. b) De salto: cuando existen los límites laterales, pero son diferentes, independientemente

del valor de la función en el punto. c) De salto infinito: cuando al menos uno de los límites laterales es + ∞ o -∞. 3.- DERIVADAS: 3.1- Concepto de Derivada de una función en un punto La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

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Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3X^2 en el punto x = 2.