Definición de Geometría

La geometría es una de las ramas de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades del espacio como ser: puntos, planos, polígonos, rectas, poliedros, curvas, superficies, entre otros.Entre los varios propósitos que la originaron allá muy lejos en lo que era el Antiguo Egipto se cuentan: la solución de problemas referidos a medidas, como la justificación teórica de elementos de medición como el compás, el pantógrafo y el teodolito.

Aunque también con el tiempo y gracias a los avances que en su estudio se fueron logrando, la geometría hoy es fundamento teórico de otras cuestiones como ser el Sistema de Posicionamiento Global, más que nada cuando este está en combinación con el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales y asimismo también es muy útil y consultada en la preparación de diseños tales como el dibujo técnico o para el armado de artesanías.

Como bien decíamos más arriba el nacimiento de esta disciplina se remonta al Antiguo Egipto, la geometría clásica basada en axiomas que predominaba por esos días se valía del compás y la regla para estudiar las distintas construcciones.

Como la geometría no es plausible de errores, es que se desarrollaron los sistemas axiomáticos que proponían una disminución en el error y suponía un método sumamente riguroso. El primer sistema axiomático llegó como no podía ser de otra manera con quien hoy es considerado como el padre de la Geometría, el matemático griego Euclides.

Su obra Los Elementos recopila sus enseñanzas en el mundillo académico de ese entonces y es una de las obras más conocidas y la que más vueltas le ha dado al mundo.

En esta, Euclides, plantea varios postulados y teoremas que incluso siguen vigentes hoy en la enseñanza escolar, así que muchos de ustedes, si no se quedaron dormidos durante las horas de geometría podrán reconocerlos.

Así que lo que citaremos a continuación y que varios lo reconocerán se lo debemos pura y exclusivamente a Euclides: por dos puntos solo se puede trazar una línea recta, todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente, todos los ángulos rectos son iguales, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° y en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos y podríamos seguir, pero no queremos sacarle protagonismo a la profe de geometría.

Euclides, el padre de la geometría

Euclides, conocido también como "el padre de la geometría", fue un matemático y geómetra griego que vivió en Alejandría entre los años 325 y 265 a.C. dónde fundó una escuela de estudios matemáticos.

De su legado cabe destacar su famoso tratado de geometría, titulado "Los elementos", una de las obras científicas más importantes de todo el mundo. En dicha obra se recopiló todo el conocimiento impartido en su centro académico.

"Los elementos" de Euclides presenta un conjunto de axiomas, que él llamó postulados. Se trata de los cinco postulados de Euclides, que son los siguientes:

1. Por dos puntos distintos sólo cruza una línea recta.

2. Un segmento puede prolongarse en una recta ilimitada.

3. Se puede trazar una circunferencia a partir de un punto central y un radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta corta a otras dos formando ángulos interiores en un lado, siempre que la suma de los mismos sea inferior a la de dos ángulos rectos; esas dos rectas se cortarán en dicho lado.

No obstante, las teorías de Euclides son una abstracción de la realidad, ya que supone, por ejemplo, que una línea es tan sólo un conjunto de puntos que no tienen ancho, únicamente longitud. Asimismo, según dichos postulados una superficie no tiene grosor ni altura, por lo que sólo tiene dos dimensiones: ancho y largo.

Asimismo, la geometría de Euclides fue un punto fundamental en otros campos del conocimiento tales como la física, la química o la astronomía. Así, inspirándose en la armonía de la presentación de Euclides, se formuló en el siglo II la teoría ptolemaica del Universo, acorde con la cual la Tierra es el

centro del Universo. Por su parte, el Sol, la Luna y los planetas giran a su alrededor formando circunferencias perfectas.

Sin embargo, "Los elementos" de Euclides intentaron resumir todo el conocimiento matemático de la época, y fue estudiado durante varios siglos. Y es que esta obra cuenta con más de mil ediciones desde que fuera publicado en imprenta por primera vez en el año 1482.

CONCEPTOS

Estamos rodeados de figuras y cuerpos geométricos, solo basta con detenernos un poco y lo observaremos...

A continuación, veremos las figuras y cuerpos geométricos básicos, necesarios para conocer este mundo sorprendente de la Geometría. 

Figuras Geométricas:

Las figuras geométricas están formadas por: LADOS, VÉRTICES Y UNA CARA.

Cuadrado: es un forma geométrica que tiene cuatro lados iguales.

Rectángulo: es una forma geométrica que tiene dos pares de lados iguales.

Círculo: es una figura geométrica REDONDA.

Triángulo: es una figura geométrica que está cerrada por tres lados. Estos lados pueden ser iguales en tamaño o distintos.

Cuerpos Geométricos:

Los cuerpos geométricos, a diferencia de las figuras están formados por: ARISTAS,

VÉRTICES Y CARAS.

CUBO: es un cuerpo geométrico limitado por seis cuadrados.

PRISMA: es un cuerpo geométrico que tienen como mínimo seis caras, de las cuales

cuatro son rectangulares.

CÍRCULO: es un cuerpo geométrico encerrado en una superficie redonda.

PIRÁMIDE: es un cuerpo geométrico que tiene como base un cuadrado o un triángulo

o un polígono y sus lados son todos triángulos que se juntan en un solo punto llamado

vértice.

Sistemas de representación

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UNIDAD DIDÁCTICA: SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN1. Sistemas de represención.2. Los sistemas de representación según tipos de proyecciones.3. Sistema Diédrico.4. Sistema de planos acotados.5. Sistema axnométrico.6. Perspectiva caballera.7. Sistema axonométrico oblicuo.8. Sistema cónico. 

1. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓNLos sistemas de representación son un conjunto de principios que determinan la representación de un objeto, mediante el empleo de proyecciones, esto permite realizar representaciones planas de objetos en tres dimensiones. Así pues, se trata de establecer una relación biunívoca entre las formas del espacio y las de nuestro dibujo.

La geometría descriptiva es la rama de la ciencia que resuelve los problemas geométricos del espacio sobre un plano. La geometría descriptiva transforma el problema espacial (3D) planteado en un problema plano (2D). Nos basamos, como veremos más adelante, en la idea de PROYECCIÓN como base de los sistemas de representación empleados en Geometría Descriptiva.

Fue Gaspar Monge quien realizó los primeros estudios y aportaciones documentadas sobre la geometría descriptiva en 1785. Monge resolvió los primeros estudios de las fortificaciones mediante el uso de métodos gráficos. La geometría descriptiva aporta una base teórico-practica en el desarrollo gráfico de las distintas ramas de ingeniería y arquitectura.

Como anteriormente señalábamos, la esencia de este sistema consiste en la idea de proyectar elementos de 3 dimensiones, por tanto, con volumen, sobre un plano. Esto implica que existan diferentes sistemas de representación de los que definiremos sus elementos y su ámbito de aplicación.

2. LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN TIPOS DE PROYECCIONES

3. SISTEMA DIÉDRICO

El sistema diédrico o de Monge es un sistema de representación que emplea una proyección ortogonal sobre dos planos perpendiculares entre sí, siendo uno de ellos vertical y el otro horizontal. Si abatimos estos dos planos uno sobre otro haremos coincidir el último con nuestro dibujo.

Existen dos formas normalizadas de representación en sistema diédrico: - El sistema europeo donde los cuerpos están en el primer cuadrante.- El sistema americano donde los cuerpos están en el tercer cuadrante.

Las proyecciones sobre estos planos se denominan vistas:- La proyección vertical o alzado es la vista principal de la figura, por tanto, la que ofrece mayor información de la misma. Para esta vista de la figura contemplamos la vista desde el infinito y observando a esta perpendicularmente al plano vertical de proyección.- La proyección horizontal o planta la figura es vista desde el infinito y la observamos en posición perpendicular el plano horizontal de proyección.- En la proyección de perfil la figura se contempla desde el infinito y en posición perpendicular al plano de perfil.Otras vistas complementarias, si la pieza resulta compleja, son el perfil izquierdo, perfil derecho, planta inferior y alzado posterior.http://clasesdedibujotecnico.blogspot.com/

Este sistema emplea distintos métodos cuando las figuras del espacio tienen una posición especial en el diedro, no presentadas sus proyecciones en su verdadera forma y magnitudes:

- Abatimientos. Mediante este método los planos de proyección no cambian de posición, pero sí los elementos del espacio (puntos, rectas,...). Estos elementos estarán contenidos en un tercer plano cuyo abatimiento se realiza girándolo alrededor de la charnela hasta hacerlo coincidir con el plano de proyección. Finalmente todos los elementos contenidos en el plano se proyectarán sin deformación alguna.

- Giros. Con este método los planos de proyección permanecen fijos siendo la figura del espacio la que se desplaza girando alrededor de una recta-eje.

- Cambios de plano. En este caso es la figura del espacio la que queda invariable, siendo los planos de proyección vertical y horizontal sustituidos por otros.

El campo de aplicación de este sistema de representación se circunscribe al dibujo industrial de piezas y mecanismos mecánicos, articulado por una serie de convencionalismos y anotaciones. Otro campo de aplicación es en dibujo de construcción, tanto en la rama de obra civil como en representación arquitectónica.

4. SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS

Podríamos considerar a este sistema como una variante del sistema diédrico al proyectarse los cuerpos ortogonalmente sobre un plano llamado del cuadro o de comparación. La altura o cota de los puntos se expresa en metros junto a cada proyección significativa y en la escala apropiada.Las aplicaciones de este sistema son, por ejemplo, las superficies topográficas, planos de realización de carreteras, nivelación topográfica como el cálculo de movimientos de tierras (terraplén y desmonte),...

5. SISTEMA AXONOMÉTRICO

17 Sistema Axonometrico

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El sistema axonométrico emplea la proyección ortogonal sobre un plano llamado del cuadro que coincide con el dibujo. Los tres ejes de un sistema cartesiano forman distintos ángulos con el plano del cuadro, lo que implica la existencia de tres variantes axonométricas:- Isométrica: los tres ángulos son del mismo valor.- Dimétrica: dos ángulos son del mismo valor y uno es diferente.- Trimétrica: los tres ángulos poseen distinto valor angular.

La representación de objetos o figuras en este sistema implica una sensación de volumen , de tridimensionalidad semejante a la realidad. Este sistema es empleado en la industria petroquímica representando con sensación espacial las distintas plantas de proceso químico.

6. PERSPECTIVA CABALLERA18 Perspectiva Axonometrica Y Caballera

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El término perspectiva proviene del latín y significa <<mirar a través>>. Así, la perspectiva caballera emplea una proyección oblicua sobre el plano del cuadro. Sus tres ejes cartesianos (X,Y,Z) forman entre sí tres planos coordenados, siendo el plano XZ paralelo al plano del cuadro, por tanto, las formas aquí representadas en el plano XZ o en planos paralelos a este se proyectan en verdadera magnitud.Las aplicaciones de este sistema son similares a las aplicaciones estudiadas en axonométrica.La perspectiva militar es una variante de este sistema, en la que el plano del cuadro es paralelo, es este caso, al plano XY. Este sistema es empleado en la representación de planos de ciudades, indicando un dibujo esquemático de edificios representativos de las ciudades.

7. SISTEMA AXONOMÉTRICO OBLICUOEste sistema es, a su vez, una variante de la caballera, a excepción de que los tres ejes forman diferentes ángulos con el plano del cuadro, por tanto, ningún plano es paralelo al plano del cuadro.

8. SISTEMA CÓNICOEl sistema cónico emplea una proyección central desde un punto llamado de vista sobre un plano del cuadro.

Las variantes de este sistema depende de la existencia de algunos elementos de referencia u otros.La Lineal es la cónica convencional.La Central es la cónica que carece de plano geometral, solo emplea el plano del cuadro y realiza una representación basada en la proyección del punto de vista sobre el cuadro a cierta distancia.La Gnómica presenta rectas y planos que pasan por el centro de proyección.

La Estereográfica proyecta los elementos de una superficie esférica desde un punto de la esfera y sobre un plano tangente a la misma en el extremo opuesto al centro de proyección.

El sistema cónico es una representación de la realidad similar a aquello que la visión humana percibe, o a lo que puede representar una imagen fotográfica. La cónica y sus variantes se emplean en distintos campos como restituciones fotográficas, decoración de interiores, dibujo arquitectónico de edificios, ...

La revista El Croquis   publica en el año 1991 el segundo monográfico del tándem compuesto por Miralles

Pinos bajo el título “En Construcción 1988-1991″.

Concluimos la recopilación de los artículos publicados en la revista el croquis 49-50 con el  escrito “Cómo

Acotar un Croissant. El equilibrio horizontal”. Un ejercicio teórico-práctico, en colaboración con Eva Prats.

Ilustran el texto las imágenes en planta: inferior y superior del cruasán, y su riguroso desarrollo geométrico.

Con el paso del tiempo, este ejercicio, ha adquirido la categoría de mito y está presente en el imaginario

colectivo de varias generaciones de arquitectos.

[…] Reconocemos esta forma en el interior de la bóveda bucal… es un misterio parecido al del cuchillo que se

rompe al introducirlo en un vaso de agua […]

[…] Al medirlo, las cotas devuelven la transparencia a esta forma, con todas sus cualidades negativas. Dejar

que aparezca la constelación de centros, sin formar ninguna relación entre ellos, sólo la regla de las sucesivas

tangentes en un punto […]

[…] Escala (no tamaño) libre […]

Arquitectura en la Antigua Grecia

El Partenón, obra maestra de la arquitectura de la Antigua Grecia, fue construido a mediados del siglo V

a. C. en la Acrópolis de Atenas.

La Arquitectura de la Antigua Grecia es la arquitectura producida por los pueblos de habla griega (pueblo helénico) cuya cultura floreció en la península griega y el Peloponeso, las islas del Egeo, y en las colonias de Asia Menor y en Italia por un período de alrededor del 900 a. C. hasta el siglo primero d. C., con las primeras restantes obras arquitectónicas que datan de alrededor del año 600 a. C.

La arquitectura griega antigua es la más conocida por sus templos, muchos de los cuales se encuentran en toda la región, sobre todo como ruinas, pero muchos intactos sustancialmente. El segundo tipo de construcción que se conserva en todo el mundo helénico es el teatro al aire libre, con la primera data de construcción del año 350 a. C. Otras formas arquitectónicas que aún se encuentran en evidencia son la puerta de entrada procesional (propylon), la plaza pública (ágora), rodeada de pisos con columnatas (stoa), el edificio del Ayuntamiento (bouleuterion), el monumento público, la tumba monumental (mausoleum) y elstadium.

La arquitectura griega antigua se distingue por sus características altamente formalizadas, tanto de estructura y decoración. Esto es particularmente cierto en el caso de los templos

donde cada edificio parece haber sido concebido como una entidad escultórica dentro del paisaje, con mayor frecuencia planteado en un terreno elevado para que la elegancia de sus proporciones y los efectos de la luz sobre sus superficies puedan verse desde todos los ángulos. Nikolaus Pevsnerse refiere a "la forma plástica del templo [griego] ... colocado ante nosotros con una presencia física más intensa, más viva que la de cualquier edificio posterior".

El vocabulario formal de la arquitectura de la antigua Grecia, en particular la división del estilo arquitectónico se define en tres órdenes bien definidos: el orden dórico, el orden jónico y el orden corintio, teniendo efecto profundo en la arquitectura occidental de épocas posteriores. La arquitectura de la Antigua Roma surgió de la de Grecia y mantuvo su influencia en Italia ininterrumpida hasta nuestros días.

A partir del Renacimiento, avivamientos del clasicismo han mantenido viva no sólo las formas precisas y ordenó a los detalles de la arquitectura griega, sino también su concepto de la belleza arquitectónica basada en el equilibrio y la proporción.

Los sucesivos estilos de la arquitectura neoclásica y de la arquitectura del renacimiento griego siguieron y adaptaron antiguos estilos griegos de manera cercana.

Construcciones en el MedioevoEn la arquitectura de la Edad Media se desarrollan principalmente tres estilos: El bizantino, que influye durante todo el período, el románico entre los siglos XI y XII, y el estilo gótico desde el siglo XII hasta el XV.

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La referencia bibliográfica:

Enric Miralles y Carme Pinós. En Construcción 1988-1991. 1 ed. Madrid: Editorial El Croquis, 1991. 252

p. Colección Monografías El Croquis núm. doble 49/50. ISSN:  0212-5683