Definición de factorial y número combinatorio

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007

El factorial de un número natural se escribe n! y su valor es

Con números:

Por convenio 0!=1

Hay que observar que el factorial de un número siempre se puede “rebajar”

En general:

Esta “rebaja” en los factoriales nos permite simplificar expresiones

fraccionarias que incluyan factoriales

Una vez introducidos los factoriales defninamos número combinatorio

con m

Para calcular un número combinatorio siempre podemos “rebajar” los factotiales

Propiedades de los números combinatorios

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007

Propiedades de los números combinatorios:

1.

2.

3.

4. Números combinatorios complementarios:

5. Formula de Stifel:

“rebajamos” los factoriales mayores:

Sacamos factor común:

sumando las fracciones entre paréntesis:

Sumamos y restamos 1 en

y nos queda

Con estás propiedades y lo que sabemos de expresiones factoriales podemos construir el triángulo de Tartaglia (Pascal) y resolver ya ecuaciones con números combinatorios

Ecuaciones con números combinatorios 1

Publicado por wgs84 en Sábado, 17 marzo, 2007

Vamos a resolver la ecuación mediante desarrollo de factoriales:

Aplicamos la definición de número combinatorio y algunas de las propiedades que conocemos:

Rebajamos los factoriales:

Esto ya es una ecuación algebraica normal. Eliminando denominadores y parénteis:

Veremos más ejemplos más adelante

Ecuaciones con números combinatorios 2

Publicado por wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007

Ecuaciones del tipo :

Estos dos números combinatorios o son idénticos o són complementarios:

Si son idénticos: a=b Si son complementarios: a=m-b m=a+b

Ejemplo:

1. Consideramos que son iguales:

y p=14 por lo que tenemos

y la solución es válida

2. Consideramos que son complementarios:

y p=8 por lo que tenemos

y la solución también es válida

Ecuaciones con números combinatorios 3

Publicado por wgs84 en Domingo, 18 marzo, 2007

Resolución mediante la aplicación de la fórmula de Stifel:

Aplicamos la fórmula de Stifel:

La ecuación queda así:

Volvemos a aplicar la fórmula:

La ecuación queda así:

Aplicamos la fórmula por tercera vez y obtenemos:

Estos números combinatorios han de ser a la fuerza complementarios por lo que:

y entonces a=11

Ecuaciones con números combinatorios 4

Publicado por wgs84 en Lunes, 19 marzo, 2007

Vamos a resolver un último ejemplo de ecuación con números combinatorios. Se trata de ecuaciones con números combinatorios a ambos lados de la igualdad .Se resuleven “rebajando” los factoriales y eliminando factores comunes en ambos miembros de la ecuación

Método 1:

Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:

Eliminamos los factores

Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.

Metodo 2:

Desarrollamos para buscar factores comunes a ambos lados de la igualdad:

Eliminamos factores comunes:

Multiplicando en cruz llegamos a la misma ecuación de segundo grado y a la misma solución.