Definicion de Espacio Vectorial

Sea K (mejor hablar solo de los Reales y los complejos?) un cuerpo conmutativo de operaciones “+” (suma) y “.” (producto) y elementos neutros 0 y 1.

Un espacio vectorial sobre K es un trio (E,+, . ) formado por un conjunto E, una operación interna sobre E y una operación externa sobre E.

Que verifican las siguientes propiedades

Un concepto que es muy usado cuando se habla de un espacio vectorial es el producto interno, denotado como a.b.

Recordando por ejemplo el producto interno en R-2 con a=a1,a2 y b=b1,b2 es a.b= a1b1+a2b2, el producto interno en R-3 con a=a1,a2,a3 y b=b1,b2,b3 es a.b=a1b1+a2b2+a3b3. De manera similar para R-n .

Sin embargo este producto interno es solo uno de los muchos productos internos que se pueden definir en R-n, por ejemplo tomando R-2, otra vez con a y b podemos definir el producto interno como a.b=a1b1+2*a2b2. Nos es necesario definir pues exactamente que propiedades debe de cumplir el producto interno:

Definicion de Producto Interno

Sean u, v y w vectores en un espacio vectorial V y sea c cualquier escalar. Un producto interno sobre V es una aplicación que asocia un numero Real o Complejo a cada par de vectores u y v y que cúmplelos siguientes axiomas

1. conmutatividad

2. linealidad en el segundo componente

3. escalabilidad

4. positivo

Demostracion de el producto interno propuesto

Ahora como mostramos anteriormente un espacio vectorial V no solo puede ser R-2, R-3 o R-n, sino que el espacio V puede ser el conjunto de polinomios de grado n o el conjunto de matrices de 2 por 2 o puede ser C-2. Para cada espacio vectorial V podemos definir un sinfín de productos internos, solo es necesario definir una aplicación que cumpla con los axiomas del producto interno.

Ejemplo Producto Interno definido en C-2

En el caso del espacio vectorial C-2 con w y z el producto interno se define como

w.z=w1z1*+w2z2*

Demostracion de el producto Interno definido en C-2

Ejemplo Producto Interno definido en Pn

Ejemplo Producto Interno definido en M22

Ejemplo Producto Interno definido en las funciones continuas de valores reales.

3 contraejemplos de productos internos

El producto de los complejos sin tomar el conjugado

El producto en R2 A1a2+a2a1

El producto interno definido en el espacio vectorial R, con a y b pertenecientes a R entonces el producto interno entre a y b como a1^b1/a2^b2

En la definición de espacio métrico cambiar la palabra espacio por la palabra conjunto

Conjunto

Espacio vectorial

Producto interno

Un espacio es lo mismo que un espacio vectorial