DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

49
DEFINICIÓN DE ANUALIDADES Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos. También se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos cuyo fin es proporcionar la base para el pago de una cantidad. La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo: Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q. 500.00 cada uno. Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6 meses. Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2 años. - 1 año - - 1 año - - 1 año - - 1 año - 500 500 500 - 6 meses - 6 meses 150 - 6 meses 150 - 2 años 500 - 2 años - 2 años 150 - 2 años 2,500 - 6 meses 2,500 2,500 150 2,500

Transcript of DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Page 1: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Se conoce como anualidades a una serie de pagos iguales y periódicos. También

se dice que una anualidad es un pago o ingreso derivado de fondos cuyo fin es

proporcionar la base para el pago de una cantidad.

La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo son

anualidades siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean

anuales o no (Períodos menores o mayores a un año). Por ejemplo:

Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y

de Q. 500.00 cada uno.

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de

cada 6 meses.

Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de

cada 2 años.

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades,

pagos de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los

últimos dos casos.

En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad

en una serie de pagos por ejemplo:

- 1 año - - 1 año - - 1 año - - 1 año -

500 500 500 500

- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -

150 150 150 150

- 2 años - - 2 años - - 2 años - - 2 años -

2,500 2,500 2,500 2,500

Page 2: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5

años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad

para los pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 5,800.00

Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero

una es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.

OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES

Intervalo o Período de Pago

Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen

anualidades con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con

períodos de pago mayores a un año.

Plazo de la Anualidad

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del

último período de pago de la anualidad.

Renta

Es el pago periódico de la anualidad.

PRINCIPALES APLICACIONES DE LAS ANUALIDADES

- 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años -

800 800 2,800 2,800

- 6 meses - - 6 meses - - 1 año - - 1 año -

800 800

- 6 meses -

800 800 800

1 2

1 2

Page 3: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras por ejemplo:

los pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y

salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las

amortizaciones de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos

mediante amortizaciones iguales cada cierto tiempo, entre otros.

ÉPOCAS DE VALUACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final

del plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al

inicio del plazo.

Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la

serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar

montos si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se

desea conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo:

Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere

conocer lo acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los

pagos efectuados.

Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere

conocer lo que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se

determina el valor actual de los pagos que aún no se han hecho.

A S

Valor Actual Monto

Inicio Final

S

Fecha de Valuación

Inicio Acumulación Parcial

Page 4: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

OBJETO DE CÁLCULO DE LAS ANUALIDADES

Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos

y/o amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas

niveladas.

ELEMENTOS QUE CONFORMAN LAS ANUALIDADES

ELEMENTO SÍMBOLO

Monto S

Valor Actual A

Renta R

Tiempo n

No. de pagos en el año P

Tasa efectiva de interés i

Tasa nominal de interés j

No. de capitalizaciones en el año m

Período de diferimiento y

A

Valor Actual

Saldo pendiente de amortizar

Final

Page 5: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

CLASIFICACIÓN DE LAS

ANUALIDADES

ANUALIDADES CIERTAS O A PLAZO FIJO

Son aquellas en las cuales se conoce cuando se inician y cuando finalizan los

pagos y si tienen plazo indefinido o a perpetuidad.

En función de la época de pago de cada renta

A. Vencidas u ordinarias: Cuando la renta se efectúa al final de cada período

de pago. Por ejemplo los pagos mensuales vencidos, los pagos cada final

de año, los pagos al final de cada semestre, etc.

B. Anticipadas o inmediatas: Cuando la renta se efectúa al inicio de cada

período de pago. Por ejemplo los pagos mensuales anticipados, los pagos

al inicio de cada año, al inicio de cada semestre, etc.

R R R R

R R RR

Page 6: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

C. Diferidas: Cuando la serie de pagos no se inicia de inmediato, sino que se

deja pasar un período sin que se efectúe amortización alguna. Estas

anualidades diferidas pueden ser a su vez, diferidas vencidas o diferidas

anticipadas.

a. Diferidas vencidas

b. Diferidas anticipadas

El período de diferimiento deberá aplicarse únicamente a las fórmulas del valor

actual o sus derivadas y no así para las del monto.

3.1.1 Atendiendo la periodicidad de los pagos y la frecuencia de las

capitalizaciones de interés

A. Un pago de renta en el año y tasa de interés efectiva

B. Un pago de renta en el año y tasa de interés nominal

C. Varios pagos en el año y tasa de interés efectiva.

D. Varios pagos en el año y tasa de interés nominal.

E. Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés efectiva.

R R

En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

RR

En estos períodos no se hacen pagos. Período de diferimiento

Page 7: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

F. Pagos por períodos mayores de un año y tasa de interés nominal.

3.1.2 Atendiendo la variabilidad de los pagos de renta

A. Constantes: Son constantes cuando el valor de la renta siempre es el

mismo.

B. Variables: Cuando el valor de la renta varía atendiendo leyes

matemáticas, por lo que pueden ser en progresión aritmética y en

progresión geométrica, en ambos casos pueden presentarse de forma

creciente o decreciente.

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO

Rentas perpetuas

Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito,

por lo tanto el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta

se toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de

anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de

finalización de la serie de pagos.

Costo capitalizado

Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo

tiempo estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en

forma indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de

infinito número de renovaciones. Para interpretar los resultados de dos

alternativas a elegir se deberá considerar la que presente el menor costo

capitalizado.

Costos equivalentes

Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que

debe ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en

Page 8: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

períodos infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma

utilidad pero con un costo inicial y de reemplazo diferentes.

Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo

Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede

adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de

preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de

años que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogación que

justificadamente se puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar

su costo capitalizado. Nos permite determinar financieramente cuándo conviene

prolongar la vida de un activo en vez de sustituirlo.

ANUALIDADES CONTINGENTES O EVENTUALES

Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no

puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una

persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.

Rentas vitalicias

Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se

encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación

de pagar las rentas.

Dote pura

Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a

una persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.

Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado

a que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio

justo está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en

cuestión debe efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x

+ n”.

Seguros de vida

Page 9: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con

vida para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma

asegurada.

Page 10: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

PRONTUARIO DE FÓRMULAS DE

ANUALIDADES

ANUALIDADES

Simbología

Monto = S

Valor Actual = A

Renta = R

Tiempo = n

No. de pagos en el año = P

Tasa efectiva de interés = i

Tasa nominal de interés = j

No. de capitalizaciones en el año = m

Período de diferimiento = y

Monto

Valor actual

Renta en función del monto

mn(1 + j/m) - 1

S = R m/p

(1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

- mn1 - (1 + j/m)

A = R m/p

(1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 11: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Renta en función del valor actual

Tiempo en función del monto

Tiempo en función del valor actual

m/pS { (1 + j/m) - 1 }

R = mn

(1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p ( 1 + j / m )

m/p A { (1 + j/m) - 1 }

R = -mn

1 - ( 1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

m/pS { (1 + j/m) - 1 }

Log + 1 R *

n = m Log (1 + j/m)

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

1

m/p A { (1 + j/m) - 1} Log 1 -

R * *n =

m Log ( 1 + j / m)

* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 12: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

ANUALIDADES PAGADERAS CADA “K” AÑOS

Simbología

Monto = S

Valor Actual = A

Renta = W

Tiempo = n

No. de años para cada pago = k

Tasa nominal de interés = j

No. de capitalizaciones en el año = m

Período de diferimiento = y

Monto

Valor actual

Renta en función del monto

Renta en función del valor actual

mn(1 + j/m) - 1

S = W mk

(1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mk ( 1 + j / m )

- mn1 - (1 + j/m)

A = W mk

(1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

mk(1 + j/m) - 1

W = S mn

(1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- mk ( 1 + j / m )

mk (1 + j/m) - 1

W = A -mn

1 - ( 1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- mk my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 13: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Tiempo en función del monto

4.1.1 Tiempo en función del valor actual

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Simbología

Monto = S

Valor Actual = A

Primer pago = B

Diferencia = d

Tiempo = n

No. de pagos en un año = p

Tasa nominal de interés = j

No. de capitalizaciones en el año = m

Período de diferimiento = y

mkS { (1 + j/m) - 1 }

Log + 1 W *

n = m Log (1 + j/m)

* FACTOR DE ANTICIPACIÓN

mk ( 1 + j / m )

1

mk A { (1 + j/m) - 1} Log 1 -

W * *n =

m Log ( 1 + j / m)

* * FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 14: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Factor del monto (FM)

Factor del valor actual (FVA)

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA CRECIENTES

En las siguientes fórmulas para que se conviertan en “Decrecientes” se le cambia

de signo a la diferencia “d”.

Monto

Valor actual

mn(1 + j/m) - 1

S p ┐n j(m) = m/p

(1 + j/m) - 1

- mn 1 - (1 + j/m)

A p ┐n j(m) = m/p

(1 + j/m) - 1

S p ┐n j(m) - np

S = B S p ┐n j(m) + d

m/p (1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

- mn Ap ┐n j(m) - np (1 + j/m)

A = B Ap ┐n j(m) +d m/p

(1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 15: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

En las siguientes fórmulas el factor del monto aparecerá con las iniciales “FM” y el

factor del valor actual con las iniciales (FVA).

Primer pago en función del monto

Primer pago en función del valor actual

Diferencia en función del monto

Diferencia en función del valor actual

FM - np

m/p S - d (1 + j/m) - 1

B = FM

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

Se coloca como denominador de S.

- mnFVA - np (1 + j/m)

m/p A - d (1 + j/m) - 1

B = FVA

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Se colocan como denominador de A.

S - B (FM)

FM - npd =

m/p(1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

Se coloca como denominador de S.

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Se colocan como denominador de A.

A - B (FVA)

-mnd = FVA - np (1+j/m)

m/p(1 + j/m) - 1

Page 16: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

ANUALIDADES VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CRECIENTES

Simbología

Monto = S

Valor Actual = A

Primer pago = B

Razón = r

Tiempo = n

No. de pagos en un año = p

Tasa nominal de interés = j

No. de capitalizaciones en el año = m

Período de diferimiento = y

Monto

Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

Valor actual

np mn (r) - ( 1 + j/m)

S = B m/p

r - ( 1 + j/m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

mn - 1S = B n p ( 1 + j/m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B

m/p r - (1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 17: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

Primer pago partiendo del monto

Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

Primer pago partiendo del valor actual

Si m = p y r = (1 + j/m), no es aplicable esta fórmula, en su lugar se

aplica la siguiente:

- 1S = B n p ( 1 + j/m)

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

m/p r - ( 1 + j/m)

B = S np mn

(r) - ( 1 + j/m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p ( 1 + j / m )

SB =

mn – 1 n p ( 1 + j/m)

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

- m/p ( 1 + j / m )

m/p r - ( 1 + j/m)

B = S np -mn

(r) - ( 1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

A ( 1 + j/m)B =

n p

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 18: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO – RENTAS PERPETUAS

Simbología

Valor Actual = A

Renta para períodos menores a un año = R

Renta para períodos mayores a un año = W

Tiempo = n

No. de pagos en un año = p

Períodos de pago mayores de 1 año = k

Tasa nominal de interés = j

No. de capitalizaciones en el año = m

Período de diferimiento = y

Valor actual

Pagadera cada “k” años

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

Rentas

Pagadera cada “k” años

W

A = mk

(1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

mk - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

R

A = m/p

(1 + j/m) - 1

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

m/p - my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

mkW = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- mk my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

Page 19: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

Tasa de interés

Pagaderas cada “k” años

Pagadera anualmente o en períodos menores de un año

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTO CAPITALIZADO

Simbología

Costo capitalizado = C

Costo de reemplazo = W

Costo inicial del activo = F

No. de años de vida útil = k

Tasa de interés = j

Número de capitalizaciones = m

Costo inicial y de reemplazo diferentes

m/pR = A [ ( 1 + j/m ) - 1 ]

FACTORES DE ANTICIPACIÓN Y DIFERIMIENTO

- m/p my( 1 + j / m ) ( 1 + j / m)

1/mkj = m [ ( W / A + 1 ) ] - 1

p/mj = m [ ( R / A + 1 ) - 1 ]

W

C = F + mk

(1 + j/m) - 1

W

F = C - mk

(1 + j/m) - 1

Page 20: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

Costo inicial y de reemplazo iguales

ANUALIDADES A PLAZO INDEFINIDO - COSTOS EQUIVALENTES

Simbología

Costo equivalente del bien que desea obtener = F’

Costo inicial y de reemplazo del bien base = F

Vida útil estimada del bien base = k

Vida útil del bien que se quiere adquirir o comparar su costo = t

Tasa de interés = j

Número de capitalizaciones al año = m

LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA ÚTIL DE UN ACTIVO

Simbología

Valor de la mejora o cantidad máxima a invertir = x

Costo inicial del activo = F

Vida útil del activo = k

Años que se puede prolongar la vida útil de un activo = b

Tasa de interés = j

Número de capitalizaciones = m

F

C = -mk

1 - (1 + j/m)

- mk

F = C [ 1 - ( 1 + j/m) ]

-mt 1 - (1 + j/m)

F’ = F -mk

1 - (1 + j/m)

Page 21: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

RENTAS VITALICIAS

Simbología

Valor actual de una renta vitalicia = Ax

Edad de la persona que adquiere la renta vitalicia = x

Período de diferimiento = m

Plazo temporal de una renta vitalicia = n

Renta o cantidad a recibir en forma anual = R

DOTE PURA

Simbología

Valor actual de una dote pura = nEx

Cantidad de la dote = k

Edad actual de la persona = x

Tiempo o plazo para recibir la dote = n

-mb 1 - (1 + j/m)

x = F -mk

(1 + j/m) - 1

Nx + 1

Ax = RDx

m Ax

R = Nx + m + 1

Dx

Dx + n

nEx = KDx

Page 22: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

SEGURO DE VIDA

Simbología

Edad de la persona asegurada = x

Plazo del seguro = n

Gastos fijos – Quetzales = k

Gastos variables – Porcentaje = h

Cantidad asegurada = K

nEx

K = Dx + n

Dx

Px + K

PT = 1 - h

Page 23: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

5.1 EJEMPLO No. 1 - ANUALIDADES EN GENERAL

Hace 3 años el señor Culebro Delgado recibió un préstamo, con el compromiso de

cancelarlo en 5 años, mediante pagos mensuales de Q.300.00 cada uno, dicho

CAPÍTULO V

EJEMPLOS DE

ANUALIDADES

En el presente capítulo se dan a conocer ejemplos de algunas

anualidades que se utilizan frecuentemente.

OBJETIVOS

Aplicar las fórmulas establecidas en el capítulo anterior.

Desarrollar de manera correcta los diferentes tipos de

anualidades.

Page 24: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

préstamo se concedió con una tasa de interés del 10% anual, capitalizable

semestralmente; el día de hoy le han notificado al Sr. Delgado que la nueva tasa

de interés vigente, por el saldo del préstamo, será el 12 % anual, capitalizable

trimestralmente. ¿Cuál debe ser la nueva renta considerando que el plazo del

préstamo no se modifica y cuál es el valor del préstamo original?

DATOS

R = Q. 300.00 (vencidas)

n = 5

p = 12

j = 0.10

m = 2

A = Q. 14, 185.94 PRÉSTAMO ORIGINAL

DATOS

R = Q. 300.00 (vencidas)

n = 2

p = 12

j = 0.10

m = 2

HOY

1 2 3 4 5

- mn1 - (1 + j/m)

A = R m/p

(1 + j/m) - 1

- 101 - (1 + 0.05)

A = 300 2/12

(1 + 0.05) - 1

- mn1 - (1 + j/m)

A = R m/p

(1 + j/m) - 1

- 41 - (1 + 0.05)

A = 300 2/12

(1 + 0.05) - 1

Page 25: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

A = Q. 6, 514.42 VALOR INSOLUTO PARA CALCULAR LA

NUEVA RENTA

DATOS

A = Q. 6,514.42

n = 2

p = 12

j = 0.12

m = 4

R = Q. 306.29 LAS NUEVAS RENTAS

5.2 EJEMPLO No. 2 - ANUALIDADES EN GENERAL

Una lotificadora ofrece lotes con un enganche fraccionado de Q. 7,000.00,

pagando Q. 2,000.00 el día de hoy y la diferencia dentro de 2 años, luego se

efectuarán 180 mensualidades de Q. 840.00 cada una pagaderas al final de cada

mes, se considera en la operación el 16% anual de interés capitalizable

semestralmente. ¿Cuál será el precio de contado de cada lote?

m/p A { (1 + j/m) - 1 }

R = -mn

1 - ( 1 + j/m)

4/126514.42 { (1 + 0.03) - 1 }

R = - 8

1 - ( 1 + 0.03)

HOY

2,000 5,000 180 / 12 = 15 años

Page 26: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

DATOS

n = 15 años

R = Q. 840.00 (vencidas)

j = 0.16

m = 2

p = 12

y = 2 años de diferimiento

A = (840) (69.76456641) (0.735029852)

A = Q. 43, 074.40

DATOS DEL RESTO DEL ENGANCHE (Q. 5,000.00)

S = Q. 5,000.00

j = 0.16

m = 2

n = 2

17 años

- mn1 - (1 + j/m)

A = R m/p

(1 + j/m) - 1

FACTORDE DIFERIMIENTO

- my ( 1 + j / m)

- 301 - (1 + 0.08)

A = 840 2/12

(1 + 0.08) - 1

FACTORDE DIFERIMIENTO

- 4 ( 1 + 0.08)

- mnP = S (1 + j/m )

- 4P = 5000 (1 + 0.08 )

Page 27: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

P = Q. 3,675.15

ENGANCHE Q. 2,000.00 +

A 43,074.40

P 3,675.15

Q. 48,749.55 PRECIO DE CONTADO DE CADA LOTE

5.3 EJEMPLO No. 3 - ANUALIDADES EN GENERAL

Un préstamo recibido hace 7 años fue cancelado mediante pagos de Q. 600.00 al

final de cada mes, y se sabe que el mismo devengó intereses del 8% anual

capitalizable semestralmente durante los primeros 3 años y por el resto del tiempo

el banco cobró una tasa de interés del 10% anual capitalizable semestralmente.

¿Cuál fue el valor original de dicho préstamo?

DATOS No. 1 DATOS No. 2

j = 0.08 j = 0.10

R = Q. 600.00 R = 600.00

m = 2 m = 2

p = 12 p = 12

HOY

1 2 3 1 2 3 4

7 años

Page 28: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

n = 2 n = 4

y = 3

A1 = Q. 19,183.82

A2 = Q. 18,768.16

A1 Q. 19,183.82 +

A2 Q. 18,768.16

Q. 37,951.98 VALOR ORIGINAL DEL PRÉSTAMO

- mn1 - (1 + j/m)

A = R m/p

(1 + j/m) - 1

FACTOR DE DIFERIMIENTO

- my ( 1 + j / m)

- 61 - (1.04)

A1 = 600 2/12(1.04) - 1

- 81 - (1.05)

A2 = 600 2/12(1.05) - 1

FACTOR DE DIFERIMIENTO

- 6 ( 1.08)

Page 29: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

5.4 EJEMPLO No. 4 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

ARITMÉTICA DECRECIENTE ANTICIPADA

Un estudiante inició el día de hoy una serie de depósitos semestrales para

comprar un vehículo al final de cinco años, y para tal efecto depositó la cantidad

de Q. 6,000.00 y los siguientes depósitos disminuyen en Q. 500.00 cada uno de su

inmediato anterior; la institución bancaria le reconoce una tasa de interés del 10%

anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuánto podrá acumular al final de dicho

plazo?

DATOS

B = Q. 6,000.00

d = Q. 500

p = 2

j = 0.10

m = 2

n = 5

S p ┐n j(m) = 12.57789254

6000

HOY

5000

mn(1 + j/m) - 1

S p ┐n j(m) = m/p

(1 + j/m) - 1

10(1.05) - 1

S p ┐n j(m) = 2/2

(1.05) - 1

Page 30: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

S = Q. 52,172.85 MONTO ACUMULADO AL FINAL DEL PLAZO

5.5 EJEMPLO No. 5 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

ARITMÉTICA CRECIENTE VENCIDA

S p ┐n j(m) - np

S = B S p ┐n j(m) - d

m/p (1 + j/m) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

m/p ( 1 + j / m )

12.57789254 - 10

S = 6000(12.57789254) -500

(1.05) - 1

FACTOR DE ANTICIPACIÓN

( 1.05 )

Page 31: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

La empresa “Ganadores, S. A.”, terminó el día de hoy de cancelar un préstamo

obtenido hace 5 años, por Q. 50,000.00, el cual fue cancelado mediante pagos al

final de cada seis meses, variables en progresión aritmética, se sabe que el primer

pago fue por Q. 6,000.00 y que la financiera le aplicó una tasa de interés del 20 %

anual, capitalizable semestralmente. Se desea saber ¿en qué cantidad variaron

los pagos periódicos?

DATOS

n = 5

A = Q. 50,000.00

p = 2

B = Q. 6,000.00

j = 0.20

m = 2

A p ┐n j(m) = 6.144567106

6000

HOY

A = 50,000

- mn 1 - (1 + j/m)

A p ┐n j(m) = m/p

(1 + j/m) - 1

- 10 1 - (1.10)

A p ┐n j(m) =

(1.10) - 1

A - B (FVA)

-mnd = FVA - np (1+j/m)

m/p(1 + j/m) - 1

Page 32: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

d = Q. 573.69 CANTIDAD EN LA QUE AUMENTARON LOS

PAGOS PERIÒDICOS

5.6 EJEMPLO No. 6 - ANUALIDAD VARIABLE EN PROGRESIÓN

GEOMÉTRICA CRECIENTE VENCIDA

Un activo fijo será cancelado en 4 años mediante pagos semestrales vencidos que

aumentan cada uno de su inmediato anterior un 15%, el primero de estos será por

Q. 15,000.00, se aplica una tasa de interés del 18% anual capitalizable

trimestralmente. ¿Cuál es el valor original del activo fijo?

50,000 - 6,000 (6.144567106)

-10d = 6.144567106 - 10 (1.10)

(1.10) - 1

B = 15,000

Page 33: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

DATOS

n = 4

p = 2

r = 1.15

B = Q. 15,000.00

j = 0.18

m = 4

A = Q. 132,624.31 VALOR ORIGINAL DEL ACTIVO

5.7 EJEMPLO No. 7 - RENTA PERPETUA VENCIDA

Una empresa depositó cierta cantidad de dinero para que al final de cada año se

le entregue a una asociación Q. 10,000.00. Considerando que la financiera aplica

una tasa de interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. ¿Qué cantidad

de dinero depositó la empresa para que la asociación reciba los Q.

10,000.00 a perpetuidad?

DATOS

R = Q. 10,000.00

p = 1

j = 0.18

m = 4

np -mn (r) (1 + j/m) - 1A = B

m/p r - (1 + j/m)

8 -16 (1.15) (1.045) - 1A = 15000

2 1.15 - (1.045)

Page 34: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

A = Q. 51,943.03 ES LA CANTIDAD DE DINERO QUE

DEPOSITÓ LA EMPRESA.

5.8 EJEMPLO No. 8 - COSTO CAPITALIZADO

Una empresa tiene las siguientes ofertas de maquinaria:

Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 25,000.00 y debe reemplazarse

cada 8 años por otra cuyo costo es de Q. 30,000.00.

Una máquina que tiene un costo inicial de Q. 28,000.00 y debe reemplazarse

cada 10 años por otra a un costo de Q. 30,000.00.

Considerando una tasa de interés del 10% anual, capitalizable trimestralmente.

¿Cuál de las dos alternativas es la más conveniente desde el punto de vista

financiero?

DATOS No. 1 DATOS No. 2

F = Q. 25,000.00 F = Q. 28,000.00

k = 8 k = 10

W = Q. 30,000.00 W = Q. 30,000.00

j = 0.10 j = 0.10

R

A = m/p

(1 + j/m) - 1

10,000

A = 4

(1.045) - 1

Page 35: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

m = 4 m = 4

C1 = Q. 49, 921.97

C2 = Q. 45,803.48

LA SEGUNDA ALTERNATIVA ES LA MÁS CONVENIENTE PUESTO QUE EL

COSTO CAPITALIZADO ES MENOR QUE EL PRIMERO.

W

C = F + mk

(1 + j/m) - 1

30,000

C1 = 25,000 + 32

(1.25) - 1

30,000

C2 = 28,000 + 40

(1.25) - 1

Page 36: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

5.9 EJEMPLO No. 9 - COSTOS EQUIVALENTES

Una constructora tiene equipo con un costo de Q. 100,000.00, debe ser

reemplazado cada 10 años al mismo costo. Un fabricante ofrece otro equipo con

un costo inicial y de reemplazo de Q. 125,000.00, debe ser reemplazado cada 12

años. El gerente de la constructora desea saber ¿cuál de los 2 equipos resulta

más económico y cuánto puede pagar por el segundo para que su costo resulte

equivalente al del primero? Considere el 18% anual de interés capitalizable

trimestralmente.

DATOS No. 1 DATOS No. 2

F = Q. 100,000.00 F = Q. 125,000.00

k = 10 k = 12

j = 0.18 j = 0.18

m = 4 m = 4

C1 = Q. 120,762.55

F

C = -mk

1 - (1 + j/m)

100,000

C 1 = -40

1 - (1.045)

Page 37: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

C2 = Q. 142,190.51

DATOS

F = Q. 100,000.00

k = 10

t = 12

j = 0.18

m = 4

F’ = Q. 106,162.63 PARA QUE EL COSTO DEL SEGUNDO SEA

EQUIVALENTE AL DEL PRIMERO.

125,000

C 2 = -48

1 - (1.045)

-mt 1 - (1 + j/m)

F’ = F -mk

1 - (1 + j/m)

-48 1 - (1.045)

F’ = 100,000 -40

1 - (1.045)

Page 38: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES

5.10 EJEMPLO No. 10 - LÍMITE DE GASTOS PARA ALARGAR LA VIDA

ÚTIL DE UN ACTIVO

Una empresa posee cierto equipo que tiene un costo de Q. 50,000.00, y debe

reemplazarse cada 10 años, el proveedor de dicho equipo ofrece cambiarle ciertos

componentes para alargarle la vida útil en 4 años más. ¿Hasta qué cantidad se

podrá pagar por el cambio de componentes considerando una tasa de interés del

12% anual, capitalizable trimestralmente?

DATOS

F = Q. 50,000.00

k = 10

b = 4

j = 0.12

m = 4

x = Q. 8,329.50 ES LO MÁS QUE SE PUEDE PAGAR POR EL

CAMBIO DE COMPONENTES

-mb 1 - (1 + j/m)

x = F -mk

(1 + j/m) - 1

-16 1 - (1.03)

x = 50,000 - 40

( 1.03 ) - 1

Page 39: DEFINICIÓN DE ANUALIDADES