Universidad Alejandro de Humboldt

Coordinación de Curso Introductorio Materia: Matemática Básica. Profesora: Minerva BuenoAgosto 2012

INECUACIONES LINEALESO INECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- Generalidades sobre las inecuaciones.

1.a.- Definición de Inecuaciones

Sabemos que las expresiones: 3x + 1 = x – 3

x2 - 3x = 0

representan ecuaciones.

Si en lugar de estar relacionados los dos miembros por una igualdad (=), lo están por alguna desigualdad, estaremos ante "inecuaciones".

Por ejemplo: 3x + 1 > x – 3

x2 - 3x ≤ 0

En tal sentido, las inecuaciones son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Es decir, son relaciones algebraicas que se relacionan mediante el símbolo de desigualdad. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Por consiguiente, tenemos que son expresiones de la forma:

f(x) < g(x), f(x) < g(x), f(x) > g(x) f(x) > g(x),

A continuación presentamos otros ejemplos de inecuaciones

x - 3 ≥ 4+x x2 - 5x ≤ 4 2x3 + 5x > 8 + 3x2

Entonces cabe ahora recordar cuales son los símbolos de desigualdad:

< menor que > mayor que ≤ menor o igual que ≥ mayor o igual que

1.b.- Características Generales de las Inecuaciones

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1) Están conformadas por dos miembros. Los miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de desigualdad. El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro está a la derecha del signo de desigualdad. En a + b > c - d el primer miembro es a + b y el segundo c - d .

2) Cada miembro está constituido por los términos. Los términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + ó -, o por la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y - d .

3) Como en las ecuaciones, resolver una inecuación es encontrar el valor o valores de x que cumplen la relación. La solución de una inecuación no es un número, sino un conjunto de ellos. En general, la respuesta está expresada en un intervalo o en una unión de intervalos. Por ejemplo, en la inecuación: 5x + 15 > 30, el conjunto solución es: x > 3, que matemáticamente se expresa también como: (3, ).

4) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo anterior el exponente de la variable es 1, por lo tanto es una inecuación de 1º grado o lineal.

2.- ¿Cómo resolver una inecuación?.

Para resolver una inecuación lo primero que debemos hacer es identificar a que tipo corresponde (es decir; si es lineal, cuadrática, cúbica, racional o de valor absoluto), dado que, de acuerdo al tipo de inecuación, existe una estrategia de resolución predefinida.

Si tenemos que resolver inecuaciones con una sola variable, este cuadro orientativo te será de mucha ayuda.

Tipo de Inecuación Identificación Forma de ResoluciónLineal o de primer grado

La variable de mayor grado de la inecuación tiene exponente “1”

Aplicando despeje pero considerando las propiedades de las desigualdades.

Cuadrática o de segundo grado

La variable de mayor grado de la inecuación tiene exponente “2”

Aplicando :- Propiedades de las

desigualdades.- Despeje- Método del Cementerio.

Cúbica o de tercer grado

La variable de mayor grado de la inecuación tiene exponente “3”

Aplicando :- Propiedades de las

desigualdades.- Despeje- Método del Cementerio.

Racional o fraccionaria

Son inecuaciones en las que tenemos una fracción algebraica formando parte de la misma.

Aplicando :- Propiedades de las

desigualdades.- Despeje- Método del Cementerio-

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Valor absoluto (lineal) Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el módulo o valor absoluto, simbolizado por dos líneas verticales.

Aplicando :- Propiedades de las

desigualdades- Propiedades del valor

absoluto- Despeje- Método del Cementerio

Recuerde siempre que el objetivo de resolver una inecuación es el de obtener el/los conjunto(s) de valores que puede asumir la variable para satisfacer la inecuación, los cuales se expresan en forma de intervalos.

3.- Resolución de inecuación lineales (con una incógnita).

Si la inecuación es lineal, es decir; la variable tiene como mayor exponente el uno, podemos apoyarnos en las siguientes reglas generales, las cuales son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

1) Quitar los signos de agrupación (paréntesis o corchetes), si los hay, ejecutando las operaciones indicadas.

2) Quitar denominadores, si los hay. Para ello es importante estar atentos en la aplicación de las propiedades de las desigualdades y su inciden en el símbolo de desigualdad.

3) Pasar a un solo miembro (preferiblemente al miembro izquierdo) todo lo que contenga la incógnita y al otro (miembro derecho) todos los términos independientes, siempre con la operación contraria. Recuerde que es importante considerar la aplicación de la propiedad de desigualdad correspondiente.

4) Realizar suma algebraica entre los términos de cada miembro, haciendo las correspondientes reducciones de términos semejantes.

5) Terminar de despejar la variable, es decir; si tiene coeficiente pasarlo al otro miembro con operación contraria. (si multiplica divide, se divide multiplica). Nuevamente observe como influyen las propiedades de las desigualdades en el símbolo de desigualdad.

6) El resultado obtenido expresarlo en intervalo.

3.a.- Propiedades de las desigualdades.

- Propiedad nro. 1.

Un término cualquiera que este sumando o restando puede pasar de un miembro a otro de la inecuación cambiándole el signo (positivo o negativo), sin que se altere el sentido de la desigualdad, por ejemplo:a) En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo quedando a - c > b. Observe que el sentido de la desigualdad no cambia.b) En la desigualdad a - b > c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y quedando a > b + c . Observe que el sentido de la desigualdad no varía.

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- Propiedad nro. 2.

En una desigualdad un término cualquiera que sea positivo y que esté como factor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo positivo, sin producir alteraciones en el signo de desigualdad. Por ejemplo:

a) En la desigualdad a.b c se puede pasar b al segundo miembro con signo positivo, pero

dividiendo, quedando . Observe que el sentido de la desigualdad no varía.

b) En la desigualdad , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro pero multiplicando, quedando a c.b , Observe que el sentido de la desigualdad no cambia.

- Propiedad nro. 3.

En una desigualdad un término cualquiera que sea negativo y que esté como factor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo negativo, y produce cambios en el signo de desigualdad. Por ejemplo:

a) En la desigualdad (a).(-b) c se puede pasar -b al segundo miembro con signo negativo,

pero dividiendo, quedando . Observe que el sentido de la desigualdad VARIA.

b) En la desigualdad , se puede pasar -b con signo negativo al segundo miembro pero multiplicando, quedando a (c).(-b) . Observe que el sentido de la desigualdad CAMBIA.

- Propiedad nro. 4.

Si se toma una inecuación y se multiplica por menos uno (-1) toda la expersión, cambian de signo todos los términos, y el símbolo de desigualdad CAMBIA de sentido. Por ejemplo: Si la desigualdad a - b > - c , se multiplica por (-1) obtenemos: -a + b < c

- Propiedad nro. 5.

Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es evidente que b < a

Nota: Existen aun más propiedades pero trabajaremos en este curso solo con las propiedades fundamentales.

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Como la solución obtenida (analítica) debe ser expresada en forma de intervalo, a continuación daremos las pautas para hacer este traslado.

3.b.- Expresando la respuesta en forma de Intervalo.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.Ejemplo 1: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe: (7, +∞)

Ejemplo 2:  x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

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Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe: [7,+∞)

Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo. Cuando el símbolo de desigualdad posee el igual implica corchete y cuando carece de él implica paréntesis.

En líneas generales observamos que para una inecuación lineal puede corresponder alguno de estos cinco tipos de respuesta, las cuales se muestran en la siguiente tabla.  

I N T E R V A L O S N O A C O T A D O S

Tipos de Intervalos

Definición Representación Matemática

Representación Gráfica

Intervalos Infinita-mente positivos

El conjunto de todos los números reales mayores que “a”.

El conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a”.

Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

x > a = (a, )

Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:

x a = [a, )

Intervalo Infinita-mente negativos

El conjunto de todos los números reales menores que “b”

El conjunto de todos los números reales menores o iguales que “b”

Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

x < a = (- , a)

Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:

x a = (- , a]

Intervalo de todos los nros. reales

El conjunto de todos los números reales

(- , ) = R -

NOTA: Cuando los extremos son infinitos, siempre será abierto, ya que no es un número de verdad.

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Consideraciones de los Intervalos en R:

En vista de que existen algunos textos que expresan sus resultados en otra forma de notación, tenemos entonces estas convalidaciones matemáticas.

(- , ) = R (- , 0) = R (números reales negativos) (- , 0] = R U 0

(0 , ) = R+ (números reales positivos)

[0 , ) = R+ U 0 (- , 0) U (0 , ) = R

(números reales sin el cero)

4.- Ejercicios Resueltos.

Resolver las siguientes inecuaciones y expresar su resultado en forma de intervalo. 

Ejercicio nro 1: 2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)

- Primero quitamos los paréntesis y corchete:

2x –[x –x +50] < x –800 +3x2x – x + x -50 < x –800 +3x -> Observamos que es una inecuación lineal

- Transponemos al miembro izquierdo los términos con incógnita y al derecho los términos independientes, aplicando despeje (empleando el criterio de operaciones inversas) .y propiedad nro 1 de las desigualdades:

2x – x + x - x – 3x < –800 + 50

- Reducimos términos semejantes.-2x < -750

- Tenemos en esta línea de desarrollo dos opciones para finalizar:

Opción 1:Aplicamos propiedad nro 3 de las desigualdades:

x >

x > 375

Opción 2:Multiplicamos por -1 toda la desigualdad y aplicamos propiedad nro. 4:

2x > 750Aplicamos propiedad nro. 2:

7

x >

x > 375

- Expresamos la respuesta en intervalo: Tenemos que la respuesta analítica corresponde a :

x > a = (a, )

x > 375 = (375, +∞)

Ejercicio nro 2:

≥

- Primero quitamos los signos de agrupación (paréntesis):

≥

≥ -> Observamos que es una inecuación lineal

- Transponemos al miembro izquierdo los términos con incógnita y al derecho los términos independientes, aplicando despeje (empleando el criterio de operaciones inversas) y propiedad nro 1 de las desigualdades:

≥

- Reducimos términos semejantes y unificamos en un solo bloque fraccionario cada miembro de la desigualdad, aplicando suma algebraica de fracciones de distinto denominador.

Miembro izquierdo:

=

Miembro derecho:

= = =

Entonces la inecuación queda de la siguiente forma:

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≥

- Terminamos de despejar la variable y en esta línea de desarrollo disponemos de dos opciones para finalizar:Opción 1:

a) Aplicamos propiedad nro 2 de las desigualdades, sabiendo que:

=

Entonces:

≥

≥

≥

b) Aplicamos propiedad nro 3 de las desigualdades

≥

≤

≤

Opción 2:a) Multiplicamos por -1 toda la

desigualdad y aplicamos propiedad nro. 4:

≤

≤

≤ ≤ -

b) Aplicamos propiedad nro 2 de las desigualdades

≤

≤

- Expresamos la respuesta en intervalo: Tenemos que la respuesta analítica

corresponde a : x ≤ a = (-. a]

≤ = (-. ]

Fuentes Bibliográficas

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Inecuaciones_lineales.html

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http://es.scribd.com/doc/9719737/inecuaciones

http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ineActividades.html

https://matesap.wikispaces.com/file/view/INECUACIONES.pdf

EJERCICIOS PROPUESTOS:Resuelva, analíticamente, las siguientes inecuaciones y exprese sus resultados en forma de intervalo:

Ej.1 R: ( , )

Ej.2. R: ( , )

Ej.3. R: (-∞, )

Ej.4. R: [ , )

Ej. 5. R: [ , )

Ej. 6. R: (-∞, )

Ej. 7. R: [ , )

Ej. 8. R: ( , )

Ej. 9. R: [ , )

Ej. 10. R: (-∞, )

Ej. 11. Investiga la respuesta

Ej.12 Investiga la respuesta

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Ej.13 Investiga la respuesta

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