TAREA 23/FEB/15

DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS.

Poliedro. Definición, Un poliedro es regular cuando tiene todos sus ángulos poliedros iguales, siendo todas sus caras polígonos regulares. Un poliedro regular es convexo cuando todo él está ubicado en el mismo semiespacio determinado por los planos que forman sus caras, el número de éstos es limitado. Siendo cóncavo en caso de no cumplirse lo anterior, es decir, de que no esté situado todo él en el mismo semiespacio determinado por los planos que forman sus caras.

Propiedades, Basadas en tres aspectos que son, Regularidad, Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• Para que pueda formarse un ángulo poliedro hace falta, al menos tres caras. • La suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice de un ángulo poliedro debe ser siempre menor que 360º.

• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales. (Como puede verse en la imagen de abajo). • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas. (Como puede verse en la imagen de abajo). • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud. (Como puede verse en la imagen de abajo).

• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.

• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro, Simetría, Una figura es simétrica si, trazando un eje, ambas partes resultantes son iguales. Los sólidos platónicos son muy simétricos, ya que todas sus caras son iguales, y al ser tan regulares, tienen varios tipos de simetría.

• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas. • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior. • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales y Conjugación, Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de

un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro. Esto queda mejor explicado con una imagen.

Características, - Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan a un poliedro. - Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común. - Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice. - Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común - Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común. - Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Prisma

Definición: Cuerpo geométrico, limitado por: dos polígonos iguales y paralelos, llamados bases, paralelogramos, cuyo número coincide con el número de lados.

Propiedades:

Características: En la figura que se muestra las bases son ABCD y BCGF, y a las caras ABFE, BCGF, DCGH y ADHE se les denomina caras laterales.

Los lados de las caras reciben el nombre de aristas del prisma, en particular las aristas de las caras laterales se denominan aristas laterales y sus extremos son los vértices A, B, C, D, E, F, G y H.

La altura de un prisma es el segmento de perpendicular comprendido entre las dos bases del prisma (también a su longitud). En el caso de un prisma recto la altura coincide con la arista lateral.

Cilindro

Definición, es una superficie de las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.

Propiedades,

Características, Un cilindro puede ser: Cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases. Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases. Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.

Esfera

Definición, Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro, Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Propiedades,

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Características,

Triangulo

Definición,

Propiedades, Así, tenemos las siguientes características: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de [Math Processing Error] cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Características, Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

Por sus lados Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden [Math Processing Error] grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto [Math Processing Error]. A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de [Math Processing Error]); los otros dos son agudos (menor de [Math Processing Error]).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a [Math Processing Error]; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo

Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente

Cuadrilátero

Definición, Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados, y por tanto cuatro ángulos. Los 4 ángulos de un cuadrilátero suman 360º. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales. El estudio de diagonales es una forma de clasificar los cuadriláteros. En la siguiente página se estudia la clasificación atendiendo al paralelismo de sus lados.

Propiedades, Estos los podemos encontrar, en los paralelogramos, los cuales son tres, rectángulo, rombo y cuadrado, en los trapecios, y en los cometas

Características, Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos. Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades: Los lados opuestos tienen la misma longitud.

Los ángulos opuestos son iguales.

Las diagonales se cortan en su punto medio.

Los trapecios son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos.

Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.

Paralelogramo

Definición, Sirve para identificar a un cuadrilátero donde los lados opuestos resultan paralelos entre sí. Esta figura geométrica constituye, por lo tanto, un polígono que se compone de 4 lados donde hay dos casos de lados paralelos.

Propiedades, Con respecto a sus propiedades, resulta necesario contemplarlas en grupos, dado que, como se mencionó anteriormente, muchas formas de características diferentes son consideradas paralelogramos. Algunas de las comunes a todos son:

* Todos poseen cuatro lados y cuatro vértices, ya que pertenecen al grupo de los cuadriláteros;

* Sus lados opuestos nunca se cruzan, dado que siempre son paralelos.

* La longitud de los lados opuestos es siempre la misma.

* Sus ángulos opuestos miden lo mismo.

* La suma de dos de sus vértices, siempre que sean contiguos, da 180°, o sea que son suplementarios.

* Los ángulos interiores deben sumar 360°.

* Su área debe ser siempre el doble de la de un triángulo construido a partir de sus diagonales.

Características, Como dijimos antes, los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos. A su vez, los paralelogramos se dividen en tres clases: Los rectángulos, que tienen los cuatro ángulos iguales.

Los rombos, que tienen los cuatro lados iguales.

Los cuadrados, que tienen los cuatro ángulos iguales y los cuatro lados iguales.

Los paralelogramos propiamente dichos, es decir, aquéllos que no son rectángulos, ni rombos, ni cuadrados también se llaman romboides.

Rectángulo

Definición, El rectángulo es un paralelogramo de dos pares de lados de la misma medida y cuatro ángulos rectos. Las diagonales de un rectángulo siempre son iguales.

Propiedades, El rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados registran ángulos rectos entre sí. Su perímetro es igual a la suma de todos sus lados y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos

Características,

Rombo

Definición, Es un paralelogramo de cuatro lados de la misma medida, dos ángulos agudos (miden menos de 90°) y dos ángulos obtusos (miden más de 90°). Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de su ángulo.

Propiedades,

Características, Las características más salientes del romboide nos encontramos con las siguientes: tiene dos pares de lados iguales, paralelos entre sí, los ángulos opuestos son iguales, los ángulos contiguos son suplementarios, o sea, la suma de los dos nos da 180°, como no se trata de un rombo, tal como dijimos líneas arriba, sus diagonales no son perpendiculares entre sí y como tampoco es un rectángulo, sus diagonales no son iguales y en caso de sumarse sus ángulos internos, la cifra que nos da es de 360°.

Por otra parte, su perímetro es igual a 2 y el área la obtendremos tras multiplicar la longitud de un lado por la distancia perpendicular entre ese lado y su opuesto, o sea la altura.