DECONVOLUCIÓN ESTRUCTURAL
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DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
CONCEPTOS BASICOS Y MARCO TEORICO.
El concepto de deconvolución estructural fue introducido por D.G. Stone (1975) y se basa en
la inversión sísmica de la serie reflectiva del subsuelo a fin de obtener la ondícula sísmica
generadora de la traza sísmica. El método ofrece los mejores resultados cuando se conoce
información sónica de pozo que permite establecer una mejor estimación de la serie
reflectiva.
El procedimiento tradicional de deconvolución sísmica por ondícula es la optimización del
pulso sísmico a una forma de onda de fase cero mediante la aplicación del método de
diseño de filtro de Wiener-Hopf. El diseño de este filtro requiere del conocimiento de la
ondícula sísmica cuya forma se desea modificar, asumiéndose que ésta es la fase mínima o
en el mejor de los casos, que puede estimarse predictivamente. Ninguno de estos
procedimientos arroja como resultado la forma de onda simétrica óptima deseada en el
proceso de deconvolución.
El método de deconvolución estructural parte del modelo convolucional de la traza sísmica:
............................... (1)
Donde:
st = traza sísmica.
ϒt = serie reflectiva del subsuelo.
ot = ondícula sísmica.
ηt = ruido aleatoria aditivo.
tttt Os ηγ +∗=
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
Como se dijo anteriormente, el procedimiento normal de deconvolución es tratar de invertir a
la ondícula sísmica, de forma que
................................. (2)
El procedimiento de deconvolución estructural sísmica tratando de invertir a la serie
reflectiva del subsuelo de forma tal que, omitiendo temporalmente el factor de ruido aditivo,
se tiene:
.................................... (3)
Obviamente, esta última ecuación tiene dos problemas fundamentales; el primero se trata de
conocer el inverso de la serie reflectiva y el segundo es determinar la propia serie reflectiva.
El primer problema es eliminado partiendo de la aplicación del filtro de Wiener-Hopf, el cual
establece que:
.................................. (4)
Donde:
φϒd (t) = correlación cruzada entre la serie reflectiva (ϒt) y la salida deseada (Ot).
φϒϒ (t) = Autocorrelación de la serie reflectiva ϒt.
Ahora bien, en virtud que la serie reflectiva es una serie impulsiva aleatoria, entonces, la
función de autocorrelación es un impulso unitario, esto es:
1−∗= ftt Osγ
1−∗= ftt rsO
)()(1
ttd
tγγ
γ
φφ
γ =−
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
.................................. (5)
por lo que la ecuación (4) quedaría de la forma:
.................................. (6)
Adicionalmente, si se supone que la señal de salida deseada es también un impulso unitario,
es decir:
Entonces:
................................... (7)
Expresado en palabras, la correlación cruzada entre una señal cualquiera y un impulso
unitario, arroja como resultado la señal inicial, por lo que la ecuación (6) quedaría de la
forma:
................................ (8)
Para extraer el pulso sísmico se correlaciona la traza sísmica (st) con la serie reflectiva ϒt,
es decir:
................................ (9)
[ ]
==
==→0;00;1
)(tt
t taleatoriot δφγ γγ
)(1 tdt γφγ =−
≠=
==αα
δtt
dSi tt ;0;1
tttd dct γγφ γ ˆ)( ==∗
tt γγ ˆ1 =−
ttt csO γ̂∗
=
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
En los casos en que la función de autocorrelación de la serie reflectiva difiera del impulso
unitario, sería indicativo de la presencia de energía reverberatoria que debe ser removida
aplicando las técnicas convencionales de deconvolución predictiva.
ESTIMACION DE LOS COEFICIENTES DE REFLEXION.
Existen muchos métodos para la estimación de coeficientes de reflexión. Uno de lo más
utilizados es el adaptivo de Burg, basado en el análisis de alta resolución espectral
usualmente llamada entropía espectral máxima. La esencia del método radica en el hecho
que los coeficientes de error del filtro predictivo de Wiener están relacionados a los
coeficientes de reflexión según la expresión:
................................. (10)
Donde:
CK = coeficiente de reflexión.
Ak = filtro inverso derivado del filtro de error predictivo de Wiener.
La ecuación (10) puede reescribirse vectorialmente como:
................................. (11)
)/1()()(1 ZAZCZAZA KK
KKK −=+
−
=
−
++
+
+
+
1
0
0
11
)(1
)(1
)(
)(
)(2
)(1
)1(1
)1(
)1(2
)1(1
K
KK
KK
K
KK
K
K
KK
KK
K
K
a
aa
C
a
aa
aa
aa
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
[ ] [ ]∑=
−−−− +++++=N
ttttttttt ayyayyayyayyaE
1
**1
***11
*1 )()()()(
Para el caso del filtro de orden 3, se tiene:
.................................. (12)
Haciendo a(2)1 = a, entonces:
.
............................... (13)
El coeficiente (a) del filtro de error predictivo de orden 2 (1,a) puede ser calculado según:
donde
................................. (15)
El vector [ ] ),,,( 100 NNtt yyyy == es un vector de datos de longitud (N+1). y*
t es
conjugado complejo de yt.
Expandiendo la expresión (15) se tiene:
.
..........(16)
−
=
1
0
0
11)2(
12)2(
1)3(
2
)3(1 aCa
aa
−=
−=
2)3(
2
2)3(
1
CaaCaa
[ ] 0=∂∂
= ∗∗ a
EaEMina
[ ] 2
1
2
11
∗∗−
=− +++= ∑ tt
N
ttt ayyayyaE
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
∑
∑
∑∑
∑
∑
=−−
=−
=−−−−
=
−−−−=
−−=
−
+
−===
+++=
+++=
+++==∂∂
N
ttttt
N
ttt
N
tttttttt
N
tt
ttttttt
N
tt
ttttt
N
tt
yyyy
yyaa
yyyyayyyy
yayyyyayyy
ayyyayyyaE
1
*11
*
1
*1
)2(1
1
*11
**1
*1
1
**1
*11
*1
1
**11
1
*1*
)(
2
)()(
)(
)()(0
[ ]
[ ]∑
∑
=−−−−−−
=−−−
+++++
++= N
ttttttttt
N
ttttt
ayyayyayyayy
ayyayyC
2
*1
*212
*1
*1
21
*1
*2
2
)()()()(
)()(2
De aquí que:
..................... (17)
para el caso del coeficiente C2 , éste puede estimarse según la ecuación:
..........(18)
La ecuación (18) es un caso particular del algoritmo de Riley-Burg descrito en el capítulo
dedicado a deconvolución por entropía máxima y sólo tendrá una derivación particular en el
presente capítulo de la manera siguiente:
Para el caso del filtro de error predictivo de orden 2: A(Z) = 1 + aZ, se consideró la
minimización del valor esperado de (a) con respecto al error predicitivo hacia delante y hacia
atrás en la serie de tiempo [yt] que define la data, según lo expresado en la ecuación (15).
Una extensión natural de esta ecuación surge al considerar un filtro de error predictivo de
orden 3: A(Z) = 1 + a1 Z + a2 Z2. Entonces, el valor esperado de los coeficientes del filtro (a1 ;
a2) vendría dado según la ecuación:
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
[ ] 2*2
*11
*2
2
2221121 , ttt
N
tttt yayayyayayaaE +++++= −−
=−−∑
[ ] [ ] [ ] 2**1
*2
*1
*22
*1
2212 tttttt
N
ttt yyaCayyyayCyyCE +−+++−+= −−−−−
=−∑
+=
+=
−−
−
1
*
2
1
ttb
ttf
yayK
ayyK
.............(19)
Sin embargo, existen series de tiempo para las cuales este filtro de error predictivo no es
convergente en el círculo unitario complejo, lo que hace insatisfactorios los estimados de
coeficientes de reflexión que del mismo se deriven.
De aquí que, en lugar de minimizar E ( a1 , a2 ) se minimice a E [C2 ] donde este último viene
dado según la ecuación:
......... (20)
Haciendo un cambio de notación de forma que:
............................. (21)
La ecuación (20) quedaría como:
.......... (22)
[ ] [ ]∑∑==
−+−−=−+−=N
tfbbfbffb
N
tbf KCKKCKKCKKCKKCKCE
2
**2
**22
2*2
*2
222 )))((
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
Minimizando E [C2 ] en (22) con respecto a ( C*2 ) se tiene:
............................. (23)
Haciendo los cambios de variable expresados en (21), la ecuación (23) es similar a la (18).
El proceso interativo para el resto de los coeficientes se repite aplicando el algoritmo:
Paso No. 1 : J =2
∑
∑
∑∑
∑
∑
=
=
==
=
=
+=
+−+=
−+−=
−+−=
N
tbbff
N
tfb
bbff
N
tfbf
N
tb
fffbbbf
N
tb
fbfbf
N
tb
KKKK
KKC
KKKKCKKKK
KKCKKKKCKK
KCKKKCKK
2
**
2
*
2
**
22
*
2
*
*2
**2
2
*
*2
*2
2
*
2
)()(0
∑
∑
=
=
+= N
jt
jb
jb
jf
if
N
jt
jf
jb
j
KKKK
KKCNoPaso
)*()()*()(
)()*(2:2.
)()()1(:3. jbj
jf
jf KCKKNoPaso −=+
)()*()()1(:4. jf
jj
jb
jb KCKKNoPaso −=+
7.1:5. NopasoalirNJNoPaso −>
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APLICACIÓN DE LOS VALORES ESTIMADOS.
Una vez finalizado el proceso de estimación del tren de coeficientes de reflexión (es decir la
serie reflectiva), se debe proceder a verificar sus características de espectro plano,
analizando la función de autocorrelación de la serie reflectiva estimada, la cual debe dar un
impulso unitario si todo ha sido llevado correctamente. En caso contrario, lo mas común es
la existencia de energía reverberativa que no ha sido adecuadamente sustraída en el
proceso preliminar de deconvolución predictiva.
La serie reflectiva [ ϒt ] se forma a partir del tren de coeficientes de reflexión [ Cj ], término a
término, tomando en cuenta que el incremento del subíndice (j) está relacionado a la
variable de tiempo en función de la rata o intervalo de muestreo (Δt) de la ventana [ yt ] de
datos de la cual se estimó [ Cj ].
Para obtener la traza sísmica ajustada por la ondícula extraída se correlaciona esta última
con la traza sísmica de manera que:
................................ (24)
En virtud de la ecuación (9) la ecuación (24) puede ser reformulada como:
.............................. (25)
2.1:6. NopasoalirjJNoPaso +=
.:7. TerminarNoPaso
ttt OcSSw
ˆ*
=
tsstttt ctcScSSw
γφγ ˆ)(ˆ***
=
=
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
Adicionalmente, en virtud que
.
.............................. (26)
se tiene que
............................... (27) Las ecuaciones (25) y (27) describen dos procesos de filtrado de la serie reflectiva del
subsuelo con una función de autocorrelación.
La correlación final por distorsión de fase se hace aplicando la ecuación de Wiener para la
definición del filtro:
............................. (28)
Donde φod (t) es la correlación cruzada de la ondícula sísmica con la señal de salida
deseada del filtro, la cual es un impulso unitario en el centro de la ondícula. Esta operación
equivale a un proceso de filtrado cuya salida es de fase cero, por lo que cualquier desviación
del pulso que define un evento, de la simetría de fase, implicaría interferencia de eventos
muy cercanos. De aquí que la versión final de la traza sísmica procesada por deconvolución
estructural sería:
ttt OS ∗= γ
[ ] )(ˆ00
*tOcOS tttttw
φγγ ∗≈∗=
[ ]
=
)(1)(
00
*
0 tcth dt φ
φ
DECONVOLUCION ESTRUCTURAL
................................. (29)
Adicionalmente a la información sustraída, podría considerarse otros tipos de presentación
de la información sísmica procesada, dependiendo de ello de la calidad de los estimados de
coeficientes de reflexión y de la información disponible de velocidad sísmica en la primera
capa del subsuelo que defina una interfase sísmica. Esta última información podría lograrse
en primera instancia en función de las velocidades calculadas por refracción sísmica para la
correlación de la capa meteorizada o en su defecto mediante información de registros
sónicos de pozo cercanos al sitio. La presentación sería en función de velocidades sísmicas
en una primera aproximación, según la ecuación:
................................ (30)
Donde:
Vi = iava velocidad interválica
Ci = iavo coeficiente de reflexión.
Esta presentación podría perfeccionarse si se dispone de la información de densidad, a fin
de hacer la fórmula (30) completa.
[ ] [ ]
)()(
1)()(*
tt
ctt
hSS
odt
ooodoot
ttt Wf
φγφ
φφγ
∗=
∗∗=
∗=
−+
=+i
iii C
CVV
11
1