Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

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Decisiones de Decisiones de CarteraCartera

Villar. Capítulo Nº 12Villar. Capítulo Nº 12

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Problema que se plantea un agente, el cual Problema que se plantea un agente, el cual debe decidir cómo distribuir su riqueza entre debe decidir cómo distribuir su riqueza entre diversos activos financieros, cuyos pagos son diversos activos financieros, cuyos pagos son

diversos.diversos. Se estudiará:Se estudiará: Noción de Cartera y equilibrio del Noción de Cartera y equilibrio del

consumidor que debe elegir una consumidor que debe elegir una cartera, dada su riqueza disponible.cartera, dada su riqueza disponible.

Propiedades de la estructura del Propiedades de la estructura del mercado de activosmercado de activos

Análisis de la media y varianza de una Análisis de la media y varianza de una cartera.cartera.

Mercado de opciones y derivados.Mercado de opciones y derivados.

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ActivosActivos Titulo que describe un vector de pagos Titulo que describe un vector de pagos

para cada estado del mundo. Una para cada estado del mundo. Una promesa de pagos de naturaleza incierta.promesa de pagos de naturaleza incierta.

Activos reales: pagos estipulados en Activos reales: pagos estipulados en unidades de mercancías.unidades de mercancías.

Activos financieros: pagos estipulados en Activos financieros: pagos estipulados en unidades de cuenta. Ej. : Bonos del unidades de cuenta. Ej. : Bonos del estado, Acciones de empresas, opciones, estado, Acciones de empresas, opciones, pagarés, obligaciones, seguros, etc.pagarés, obligaciones, seguros, etc.

La compraventa de activos implica un La compraventa de activos implica un intercambio de riesgo entre los agentes.intercambio de riesgo entre los agentes.

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CarteraCartera

Conjunto de activos representada por un Conjunto de activos representada por un vector vector ai = (aai = (ai1i1, a, ai2i2,…, a,…, aijij)) que describe las que describe las distintas cantidades de activos que el distintas cantidades de activos que el consumidor “i” demanda.consumidor “i” demanda.

El coste de una cartera viene dado por: El coste de una cartera viene dado por:

y no podrá exceder la riqueza del y no podrá exceder la riqueza del consumidorconsumidor

J

jjiji qaqa

1

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Decisión del consumidor en un Decisión del consumidor en un modelo simplificadomodelo simplificado

Siendo un sujeto “i”, en un mercado con “j” Siendo un sujeto “i”, en un mercado con “j” activos donde pueden ocurrir “s” estados del activos donde pueden ocurrir “s” estados del mundo diferentes. Con: mundo diferentes. Con:

M: riqueza inicial del sujeto.M: riqueza inicial del sujeto. rrssj: pago que proporciona el activo “j” en el j: pago que proporciona el activo “j” en el

estado “s”.estado “s”. qj: precio del activoqj: precio del activo aij: cantidad demandada por “i” del actvio “j”.aij: cantidad demandada por “i” del actvio “j”. xs: riqueza del individuo en el momento s.xs: riqueza del individuo en el momento s. s: probabilidad asociada al momento “s”s: probabilidad asociada al momento “s” f8: probabilidad que el consumidor asocia a f8: probabilidad que el consumidor asocia a

los distintos estados del mundolos distintos estados del mundo

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J

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Formando el Lagrangiano:

Derivando y haciendo las cuentas correspondientes se obtiene:

h

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q

rxu

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1

1

Con j y h dos activos cualesquiera.El agente distribuye su riqueza entre los activos de modo que el cociente de las utilidades marginales esperadas se iguale con los precios relativos de los activos.

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Rendimiento medio y Rendimiento medio y varianza de una carteravarianza de una cartera

Aunque cada cartera determina un pago medio y Aunque cada cartera determina un pago medio y una varianza, estos mismos valores pueden ser una varianza, estos mismos valores pueden ser generados por otras carteras.generados por otras carteras.

La flexibilidad para realizar transferencias de La flexibilidad para realizar transferencias de riqueza entre estados depende de la cuantía y riqueza entre estados depende de la cuantía y variedad de los activos disponibles en el mercado.variedad de los activos disponibles en el mercado.

J

j

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Page 8: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

La estructura del mercado La estructura del mercado de activosde activos

¿Qué cantidad y variedad de activos ¿Qué cantidad y variedad de activos son necesarios para afrontar los son necesarios para afrontar los riesgos presentes en cada estado de riesgos presentes en cada estado de la naturaleza?la naturaleza?

Condición de no-arbitrajeCondición de no-arbitraje

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Matriz de pagos de los activosMatriz de pagos de los activos

SJSS

J

J

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R

21

22221

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1

S

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Total pagos recibidos por el activo i en los distintos estados de la naturaleza.

J

jsjr

1 Total pagos recibidos por el total de

activos en el estado de la naturaleza S

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Entonces…Entonces…

Dado que aDado que aii es la cartera del i- ésimo es la cartera del i- ésimo consumidor :consumidor :

Renta genera por los activos en el estado Renta genera por los activos en el estado S viene dada por la expresión:S viene dada por la expresión:

Jj issjij aMra1 )(

Page 11: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Mercados completos vs. mercados Mercados completos vs. mercados incompletosincompletos

Mercado completoMercado completo

Mercado incompletoMercado incompleto

Según la posibilidad o no del consumidor

de poder transferir su

renta entre los distintos

estados de la naturaleza sin

mas restricciones que la propia

riqueza

RIESGO

Page 12: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Condición de no-arbitrajeCondición de no-arbitraje

No exista ninguna cartera con No exista ninguna cartera con valores esperados positivos que valores esperados positivos que

tenga costo cerotenga costo cero

Problema de maximización tenga soluciónCalcular el precio de los activos

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Si se cumplen:Si se cumplen:

Condición de no arbitraje respecto a un Condición de no arbitraje respecto a un vector de precios q.vector de precios q.

S = JS = J Estructura de activos es completaEstructura de activos es completa

Existe un vector tal que q = R y ese vector beta es único y estrictamente positivo

S

ssjsj Jrq

1,1,2,j ,

Page 14: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

A la hora de analizar nuestras A la hora de analizar nuestras inversiones…inversiones…

¿Es importante considerar la ¿Es importante considerar la estructura de activos como un factor estructura de activos como un factor relevante en la distribución de relevante en la distribución de nuestra riqueza?nuestra riqueza?

Page 15: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Siguiendo los siguientes Siguiendo los siguientes supuestos:supuestos:

La estructura de activos es completaLa estructura de activos es completa Se verifica la condición de no arbitrajeSe verifica la condición de no arbitraje Estamos en un equilibrio de mercado Estamos en un equilibrio de mercado

donde las cantidades ofertadas es igual donde las cantidades ofertadas es igual a las cantidades demandadas de activosa las cantidades demandadas de activos

La respuesta es NOLa respuesta es NO

Page 16: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Supongamos :Supongamos :

Una matriz de pagos R, con una cartera aUna matriz de pagos R, con una cartera aii, a un , a un costo qcosto qaiai y los pagos dados por Ra y los pagos dados por Raii

Otra matriz de pagos Q, con una cartera aOtra matriz de pagos Q, con una cartera aii’, a ’, a un costo q’aun costo q’aii’ y los pagos dados por Qa’ y los pagos dados por Qai i ’’

Se puede demostrar que existe un vector de Se puede demostrar que existe un vector de precios q’ y una nueva colección de carteras aprecios q’ y una nueva colección de carteras aii’ ’ tal que:tal que:

QaQaii’=Ra’=Raii

Q’aQ’aii’=qa’=qaii

..

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Page 17: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

A y C:A y C:

B:B:

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RaQa

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Page 18: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Bonos de descuento puroBonos de descuento puro

La matriz R es una matriz identidad, por lo La matriz R es una matriz identidad, por lo tanto:tanto:

q’=qR^(-1)Qq’=qR^(-1)Q q’=qQq’=qQ ..

El precio de un activo j corresponde a una El precio de un activo j corresponde a una suma ponderada de sus pagos, donde los suma ponderada de sus pagos, donde los ponderadores vienen dados por los precios ponderadores vienen dados por los precios de los bonos de descuento puro, o viceversa.de los bonos de descuento puro, o viceversa.

S

ssjsjrqq

qQq

QqRq

1

1

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'

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ConclusiónConclusión

Los cambios en la estructura de Los cambios en la estructura de los activos no alteran los datos los activos no alteran los datos en la economía, sino que mas en la economía, sino que mas bien estos activos son meros bien estos activos son meros instrumentos de redistribución instrumentos de redistribución de riqueza y cobertura de de riqueza y cobertura de riesgosriesgos

Page 20: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Preferencias media-Preferencias media-varianzavarianza

Se desea ver en qué condiciones las Se desea ver en qué condiciones las preferencias sobre loterías monetarias de un preferencias sobre loterías monetarias de un consumidor pueden expresar en términos de la consumidor pueden expresar en términos de la media y la varianza de los resultados de las media y la varianza de los resultados de las loterías. loterías.

Es decir :Es decir :

Nos permitiría evaluar las loterías a partir de Nos permitiría evaluar las loterías a partir de su ganancia media y de la dispersión de los su ganancia media y de la dispersión de los resultados, pudiendo ignorar otros aspectos resultados, pudiendo ignorar otros aspectos como la asimetría y la kurtosis.como la asimetría y la kurtosis.

),()( 2FLU

Page 21: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

La aversión al riesgo implica que La aversión al riesgo implica que dada dos loterías con la misma dada dos loterías con la misma media, resulta preferida la de menor media, resulta preferida la de menor varianza. Lo contrario ocurre para varianza. Lo contrario ocurre para los agentes amantes al riesgo.los agentes amantes al riesgo.

El caso de neutralidad frente al El caso de neutralidad frente al riesgo, todas las loterías con la riesgo, todas las loterías con la misma media resultan indiferentes.misma media resultan indiferentes.

Page 22: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Casos relevantesCasos relevantes

Aquel en el que los resultados Aquel en el que los resultados pueden ser descritos mediante una pueden ser descritos mediante una distribución normal, Ldistribución normal, L~~N (N (, , 22))

Aquel en el que la utilidad es Aquel en el que la utilidad es expresada mediante una función expresada mediante una función cuadrática.cuadrática.

Page 23: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Se sabe que la distribución normal Se sabe que la distribución normal es “prácticamente” la única es “prácticamente” la única distribución estable quees distribución estable quees caracterizada por dos únicos caracterizada por dos únicos parámetros, que corresponden a la parámetros, que corresponden a la media y la varianza.media y la varianza.

El inconveniente es que se expresa El inconveniente es que se expresa en todo el conjunto de los reales y es en todo el conjunto de los reales y es difícil suponer que haya agentes que difícil suponer que haya agentes que acepten loterías en las que las acepten loterías en las que las pérdidas no estén acotadas.pérdidas no estén acotadas.

Page 24: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Dada la función de utilidad:Dada la función de utilidad:

U (m) = U (m) = mm22 + +m+m+

kj jj

kj LjjL

k

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m

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mmLU

12

12

1

2

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Page 25: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

U (L) = U (L) = ( (22LL++22

LL)+)+LL++ g >0 amante al riesgo. La utilidad g >0 amante al riesgo. La utilidad

resulta creciente tanto en la media resulta creciente tanto en la media como en la varianza.como en la varianza.

g =0 agente neutral al riesgo. La g =0 agente neutral al riesgo. La utilidad es una función creciente y utilidad es una función creciente y lineal las ganancias. La utilidad sólo lineal las ganancias. La utilidad sólo depende de la media.depende de la media.

g <0 agente averso al riesgo. La g <0 agente averso al riesgo. La utilidad es decreciente en al varianza, utilidad es decreciente en al varianza, pero para que sea creciente en la mediapero para que sea creciente en la media

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Max VMax Vii [ [(a(aii), ), 22(a(aii)])]

s.a : qs.a : qJJ a aijij M Mii

aa**ijij = f = fijij ( q , M ( q , Mii ) j = 1,2,3, ) j = 1,2,3,

……,J……,J

Page 27: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

El equilibrio en los mercado de activos El equilibrio en los mercado de activos implica queimplica que

1,...,2,1 jj

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MMqfa1 1 1

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El equilibrio de la economía El equilibrio de la economía implica queimplica que

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Wwwqfa1 1 1

** ),( Jj ,...,2,1

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Opciones y derivadosOpciones y derivados

Page 33: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Una opción es un contrato que posibilita la Una opción es un contrato que posibilita la adquisición o venta de un bien en una fecha futura, adquisición o venta de un bien en una fecha futura, a un precio previamente establecido. Esta otorga al a un precio previamente establecido. Esta otorga al tenedor la posibilidad de ejercer o no el derecho tenedor la posibilidad de ejercer o no el derecho adquirido.adquirido.

Una opción europea se ejerce sólo en la fecha de Una opción europea se ejerce sólo en la fecha de vencimiento y una opción americana se puede vencimiento y una opción americana se puede ejercer en cualquier momento de su vida.ejercer en cualquier momento de su vida.

Un contrato d futuros determina la entrega futura Un contrato d futuros determina la entrega futura de una cierta cantidad de mercancía a un precio de una cierta cantidad de mercancía a un precio preestablecido, en donde el tenedor TIENE que preestablecido, en donde el tenedor TIENE que ejercer el derecho.ejercer el derecho.

Se llama Se llama call optioncall option a un contrato que da al tenedor a un contrato que da al tenedor el derecho a comprar un acierta cantidad de activo, el derecho a comprar un acierta cantidad de activo, y y put optionput option a contrato que da al tenedor derecho de a contrato que da al tenedor derecho de vender la cantidad de activo predeterminada, al vender la cantidad de activo predeterminada, al precio fijado y en la fecha establecida.precio fijado y en la fecha establecida.

Page 34: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

Por lo tanto hay cuatro tipos de Por lo tanto hay cuatro tipos de participantes en los mercados de participantes en los mercados de opciones:opciones:

1) Compradores de opciones de 1) Compradores de opciones de compra.compra.

2)Vendedores de opciones de compra.2)Vendedores de opciones de compra. 3) Compradores de opciones de venta.3) Compradores de opciones de venta. 4) Vendedores de opciones de venta.4) Vendedores de opciones de venta. Se dice que los compradores tienen Se dice que los compradores tienen

posiciones largasposiciones largas y que los vendedores y que los vendedores tienen tienen posiciones cortasposiciones cortas..

Page 35: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

El precio acordado entre las partes se lo El precio acordado entre las partes se lo denomina denomina strike pricestrike price o precio de ejercicio, y o precio de ejercicio, y será el precio será el precio spotspot o de contado aquel que sea el o de contado aquel que sea el presente.presente.

Precios de las opciones sobre Intel, 12 de Precios de las opciones sobre Intel, 12 de septiembre de 2006; septiembre de 2006; precio de la acción (spot) = precio de la acción (spot) = 19,5619,56

Opciones de Opciones de compracompra

Opciones de Opciones de ventaventa

Precio del Precio del ejercicioejercicio

Oct. Oct.

20062006 Ene. Ene. 20072007

Abr. Abr. 20072007

Oct. Oct. 20062006

Ene. Ene. 20072007

Abr. Abr. 20072007

15,0015,00 4,654,6500

4,954,9500

5,155,1500

0,020,0255

0,150,1500

0,270,2755

17,5017,50 2,302,3000

2,772,7755

3,153,1500

0,120,1255

0,470,4755

0,720,7255

20,0020,00 0,570,5755

1,171,1755

1,651,6500

0,870,8755

1,371,3755

1,701,7000

22,5022,50 0,070,0755

0,370,3755

0,720,7255

2,952,9500

3,103,1000

3,303,3000

25,0025,00 0,020,0255

0,120,1255

0,270,2755

5,455,4500

5,455,4500

5,455,4500

.(Fuente: CBOE, Introducción a los mercados de futuros y opciones, John C. Hull)

Page 36: Decisiones de Cartera Decisiones de Cartera Villar. Capítulo Nº 12.

La tabla ilustra varias de las La tabla ilustra varias de las propiedades de las opciones. El precio propiedades de las opciones. El precio de una opción de compra disminuye a de una opción de compra disminuye a medida que aumenta el precio de medida que aumenta el precio de ejercicio; el precio de una opción de ejercicio; el precio de una opción de venta aumenta a medida que se venta aumenta a medida que se incrementa el precio de ejercicio.incrementa el precio de ejercicio.

Ambos tipos de opciones aumentan en Ambos tipos de opciones aumentan en valor a medida que se incrementa su valor a medida que se incrementa su tiempo al vencimiento.tiempo al vencimiento.

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CoberturistasCoberturistas: usan los contratos de futuros, a plazo y de : usan los contratos de futuros, a plazo y de opciones para reducir el riesgo al que se enfrentan por opciones para reducir el riesgo al que se enfrentan por cambios futuros en una variable de mercado. cambios futuros en una variable de mercado.

Hay una diferencia fundamental entre el uso de contratos a plazo y el Hay una diferencia fundamental entre el uso de contratos a plazo y el de opciones con propósitos de cobertura. Los contratos a plazo están de opciones con propósitos de cobertura. Los contratos a plazo están diseñados para neutralizar el riesgo al fijar el precio que el diseñados para neutralizar el riesgo al fijar el precio que el coberturista pagará o recibirá por el activo subyacente. Por el coberturista pagará o recibirá por el activo subyacente. Por el contrario, los contratos de opciones proporcionan seguro. Ofrecen contrario, los contratos de opciones proporcionan seguro. Ofrecen una manera de protegerse contra los cambios adversos de precios en una manera de protegerse contra los cambios adversos de precios en el futuro, permitiéndoles beneficiarse de los cambios favorables de el futuro, permitiéndoles beneficiarse de los cambios favorables de precios. Además, las opciones implican el pago de una comisión por precios. Además, las opciones implican el pago de una comisión por adelantado.adelantado.

EspeculadoresEspeculadores: los utilizan para apostar sobre la : los utilizan para apostar sobre la dirección futura de una variable de mercado. Es decir dirección futura de una variable de mercado. Es decir desean tomar posición en el mercado, apostando a que el desean tomar posición en el mercado, apostando a que el precio del activo subirá o bajará.precio del activo subirá o bajará.

ArbitrajistasArbitrajistas: toman posiciones de compensación en dos o : toman posiciones de compensación en dos o más instrumentos para asegurar una utilidad. Es decir, más instrumentos para asegurar una utilidad. Es decir, arbitrar implica asegurar una utilidad libre de riesgo, arbitrar implica asegurar una utilidad libre de riesgo, realizando simultáneamente transacciones en dos o más realizando simultáneamente transacciones en dos o más mercados.mercados.

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(Visto desde Villar) (Visto desde Villar) FormalmenteFormalmente

Dado un activo Dado un activo jj, cuyo precio de mercado , cuyo precio de mercado es es qjqj, y cuyos pagos viene descritos por el , y cuyos pagos viene descritos por el vector vector rrjj = (r = (r1j1j; r; r2j2j ; ; …r…rSjSj ). ).

Sea Sea ccjj el precio acordado en un contrato el precio acordado en un contrato de opción sobre este activo.de opción sobre este activo.

Sea Sea rºrºjj(c(cjj) ) el pago de esta opción, el pago de esta opción, mostramos su dependencia del precio mostramos su dependencia del precio pactado: pactado:

}],0max{,},,0max{},,0max{)( 21

0

jSjjjjjj crcrcrcr