Deber chi cuadrado

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL

INTERNACIONAL

DOCENTE: MSC. JORGE POZO

INTEGRANTES:

Gabriela Cisneros

6to B

MARZO 2012- AGOSTO 2012

TEMA: ESTADÍSTICOS INFERENCIALES PRUEBA DE CHI – CUADRADO

PROBLEMA: Desconocimiento del estadístico Inferencial prueba de chi – cuadrado

para aplicarla en los problemas de comercio exterior y el entorno.

OBJETIVOS

General

Conocer y aplicar la prueba de chi – cuadrado en problemas y ejercicios

relacionados con nuestro entorno.

Específicos:

Investigar información acerca de la prueba de chi – cuadrado en diferentes

fuentes de información.

Analizar la información obtenida.

Realizar ejemplos con la prueba de chi – cuadrado en problemas de comercio

exterior.

JUSTIFICACIÓN

El presente trabajo se lo ha realizado con la finalidad de conocer otra herramienta

necesaria y fundamental para determinar si un proyecto es factible o no, como es la

prueba del chi – cuadrado, que además de la prueba de hipótesis y la t de student,

esta prueba también se debe conocer y aprender para luego de su respectivo calculo y

análisis se pueda tomar decisiones adecuadas al asunto al cual se esta haciendo

referencia.

Para poder llevar a cabo esta prueba hemos tenido como fuentes primarais y

secundarias libros, textos y también el internet y varias páginas web de las cuales

hemos obtenido información que nos ha ayudado a conocer y aprender acerca de lo

que es el Chi – cuadrado. La prueba de chi – cuadrado tiene un solo extremo o cola a

la derecha de la campana de Gauss, a diferencia de otras pruebas ya estudiadas

antes como la prueba de hipótesis y la t de student.

Este trabajo va dirigido para todos los estudiantes y beneficiará principalmente a

quienes lo realizan, porque además de los ejercicios obtenidos, se plantearan otros

ejemplos, pero que estén vinculados con datos de actividades dentro del comercio

exterior como son las exportaciones o importaciones, así como también tributos que se

recauden cada año.

MARCO TEÓRICO

PRUEBA CHI - CUADRADO

Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres

requisitos fundamentales:

1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.

Ejemplos.

1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.

2. La prueba de student.

Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre. Son

aquellas que:

1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.

Ejemplo.

La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).

Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable es

cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.

El Estadístico Chi – Cuadrado

En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica denominada

prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables cualitativas, esto es,

variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores no pueden expresarse

numéricamente. Los valores de estas variables son categorías que sólo sirven para

clasificar los elementos del universo del estudio. También puede utilizarse para

variables cuantitativas, transformándolas, previamente, en variables cualitativas

ordinales.

El estadísticos chi- cuadrado se define por

x2=(n−1 ) S2

a2

En donde:

n= número de elementos de la muestra.

n -1= número de grados de libertad

s2= varianza de la muestra

a2= varianza de la población

Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de Chi –

cuadrado.

DEFINICIONES INVESTIGADAS

1. Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una escala

nominal. La hipótesis nula de la prueba Chi-cuadrado postula una

distribución de probabilidad totalmente especificada como el modelo

matemático de la población que ha generado la muestra.

2. Para realizar este contraste se disponen los datos en una tabla de

frecuencias. Para cada valor o intervalo de valores se indica la frecuencia

absoluta observada o empírica (Oi). A continuación, y suponiendo que la

hipótesis nula es cierta, se calculan para cada valor o intervalo de valores

la frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada (Ei=n·pi ,

donde n es el tamaño de la muestra y pi la probabilidad del i-ésimo valor o

intervalo de valores según la hipótesis nula). (.ub.edU, 2010) El estadístico

de prueba se basa en las diferencias entre la Oi y Ei y se define como:

3. El Chi-cuadrado es un ejemplo de los denominados test de ajuste estadístico,

cuyo objetivo es evaluar la bondad del ajuste de un conjunto de datos a una

determinada distribución candidata. Su objetivo es aceptar o rechazar la

hipótesis que se relate en un ejercicio. (tgrajales.net, 2009)

4. La prueba del chi cuadrado es solo un cálculo que se utiliza para ver qué tanto

se parece la distribución observada con los resultados teóricos, para

determinar si un suceso es al azar o tiene alguna tendencia. Por ejemplo, si

lanzas una moneda, en teoría tienes 50% de probabilidad de cara o cruz en

cada uno. Si la lanzas y te sale un resultado más seguido que el otro,

entonces puedes determinar mediante el chi cuadrado que los resultados no

son al azar. Para interpretar este dato, el resultado que te salga lo tienes que

comparar con un "nivel de tolerancia" que quieras dar al error en una

distribución. Entre más alta sea el valor de la chi cuadrada, será mayor la

probabilidad de que los datos tengan una tendencia. Normalmente se utiliza la

siguiente fórmula para aceptar o rechazar el valor del chi cuadrado.

(spssfree.com, 2008)

5. La prueba estadística para determinar la significatividad de la diferencia en las

frecuencias observadas es la prueba llamada Chi Cuadrada, la cual nos sirve

para rechazar o aceptar las hipótesis NULA-ALTERNATIVA. (wikibooks.org,

2009)

EJEMPLOS RESUELTOS

PROBLEMA 1

En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de una

población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó una prueba

de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos obtenidos se calculó la

varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional es de α2= 12,37, calcular el

valor del estadístico chi-cuadrado.

Datos:

n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37

x2=(40−1 )8,412,37

x2=26,48

Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL

ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.

Supongamos que se realiza los pasos siguientes:

1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles del

mismo tamaño n.

2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado.

3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de

frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.

Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de coordenadas,

colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi- cuadrado.

Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-cuadrado.

El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar la

probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.

El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2 (gl),

representa la probabilidad ∝ de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado.

Esta probabilidad ∝ es el nivel de significación de la prueba. El valor x2 (gl) se llama

valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una tabla especial, que

representa al final del libro el aprendizaje de tablas.

Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para una

probabilidad dad, por ejemplo ∝=0.05, al aumentar el número de grados de libertada

también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en las tres figuras

siguientes:

Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de grados de

libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar una forma

más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.

Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentra en

el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada columna se hayan

los valores de .

En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplos

siguientes el manejo de la tabla.

1. Ejemplo:

∝=0.05 y gl= 4 g de l

A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la visual

que baja por ∝=0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico ∝=9.488 .

2. Ejemplo:

Si ∝=5%=0.05 y gl=6 gdel

Hallamos x2 (6)=12.592

3. Ejemplo:

Si ∝=5%=0.05 y gl=10gde l

Encontramos x2 (10) = 18.307

Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de

frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.

Intervalos Conteo Frecuencias Observadas

Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6

6 , 26 a 11,62 IIII - I 6

11,62 a 15,51 III 3

15,51 a 18,80 IIII 5

18,80 a 21,96 IIII 4

21,96 a 25,12 IIII - IIII 10

25,12 a 28,41 III 3

28,41 a 32,30 IIII 4

32,30 a 37,66 IIII 4

37,66 a más. IIII 5

A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es decir,

colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por una tarja. La

suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de esta clase.

Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula indicada.

x2=∑ (Oi−E i)2

E i

Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se presenta a

continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5 en cada intervalo,

luego:

Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado de

Bondad de Ajuste.

Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5

X2 (7 )= (6−5 )2

5+

(6−5 )2

5+

(3−5 )2

5+

(5−5 )2

5+

(4−5 )2

5+(10−5)2

5+

(3−5 )2

5+

(4−5 )2

5+

(4−5 )2

5+

(5−5 )2

5

X2(7)=38+5=7,6

7) Toma de decisiones

Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura 11.3.5) se

ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos H o esto es, que la muestra se

obtiene de una población distribuida normalmente.

PROBLEMA 2

De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos países se

distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años, 35%; 41 -61 años,

25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.

Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución poblacional

de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una muestra respectiva de

1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5 categorías fueron: 0- 20

años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80 años, 100; 81 – 100 años, 100.

77.14

7.779

1) H o la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución del

censo

H 1 La distribución actual por edades no es igual a la del año de ejecución

2) La prueba es unilateral y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.10

4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO

ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a = 0.10 en

la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos

x2 (4 )=7.779

5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

200 300 300 100 100

Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de los

1.000 habitantes.

CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS

E1 = 1.000 X 25% = 250 E2 = 1.000 X 35% = 350

E3 = 1.000 X 25% = 250 E4 = 1.000 X 105% = 100

E5 = 1.000 X 5% = 50

CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO

x2 (4 )=∑I=1

5 (Oi−Ei)2

E i

x2 (4 ) = (200−250)

250

2

+ (300−350)

350

2

+(300−250)

250

2

+(100−100)

100

2 +(100−50)50

2

x2 (4 ) = 10+7.14+10+0+50

x2 (4 )= 77.14

250

350

250 10 5

6) TOMA DE DECISIONES

Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor que el

valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae en la región

de rechazo por lo tanto rechazamos H o y aceptamos H 1, es decir la

distribución actual por edades no es igual a la de la investigación demográfica.

CORRECCIÓN DE YATES

Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario realizar una

corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la prueba. Esta

corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05 al valor absoluto de

la diferencia ¿ entre las frecuencias observadas y as frecuencias esperadas.

El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.

PROBLEMA 3

En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de

enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de verificar

si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las proporciones de

estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó una muestra aleatoria de 100

alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40 mujeres. Con estos datos realizar la

verificación por medio de la prueba de CHI – CUADRADO, asumiendo el nivel de

significación de a= 5%.

1) H o la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es de 75%

y de 25% respectivamente

H 1 La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del 75% ni

del 25% respectivamente

2) La prueba es universal y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.05

4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO

11.21

3.841

5) ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con estos

datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos x2 (1 ) 3.841.

6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

60 40

OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS

Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75

Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25

75 25

CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates

x2 (1 ) (|O1−E1|−0.5¿¿¿2)E1

+(|O2−E2|−0.5¿¿¿2)

E2

x2 (1 ) (|60−75|−0.5¿¿¿2 )75

+(|40−25|−0.5¿¿¿2 )

25

x2 (1 ) (|−15|−0.5¿¿¿2 )

751+

(|−15|−0.5¿¿¿2 )25

x2 (1 ) (15−0.05¿¿¿2 )

75+

(15−0.05¿¿¿2 )25

x2 (1 ) =2.8+8.41= 11.21

7) TOMA DE DESICIONES

Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor CHI –

CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo, luego rechazamos la

H o por lo tanto afirmamos que la distribución de hombres y mujeres no es del 75% ni

del 25% respectivamente.

PROBLEMA 4

En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca del

perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico

Lugar de residencia

Grado De Perjuicio

Barriadas Barrios Populares

Intermedios

Barrios Residenciales

Total

Alto 32 225 50 307

Bajo 28 290 79 397

Total 60 515 129 704

Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo los

resultados que presenta la siguiente tabla.

Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia el

negro y lugar de residencia son independientes.

1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes

H1: existe dependencia entre las variables.

2. La prueba es unilateral y la cola derecha

3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05

4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos variables

son cualitativas.

5. Esquema de la prueba

Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4

Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4

Gl= 2

Q= 0.05

X2 = (2) = 5.991

C= # de columnas

F= # de filas

6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54

Formula

x2=∑ij

❑

(Qij−EijEij )2

X2= 3.54

Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias esperadas

emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias marginales de

dos variables.

¿(32−26.16)2

26.16+(25−224.58)2

224.58+(50−56.25)2

56.25+

(28−33.84 )233.84

+(79−72.78 )272.75

=3.54

5.991

Lugar de Residencia

Grado De Perjuicio

Barriadas Barrios Populares

(Intermedios)

Barrios Residenciales

Total

Alto E11 E12 E13 307

Bajo E21 E22 E23 397

Total 60 515 129 704

Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son

igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el

tamaño de la muestra.

E11=60∗307704

=26.16

E12=515∗307704

=224.58

E13=129∗307704

=56.25

E21=60∗397704

=33.84

E22=515∗397704

=290.42

E23=129∗397704

=72.75

Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas

anteriormente.

26.16

32

224.58

225

33.84

28

290.42

290

72.75

79

56.25

50

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

1. Un jugador quiere probar que es legal el dado con el que juega. Tiro el dado

120 veces y obtuvo la siguiente distribución de frecuencias de las caras

resultantes.

RESULTADO 1 2 3 4 5 6

FRECUENCIA 15 25 33 17 16 14

a) Enuncie las hipótesis de la prueba y determine las frecuencias esperadas.

b) Describa la estadística de la prueba

c) Determine la región crítica de la prueba al nivel de significación del 5%.

d) ¿A qué conclusión llega usando el nivel de significación 0,05?

e) Determine la probabilidad P.

1.- Determinar la Ho y la Ha

Ho: El dado es legal.

Ha: El dado no es legal.

2.- Es de dos colas.

3.- Nivel de confianza

∝=95% a=0,05 z=11,07

4.- n=120

gl = k-1 gl = 6 - 1 gl = 5

5.- Gráfica

11,07

Zona aceptación

6.- Cálculo de las frecuencias esperadas

Ei 20 20 20 20 20 20

Oi 15 25 33 17 16 14

x2=¿

x2 (5 )=¿¿

x2 (5 )=1.25+1.25+8.45+0.45+0.8+1.8

x2 (5 )=14

7.- Toma de decisiones

Se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la hipótesis nula, es decir el dado del

jugador no es legal ya que se encuentra dentro de la zona de rechazo.

2. El gerente de ventas de una compañía P&C afirma que todos sus vendedores

realizan el mismo número de visitas durante el mismo período de tiempo. Una

muestra aleatoria de 5 registros de los vendedores en una semana dada reveló el

siguiente número de visitas.

Vendedor A B C D E

Número de visitas 23 29 25 23 30

Con el nivel de significación de 0.05, ¿es razonable aceptar la afirmación del

gerente?

1.- H 0: hacen el mismo número de visitas

H a: hacen menor número de visitas

2.- Gráfica: unilateral y cola a la derecha

3.- Nivel de significación 0.05

4.- Variables cualitativas → chi cuadrado

5.- gl = k-1

gl = 5-1 = 4

X (4)2 = 9,49

26 26 26 26 26

23 29 25 23 30

6.- Cálculo de Frecuencias Esperadas

X (4)2 =

(23−26 )2

26+

(29−26 )2

26+

(25−26 )2

26+

(23−26 )2

26+

(30−26 )2

26

X (4)2 =0,35+0,35+0,04+0,35+0,62

X (4 )2 =1.7


Acepta la hipótesis nula por que realizan el mismo número de visitas

9,49

Zona aceptación

Zona de rechazo

3. El gerente de personal de la compañía “REXA” quiere probar la hipótesis que

hay diferencias significativas de tardanzas de los días de la semana.

De los registros de asistencia obtuvo la siguiente tabla de tardanzas de su

personal para cada uno de los días de la semana.

DIAS LUNES MARTES MIERCOLES

JUEVES VIERNES

TARDANZAS

58 39 75 48 80

¿Se puede aceptar la hipótesis del gerente con un nivel de significación de 0.05?

1.- HO = Hay diferencias significativas de tardanzas en los días de la semana.

Ha = No hay diferencias significativas de tardanzas en los días de la semana.

2.- La prueba es unilateral de una cola

3.- Nivel de significancia del ∝=0.05

4.-Utilizamos la prueba del chi-cuadrado

5.- Gráfica

gl = K-1

gl = 5-1

gl = 4

x2 = 9.488

Z. ACEPTACIÓN

Z. RECHAZO

9.488

6. - Frecuencias Esperadas

Xi 58 39 75 48 80 ∑ = 300

X=60

60 60 60 60 60

58 39 75 48 80

X2= ∑ (Oi−Ei )Ei

= 20.232


Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa debido a que hay

tardanzas del personal en cada día de la semana ya que llegan puntuales a la

compañía REXA.

4.- De una muestra de turistas que se hospedan en el hotel “EL PALMER” se

recogió sus opiniones acerca de los servicios del hotel, resultando los

siguientes datos:

PESIMA MALA REGULAR BUENA MUY BUENA EXCELENTE

TURISTAS 20 25 40 54 56

Pruebe con un nivel de significación del 5%, la hipótesis nula de que no hay

diferencias significativas entre las opciones de los turistas.

1.- HO = No hay diferencias significativas en las opiniones

Ha = Si hay diferencias significativas en las opiniones

2.- La prueba es unilateral de una cola

3.- Nivel de significancia del ∝=0.05

4.- Utilizamos la prueba del chi-cuadrado

5.- Gráfica

gl =K-1

gl = 5-1

gl =4

x2=9.488

6. Frecuencia Esperadas

Xi 20 25 40 54 56 ∑ = 195

X=39

39 39 39 39 39

20 25 40 54 56

X2= ∑ (Oi−Ei )Ei

= 27.486

Z. ACEPTACIÓN

Z. RECHAZO

9.488


La hipótesis nula se rechaza porque, no hay diferencias significativas en las opiniones

de los turistas.

5.- En un día dado se observó el número de conductores que escogieron cada

una de las 10 casetas de pago de peaje ubicadas a la salida al sur. Los datos se

registraron en la siguiente tabla.

CASETA # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

# DE CONDUCTORES

580 700 730 745 720 760 660 655 670 490

¿Presentar estos datos suficiente evidencia para concluir que hay casetas preferidas.

Utilice el nivel de significación del 3%?

1.- HALLAR LA HO Y LA HA

H o=Haycasetas preferidas

H a=Nohay casetas preferidas

2.- DETERMINAR SI ES DE 2 O 1 COLA

Es unilateral de una cola a la derecha

3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA

Nivel de confianza=95%

Error deestimación=0,05

4.- TIPO DE MUESTRA

Se utiliza chi-cuadrado

5.- ESQUEMA DE LA PRUEBA

gl=k−1

gl=10−1

gl=9

R .C=16,919

6.- CALCULO DEL CHI-CUADRADO

Frecuencias esperadas

Ei= xn

Ei=666010

=666

666 666 666 666 666 666 666 666 666 666

580 700 730 745 720 760 660 655 670 490

CHI-CUADRADO

X2 (9 )=∑¡=1

10 (O¡−E¡)E¡

X2 (9 )= (580−666 )2

666+

(700−666 )2

666+

(730−666 )2

666+

(745−666 )2

666+

(720−666 )2

666+

(760−666 )2

666+

(660−666 )2

666+

(655−666 )2

666+

(670−666 )2

666+

(490−666 )2

666

X2 (9 )=82,413


La Ho se rechaza y se aceptamos la Ha debido a que los conductores no tiene casetas

preferidas para el pago del peaje.

6.- Un ejecutivo del hipermercado “TOD” afirma que las compras se pagan 30%

con cheque, 45% con efectivo y 25% con tarjeta de crédito. En una muestra

aleatoria de 400 compradores se encontró que 110 de ellos pagaron con cheque,

210 con efectivo y 80 con tarjetas. ¿Puede Ud. concluir, con la significación de

0.05 que la afirmación del ejecutivo es razonable.


H o=Laafirmació ndel ejecutivo esrazonable

H a=Laafirmacióndel ejecutivo norazonable






4.- TIPO DE MUESTRA



k=3

gl=K−1

gl=3−1=2

R .C=5.991

6.- Cálculo del chi-cuadrado


Ei=400∗30%=120 E2=400∗45%=180

E3=400∗25%=100

120 130 100

110 210 80

CHI-CUADRADO

X2 (2 )=∑¡=1

3 (O¡−E¡ )2

E¡

X2 (2 )= (110−120 )2

120+

(210−180 )2

180+

(80−100 )2

100

X2 (2 )=9.833


La Ho se rechaza y se aceptamos la Ha debido a que la afirmación del ejecutivo no es

razonable.

7.- Una máquina llena de latas con 300 caramelos de sabores: piña fresa, limón y

naranja en la relación: 4:3:2:1. Si en una lata de estos caramelos se encontró 115

de piña, 95 de fresa, 70 de limón y 20 de naranja, pruebe la hipótesis de que la

máquina está mezclando en la relación 4:3:2:1, al nivel de significación de 0,05.

Piña Fresa Limón Naranja

Caramelos De Sabor

115 95 70 20

Relación 4 3 2 1

1.- H 0=Lamáquinaestámezclando en larelación 4 : 3:2 :1

Ha=Lamáquinanoestámezclando en larelación4 :3 :2 :1

2.- La prueba es unilateral y de cola hacia la derecha.

3.- Nivel de confianza

∝=95% a=0,05

Gradosde libertad=(f −1)(c−1)

Gradosde libertad=(2−1)(4−1)

Gradosde libertad=3

¿0,05

¿2(4)=7,82

4.- Se utiliza la distribución CHI cuadrado

5.- Esquema de la prueba.

6.- Cálculo estadístico de la prueba.

120 90 60 30

115 95 70 20


300 x 40%=120

300 x30%=90

300 x20%=60

300 x10%=30

x2 (3 )=∑i=1

5Oi−Ei

Ei

x2 (3 )=( 115−120120 )2

+( 95−9090 )2

+( 70−6060 )2

+( 20−3030 )2

x2 (3 )=0,20+0,28+1,67+3,33

x2 (3 )=5,48


Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, porque el puntaje Z se

encuentra dentro de la zona de aceptación, es decir la máquina está mezclando en la

relación 4:3:2:1.

8.- Se cree que las personas que mueren por sobredosis de narcóticos son

generalmente jóvenes. Para comprobar esta hipótesis se ha obtenido la

siguiente tabla de distribución del número de muertes por sobredosis.

Edad 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40 o más

Número de muertes

31 44 27 39 41 28

Con estos resultados y con un nivel de significación de 0,05. Se puede concluir,

empleando, que muere un número igual de personas en cada categoría.

1.- Ho=Muereunnúmero igualde personas encadacategoría

Ha=Nomuereunnúmeroigual de personas encadacategoría


3.- Se utiliza la distribución chi cuadrado.

4.- Esquema de la prueba.

Gradosde libertad=(f −1)(c−1)

Gradosde libertad=(2−1)(6−1)

Gradosde libertad=5

¿0,05

¿2(5)=11,070

5.- Esquema de la prueba

6.- Frecuencias esperadas

Edad 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 o más

X=2106

=35

Ei 35 35 35 35 35 35

Oi 31 44 27 39 41 28

x2 (3 )=∑i=1

5Oi−Ei

Ei

x2 (5 )=( 31−3535 )2

+( 44−3535 )2

+( 27−3535 )2

+( 39−3535 )2

+( 41−3535 )2

+(28−3535 )2

x2 (3 )=0,45+2,31+1,83+0,46+1,028+1,40

x2 (3 )=7,478


Se acepta la hipótesis nula porque el puntaje Z se encuentra dentro de la zona de

aceptación, es decir muere igual número de personas en cada categoría.

9. Un investigador escogió una muestra aleatoria de 192 familias con 4 hijos y

encontró la siguiente distribución de frecuencias del número de hijos varones:

VALORES OBSERVADOS

Número de varones 0 1 2 3 4 Total

Número de familias 18 42 64 40 28 ∑ 192

El quiere probar la hipótesis de que los nacimientos de varones y mujeres son

igualmente probables. Esto es, quiere probar que la distribución de estos datos se

aproxima a una distribución binomial.

Enuncie las hipótesis de la prueba y obtenga las frecuencias esperadas

Describa la estadística de la prueba

Determine la región crítica de la prueba al nivel de significación del 5%.

¿A qué conclusión llega usando el nivel de significación de 0.05?

Determine el nivel de significación de la prueba. (Calcule probabilidad: P)

1. Ho: Los nacimientos de varones y mujeres son igualmente probables.

Ha: Los nacimientos de varones y mujeres no son igualmente probables.

2. La prueba es unilateral y de cola derecha

3. α = 5% = 0.05

gl = (f – 1 )(c - 1) = (2 – 1)(5 - 1) = 4

4. Valor chi – cuadrado x2 (4) = 9,488


α = 5% = 0.05

gl = 4

9,488

6. Cálculo del estadístico de la prueba

Ei 38.4 38.4 38.4 38.4 38.4

Oi 18 42 64 40 28

Cálculo de las frecuencias esperadas

Ei=1925

=38.4

x2 (4 )=∑ (Oi−EI )2

Ei=[ (18−38.4 )2

38.4+

(42−38.4 )2

38.4+

(64−38.4 )2

38.4+

(40−38.4 )2

38.4+

(28−38.4 )2

38.4 ]=10.83+0.33+17.06+0.06+2.81=31.097. Toma de decisiones

Aceptamos la Ha y rechazamos la Ho. Esto significa que los nacimientos de

varones y mujeres no son igualmente probables.

10. Se lanzaron 200 veces 5 monedas y en cada tirada se contaron el número de

caras. Los resultados de este experimento son los siguientes:

Número de caras 0 1 2 3 4 5 Total

Número de tiradas 3 15 55 60 40 27 200

Frec. Esperadas (Ei) 33,33 33,33 33,33 33,33 33,3

3

33,3

3

200

Oi – Ei -30.33 -18.33 21.67 26.67 6.67 -6.33

(Oi – Ei)2 919.9

1

335.9

9

469.5

9

711.2

9

44.4

9

40.0

7

(Oi – Ei)2 / Ei 27.60 10.08 14.09 21.34 1.33 1.20 75.6

1

Pruebe la hipótesis de que la distribución del número de caras se ajusta a una

distribución binomial. Use el nivel de significación del 1%.

Ei=200n

=2006

=33,33

1. Ho: la distribución del número de caras se ajusta a una distribución binomial.

Ha: la distribución del número de caras no se ajusta a una distribución

binomial.


3. Nivel de significación α = 1% = 0,01

4. Se utilizará la Distribución Muestral de Chi – cuadrado


gl = k – 1 = 6 – 1 = 5 α = 1% = 0,01 x2 (5) = 15.086

6. Cálculo del Estadístico de la Prueba

x2 (5 )=∑ (Oi−EI )2

Ei=¿

7. Toma de decisiones

Aceptamos la Ha y rechazamos la Ho. La distribución del número de caras se

ajusta a una distribución binomial.

CONCLUSIONES

Con la realización de este trabajo he podido conocer y aprender uno más de

los estadísticos inferenciales que se utilizan para comprobar una hipótesis de

cualquier aspecto que se tenga, en relación de dos variables, y tomar

decisiones adecuadas al problema presentado.

Mediante este trabajo he podido conocer y aprender más sobre la prueba del

chi-cuadrado.

Con la realización de varios ejercicios he practicado y aprendido la prueba del

chi cuadrado relacionándolo también con problemas al comercio exterior.

RECOMENDACIONES

Se debe tener muy presente estas herramientas puesto que nos servirán para

la realización de una tesis y determinar si el tema planteado o la inversión a

realizar es factible o no.

15.086

Es importante practicar estos ejercicios, porque nos servirán y ayudarán dentro

de nuestra carrera. Es necesario conocer la prueba del chi- cuadrado debido a

que se presentan proyectos o problemas en donde debemos de aplicar esta

prueba

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Actividad

DíasResponsableMar

, 03Mié, 04

Jue, 05

Vie, 06

Sáb, 07

Dom, 08

Lun, 09

Mar, 10

Mié, 11

Jue, 12

Clase 1 Claudia Ch.Gabriela C.Marisol I.Amanda O.María P.Jéssica T.

Iniciar con los ejercicios

Claudia Ch.Gabriela C.Marisol I.Amanda O.María P.Jéssica T.

Clase 2 Claudia Ch.Gabriela C.Marisol I.Amanda O.María P.Jéssica T.

Deber ejercicios

Claudia Ch.Gabriela C.Marisol I.Amanda O.María P.Jéssica T.

BIBLIOGRAFÍA / LINKOGRAFÍA

Barrientos Valerio, J. A. Introducción a la Estadística Inferencial. Universidad Estatal a Distancia.

FÍSICA UDEA. (s.f.). http://fisica.udea.edu.co/. Recuperado el 04 de Julio de 2012, de fisica.udea.edu.co/: http://fisica.udea.edu.co/~lab-gicm/Laboratorio%20Fisica%201_2011/2010_teoria%20de%20errores/Distribucion%20de%20t%20Student.pdf

Vargas S., A. Estadística Descriptiva e Inferencial. COMPOBELL S.L.

YOUTUBE. (s.f.). youtube.com/watch?v=40h9ifBJpYk&feature=related. Recuperado el 08 de Julio de 2012, de youtube.com/watch?v=40h9ifBJpYk&feature=related: http://www.youtube.com/watch?v=40h9ifBJpYk&feature=related

ANEXOS

Una agencia de transporte tramita 300 documentos, de los importadores: de

vehículos; de motocicletas, productos perecibles y calzado en relación 4:3:2:1

La empresa de transporte tramita 110 documentos para la importadora de

vehículos, 100 para la empresa importadora de motocicletas, 70 para la empresa

importadora de productos perecibles y 20 para la empresa importadora de

calzado. Probar la hipótesis de que la empresa de transporte está realizando los

documentos en la relación: 4:3:2:1, al nivel de significancia de 0,05

Importadora de vehículos

Importadora de motocicletas

Importadora de perecibles

Importadora de calcado

Caramelos de sabor

110 100 70 20

Relación 4 3 2 1

1.-

H 0=la empresa de transporte está tramitandodocumentos en larelación4 :3 :2 :1

Ha=Laempresa de transporte noestá tramitandodocumentos en larel ación 4 :3 :2 :1


3.- Se utiliza la distribución chi cuadrado.

4.- Determinar gl

Gradosde libertad=( f−1 ) (c−1 )

Gradosde libertad=(2−1 ) (4−1 )

Gradosde libertad=3

¿0,05

❑2 (4 )=7,82

5.- Esquema de la prueba

Cálculo estadístico de la prueba.

120 90 60 30

110 100 70 20


300 x 40%=120

300 x30%=90

300 x20%=60

300 x10%=30

x2 (3 )=∑i=1

5Oi−Ei

Ei

x2 (3 )=( 110−120120 )2

+(100−9090 )2

+( 70−6060 )2

+( 20−3030 )2

x2 (3 )=0,83+1,11+1,67+3,33

x2 (3 )=6,94

7.- Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa, porque el puntaje

Z se encuentra dentro de la zona de aceptación, es decir la empresa tramita los

documentos de los importadores en la relación 4:3:2:1.

En una investigación realizada sobre la importación de electrodomésticos a

Ecuador se determinó que los tributos recaudados de esta mercancía son

aproximadamente el 50% de los ingresos que la SENAE recauda para el Estado.

Los datos se reflejan en la siguiente tabla:

Número de importaciones 1 2 3 4 5 Total

Valor recaudado (miles USD) 5 12 25 40 60 142

Frec. Esperadas (Ei) 28,40 28,40 28,40 28,40 28,40 142

Oi – Ei -23.40 -16.40 -3.40 11.6 31.6

(Oi – Ei)2 547.56 268.96 11.56 134.5

6

998.5

6

(Oi – Ei)2 / Ei 19.28 9.47 0.41 4.74 35.16 69.06

Use el nivel de significación del 1%.

Ei=142n

=1425

=28.40

1. Ho: U = 50%

Ha: U ≠ 50%


3. Nivel de significación α = 1% = 0,01

4. Se utilizará la Distribución Muestral de Chi - cuadrado


gl = k – 1 = 5 – 1 = 4

α = 1% = 0,01

x2 (4) = 13.277

13.277

6. Cálculo del Estadístico de la Prueba

x2 (5 )=∑ (Oi−EI )2

Ei=¿

7. Toma de decisiones

Aceptamos la Ha y rechazamos la Ho. La recaudación de tributos provenientes

de la importación de electrodomésticos representa más del 50% de los

ingresos para el Estado.

El gerente de una empresa industrial estaba preocupado por los continuos

accidentes de trabajo que se presentaban; por lo que estableció nuevos

lineamientos de seguridad. Antes de estos nuevos lineamientos, el gerente

esperaba que no hubiera ningún accidente en 40% de los meses, un accidente

en 30% de los meses, dos accidentes en 20% de los meses y tres accidentes en

10% de los meses

En los últimos 10 años, ó 120 meses, hubo 46 meses en los que no se tuvo

ningún accidente, 40 meses en los que hubo un accidente, 22 meses en los que

hubo dos accidentes y 12 meses en los que hubo tres accidentes. Al nivel de

significancia 0.05. ¿Puede concluir, el gerente de la empresa, que ha habido una

variación en la distribución mensual de los accidentes?


Ho :Nohahabido unavariaci ónen ladistribuci ónmensual de los accidentes .

H 1: Si hahabidounavariaci ónen la distribució nmensualde losaccidentes






4.- TIPO DE MUESTRA



k=4

gl=K−1

gl=4−1=3

R .C=7.815

6.- Cálculo del chi-cuadrado


Ei=120∗40%=48E2=120∗30%=36

E3=120∗20%=24 E4=120∗10%=12

48 36 24 12

46 40 22 12

CHI-CUADRADO

X2 (2 )=∑¡=1

3 (O¡−E¡ )2

E¡

X2 (2 )= (46−48 )2

48+

(40−36 )2

36+

(22−24 )2

24+

(12−12 )2

12

X2 (2 )=0.797


Como el valor de X 2 = 0.694443 es menor que el valor critico = 7.81473 no se

rechaza la Ho. Concluimos que no ha habido una variación en la distribución mensual

de los accidentes.

Matriz de logros

MATRIZ PARA TRABAJOS Y PRODUCTOS FINALES

NO

AP

LICA

NA

DA

PO

CO

PA

RC

IAL

ME

NT

E

EN

SU

M

AY

OR

TO

TA

LM

EN

TE

NIVEL.- FECHA.- Asignatura.- 1 2 3 4 51 Utiliza el método científico en la planificación de la investigación y/o trabajos 2 Utiliza el método científico en la ejecución de la investigación y/o trabajos 3 Utiliza el método científico en el informe de la investigación y/o trabajos 4 Identifica las causas del problema 5 Identifica los efectos del problema 6 Expresa claramente los antecedentes del problema (planteamiento) 7 Formula el problema identificando claramente las variables 8 Analiza la factibilidad económica del proyecto y/o trabajo 9 Analiza la factibilidad tecnológica del proyecto y/o trabajo

10 Analiza la factibilidad bibliográfica del proyecto y/o trabajo 11 Plantea soluciones al problema de investigación

12Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Tic´s. en la redacción del informe

13 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Sintaxis 14 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Ortografía 15 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Redacción (citas) 16 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Estadística 17 Análisis de resultados 18 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: matemática 19 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Protocolos de redacción 20 Conclusiones y Recomendaciones 21 Herramientas utilizadas en los trabajos y/o investigación: Bibliografía

22Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con facilidad.

23Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con claridad

24Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación oral con coherencia.

25Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación digital precisa y pertinente

26Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita precisa y pertinente

27Informa los resultados de las investigaciones y/o trabajos: Comunicación escrita (ABSTRACT)

28 Las investigaciones y/o trabajos son temas de actualidad 29 Las investigaciones y/o trabajos ayudan a la solución de problemas contemporáneos 30 Utiliza información actualizada para los trabajos y/o investigación 31 Trabajo en equipo: Es colaborador (a) 32 Trabajo en equipo: Es creativo (a) 33 Trabajo en equipo: Es propositivo (a) 34 Trabajo en equipo: Acepta propuestas 35 Trabajo en equipo: Es puntual 36 Trabajo en equipo: Plantea estrategias de trabajo 37 Trabajo en equipo: Es operativo (a) TOTAL 0 0 0 0 0

SUMAN TOTAL 0,00 NOTA FINAL 0,00Nombre.-

PROTOCOLO DE REDACCION.

TAMAÑO DE PAPEL A4PESO 75 GMSESPACIO INTERLINEAL 1,5 FIRMA ESTUDIANTETAMAÑO LETRA 12TIPO DE LETRA ARIALCOLOR LETRA NEGRO

MARGENESsuperior 2,5izquierdo 4inferior y derecho 2,5

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CUERPO DEL INFORME arábigos -2-TÍTULO DEL CAPÍTULO SIN NÚMERO

Deber chi cuadrado

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