8/9/2019 _Deber 8 (PEII2008)

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Ramiro J. Saltos 

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

IInnssttiittuuttoo ddee CCiieenncciiaass MMaatteemmááttiiccaass

Algebra Lineal (B)

Deber # 8: Primera Evaluación II-Término 2008

Tema 1. (20 puntos)Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta

a) Sea V  un espacio vectorial. Sea  RD  y ,v w V  . Si v wD  , entonces ||v w

b) Sean  H  y W  dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V  , entonces  H W  no es un subespacio

de V 

c) Sea ^ `2 2/ T 

 x V V A M A A O , sean

1 B y

2 B dos bases de V  , entonces la matriz de cambio de base

de1

 B a2

 B es de tamaño 1 1 x

d) Sean V  un espacio vectorial, ^ `1 2, , ..., nS v v v V   un conjunto linealmente dependiente y v V  ,

entonces ^ `S v es un conjunto linealmente dependiente

Tema 2. (30 puntos)

Sean1

1

5 , 2

4 2

S 

D - ½§ · § ·° °¨ ¸ ¨ ¸

® ¾¨ ¸ ¨ ¸° °¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹¯ ¿

y2

5

3 , 1

2 0

S 

 E - ½§ · § ·° °¨ ¸ ¨ ¸

® ¾¨ ¸ ¨ ¸° °¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹¯ ¿

Determine:

a) Los valores de D  y  E  para que el espacio generado por 1

S  sea igual al espacio generado por 2

S 

b) La matriz de cambio de base de2

S  a1

S 

c) Si ^ `1

1

2

3

  gen S 

§ ·¨ ¸

¨ ¸¨ ¸© ¹

Tema 3. (20 puntos)Sea el sistema de ecuaciones lineales:

3 0

3 0

2 2 4 0

  x y z  

  x y z  

  x y z  

-°

®° ¯

Determine:

a) Bases para el núcleo y la imagen de la matriz  A formada por los coeficientes del sistema dado

b) Una base del subespacio Im  Nu A A

Tema 4. (30 puntos)

Sea2

V P  y sea el conjunto W  el conjunto de los polinomios2ax bx c tales que la matriz

a b A

c a

§ · ¨ ¸© ¹

conmuta con la matriz1 2

2 1 B

§ · ¨ ¸© ¹

, es decir,   AB BA

a) Demuestre que W  es un subespacio vectorial

b) Determine una base para W 

c) Complete una base de W  para obtener una base de2

 P