ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE

DEBER #3

COMBINACION LINEAL, GENERACIÓN, BASES, DIMENSIÓN 1.- Defina:

1.1.- Combinación lineal de vectores.1.2- Conjunto generador de un espacio vectorial V.1.3.- Espacio generado por un conjunto de vectores.1.4.- Conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V.1.5.- Conjunto de vectores linealmente dependiente en un espacio vectorial V.1.6.- Base de un espacio vectorial V.1.7.- Dimensión de un espacio vectorial V.

2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique apropiadamente su respuesta.

2.1.- Si B={u+v, u-v, v-w} es una base de un espacio vectorial V, entonces {u+w,v-w,2u+v+w} es un conjunto generador de V.

2.2.- Sea V un espacio vectorial y H un subespacio de V, si H=L(B1)=L(B2) entonces B1=B2.2.3.- Sea G=L{v1,v2,v3,x} y U=gen{v1,v2,v1+v3,v2+v3}. Si H=U entonces el conjunto {v1,v2,v3,x}

es linealmente dependiente.2.4.- Sea {v1,v2,v3,v4} un conjunto generador de V y {v1,v5,v6,v7} un conjunto linealmente

dependiente en V, entonces dimV≤3.2.5.- Si β es una base del espacio vectorial V y β’ una base de un subespacio de V, entonces

β’⊆β.2.6.- Todo conjunto generador de un espacio vectorial V de dimensión n, tiene exactamente n

vectores.2.7.- Si S={u,v} esun conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V

y w es una combinación lineal de S, entonces {u,v,w} es un conjunto linealmente independiente.

2.8.- Si v es un vector de un espacio vectorial V, tal que v=α1v1+α2v2+…+αnvn y v=β1v1+β2v2+…+βnvn , entonces ∀i∈Ν, αi=βi

2.9.- Si V es generado por el conjunto {u,v,x-2v,x,5u+w} entonces la dimV≤32.10.- Si H es un subespacio de V generado por {h1,h2,h3,h4} entonces dimH>4.2.11.- Sea A una matriz cuadrada nxn y C1, C2, …, Cn matrices columnas de dimensión nx1. Si se

tiene que los vectores columnas AC1, AC2,…, ACn son linealmente independientes, entonces C1, C2, …, Cn también lo son.

2.12.- Todo espacio vectorial tiene al menos una base.2.13.- Si V es un espacio vectorial y V= L{ v1 , v2 , v3 , … , vn } entonces 0 ≤ dimV ≤ n2.14.- Si {v1, v2, v3, … , vn}es un conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio

vectorial V, entonces dimV ≥ n.2.15.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces cualquier conjunto con n vectores

linealmente independientes en V es una base de V.

1

3.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/x∈R+, y∈R} donde se ha definido la suma en V y la multiplicación por escalar de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )21212211 yy,xxy,xy,x +=⊕( ) )y,x(y,x α=•α α

a.-) ¿Es {(1,0), (1,1)} linealmente independiente?b.-) ¿Genera {(1,0), (1,1), (e,0)} a V?

4.- Sea V=L{Senx, Cosx, Sen2x, 1+4Cos2x, Cos2x, 2} un espacio funcional y los subespacios de V:H1=L{Sen2x, Cos2x}H2=L{Sen2x, 1-2Cos2x, 3}H3=L{Senx, Cosx}Determine:a.- Si 5∈H1

b.- Si Cos2x ∈H2

c.- Si tgx ∈H3

d.- Una base de V y la dimensión de V.e.- Una base de H3

5.- Sea { }exedaexxxxcbxdcbabxxdaxbaH +++++++−+++++−++−++= )2()3(235)()2( 323223

un subespacio vectorial de P3. Determine:a.-) Una base B1 de Hb.-) La dimensión de Hc.-) El valor de α∈R para que x3+x2+3x+α2-13 ∈ H. d.-) Una base de P3 que contenga a B1

6.- Sea

−−−

−−

−−

−

−=

ba0

411,

222

213,

123

124LH un subespacio de M2x3, determine:

a.- Los valores de a y b para que la dimensión de H sea 2

b.- Si

=

c21

302v , el valor de c para que v∉H

7.- Sea

∈∈∈

= + RbRaRu

ba

u,,/

3V 2 junto con las operaciones:

++

+=

⊕

2.

333

2121

21

22

2

11

1

bbaa

uu

ba

u

ba

u

−+

=

•

22

33

ααα

α α ba

u

ba

u

un espacio vectorial, determine una base de V y la respectiva dimensión de V.

8.- Sea (V,⊕,•α) un espacio vectorial:

∈

= Rz,y,x/

z

y

x

V

−++

++=

⊕

1zz

yy

2xx

z

y

x

z

y

x

21

21

21

2

2

2

1

1

1

+α−αα

−α+α=

•α

1z

y

22x

z

y

x

Determine la base del subespacio H={(x,y,z)/x+y+z=-1} y la dimensión de H.

2

9.- Si H={A∈Mnxn/ A-AT=0}= Snxn , donde n∈Z ∧ n≥2, determine la dimH.

10.- Determine los valores de K para que el conjunto {-1+kx-x2,k-x-x2, -1-x+kx2} sea una base de P2.

11.- Si H={ p∈Pn / p es par} es un subespacio vectorial de Pn donde n∈N∪{0} , determine la dimH para toda n.

12.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio de V y dimH=dimV, entonces H=V.

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