¿De veras sabemos hidráulica e hidrología? 1: Flujo en una ...

Edición 73, Marzo 2021

Publicación oficial de la Asociación Mexicana de Hidráulica, A. C.

Gestión de presión en redes sectorizadas de agua potable, ¿una alternativa para el suministro intermitente?Ajuste del método Muskingum a través de regresión lineal múltiple restringidaTiempo de entrada de avenidas máximas en un vaso de almacenamientoCaso de estudio: Presa El Caracol

¿De veras sabemos hidráulica e hidrología?1: Flujo en una bifurcación

La pandemia por Covid-19 y la crisis económica hicieron más evidentes los problemas que México ya enfrentaba en el ámbito hídrico, e indudablemente generó otros. Aun cuando el 2020 trajo consigo innumerables retos, muchos de ellos representaron el incremento de la resiliencia para nuestro sector.

El agua es un tema de seguridad nacional y una actividad esencial. Por ello, nuestro gremio debe continuar con sus labores como hasta ahora lo ha hecho y buscar la adaptabilidad ante los cambios.

Desde luego, nuestras tareas se han venido limitando por las reducciones presupuestales, acrecentadas más aún por la crisis sanitaria, mientras que las necesidades han aumentado.

Como país hemos alcanzado grandes resultados, pero existen todavía muchas oportunidades por atender, tenemos que enfocar nuestros esfuerzos para cumplir con el mandato constitucional del derecho humano al agua.

Debemos ser más preventivos que reactivos. Hoy en día, somos más resilientes ante la presencia de fenómenos hidrometeorológicos como ciclones tropicales y sequías, y además contamos con mayores capacidades técnicas y tecnológicas.

Hemos incrementado la cobertura de agua potable, drenaje y saneamiento. Ahora, hay que atender a las comunidades que por su dispersión representan mayores complicaciones para llevar el agua.

Nuestras ciudades crecen y sus demandas también, en tanto que la disponibilidad de agua disminuye. Es indispensable garantizar sus asignaciones, reducir la brecha entre el enfoque técnico y administrativo y buscar nuevas fuentes de abastecimiento que nos permitan atender las necesidades de forma sustentable; donde el tratamiento y reúso del agua son fundamentales y, además, contribuyen a hacer frente al cambio climático. Garantizar la seguridad alimentaria requiere actuar en múltiples dimensiones, incluyendo la mejora de la gobernanza de los sistemas. En el campo se utiliza cerca del 76 % del agua, y aunque se ha venido modernizando mediante la tecnificación del riego para hacer un uso más eficiente del agua, es necesario continuarla e incrementarla.

Mejorar y vigilar nuestros instrumentos de gestión, además de favorecer el convencimiento de los usuarios por el pago de los servicios, nos permitirá encontrar los recursos para atender al sector hídrico.

Todo lo anterior nos invita a continuar sumando esfuerzos, México necesita de la experiencia, el conocimiento y el espíritu transformador característico de la Asociación Mexicana de Hidráulica.

La revista Tláloc, publicación oficial de la Asociación Mexicana de Hidráulica, A.C. es un vehículo para promover la difusión de conocimientos a través de artículos científicos que permitan la mejor gestión del agua adecuada a la realidad y práctica mexicana.

Quiero aprovechar esta oportunidad para invitarlos a continuar publicando artículos que enriquezcan a la hidráulica mexicana y agradecerles el esfuerzo que cada uno hace desde su ámbito de trabajo. Continuemos trabajando en unidad y contribuyamos a los logros en este tema tan noble como es el agua.

Arturo Jesús Palma CarroPresidente del XXXIV Consejo Directivo Nacional de la Asociación Mexicana de Hidráulica

Tláloc AMH, nueva época, año 3, núm. 73 marzo 2021, es una publicación trimestral editada por la Asociación Mexicana de Hidráulica, A. C. Camino a Santa Teresa 187, colonia Parques del Pedregal, alcaldía Tlalpan, C.P. 14010, México, D.F. Teléfono 55 5171 4111. Editor responsable: Javier Aparicio. Reserva de derechos al uso exclusivo número 04-2018-051013431600-102, ISSN: en trámite, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derecho de Autor. Certificado de licitud de título y contenido número 17226, otorgado por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación.

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Editorial

XXXIV Consejo Directivo Nacional

PresidenteArturo Jesús Palma Carro

VicepresidenteDaniel Martínez Bazúa

Primer secretarioBenjamín Quiles León

Segundo secretarioJosé María Campos López

Tesorero Vicente Salgado Parra

VocalesSalvador Gaytán RangelRigoberto Laborín Valdez

amh.org.mx

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Tláloc, la revista oficial de la Asociación Mexicana de Hidráulica,

abre sus páginas a la colaboración de los especialistas que deseen compartir

artículos y noticias relacionados con el sector.

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Índice

Artículos técnicos¿De veras sabemos hidráulica e hidrología?1: Flujo en una bifurcaciónÁlvaro Alberto Aldama Rodríguez

Gestión de presión en redes sectorizadas de agua potable, ¿una alternativa para el suministro intermitente?Jesús Rubén Sánchez y cols.

Ajuste del método Muskingum a través de regresión lineal múltiple restringidaDaniel Francisco Campos Aranda

Tiempo de entrada de avenidas máximas en un vaso de almacenamiento. Caso de estudio: Presa El CaracolAna María Solís Encarnación y Claudia Rojas Serna

Agua para todosEstrés hídricoJuan Carlos Valencia Vargas

¿Se podrá garantizar el derecho humano al agua?Jorge Armando Nevárez Montelongo

I+D

Portada: Bifurcación en construcción.

Fuente: Internet.

4

19

26

33

42

44

Consejo EditorialPresidenteArturo Jesús Palma Carro

DirectorJavier Aparicio Mijares

ConsejerosÁlvaro Aldama RodríguezDaniel Fco. Campos ArandaJesús Campos LópezGuillermo Leal BáezHumberto Marengo MogollónAlejandra Martín DomínguezPolioptro Martínez AustriaEduardo Mestre RodríguezMarco Alfredo MurilloPatricia Ramírez PinedaJuan Carlos Valencia Vargas

Formación editorialLuisa Guadalupe Ramírez Martínez

4Tláloc Núm. 73 Enero-Marzo 2021 / Publicación oficial de la Asociación Mexicana de Hidráulica, A. C.

ARTÍCULO TÉCNICO

¿De veras sabemos hidráulica e hidrología? 1: Flujo en una bifurcación

ResumenA través de las ecuaciones de continuidad y de energía, se analiza el flujo de agua en una bifurcación. Se de-muestra que la forma tradicional de aplicar el principio de energía a este caso, es errónea. Se procede a dedu-cir rigurosamente la forma adecuada de dicho principio, mismo que se expresa en términos de flujos de energía.

MotivaciónA lo largo de mi carrera profesional, he tenido la opor-tunidad de observar que ciertos principios y métodos que se emplean en la práctica de la hidráulica y de la hidrología, se aplican de manera errónea o fuera de su ámbito de su validez. En este texto presento el primer caso de una serie de artículos que pretendo publicar en esta revista, órgano técnico de comunicación de la Asociación Mexicana de Hidráulica (AMH), con el obje-to de mostrar rigurosamente cómo evitar cometer las equivocaciones antes mencionadas, así como explicar la forma de aplicar principios fundamentales que rigen el comportamiento del agua. Con el objeto de hacer com-prensible el planteamiento de cada caso bajo estudio, los aspectos que requieran un tratamiento matemático avanzado, se incluirán en apéndices. Espero que todo lo anterior contribuya a fortalecer técnicamente a la AMH y a sus miembros, en tiempos en los que se privilegia que

Álvaro alberto aldama rodríguezEx-presidente de la AMH

“It ain’t what you don’t know that gets you into trouble.It’s what you know for sure that just ain’t so”, Mark Twain.

Traducción: “No es lo que no sabes lo que te mete en problemas.Es lo que sabes con certeza, que sim-plemente no lo es”, Mark Twain.

Ciertos principios y métodos que se em-plean en la práctica de la hidráulica y de la hidrología, se aplican de manera errónea o fuera de su ámbito de su validez.


los estudiantes y recién egresados adquieran destreza en el manejo de paquetes de cómputo comerciales, y los usen como “cajas negras” aunque desconozcan la teoría en que se apoyan, o sus límites de aplicabilidad.

IntroducciónEn este artículo se analiza el movimiento de un fluido en una de las estructuras más comúnmente en proyectos de ingeniería hidráulica: una bifurcación en una tubería a presión.

Con el objeto de afianzar conceptos, primeramente se analiza el caso de una contracción gradual en un conducto presurizado. Enseguida, se aborda el estudio analítico de la bifurcación.

Para el efecto, frecuentemente se utilizan los princi-pios primordiales de conservación de masa, de energía y de cantidad de movimiento, expresados en forma unidimensional. Como se demuestra rigurosamente en los apéndices, la forma del principio de energía aplicada en la práctica no es válida para el caso de una bifurcación. En su lugar, se propone utilizar una alternativa general.

Flujo en una contracción gradualConsidérese el movimiento permanente con densidad constante, de agua u otro líquido en una contracción gradual, como la mostrada en la Fig. 1.

En este caso, las ecuaciones de movimiento común-mente empleadas son la ecuación de continuidad (con-servación de masa) y de energía:

Q(I) = Q(II) = Q = const. (1)

{ } )()(

)(

)(2)(

)()(

)(2)(

)(

2][

2][

IIIpe

II

IIII

III

II

I

Hg

P

Hg

Ug

PHg

U

++

+=++

ρ

αρ

α

(2)

donde: Q(I) y Q(II) respectivamente representan los gas-tos de entrada (por la superficie S(I)) y de salida (por la superficie S(II)); U(I) y U(II) respectivamente simbolizan las velocidades de entrada y de salida; H(I) y H(II) corres-ponden a las elevaciones de entrada y de salida; P(I) y P(II) son las presiones de entrada y de salida; r es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad, y (I )

(II)peH{ } , la pérdida de carga (energía por unidad de

peso) entre las secciones I y II. La Ec. (2) despliega los términos que constituyen la energía mecánica o “carga hidráulica”, a saber: el primer término de ambos miem-bros, la carga de velocidad (energía cinética por unidad de peso); el segundo, la carga de posición (elevación o energía potencial por unidad de peso), y el tercero, la carga de presión (trabajo de las fuerzas de presión por unidad de peso). Esto permite trazar las denominadas líneas piezométrica y de energía, que son muy útiles como herramientas conceptuales para la representa-ción gráfica del balance energético en flujos a presión (Sotelo, 1974).

Las Ecs. (1) y (2) son las adecuadas para el análisis unidimensional del flujo en una contracción gradual. La deducción general de la Ec. (1) se presenta en el Apéndice A. La Ec. (2) (aunque correcta para el caso particular de un conducto con una entrada y una sa-lida) no está escrita en su forma general (véase el Apéndice C).

Figura 1. Esquema de una contracción gradual.

I

U ( I ) U ( II )

P ( I ), H( I ), A( I )

x1

II

S ( II )S ( I )

Sp

P ( II ), H ( II ) , A( II )

Vc

x2



Flujo en una bifurcaciónConsidérese ahora el movimiento permanente con densi-dad constante, de agua u otro líquido en una bifurcación, como la mostrada en la Fig. 2.

En este caso la ecuación de continuidad toma la forma siguiente (véase Apéndice A):

)()()( IIIIII QQQ += (3)

donde Q(I) es el gasto de entrada, y Q(II) y Q(III) son los gastos de salida. Al multiplicar la Ec. (3) por rg, cada término resultante adquiere el carácter de flujo de masa (esto es, masa por unidad de tiempo). Entonces, la Ec. (3) puede ser expresada en forma de texto así: “El flujo de masa entrante a una bifurcación es igual a la suma de flujos de masa salientes”.

En la práctica (véase Sotelo, 1974) se suele aplicar la ecuación de la energía entre las secciones I y II y entre las secciones I y III, como sigue:

)()(

)()(

2)()(

)()(

2)()(

2][

2][ II

Ipe

IIII

IIII

II

II H

gPH

gU

gPH

gU

+++=++ρ

αρ

α { } (4)

)()(

)()(

2)()(

)()(

2)()(

2][

2][ III

Ipe

IIIIII

IIIIII

II

II H

gPH

gU

gPH

gU

+++=++ρ

αρ

α { } (5)

donde: a es el coeficiente de corrección de Coriolis; U, velocidad; H, elevación; P, presión, y los superín-dices en paréntesis representan las secciones con las que cada variable se asocia. Además, (I )

(II)peH{ } y (I )

(III )peH{ }

las pérdidas de carga entre las secciones I y II, y I y III, respectivamente.

En el Apéndice C se demuestra rigurosamente que las Ecs. (4) y (5) son, en general, erróneas. La razón probable que podría explicar esa práctica infundada, es que el principio de Bernoulli establece la constancia de la suma de las cargas de velocidad, posición y presión para todo el campo de flujo (véase el Apéndice B). Dicho principio es válido para fluidos ideales, mas no reales. Añadir el término de pérdida de carga en las Ecs. (4) y (5) no resuelve el problema.

En el Apéndice C también se demuestra que la forma correcta de la ecuación de la energía para el flujo en una bifurcación es la siguiente:

Figura 2. Esquema de una bifurcación.

I

II

III

U( II )

θ( II )

θ ( III )U( I )

x2( I )

x1( I )

x2( II )

x1( II )

U( III )

P ( I ), H( I ) , A( I )

x2( III )

x1( III )

P( III ) , H( III ), A( III )

P( II ), H( II ) , A( II )




),()(

)()(

2)()(

)()(

2)()(

2][

2][

II )( IIIIpe

IIII

IIII

I)( II

II

H

gPH

gU

gQ )( IIQPH

gU

++++ρ

αρ

α

{

{ {}

} }=

)()(

2)()(

2][ III

)( IIIIIIIII

III

gQ )( IQPH

gU

+ ++ρ

α{ } (6)

donde (I )(II), (III )

peH{ } representa el flujo de pérdida de carga en la bifurcación.

Como se observa en la Ec. (6), las tres cargas en cada sección aparecen multiplicadas por los gastos o cauda-les que les corresponden. Al multiplicar dicha ecuación por rg, cada término resultante adquiere el carácter de flujo de energía (esto es, energía por unidad de tiempo). Entonces, la Ec. (6) puede ser expresada en forma de texto así: “El flujo de energía mecánica entrante a una bifurcación es igual a la suma de flujos de energía sa-lientes añadida al flujo total de pérdida de energía en la bifurcación”.

Conclusiones y recomendacionesEn este artículo se considera el análisis del flujo de agua u otro líquido en una bifurcación, a través de las ecua-ciones de continuidad y de energía. Se demuestra que la forma usual de escribir el balance de energía entrante y saliente, es conceptualmente errónea.

Al respecto, se concluye que la forma correcta de abordar el problema se fundamenta en los siguientes dos enunciados:

• “El flujo de masa entrante a una bifurcación es igual a la suma de flujos de masa salientes”.

• “El flujo de energía mecánica entrante a una bifurcación es igual a la suma de flujos de energía salientes añadida al flujo total de pérdida de energía en la bifurcación”.

En el desarrollo del texto se priorizó la claridad di-dáctica sobre la elegancia, sin sacrificar el rigor, dado el objetivo del artículo: “Contribuir a fortalecer técnicamente a la AMH, así como incentivar el interés de profesores e investigadores, así como de los miembros más jóvenes de nuestra Asociación en los fundamentos de la inge-niería del agua”.

Los resultados presentados en este trabajo se pue-den generalizar a cruceros o uniones de tuberías con múltiples influentes y efluentes.

Sería deseable que se desarrollen parametrizacio-nes adecuadas para las pérdidas de carga, a través de investigaciones experimentales para determinar coeficientes de pérdida, financiadas por instituciones normativas.

Apéndice A: Conservación de masaLa ecuación de conservación de masa para un fluido en movimiento se puede escribir en notación vectorial como (Levi, 1965):

0)( =·+ uρρt∂∂

∇ (A.1)

donde r representa la densidad instantánea; t, el tiempo; ∇, el operador nabla o gradiente, definido como:

∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∇ ),,(

zyxzyx++ kji≡ ≡ (A.2)

),,( wvuu ≡ , el vector de velocidad instantánea, siendo x, y y z, las componentes cartesianas del vector de po-sición x.

En notación indicial, la Ec. (A.1) se escribe como (Aris, 1989):

∂∂∂∂

0=+i

i

xu

tρρ (A.3)

donde se ha empleado la convención de suma de Eins-tein para índices repetidos. La Ec. (A.3) implica que

≡ ),,(),,( 321 xxxzyx=x y ),,( wvuu = ≡ ),,( 321 uuu .En el caso de que la densidad sea constante, la Ec.

(A.3) adopta la forma siguiente:

∂∂

0=i

i

xu (A.4)

Aplicando el promediado de Reynolds para flujos tur-bulentos, la Ec. (A.4) se convierte en:

∂∂

0=i

i

xu (A.5)

donde iu representa la i-ésima componente de la ve-locidad promediada en el sentido de Reynolds (siendo i=1, 2 o 3).

Ahora bien, con el objeto de derivar la forma volumé-tricamente integrada de las ecuaciones de movimiento, resulta necesario introducir el teorema de la divergencia o de Gauss, cuyo enunciado es: Sea una S una super-ficie suave por piezas, que rodea a una región R, y sea x un campo vectorial continuo con derivadas parciales continuas en R y sobre S. Entonces se cumple que (Hil-debrand, 1976):

·=·SR

dSdV nξ ξ∫ ∫∇ (A.6)

donde n es el vector unitario normal a S, según se mues-tra en la Fig. A.1. En notación indicial la Ec. (A.6) se escribe como:


S∫= ii

i

i dSnξdVxξ

R∫ ∂

∂ (A.7)

Considérese ahora un volumen de control, Vc, co-rrespondiente a un tramo de tubería a presión, como el mostrado en la Fig. 1 del texto principal de este artículo, mismo cuyas fronteras son las superficies de entrada, S(I)

y de salida, S(II), que poseen normales que son paralelas a la dirección “x1”, y S(p), que representa la superficie de pared. En otras palabras: R = Vc y )()()( IIpI SSSS = ∪ ∪ .

Intégrese ahora la Ec. (A.3) en el volumen Vc:

=ic

i dVxV

∫ ∂∂

u 0 (A.8)

Aplicando el teorema de la divergencia, Ec. (A.7), a la Ec. (A8), se obtiene:

∫ ∫ ∫ 0)()()(

=++IIpI S

iiS

iiS

ii dSnudSnudSnu (A.9)

De la observación de la Fig. 1, se desprende que:

)(1 en , I

ii Sunu =− (A.10)

)(1 en , II

ii Sunu = (A.11)

y, por la condición de frontera de no deslizamiento:

)(en 0, pi Su = , (A.12)

Empleando las Ecs. (A.10)-(A.12) en la Ec. (A.9), se llega a:

∫ ∫ 0)()(

=− +III S

iS

i dSudSu (A.13)

Evidentemente, la Ec. (A.13) se puede escribir como:

)( IIU )( IIA)( IU )( IA = (A.14)

donde A(I) y A(II) respectivamente representan las áreas de las secciones trasversales de la contracción mostradas en la Fig. 1 mientras que U(I) y U(II) respectivamente re-presentan las velocidades promedio en las secciones I y II, las cuales están definidas como sigue:

=)(

1)()( 1

ISI

I dSuA

U ∫ (A.15)

=)(

1)()( 1

IISII

II dSuA

U ∫ (A.16)

La Ec. (A.14) también se puede escribir como:

)()( III QQ = (A.17)

donde,

)()( II U )( IAQ = (A.18)

)()( IIII U )( IIAQ = (A.19)

son los gastos o caudales que conduce la tubería en las secciones I y II, respectivamente.

En la práctica las Ecs. (A.14) y (A.17) son las más comunes expresiones del principio de continuidad.

Considérese ahora el flujo de densidad constante en una bifurcación como la mostrada en la Fig. 2 del texto principal. En este caso, R = Vc y )()()( IIpI SSSS = ∪ ∪

)( IIIS∪ . Entonces, al aplicar el teorema de la divergencia a la Ec. (A.7), resulta en:

∫ ∫)()(

+ +pI S

iS

i dSudSu in in ∫ 0)(

=IIIS

i dSu in+ ∫)( IIS

i dSu in (A.20)

Con base en la Fig. 2, se tiene que:

)()(1 en , II

ii Sunu =− (A.21)

)()(1 en , IIII

ii Sunu = (A.22)

)()(1 en , IIIIII

ii Sunu = (A.23)

donde se sobreentiende la invariancia del producto esca-lar o interno, y los superíndices identificados con nume-rales romanos en paréntesis se asocian con la superficie de entrada, S(I), o con las superficies de salida, S(II) y S(III), a partir de las cuales se determinan los sistemas coor-

Figura A.1. Ilustración para el teorema de la divergencia.

S

RdS

dV

n




denados mostrados en la Fig. 2, que se han elegido de modo que la componente “1” sea paralela a la normal de S(I), S(II) y S(III).

Además, por la condición de no deslizamiento:

)(en pi S0,u = (A.24)

Substituyendo las Ecs. (A.21)-(A.24) en la Ec. (A.20), se llega a:

∫ ∫ 0)()(

− +III S

iS

i dSudSu ( I ) ( I I ) ∫)(

+ =IIIS

i dSu ( I I I ) (A.25)

Evidentemente, la Ec. (A.25) se puede escribir como:

)()()()()()( IIIIIIIIIIII AUAUAU += (A.26)

donde A(I), A(II) y A(III) respectivamente representan las áreas de las secciones trasversales de la bifurcación mostradas en la Fig. 2, mientras que U(I), U(II) y U(III) respectivamente representan las velocidades promedio en las secciones I, II y III, las cuales están definidas como sigue:

∫=)(

)(1)(

)( 1IS

II

I dSuA

U (A.27)

∫=)(

)(1)(

)( 1IIS

IIII

II dSuA

U (A.28)

∫=)(

)(1)(

)( 1IIIS

IIIIII

III dSuA

U (A.29)

La Ec. (A.26) también se puede escribir como:

= =)()( III Q )(IIIQQ (A.30)

donde,

= =)()( II U )(IAQ (A.31)

= =)()( IIII U )(IIAQ (A.32)

= =)()( IIIIII U )(IIIAQ (A.33)

son los gastos o caudales que conduce la tubería en las secciones I, II y III, respectivamente.

Desde la perspectiva de la mecánica de fluidos, la ex-presión verbal del principio de continuidad representado por la Ec. (A.30) es la siguiente: “El flujo de volumen en la sección de entrada es igual a la suma de los flujos de volumen en las secciones de salida”.

Apéndice B: La ecuación de BernoulliCafaggi (2020) publicó en esta revista una interesante descripción de la historia del principio de Bernoulli, que a su vez constituye un excelente preámbulo del tema tratado en este artículo. A continuación se presenta una breve deducción de la célebre ecuación que se asocia con dicho principio. Como punto de partida se usará la ecuación de Euler, que es la expresión matemática del principio de cantidad de movimiento o segunda ley de Newton aplicada a la descripción de flujos con viscosidad nula (Yih, 1979):

guuu+=·+ p

t ρ1)( −

∂∂

∇ ∇ (B.1)

donde u es el vector velocidad; p, la presión; g, la ace-leración de la gravedad; r, la densidad; t, el tiempo, y )/,/,/( zyx∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇≡ , siendo ≡ ),,( zyxx el vector de posición en coordenadas cartesianas.

En aras del rigor, debe decirse que un flujo ideal o no viscoso no es equivalente a un flujo irrotacional. No obstante, el teorema de Helmholtz establece que un flujo inicialmente irrotacional en todo el espacio de flujo, se mantiene irrotacional para todo tiempo (Panton, 1984). Este importante resultado permite expresar el campo de velocidades como sigue:

u = φ∇ (B.2)

donde f es el potencial de velocidades. En efecto, la Ec. (B.2) permite satisfacer trivialmente la condición de irrotacionalidad:

∇ ∇ ∇

0k

ji

kjiu

+

+=

=

− −

−

=

xyyx

zxxzyzzy

zyxzyx

φφ

φφφφ

φφφ

φ

22

2222

//////)( ∂

∂

∂ ∂∂∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂∂∂∂∂

× ×

≡ (B.3)

que demuestra que el rotacional de un gradiente se anula idénticamente.

El principio de Bernoulli establece la constancia de la suma de las cargas de velocidad, posición y presión para todo el campo de flujo. Dicho principio es válido para fluidos ideales, mas no reales.


Es sencillo demostrar que, en general,

)21( 2uuuu +=· ∇∇ ×ζ (B.4)

donde uζ ∇≡ × es la vorticidad.Pero en flujo irrotacional 0ζ ≡ ; por tanto:

)21( 2uuu =· ∇∇ (B.5)

En lo tocante al segundo término del miembro de-recho de la Ec. (B.1), a continuación se demuestra que el vector aceleración de la gravedad es igual a – g mul-tiplicada por el gradiente de la elevación medida verti-calmente, h:

ii x

hgghg == − −;g ∇∂∂

(B.6)

donde la segunda ecuación en la expresión anterior está escrita en notación indicial cartesiana.

En efecto, sea S un sistema de coordenadas cartesiano caracterizado por el vector de posición

),,(),,( 321 xxxzyx=x ≡ , y S’, un sistema coordenado trans-formado por rotación al que se asocia el vector de posición

),,(),,( 321 xxxzyx=x ≡’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ . Estos sistemas están relacionados por la siguiente ley de transformación (Aris, 1989):

jiji xCx =’ (B.7)

donde ),cos( jiij xxC = ’ es el tensor de cosenos directores de las coordenadas transformadas.

Supóngase ahora que h está alineada en la direc-ción de la coordenada mx’ del sistema trasformado S’. Entonces,

),cos(

const.

immi

jimji

jmj

ijmj

xxC

Cxx

CxhxCh

==

==+= δ∂∂

∂

∂'

⇒ (B.8)

donde dij es la delta de Kronecker. En otras palabras, el gradiente de h es igual a las componentes (cosenos directores) del vector unitario en la dirección vertical, que coincide con el negativo del vector unitario en la dirección de la aceleración de la gravedad, esto es:

gh g= −∇ (B.9)

Por tanto:

−∇ ∇ ∇ 0g = hg× × ≡ (B.10)

en vista de la identidad antes demostrada (véase Ec. (B.3)).

Substituyendo las Ecs. (B.5) y (B.6) en la ecuación de Euler (B.1), se obtiene:

∇ 0u =+++ ghpt ρφ 2

21∂

∂ (B.11)

donde se ha supuesto que la densidad es constante y que las derivadas temporal y espaciales de f son conti-nuas y, por tanto, el orden de la diferenciación se puede intercambiar.

De la Ec. (B.11) se desprende que:

∂∂

)(21 2 tghp

t=+++

ρφ u (B.12)

donde, como es convencional, )(· representa una fun-ción.

La Ec. (B.12) constituye la ecuación de Bernoulli para flujo irrotacional no permanente.

Si el flujo es permanente, )=C=consante(t , por lo que la Ec. (B.12) toma la forma

21 2 Cghp

=++ρ

u (B.13)

O, dividiendo entre g:

2g

2

Khp=++

γ

u (B.14)

donde g = rg el peso específico del fluido , y K=C/g es constante para todo el campo de flujo.

La Ec. (B.14) es la forma más empleada en hidráulica, dado que tiene una interpretación geométrica práctica, siendo / (2g )2u , la “carga de velocidad”, p/g, la “carga de presión”, y h, “la carga de posición”; todas ellas medidas a lo largo de la dirección vertical. Obsérvese que, de acuerdo con las unidades de los sumandos que aparecen el miem-bro izquierdo de la Ec. (B.14), los mismos que representan energías por unidad de peso. Así, / (2g )2u es la energía cinética por unidad de peso, p/g, es el trabajo realizado por las fuerzas de presión, por unidad de peso, y h es la energía potencial por unidad de peso. En vista de lo anterior, la Ec. (B.14) suele identificarse como el principio de conservación de energía mecánica, aunque en realidad es la integral de la ecuación de Euler, que es la expresión del principio de cantidad de movimiento en fluidos no viscosos.

Apéndice C: Transporte de la energía mecánica en flujo turbulentoEcuaciones de movimiento instantáneasLas ecuaciones que rigen el movimiento tridimensional de un fluido de densidad constante son la de continuidad o conservación de masa y la de cantidad de movimiento o de Navier Stokes (Panton, 1984). La primera de ellas,




para flujo instantáneo, se introdujo en el Apéndice A, como Ec. (A.4). La segunda ecuación de movimiento, en notación indicial, se expresa como:

jj

ii

ij

jii

xxug

xp

xuu

tu

++=−+21

νρ

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂∂∂∂ (C.1)

donde n es la viscosidad cinemática y los demás pará-metros y variables han sido previamente identificados.

Ecuaciones de movimiento promediadas según ReynoldsUtilizando descomposiciones de Reynolds para las va-riables de flujo (como la suma de promedio y fluctuación turbulenta) en las Ecs. (A.4) y (C.1), aplicando el prome-diado de Reynolds (entendido como promedio de en-samble), y empleando los postulados de Reynolds, se obtienen las denominadas ecuaciones de Reynolds que describen el flujo turbulento (Monin and Yaglom, 1971): la ecuación de continuidad (A.5) y

∂

∂∂∂

∂∂

j

iji

j

jii

xg

xuu

tu

+=+τ

ρρρ (C.2)

donde iu es la í-esima componente del vector velocidad promediado:

zxyxxx 321 ,,≡ ≡ ≡ (C.3)

wuνuuu 321 ,,≡ ≡ ≡ (C.4)

jii

j

j

iijij uu

xu

xup ++=− − ρμδτ∂ ∂

∂∂' ' (C.5)

En la Ec. (C.5), ijτ representa el tensor de esfuerzos promediado y p , la presión promediada, siendo m=rn es la viscosidad dinámica del fluido. Asimismo, en la Ec. (C.5), δij s la delta de Kronecker, definida como sigue:

==

jiji

ij ,0,1

δ { ≠ (C.6)

Ecuación de la energía mecánicaAhora se presentará una deducción general de la ecua-ción de transporte de la energía mecánica, partiendo de las ecuaciones de Reynolds. Para el efecto, multiplíquese la Ec. (C.2) por iu :

j

ijiii

j

jiiii

j

ijiii

j

iij

ii

j

ijiii

j

iji

ii

xuug

xuuu

tuu

xuug

xuuu

tuu

xuug

xuuu

tuu

+=+

+=+

+=+

τρ

ρρ

τρ

ρρ

τρρρ

22

22

∂

∂

∂∂

∂ ∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

⇒

⇒ (C.7)

donde se ha usado la ecuación de continuidad prome-diada, Ec. (A.5), así como la identidad siguiente:

∂∂

∂∂χχ

iiii

uuuu21

≡ (C.8)

siendo χ cualquier variable.Por otra parte, la aceleración de la gravedad puede

ser expresada como sigue (véase Ec. (B.9)):

∂∂xi

ihg g=− (C.9)

donde g, como anteriormente, es la magnitud de di-cho vector y h, la elevación medida verticalmente. Por tanto:

∂∂ ∂

∂

i

ii

iii x

uhguxhgug = −= − ρρρ (C.10)

donde se ha usado la ecuación de continuidad, Ec. (A.5).Ahora bien, usando la Ec. (C.5), se tiene que:

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂

∂

∂

∂∂∂∂

j

iji

i

i

jii

j

j

iij

ji

j

iji

xu

xup

uu' 'xu

xup

xu

xu

+= −

++−=

τ

ρμδτ

~

−

(C.11)

donde, ijτ es el tensor de esfuerzos visco-turbulentos, en vista de que incluye los efectos viscosos y los esfuerzos de Reynolds. Más precisamente:

∂ ∂ ∂

∂∂∂ jii

j

j

i

jij uu' '

xu

xu

x+= ρμτ~ − (C.12)

Substituyendo las Ecs. (C.10) y (C.11) en la Ec. (C.7), se obtiene:

j

iji

i

i

i

i

j

jiiii

xu

xup

xuhg

xuuu

tuu

+−−=+τ

ρρρ ~

22∂∂

∂

∂∂ ∂ ∂

∂∂∂ (C.13)

Evidentemente:

j

ij i

j

i

j xu

xu

xiu −=τ~∂ ijτ~∂ ∂

∂∂∂ ijτ~ (C.14)

de donde la Ec. (C.13) se convierte en:

j

ij

i

i

i

i

j

jiiii

xxu iup

xuhg

xuuu

tuu

+−

−

−=+τ

ρρρ ~

ijτ~

22∂∂

∂

∂∂ ∂ ∂

∂∂∂

j

i

xu∂∂

(C.15)

que es la forma diferencial de la ecuación de transporte de la energía mecánica.

La Ec. (C.15) también puede ser escrita como:


∂∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂∂

��54321

~~

2 j

iij

j

iij

i

i

i

iii

xu

xu

xup

xughuu

DtD

+ −−=+ ττρρ

(C.16)

donde

∂ ∂∂∂ j

j xu

tDtD

+≡ (C.17)

es el operador de derivada material asociado con la velocidad promediada.

Los términos que aparecen en la Ec. (C.16) tienen la siguiente interpretación física: el denominado con el número “1” significa la tasa de cambio en el tiempo, siguiendo el movimiento del fluido, de la energía cinética por unidad de volumen; el denominado con el núme-ro “2”, la tasa de cambio en el espacio de la energía potencial por unidad de volumen; el denominado con el número “3”, la tasa de cambio en el espacio del tra-bajo realizado por las fuerzas de presión, por unidad de volumen; el denominado con el número “4”, la tasa de cambio en el espacio del trabajo realizado por los esfuerzos visco-turbulentos, por unidad de volumen, y el denominado con el número “5”, la disipación interna de energía, por unidad de volumen. Vale la pena estudiar la naturaleza de este último término como a continuación se explica.

Para lograr lo anterior, primeramente es conveniente introducir el modelo de viscosidad turbulenta de Boussi-nesq para los esfuerzos de Reynolds (Rodi, 2000):

++− −=i

j

j

itijji x

uxukuu μδρρ

32

’ ’∂∂ ∂

∂ (C.18)

donde mt representa la viscosidad turbulenta y

iiuu21

’ ’k ,≡ (C.19)

la energía cinética turbulenta por unidad de masa.Substituyendo la Ec. (C.18) en la Ec. (C.12) se

obtiene:

++−=i

j

j

itij x

uxuk μδρ

32 ∂

∂ ∂

∂ijτ

~ (C.20)

donde

tT +=μ μ μ (C.21)

significa la viscosidad total.De acuerdo con la Ec. (C.20) se tiene que:

+++++=

+++++=

++

=++=

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

3

1

3

1

2

1

2

1

1

1

1

1

3

3

2

2

1

1

332211

0

32

32

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xuk

xu

xu

xu

xuk

xu

T

j

j

j

j

j

j

jjjjjjT

j

i

i

j

j

i

j

iT

i

i

j

i

i

j

j

iTij

j

i

j

iij

��

~τ

μ

μρ ρ

μ

μ

++++++++=

=++++++

++++++

2

3

1

1

32

2

3

3

22

1

2

2

12

3

32

2

22

1

1

3

3

3

3

2

3

3

2

1

3

3

1

3

2

2

3

2

2

2

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

3

3

3

3

2

3

2

3

1

3

1

3

222xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

Tμ

(C.22)

El resultado anterior demuestra que si mT ≥ 0, condi-ción de factibilidad física de todo modelo de turbulencia, entonces la disipación interna es no negativa. Lo anterior es compatible con la segunda ley de la termodinámica (véase por ejemplo, White, 1974).

Ecuación volumétricamente integrada de la energíaCon el objeto de derivar la forma volumétricamente inte-grada de la ecuación de la energía, se aplicará de nuevo el teorema de la divergencia o de Gauss, en la forma expresada por la Ec. (A.7).

Considérese ahora un volumen de control, Vc, co-rrespondiente a una contracción gradual de una tubería a presión, como el mostrado en la Fig. 1 del texto prin-cipal de este artículo, mismo cuyas fronteras son las superficies de entrada, S(I), y de salida, S(II), que poseen normales que son paralelas a la dirección “x1”, y S(p), que representa la superficie de pared.

Intégrese ahora la Ec. (C.15) en el volumen Vc:

dVxu

xu

xup

xuhg

dVx

uuutuu

c

c

V j

iij

j

iij

i

i

i

i

V j

jiiii

+ −−= −

+

ττ

ρ

ρρ

~~

22∂

∂ ∂

∂

∂∂

∂ ∂

∂ ∂∂

∂ (C.23)

Supóngase ahora que el flujo sea permanente (por lo que 0/ =tuu ii∂ ∂ ) y, como antes, que la densidad sea constante. Aplíquese el teorema de la divergencia, Ec.




(A.7), al segundo término del miembro izquierdo de la Ec. (C.23) y a los tres primeros términos del miembro derecho de dicha expresión, y reordénese el resultado:

dVxudSunnupghuu

dSunnupghuu

dSunnupghuu

cII

p

I

V j

iij

Sijijjj

ii

Sijijjj

ii

Sijijjj

ii

=−++++

+++++

+++

ττρρ

τρρ

τρρ

~~2

~2

~2

)(

)(

)(

dS

∂

∂ (C.24)

Ahora bien, en S(I):

1321 0,0,1)0,0,1( ununnn jj ===== − − −n (C.25)

Asimismo, en S(p), por la condición de no desliza-miento:

0=iu (C.26)

Finalmente, en S(II):

1321 0,0,1)0,0,1( ununnn jj =====n en S (II) (C.27)

Por tanto, la Ec. (C.24) puede ser expresada como:

dVxudSundSupghuu

dSundSupghuu

cIIII

II

V j

iij

Sijij

S

ii

Sijij

S

ii

= −++++

− +++

ττρρ

τρρ

~~2

~2

)()(

)()(

1

1

∂

∂ (C.28)

Desglosando las sumas implícitas en la Ec. (28), se llega a:

333332323131

23232222212113131212

1111332211

~~~

~~~~~

~~~~~

ununun

ununununun

ununununun jjjjjjijij

τττ

τττττ

τττττ

+++

+++++

=++=

(C.29)

Tomando en cuenta las Ecs. (C.25) y (C.27) en la Ec. (C.29), resulta en:

)(331221111

313121211111

)~~~(

~~~~I

ijij

Senuuuunununun

τττ

ττττ

++= −

++=

(C.30)

)(331221111

313121211111

~~~~~~~

IIijij

Senuuuunununun

τττ

ττττ

++=

++= (C.31)

Por tanto, la Ec. (C28) puede escribirse como:

dVxu

dS

dS

upghuu

upghuu

c

II

I

V j

iij

S

ii

11S

ii

= −

+++

− + + ++

τ

ρρ

τρρ

2

2

)(

)(

1

1 u1 21τ u2 + 31τ u3

11+ +τ u1 21τ u2 + 31τ u3

∂

∂ (C.32)

De acuerdo con la Ec. (C.12):

1

21

21

12

11 2~xu’

xu

= − ρμτ∂∂ ∂

∂ (C.33)

+ −= 122

1

1

2

121

~ uu’ ’xu

xu

xρμτ

∂∂

∂∂

∂∂

(C.34)

+ −= 133

1

1

3

131

~ uu’ ’xu

xu

xρμτ

∂∂

∂∂

∂∂

(C.35)

Las Figs C.1 y C.2 muestran que la orientación de los esfuerzos definidos por las Ecs. (C.33)-(C.35) coincide con la dirección del eje x1.

Además, las Ecs. (C.33)-(C. 35) implican que:

2122

1

1

2

1

11

21

21

12

331221111 2~~~

uuuxu

xu

x

uxu

xuuuu

+

+ −+

= −++

ρμ

ρμτττ∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

' '

3133

1

1

3

1uuu

xu

xu

x+ − ρμ

∂∂

∂∂

∂∂

' '

'

(C.36)

Figura C.1. Esfuerzos asociados con planos paralelos a los planos coordenados.

τ21 τ22

Δ

Δ

Δ

x1

x3

x2τ11

τ13

τ12

τ23τ31

τ33τ32


Queda claro que el término 331221111~~~ uuu ++ τττ repre-

senta la tasa de cambio en el tiempo del trabajo realizado por los esfuerzos visco-turbulentos con dirección paralela a x1, por unidad de superficie.

Es usual definir a la presión modificada como:

11τ= −pp (C.37)

Los signos presentes en la ecuación anterior obede-cen a que, bajo la convención más usual, la presión p es considerada positiva cuando actúa como compresión, mientras que el esfuerzo normal 11τ es caracterizado como positivo cuando es de tensión.

Adicionalmente, sea la integral de la disipación que aparece en el miembro derecho de la Ec. (C.32), deno-tada como:

[ ] dVxuD

cV j

iij

III = τ)()(

∂

∂ (C.38)

donde [ ]D III

)()( es la disipación de energía mecánica (o su

transformación en calor), entre las secciones (I) y (II) del tubo mostrado en la Fig. 1 de la sección principal de este artículo.

Substituyendo las Ecs. (C.37) y (C.38) en la Ec. (C.32) y reordenando el resultado, se obtiene:

[ ] )()(3312211

23

221

21

33122112

32

21

21

)(

)(

)(22

)(22

III

S

S

DdSuuuuuupghu

dSuuuuuupghu

II

I

+++++++=

++++++

ττρ

ρρ

ττρ

ρρ

(C.39)

Obsérvese que

dQdSu =1 (C.40)

donde dQ es una diferencial de gasto o caudal.Entonces:

)()()()()(

1

][

)()(

)()(

)()()()(

III

S

I

S

I

SSSS

QPgHdQPdQgH

dQphdQgdQpghdSupgh

II

IIII

+=+=

=+=+=+

ρρ

ρρρ

(C.41)

donde se ha usado el teorema del valor medio del cálculo integral; H(I) es la elevación media y P(I), la presión me-dia, ambas en S(I), sección de entrada de la contracción gradual mostrada en la Fig. 1. Asimismo, Q(I) representa el gasto de entrada.

De manera similar:

)()()(1 ][)(

)(

IIIIII

S

QPgHdSupghII

+=+ ρρ (C.42)

siendo H(II), la elevación media, P(II), la presión media, y Q(II), el gasto de salida, variables asociadas con S(II), la sección de salida de la contracción gradual.

Ahora bien, defínanse los coeficientes de corrección de flujo de energía cinética o de Coriolis en las secciones (I) y (II) de la contracción gradual, como sigue

dSUu

A ISII

I =)(

3

)(1

)()( 1

α (C.43)

dSUu

A IISIIII

II =)(

3

)(1

)()( 1

α (C.44)

Por tanto:

)(2)(

)(

)()(2)(

)(3

)(1

1

21

2][

2][

22 )()(

II

I

III

I

SI

S

QU

AUUdSUudSuu

II

ρα

ραρρ

=

==

(C.45)

)(

2)()(

)()(2)(

)(3

)(1

1

21

2][

2][

22 )()(

IIII

II

IIIIII

II

SII

S

QU

AUUdSUudSuu

IIII

ρα

ραρρ

=

==

(C.46)

Substituyendo las Ecs. (C.41), (C.42), (C.45) y (C.46) en la Ec. (C.39), resulta en:

[ ] )()()()()()(

)()()(2)(

)(

)()()(2)(

)(

2][

2][

IIvt

Ivt

IIec

Iec

III

IIIIIIII

II

IIII

I

TTRRD

QPgHU

QPgHU

+− − −+

++=

++

ρρα

ρρα

(C.47)

donde:

dSuuuRIS

Iec +=

)(1

23

22

)( )(2ρ

(C.48)

Figura C.2. Nomenclatura para la designación de esfuerzos.

τijnormal al plano dirección




dSuuuRIIS

IIec +=

)(1

23

22

)( )(2ρ (C.49)

son los residuales de flujo de energía cinética, correspon-dientes a las componentes de velocidad transversales a la dirección del flujo principal, y respectivamente aso-ciados con las superficies S(I) y S(II); y:

dSuuTIS

Ivt +=

)(

)( 331221)( ττ (C.50)

dSuuTIIS

IIvt +=

)(

)( 331221)( ττ (C.51)

representan los flujos de trabajo realizado por las fuerzas visco-turbulentas asociados con las superficies S(I) y S(II).

Debe enfatizarse que la Ec. (C.47) es un resultado exacto. Para llegar a ella no se ha empleado aproxima-ción alguna.

Dividiendo la Ec. (C.47) por rg, se obtiene:

{ } QHQg

PHg

U

Qg

PHg

U

IIIpe

IIII

IIII

II

II

II

I

)()(

)()(

)(2)(

)(

)()(

)(2)(

)(

2][

2][

+++=

++

ρα

ρα

(C.52)

donde

{ } [ ]gQ

TTRRDH

IIvt

Ivt

IIec

Iec

IIIII

Ipe ρ

)()()()()()()(

)(

+=

− − − (C.53)

es la pérdida de carga entre las secciones (I) y (II). El significado de Q quedará claro a continuación.

Por continuidad:

const.)()( === QQQ III (C.54)

Esto indica que para simplificar la Ec. (C.54) es con-veniente dividir por Q. No obstante, la forma en que está escrita dicha ecuación es la más general, ya que es la representación matemática del siguiente principio: “El flujo de energía mecánica en la sección de entrada es igual al flujo de energía mecánica en la sección de salida sumado al flujo de pérdidas de energía”.

Dividiendo la Ec. (52) entre Q, resulta en:

{ } )()(

)(

)(2)(

)()(

)(2)(

)(

2][

2][

IIIpe

II

IIII

III

II

I

Hg

P

Hg

Ug

PHg

U

++

+=++

ρ

αρ

α

(C.55)

Con frecuencia se supone que las componentes transversales a la dirección principal del flujo ( 1u ) son nulas (o muy pequeñas en comparación con 1u ):

032 == uu (C.56)

Si la Ec. (C.56) es válida,

0)()()()( ==== IIvt

Ivt

IIec

Iec TTRR (C.57)

y, consecuentemente, la Ec. (C.53) adopta la siguiente forma simplificada:

{ } [ ]gQ

DH

IIIII

Ipe ρ

)()()(

)(= (C.58)

lo cual tiene sentido físico, pues la pérdida de carga es proporcional a la disipación del flujo de energía mecánica. No obstante, una contracción como la mostrada en la Fig. 1 induce componentes transversales, de modo que (C.56) no sería válida, a menos que la sección (II) se desplace a una distancia suficientemente grande del extremo aguas abajo de la contracción, sobre un tubo rectilíneo con diámetro constante.

Ahora se procederá a derivar la forma volumétrica-mente integrada de la ecuación de la energía para el flujo en una bifurcación como la mostrada en la Fig. 2 del texto principal. Para el efecto, se aplicará de nuevo el teorema de la divergencia o de Gauss, en la forma ex-presada por la Ec. (A.7) al volumen de control, Vc, cuyas fronteras son las superficies de entrada, S(I), y de salida, S(II) y S(III). Intégrese ahora la Ec. (C.15) en el volumen Vc bajo la suposición de que el flujo sea permanente y de densidad constante. Aplíquese selectivamente el teorema de la divergencia y reordénese el resultado:

dVxu

dSunnupghuu

dSunnupghuu

dSunnupghuu

dSunnupghuu

c

III

II

p

I

V j

iij

Sijijjj

ii

Sijijjj

ii

Sijijjj

ii

Sijijjj

ii

= −

++++

++++

+++++

+++

τ

τρρ

τρρ

τρρ

τρρ

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(

∂

∂ (C.59)


Obsérvese que los integrandos en la ecuación ante-rior son escalares y, por tanto, invariantes con respecto al sistema coordenado que se use para calcularlos. Esta consideración simplificará el desarrollo matemático que a continuación se presenta.

En la Fig. 2 se indican tres sistemas coordenados:

],,[: )(3

)(2

)(1

)()( IIIII xxx=xΣ (C.60)

],,[: )(3

)(2

)(1

)()( IIIIIIIIII xxx=xΣ (C.61)

],,[: )(3

)(2

)(1

)()( IIIIIIIIIIIIIII xxx=xΣ (C.62)

Como se puede ver, cada sistema se identifica con la letra sigma mayúscula y un superíndice en paréntesis que se identifica con el mismo número romano asociado con la superficie de entrada S(I), o de salida, S(II) y S(III). Asimismo, en las Ecs. (C.60)-(C.62), se indican los vec-tores de posición y sus correspondientes coordenadas.

De acuerdo con lo anterior, en S(I):

)()()(

)(3

)(2

)(1

)( 0,0,1)0,0,1(I

jI

jI

j

jjIIII

unu

nunnn

==

==== − −

−

n

(C.63)

Asimismo, en S(p), por la condición de no desliza-miento:

0=iu (C.64)

Finalmente, en S(II) y S(III):

)()()(

)(3

)(2

)(1

)( 0,0,1)0,0,1(II

jII

jII

j

jjIIIIIIII

unu

nunnn

=−=

=== −= −n

(C.65)

)()()(

)(3

)(2

)(1

)( 0,0,1)0,0,1(III

jIII

jIII

j

jjIIIIIIIIIIII

unu

nunnn

=−=

=== −= −n

(C.66)

Por tanto, la Ec. (C.54) puede ser expresada como:

dVxu

dSundSupghuu

dSundSupghuu

dSundSupghuu

c

IIIIII

IIII

II

V j

iij

III

Si

IIIj

IIIij

S

IIIIII

iIII

i

II

Si

IIj

IIij

S

IIII

iII

i

I

Si

Ij

Iij

S

II

iI

i

−=

+++

++++

+++−

τ

τρρ

τρρ

τρρ

2

2

2

)()()()(1

)()(

)()()()(1

)()(

)()()()(1

)()(

)()(

)()(

)()(

∂

∂ (C.67)

Tomando en cuenta las Ecs. (C.29)-(C.31), la Ec. (C.67) puede escribirse como:

dVxu

upghuu

upghuu

upghuu

c

III

II

I

V j

iij

S

IIIIII

iIII

i

S

IIII

iII

i

S

II

iI

i

−=

++

+++

++−

τ

ρρ

ρρ

ρρ

2

2

2

)(1

)()(

)(1

)()(

)(1

)()(

)(

)(

)(

∂

∂

dSuuu

dSuuu

dSuuu

IIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

IIIIII

+++

+++

+++

τττ

τττ

τττ

)(3

)(31

)(2

)(21

)(1

)(11

)(3

)(31

)(2

)(21

)(1

)(11

)(3

)(31

)(2

)(21

)(1

)(11

(C.68)

Defínase la presión modificada como:

)()(11 en II Spp τ−= (C.69)

)()(11 en IIII Spp τ−= (C.70)

)()(11 en IIIIII Spp τ−= (C.71)

Denótese la integral de la disipación que aparece en el miembro derecho de la Ec. (C.68), como:

[ ] dVxuD

cV j

iij

IIIIII = τ)(),()(

∂

∂ (C.72)

donde [ ]D III

)()( es la disipación de energía mecánica (o su

transformación en calor), entre las secciones (I), y (III) de la bifurcación mostrada en la Fig. 2 de la sección principal de este artículo.

Substituyendo las Ecs. (C.69)-(C.72) en la Ec. (C.68) y reordenando el resultado, se obtiene:

( )

[ ]

[ ]

[ ] )(),()(

)(3

)(31

)(2

)(21

)(1

2)(3

2)(2

)(1

2)(1

)(3

)(31

)(2

)(21

)(1

2)(3

2)(2

)(1

2)(1)(

3)(

31)(

2)(

21

)(1

2)(3

2)(2

)(1

2)(1

)(

)(

)(

)()(22

][

)()(2

2][

][][22

][

IIIIII

S

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIII

S

IIIIIIIIIIIIII

IIII

S

IIII

IIIII

DdSuu

uuuupghu

dSuuuuu

upghudSuu

uuuupghu

III

II

I

+++

+++++

++++

++=++

++++

ττ

ρρ

ρ

ττρ

ρρ

ττ

ρρ

ρ

(C.73)

Nótese que: )()(1

II dQdSu = , donde dQ es una diferen-cial de gasto o caudal.




Entonces:

)()()(

)()(1

][

)()()()(

IIIS

I

S

I

QPgH

dQpghdSupghII

+=

+=+

ρ

ρρ

(C.74)

donde se ha usado el teorema del valor medio del cálculo integral; H(I) es la elevación media; P(I), la presión media, ambas en S(I) (sección de entrada a la bifurcación), y Q(I) representa el gasto de entrada.

Además:

)()()()(1 ]])(

)(

IIIIII

S

II QPgHdSupghII

+=+ ρρ (C.75)

)()()()(1 ]])(

)(

IIIIIIIII

S

III QPgHdSupghIII

+=+ ρρ (C.76)

siendo H(II) y H(III), las elevaciones medias, P(II) y P(III), las pre-siones medias, y Q(II) y Q(III), los gastos de salida, variables respectivamente asociadas con S(II) y S(III), las secciones de salida de la bifurcación (véase Fig. 2).

Los coeficientes de corrección de flujo de energía cinética o de Coriolis en las secciones (I) y, (II) y (III) de la bifurcación, están dados por:

dSUu

A ISI

I

II =

)(

3

)(

)(1

)()( 1

α (C.77)

dSUu

A IISII

II

IIII =

)(

3

)(

)(1

)()( 1

α (C.78)

dSUu

A IIISIII

III

IIIIII =

)(

3

)(

)(1

)()( 1

α (C.79)

Por tanto:

)(2)(

)()(1

2)(1

2][

2][

)(

II

I

S

II

QUdSuuI

ραρ

= (C.80)

)(2)(

)()(1

2)(1

2][

2][

)(

IIII

II

S

IIII

QUdSuuII

ραρ

= (C.81)

)(2)(

)()(1

2)(1

2][

2][

)(

IIIIII

III

S

IIIIII

QUdSuuIII

ραρ

= (C.82)

Substituyendo las Ecs. (C.74)-(C.76), y (C.80)-(C.82) en la Ec. (C.73), resulta en:

[ ] )()()()()()()(),()(

)()()(2)(

)(

)()()(2)(

)(

)()()(2)(

)(

2][

2][

2][

IIIvt

IIvt

Ivt

IIIec

IIec

Iec

IIIIII

IIIIIIIIIIII

III

IIIIIIII

II

IIII

I

TTTRRRD

QPgHU

QPgHU

QPgHU

++−++−+

+++

++=

++

ρρα

ρρα

ρρα

(C.83)

donde:

dSuuuRIS

Iec +=

)(1

23

22

)( )(2ρ[ [

(C.84)

dSuuuRIIS

IIec +=

)(1

23

22

)( )(2ρ[ [

(C.85)

dSuuuRIIIS

IIIec +=

)(1

23

22

)( )(2ρ[ [

(C.86)

son los residuales de flujo de energía cinética, correspon-dientes a las componentes de velocidad transversales a la dirección del flujo principal, y respectivamente aso-ciados con las superficies S(I), S(II) y S(III); y:

dSuuTIS

Ivt +=

)(

)( 331221)( ττ (C.87)

dSuuTIIIS

IIIvt +=

)(

)( 331221)( ττ (C.88)

dSuuTIIIS

IIIvt +=

)(

)( 331221)( ττ (C.89)

representan los flujos de trabajo realizado por las fuerzas visco-turbulentas asociados con las superficies S(I), S(II) y S(III).

Al igual que la Ec. (C.47), la Ec. (C.83) es un resul-tado exacto.

Dividiendo la Ec. (C.83) por rg, se obtiene:

{ } )()(),()(

)()(

)(2

)(

)()(

)(2)(

)()()(

)(2)(

)(

2][

2][

2][

IIIIIIIpe

IIIIII

III( I I I )

III

IIII

IIII

IIII

II

I

QHQg

PHg

U

Qg

PHg

UQg

PHg

U

+++

++=++

ρα

ρα

ρα

(C.90)

donde


{ } [ ])(

)()()()()()()(),()()(),(

)( I

IIIvt

IIvt

Ivt

IIIec

IIec

Iec

IIIIIIIIIII

Ipe gQTTTRRRD

Hρ

++−++−= (C.91)

es la pérdida de carga entre las secciones (I) y, (II) y (III).Por continuidad:

)()()( IIIIII QQQ += (C.92)

En este caso no es posible simplificar la Ec. (C.83), que es la representación matemática del siguiente prin-cipio: “La suma de los flujos de energía mecánica en la secciones de entrada es igual a la suma de los flujos de energía mecánica en las secciones de salida sumada al flujo de pérdidas de energía”.

Con frecuencia se supone que las componentes transversales a la dirección principal del flujo ( 1u ) son nulas (o muy pequeñas en comparación con 1u ):

032 == uu (C.93)

Si la Ec. (C.93) es válida,

0)()()()()()( ====== IIIvt

IIvt

Ivt

IIIec

IIec

Iec TTTRRR (C.94)

y, consecuentemente, la Ec. (C.91) adopta la siguiente forma simplificada:

{ } [ ]gQ

DH

IIIII

Ipe ρ

)()()(

)(= (C.95)

lo cual tiene sentido físico, pues la pérdida de carga es proporcional a la disipación del flujo de energía mecá-nica. No obstante, una bifurcación como la mostrada en la Fig. 1 induce componentes transversales o corrientes secundarias, de modo que (C.95) no sería válida, a menos que las secciones (II) y (III) se despla-cen a una distancia suficientemente grande del extre-mo aguas abajo de la bifurcación, sobre sendos tubos rectilíneos con diámetros constantes, a fin de que los flujos que conducen en su interior se regularicen, y se vuelvan rectilíneos

Referencias

Aris, R. (1989), Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics,

Dover, Nueva York.

Cafaggi, A. (2020), La ecuación original de Bernoulli y su interpretación moderna,

Tláloc, No. 72, AMH, México.

Levi, E. (1965), Mecánica de los Fluidos, Universidad Nacional Autónoma de

México, México.

Monin, A. S. y A. M. Yaglom (1971), MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

Hildebrand, F.B. (1976), Advanced Calculus for Applications, Prentice Hall, En-

glewood Cliffs.

Panton, R.L. (1984), Incompressible Flow, John Wiley and Sons, Nueva York.

Rodi, W., 2000. Turbulence Models and Their Application in Hydraulics: A state

of the art review, IAHR, Taylor and Francis, London.

Sotelo, G. (1974), Hidráulica General, Volumen I: Fundamentos, Limusa, México.

White, F. M. (1974), Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, New York.

Yih, C. S. (1979), Fluid Mechanics, West River Press, Ann Arbor.



ARTÍCULO TÉCNICO

Gestión de presión en redes sectorizadas de agua potable, ¿una alternativa para el suministro intermitente?

IWS (Intermittent water supply) tiene la finalidad de hacer frente al crecimiento y desarrollo de las comunidades; muchas de dichas comunidades han carecido de planeación o estrategias de ingeniería, y su crecimiento se da en forma desordenada, prin-cipalmente por intereses económicos de los desarro-lladores (donde encuentran más barato el terreno), o por presiones de grupos políticos; es entonces que no se considera la infraestructura o el recurso hídrico como una línea base para las ciudades sostenibles por su capacidad de otorgar el servicio en cantidad y calidad suficiente.

Es entonces que el funcionamiento o soporte de dichas comunidades se va “forjando” día a día mediante la experiencia y el criterio del operario en turno, pues es quien toma decisiones para mantener el servicio “más o menos” a lo que ya tiene comprometido e iniciar a “repartir” a lo nuevo que se anexa al sistema. Es en esta disyuntiva que se recurría de forma sistemática a la integración de mayores volúmenes de extracción para la satisfacción de la demanda.

Cabe señalar que, en muchas ocasiones, el incremen-to de la oferta no siempre o casi nunca se ve aparejada con una cobertura de demanda efectiva, debido a que carece de vías de conducción y distribución efectivas entre lo que ya existía y lo nuevo que se va anexando, lo cual provoca grandes problemas de volúmenes de agua por pérdidas y fugas.

Esta estrategia de integración de nuevos o más vo-lúmenes de suministro de agua a las ciudades en la ac-tualidad se enfrenta a la competencia del uso del recurso hídrico entre usuarios que comparten la misma fuente y la casi inexistencia de nuevas fuentes. Es entonces que surge la “necesidad” o la política recurrente de dar

dr. Jesús rubén sÁnchezdr. david h. sÁnchezUniversidad Autónoma de [email protected]

dra. carmen Julia navarrom.i carlos mendoza, ing. luis carrilloing. manuel altesJunta Municipal de Agua y Saneamiento de Chihuahua [email protected]

El suministro intermitente de distribución de agua potable (IWS por sus siglas en inglés) ha ido creciendo en las últimas décadas como una alternativa de política pública.

El

mailto:[email protected]



el servicio en las comunidades por horarios o tandeos como una política de operación, lo que se denomina suministro intermitente.

IntroducciónEn América Latina en la última déca-da van en aumento las ciudades (con 500,000 habitantes o más) las cuales incrementan las zonas con tandeo y disminuyen el horario de suministro de agua potable, conocido como ci-clo de servicio (Taylor et al., 2019). El cambio a un suministro intermitente genera un problema de mayor com-plejidad el cual es difícil de predecir y cuantificar de forma económica. A este problema se le suma la incapa-

Figura 3. Mancha urbana de la ciudad de Chihuahua en 1990. Fuente análisis JMAS Chihuahua.

Figura 1. Mancha urbana de la ciudad de Chihuahua en 1970. Fuente análisis JMAS Chihuahua.

Figura 2. Crecimiento de población de la ciudad de Chihuahua. Fuente análisis JMAS Chihuahua.

apreciar que de 1970 a 1990 se incrementó en un 100% la población; sin embargo, el suministro del agua potable tuvo un incremento de menos del 30%, por lo cual la diferencia de volumen suministrado fue sustituida con la política del “tandeo” para cubrir la demanda.

El impacto de la política de operación mediante tandeo o suministro intermitente ha generado un sin fin de problemas operativos, administrativos y finan-cieros. Con la finalidad de resolver la complejidad de estos problemas el OO de la ciudad de Chihuahua se dio a la tarea de buscar alternativas para solucionar la problemática multifactorial mencionada a la cual se le suma: la falta de alternativas de fuentes adicionales, el acelerado estrés de la infraestructura por la operación continua de vaciado y llenado de la red, problemas de

30,405 39,706 37,078 45,595

56,80587,000

150,430

257,027

385,603

516,153

613,722657,876

748,518

809,232

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

800,000

900,000

1900 1910 1921 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000 2005 2010

Población Histórica de la Ciudad de Chihuahua

cidad económica de los Organismos Operadores (OO) de enfrentar la sustitución de la infraestructura por enve-jecimiento o por cumplimiento de su vida útil.

En la ciudad de Chihuahua en la década de los se-tenta vivían 257,000 habitantes, los cuales contaban con un suministro continuo de agua potable las 24h del día los siete días de la semana. La Fig. 1 muestra la mancha urbana de la ciudad en de 1970.

En la década de los ochenta la población se incre-mentó en un 50%, duplicándose para la década de los noventa (JMAS-CONAGUA-UACH, 2013). A partir de los años ochenta se comenzaron a implementar las zonas con horario de suministro intermitente (Fig. 2 y 3).

La Fig. 4 muestra el comportamiento del volumen suministrado a la ciudad y el número de aprovecha-mientos que se utilizaban para abastecerlo. Se puede



Figura 4. Evolución del suministro de agua potable de la ciudad de Chihuahua. Fuente: análisis JMAS Chihuahua.

límite. Se realizó la proyección y las obras pertinentes para la delimita-ción física de sectores, dando priori-dad donde se presentaba una mayor deficiencia de servicio. Al poner en operación dichos sectores con un suministro continuo las 24h los siete días de la semana (24/7), resultaron impactos colaterales difíciles de pre-decir debido a la incertidumbre en el catastro en las zonas aledañas las cuales compartían la misma fuente de suministro. Se ocasionó un mayor volumen desperdiciado por las fugas existentes y por ende una falta de impacto en la percepción de mejora del servicio por parte de la pobla-ción. Se concluyó que el deficiente resultado obtenido se debió a la ca-

sobrepresiones, bajas presiones en la ciudad, fugas y arrastres de sólidos en las tuberías y el envejecimiento natural de la infraestructura.

En las últimas dos décadas se ha extendido la apli-cación de un concepto definido como “sectorización” (DMA, por sus siglas en ingles District Meter Area), con-siderado como una opción estratégica. La sectorización se fundamenta en la subdivisión de la red (sectores) en subredes (distritos), siendo uno de los principales criterios el tener una entrada de agua controlada de suministro hacia el sector. En cada distrito dentro del sector se plantea un valor máximo de la demanda, bus-cando mantener una homogeneidad en la distribución de las presiones considerando la elevación del terreno. Uno de los grandes beneficios de la implementación de la sectorización es el aumento de la facilidad con la que se detecta cualquier anormalidad dentro de la red debido a la reducción de su tamaño (Herrera, 2011; Mo-rrison et al., 2007; IMTA, 2014). Los OO buscan utilizar la sectorización para la recuperación de caudales, de manera física mediante identificación de fugas en la red y puntos de entrega al usuario (toma/medidores), y en forma comercial, a través la identificación de posibles conexiones clandestinas o deficiencias de medición de micro medidores. El contar con una red sectorizada permite aplicar técnicas de detección y control de fugas de forma eficaz.

En el año 2008, el OO de Chihuahua inició con un diagnóstico para implementar la sectorización (IMTA-JMAS, 2008), el criterio utilizado en ese proceso fue: el aislamiento físico de sectores, considerando la opera-ción y un número definido de cuentas de usuarios como

0

20

40

60

80

100

120

140

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

1,965 1,970 1,975 1,980 1,985 1,990 1,995 2,000 2,005 2,010 2,015

Volumen suministrado (lps)

Suministro extraido para la ciudad (lps)

No. De aprovechameintos

lidad y cantidad de datos generados para la toma de decisiones.

Una de las industrias donde se generan una amplia cantidad de datos es la de suministro y distribución de agua potable; sin embargo, estos datos muchas veces son catalogados como ‘datos oscuros’ pues no se establece cómo fueron obtenidos, por lo cual se termina con no ser utilizados o considerarlos no confia-bles. Esta credibilidad en la generación de datos opa-ca el resultado y la aportación del conocimiento sobre la problemática. Cuando se han generado datos de manera sistemática por los OO, a menudo el directivo y/o el operario los ve con escepticismo, por lo cual es común que se examinan, almacenen y terminen por descartarse.

En los años recientes, se han generado cambios en los criterios de implementación de la sectoriza-ción. Se han incluido herramientas de operación

En las últimas dos décadas se ha extendi-do la aplicación de un concepto definido como “sectorización”, considerado como una opción estratégica. La sectorización se fundamenta en la subdivisión de la red (sectores) en subredes (distritos), siendo uno de los principales criterios el tener una entrada de agua controlada de suministro hacia el sector.


como: instrumentos de medición y tecnologías de sensores en los sistemas de gestión del agua, los cuales generan datos y conocimiento fiables para la toma de decisiones. La digitalización, los sistemas inteligentes (“Smart Learning”), Tecnologías de la In-formación y de la Comunicación (TIC) y el aprendizaje automatizado (“Machine learning”) son métodos que han acompañado el renacimiento de los datos del agua, adaptados de otras industrias en las que son mucho más convencionales. Estas metodologías pro-porcionan motivación hacia los sistemas operativos de suministro y distribución de agua para una mejor comprensión del presente y una preparación para el futuro. Es importante tomar en cuenta el alcance del OO para la adopción de tecnologías inteligentes y evitar el desencanto posterior.

DesarrolloEl presente trabajo tuvo como objetivo determinar una metodología de aplicación de una gestión de suministro intermitente mediante la modulación de presiones, utili-zando la instrumentación de sectores para la generación de datos con TIC. Se aplicó un proceso por etapas para obtener resultados tangibles.• En la primera etapa se realizó la consigna de tiempo

para la disposición de la presión y el caudal cuando se tiene mayor demanda por el usuario en el sector.

• En la segunda etapa se incluyó la modulación mediante un punto crítico o punto más desfavorable dentro del sector. En esta etapa, ya se tiene una homogeneidad de la permanencia de la presión en el sector, sin que ello signifique que en todo el sector tiene el mismo valor la presión.

• La última etapa consiste en incluir la regulación del caudal, con la finalidad de incrementar la eficiencia tanto física como comercial en el sector. La regula-ción se basa específicamente en el volumen fugado o cuantificado en el horario nocturno, solo consideran-do el caudal requerido para tener una presión mínima suficiente en el sistema.

Uno de los grandes problemas que presenta la sec-torización es la validación del comportamiento previsto en el modelo con la conducta del sistema de manera física. Se ha podido constatar que no es suficiente con la delimitación física del sector, es necesario considerar la demanda prevista y la distribución de presión sumi-nistrada en la entrada del sector, para que éste opere de forma óptima.

Como ejemplo se tiene el sector 01 de la zona norte de la ciudad de Chihuahua, el cual tiene 4784 cuentas. Para corroborar la delimitación y realizar la simulación hidráulica de la distribución de presiones, se instalaron registradores de presión en varios puntos (Fig. 5) y se realizó la simulación en INFOWORKS PRO.


Figura 5. Simulación hidráulica y ubicación de la instalación de registradores de presión



Figura 7. Registros de caudal y presiones a la entrada y en los puntos críticos dentro del sector con suministro intermitente.

Figura 6. Sistema de gestión de presiones.

Posteriormente se instrumentó y automatizó la entrada al sector. En la Fig. 7 se puede observar el comportamiento a la entrada del sector, P1 y P2, que corresponde a las presiones aguas arriba y abajo de la válvula reguladora de presión (VRP);

los puntos S1-P3 y S1-P4 corresponden a los pun-tos más desfavorables en la distribución de presión dentro del sector (alta y baja elevación topográfica). También se instaló un caudalímetro con comunica-ción remota y salida de pulsos. La Fig. 6 muestra


la instrumentación utilizada para: el sistema de ob-tención y generación de datos, almacenamiento y comunicación vía remota al OO.

El comportamiento (Fig. 7) corresponde al suministro intermitente con el cual se operaba el sector. Al mo-mento de recopilar estos datos, ya se había realizado la comprobación de delimitación física.

En la Fig. 7 se puede observar un “gran pico” al inicio del horario de servicio de caudal (línea negra), que sirve solo para desplazar el aire en la red del sector. El OO le denomina a este “pico” saturar la red, siendo un volumen de agua que no se cuenta como servicio en el sector. En este caudal de inicio también influye el llenado de los almacenamientos domésticos con picos máximos de 132 lps (litros por segundo).

El diferimiento de tiempo entre la apertura de la VRP y cuando se puede establecer la presión de operación en los puntos críticos, alcanzó hasta las dos horas, como muestra el desplazamiento entre la línea azul (presión aguas debajo de la VRP) y las línea verde y amarilla (pre-siones en puntos críticos), presentándose un mayor des-plazamiento en el tiempo del horario vespertino.

Este desplazamiento solamente puede ser observado mediante la medición en sitio, ya que todos los modelos de simulación parten del supuesto que una vez en ope-ración la red permanece “cargada”. También se puede

observar en la Fig. 7 que en la red existen momentos de succión o presiones negativas.

Resultados Para transitar el sector 01 de un suministro intermitente a uno continuo, la primera etapa fue darle consigna de tiempo para la disposición de la presión y el caudal cuan-do se tiene mayor demanda; la definición del horario de servicio estuvo determinada por el comportamiento que muestra el ciclo diurno-nocturno de demanda en época de calor (julio 2018). El comportamiento “normal”, es que cuando existe una “alta” demanda la presión disminuye y viceversa.

Con el análisis de los datos generados se determinó el horario de servicio requerido, tomando en cuenta el desplazamiento del gasto en la red (Fig. 8), así como la presión mínima necesaria con el fin de evitar presiones negativas. Todo esto con la finalidad de tener disponi-bilidad de presión en todo el sector e impedir el pico de caudal al inicio del tandeo.

Observando que la línea negra de caudal tiene un comportamiento sinusoidal acorde a la necesidad de demanda, se logró disminuir el valor máximo de 132 lps a 68 lps; sin embargo, el caudal en horario de baja de-manda u horario nocturno es muy elevado presentando valores de 51 lps. El comportamiento de la presión aguas abajo de la VRP se dejó en 21 mca (metros columna de agua) (línea azul), esta tara de presión nos genera un comportamiento de presión en el sector en el punto topográfico más alto de 3 a 9 mca (línea verde) y en el punto más bajo presiones de 14 a 16 mca (línea amarilla).

Este comportamiento nos permite tener la presión su-ficiente en el periodo de mayor demanda, es decir, cum-pliéndose la premisa de la primera etapa; sin embargo, la permanencia de la presión suficiente no es homogénea


Figura 8. Ejemplo de la primera etapa de gestión de presiones.

Con el análisis de los datos generados se determinó el horario de servicio requerido, tomando en cuenta el desplazamiento del gasto en la red, así como la presión míni-ma necesaria con el fin de evitar presiones negativas.


en el sector, y además se tiene un gran volumen fugado en el horario nocturno.

Es por eso que se procedió a la segunda etapa (Fig. 9), es decir, a la modulación mediante un punto crítico o punto más desfavorable dentro del sector para otorgar una homogeneidad de permanencia de presión suficiente en el sector. Esta modulación se controla mediante el dife-rencial de presión en la VRP aguas abajo para tener una respuesta del gasto por la demanda requerida. En la Fig. 9 se puede observar que las líneas de presiones, tanto a la entrada como en los puntos críticos tienen el mismo com-portamiento. Se presentó en el horario de mayor demanda disponibilidad de caudal y presión; aún se tuvo el caudal máximo en mayor demanda de 70 lps, pero disminuyó el caudal en horario nocturno de casi 52 lps a 30 lps por la gestión de presiones mediante la definición de una rampa horaria de presiones de operación de la VRP.

Actualmente se trabaja en la tercera etapa la cual consiste en disminuir el caudal en horario nocturno. En este punto es posible identificar el volumen fugado, disminuyendo de 20 lps a 13 lps el caudal, lo que se logró mediante la identificación de tomas clandestinas. Se continúa con la detección de fugas en la red, tomas domiciliarias e instalación de medidores, por lo cual se tiene una línea base y una dotación más acorde al sector.

ConclusionesEl proceso de instrumentación, registro y medición en el sector apoyó en la toma de decisiones y en la política de operación. Sin embargo, cabe hacer notar que los operarios y usuarios se encuentran escépticos ya que se han acostumbrado a una forma de operar y consideran que “bajar” la presión es otorgar un mal servicio. Aunado


a esta baja de presión, se hacen visibles las fugas, que por el vaciado de la red se perdían y que al mantenerla cargada a una presión mínima son visibles, por lo que es prioritaria la rehabilitación y detección de fugas. El 80% de las fugas que se “hicieron” visibles están en las tomas domésticas o en el registro del medidor del usuario. Estas fugas rara vez se reportan pues no están en la línea y le corresponde al usuario atenderlas. Cabe destacar que el volumen suministrado medido en tandeo es un 20% más que en un horario gestionado por presiones. Sin embargo, persiste la resistencia al cambio, así como a depositar la confianza en la automatización y en la me-dición, debido a que la percepción del OO es “que no registra o mide bien”

ReferenciasCONAGUA (1992). Estudio de factibilidad técnica, económica y financiera para

el mejoramiento de servicios de agua potable y alcantarillado de la ciudad de Chihuahua.

Herrera, M. (2011). Improving Water Networks Management by Efficient Divi-sion into Supply Clusters. PhD Thesis, Universitat Politecnica de Valencia, Valencia, España.

IMTA (2014), Avances en la hidráulica de redes de distribución de agua potable. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. www.imta.gob.mx

IMTA-JMAS (2008) Diagnóstico, modelación y planificación de sectores en la red de distribución de agua potable de Chihuahua, Chihuahua (parte 1. Diagnóstico). Convenio de colaboración: JMAS/IMTA/HC-0751

JMAS-CONAGUA-UACH. (2013), Evaluación de las fuentes actuales de abasteci-miento a la ciudad de Chihuahua, estudio de factibilidad de fuentes alternas y anteproyecto de infraestructura hidráulica necesaria. Chihuahua, Mex.

Morrison, J., Stephen, T. and Rogers, D. (2007). District metered areas: Guidance notes. London: Water Loss Task Force. International Water Association (IWA). http://www.waterlinks.org/sites/default/files/District%20Metered%20Areas%20Guidance%20Notes.pdf

Taylor David, Slocum Alexander H, Whitttle Andrew. (2019) Demand Satisfaction as a Framework for Understanding Intermittent Water Supply Systems. Water Resources Research Mayo 2019. DOI: 10.1029/2018WR024124

Figura 9. Ejemplo de la segunda etapa de gestión de presiones.

https://www.researchgate.net/publication/332996712_Demand_Satisfaction_as_a_Framework_for_Understanding_Intermittent_Water_Supply_Systems

https://www.researchgate.net/publication/332996712_Demand_Satisfaction_as_a_Framework_for_Understanding_Intermittent_Water_Supply_Systems


Ajuste del método Muskingum a través de regresión lineal múltiple restringida

ARTÍCULO TÉCNICO

daniel Francisco campos arandaProfesor Jubilado de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí[email protected].

ResumenEl tránsito de crecientes permite estimar el hidrograma en un sitio de un río, conocido el relativo a tal evento en una sección de aguas arriba. Los métodos disponibles para hacer tal estimación, son de dos tipos: los hidro-lógicos y los hidráulicos. Entre los primeros y quizás el más conocido, es el llamado método Muskingum de dos parámetros de ajuste (K y x). En este trabajo se describe con detalle la solución propuesta por Robin T. Clarke en 1994 para obtener los valores de K y x, a través de regresión lineal múltiple con restricción. Tal enfoque se contrasta en 17 tránsitos de crecientes, encontrando que conduce a soluciones numéricamente similares a las del método gráfico tradicional, pero con menores erro-res de estimación. Se exponen cuatro tránsitos, cuyos resultados específicos se comparan con los de cuatro métodos de estimación objetiva o numérica, encontrado que la solución del enfoque expuesto, reporta paráme-tros K similares a los obtenidos con los otros métodos, pero con un valor positivo de x, a cambio de tener un mayor error en la estimación. Cuando el procedimiento expuesto no es aplicable conduce a valores negativos de los parámetros buscados. Debido a la consistencia que mostraron todos los resultados del enfoque expuesto, se recomienda su aplicación sistemática, cuando se ajusta o calibra el método Muskingum en un tramo de río.

Palabras clave: método Muskingum, regresión lineal múltiple, error estándar medio.

IntroducciónUno de los problemas prácticos más comunes que en-frenta el hidrólogo o el ingeniero hidráulico es la estimación del hidrograma en diferentes puntos de un río o cauce,

El procedimiento de tránsito hidrológico de crecientes en ríos o cauces, conocido como Método Muskingum, fue ideado y propuesto hacia mediados de los años treinta, por G. T. McCarthy y colaboradores del U. S. Corps of Engineers, durante los estudios de control de crecientes en el río Muskingum de Ohio, U.S.A.


durante la formación de una creciente. Tal problema se resuelve mediante una técnica de tránsito de crecientes, la cual consiste en el proceso de seguimiento del comporta-miento de una creciente de aguas arriba hacia aguas abajo en el río y en su planicie de inundación. Estas técnicas también estudian el paso de crecientes por lagos y embal-ses. Existen dos usos fundamentales de los modelos de tránsito de crecientes: (1) elaboración de mapas de áreas con riesgo de inundación, para crecientes históricas o de diseño con periodos de retorno de 100, 500 y 1000 años y (2) formulación de pronósticos de crecientes (gastos, niveles y/o tiempos de ocurrencia) aguas abajo en un río, con base en ciertas mediciones o estimaciones realizadas aguas arriba (Sene, 2010; Shaw et al., 2011).

El hidrograma de una creciente es modificado de dos maneras, conforme la lluvia en exceso de una tormenta fluye hacia aguas abajo del río o cauce. La primera es bastante obvia y se conoce como traslación y origina que el tiempo de ocurrencia del gasto pico se presente cada vez más tarde conforme la creciente se desplaza hacia aguas abajo. La segunda llamada atenuación, si no hay aportaciones importantes en el tramo de cauce estudiado, genera una disminución del gasto pico en cada punto de aguas abajo, es decir que el hidrograma se aplana y el volumen de la creciente tarda más en pasar por una sección del cauce (Sene, 2010; Shaw et al., 2011). Cuando en el tramo de río analizado existe aportación lateral importante, el hidrograma crece hacia aguas abajo y cuando hay salidas laterales el proceso de atenuación se intensifica.

Los métodos de tránsito de crecientes se dividen en dos grupos, los hidrológicos usan la ecuación de conti-nuidad y una relación empírica entre el gasto y el alma-cenamiento temporal de los volúmenes de agua durante la creciente. Sus cálculos son simples y frecuentemente conducen a resultados satisfactorios. Estos métodos abarcan desde las correlaciones empíricas entre niveles o gastos de una sección de aguas arriba y la de interés aguas abajo (Shaw et al., 2011), hasta el llamado método Muskingum–Cunge, el cual mediante una selección apro-piada de la longitud de subtramos y del intervalo de cál-culo, es una aproximación a una forma simplificada de las ecuaciones de Saint Venant del flujo no permanente en canales abiertos (Cunge, 1969; Campos–Aranda, 1994; Sene, 2010; Perumal & Price, 2017). El segundo grupo lo forman los métodos hidráulicos, que usan las ecua-ciones Saint Venant o una versión simplificada de estas; requieren información topográfica del río y su planicie de inundación (Shaw et al., 2011; Perumal & Price, 2017).

El objetivo de este trabajo consiste en exponer con detalle el calibrado del método hidrológico de tránsito de

crecientes conocido como Método Muskingum, a través de regresión lineal múltiple restringida. Los 17 contrastes numéricos realizados indican que tal enfoque es bastante consistente.

Resumen de la teoría operativaMétodo MuskingumEl procedimiento de tránsito hidrológico de crecientes en ríos o cauces, conocido como Método Muskingum, fue ideado y propuesto hacia mediados de los años treinta, por G. T. McCarthy y colaboradores del U. S. Corps of Engineers, durante los estudios de control de crecientes en el río Muskingum de Ohio, U.S.A. (Gilcrest, 1950; Lawler, 1964). El método emplea una ecuación de con-tinuidad del tipo siguiente (Clarke, 1994; Gupta, 2008):

dS/dt = i(t) – q(t) (1)

donde S(t) es el almacenamiento en el tramo e i(t), q(t) son el gasto de entrada y salida de dicho tramo. El método expresa a S como una combinación ponderada entre la entrada y la salida, con la forma siguiente:

S(t) = S0 + K[x·i(t) + (1 – x)·q(t)] (2)

en la cual, K y x son los parámetros del método, el pri-mero con unidades de tiempo, pues está relacionado con el tiempo de viaje de la onda de la creciente en el tramo y el segundo adimensional, ya que asigna los pe-sos o ponderación relativa dada a los gastos de entrada y salida en la determinación del volumen almacenado en el tramo. Cuando S(t) es sólo función del gasto de salida, como en los embalses, x será igual a cero y podrá llegar a 0.50, cuando los gastos de salida y de entrada tienen el mismo peso, lo cual equivale a que no se tiene atenuación en el tramo, sino que únicamente se traslada la onda de la creciente. Sustituyendo la ecuación 2 en la 1 se obtiene:

q(t) + K(1 – x)·dq/dt = i(t) – K·x·di/dt (3)

Estableciendo intervalos discretos de tiempo (Δt), pequeños en relación con K, se llega a la ecuación del método Muskingum:

qt+1 = C1·qt + C2·it–1 + C3·it (4)

en la cual:

C1 = [K(1 – x) – Δt/2]/δ (5)



C2 = [K·x + Δt/2]/δ (6)

C3 = – [K·x – Δt/2]/δ (7)

siendo δ = K(1 – x) + Δt/2 y cumpliendo que C1 + C2 + C3 = 1.00.

O’Donnell (1985) amplió el método Muskingum para incorporar flujos laterales de aportación o salida; tal ver-sión ha sido aplicada en México en la cuenca del río Pánuco por Campos–Aranda (2000).

Solución al método Muskingum con RLMUsando los siguientes n cuartetos de información: qt, qt–1, it–1, it y considerando que existen errores en la medición de los gastos de entrada y salida e incluso ciertos flujos laterales de entrada o salida del tramo, la ecuación final del método Muskingum es (Clarke, 1994):

qt = C1·qt–1 + C2·it–1 + C3·it + εt (8)

en donde, εt es una variable aleatoria, la cual, en au-sencia de suposiciones más realistas, se considera in-dependiente y distribuida normalmente con media cero y varianza constante (s2

ε). La ecuación 8 es una regre-sión lineal múltiple (RLM) sin ordenada al origen (β0) y sujeta a la restricción que indica que sus coeficientes de regresión suman la unidad. La teoría estadística de tal modelo de regresión se expone en los dos incisos siguientes. La ecuación 8, es idéntica a la ecuación 16 planteada y resuelta con las matrices de la ecuación 17, con esta equivalencia de variables: Y = qt, X1 = qt–1, X2 = it–1, X3 = it y esta correspondencia de coeficientes: β1 = C1, β2 = C2 y β3 = C3. Aplicando las ecuaciones 17 y 18 se obtienen los estimados de mínimos cuadrados de los residuos de los coeficientes de regresión ^β1

^β2^β3, y

y con ellos los valores de los parámetros del método Muskingum, con las ecuaciones siguientes obtenidas por Clarke (1994):

( )( )1

21

β1

ββ +=

ΔtK

(9)

( )( )2

12

β1ββ2β +

+=x 1

2 •

(10)

Regresión Lineal Múltiple (RLM)Algunas veces se puede establecer una relación de tipo lineal entre la variable dependiente (Y) y varias (p) inde-pendientes X1, X2, . . . . , Xp o regresores, la cual es la

generalización o extensión natural de la regresión lineal simple, su expresión es (Ryan, 1998):

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 +...+ βp Xp + ε (11)

Por ello, los principios que rigen a la regresión lineal se aplican a la RLM, por ejemplo, que tanto Y como las Xp estén normalmente distribuidas y que los errores ε sean independientes y que tengan distribución Normal de media cero y misma varianza (σ2) para cada X. La solución de mínimos cuadrados de los residuos de forma matricial para el caso general expuesto y con n obser-vaciones o datos de Y y los regresores es la siguiente (Ryan, 1998):

Y = X∙β + ε (12)

siendo:

, =

nY

YYY

3

2

1

Y =

nnn XpX2X1

XpX2X1XpX2X1 …

…

…1

11

222

111

X…

… … … …

, =

p

…

…2

1

0

β =

n

2

1βββ

β

El planteamiento de esta solución implica que la su-matoria de uno a n de los residuos al cuadrado debe ser minimizada, es decir que:

( )

( )=

=

=

==

=n

i

n

iipiii

ii

n

ii

XpX2X1Y

YY1

1

2210

2

1

2

0…

^

(13)

Entonces, diferenciando el lado derecho de la ecua-ción anterior con respecto a β0, β1, β2 , . . . . , βp, por separado, se originan las ecuaciones llamadas normales función de los parámetros desconocidos. En notación matricial estas ecuaciones son:

(X’∙X)∙ ^β = X’∙Y (14)

cuya solución es:

^β = (X’∙X)–1.(X’∙Y) (15)



en la cual, X’ es la matriz transpuesta de X y (X’∙X)–1 indica la matriz inversa de X’∙X.

Caso especial de RLM con restricciónUna variante ligera de la ecuación 11, consiste en no tener ordenada al origen (β0) y que los coeficientes de los tres regresores (β1, β2 y β3) sumen la unidad, es decir que la RLM es:

Y = β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε (16)

Minimizando la función: suma de los cuadrados de los residuos, sujeta a la restricción citada, las ecuaciones normales en la forma matricial definida por la ecuación 12, son (Clarke, 1994):

=

=

=

=

1

3

2

1

1

1

1

n

iii

n

iii

n

iii

XY

XY

XY

Y =

===

===

===

0111

133231

132221

131211

1

2

11

11

2

1

111

2

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

XXXXX

XXXXX

XXXXX

X

=

λ

βββ

3

2

1

β

(17)

La solución buscada será:

YXβ= 1^ (18)

Descripción de resultadosAplicaciones numéricas generalesComo la mayoría de los procedimientos que se han desarrollado para estimar de una manera objetiva los parámetros (K, x) del método Muskingum, miden la exactitud de su estimación a través del error estándar

medio (EEM), tal indicador también se usará al aplicar la solución definida por las ecuaciones 16, 17 y 18. El EEM se define como:

( )2/1

1

21==

n

ii YY

nEEM ^ (19)

en la cual, Yi es la variable dependiente dato, en este caso igual al gasto en la salida del tramo (qt), Yi

^ es el valor estimado de la variable dependiente con la ecua-ción de RLM restringida y n el número de cuartetos de información (qt, qt–1, it–1, it).

Campos–Aranda (1998) presenta los datos (n, Δt, qt, it) de 17 ejemplos de tránsitos que se han realizado con el método Muskingum original, cuya solución obte-nida con el método gráfico (Lawler, 1964), también ha sido contrastada con otras tres soluciones numéricas objetivas y con optimización numérica restringida, la cual acota el parámetro x del método al intervalo de cero a 0.50 y utiliza como función objetivo a minimizar el EEM.

En estos 17 contrastes, el método Muskingum aplica-do con RLM restringida, condujo a soluciones numérica-mente similares a las del método gráfico, pero con EEM menores; además, donde algunos métodos numéricos encontraron como parámetro óptimo un valor negativo de x, este método obtiene una solución consistente con la teoría (0 < x < 0.50). Cuando esta solución no es apli-cable se obtiene un parámetro x > 0.50, esto ocurrió en un solo contraste.

Con la idea de ser consistentes con las suposiciones de la RLM, se revisó si los datos o gastos de entrada (it) y salida (qt) proceden de poblaciones Normales, lo anterior mediante el Test W (Shapiro, 1998); como en la mayoría de los casos, tales datos no siguen una dis-tribución Normal, se procedió a aplicar el método Mus-kingum con solución de RLM restringida, empleando los logaritmos naturales de los datos; los resultados fueron bastante semejantes a los anteriores, pero disminuye ligeramente el valor de K y aumentan las magnitudes de x y del EEM.

Aplicaciones numéricas específicasEn la Tabla 1 se muestran datos y resultados de los cuatro contrastes específicos seleccionados. Los datos proceden de las referencias citadas en el primer renglón de la Tabla 1, en cuyos seis últimos renglones se exponen los resultados obtenidos con la aplicación de las ecua-ciones 17, 18, 9 y 10, es decir, la solución del método Muskingum con RLM restringida.


La solución mediante Regresión Lineal Múltiple restringida conduce a parámetros K similares a los obtenidos con los otros métodos, pero el valor de x es positivo, a cambio de tener un mayor error estándar medio


Tabla 1. Datos y resultados de cuatro tránsitos realizados con el método Muskingum, con solución numérica vía RLM restringida.

No.dato

Lawler (1964) CFE (1980) McCuen (1998) SRH (1977)

it qt qe it qt qe it qt qe it qt qe

1 2.6 2.4 2.4 58.7 41.8 41.8 0.00 0.00 0.00 50.0 50.0 50.0

2 3.9 2.9 2.5 93.1 69.7 49.2 0.28 0.00 0.00 55.0 105.0 49.6

3 5.9 4.0 2.7 129.0 75.6 64.5 0.99 0.08 0.00 190.0 180.0 86.9

4 9.1 5.8 3.9 205.0 142.0 82.9 2.12 0.40 0.16 230.0 260.0 130.3

5 12.5 8.2 5.8 210.0 183.0 135.5 4.11 1.02 0.61 235.0 290.0 233.4

6 15.5 10.8 8.7 234.0 185.0 192.4 5.95 2.10 1.42 220.0 280.0 268.8

7 17.8 13.3 11.7 325.0 213.0 195.6 6.37 3.45 2.82 230.0 290.0 264.9

8 19.2 15.3 14.4 554.0 293.0 221.3 4.67 4.59 4.35 520.0 430.0 265.3

9 19.6 16.7 16.6 627.0 397.0 304.9 4.53 4.67 5.23 590.0 550.0 343.9

10 19.6 17.8 18.0 526.0 487.0 465.0 4.96 4.53 4.68 470.0 490.0 530.9

11 19.4 18.3 18.7 432.0 533.0 548.7 5.24 4.64 4.54 350.0 420.0 525.1

12 18.6 18.8 19.0 252.0 487.0 529.9 3.68 4.87 4.77 270.0 340.0 440.4

13 18.1 18.7 19.1 228.0 371.0 463.4 2.55 4.47 5.01 190.0 270.0 345.9

14 17.2 18.4 18.7 412.0 358.0 318.2 1.70 3.77 4.20 175.0 220.0 273.5

15 16.3 18.0 18.3 504.0 358.0 298.8 1.13 3.06 3.34 140.0 170.0 210.0

16 15.1 17.3 17.6 453.0 358.0 380.6 0.57 2.44 2.58 125.0 140.0 172.6

17 13.7 16.4 16.8 388.0 427.0 422.2 0.28 1.76 1.98 110.0 120.0 139.9

18 12.1 15.3 15.7 270.0 441.0 438.3 0.00 1.25 1.34 120.0 120.0 121.6

19 10.4 13.8 14.5 162.0 354.0 417.3 0.00 0.85 0.91 125.0 125.0 115.2

20 8.4 12.2 12.9 124.0 252.0 317.3 0.00 0.57 0.55 120.0 120.0 122.0

21 6.7 10.3 11.3 102.0 164.0 212.3 0.00 0.34 0.37 90.0 100.0 120.8

22 5.2 8.5 9.3 80.8 115.0 146.3 0.00 0.20 0.22 80.0 70.0 107.4

23 3.9 6.6 7.6 – – – 0.00 0.08 0.13 60.0 40.0 76.2

24 2.9 5.0 5.9 – – – 0.00 0.00 0.05 65.0 30.0 53.3

25 2.3 3.7 4.4 – – – – – – 60.0 25.0 38.5

26 2.1 2.8 3.3 – – – – – – – – –

27 1.8 2.4 2.5 – – – – – – – – –

28 1.6 2.1 2.2 – – – – – – – – –

0.487 0.558 0.647 0.686

0.515 0.448 0.354 0.379

–0.001 –0.008 0.002 –0.073

K 1.954 días 2.276 días 3397.7 minutos 3.386 días

x 0.258 0.226 0.177 0.208

EEM 0.94 m3/s 47.03 m3/s 0.30 m3/s 75.00 m3/s

^β1^β2^β3


Ahora en la Tabla 2 se muestran los resultados obte-nidos y citados por Campos (1998) con el método gráfico tradicional, tres procedimientos de cálculo objetivo de

parámetros (Heggen, 1984; O’Donnell, 1985; Wu et al., 1985), el método de optimización numérica restringida y el enfoque expuesto y aplicado en este trabajo.



Tabla 2. Contraste de parámetros del método Muskingum obtenidos con los siete procedimientos de aplicación citados.

Cálculo: Lawler (1964) CFE (1980) McCuen (1998) SRH (1977)

Método gráfico tradicional

K 2.300 días 2.000 horas 3389 minutos –

x 0.150 0.200 0.200 –

EEM (m3/s) 0.69 26.2 0.045 –

Método de mínimos cuadrados univariados (Heggen, 1984)

K 1.905 días 2.043 días 3396 minutos 0.425 días

x –0.052 0.184 0.190 –0.892

EEM (m3/s) 0.39 26.2 0.042 32.6

Método de mínimos cuadrados matricial (O’Donnell, 1985)


x –0.248 0.132 0.199 –1.180

EEM (m3/s) 0.34 27.0 0.045 33.1

Método de mínimos cuadrados y estadística t (Wu et al., 1985)


x 0.500 0.010 0.170 0.500

EEM (m3/s) 0.62 27.2 0.042 77.4

Método de optimización numérica restringida (Campos, 1998)


x 0.000 0.116 0.195 0.000

EEM (m3/s) 0.22 25.3 0.034 33.7

Método de RLM restringida (datos originales)


x 0.258 0.226 0.177 0.208

EEM (m3/s) 0.94 47.0 0.30 75.0

Método de RLM restringida (datos logarítmicos)

K 1.728 días 1.903 días 2616 minutos –3.617 días

x 0.298 0.268 0.050 –0.145

EEM (m3/s) 0.98 48.5 0.57 40.5

Se observa que la solución mediante RLM restrin-gida conduce a parámetros K similares a los obtenidos con los otros métodos, pero el valor de x es positivo, a cambio de tener un mayor EEM. Nuevamente, cuando este procedimiento no es aplicable conduce a valores negativos de los parámetros buscados (K o x); tal fue el caso, del tránsito en el Río Conchos (SARH, 1977) con datos logarítmicos (Ver Tabla 2).

En la Fig. 1 se muestran los hidrogramas de entra-da y salidas, del contraste específico realizado para los datos de la referencia CFE (1980). Se indican con

línea continua los hidrogramas de entrada y salida observados y con línea discontinua el estimado con el método expuesto, para los valores de los paráme-tros del método Muskingum obtenidos con los datos originales.

ConclusionesCon base en los 17 contrastes realizados, la obtención de los parámetros (K y x) del método hidrológico de tránsito de crecientes en cauces o método Muskingum, mediante regresión lineal múltiple restringida, es un procedimiento


Figura 1. Hidrogramas de entrada y salida observado y estimado con el Método Muskingum.

consistente, es decir, bastante estable numéricamente, cuya solución resulta similar a la del método gráfico, pero con un error estándar medio más bajo.

Debido a la consistencia de resultados que muestra el procedimiento expuesto y contrastado, se recomien-da su aplicación sistemática, cuando se busca calibrar el método Muskingum (obtención de sus parámetros K y x), en un tramo de cauce, en el cual se conocen sus hidrogramas de entrada y salida. Esta aplicación se sugiere que se realice con los datos originales y con sus valores logarítmicos, para verificar la aplicabilidad del método

AgradecimientosSe agradece al primer árbitro anónimo su corrección sugerida, en relación con la estructura del trabajo, la cual mejoró la exposición de la teoría. A sugerencia del segundo árbitro anónimo, el conocido como Método de Muskingum, en este trabajo se designó Método Mus-kingum, para evitar la falsa idea de que su autor fue un hidrólogo de apellido Muskingum.

ReferenciasCampos–Aranda, D. F. (1994). Modelo matemático determinístico para pro-

nóstico de crecientes en cuencas rurales. Ingeniería Hidráulica en México, IX(1), 43–61.

Campos–Aranda, D. F. (1998). Estimación numérica de los parámetros del méto-do de Muskingum por medio de optimización. Agrociencia, 32(2), 101–111.

Campos–Aranda, D. F. (2000). Tránsito hidrológico de crecientes en ríos con flujo lateral. Agrociencia, 34(3), 271–281.

CFE (Comisión Federal de Electricidad). Predicción de Avenidas. (1980). Sección A: Hidrotecnia, Tema 1: Hidrología, Capítulo 11 del Manual de Diseño de Obras Civiles. Instituto de Investigaciones Eléctricas. México, D. F. 30 páginas.

Clarke, R. T. (1994). Statistical Modelling in Hydrology. Chapter 4: Linear Rela-tionships with explanatory variables, pp. 86–163. John Wiley & Sons, Ltd. Chichester, England. 412 p.

Cunge, J. A. (1969). On the subject of a flood propagation method. Journal of Hydraulics Research, 7(2), 205–230.

Gilcrest, B. R. (1950). Flood Routing. Chapter X, pp. 635–710 in Engineering Hydraulics, edited by Hunter Rouse. John Wiley & Sons, Inc. New York, U.S.A. 1039 p.

Gupta, R. S. (2008). Hydrology and Hydraulic Systems. Theme 9.11: Streamflow routing by the hydrologic method (Muskingum Method), pp. 504–509. Waveland Press, Inc. Long Grove, Illinois, U.S.A. Third edition. 896 p.

Heggen, R. J. (1984). Univariate least squares Muskingum flood routing. Water Resources Bulletin, 20(1), 103–107.

Lawler, E. A. (1964). Flood Routing. Section 25–II, pp. 25–34 to 25–59 in Handbook of Applied Hydrology, editor–in–chief Ven Te Chow. McGraw–Hill Book Co. New York, U.S.A.

McCuen, R. H. (1998). Hydrologic Analysis and Design. Theme 10.5: Muskingum method, pp. 600–608. Prentice Hall. New Jersey, U.S.A. Second edition. 814 p.

O’Donnell, T. (1985). A direct tree–parameter Muskingum procedure incorporat-ing lateral inflow. Journal of Hydrological Science, 30(4), 479–496.

Perumal, M. & Price, R. K. (2017). Reservoir and Channel Routing. Chapter 52 (pp. 52.1–52.16). In V. P. Singh (Ed.). Handbook of Applied Hydrology. New York, U.S.A. McGraw–Hill Education. Second Edition.

Ryan, T. P. (1998). Linear Regression. Chapter 14, pp. 14.1–14.43 in Handbook of Statistical Methods for Engineers and Scientists, H. W. Wadsworth (editor). McGraw–Hill Co. New York, U.S.A. Second edition.

SARH (1977). Boletín Hidrológico No. 29. Región Hidrológica No. 24 Poniente (Río Conchos). Tomo III. Cuarta parte: Crecientes, pp. IV–1 a IV–36. Sub-secretaría de Planeación, Secretaría de Agricultura y Recursos Hidráulicos México, D. F.

Sene, K. (2010). Hydro–meteorology. Forecasting and Applications. Chapter 4: Hydrological Forecasting, pp. 101–140. Springer. Dordrecht, The Nether-lands. 355 p.

Shapiro, S. S. (1998). Selection, fitting and testing statistical models. Chapter 6, pp. 6.1–6.35 in Handbook of Statistical Methods for Engineers and Scientists, editor H. M. Wadsworth. McGraw–Hill Inc. New York, U.S.A. Second edition.

Shaw, E. M., Beven, K. J., Chappell, N. A. and Lamb, R. (2011). Hydrology in Practice. Chapter 14: Flood routing, pp. 351–385. Spon Press. London, England. Fourth edition. 543 p.

Wu, J. S., King, E. L. and Wang, M. (1985). Optimal identification of Muskingum routing coefficients. Water Resources Bulletin, 21(3), 417–421.



ARTÍCULO TÉCNICO

Tiempo de entrada de avenidas máximas en un vaso de almacenamiento. Caso de estudio: Presa El Caracol

IntroducciónAnte la necesidad de metodologías que ayuden a enten-der los procesos lluvia-escurrimiento de grandes cuencas para el monitoreo de obras hidráulicas de control, es necesario el desarrollo de modelos matemáticos, que sean una herramienta práctica y oportuna, y que faciliten el conocimiento de la respuesta de las unidades hidro-gráficas ante eventos extremos de precipitación.

Actualmente en México, los grandes sistemas de pre-sas están debidamente monitoreados y controlados. No obstante, la instrumentación no siempre es efectiva en situaciones de crisis, puesto que el equipo puede sufrir daños, fallas, o son arrastrados por la fuerza de las creci-das. Es aquí donde el conocimiento del comportamiento “común” de un río puede ser una herramienta muy útil para pronosticar el gasto esperado y asociado a la lámina de lluvia que se espera.

Hoy en día existen distintas formulaciones para cono-cer el gasto esperado y se han desarrollado programas específicos (HEC-RAS, IBER, MIKE) que simplifican de alguna forma el análisis de un evento lluvia-escurrimien-to. Sin embargo, estos programas tienen limitaciones, tanto por su demanda de tiempo de procesamiento en cuencas grandes, así como por sus requerimientos de información, tales como, parámetros físicos y aforos. Los resultados que se obtienen pueden ser muy generaliza-dos sin explicar el evento hidrometeorológico ocurrido y sus posibles efectos. Por ejemplo, los resultados so-lamente indican el volumen de entrada a una presa, o bien, el gasto asociado a cierto evento.

En las políticas de operación de estructuras hidráu-licas, tales como las presas, resulta importante con-siderar el tiempo en que los gastos tardarán en pre-sentarse en el vaso de almacenamiento, ya que este

ana maría solís encarnaciónIngeniera Hidróloga (UAM), Consultora externa del Departamento de Hidrometeorología perteneciente a la Gerencia de Estudios de Ingeniería Civil (GEIC, CFE), ha colaborado como consultora externa para la CONAGUA.

claudia roJas-sernaIngeniera Civil (UAM), Especialidad en Puentes (FES-Aragón, UNAM), Maestría en Ingeniería Hidráulica (FI, UNAM), Doctorado en Ciencias del Agua (École Nationale du Génie Rural, des Eaux et des Fôrets, París, - Institut National de Recherche en Agriculture, Alimentation et Environnement INRAE, Francia). Actualmente: Profesora-Investigadora en la UAM.


conocimiento incrementa la seguridad de operación y de la estructura.

Si bien, las ecuaciones tradicionales pueden ser em-pleadas para deducir dicho tiempo de entrada, es impor-tante verificar si son aplicables en la cuenca de estudio. En este trabajo se propone una metodología práctica y útil para conocer las características de los hidrogramas de las avenidas y el tiempo en el que se espera que lle-guen a la entrada de un vaso de almacenamiento ante eventos hidrometeorológicos registrados en la parte alta de la cuenca. Los resultados de la metodología pro-puesta son mejores en relación a los obtenidos con las ecuaciones teóricas tradicionales.

Cuenca de estudioLa cuenca de estudio es la cuenca de aportación hasta la presa El Caracol que está ubicada en el río Balsas, en el estado de Guerrero. Esta presa forma parte del sistema hidroeléctrico Infiernillo y aguas abajo de ella se localizan comunidades como “Nuevo Poblado del

Caracol” y “Tetela del Río”, a 11 y 18 kilómetros sobre el curso del río, respectivamente. Esto las convierte en puntos de especial atención ante cualquier tipo de riesgo asociado a la presa.

La Comisión Federal de Electricidad (CFE) tiene insta-lada en este sistema, una red de monitoreo que consta de seis estaciones hidrométricas. En este trabajo, se delimitaron las cuencas hasta los puntos coordenados de cinco de las hidrométricas. En la Figura 1 se mues-tran las estaciones hidrométricas, así como los puntos de confluencia de los aportes más importantes de esta unidad hidrográfica (puntos rojos sobre sobre el cauce del río Balsas). La sexta estación hidrométrica que está ubicada en la cortina de la presa se utilizó para validar el análisis. Se determinaron los parámetros físicos para cada una de las subcuencas, siendo el tiempo de con-centración el parámetro de mayor interés.

En la Tabla 1 se presentan las características físicas de los tramos del río Balsas definidos para este trabajo y que se observan en la Figura 1.

Figura 1. Cuenca de aportación hasta la presa El Caracol y su red de monitoreo hidrométrico. (Elaboración propia, a partir de la información de INEGI 2020.)




Ecuaciones teóricas tradicionalesTiempo de concentraciónEl tiempo de concentración se determinó para los tramos definidos en la Tabla 1 y con las formulaciones desarro-lladas por diversos autores. Algunas de ellas consideran parámetros de forma de la cuenca por ejemplo el área de la misma. A continuación, se presentan las fórmulas empíricas utilizadas.

Kirpich (1940, Aparicio (1997))

tc = 0.000325L0.77

S0.385 (1)

California Culverts Practice

(U.S-Bureau of Reclamation, 1973)1

tc = 600.87075L3 L3

H

0.385

( (

(2)

Soil Conservation Service (SCS) (1986)

tc = 0.00526L0.8 1000CN – 9

0.7S –0.5( (

(3)

Témez (1991)

( (

t c = 0.3L

S0.25

0.7 (4)

Bransby-Williams (Wanielista et al (1997))

t c = 14.6 LA –0.1S–0.2 (5)

Valencia y Zuluanga (1981)

tc = 1.7694A0.325 L–0.096 S –0.29 (6)

En (1), (4) y (6) tc se expresa en horas, mientras que en (2), (3) y (5) tc en minutos, longitud del cauce principal L para (1) está en metros, en (3) la longitud de la cuenca se encuentra en pies y para el resto está en kilómetros, H es el desnivel de los extremos del cauce principal y se encuentra en metros. Lca longitud del centroide de la cuenca a la salida de la misma, S pendiente del cauce principal, A es el área de la cuenca en Km2 y CN es el número de curva que relaciona el tipo y uso de suelo en la cuenca.

En la Tabla 2 se presentan los resultados del tiem-po de concentración para cada uno de los tramos definidos en este trabajo. El promedio del tiempo de concentración se realizó considerando sólo los mé-todos de Kirpich, California Culverts Practice y SCS. Esto ya que como se puede observar en los resultados, para todos los tramos, los valores son más cercanos entre sí.

Tabla 1. Tramos definidos para el análisis. L y S son la longitud y pendiente del cauce, respectivamente.

Tramo Entrada Salida L (Km) S (%)

0 Rio Mixteco Estación “El Fraile” 263 0.33

1 Estación “El Fraile” Punto A 22 0.26

2 Punto A Punto B 74 0.20

3 Estación “Ixcamilpa” Punto B 12 0.38

4 Punto B Estación “Papalutla” 12 0.12

6 Cuenca “Balcon del Diablo” Punto A 237 0.57

7 Río Amacuzac Estación “Atenango” 231 0.39

8 Estación “Atenango” Punto C 44 0.16

9 Río Tlapaneco Estación “Ixcamilpa” 135 0.50

10 Estación “Papalutla” Punto C 53 0.13

11 Punto C Estación “San Juan Tetelcingo” 57 0.35

1 Se empleo la formula de transformación métrica para simplificar el uso.


Tránsito de avenidas. Método de MuskingumEl método de Muskingum es un método de tránsito hi-drológico y se fundamenta en la ecuación de continuidad (Chow, 1994):

I – O = dSdt

(7)

Donde para un tramo del río, I es el caudal de entra-da, O es el caudal de salida y dS/dt es el cambio en el volumen de almacenamiento.

De la ecuación (7), la de Muskingum se escribe como sigue (Chow, 1994):

O2 = C0 I2 + C1O1 + C2O1 (8)

Donde:

C0 =–KX+0.5Δt

K–KX+0.5Δt (9)

C1 =KX+0.5Δt

K–KX+0.5Δt (10)

C0 =K–KX+0.5ΔtK–KX+0.5Δt (11)

y de las tres ecuaciones anteriores se tiene:

C0 + C1 + =1C2 (12)

En estas ecuaciones ∆t es el periodo de tiempo del tránsito de una avenida en el tramo y tiene las mismas unidades que K, que es conocida como la constante de almacenamiento ya que es la relación entre el almace-namiento y la descarga. La constante X representa la relación de las entradas y salidas al tramo del río con su almacenamiento.

K es aproximadamente igual al tiempo de viaje de la onda (avenida) a través del tramo del río.

Metodología propuestaCaracterización de avenidas entre estaciones de aforoHipótesis: Las avenidas esperadas en un punto del río se pueden conocer a partir de lo que han registrado las estaciones hidrométricas aguas arriba. Esto es, relacionar las avenidas registradas aguas arriba con las registradas aguas abajo. Si estas relaciones son confiables, la can-tidad de agua que entra a un vaso de almacenamiento debe estar relacionada con la información de las avenidas registradas aguas arriba. Además, para cada avenida registrada, el volumen de agua entre las estaciones debe seguir una relación con la cantidad de agua que entra al vaso de almacenamiento. Por lo que, el conocimiento de la relación entre las características de las avenidas regis-tradas en las estaciones deberá aportar conocimiento de las avenidas esperadas a la entrada del vaso.

Aplicación al caso de estudio: Con la información histórica proporcionada por la CFE, se analizaron dis-tintas relaciones entre los registros de las estaciones hidrométricas. Esto nos permitió proponer y validar una relación tangible que aporta conocimiento para diferen-ciar el comportamiento de los tiempos de entrada de las avenidas al vaso de almacenamiento. El período de análisis utilizado de las cinco estaciones, se definió a partir de la estación con el período más corto, es decir, con los registros de la estación Papalutla2.

La primera relación se basó en el análisis de superpo-sición de los diagramas de la precipitación registrada tanto en las cinco estaciones, así como en otras ubicadas dentro de la cuenca y gestionadas por la CONAGUA. Se identifi-caron los gastos base de los hidrogramas registrados, ya que, es necesario discernir el gasto directo del registro del escurrimiento total. También se identificaron los meses en que la temporada de lluvias ya se encuentra declarada, y, por lo tanto, la cuenca responde inmediatamente en escurrimiento directo. Así, no se consideran perdidas en el estrato edafológico. No obstante, se observó una baja correlación entre las lluvias y los gastos registrados, un ejemplo de esto se presenta en la Gráfica 1.

Resultados y discusiónTiempo de concentración. Se encontraron resultados si-milares con las ecuaciones de Kirpich, California Culverts Practice y SCS. Esto es consecuente de que relacionan los mismos parámetros.

2 Los datos van del año 1979 a 2006, es necesario actualizar la base de datos para futuros alcances.


Con la información histórica proporcionada por la CFE se analizaron distintas relacio-nes entre los registros de las estaciones hidrométricas. Esto nos permitió proponer y validar una relación tangible que aporta conocimiento para diferenciar el compor-tamiento de los tiempos de entrada de las avenidas al vaso de almacenamiento.



Tránsito de avenidas de Muskingum. Si bien este pro-ceso solo indica el tiempo de la onda de crecida en el cauce, es de gran utilidad para conocer las característi-cas de las secciones transversales y con ello su eventual respuesta. En las Gráfica 1, a) y b), se presenta la avenida máxima registrada en 1998 en San Juan Tetelcingo y los resultados de los parámetros X y K, respectivamente. Se observa que para ninguna de las gráficas de b) se aproximan a una recta, incluso no forman un “rizo”, por lo que no fue posible determinar el valor K.

Tabla 2. Tiempo de concentración (días) obtenido con diferentes fórmulas empíricas para los tramos definidos para el análisis.

Tramo Kirpich Bransby-Wlliams Témez California Culvert Practice Valencia y Zuluanga SCS

Promedio

0 1.81 3.41 2.55 1.23 1.09 1.20 1.41

1 0.29 0.48 0.40 0.28 0.31 0.28 0.28

2 0.82 0.94 1.07 0.82 2.05 0.80 0.81

3 0.16 0.23 0.23 0.16 0.31 0.15 0.16

4 0.25 0.31 0.30 0.25 0.40 0.24 0.25

6 1.36 2.49 2.13 0.94 1.31 0.92 1.07

7 1.55 2.86 2.25 1.13 1.10 1.10 1.26

8 0.61 0.85 0.75 0.59 0.71 0.57 0.59

9 0.93 1.68 1.42 0.69 0.90 0.67 0.76

10 0.77 0.94 0.91 0.74 1.14 0.71 0.74

11 0.55 0.84 0.79 0.80 0.79 0.77 0.71

Gráfica 1. Búsqueda de los valores de los coeficientes K y X del método Muskingum.

Con estos resultados, se observa que este método no es aplicable al área de estudio, ya que no conside-ra otros factores que afectan el comportamiento natural de respuesta, como es el manejo que existe dentro de la cuenca, ya sea por sistemas de desviación, por obras pequeñas de protección que no se identifican con facilidad dentro del sistema, zonas de regulación, etc., además de otras características físicas y de magnitud. Por tanto, no se cumple la ley de conservación de la masa, siendo que este método está fundamentado en la ecuación de continuidad.


Superposición de lluvias y gastos. Como se puede observar en la Gráfica 2, el tren de lluvias diario para los meses de septiembre y octubre, son en su ma-yoría láminas de lluvia de hasta 20 milímetros diarios, también se observa que no hubo cese de tormentas. Esto condiciona al suelo a encontrarse en un estado de saturación durante esta ventana de tiempo e indicaría una respuesta inmediata de la cuenca ante cualquier tormenta. Sin embargo, se muestra lo contrario, ya que la precipitación máxima registrada no coincide en tiem-po con el gasto máximo registrado. Probablemente, la tormenta se desarrolló en un intervalo de tiempo menor y recordemos que los gastos analizados son gastos medios diarios, por lo que no se visualizan los compor-tamientos horarios.

Dado lo anterior, se decidió emplear relaciones re-gresivas de las variables involucradas en los procesos lluvia-escurrimiento, considerándolas como parte fun-damental de este trabajo debido al desarrollo de una formulación que permite entender la intervención de los factores del proceso lluvia-escurrimiento. Además de que también puedan describir el tiempo en el que se produce el escurrimiento con la consideración de los factores antropogénicos.

Gráfica 2. Diagrama de superposición de lluvias y gastos para la estación San Juan Tetelcingo.

Los eventos de mayor relevancia, por su magnitud en el período considerado y en las estaciones cercanas a la presa se presentan en la Tabla 3. Se sabe, por los registros de CFE, que el gasto máximo instantáneo re-gistrado el día 30 de septiembre alcanzó los 3,232 m³/s, pero el comportamiento de este evento alrededor de ese día no se conoce; aun así, es evidente la gran diferencia de volumen de agua entre gastos.

Como se observa en la Figura 1, la estación Papalutla tiene asociada una cuenca de una extensión considera-ble, sus registros engloban los procesos de escurrimiento de las cuencas aguas arriba, monitoreadas por las es-taciones Atenango del río y El Fraile, por lo que solo se tomó la información de Papalutla. Sin embargo, también se aprecia un aporte de la cuenca Atenango del río, que si bien, los gastos no son de la misma magnitud que la estación anterior, es importante la consideración de ellos. Dicho lo anterior, se sumaron los registros medios de las estaciones Atenango y Papalutla para poder hallar las relaciones que guarda San Juan Tetelcingo con respecto a estas dos.

Se consideraron las variables que sobresalen en la relación de dos hidrogramas: la duración total de las avenidas (dT), el tiempo de desfase de los gastos pico

Tabla 3. Fecha de ocurrencia de los cinco eventos extremos considerados.

Fecha de registroGasto medio diario (m³/s)

San Juan Tetelcingo Papalutla

30-sep-1998 2,664 1,485

28-sep-1980 1,112 1,076

08-sep-1984 1,486 942

10-sep-1999 1,243 942

09-jul-1991 1,188 876

0

20

40

60

80

100

120

1400

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

01-sep-98 16-sep-98 01-oct-98 16-oct-98 31-oct-98

hp (mm

)

Q m

edio

(m3 /s

) lluviaacumulada24 hrsGasto mediodiario

(Dd), el tiempo al gasto pico (dQ) y los respectivos registros de gasto picos (Q) (Gráfica 3).

A estas variables se les aplicaron diversos ajustes de regresión, lineal simple, lineal múltiple y no lineal, ob-servándose que la correlación entre los modelos lineales no alcanzó valo-res aceptables, por lo que las relacio-nes retenidas son las de los modelos no lineales.

El procedimiento para la obten-ción de las variables ajustadas con los modelos fue a partir de la elec-ción de los años con registros más


Se decidió emplear relaciones regresivas de las variables involucradas en los proce-sos lluvia-escurrimiento, considerándolas como parte fundamental de este trabajo debido al desarrollo de una formulación que permite entender la intervención de los factores del proceso lluvia-escurrimiento.



Gráfica 3. Representación de las variables consideradas en el desarrollo de los modelos de regresión.

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

9/22/1998 9/26/1998 9/30/1998 10/4/1998 10/8/1998 10/12/1998

ATENANGO+PAPALUTLA SAN JUAN TETELCINGO

Q2Q1

dT1 dT2

dQ1

dQ2

Tabla 4. Ejemplo de los eventos considerados para generar el conjunto muestral.

Incremento Fecha Atenango+ Papalutla

San Juan Tetelcingo dT1 dT2 Dt

dQ1 dQ2 Q1 Q2

1ª a

veni

da

30-ago-98 163.30 209.00

31-ago-98 267.90 203.00

01-sep-98 298.00 322.00

02-sep-98 362.00 338.00

03-sep-98 303.00 391.00

04-sep-98 222.40 325.00

05-sep-98 162.80 240.00

06-sep-98 157.40 201.00 8 6 1 4 3 362.00 391.00

2ª a

veni

da

07-sep-98 223.20 225.00

08-sep-98 609.00 401.00

09-sep-98 1220.00 983.00

10-sep-98 868.00 1324.00 4 4 1 3 4 1220.00 1324.00

3ª a

veni

da

11-sep-98 787.00 754.00

12-sep-98 1022.00 1030.00

13-sep-98 717.00 876.00

14-sep-98 420.00 558.00

15-sep-98 558.00 433.00 5 5 0 1 1 1022.00 1030.00

4ª a

veni

da

16-sep-98 792.00 777.00

17-sep-98 788.00 1012.00

18-sep-98 950.00 965.00

19-sep-98 625.00 757.00 4 4 1 1 2 792.00 1012.00


Gráfica 4. Modelo que relaciona el gasto pico de las avenidas registradas en la parte alta de la cuenca Q1, con el gasto pico a la entrada del vaso de almacenamiento Q2.

y = 1.0883(Q1)1.0075

R2 = 0.9504

0

1,000

2,000

3,000

0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000

Q2(

m3 /s

)

Q1(m3/s)

Gráfica 5. Modelo que relaciona el tiempo de duración de las avenidas registradas en la parte alta de la cuenca dT1, con el tiempo duraría la avenida al entrar al vaso de almacenamiento dT2.

y = 1.0077(dT1)0.9806

R2 = 0.9572

0

4

8

12

16

20

0 4 8 12 16 20

dT2

(día

s)

dT1 (días)

extremos, y de cada uno de los eventos se identificaron cada uno de los incrementos en el gasto, agrupando “pequeñas avenidas” en el evento. Para explicar mejor lo anterior véase la Gráfica 3, donde los subíndices identifican las series aguas arriba y aguas abajo sobre el cauce, estos datos son un extracto de los eventos que se consideraron. En la Tabla 4 se presenta a ma-nera de ejemplo, algunos eventos que se consideraron para el desarrollo de los modelos.

De la gráfica 4 a la 6 se presentan los modelos en-contrados que describen las relaciones entre las avenidas registradas aguas arriba de la cuenca y que se espera lleguen al vaso de almacenamiento.

ConclusionesLos modelos propuestos aportan conocimiento para determinar el tiempo que tardan las avenidas en llegar al vaso de almacenamiento de la presa El Caracol. Se




Gráfica 6. Modelo que relaciona el tiempo en que se presenta el gasto pico de las avenidas registradas en la parte alta de la cuenca dQ1, con el tiempo en el que se presenta el gasto pico dQ2 a la entrada del vaso de almacenamiento.

conoce que la relación del gasto aguas arriba usual-mente sigue una función potencial hacia aguas abajo, independientemente como se haya presentado la tor-menta. La Gráfica 5 presenta el modelo que relacio-na el tiempo de duración de las avenidas registradas aguas arriba con respecto a las de aguas abajo, inter-pretándose también como el tiempo de concentración entre una estación y otra. Por último, la variable más importante que es el tiempo pico de los hidrogramas corresponde a un modelo polinómico, es decir, el tiem-po que tarda en presentarse el gasto pico a la entrada del vaso, sigue una función polinomial que relaciona el tiempo de la avenida aguas arriba con el de la avenida aguas abajo.

Evidentemente los resultados obtenidos hablan de manera general de los comportamientos de las avenidas en toda la extensión de la cuenca, sin tener conocimiento de los eventos que lo ocasionaron, de la distribución física de los fenómenos ni de su procedencia. No obs-tante, son resultados que pueden dar paso a nuevas propuestas para analizar detalladamente, los eventos que han generado mayor riesgo o desastre asociado

ReferenciasAparicio, M.F. (1997). Fundamentos de Hidrología Superficial (5ta reimpresión.),

México: Noriega Editores.

Breña, P. A. y Jacobo, V. M., (2006). Principios y Fundamentos de Hidrología Superficial. (1ra ed.). México: Universidad Autónoma Metropolitana.

Pizarro, R., Hormazábal, M.; León, L. y Morales, C., (n.d.). Determinación empírica de los parámetros que modelan el tránsito de avenidas, por el método de Muskingum, en zonas de clima mediterráneo de Chile central. Chile: Universidad de Talca.

Recuperado de: http://eias.utalca.cl/Docs/pdf/Publicaciones/articulos_cientificos/pizarro_hormazabal_leon_morales.pdf

Vélez, U.J. y Botero, G. A., (s.f.). Estimación del tiempo de concentración y tiempo de rezago en la cuenca experimental urbana de la quebrada San Luis, Manizales. Colombia: Universidad Nacional de Colombia. Recuperado de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=49622372006

González, M.; Scaini, A.; Valdenebro, J. y López, J.J., (n.d.). Análisis del modelo HEC-HMS para la simulación de las avenidas del río Arga en Pamplona (C.-Agua y Ciudad) Consultado en noviembre de 2019 de http://www.ingenieriadelagua.com/2004/JIA/Jia2011/pdf/p488.pdf

Kirpich, Z. P. (1940). Time of Concentration of Small Agricultural Watersheds. Civil Engineering, 10(6): 362.

Témez, J. R. (1991, September). Extended and improved rational method. Version of the highways administration of Spain. In Proc. XXIV Congress (pp. 33-40).

Soil Conservation Service (SCS) (1986). Urban Hydrology for Small Watersheds, Tech. Release 55, Washington, DC.

U.S. Bureau of Reclamation (1987). Flood Hydrology Studies. Design of Small Dams. United States Department of the Interior (29-35).

Valencia, C. y Zuluaga, O. (1981). Estudio preliminar del tiempo de concentración en algunas cuencas de Antioquia. Trabajo de grado. Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.

Chow, V., Maidment, D. R. & Mays, L. W., (1994), Hidrología aplicada. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill.

Wanielista, M., Kersten, R., & Eaglin, R. (1997). Hydrology: Water quantity and quality control. John Wiley and Sons.

y = 0.0262(dQ1)2 + 0.5816(dQ1) + 1.0521R2 = 0.8922

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12

dQ2

(día

s)

dQ1 (días)

http://www.ingenieriadelagua.com/2004/JIA/Jia2011/pdf/p488.pdf

http://www.ingenieriadelagua.com/2004/JIA/Jia2011/pdf/p488.pdf


E l estrés hídrico es un indicador internacional que se calcula di-vidiendo la demanda de agua

entre la disponibilidad (o agua reno-vable) en una cuenca, región o acuí-fero determinados. A mayor deman-da, porporcionalmente hablando, hay mayor estrés hídrico. Cuando este indicador supera el 40%, el agua ya se considera un recurso sujeto a fuerte estrés y ya se debe de consi-derar como una posible limitante del desarrollo.

En las últimas décadas, el incre-mento en las extracciones de agua de cuencas y acuíferos del país ha ocasionado un aumento significati-vo del grado de presión sobre el re-curso, particularmente en las zonas centro y norte del país.

De acuerdo con el Programa Na-cional Hídrico 2020-2024 (PNH) re-cientemente publicado, 8 de las 13 regiones en las que se ha dividido a México para efectos de administra-ción de las aguas nacionales, tienen un alto estrés hídrico, en ellas, la falta de agua será una limitante para su desarrollo futuro.

Una alarma especial merece la Región Hidrológico-Administrativa (RHA) número XIII Aguas del Valle de México, la única que tiene un “muy alto” grado de presión con 141%, sí,

leyó bien, ciento cuarenta y uno por ciento, es decir, la demanda de agua supera la disponibilidad natural total de la región, por lo cual debe traer agua de otras cuencas, Cutzamala y Lerma específicamente, y también por eso tiene el acuífero más so-brexplotado de todo el país y quizá del mundo; en esa región del país el desarrollo es definitivamente insos-tenible en el largo plazo.

Sin embargo, tambien debe po-nerse especial atención a todas las regiones del centro y norte del país, que ya superan el límite establecido y cuentan con un grado de presión “alto”, entre éstas están las RHA I Península de Baja California con 81%; la II Noroeste con 85%; la III Pacífico Norte con 40%; la IV Balsas con 50%; la VI Río Bravo con 75%; la VII Cuencas Centrales del Norte con 48%, y la VIII Lerma Santiago Pacífico con 45%.

Con un grado de presión “me-dio” se tienen la RHA IX Golfo Norte (21%). Y el resto del país se conside-ra con “bajo” grado de presión como es el caso de la RHA XII Península de Yucatán, o sin presión como las RHA V Pacífico Sur; X Golfo Centro, y XI Frontera Sur.

Pero ¿qué es lo que genera la presión sobre el agua? ¿cuáles son los usos que generan la mayor de-manda de este recurso?

El mayor volumen de agua se utiliza por las grandes centrales hi-droeléctricas, pero este es un uso no-consuntivo, ya que este general-mente regresa a los cuerpos de agua sin mayor cambio en su calidad.

En lo que respecta a los usos consuntivos, el sector agrícola genera cerca del 76% de las extrac-ciones, le sigue el abastecimiento público (agua potable a localidades) que extrae el 14%, mientras que 5%

Estrés hídrico

columna por Juan carlos valencia vargas

En las últimas décadas, el incremento en las extracciones de agua de cuencas y acuíferos del país ha ocasionado un aumento significativo del grado de presión sobre el recurso, particularmente en las zonas centro y norte del país.

AGUA PARA TODOS


corresponde a lo que usa la industria autoabastecida y 5% se emplea en centrales termoeléctricas. De estos caudales, los sectores, agrícola y público urbano, tienen pérdidas de agua de cerca de la mitad del agua extraída, lo que representa una gran área de oportunidad para reducir las extracciones.

Según las estimaciones del PNH, las extracciones de agua para los diferentes usos a nivel nacional han dejado de incrementarse como lo

hicieron en el siglo XX. Sin embargo, las necesidades de agua para abas-tecer a las ciudades siguen crecien-do, en veinte años la brecha estima-da entre oferta y demanda será de 23 mil millones de metros cúbicos.

Para el año 2050 habrá 31 mi-llones de habitantes más en el país, lo que representa cerca del 25% adicional a la población actual. De acuerdo con las tendencias actuales, alimentar a una pobla-ción mayormente urbana requiere

incrementar la producción de ali-mentos alrededor de un 70%, lo que implica que las extracciones de agua se incrementarían 55% para el año 2050. A menos que se tomen decisiones ahora, no habrá forma de satisfacer esa demanda.

Publicado el 23 de enero de 2021 en El Sol de Cuernavaca. Publicado con permiso. https://www.elsoldecuernavaca.com.mx/analisis/el-estres-hidrico-6276318.html

Estrés hídrico


Lo primero es el agua de beber, el agua que demanda nuestro organismo para mantenernos

vivos. Sin ese elemento de la na-turaleza no podemos vivir. Todo ser vivo tiene derecho a vivir con calidad, bienestar y en armonía con el medio ambiente. Preservar la vida es un derecho fundamen-tal de todo ser humano y como el agua es vida, por consecuencia el agua es un derecho humano que se debe garantizar. Y como el agua mantiene integralmente los eco-sistemas del medio ambiente que nos dan calidad de vida y bienestar, entonces por ello debemos vivir en armonía con el agua y con el medio ambiente.

Este juego de frases o palabras engloba la esencia de una realidad que no hemos podido satisfacer y que hoy por hoy estamos lejos de hacerlo en gran parte del mundo. El derecho humano al agua y al sanea-miento es una deuda pendiente que tenemos los gobiernos y la sociedad en general con los grupos vulnera-bles y desprotegidos que sufren la escasez, la ausencia o inaccesibili-dad del agua, o bien aquellos que para allegársela invierten altos cos-tos y largas horas o días para tenerla en sus hogares.

¿Se podrá garantizar el derecho humano al agua?

por: Jorge armando nevÁrez montelongo

En julio de 2010, la Asamblea General de las Naciones Unidas señala que: “Profundamente preo-cupada porque aproximadamente 884 millones de personas carecen de acceso al agua potable y más de 2,600 millones de personas no tienen acceso a saneamiento bá-sico, y alarmada porque cada año fallecen aproximadamente 1.5 mi-llones de niños menores de 5 años y se pierden 443 millones de días lectivos a consecuencia de enferme-dades relacionadas con el agua y el saneamiento, reconoció explícita-mente este derecho humano, reafir-mando que un agua potable limpia y el saneamiento son esenciales para la realización de todos los derechos humanos”.

Las Naciones Unidas han plan-teado que todos los seres humanos deben tener acceso a una cantidad de agua suficiente para el uso do-méstico y personal –entre 50 y 100 litros de agua por persona al día–, además que debe ser segura, acep-table y asequible desde el enfoque de que el costo no debe superar el 3% de los ingresos del hogar y acce-sible físicamente, es decir, la fuente debe estar a menos de 1,000 metros del hogar y llevarla a él no debe su-perar los 30 minutos.

Se exhorta también a los Esta-dos y organizaciones internacionales a proporcionar recursos financieros, capacitación y transferencia de tec-nología para ayudar en particular a los países en vías de desarrollo a proporcionar un suministro de agua potable y saneamiento saludable, limpio, accesible y asequible para todos.

De la definición de las Naciones Unidas se desprenden varios aspec-tos; por un lado, el agua “suficiente”: eso no lo tenemos en la mayoría de nuestros centros de población, por-que se ha abusado de los acuíferos, principal fuente de abasto, o la varia-bilidad climática, que ha disminuido los caudales del agua superficial. Por otra parte, aún cuando las cobertu-ras de los servicios en nuestro país al año 2019 son del 94.9% en agua potable, en muchos casos por la an-tigüedad de la infraestructura y las pérdidas que ocasiona, no se tiene la eficiencia que se requiere para darle un servicio continuo y de calidad a la población.

En México se diseñan los sis-temas de distribución de agua po-table con dotaciones de 200 litros por habitante diarios, sin embargo, en general en las zonas urbanas se tienen que extraer hasta 400 litros

AGUA PARA TODOS


¿Se podrá garantizar el derecho humano al agua?

para lograr este propósito. Por ello la disponibilidad en el año 2000 era de 4,250 metros cúbicos por habitante al año, bajará hasta 3,815 metros cúbicos hacia 2030.

Respecto al agua “saludable, aceptable y físicamente accesible”, son los aspectos de limpieza, cali-dad, higiene, color, olor, sabor que debe tener para garantizar la salud del ser humano, regulados en México por la modificación a la Norma Oficial Mexicana NOM-127-SSA1-1994, y en cuanto a la facilidad de su acce-so y disposición mediante sistemas de extracción, almacenamiento y distribución cercana al lugar, vemos que en las zonas serranas o rurales la forma común de su disposición es a base de larguísimos conductos por lo general provenientes de manantiales o de cauces alejados que superan con mucho las condicionantes de distancia y tiempo que establecen las Naciones Unidas.

Por último, la condición “asequi-ble” del agua, tiene que ver con su costo. El Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD) sugiere que éste no debería supe-rar el 3% de los ingresos del hogar. Existen miles de familias que deben erogar mucho más que eso para ha-cer asequible el acceso al agua y al saneamiento en sus comunidades. El pago de combustibles o pipas de agua desde largas distancia para su uso doméstico supera con mucho el porcentaje señalado, empobreciendo más a las familias y provocando pro-blemas mayores asociados a la salud por la falta oportuna del líquido para el consumo y la sobrevivencia.

México, en su Ley de Aguas Na-cionales desde 2012 en el artículo 4, reconoce el derecho humano al agua consignando lo ya señalado: “Toda persona tiene derecho al acceso, dis-posición y saneamiento de agua para consumo personal y doméstico en forma suficiente, salubre, aceptable

y asequible”. Pero además algo muy importante: “El Estado garantizará este derecho y la ley definirá las ba-ses, apoyos y modalidades para el acceso y uso equitativo y sustentable de los recursos hídricos, establecien-do la participación de la Federación, las entidades federativas y los muni-cipios, así como la participación de la ciudadanía para la consecución de dichos fines”.

Lo segundo es definitivamente el mayor obstáculo para proteger el derecho humano de las personas al agua potable. Los recursos presu-puestales federales para la atención al Sector Hídrico del país han ido a la baja drásticamente hasta en un 70% en los últimos 5 años al grado de tender a desaparecer y descargar la responsabilidad de la carga econó-mica de rehabilitaciones, sustitucio-nes y nuevas obras de infraestructura

a las entidades federativas y a los municipios, los cuales en su gran mayoría, sean urbanos o rurales, no la pueden solventar.

¿Cuáles son las consecuencias de esta baja de la inversión econó-mica en el sector hídrico? muchas. Las más importantes: El estado, tal como lo establece el artículo 4 de la ley citada, no podrá garantizar el de-recho humano al agua con todos sus elementos intrínsecos; en segundo lugar, se acelera un deterioro alar-mante de los sistemas de captación, abasto y distribución por la falta de recursos para el mantenimiento y la rehabilitación.

Asociado a ello, la crisis de em-pleo y de dispersión económica sin duda, ocasionará el incremento de la pobreza y nuevas amenazas a la salud pública por la falta de acceso al vital líquido. Urge inyección per-manente y sostenida de recursos presupuestales con nuevos esque-mas de financiamiento y apertura a la implantación de nuevos modelos tecnológicos de desarrollo de la grande y mediana infraestructura, así como de pequeños sistemas de captación y abastecimiento en co-munidades rurales que otros países están experimentando con éxito, en un plan sostenible y de largo plazo que garantice el derecho humano al agua en México.

Twitter: @_jorgenevarez E-mail: [email protected]

Las Naciones Unidas han planteado que todos los seres humanos deben tener acceso a una cantidad de agua suficiente para el uso doméstico y personal –entre 50 y 100 litros de agua por persona al día–, además que debe ser segura, aceptable y asequible desde el enfoque de que el costo no debe superar el 3% de los ingresos del hogar y accesible físicamente, es decir, la fuente debe estar a menos de 1,000 metros del hogar y llevarla a él no debe superar los 30 minutos.

Artículo publicado originalmente en la revista Vertebración, año XVII, No. 917, 31 de enero de

2021. Publicado con permiso.

mailto:[email protected]

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