Jesus Mosterfn

LOCICA DE PRIMER ORDEN

Desde finales del siglo XIX, y despues lie un letar­go de 2.000 afios, la logica se :ha desarrollado a un r itmo acelerado, convir tiendose en UJ,1a de las cien­cias formales mas solidas y bien establecidas. Ac­tualmente, algunos conocimientos basicos de 16­gica resultan imprescindibles al fil6sofo y al mate­matico, e incluso al Iinguista, al programador 'y al in teresado poria teo ria de la informacion 0 la ci­berne tica.

Las ramas de la filosofia contemporanea que han logrado un progreso indudable y un rico acopio de resultados y aclaramientos fecundos - tales co­mo la filosofia de la ciencia y la filosoffa del len­guaje - se basan en la aplicacion de tecnicas y coriceptos logicos al analisis de sus problemas. In­cluso en campos tan aparentemente alejados como la etica se empieza a hacer uso de la logica como potente instrumento de dilucidacion y sistematiza­cion, Y no pocos filosofos actuales piensan que la filosofia entera no es o tra cosa sino la actividad del analisis logico.

El progreso de la logica llevo a principios de si­glo al descubr-imiento de las paradojas de la teoria de conj untos y, con ello, a la mas grave "crisis de fundamentos" de la materna tica moderna. Pero pre­cisamente con ayuda de la logica se encontraron tambien las diversas soluciones a la crisis: teorias axiornaticas de conjuntos, teoria de tipos, materna­tiea intuicionista, etc. Las relaeiones entre logica y ma ternatica son estrechas y sus fronteras arbi­trarias. Respecto a los conceptos fundamentales de la teoria de conjuntos nadie sabria afirmar si son logicos 0 maternaticos. Y en la metamatematica 10­

grarnos obtener resultados inequivocamente mate­maticos POI' procedimientos logicos y resultados ti­picamente logicos POI' procedimientos maternaticos. En cierto modo, se puede decir que la maternatica so reduce a la logica, pues la actividad materna­liea consiste en deducir eonsecuencias (teoremas) " parIiI' de axiomas dados. En otro sentido se pue­de dccir que la logica se reduce a la matematica, de la que consti tuye la parte mas general.

L" ",i'"ilaeion de las nociories y tecnicas logicas "iP""·IlI"h·s Iacilrta grandemente la labor del lin­,'.iii ...In, d,,) programador, del ciberrie tico, etc. Re­.. ,"··rd.· .. ,,· I" iuiportancia de la logica en el desa­rr"II" .I,. I" I,·" r in gl'neral de la computabilidad 0

.I•. I,,:. ,,,i"l,,i,,,,:: .I" 'I'uring. Recuerdeso tarnbien que 1,1'. 1'11!"lle'III,':; I illl-:'iiisl.icas mas recientes - grama­I n-" , •.•. ",."" ivn .Y truusf'ormacional de Chomsky, 1\. d:. d,' I,." I."" ,)" "I> toner para los leriguajes lllllillillc':, t·tlll.llllll(l~; <1(' I"Pl-das 0 algoritmos r-ecu r­',it'll', tho l~c'llc'r;lcH'111 :;illlil:tn'.'~ Cl los ernpleados para dl·llllll Ill', ftlllll;t1I;.rtlll,'; It')l_:i('w~. Incluso en la psi­! ,,11I,~in, III III'clllJ~tl'~I~1 .Y 101 .illri:;pnl(h'llei~1 encuentra Ill'" 1"11 .II,. I.. II'I'.II'n npllt'IWIOIH':'.

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I

COLECCION «CONVIVIUM» - 11

( LOGICA DE PRIMER ORDEN

(

COLECCION CONVIVIUM

1. Historia del espiritu griego por Wilhelm Nestle

2. Metafisica por Emerich Coreth

3. Literatura latina por Jean Bayet

4. Introduccion a la sintaxis estructural del latin

por Lisardo Rubio

5. ABC de la grafologia por J. Crepieux-Tamin

6. Literatura griega. Contenido, problemas y metodos

por Jose Alsina

7. Tragedia y politica en Esquilo por Carlos Miralles

8. La investigacion cientifica por Mario Bunge

9. Historia de la filosofia por Frederick Copleston

10. Introduccion a la logica y al analisis formal

por Manuel Sacristan

11. Logica de primer orden por Jesus Mosterin

12. Los origenes de la civilizacion anglosajona por Micaela Misiego

13. Teoria axiomatica de conjuntos por Jesus Mosterin

14. Hipocrates y la nosologia hipocratica por Eulalia Vintro

15. Salustio. Politica e historiografia por Jose-Ignacio Ciruelo

16. Calculo de las normas por Miguel Sanchez-Mazas

JESUS MOSTERIN

LOGICA .DE PRIMER ORDEN

EDITORIAL ARIEL BARCELONA - CARACAS - MEXICO

1.' edicion: 1970 2.' edicion: septiembre de 1976

© 1970 Y 1976: Jesus Mosterin, Barcelona

Deposito legal: B. 35759 - 1976 ISBN: 84 344 3939> 5

Impreso en Espana

1976. - 1. G. Seix y Barral Hnos., S. A. Av, J. Antonio, 134, Esplugues de Llobregat (Barcelona)

PHOtOeD A LA PRIMERA EDICIDN

Numerosas ciencias, desde la matetruiiica hasta la meteorologia, pasando par la quimica, utilizas: simbolos. Asi tam bien 10 haee la logiea, desde que esta ee constituye en ciencia en 1879, con la publicacuni del Begriffsschrift de Frege. El simbolismo usado par Frege tenia el inconveniente de ser bG:'8­tante cornplicado - las variables, pOl' ejemplo, tenian distinta forma, segun que estuoiesen libres 0 ligadas - y, edemas, era bidimensional. Estos ineon­venientes fueron eliminados pOl' Peano, que en 1894, en su Notation de logi­que mathematique, introdujo el primer simbolismo logieo simple y unidimen­sional. El simbolismo de Peano, conoenientemenie ampliado, fue adoptado par Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica, de 1910-13. Sin em­bargo, pronto se via que este simbolismo no era muy elegante, pues sus sig­nos no retlejavan algunas importantes relaciones entre las operaciones pOl' ellos designadas, tales como la dualidad entre conuuncum. y disyunci6n, la equivalencia del bicondicional con dos condicionales de direcciones opues­tas, la relacion entre corujunciori y cuaruiiicacum. universal a entre disyun­cion y cuaniiiicacion. existencial, etc. POl' esta razon; el simbolismo de Peano ha ido siendo abandonado (aunque algunos autores, como Quine, aun 10 eon­seroan} en favor de simbolismos mas adecuados (en el seniido indica do) y elegantes.

Desgraciadamente, todaoia no se ha llegado a una uniformidad en los signos logicos empleados. En este libro adoptaremos el sunbolismo que nos parece mas iniuiiioo y que mas claramerde refleia las relaciones arriba indi­cadas. Actualmente, este simbolismo es de uso universal en Alemania y la parte oeste de los Estados Unidos (California, etc.).

La definicion de la sustitucum. planiea serias dificultades. La primera version completamente explicita de un sistema logieo de primer orden, la de Hilbert y Ackermann de 1928, resulio inconsistence por una mala defird­don de la sustitucion. Tarski hamostrado en 1951 como la sustitucuni puede ser evitada. Sin embargo, el disponer de la sustitucuni en todo su. alcance y potencia simplifica enormernente las deducciones yin metateoria.

Al conirario de 10 que freeuenternente pasa en fa bibliografia logiea, en las paginas 42-43 de este libro se presenta una definicion recursioa exacta

6 I'ROLOGO

de la sustitucuni para todos los casos, incluulas las formulas cuantificadas y las descripcumes.

En la mayoria de los libros de texto de 16gica se introducen [ormalismos de primer orden sin identidad ni functores Ij, en cualquier caso, sin descrip­dones. Para estos formalismos pobres se definen los conceptos y se presenta un calcuio deductico. Pero esto es de poca utilidad, pues cualquier teoria matenuiiica 0 cualquier argumentaci6n iilosoiica; a poco complicada que sea, necesita para su [ormalizacum de la identulad, los functores y las des­cripciones. La teoria de coniuntos, por ejemplo, hace uso de las descripcio­nes a cada paso. Esto suele arreglarse mencionando estos temas en un apen­dice al final.

Una de las peculiaridades de este libro es que aqui, desde un principio, se introduceo. los formalism os de primer orden en toda su potencia, incluyen­do la identidad, los [unctores y las descripcumes. Esta presentaci6n eXige un mayor esjuerzo inicial por parte del lector 0 alumna, pero represenia una gran economia de esjuerzos al final, pues no hay que volver una y otra vez sobre 10 mismo, conuplicdndolo cada vez un poco mas.

Una de las tareas mas importances de La 16gica consiste sin duda alguna en el desarrollo de algoritmos generales que nos permitan "mecanizar" 0

normalizar determinados p1'Ocesos intelectuales. Especialmente importantes son los algoritmos 0 calculos deductivos, que nos permiten mostrar La co­rreccion de las argumentaciones odlidas, desarrollar las teorias axiomaticas, precisar el concepto de prueba 0 demostracum, etc.

EI primer calculo deductivo fue presentado por Frege en su citado tra­bajo de 1879. Los calculos 16gicos posteriores a 1879 y anteriores a 1934 estaban formulados - igual que el de Frege - como siste'mas axiomaticos. Habia, por un lado, una serie de "axiomas 16gicos" y, pOl' otro, una serie de reglas de inferencia. La aplicacion de estos calculos resultaba engorrosa y artificial, y se parecia poco al proceso del razonamiento no formalizado, que parte de las premisas, y, paso a paso, llega a la conclusion. En 1934 Gentzen presento los dos primeros calculos 16gicos sin axionws y con solo reglas de inferencia, cuya aplicaci6n resulta mas familiar y natural que la de los viejos ( calculos, par 10 que los llarn6 calculos "de deducci6n natural". A partir de entonces se han presentado diversas variantes y simplificaciones de La idea de Gentzen.

Aqui presentamos el calculo deductivo expuesto por Kalish y Montague en 1964. Aunque un poco complicado a primera vista, resulta luego sorpren­dentemente facil de manejar y de aplicar. Ademas, tiene la ventaja de seguir muy de cerca el proceso normal de la prueba matematica. El lector que conozca otros calculos observara que Ie resulta mas facil obtener deduccio­nes en este calculo que en los otros. En este sentido, es el calculo mas "na­tural" que conozco. Ni que decir tiene que todos los calculos clasicos de primer orden Son equivalentes, es deGir, que con ellos pueden deducirse las

PROLOGO 7

mismas sentencias. Por eeo, a la hora de elegir un calculo entre otros, 00

cabe mas que invocar rrwtivos pragmaticos 0 esteticos - en este caso, mas bien pragmaucos que esteticos, pues hay cdlculos mucho mas elegantes, aun­que tamhien mucho mas dificiles de manejar y aplicar.

En este libra se presenta la setruintica de los [ormalismos de primer orden de un modo riguroso, comenzando por el concepto de interpretacion de un formalismo y siguiendo por la dilucidacum de los conceptos de satisfacibi­lidad, consecuencia, etc., llevada a cabo en el sentido de Turski,

La semantica aqui preseniada es La senumtica clasica, no la intuicionista. (Esto no implica [uicio alguno de valor.) La senuuitica cldsica estd perfec­tamente fijada. El unico punto problenuuico es el de la interpretaci6n de las descripciones, donde hemos adoptado una solucum tipo Frege-Carnap-Mon­tague, asignan1do una designacion arbitraria, pero unica en cada inierpreta­cum, a todas las descripciones impropias. La soluci6n resulta artificiosa y poco iniuitioa, pero es la mas comoda a la hora de formalizar y maneiar el cdlculo. El mismo Quine, que sietrupre habia preconizado una soiucion tipo Russell, a La hora de hacer teoria, en su Set theory and its logic, adopta una solucioa del mismo tipo que la aqui adoptada, para no cotnplicarse exagera­damente al vida.

En la parte de senuuuica se oirecela prueba detallada y entera del fun­damental teorema de la completud settuuuica de nuestro calculo deductioo. Este resuliado [ue obtenido por primera vez por Codel, en 1930. En 1949 Henkin ofrecio una prueba distinta y mas simple del mismo resultado. En 1957, Kalish y Montague realizaron la prueba de la completud semdntica referida al calculo aqui presentado - mas rico que el tomado como base por Godel y Henkin. La prueba que nosotros ofrecerrws representa una no­table modificaci6n y simplificacion de la de Kalish y Montague, aprovechan­do ideas de Hasenjaeger y Hermes.

S610 a los logicos puros - que son muy pocos - interesa la logica por S1 misma. La mayoria de las personas - fil6sofos, matematicos, etc. - que se interesan por La logica se interesan sabre todo por sus aplicaciones. Saber aplicar La l6gica, dominar la logic a como arte, con.siste sobre todo en saber probar que una sentencia dada es 0 no es una consecuencia de un conjunto dado de sentencias, es decir, en saber hacer deducciones y pruebas de inde­pendencia. Y esto, mas que una teoria, es una praxis, que solo se aprende practicandola. La experiencia muestra que los estudiantes encuentran difi­cultades a La hora de buscar ocasiones de practicar, ejercicio resueltos. Por eso en este libro se ofrece una cantidad considerable de ejercicios de deduc­cion y de prueba de independencia, que espero resulten utiles al lector.

Este libro es de texto en el sentido estricto a estrecho de la palabra. Ha surgido de las clases de logica que el autor ha dado en la Universidad de Barcelona en los ultimos cuatro anos y esta destinado a servir de texto a cur­sos de logica de nivel universitario.

8 PROLOGl.

Para acabar, desearia expresar aqui mi agradecimienio a Hans Hermes, de quien he sido discipuio durante tres aiios, en Munster, y a los estudiantes de 16gica de la Unioersidad de Barcelona de los cuatro ulUmos curses, cuyo sentido de la critica y del humor ha consiituido pam mi un constanie ali­ciettte y una continua satisiaccion;

JESUS MOSTERIN 170.Barcelona, junio de 19

PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION·

Los manuales de 16gica aparecuios en nuestro pais en los seis aiios transcurruios desde la primera edici6n de esia ohm han adoptado el sistema de signos 16gicos aqui propuesto, 10 cual no puede por menos de contrihuir a la deseable uniformizaci6n de la terrninologia cientifica.

En .esta segunda edici6n se han corregido erratas y deecuidos de la primera y se han afiadido algunos eietnplos. Pero el caracter y articulaci6n de la obra permanecen inalterados: la 16gica de primer orden con [unctores, identidad y descripciones se presenta de una vez y desde el principia de un modo escueto y preciso, con la mayoria de las pruebas plenamente desarro­lladas y con abutulantes eternplos y elcrcicios que faciliten la asimilacum de las tectiicas [ormoles por parte del estudiante.

Agradezco sus obseroaciones a cuanios lectores me las han hecho llegar, y en especial a Calixto Badesa.

JESUS MOSTERIN

Barcelona, junio de 1976.

INDICE

Pr610go a la primera edici6n 5 Pr610go a la segunda edici6n 8

INTRODUCCION

1. Nombres . 13 2. Functores. 14 3. Sentencias 15 4. Predicados 16 5. Conectores 17 6. Variables . 19 7. Terminos y formulas 19 8. Cuantificadores 21 9. Descripciones , 22

10. Parentesis 24 11. Formalizacion 2..5 12. Formalismos . 27 13. Lenguaje y metalenguaje . 27

PARTE PRIMERA

SINTAX1S: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

1.1. Signos comunes a todos los formalismos 31 1.2. Signos peculiares de un formalismo 32 1.3. Filas de signos 34

104. Terminos y formulas 3.5 1..5. Induccion semiotics 37 1.6. Estancia libre y ligada de una variable 39 1.7. Sustitucion de una variable por un terrnino 41

4.... 0.)1.8. Convenciones notacionales

PARTE SEGUNDA

SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

ILL Reglas primitivas de inferencia 11.2. Deducciones . 11.3. Reglas derivadas de inferencia 1104. Ejercicios de deduccion . 11.5. Teoremas sintacticos sobre la deducibilidad 11.6. Cuasieliminacion de descriptores . 11.7. Consistencia y contradiccion . n.8. Consistencia maxima y ejemplificacion

PARTE TERCERA

SEMANTICA

IIl.l. Interpretaciones 111.2. Denotacion y satisfaccion . 111.3. Interpretacion y sustitucion IlIA. Satisfacibilidad, validez y consecuencia 111.5. Independencia 111.6. Ejercicios de prueba de independencia 111.7. Correccion semantica . 111.8. Consistencia y satisfacibilidad 111.9. Completud semantica

Bibliografia .

i

49 51 54 57 88 93 . 97

100

INTRODUCClON

107 109 111 115 117 119 127 129 135

139

1. Nombres

La cadena sonora que sale de nuestras bocas al hablar puede ser seg­mentada de diversas maneras. De la mayoria de los segmentos no tendria sentido preguntar por el objeto 0 individuo al que se refieren 0 designan. No designan objeto alguno. A los segmentos de la cadena sonora que se refieren a algun objeto 0 individuo les llamamos designadores.

Si en vez de analizar la cadena sonora analizamos textos escritos, nos encontraremos en una situacion parecida. Podremos scgmentar los textos (0 sucesiones finitas de signos graficos del alfabeto de que se trate, ampliado para abarcar los signos de puntuacion y el espacio de separacion) de muchas maneras. Algunos segmentos de texto designanin quizas algo 0 a alguien, y Ies llamaremos designadores. La mayoria no designan nada, no se refieren a nada,

Hay muchos tipos de designadores. Uno de los mas sencillos esta cons­tituido por los nombres.

Todos conocemos ejemplos de nombres. Por ejemplo, "1", "2", "3", "4", "5", "6" ... son nombres de numeros, "Paris", "Roma", "Barcelona", "Reus", "Sao Paulo", "Yokohama"... son nombres de ciudades. "Pablo Picasso", "An­dre Gide", "Jose Maria de Porcioles", etc., son nombres de personas. "Marte", "Tierra", "Venus" ... son nombres de planetas. "RENFE", "UNESCO", "ONU", "NATO" ... son nombres de empresas u organiza­ciones.

Los nombres son -limitando ahora nuestra atencion al lenguaje escri­to-- sucesiones de signos graficos que designan algo -un numero, una ciudad, una persona, un planeta, una empresa... -. En esto se comportan como el resto de los designadores, de los que se diferencian pOl' ser gene­ralmente mas cortos, mas sencillos, mas univocos, mas independientes del contexto.

Si digo: "yo he comido machacamoya", "yo" actua como designador, es un designador que se refiere a mi. Pero su referencia variara con el contexto, con la persona que pronuncie esa sentencia. Podria decir 10 mismo, diciendo "Jesus Mosterin ha comido machacamoya", utilizando el

15 14 INTRODUCCION

nombre "Jesus Mosterin", cuya referencia permanecera invariable, utilice la sentencia quien la utilice. En este caso, pues, aunque el nombre era mas largo que el otro designador - el pronombre "yo" -, resultaba mas univoco, mas independiente del contexto.

Vamos a ir introduciendo un simbolismo senciIlo para formalizar las expresiones lingiiisticas que nos interesen. Asi, en vez de los nombres del lenguaje ordinario, nosotros utilizaremos las primeras letras minusculas del alfabeto latino: a, b, c, e, k, si es necesario con subindices de diferenciacion (ao, al, a2, ... , etc.).

Consideremos el texto: "Charles de Gaulle vive en Paris, que es la capital de Francia". Podemos simbolizar a "de Gaulle" pOl' a, "Paris" pOl' b, Y "Francia" pOl' e, con 10 que obtenemos: "a vive en b, que es la capital de e".

2. Functores

Los nombres son designadores simples, en el sentido de que ninguna parte propia de ellos es a su vez un designador. Pero no todos los designa­dores son asi. Con frecuencia nos encontramos con des,ignadores compuestos, designadores que pueden segmentarse en varias partes, algunas de las cuales son a su vez designadores.

"El rio que atraviesa la capital de Francia" es un designador, una expresion linguistica que se refiere a un objeto 0 individuo: el rio Sena. "Sena" es su nombre, pero no la unica expresion que 10 designa. "La capital de Francia" es. una parte propia del designador citado y, a su vez, un designador, e incluso un designador compuesto tambien, pues una de sus partes, "Francia", es ella misma un designador; un designador simple en este caso, es decir, un nombre.

Hay algunas expresiones lingiiisticas que, seguidas de un mimero deter­minado de designadores, forman a su vez un designador. Estas expresiones se llaman functores.

Un functor que, seguido de un designador de cierto tipo, forma un de­signador, se llama functor monadico 0 monario. Asi, hablando de personas, "la madre de ... " es un functor monadico. Junto con los designadores perso­nales "Pablo VI" 0 "Juan Ramon Jimenez" forma los designadores "la madre de Pablo VI" 0 "la madre de Juan Ramon Jimenez". Hablando de numeros naturales, " ...2" 0 "el siguiente de ... " son functores monadicos, Junto con los designadores "3" 0 "4" forman los designadores "32

" y "el siguiente de 3", 0 "42" Y "el siguiente de 4".

Un functor que necesita de dos designadores de un cierto tipo para formal' un nuevo designador se llama functor diadico 0 binario. Asi, habJan­do de numeros naturales, "el maximo comun divisor de ... y ... ", "el minirno comun multiple de y " " + ", " " son functores diadicos.

(1

(

1 SENTENCIAS

Junto con los dos designadores 7 y 5 forman los designadores "el m.c.d, de

I 7 y 5", "el m.c.m. de 7 y 5", "7 + 5", "7·5". Un functor que necesita de tres designadores para formal' un nuevo

dcsignador se llama functor triadico 0 ternario. En general, un functor (IUC necesita de n (donde n es un numero natural cualquiera) designadores para formal' un nuevo designador se llama un functor n-adico 0 n-ario.

1 Observese que los nombres sefialan simplemente su objeto de referencia

sin indicar nada acerca de el, mientras que los designadores compuestos

I (de un functor y otros designadores) sefialan su objeto de referencia indi­cando alguna relacion en que ese objeto esta con los otros objetos designa­dos por los designadores componentes. Asi, el nombre "9" no indica nada del objeto al que se refiere, mientras que su designador compuesto "3 2 "\

j indica que es el cuadrado de 3. Lo mismo puede decirse de "Paris" y "la \ i capital de Francia", etc.

1En nuestra simbolizacion, en vez de los functores del lenguaje ordinario,

utilizaremos las siguientes letras minusculas del alfabeto latino: f, g, It, si cs necesario con subindices de diferenciacion ti». iI, f2,"" etc.). Cuando 10 creamos oportuno, indicaremos el numero adico 0 aria de un functor (es• dccir, el numero de designadores que necesita para formal' un nuevo desig­I nador) colocandolo en la parte superior derecha de la Ietra con que 10 simbolicemos, Asi, si "1" es un functor triadico y queremos indicarlo, escri­biremos "f3".

Consideremos el texto: "El padre de Juan Sebastian Bach tambien era musioo", Podemos simbolizar al nombre "Juan Sebastian Bach" pOl' a, y al functor "padre de... " pOl' f, con 10 que obtenemos, escribiendo delante el functor: "fa tambien era musico",

3. Sentencias1 I

j Un designador se refiere a algo. "El Sena", 10 mismo que "El rio que

atraviesa la capital de Francia", se refiere al rio Sena, Pero dque sentido tcndria preguntar si "el Sena" es verdadero 0 falso? Ninguno, evidente­mente. De muchos de los segmentos en que podemos dividir la cadena sonora que sale de nuestras bocas 0 los textos escritos que salen de nuestra mana no podemos decir que sean verdaderos 0 falsos. Solo de algunos. A estos les llamamos sentencias. Una sentencia es una expresion linguistica de la que podemos decir que es verdadera 0 falsa, aunque no sepamos si es 10 uno 0 10 otro.

Asi, pOl' ejemplo, "Paris es la capital de Francia", "5 + 5 = 12" Y "Tengo unas ganas en ormes de cantar" son sentencias. La verdad 0 false­dad de las sentencias depende con frecuencia del contexto. "Ayer fui al cine" puede ser verdadera 0 falsa, segun la persona que la diga y el diu en que la diga. Nosotros nos interesaremos par sentencias que sean 10 masJ

I 2. - I.6cICA DE PRIMER ORDEN"

16 17 INTRODUCCION

independientes posible del contexto, tales como muchas sentencias cienti­ficas 0 notariales. Al decir "Ayer fui al cine" digo 10 mismo que al decir "el dia 8 de enero de 1969 Jesus Mosterin fue al cine", pero esta segunda sentencia es mucho mas independiente del contexto que la primera.

Hemos visto que podemos establecer una correspondencia entre desig­nadores del lenguaje y objetos del mundo. Algunos filosofos han buscado una correspondencia parecida para las sentencias, y han creido encontrarla en los hechos. Asi como un nombre designa un objeto, una sentencia pre­tenderia describir un hecho. De una sentencia diriamos que es verdadera, si realmente describe un hecho; y que es falsa, en el caso contrario.

4. ReIatores

Habiamos visto que hay expresiones lingiiisticas que, junto con un nume­ro determinado de designadores, forman un nuevo designador. Las habia­mas llamado functores. Del mismo modo podemos observar que hay expre­siones lingiiisticas que, junto con un nurnero determinado de designadorcs, forman una sentencia. Las llamaremos relatores.

Un relator que, seguido de un designador de un cierto tipo, forma una sentencia se llama un relator monadico 0 monario. Asi, hablando de perso­nas, " ... es bueno", " ... esta enfermo", " ... ronca terriblernente", " ... vive en una casa de campo en las afueras de Amsterdam" son relatores mona­dicos. Junto con designadores tales como "Juan Pelaez", "el rey de Thai­Iandia", "el padre de Juan Pelaez" y "el alcalde de Amsterdam", forman sentencias tales como "Juan Pelaez es bueno", "el reyde Thailandia .esta enfermo", "el padre de Juan Pelaez ronca terriblemente" y "el alcalde-de Amsterdam vive en una casa de campo en las afueras de Amsterdam".

Un relator que necesita dos designadores para fonnar una sentencia se llama un relator diadico 0 binario. Asi, hablandode personas "... ama a ... ", y " ... es mucho mas alto que ... " son relatores diadicos, Junto con designadores tales como "Juan Pelaez", "la hija mayor del alcalde de Ams­terdam", "Julio Quebrantahuesos" y "el rey del Nepal", forman sentencias tales como "Juan Pelaez ama a la hija mayor del alcalde de Amsterdam" y "Julio Qucbrantahuesos es mucho mas alto que el rey del Nepal".

lin relator que necesita tres designadores para formal' una sentencia se llama un relator triadico 0 ternario. Asi, hablando de ciudades, ":., esta situada entre ... y ... " es un relator triadico, Junto con designadores tales como "Zaragoza", "Madrid" )' "Barcelona" forma sentencias tales como "Zaragoza esta situada entre Madrid y Barcelona".

En general, Ull relator que necesita n designadores para formal' una sentencia se llama un relator n-adico 0 n-ario.

En nuestro simbolismo, emplearemos las letras mayusculas del alfabeto latino H, P, Q, R, S para representar los relatores del lenguaje ordinario.

CONECTORES

Si es neeesario, emplearemos subindices de diferenciacion: Po, Pl , P~, ... Cuando 10 creamos oportuna, indicarcmos el numero adico 0 ario de un relator (es decir, el mnnero de designadores que necesita para formal' una sentencia) colocandolo en la parte superior derecha de la letra con la que 10 simbolicemos, Asi, si R es un relator diadico y queremos indicarlo, escribiremos R2.

Consideremos cl texto: "Juan ama a su madre, pero no aguanta a dona Leovigilda", Podemos simbolizar el nombre "Juan" pOI' 'a, el nom­bre "dona Leovigilda" pOl' b, el functor "la madre de ... " port, el relator " ... ama a ... " por P y el relator" ... aguanta a ... " par Q. Escribiendo el relator delante de los designadores con los que forma una sentencia, obtc­nemos:

Paia, perc no Qab.

,5. Conectores

Hay ciertas exprcsiones de las que no se puede decir que sean desig­nadores 0 sentencias, pero que desempefian un importante papel en la Iormacion de sentencias compuestas a .partir de otras mas simples. Estc cs cl caso, por ejemplo, de algunas de las particulas que los gramaticos llaman conjuncianes: "v". "0", "no", "pero", "si ... entonces ... ", etc.

Estas particulas sirven, entre otras cosas, para determinar el valor de verdad (es decir, si es verdadera 0 falsa) de la sentencia compuesta en Iuncion de los valores de verdad de las sentencias simples que la componen. Asi, una sentencia como "Juan duenne y Pedro estudia" sera verdadera en el caso y solo en el caso de que tanto la sentencia "Juan duerme" como la scntencia "Pedro estudia" 10 sean.

En nuestro simbolismo, utilizaremos el signo "," para representar la particula "no" y otras de funcion parecida" tales como "ni", "no es el caso que", etc. Asi, representaremos la scntencia "no Qab" por ", Qa!J".

Para representar la particula "y", as! como otras de funcion parecida, como "tambien", "pero", "igualmente"; "tanto ... como", etc., utilizaremos ('] signo "A". Asi representaremos "Pata, pero no Qab" pOl' "Pata A, Qab".

Al decir "de funcion parecida" en este y en los otros parrafos, no hay que suponer ninguna concesion a la vaguedad. Puesto que los conectores sirven especialmente para determinar los valores de verdad de las senten­cias compuestas, no nos interesan de ellos las connotaciones de otro orden que pudieran tener. Aunque "pero", pOl' ejemplo, s,e usa cuando ha:r una cierta oposicion entre las dos sentencias que une, su contribueion al valor de verdad de la sentencia compuesta resultante es la misma que Ia de "y". Asi: "Juan no viene hoy pero vcndra manana" es verdaderaen el caso y solamenteen elcasoen que 10 sea "Juan no viene hoy y vendra manana". La dHerencia entre ambas sentencias es ret6rica,· no 16gica.

18 INTRaDUCCION

Consideraciones semejantes pueden hacerse para las restantes particulas. La particula "a" se utiliza al menos en dos sentidos, una exclusive (que

excluye la verdad simultanea de las dos sentencias que conecta), como en "a estas horas ya Ie habran aprobado a Ie habran suspendido", y otro no exclusivo (que no excluye la verdad simultanea de las dos sentencias que conecta), como "aprobaran -losalumnos que hayan escrito un buen trabajo en casa 0 hayan hecho un buen examen", "se requiere saber frances 0

Ingles", "todos sus amigos san aficionados al cine 0 a la rmisica", etc. Reprc­sentaremos la particula "0", en su usa no exclusivo, mediante el signa "v", ASl en vez de "Qab 0 no Qab", escrihiremos "Qab y, Qab".

Para representar la expresion·"si ... , entonces ... " u otras parccidas utilizaremos el signa "~". Si A Y B son dos sentencias, en vez de cual­quiera de estas sentencias:

si A, entonces B si A, B suponiendo que A, B B, si A B, a condicion de que A A es una condicion suficiente de B B es una condicion necesaria de A

escribiremos: "A ~ B". Lo que queremos decir es que, siempre que A sea cierto, tambien 10 sera B.

Para representar la expresion " ... si Y solo si ... " u otras parecidas utili­zaremos el signo "~". Si A Y B son dos sentencias, en vez de

A si Y solo si B A es una condicion necesaria y suficiente de B si A, B, Y si B, A,

escribiremos: "A ~ B". Lo que queremos decir es que A y B tienen el mismo valor de verdad, que las dos son ciertas 0 las dos son falsas.

A estos signo~:

" /\, v ; ~, ~

y a las oxprcsioncs lingiiisticas por ellos representadas, les llamaremos concctorcs, pOl'quc sirvcn para concctar unas sentencias con otras (excepto ","), formando scntcncias mas complicadas a partir de otras mas simples.

Lo fundamental de los conectores es que determinan univocamente el valor de verdad de la sentcncia compuesta, pOl' ellos conectada, en funcion de los valores de verdad de las sentencias componentes. Esto no ocurre

VARIABLES. TERMINaS Y FORMULAS 19

siempre asi con las expresiones del lenguaje ordinaria. Pew nosotros sola usaremos las nuevas signos aqui introducidos cuando esto ocurra,

, A sera verdadero, si A es falso. En los demas casos, Ialso.

A /\ B sera verdadero, si tanto A como B son verdaderos. En los demas casos, falso.

A y B sera falso, si tanto A como B son falsos. En los demas casos, verdadero.

A ~ B sera falso, si A es verdadero y B falso. En los demas casos, verdadero.

A ~ B sera verdadero, tanto si A y B son los dos verdaderos, como si A y B son los dos falsos. En los demas casos, falso.

6. Variables

Los matematicos utilizan can frecuencia variables, sobre todo cuando quieren decir algo bastante general, como que la ecuacion

x+y=y+x

sicmpre resulta satisfecha, cualesquiera que sean los numeros reales que pongamos en vez de las variables.

En ellenguaje ordinario, los pronombres juegan con [recuencia el papel de variables. "EI ha sidoel asesino", dEl? dQuien? Es como decir: "x ha sido el asesino". "Lo he visto con mis propios ojos". dLo? dQue? Es como decir: "He visto x con mis propios ojos".

En realidad, a la hora de analizar textos del lenguaje ordinario y simbo­lizarlos adecuadamente, nos daremos cuenta de que las variables constituyen un valioso recurso de simbolizacion. Como variables utilizaremos las ultimas letras mimisculas del alfabeto latino:· u, v, w, x, y, z. Si es necesario usare­mos subindices de diferenciacion: xo,' xl, X2, X:t.

7. Terminos y formulas

Si en una sentencia sustituimos un designador pOl' una variable (0 va­rios designadores pOl' otras tantas variables), el resultado es 10 que llamamos una f6rmula abierta.

Asi, sustituyendo el designador "Juan" porIa variable "x" en la senten­cia "Juan ama a su prima", obtenemos la formula abierta "x ama a su prima". Del mismo modo, sustituyendo el designador "la madre de Luis" por "y" en la sentencia "la madre de Luis se pasa el dia cosiendo", obte­nemos la formula abierta "y se pasa el dia cosiendo", Sustituyendo el

20 21 INTRODUCCION

designador "5" por "x" y el designador "7" por "y" eh la sentencia ",5 +7210", obtenemos la Mrmula abierta "x + y > 10".

Observese que, mientras las sentencias son verdaderas 0 falsas, las forrnu­las abiertas no son ni 10 uno ni 10 otro. "5 + 7 >10" es cierto, pem "x + y > 10" no es ni cierto ni fa lso,

Si en un designador sustituimos un designador por una variable (0 varios designadores por varias variables), el resultado es 10 que llamamos un termino abierto.

Asi, sustituyendo el designador "Luis" por la variable "x" en el desig­nador "Ia madre de Luis", obtenemos el termino abierto "la madre de x". De igual modo, sustituyendo "el ultimo rey de Francia" por "z" en el desig­nador "la cabeza del ultimo rey de Francia", obtenemos el termino abierto "la cabeza de z". Y sustituyendo el designador "8" por "x" y el designador "9" por "y" en "(8 + 9)2", obtenemos el termino abierto "(x -+ y)2".

Observese aqui tambien que, mientras los designadores designan 0 se refieren a un individuo u objeto determinado, los terminos abiertos no se refieren a individuo u objeto alguno. Asi, por ejemplo, "(8 + 9)2" designs al numero 289, pero "(x -+ y)2" no designa numero alguno.

De ahora en adelanto, llamaremos formulas tanto a las formulas abier­tas como a las sentencias. Y lIamaremos terminos tanto a los terminos abier­tos como a los designadores.

Segun la tenninologia que hemos adoptado, "El padre de Enrique es amigo del alcalde de Reus" es una formula y, en especial, una sentencia. "x es amigo de y" es una formula y, en especial, una formula abierta. "Madrid es la capital de Espana" es una formula y, en especial, una senten­cia (en este caso, verdadera). ",5 + x = 10" es una formula y, en especial, una formula abierta (ni verdadera ni falsa). "La capital de Francia" es un termino y, en especial, un designador (que designa Paris). "El padre de Fe­lipe II de Espana" es un termino y, en especial, un designador (que designa a Carlos I de Espana). "5 + 6" es un terrnino y, en especial, un designador (que designa al numero II). "La capital de x", "el padre de z" y "5 -+ y" son terminos y, en especial, son terminos abiertos, que no designan objeto alguno.

El siguiente cuadro resume 10 dicho:

f abierto termino .,tdesignador (designa un objeto 0 individuo)

I abierta Iorrnulat scnrcncia (es verdadera 0 falsa)

CUANTIFICADORES

8. Cuantificadores

A veces nos encontramos con expresiones lingiiisticas que nos sirven para decir algo de todos los objetos de una clase detenninada. Por ejemplo, la expresion "todos los" en "todos los chinos aman a Mao", 0 la expresi6n "cada" en "cada uno tiene sus gustos", 0 la expresi6n "el" en "el hombre es un mamifero", Otras expresiones nos sirven para decir algo de algunos objetos de una dase determinada, para afirrnar que en esa clase hay al menos un objeto que cumple 10 que se dice. Por ejemplo, la expresi6n "unos" en "unos tipos sospechosos me seguian", 0 la expresi6n "algunos" en "algunos chinos aman a Liu Chao-chi", 0 la expresi6n "hay" en "hay personas que pesan mas de 120 kg". A todas estas expresiones las llama­remos cuantificadores. A las primeras ("todo", "cada", "el" ... ), cuantifica­dores universales, a las segundas ("algun", "unos", "hay", ... ), cuantificado­res particulares.

Al cuantificador universal 10 representaremos por ..A", al particular por "V". Despues del cuantificador escribiremos siempre una variable, a la que llamaremos variable cuantificada:

Ax, Ay, Vz, Vw ...

A partir de formulas abiertas podernos construir formulas cuantificadas, anteponiendo cuantificadores, seguidos cada uno de una variable. Si digo "todos mis amigos son gentes de fiar" quiero decir que, de cualquier x, se puede afirmar la formula abierta:

si x es amigo mio, entonces x es de fiar es decir,

x es amigo mio ~ x es de fiar.

Para simbolizar enteramente la sentencia "todos mis amigos son gente de fiar", he de afiadir el cuantificador universal:

Ax (x es amigo mio ~ x es de fiar).

0, simbolizando los relatores " ... es amigo rnio" y " ... es de fiar" por "P" y "Q", respectivamente:

Ax (Px ~ Qx).

Observese que, desde el punto de vista granco, el cuantificador univer­sal, A, es como un conyuntor mas grande, mientras que el cuantificador particular, V, parece un disyuntor de gran tamafio. Tambien a nivel intui­tivo existe una semejanza funcional entre estos dos pares de signos. En efecto, si tomamos una clase finita como ambito de referencia, entonces la cuantificacion universal equivale a una conyunci6n repetida, mientras que la cuantificacion particular es como una disyuncion iterada,

22 23 INTRODUCCION

Asi, por ejemplo, si en un club solo hay tres socios: Juan, Pedro y Enri­que, decir "todos los socios son honrados" equivale a decir "Juan es honrado y Pedro es honrado y Enrique es honrado"; y decir "algun socio es un Iadron" equivale a decir "Juan es un ladron 0 Pedro es un ladron 0 Enrique es un ladron", Simbolizando "Juan" por a, "Pedro" por b y "Enrique" por e, el relator" ... es honrado" por H y " ... es un ladron" por L, y convi­niendo que nuestras variables se refieren a socios del club, tenemos que

Ax Hx equivale a Ha /\ H') /\ He Vx Lx equivale a La v Lb v Lc

Claro esta que esto solo oeurre, como ya hemos indicado, en el caso de que hablemos de una clase finita, como la de los miembros de un club. En el caso de clases infinitas, como la de los numeros naturales, la cuantifica­cion es insustituible. Si queremos decir que todos los numeros naturales poseen una determiriada propiedad P, podemos escribir:

AxPx

Pero si quisieramos escribirlo como conyuncion repetida

PI/\ P2 /\ P3 /\ P4 /\ P5 /\ P6 /\ P7 /\ ...

no podriamos, pues no acabariamos nunca de escribir esa conyuncion.

9. Descripciones

A veces nos referimos a un individuo indicando una caracteristica que solo el posee, caracterizandolo, describiendolo univocamente. La expresion linguistica que empleamos para ella es un designador, pues designa un individuo. Pero es un designador un tanto peculiar.

Consideremos la formula abierta

x mato a Robert Kennedy

Supongamos que Robert Kennedy fue asesinado por una sola persona. En ese caso, la formula abierta que acabamos de escribir caracteriza 0 des­cribe univocamente a un individuo: al asesino de Robert Kennedy, al que mato a Robert Kennedy, al x tal que x mato a Robert Kennedy.

Para simbolizar las caracterizaciones 0 descripciones univocas de un individuo, introducimos el signo "." (la iota griega), al que llamaremos el descriptor. El descriptor, como los cuantificadores, siempre va seguido de una variable.

El designador "el que mato a Robert Kennedy" sera simbolizado asi:

ex x mato a Robert Kennedy

DESCRIPCIONES

0, mas completamente, simbolizando el relator " ... mato a... " por M, y el nombre "Robert Kennedy"por k:

tX Mxk

Si simbolizamos el relator monadico ":., es habitante de Barcelona" por H y el relator diadico " ... es mas anciano que ... " por M, podernos simbolizar el designador "el mas anciano habitante de Barcelona" por:

~x (Hx /\ -Ny (Hy /\ Myx))

que, en lectura detailada, dice:

el x tal que: xes habitante de Barcelona y no hay ningun habi­tante de Barcelona que sea mas anciano que el.

Hagamos que nuestras variables se refieran a numeros naturales, sim­bolicemos el relator diadico ":., es divisor de ... " por ''I'' y el predicado diadico " ... es menor 0 igual que ... " por "<", Podemos simbolizar el designador "el maximo comun divisor de n y m" por:

tX (x]n /\ xlm /\ Ay (yin /\ Ylm ~ y < x))

que en lectura detallada, dice:

el x tal que: x es divisor de n y de m, y cualquier otro nurnero que es divisor de n y de m es menor 0 igual que el.

"El menor mimero natural" se simbolizaria:

ex Ayx<y

"El mayor numero natural" seria

ex Ayy.<x

Ahora bien, mientras todos sabemos que el 0 es el menor mimero natu­ral, el mayor no existe. La expresion "el mayor numero natural" no describe univocamente objeto alguno, no caracteriza a objeto alguno, aunque por su forma sea una caracterizacion. En el mismo caso estan expresiones tales

como "el actual rey de Francia", "~'" "el hijo menor de Fulano" (donde

Fulano no tiene hijos), etc. Ante estas caracterizaciones engafiosas 0 descripciones impropias cabe

tomar dos caminos por 10 menos. Uno consiste en excluirlas del lenguaje, no admitirlas como terminos (es el camino de Hilbert). Otro consiste en atribuirles una designacion arbitraria, la misma para todas ellas. Cada descripcion propia designaria su objeto univocamente descrito, mientras que todas las descripciones impropias designarian un mismo objeto, arbi­trariamente elegido por el hablante. Este camino resulta un tanto sofisticado

)..

2.5 INTRODUCCION24

y artificioso, pero tiene muy claras ventajas tecnicas a la hora de forma­lizar. Es el camino seguido por Frege y Carnap y el que seguiremos noso­tros aqui.

10. Parentesis

Las mismas palabras, colo cadas en el mismo orden, pueden dar Iugar a sentencias distintas, segun las pausas que hagamos al pronuneiarlas 0 los signos de puntuaci6n que empleemos al escribirlas. Si, refiriendonos a nues­tro amigo John, decimos: "John habla en frances, 0 John habla en Ingles y Pedro no le entiende", damos a entender que Pedro no entiende el ingles, pero posiblemente si el frances. Al decir: "John habla en frances 0 John habla en ingles, y Pedro no Ie entiende", queremos mas bien indica!" que Pedro no entiende ni el frances ni el Ingles, que son los idiomas que habla nuestro amigo, por 10 que en cualquier caso no Ie entiende.

Tratemos de formalizar estas dos sentencias, usando "H" para" ... habla frances", "N" para " ... habla Ingles", "E" para " ... entiende a ... ", "a" para nuestro amigo "John" y "b" para "Pedro". .

Las dos sentencias arriba citadas podrian formalizarse de momento asi:

Ha y Na /\ .. Eba

Ahora bien, una de esas sentenoias podria ser falsa y la otra verdadera. No pueden ser formalizadas de la misma manera. Al pronunciarlas, maroa­bamos la diferencia mediante las pausas; al escribirlas, mediante las comas; al formalizarlas, marcaremos la diferencia mediante la distinta colocacion de los parentesis,

Ha y (Na /\ .. Eba) (Ha y Na) /\ --. Eba

seran la correcta formalizacion de la primera y la segunda sentencia, res­pectivamente.

Los parentesis son al lenguaje formalizado 10 que las pausas al Ienguaje hablado y los signos de puntuacion al lenguaje escrito normal.

Los parentesis se emplean mucho en la matematica, No es 10 mismo

8+ 7·5 que (8 + 7) ·.5

8 + 7 ·5 es 43, mientras que (8 + 7) . 5 es '7.5. Tarnpoco es 10 mismo 5 + 72x + y que (5 + 7)2(X + y).

Tambien en el lenguaje formal de Ia logica los parentesis estan a la orden del dia, Los parentesis nos sirven para indicar hasta donde lIega el efecto de un cuantificador 0 de un descriptor. Supongamos que nues­

...

FORMALIZACION

tras variables se refieren a personas, "S" representa a" ... es sueco" y "E" a " ... es europeo",

"Si todos los hombres son suecos, x sera un europeo" es una formula abierta y se formaliza asi:

AxSx~Ex

"Todos los suecos son europeos" es una sentencia y se formaliza asi:

Ax(Sx ~ Ex)

La diferencia se indica, pues, unicamente par la colocacion de los pa­rentesis.

Si nuestras variables se refieren a numeros naturales (0, 1, 2, :3, ... , ctc.) y M representa a "... es menor que , .. ", formalizaromos la descripci6n "el numero natural menor que el 1" (que designa al 0) por

tx,Mxl.

Para formalizar la descripcion "el numero natural menor que cl 2 Y mayor que el 0" (que designa all) hemos de hacer uso de los parentesis:

IX (Mx2 /\ MOx).

Si no 10 hiciesemos, esto es, si escribiesemos llanamente:

tX Mx2 /\ MOx,

no s610 no conseguiriamos decir 10 mismo, sino que, por afiadidura, no diriamos nada, En efecto: la fila de signos anterior a "/\" es un termino, mientras que la posterior es una formula, y sucede que los conectores han sido introducidos para unir precisamente dos f6rmulas. (Por otraparte "txMx2" no designa objeto alguno: no hay solamente un numero natural menor que 2.)

11. Formalizaeion

Formalizar las expresiones del lengnaje ordinario signinca simbolizarlas de acuerdo can las normas hasta ahora expuestas. Para Iormalizar unas expresiones hay que empezar por analizarlas, es decir, por vel' si son sentencias, designadores, etc., y cuales son sus cornponentes. A continua­ci6n hay que indagar cuales son los nombres, functores y relatores distintos que en ellas aparecen, asignando una letra distinta correspondiente a cada uno de elIos. Finalmente, y por medio de los SigJ.l0S 16gicos (conectores,

II cuantificadores y descriptor), las variables y los parentesis, hay que tradu­~

cir simb6licamente la estructura de las expresiones de que partimos.{

26 INTRODUCCION FORMALISMOS. LENGUAJE Y METALENGUAJE 27

Pongamos varios ejemplos numericos, Supongamos que nuestras varia­bles se refieren a numeros naturales y simbolicemos los relatores monadi­cos" ... es par" y " ... es impar" pOl' "P" Y "Q" respectivamente, el relator cliadi~? " ... ,~~, menor que ... " pOl' "<" y el functor monadico "el siguiente de ... pOl' f.

"Hay pOl' 10 menos un numero par menor que tres" 10 simbolizare­mos pOl'

Vx(Px r; X < 3)

"Hay a 10 sumo un numero par menor que tres" pol'

/\xy(Px r; Py r; X <.'3/\ Y < 3 ~ x = y)

"Hay exactamente un numero par menor que tres", que equivale a las dos sentencias anteriores, juntas, puede simbolizarse uniendo sus simboliza­ciones respectivas:

Vx(Px r; x < 3)/\ /\xy(Px r; Py r; X < 3/\ Y < 3 ~x = y)

0, mas brevemente,

Vx(Px r; X < 3/\ /\y(Py r; Y < 3 ~ x = y))

"El numero siguiente de cualquier numero par es impar" se conver­tid en

/\x(Px ~ Qfx)

"El numero siguiente de cuatro es cinco" sera

f4 = .5

La silogistica aristotelica, que es la teoria 16gica mas antigua, s610 se ocupa de sentencias de 4 tipos muy determinados: del tipo a: "todos los A son B"; del tipo i: "algun A es B"; del tipo e: "ningun A es B" y del tipo 0:

"algun A no es B", donde A y B son relatores monadicos. Nosotros sim­bolizariamos estas sentencias asi: (

tipo a: /\x(Ax ~ Bx) tipo i: Vx(Ax r; Bx) tipo e: /\x(Ax ~ -, Bx) tipo 0: Vx(Ax r; -, Bx)

Asi, pOl' ejemplo, si nuestras variables se refieren a hombres, y las letras G, E Y M representan los relatores monadicos " ... es griego", " ... es europeo" y " ... es mortal", respectivamente, podemos simbolizar

"todos los griegos son mortales" como

/\x(Gx ~Mx)

"ningun griego es mortal" como

/\x(Gx ~ -, Mx)

"algunos europeos son griegos" como

Vx(Ex r; Gx) y

"algunos europeos no son griegos" como

Vx(Ex r; -, Gx).

12. Fonnalismos

Podemos llegar a determinadas f6rmulas a terminos simbolicos como resuItado de un proceso de formalizaci6n de textos del lenguaje ordinario, movidos, pOl' ejemplo, pOl' el deseo de aclarar 0 controlar una determinada argumentaci6n.

Pero tambien podemos interesarnos pOl' las posibilidades que hay de construir terminos y f6rmulas a partir de determinados signos, con inde­pendencia del lenguaje ordinario. Podemos definir propiedades de f6rmulas y relaciones entre formulas. Podemos,' en una palabra, interesarnos pOl' los formalismos.

Un formalismo no es sino eso: un conjunto de signos y de determinadas combinaciones de esos signos. Aqui vamos a considerar un tipo peculiar de formalismos: los de primer orden.

Todos los formalismos de primer orden tienen ciertos signos comunes: los conectores, los cuantificadores, el descriptor, el relator diadico de igual­dad, "=", y las variables. Pero unos formalismos se diferencian de otros en los distintos nombres, functores y relatores que poseen.

Un formalismo es, en principio, un mere juego de signos y de combina­ciones de signos, desprovisto de toda significacion, Sin embargo, podemos interpretar un formalismo, cuando asi nos interesa, atribuyendo significados a sus signos. Un formalismo asi interpretado se convierte en un lenguaje formal. Claro que un mismo formalismo es susceptible de ser interpretado de muy diversas maneras, dando lugar a diferentes lenguajes formales.

En la sintaxis estudiaremos los formalismos con independencia de toda interpretaci6n. El estudio de las interpretaciones sera objeto de la se­mantica.

13. Lenguaje y metalenguaje

Cuando un grupo de espafioles vamos a clase de latin, el profesor nos habla en espafiol acerca del latin. Utiliza la lengua espanola para hablar­nos de la lengua latina. En ese sentido decimos que el espafiol esta siendo

28 INTRODUCCION

usado como metalenguajc para el estudio adecuado del latin, que es el lenguaje-objeto.

Los formalismos son susceptibles de ser interpretados y, por tanto, de convertirse en lenguajes: lenguajes formales. Pero su estudio ha de reali­zarse desde otro lenguaje que, respecto a elIos, es un metalenguaje. En este Iibro estudiaremos los formalismos -0 lenguaje-objeto- utilizando como metalenguaje el castellano, 0, mejor dicho, el castellano enriquecido con deterrninadas expresiones matematicas y determinados signos ad hoc que irernos introduciendo.

Basta aqui hemos introducido una serie de conceptos de un modo intui­tivo e insatisfactorio. Con ello espero haber conseguido 10 que pretendia: que una serie de palabrotas tecnicas empiecen a "sonarle" al lector. Tan pronto como pase al primer capitulo, es de esperar que ellector olvide 10 leido en la introducci6n y se quede con las definiciones mas precisas que de aqui en adelante encontrara..

PAHTE PHIMERA

SINTAXlS: GRAMATIGA DE LOS FOHMALlSf\~OS

I

1

"'j

I

1

\ I ..

I 1.1. Signos comunes a todos los formalismos

El al£abeto de cada formalismo esta constituido par dos clases de signos: los signos comunes a todos los formalismas y los signos peculia­res de el,

Los signos comunes a todos los formalismos son las variables, los signos 16gicos y el igualador.

Las variables constituyen un conjunto infinito recursivamente nume­rable de signos distintos. Es decir, hay tantas variables como numeros natu­rales. A eada variable corresponde un numero natural distinto, ul que lla­mamas su indice, Asi podemos hablar de la primera variable (0 variable de indice 1), de Ia segunda variable (0 variable de indice 2), ... de la n-esima variable (0 variable de indice n), etc. Inversamente, a cada numero natural corresponde una variable: la que tiene ese numero como indice, Variables distintas tienen indices distintos y una sola variable tiene un solo indice.

Las variables pueden tener cualquier forma grafica compatible can las anteriores exigencias. Par ejemplo, podrian tener la forma de cruces segui­das de palates (el numero de palates indicaria el indice) a de circulos can

( 1111 numero en su interior (donde el numero en el interior de cada circulo indicaria el indice), etc.

primera variable ffi CD segunda " ffi ® tereera ® euarta : II @

\

I •I

La forma eoncreta, que tengan las variables nos resulta indiferente, pues nosotros no las usaremos, sino unicarnente las mencionaremos. Para refe­rirnos indistintamente a variables, introducimos como metavariables las

I 3. - LOGICA DE PRIMER ORDEN

100......-. _ I

32 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

ultimas letras minusculas del abecedario latino (provistas, cuando sea nece­sario, de subindices de diferenciaci6n): tz, v, W, x, y, z, "', uo, til, u~, u~, ... , VI, V2, Va, ...

Los signos logicos son 8: 5 conectores, 2 cuantificadores y 1. descriptor. Constituyen, pues, un conjunto finito, disjunto con el de las variables. Es decir, no hay signos comunes, cada signa 16gico es distinto de los demas v de cada una de las variables. J Como estos signos son pocos, podemos darles nombres. A cada uno de los 5 conectores le Ilamaremos respectivamente: negador, conyuntor, disyuntor, condicionador y bicondicionador. A los cuantificadores les lla­maremos universal 0 generalizador y existencial 0 particularizador, respec­tivamente. Al descriptor le seguiremos llamando asi.

Los signos 16gicos pueden tener cualquier forma grafica compatible con las 'anteriores exigencias. Por ejemplo, el negador podria tener la forma de una piramide roja 0 de una locomotora 0 de una golondrina.

La forma concreta que tengan los signos 16gicos nos resulta indiferente, pues nosotros no los usaremos, sino unicamente los mencionaremos. Asi nos ahorramos el tener que estar escribiendo constantemente los signos entre comillas. Para referirnos distintamente a los signos 16gicos, introducimos como metanombres los siguientes signos:

-, como nombre para el negador A como nombre para el conyuntor v como nombre para el disyuntor conectores ~ como nombre para el condicionador ~ como nombre para el bicondicionador

/\ V

como nombre para el generalizador como nombre para el particularizador

cuantificadores

como nombre para el descriptor

EI iguulador, finalmcnto, puede tener cnalquier forma grafica, con tal de que sea diforcntc de la de los dcmas signos.

Tampoco usarcmos el igualador, sino que unicamente 10 mencionaremos. Pan~ re(,~rn,~)s distintamente al igualador introducimos como metanombre el sigJl(J ,_--=:.

El igualacor es 10 que lIamaremos en 2. un relator diadieo. Pero 10 intro­ducirnos aqui, porque cs el unico relator comun a todos los formalismos aqui considcrados,

1.2. Signos peculiares de un fonnalismo

Los alfabetos de cada formalismo se parecen en sus signos comunes, que acabamos de ver, y que son los mismos para todos ellos. Y se diferencian por sus signos peculiares, distintos en cada uno.

)

J

\ t

:3:3SIGNOS PECULlARES DE UN FORMALISMO

Los signos peculiares son las constantes individuales, los functores y los rcIatorr-s. EI numero de ellos es variable, scgun los formalismos. Puede haber des de ninguno hasta una cantidad infinita numerable.

Un forrnalismo determinado puede no tener ninguna constante indivi­dual, 0 tener una, 0 dos, 0 tres, ... , etL:., hasta un numero infinito numerable de elias.

Para cada numero natural n (n > 1), un formalismo determinado puede no toner ningun functor n-adico, 0 tener un functor n-adico, 0 tener dos, o tn.'s, ... , etc., hasta un numero infinite numerable de elles.

Igualmente, para cada numero natural n (n > 1), un formalismo deter­minado puede no tener ningtm relator n-adico, 0 tener uno,. dos, tres, etc., rclatorcs n-adicos y hasta IIegar a tener un numero infinito numerable de eIJos. (De todos modos, para n = 2, es seguro que cada formalismo tiene al monos un relator diadico: cl igualador).

Si un formalismo determinado tiene constantes individuales, estas han de posccr un indice 0 estar numeradas. Ha de poder hablurse de la pri­mora constante individual, de la segunda, etc. Y 10 mismo puede decirse de los Iunctorcs 0 relatores n-adicos, casu de que los haya. Tarnbien entonces 1Ia dc' poder hablarse del primero, segundo, tercero, etc., functor 0 relator n-aclico. Pero mientras que las constantes individuales de un formalismo viencn caractcrizadas solo'pOI' ~1I1 numero: su indice, los functores y rela­torr-s vicnen c.uacterizados por dos: su numero adieo y su indice.

Todos estes conjuntos de signos peculiares (de constantes individuales, de functores n-adicos, y de relatores n-adicos para cada numero n) han de sor disjuntos entre si y con el conjunto de los signos logicos y las variables. Es decir, todos los signos han de ser distintos entre si.

Los signos peculiares de un formalismo pueden tener cualquier forma ~r{lfica compatible con las anteriores exigencias. Sin embargo, tampoco aqui uc-ccsitamos prcocuparnos por ella.

La forma concreta que tengan los signos peculiares nos resulta indife­r.-uto, pues no vamos a usarlos, sino unicamente a mencionarlos. Para re­Icrirnos indistintamente a constantes individuales de un formalismo, intro­

,I ~:

clncimos como metavariables las primeras letras minusculas del alfabeto lutino (provistas, cuando sea necesario, de subindices de diferenciaci6n):

1 a, b, C, ... , ao, at, a-s, ... , bo, hI, b'.!., ... , Co, Cl, c:!, ... Para referirnos indistintamente a functorcs n-adicos de un formalismo,

introducimos como metavariables las letras f y h cubiertas de un sobre­indice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subindice de diferen­ciacion): [", tv-, f;', f~, f~, ... , h;;, lt~, tv; ...

Para referirnos indistintamente a relatores n-adicos de un formalismo, in­troducimos como metavariables las letras mayusculas P, Q, R, 5, ... , cubiertas de un sobreindice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subindice de di­ferenciaci6n): pn, Qn R", 5", ... , P;:, p,;, P~, ... , Q~. Q~, Q~,... (Recllcrdes~

35 34 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

que para referirnos distintamente al especial relator diadico que es el igualador usamos el signo "=".)

Cuando el numero adico de un functor 0 relator este claro pOl' el contexto, dejaremos de lado eI sobreindice n.

AI conjunto de los signos comunes a todos los formalismos mas los pecu­liares de un formalismo determinado Ie IIamamos eI alfabeto de ese forma­lismo.

1.3. Filas de signos

3.1. Cada formalismo tiene su alfabeto. AI resultado de escribir signos de ese alfabeto unos a continuacion de otros (y con tantas repeticiones como se quiera) Ie IIamamos una fila de signos de ese formalismo.

Asi, pues, una fila de signos es una sucesi6n finita y no vacia de signos, con posibles repeticiones.

3.2. Tambien podemos definir las filas de signos desde un punto de vista combinatorio. Dado un formalismo 2, para cada numero natural n podemos IIamar Z.; al conjunto de las variaciones con repeticion de n ele­mentos del alfabeto de 2. Entonces podemos definir al conjunto de las filas de signos de 2, Z!£, del siguiente modo:

00

Z21 = U Z" 2

n~l

3.3. Para referirnos indistintamente a filas de signos de un formalismo introducimos la metavariable "~" (provista de subindices de diferenciacion, cuando sea necesario): ~, ~o, ~l, ~2, ...

3.4. La longitud de una fila de signos es el numero de signos de que consta. Abreviando "la longitud de la fila de signos ~" pOl' "long (~)" y haciendo uso de la terminologia de 3.2 podemos tambien establecer:

long (~) = n si y s610 si ~ E Z;

·3.5. La yuxtaposici6n 0 concatenacion de dos filas de signos ~l y ~2 es la fila de signos que resulta de escribir la segunda inmediatamente a conti­nuaci6n de la primera: ~l ~2' Siempre ocurre:

long (~l ~2) = long (~l) + long (~2)'

3.6. Decimos que las filas de signos ~l y ~2 son identicas cuando son la misma fila de signos, es decir, cuando ~l y ~2 tienen igual longitud y en cada lugar correspondiente aparece el mismo signo. Introducimos en el metalenguaje el signo "=" para indicar la identidad de :filas de signos. Mediante "~l = ~2" indicaremos que las fiIas de signos ~l y ~2 son identicas,

TERMINOS Y FORMULAS

1.4. Terminos y formulas

4.1. De entre las mas de signos de un formalismo hay algunas que merecen nuestra especial atencion. Se trata de las expresiones del formalis­mo, es decir, los terminos y las formulas.

He aqui una definicion constructiva simultanea de los terminos y las formulas de un formalismo cualquiera 2.

1." Cualquier variable es un terrnino de 2.

2.') Cualquier constante individual de 2 es un termino de 2.

3.° Si ~l, ••• , ~n son terminos de 2 y r es un functor de 2, entonces

i" ~l, ... , ~" es un termino de 2. 4.° Si ~l, •.. , ~n son terminos de 2 y P» es un relator de 2, entonces

P" ~l, ••. , ~" es una formula de 2. (En especial, si ~l y ~2 son ter­minos de 2, = ~l ~2 es una formula de 2.)

5.° Si ~ es una formula de 2, entonces ,~ es una formula de 2.

6.° Si ~l Y ~2 son formulas de 2, entonces I\~l ~2, Y ~l ~2, ~ ~l ~2 Y ~ ~l ~2 son formulas de 2.

7.° Si ~ es una formula de 2, entonces (para cualquier variable x) Ax ~

Y Vx ~ son formulas de 2.

8.° Si ~ es una formula de 2, entonces (para cualquier variable x) ex ~ es un termino de 2.

Termmos y formulas de 2 son todas y solas las mas de signos de 2 que como tales quedan caracterizadas pOl' estas 8 reglas.

Las expresiones de 2 son las fiIas de signos que son terminos de 2 formulas de 2.

4.2. Para referirnos indistintamente a expresiones de un formalismo in­troducimos como metavariable la letra griega ".f)." (provista, cuando sea preciso, de subindices de diferenciacion): .f)., .f).o, .f).l, .f).2, ...

Para referirnos indistintamente a terminos de un formalismo introduci­mos como metavariable la letra latina "t", (provista, cuando sea necesario, de subindices de diferenciacion): t, to, t-, t2 , •.•

Para referirnos indistintamente a formulas de un formalisrno introduci­mos como metavariables las letras minusculas griegas "IX", "/3", "'c", "a", "q,", "f' (provistas, cuando sea precise, de subindices de diferenciacion): IX, /3, OJ, 0, qI, ~, rl'o, rl'h Ct'2, C!3, ... , (30, {31, 132, ...

Para referirnos indistintamente a conjuntos de formulas introducimos como metavariables las letras mayusculas griegas 'T" y "Ll" (provistas, cuando sea necesario, de subindices de diferenciacion): I', Ll, r 0, r J,

r~, ..., Llo, Ll l , Ll2 , ...

0

36 SINTAXIS: $?RAMATICA DE LOS FORMALISMOS

4.3. Segun se desprende de la definicion 4.1, todo termino comienza por una variable, una constante individual, un functor 0 un descriptor.

Un terrnino se llama variable, constante individual, termino functorial o descripcion, segun que su primer signo sea una variable, una constantc individual, un functor 0 un descriptor, respectivamente.

Las variables y las constantes individuales son terrninos simples (constan de un solo signo). Los terrninos functoriales y las descripciones son terminos compuestos (constan de varios sign os).

Respecto a cada terrnino, es decidible si se trata de una variable, una constants individual, un terrnino functorial 0 una descripcion, Basta con ver si el primer signo del termino es uiia variable, una constants individual, un functor 0 un descriptor.

4.4. Segun se desprende de la definicion 4.1, toda formula comienzu pOl' un relator 0 pOl' un signo logico clistinto del descriptor. Una formula se llama predicativa, negacion, conyuncion, disyuncion, condicional, bicon­dicional, generalizacion 0 particularizacion, segun que su primer signo sea un relator, el negador, el conyuntor, el disyuntor, el condicionador, el bicon­dicionador, el generalizador 0 el particularizador, respectivamente.

Respecto a cada formula es decidible si se trata de una formula predi­cativa, negacio», conyuncion, disyuncion, condicional, bicondicional, genera­[izacion 0 particularizaolon. Basta con vel' si e1 primer signo de la formula es un relator, un negador, un conyuntor, un disyuntor, un condicionador, un bicondicionador, un gcneralizador 0 un particularizador.

EI igualador es un relator diadico. POl' tanto, una formula que empiece par cl igualador sera una formula predicativa, Una formula predicativa cuvo primer signo es el igualador se nama una ecuacion,

4.5. dCuantos terminos hay en un formalismo? Siempre hay un numero infinito numerable de terrninos.

En efecto, pOl' 10 menos hay un numero infinito numerable, pues todas las variables son tcnninos y hay un numero infinite numerable de variables. A 10 sumo hay un nurncro infinito numerable de terminos, pues todos los terminos son fiIas de signos y solo hay un numero infinito numerable de filas (k signos, ya que {~stas son variacioncs con repeticion de elementos del alfabcto, ('ste ('S inlinito numerable- v s(llo hay un numcro innnito numera­hle de variaeiol1cs con n~peticion de elcmt:ntos de un cOlljunto infinito numerable. POl' tanto, hay Ull nlllncro infinito numerable de terminos.

2.Cuantas formulas hay en un formalismo? Siempre hay un numero infi­nito numerable de formulas.

Esto se puede probar con consideraciones parecidas a las .del casu anterior.

INDUCCION SEMIOnCA :37

1.5. Induccion semiotica

5.1. EI conjunto de los numeros naturales es infinito numerable. Si qui­sieramos probar algo para todos los numeros naturales (por ejemplo, que todos e110s tienen una propiedad 9), no tendria sentido que tratasemos de probarlo para cada numero pOl' separado, uno despues de' otro, pues no acabariamos nunca, dQue hariamos? Procederiarnos inductiva 0 recursiva­mente, presentando una prueba pOl' induccion 0 recursion, es decir, proban­do 10 que queriamos probar para 0 y, suponiendo que ya 10 hubiesemos probado para un numero cualquiera n, probandolo para n +- 1. Este tipo de pruebas se basan en el principio de la induccion aritmetica:

. j (1) 0 tiene la propiedad 9 51 ( (2) si n tiene !fJ, entonces n +- 1 tambien tiene 9 entonces: todo numero natural n tiene la propiedad 9

EI mismo problema se nos plantea con las expresiones de un f0I111a­lismo. Tambien ellas constituyen un conjunto infinito numerable. Tambien aqui nos resultaria imposible probar algo para todas las expresiones de un formalismo (por ejemplo, que todos los terminos tienen la propiedad i'jJJ

y todas las formulas tienen la propiedad 9 2) procediendo a probarlo pOl' separado de cada una de cllas. dQUe podemos hacer? Lo mismo que en la aritrnetica: proceder pOl' induccion, probarlo pOl' una prueba inductiva 0

recursiva. Y asi como las pruebas aritmeticas pOl' induccion se basaban en el principia de induccion aritmetica, asi tambien las pruebas pOl' induccion de las que hablamos se basan en un principio 0 teorema de induccion serniotica.

5.2. En 10 que sigue entiendase "constante individual", "termino", "formula", "t", "P", etc., como "constante individual del formalisrno 2", "termino del formalismo ,2", "formula del formalismo ,2", "functor f del formalismo 2", "relator P del formalismo 2", etc.

5.3. Teorema de la induccion serniotica:

I (1) toda variable x tiene la propiedad 9 1

(2) t?da consta~te individual t~~ne }~ propied~d !fJ 1 (3) SI tl, ... , t" benen []PI, tamblen f -1, ... , t" bene 9[ (4) si t 1• "', tTl tienen !fJl, entonces p" tl, "', t n tiene !fJOl\

si , (5) si a tiene []POl, tambien .. (); tiene !fJ 2

\

I(6) si a y f3 tienen []P2, tambien /\ (); (3, V a (3, ~ II (3, ~ (); {3 tienen 9 2

(7) si x tiene 9 1 Y a tiene []P 2, Ax a, Vx (); ticnen []P 2

(8) si (l; tiene 9 2 , eX a tiene !fJ 1

I (a) todo terminG tiene 9cnton"", 1

( (b) toda formula tiene 9 2

38 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMAUSMOS

5.4. Demostracion del teorema de la induccion semiotica, En esta de­mostracion damos por sentada la validez del principio de induccion arit­metica, que aqui utilizaremos en la siguiente version:

Si algo vale para cualquier numero natural m suponiendo que valga para todos los numeros menores que m, entonces eso vale para todos los numeros naturales.

A continuacion procedemos a demostrar 5.3 por induceion aritmetica sobre la longitud de las expresiones.

Toda expresion, como fila de signos que es, tiene u!1a longitud deter­minada. Probaremos que para cualquier numero natural m el teorema vale para toda expresion de longitud m, suponiendo que ya valga para las de longitud menor. Con ello quedara probado que el teorema vale para todas las expresiones.

(J'JI y (J'Jz sean propiedades que reunen las condiciones (1), (2), ... , (8) requeridas por el teorema.

.s. sea una expresion cualquiera de longitud m. EI teorema este ya probado para todas las expresiones de longitud menor

que m (supuesto inductivo).

TESIS: .s. tiene la propiedad (J'JI (si .s. es un termino) 0 la propiedad (J'Jz (si .s. es una formula).

La tesis puede ser demostrada examinando los casos posibles. .s. = x. Entonces, .s. tiene .9'1, por (1). .s. = a. Entonces, .s. tiene .9'1, por (2). .s. = r t-; ... , tn. Entonces, t-, ... , t« tienen (J'JI (por el supuesto inductive,

ya que long (ti ) < long ({"tl , ... , til.) para 1 < i < n). Luego e tiene (J'Jl, por (3).

.s. - p nt l, ... , t-: Entonces, t], , t z tienen (J'JI (por el supuesto inductivo, ya que long (t;) < long (pntl, , til.) para 1 <i < n). Luego .s. tiene (J'Jz, por (4).

.s. - Ill. Entonces, Il tiene (J'Jz (por el supuesto inductive, ya que long (Il) < long (I Il)). Luego .s. tiene (J'Jz, por (5).

.s. = /\ Il [3. Entonces, Il tiene (J'Jz y [3 tiene (J'Jz (por el supuesto inductivo, ya que long (Il) < long (/\ Il [3) Y long ([3) < long (/\ Il [3)). Luego .s. tiene (J'J2, por (6).

Del mismo modo se muestra que si .s. = v Il [3, .s. =0: -? Il [3, 0 .s. = ~ Il [3, entonces .s. tiene (J'Jz.

{). c=: Ax Il. Entonces, Il tiene (J'Jz (por el supuesto inductivo, ya que iong (Il) < long (Ax Il)) y x ticne .9'1 (pues long (x) < (Ax Il)). Luego .s. tie­nc ,rj'lz, pOl' (7).

Del misrno modo sc muostra que si {). ""CO Vx Il, .1). tiene .9'2. {J. = tX Il. Eutonces, Il tiene (J'Jz (por el supuesto inductivo, ya que long

(a) < long (~x 0;)) y x tiene (J'JI (pues long (x) < long (ec Il)). Luego .s. He­ne (J'Jl, por (8).

ESTANCIA LIBRE Y LIGADA DE UNA VARIABLE 39

5.5. En la aritmetica, la induccion no solo se utiliza para probar teore­mas acerca de todos los numeros naturales, sino tambien para definir pro­piedades, relaciones 0 funciones de numeros naturales. Tambien aqui utili­zaremos definiciones recursivas 0 por induceion semiotica para introducir nuevos conceptos aplicables a terminos y formulas.

5.6. Si queremos definir un concepto Cff1 para todos los terminos y un concepto Cff2 para todas las formulas, basta con ofrecer una definicion por uuluccion. semiotica, es decir, basta con:

1.° Definir Cff1 para cualquier variable x.

2.° Definir Cff l para cualquier constante individual a.

3.° Definir Cff1 para fntl, ''', t-; suponiendo que Cff l ya esta definido para h, ... ,tn •

4.° Definir Cff2 para p nt l, ... , t-; suponiendo que Cff1 ya esta definido para t}, ... , t-;

5.° Definir Cff2 para Ill, suponiendo que Cff2 ya esta definido para Il.

6.0 Definir Cff2 para /\ Il [3, V Il [3, -? Il [3, ~ Il f3, suponiendo que Cff2 ya esta definido para Il y para [3;

7.° Definir Cff2 para Ax Il, VXIl, suponiendo que Cff2 ya esta definido para a.

8.0 Definir Cff1 para ex Il, suponiendo que Cff2 ya esta definido para a.

1.6. Estancia libre y Iigada de una variable

6.1. Los cuantificadores y el descriptor siempre van seguidos de una variable. De esta variable se dice que queda ligada por ellos. Asi, si en una expresion aparece la variable x detras de un cuantificador 0 de un descrip­tor, decimos que a: esta ligada en esa expresion.

Los cuantificadores y el descriptor son, pues, signos ligadores. Tambien en el lenguaje matematico normal nos encontramos con frecuencia con signos ligadores y variables ligadas. Asi, en la expresion

~ 1

~ n2 n=O

el signo 2; es un ligador que liga Ia variable n. En laexpresion

Jb

f(x)dx a

40 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

el signo I d ... es un ligador que liga la variable x. En la expresion

f;:; ! f(z) < n}L I

el signo I... i ... 1 es un ligador que liga la variable z. I.

Si en una expresion aparece una variable que no esta ligada, decimos que csta libre. Tarnbien puede ocurrir que este tanto libre como ligada en ella. A continuacion pasamos a definir inductivamente la estancia libre 0

ligada de una variable en un termino 0 una formula.

6.2. Definicion de la estancia libre de una variable en una expresion,

x esta libre en z syss x = z

a nunca fnth ... , t" S)lss x esta libre en algun t,

(1< i < n) pnth ... , ttl syss x est<l. libre en algun t,

(1 < i < n) (en especial, " " = tlt~ syss x esta libre en t1 0 en t~)

-, 0; syss x esta libre en 0;

1\0;13 syss x esta libre en Cl en 130

v 0;13 syss ~ 0; 13 syss ~ 0; 13 syss I\zo; syss x esta libre en Cl y x =1= z Vzo; syss " " "

tZ a syss

6.3. Definicion de la estancia ligada de una variable en una expresion,

x esta ligada en z nunca .. a nunca

fntl, ... , til syss x esta ligada en algun t, (1< i < n)

pnt1, .. " t; syss x esta ligada en algun t, (1< i <:: n)

(en especial, = tlt~ s1'ss x esta ligada en t 1 0 en t2 )

-, ill syss x esta ligada en Cl

1\0;13 syss x esta ligada en 0; 0 en 13 ~ 0; 13 syss " ""

v 0;13 syss ~ 0; 13 syss !\zo; syss x esta ligada en 0; 0 x ~ z Vzo; syss "" " ~z ill svss

SUSTITUCION DE UNA VARIABLE POR UN TERMINO 41

6.4. Observaciones sobre la estancia libre 0 ligada de una variable en una. expresion .s:

x esta en {) si y solo si x esta libre en {) 0 x esta ligada en .EJ. 0 x esta libre V ligada en {).

x no esta en {) si y solo si x no esta libre en {) y x no esta ligada en .~. Para cualquier variable x y cualquier expresion {) se presenta uno de

estos cuatro cases: (1) x no esta en {); (2) x esta libre, pero no ligada, en D.; (3) x esta ligada, pero no libre, en {); (4) x esta libre y ligada en {).

Para cualquier variable x y cualquier expresion {), es decidible en cual de esos cuatro casos x y {) se encuentran.

6.5. Definicion de designadores y sentencias. Un designador del formalismo.2 es un termino de .2 en el cual ninguna

variable esta libre. En especial, los terminos sin variables son designadores. Una sentencia del formalismo .2 es una formula de .2 en la cual nin­

guna variable esta libre. En especial, las formulas sin variables son sen­tencias.

Un termino abierto de.2 es un termino de .2 que no es un designador de Ii7, es decir, un termino de .2 en el cual alguna variable esta libre.

Una formula abierta de .2 es una formula de .2 que no es una sentencia de 09:, es decir, una formula de .2 en la cual alguna variable esta libre.

6.6. Asi, pues, obtenemos la siguiente clasificacion de las filas de signos de un lenguaje formal:

f no expresiva J terrnino abierto ~ terminofila de signos 'I ., t designador

-, expreslOn " f formula abiertal formula t sentcncia

1.7. Sustitucion de una variable por un termino

7.1. La sustitucion es una operacion que a cada triada formada pOl' una variable, un termino y una expresion aplica univocamente otra expre­sion, de la que decimos que es el resultado de sustituir la variable par e1 termino en la primera expresion,

Utilizaremos el signo 5 para indicar la sustitucion, En vez de 5 (x, t, {)) escribiremos 51 s.."

7.2. En la mayoria de los casos, 5,~. -0. se obtiene a partir de .[). pOl' el sencillo procedimiento de borrar x en {) y escribir en su lugar el termino t. Asi, pOl' ejemplo:

5/ a -, Buu sea -, Rfafa "

5;"RJ!a tyPxy = ~yPtxRxalJ

42 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS CONVENCIONES NOTACIONALES 43

Sin embargo, hay casos en que esto no ocurre asi, a fin de que la VZ(l, , si x no esta Iibre en V z (I,

sustitucion no varie la estancia libre 0 ligada de las variables que ocupan esta libre en V z (I,Vz 5' (I, , si {x determiandos lugares. Supongamos, por ejemplo, que queremos sustituir x z no esta libre en t5' Vz a=

J:x por fy en Ay(Px v Qy). Si nos limitasemos a borrar x y escribir en su \ I x esta libre en V z (I,

Iugar fy, obtendriamos: Ay(Pfy v Qy). Pero entonces la primera variable z esta libre en t estaria ahora ligada, mientras que antes estaba libre. Esto es algo que queremos evitar. Para ello, antes de borrar x y escribir en su lugar fY, cambiamos la variable cuantificada. En vez de Ay(Px v Qy) escribimos Az(Px v Qz). Entonces borramos x y escribimos en su lugar fy, obteniendo: Az(Pfy v Qz). Ahora la primera variable sigue estando libre y la segunda ligada, exactamente como en la formula de que habiamos partido. Es pre­cisamente a esta preocupacion a 10 que se debe la relativa complejidad de la definicion de la sustitucion en los casos de expresiones que empiezan por ligadores.

7.3. Definicion de la aplicacion 5:

t, si x - Z 5'z- {.I! z, si x ¥= Z

5'a=a .I!

5~ fTltl, , tTl ass r 5', t«, , 5:. t..

5 t, pntJ, , tn-- P" 5' t.. , 5' ttl ~ .~ ~

(en especial, 5:. = t 1 t;! = St, t 1 5~. t)

5 t -. (I, =:: --. 5' (I, :JJ J;

5,~ /\ (I, f3 ssss /\ 5;, (I, 5t, f3

51 v (I, f3 ,ecce v 5' (I, 5' f3 ,r, ,I' .r

5,~ ~:x f3 ,~ ~ 5; (I, 5: f3

5; *7 (I, f3 =:: *7 5; (I, 5', f3

I Az (I, , si x no esta libre en Az (I,

esta libre en Az (I,{xAz5' (I, , si JJ Z no esta libre en t5t Az (I, = \JJ esta libre en Az (I,f x

z esta libre en t Av 5' 51! (I,

.-r z , si . v no esta en Az (I, ni en t (yes la va­triable de minimo indice que satis­

face esta condicion).

{ v no esta en Vz (I, ni en t (yes la va-Vv 5' 5" (I, , si x z

riable de minimo indice que satis­face esta condicion).

rz (I, , si x no esta libre en tZ (I,

{ x esta libre en tZ (I,~ ~z Sf (I, , si a: Z no esta libre en t5' tZ (I,~

'" x esta libre en tZ (I,

z esta libre en t w 5' 5v

(I, , si v no esta en rz (I, ni en t (yes la va-a: z­

riable de minimo indice que satis­face esta condicion).

{ 7,4,. Observaciones sobre la sustitucion:

Para cada expresion .,9.1, cada variable x y cada terrnino t hay siempre una expresion .,9.2, univocamente determinada, tal que 5: .,9.1 - .,9.2

(I): Para cualquier x y cualquier .,9.: 5;.,9. =.,9.. (2): Si x no esta libre en .,9., entonces 5~.,9. = .,9.. (3): Si x esta libre en .,9., entonces testa en 5~.,9., Y cada variable que

este libre en testa libre en 5'.,9..x

(4): Si Z no esta en .,9., entonces 5~ 5~ .,9. - .,9.. (5): Si x no esta libre en t, entonces x no esta libre en 5;.,9.. (6): z esta libre en 5~.,9. si Y solo si x esta libre en .,9. 0 Z esta libre en .,9.. (7): Z esta libre en 5~.,9. si Y solo si al menos uno de estos dos casos se

a) Z esta libre en .,9. y Z ¥= x. resentan: { r • r •

P b) x esta libre en .,9. y Z esta hbre en t. Todas estas observaciones pueden demostrarse facilmente por induccion

semiotica.

Respecto a cualesquiera x, t, .,9.1, .,9.2, es decidible si 5t =.,9.2 0 no.aP1

,1.8. Convenciones notacionales

8.1. Como nosotros no usamos las formulas del formalismo, sino que unicarnente las mencionamos mediante nombres metalingiiisticos, pode­

45 44 SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

mos adaptarnos en cl metalenguaje a la practica ainpliamente extendida de escribir los conectores entre la formulas que conectan, etc., utilizando pa­rentesis para evitar confusiones. Esta practica resulta mas intuitiva, sobre todo cuando se trata de expresiones complicadas. Pero recuerdese que en el Iormalismo mismo no hay parentesis,

Asi., pues, para acomodarnos a esta practica corrientr-, escribirernos:

"t] = t/' en vez de <: t] t 2 "

"(0; 1\ (3)" " "r. CX' /3" "( 0; v (3)" " "v « f3" "(0;---')(3)" " " c:,~ «B"

"( 0; ~ (3)" " " "~af3"

CONVENCIONES NOTACIONALES

locando los parentesis necesarios para evitar equivocos, Esto ocurre sobre todo con algunos functores y relatores diadicos. POl' eso, a veces escribi­remos:

"(t f~t2)" vez d "f'1.t]t2" ] - en e "(t]P2t

2 )" en vez de "P2t1t/'

8.4. A veces abreviaremos una fila de cuantificadores del mismo tipo, escribiendo "Ax], ... , x,," en vez de "Ax], ... , Axn" 0 "Vx], ... , x,," en vez de "VXl, ... , Vxn" .

Repitamos, finalmente, que esta relajacion de nuestras convenciones notacionales se refiere unicamente a los nombres metalinguisttcos de las expresiones del formalismo, y no a estas expresiones mismas.

8.2. En cxpresiones algo complicadas pueden aparccer de este modo muchos parentesis, para cuyo ahorro adoptamos las siguientes convencioncs:

1." Los parentesis exteriores de una formula pneden suprimirse en Ia 1.9. Ejemplos de sustitucion

cscritura abreviada, 9.1. Consideremos la formula Au(Px 1\ Hu-:» Vx Rxz) -es decir, la for­

Ejemplos: mula que de un modo oficiaJl lSe escribiria Au ---') 1\ Px Hu Vx Rxz-. Se trata.

0; 1\ (3 es (!7.I\(3)Vl "

0; ~ ((3 ---') 1) "

una abreviatura de " "

(0; 1\ (3) (("'1\(3) vI) (",~((3-+1))

de la generalizacion de un condicional,·cuyo antecedente es Px 1\ Hu Y cuyo consiguiente es Vx Rxz. Supongamos que las variables u, x, y, z, w son todas ellas distintas entre si, Evidentemente, la variable u esta ligada en la formu­la Au(Px 1\ Hu --+Vx Rxz); la variable z esta Iibre en dicha formula; la

2." Condicionador y bieondicionador separan mas que conyuntor y variable x esta tanto Iibre como ligada en ella (Iibre la primera vez y ligada

disvuntor. Por tanto, si el antecedente 0 consiguiente de un condicional cs 1a segunda); las variables y, w, finalmente, no estan en absoluto en Ia

una conyunci6n 0 disvuncion, pueden suprimirse los parentesis correspon­ formula.

dientes en la escritura abreviada. Lo mismo en el bicondicional. 9.2. Dada Ia importancia delconcepto de sustitucion para la adecuada

Ejemplos: comprension de loscapitulos siguientes, ofrecemos aqui una serie de ejem­

!7. 1\ (3 ---') 1 "'->(3 vI C1.v(3-+1I\o

de ((",1\(3)---')1) ('" ---') ((3 vI))

." ((!7. V(3) -+ (1 1\ 0))

es una abreviatura

(

plos en los que se indica el resultado de sustituir alguna de las variables antes citadas por un termino en 1a formula considerada en e1 parrafo an­terior. He aqui los ejemplos:

'("'I\(3)~.",v.(3 " " (. ('" 1\ (3) ~ (. '" v· f3)) 5'" Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz) =

u Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz)

3." Los parentesis internos de una conyuncion 0 disyuncion iterada 5'''' = Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz)u

Jlor la izquic-rda pucden suprimirse en la escritura abrcviada. 5'" = Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz)J!

5 f = Au(Pfx 1\ Hu ---') Vx Rxz),T '" Ejl -mplos:

5'" = Au(Pfc 1\ Hu ---') Vx Rxz) C1. 1\13 1\11\ 0 c-s una abreviatura de (((",1\(3)1\1)1\0)

.~

5'YPY == Au(P~y Py 1\ Hu ---') Vx Rxz) 13 ~"" " "((( (3) )~) in

-1 C1. V V --1 1 ---') 0 • '" v v '"[ ---') C 5" = Ay(Pul\ Hy ---') Vx Rxz)

'" 5'" = Au(Px 1\ Hu ---') Vy Ryx)z8.3. En los lenguajcs Iormales con functores y relatores cuya pOSICiOn

5 f '" = Au(Px 1\ Hu ---') Vy Ryfx)zha sido consagrada pOl' PI uso, adoptaremos inoficialmcnte esa posicion, co­

46 I

SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS

J 5;° " ~ /\U(PX /\ Hu -? Vx RXfC) 5;PY " '==' /\U(PX /\ Hu -? Vx Rx~y Py) 5~ " - /\y(PX /\ Hy -? Vx Rxu) 5'"

v 5'Y Pv

11

" "

= /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) - /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) I

5; 5~ /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) == /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxy) 5;,~ 5~ " /\u(Pfc /\ Hu -? V x Rxc) 5;'~ 5;;~ " - /\u(Px /\ Hu -? Vy Ryfx) 5~ 5; " - /\ui(Px /\ Hu -? Vx Rxc) 5:° 5~ " /\u{Pfc /\ Hu-? Vy Ryfc)

I

I \

PARTE SEGUNDA

SINTAXIS: 5~'" 5~ " - /\w(Pfu /\ How -? Vy Ryfu) ( I

j UN CALCULO DEDUCT1VO I j'

I \ 1 I I

) \

( ,

4. -. UJ(<!CA DE PRo.1EH ORDEN

)

\

i

I H.I. Reglas primitivas de inferencia

\( 1.0. Un calculo (0 algoritmo) deductivo es un conjunto de reglas. La apli­I "\ e,l('i('lII de estas reglas a las formulas de un formalismo nos permite decir

I,

('11 all-';lIllos cas os que unas fomulas son dedueibles de otras. Ell cl calculo que aqui presentamos hay dos clases de reglas: reglas de

inh-rr-ncia, quc nos permiten pasar de una 0 dos formulas a otra nueva, la

" Iormuln iuforida, y rcglas de construccion, que nos permiten construir de­t cluc-c-ionc-s (0, como vcrcmos, mas generalmente, semideducciones).

j 1.1 Ell algllnoscasos diremos que una formula del formalismo 2? es

\

I

inferible ell .'() (Ie otra u otras formulas del mismo formalismo. Las reglas ~. (J<, infcrcllcia cletcrminan exactamente en que casos esto ocurre.

A oontinuacion ofreccmos una lista de las reglas de inferencia. A la ivquir-rcla aparcce el nombre de la regIa, en el centro, su abreviatura y, a1 la (lcn~eha, su formulacion esquernatica. En cada uno de estos esquemas .r. t , IX, /3, etc. representan una variable, un termino, una formula, etc. enal( luiera del formalismo del que se trate. La raya horizontal indica que 1a fbnnllla situada hajo ella es inferible de la 0 las formulas situadas encima,

~

1.2. Lista de las reglas primitivas de inferencia:

) IX II"I-':Ia d(' repdiei('m R:

];

(f.~/3

IX Hq!,1a del modus !l0IH'IIS MP:

(3

(X~/3

'/3Begla del modus tollens MT: ,];

50 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

il" ilReglas de la doble negacion DN: -- ­il " il

il

/3RegIa de introduccion del conyuntor IC:

(il 1\ /3)

(cz 1\ /3) (il 1\ f3)Reglas de eliminacion del conyuntor EC: - ­

il /3

il il Reglas de introduccion del disyuntor ID: -( ­

(/3 v il)

(il V/3) (ilV/3) 'il '/3Reglas de eliminacion del disyuntor ED: ­

/3 il

(il--"'/3) (/3 --'" il)

Regia de introduccion del bicondicionador IB: (il~f3)

(il~ /3), , d I bi di d EB (il~ f3)R I e I" e oreg as d e immacion ICon ICIOna : -(----)il--"'/3 (/3 --'" il)

5 t cz Regia de introduccion del particularizador IP: _,_'c_

VXil

AXil Regia de eliminacion del generalizador EC: ~

,l'

5~; il , donde n: no estaRegia de introduccion del igualador II:

Ax (x = t --'" «) libre en t

(Ax (x = t --'" (J.) , donde « no estaRegia de eliminaeion del igualador EI:

5 t il libre -en t .c

Regia de las descripciones propias DP: Vy Ax ~,:: x = Y)~onde y no esta ,~il libre en cz

-, Vy Ax (cz ~ x = y) donde yRegia de las descripciones impropias DI: , no esta

ex il = rz Z = Z libre en (l

r d I" , , d I 'I' d EP Vx ilR I e e oreg a critica e nnmacion particu anza : -- ­5" il

.1"

DEDUCCIONES 51

1.3. Reglas norrnales de inferencia son las reglas de inferencia distin­tas de EP. Regia critica es EP,

Al inferir 5~ il de V x il por EP, decimos que u es la variable critica

'I de esta inferencia.

Observese que EP solo nos autoriza a inferir 5~ il, donde u ha de ser\

una variable; a diferencia de EC, que nos autoriza a inferir 5: il de Ax ex, donde t es un termino cualquiera,

1.4. Ejemplos:

(Ax Px v x = y) es inferible de Ax Px por ID

tCI. ',., Cn := k es inferible de Ax (x = fCI' ... , Cn --'" X = k) por EI

tX Gxk = tW W = W es inferible de , Vy Ax (Gxk ~ x = y) por Dr

'C1 = C2 es inferible de (CI = C2 --'" RCIX) Y ,Rcjx por MT (Ax Px ~ Pa) es inferible de (Ax Px --'" Pa) y (Pa --'" Ax Px) por IB

a = eX Rxa es inferible de (Raa v a = tX Rxa) y rv Raa por ED

Rfc es inferible de Ay Ry por EC) ! 11.2. Deducciones

I 2.0. Cuando alguien trata de probar algo, por ejemplo, cuando un ma­

I tematico trata de probar un teorema, ~que'hacef Procede paso a paso, utilizando las premisas de que parte 0 los datos ya probados. De vez en cuando se para a considerar que es 10 que en ese momenta quiere probar. A veces trata de probarlo directamente, infiriendo unas sentencias de otras/ hasta que llega a la que buscaba. Otras veces encuentra mas comodo el ofrecer una prueba indirecta. Para ello, supone 10 c:ontrario de 10 que quiere probar y trata de obtener una contradiccion a partir de ese supuesto. Si 10 que quiere probar es un enunciado del tipo "si A, entonces B", es probable que inicie una prueba condicional, suponiendo que A y probando ontonces B. Finalrnente, si ha de probar algo para todos los elementos de una cIase en general, puede limitarse a probarlo para uno cualquiera.

Esta manera de proceder se refleja en las reglas de construccion de dcducciones del presente calculo. Pero antes de presentar estas reglas, con­viene introducir el concepto de linea.

2.1. Caracterizacion exhaustiva de las lineas de un fonnalismo 2 (en 10 sucesivo diremos simplemente lineas, en vez de lineas de 2, y formulas, en vez de formulas de 2):

Una linea utilizable es la fila formada por una formula sola 0 una formu­la precedida de un interrogante tachado Y: 2, Y (J., Y/3, Yl' ...

53 52 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Una linea marcada es una fila formada por una linea utilizable precedi­da de n (n > 1) marcas I: 0:, III /3, II r 0:, III r /3, ...I.

Una linea interrogada es una fila formada por lila formula precedida de un interrogante intachado ?: '? 0:, ? /3, ...

Una linea es una linea utilizable 0 una linea marcada 0 una linea inte­rrogada.

2.2. Como metavariable para referirnos indistintamente a lineas cuales­quiera, introducimos la letra griega "A" (can subindices de diferenciacion, cuando sea necesario): A}, A:!, As, '"

2.3. r sea un conjunto de sentencias del formalismo 2. A continuacion caracterizamos exhaustivamente las semideducciones en 2 a partir de r.

Definicion:

Una semideducoion en 2 a partir de r es una sucesion finita de lineas obtenidas confonne a las siguientes reglas:

1. Para cualquier formula IX de 2, se puede escribir como linea

?IX

2. Para cualquier IX E I', se puede escribir como linea

IX

3. Si? IX es una linea ya escrita, como linea inmediatamente siguiente se puede escribir

~IX

4. Si ? IX --7/3 es una linea ya escrita, como linea inmediatamente si­guiente se puede escribir

IX

5. Si 0: es inferible de Iineas utilizables anterio res par medic de una regIa de inferencia otra que EP, entonces se puede escribir como linea

6. Si 0: es inferible de lineas utilizables anteriores par media de la regIa de inferencia EP y la variable nueva (critica) no esta en ninguna linea anterior, entonces se puede escribir como linea

a

7. Si? a es la ultima linea interrogada, entonces se pueden marcar todas las lineas siguientes y tachar el interrogante de ? 0:, si uno de estos cuatro casos ocurre:

DEDUCCIONES

(1) Una de las lineas utilizables siguientes es a.

(2) Una de las lineas utilizables siguientes es la negaci6n de otra de

elias.

(3) a ~ (/3 '--71) Y una de las Iineas utilizables siguientes cs "j­

(4) GI: == AXl' . _', X n /3, ninguna de las variables Xl, ... , x" esta libre en las lineas utilizables anteriores a ?a, y una de las lineas utilizables siguien­

tes os /3. Las formulas de r que de acuerdo con 2 se introducen en la semideduc­

cion como lineas se Haman premisas.

2.4. Nota. Para facilitar el control, conviene numerar por la izquierda las lineas de cada semideduccion y anotar par la derecha el nombre abre­viado de la regIa de inferencia empleada y los numeros correspondientes

. a las lineas a las que se ha aplicado la regIa,

2.5. 0; sea una formula de 2 y r sea un conjunto de sentencias de 2.

Definicion:

Una deduccion en 2 de a a partir de r es una semiderluccion en Ii' a\ partir de.T, tal que su primera linea es P 0: y sus restantes lineas estan todasI marcadas.

2.6. Definicion:\

GI: es deducible en 2 a partir de r si y solo 51 hay una deduccion en Sf! de a a partir de r.

'T I-£' a" sea una abreviatura para" 0: es deducible en 2 a partir de I'", Cuando la referencia a 2 no sea relevante, escribiremos simplemente "1' I- a",

\ "aI, ... , IXn I-£' /3" sea una abreviatura para "lQ:I, ... , 0:,,) I-£, /3", !

2.7. Una formula 0: de 2 es un teorema logico de 2 si y s6lo si a esI deducible sin premisas en 2, es decir, si y solo si cf> 1-2' 0:.

"I-£' a" sea una abreviatura para "cf> I-£, IX".

2.8. Teorema de finitud para la deducibilidad: r I-£' 0; si Y solo si hay un numero finito de formulas II, ... , "j" de r, tales

que 11, .. " In I-£' IX.

Dicho en otras palabras:

j r I-£' IX si Y solo si hay un subconjunto finito 6. C r, tal que .i!-z IX.

E5tO se sigue de la definicion dada en 2.3.

\

IX

54 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

2.9. De la definicion de la deducibilidad se sigue tambien:

a) Si A 1-2 a y A c T, entonces I' 1-2 0:.

b) Si 0: I--'l' f3 Y f3 1-2' I, entonces 0: 1-", j.

c) Si 1-2' c, entonces r 1-2' ix.

En efecto, 1-.2' 0: significa que <P 1-20:, de donde se sigue que r f--z a

por a), ya que <P c r. d) Si 11, ... , In 1-2' a, entonces (I) /\ ... /\ 111) l-oZ• a.

En efecto, para deducir a en S!! a partir de (I) /\ .. , /\ In) empezamos por introducir la premisa (I) /\ ... /\ 111) Y eliminar los conyuntores, obteniendo asi 11 Iineas II, ., ',In' A partir de ahi procedernos como en Ia deduccion de (X en S!! a partir de 11, .. " In, con la sola diferencia de introduein Ii (1 <i ::=;: n) por la regia de repeticion cada vez que antes la introduciamos como premisa.

n.3. Beglas derivadas de inferencia

3.1. Las reglas primitives de inferencia fueron enumeradas en 1.2. Llamamos reglas derivadas de inferencia a las reglas de inferencia que no nos permiten inferir nada que no fuese ya deducible 'a partir de las premi­sas correspondientes con ayuda de las solas reglas primitivas, pero que en cambio nos penniten abreviar las deducciones, haciendo en un solo paso 10 que normalmente tendriamos que hacer en varios.

3.2. Justificar una regia derivada de inferencia signinca mostrar que es superflua en cI calculo, es decir, mostrar como, por medio de las otras reglas de inferencia, puede obtenerse el mismo resultado.

3.3. Lista de algunas reglas derivadas de inferencia (expuestas segun d esquematismo ya explicado en 1.1), seguidas de sus correspondientes justificaciones: .

Regia del paso de la negacion '(0: ----'i> f3) del condicional a la conyuncion NCC: ( )

(X/\'f3 justificacion: 1 ,(a~f3)

2 f (a 1\' f3) 3 o (a /\ 0 f3) 4 ?(a-~f3)

a.5 G ?f3

I 0 f37 (O:/\-lf3) IC, 5,7

9 8

I .. (a /\ -1 f3) R,3 10 -. (a -'J> f3) R,l

REGLAS DERlVADAS DE INFERENCIA 5,5

Regia del tertium non datur TND: (av,o:)

justificacion: 1 l' (~v -1 ~) 2 -, (0( v' a) 3 . a 4 '" I-,~

.5 6 7

11(~v,a)III ,(avoiX)

(a v' -, a)

ID,4 R,2 ID,3

0:----'i>f3 Regia de introduccion del disyuntor

1--*f3 en el antecedente IDA:

aVl-~f3

justificacion: 1 0:----'i>f3 2 1----'i>f3 3 'favj-"'fJ 4 aV I 5 'rf3 6, " f3

oa MY, 1, f) 8 7

ED, "~, 7I 9 J\:IT,2,6'1

Regia de identidad I; t =t

Justificaci6n: 1 t t = t

2 'r Ax (x = t ----'i> x= t) x no este en t

3 y x = t.----'i>X = t 4 I I x =t 5 t = t El, 2.

t 1 == t~ Regia de la simctria de la identidad 51 :

t:! = t 1

justificacion: 1 t) = t~

2 yt~ = t 1

3 It,) = t: I 4 I Ax (x ~= t~ -> t~ = x) II, 3 X no este en t~

5 i t., = t~ ----'i> t 2 = t1 EG,4 6 I t2 = t, MP, 5, 1

Reglas de la transitividad de la identidad TI:

t , = t2 t2 ::::': t, t 2 = t 1i 1 = t2

t 2 = t:J t:J = t'2 t2 = t:1 t:J = t'2_._­ .-~--_._.----- ----_. t 1 = fa t 1 = t:1 t , = t;; t 1 = t::

I

56

Justificaci6n: 1 2 3 4 5 6

De igual modo

EJERCICIOS DE DEDUCCION .57

Para pasar de n lineas aI, ... , an a una nueva linea (0:1/\ ... /\ an) nece­sitamos aplicar n - 1 veces la regIa de introduccion del conyuntor, IC. Por media de la gran regIa de introduccion del conyuntor, GIC (que a con­tinuacion introduciremos) realizaremos en un paso 10 que hasta aqui solo podiamos realizar en n - 1. Lo mismo sucede en otros casos. He aqui varias reglas derivadas, cuya correccion puede ser trivialmente mostrada, y que en determinadas ocasiones abrevian considerablemente las deduccio­nes. Las designaremos anteponiendo una "G" a la abreviatura cle la corres­pondiente regIa simple.

al

anGran regIa de introducci6n del conyuntor GIC:

(a1/\ ... /\ an)

I\Xl, , X n a Gran regIa de eliminacion del generalizador GEG: 5 1l , in a

J!I, ..• , ,r n

5 11.... , In a Xl' "', .1:jJGran regIa de introduccion del particularizador GIP:

VXI, ... , Xn a

Vx1 , , .. , Xu a Gran regIa de eliminacion del particularizador GEP:

SUlJ .." 11n a Xl' "',0 J'f/­

clonde Ul, ... , Un son variables distintas entre si que no aparecen en linea an­terior alguna.

Gran regIa de negaci6n del particularizador GNP:

i aVX1, ... , X n I\x], ... , x"' c>;

I\x], ... , x" ' a ,VX1, ... , Xn a

11.4. Ejercicios de deduccion

Una de las principaies finalidades practicas de la 16gica consiste en ensefiar a deducir correctamente. Por medio de deducciones fonnales pode­rnos probar que una deterrninada sentencia es un teorema de una teoria, que una determinada argumentacion, presentada en el lenguaje ordinaria, es correcta, etc.

Aunque las deducciones ya han sido definidas en 2.5, es necesaria alguna practica para llegar a dominar el arte de deducir. Por eso ofrecemos al lector a continuacion .35 ejercicios de deduccion. Es conveniente que el

L _lector trate de hacerlos Dar su cuenta v solo mire las deducciones corres-

Reglas de negaci6n del generalizador

justificacion: 1 2

·3 4 5 6 7 8 9

Justificaci6n: 1 2 3 4 5 6

,I\x a ?Vx, O!

r--1VX'0! y I\x IX

I ? c>;

I ~x\, ,Vx,(X

,I\x a

VX"O! ?, I\x O!

,-II\X a I\xa ,5"a

"' SUa •X

Reglas de negacion del particularizador NP:

justificacion: 1 2 3 4 e-u

6 7

Justificacion: 1 2 3 4 5 6

SINTAXIS: UN C."'LCULO DEDUCTIVO

t l = t z tz = fa 'rt1 = t a

I\x (x = t z ~ X = ta) II,2 x no este en tz t l = tz ~ tt = t« EG,4 t] == t« MP,5,1

se justifican las otras ires reglas.

,Vxa y I\x, a ?,aI i,'a

I .., I,Vxa

I\x, O!

r, Vxa "Vxa Vxa 5'"x a: ,Sua

x

,I\x a Vx,aNG:

Vx, a -,I\xa

IP,6 R,3 R,1

DN,3 EP, 1; u EG,4

DN,4 IP,5 R,l

DN,3 EP,4; EG,1

no este en a

, Vxa I\x, 0: -1\-- ­x,a , Vxa

u no este en a

'"

58 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS DE DEDUCCION 59

pondientes despues de haberlas hecho el mismo. La deduccion que se le Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 3. ocurra al lector puede ser correcta y no coincidir con la aqui presentada, Si I' I- 0:, hay un nurnero infinite de deducciones distintas de 0: a partir de r. 1 'i' V x Px -? V X Qx

2 I VxPxEjercicio numero 1.

3 EP,2 0:1':=; Ax (0: -? a) I Pu

4 Ax (Px -? Qx) premo 0:1

Pruebese: I- 0:1' 5 I Pu -~ Qu EG,4

NOTA: Observese que 0:1 no es una formula, sino un esquema deinfinitas 6 MP,5,3I Quformulas. 7 VxQx IP,6Deduccion correspondiente al ejercicio numero 1.

1 'i' Ax(o:-?o:) Ejercicio numero 4.

:3 'i' (o:-?o:) (Xl ==0 Vy (Fy -? Ax Fx)

3 I I I ~ Pruebese: 1- (Xl'

Ejercicio numero 2. Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 4.

0:1 ==0 Axy (Rxy v Ryx) 1 J Vy (Fy -? Ax Fx)

o:~ =0 Ax Rxx 2,Vy(Fy-?AxFx)

Pruebese: al I- (X2. 3 Ay , (Fy -? Ax Fx) NP,2

Deduccion correspondiente al ejcrcicio numero 2. 4 r Ay (Fy /\ -. Ax Fx)

1 'i' Ax Rxx 5 I, (Fy -? Ax Fx) EG,3

2 Axy (Rxy v Ryx) premo (Xl 6 I Fy /\ -. Ax Fx NCC,5

3 Rxx v Rxx GEG,2 7 r AxFx

4 ?Rxx 8 I Fx/\ -. AxFx EG,4

5 --.Rxx 9 I Fx EC,8

6 Rxx ED,3,5 10 Fx /\' Ax Fx EG,4

11 I ,AxFx EC,10 Ejcrcicio numero 3.

:Xl == Ax (Px -? Qx) Ejercicio numero 5.

::t2 = V X Px -? Vx Qx 0:1'== Vy (Vx Fx -? Fy)

Pruebese: al I- 0:2. Pruebese: 1-- (Xl.

61 60 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 5.

1 !' Vy(VxFx~Fy)

2 I -.Vy(VxFx~F!J)

3 I l\y,(VxFx~Fy)

41' (Vx Fx ~ Fy)

5 VxFx/\-.Fy

6 VxFx

7 Fz

8 y VxFx->Fz

9 I Fz

10 Vy (Vx Fx ~ Fy)

Ejercicio numero 6

al ~ Vx (Rxx /\ ,Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx)

Ct2 .- I\x Rxx

Pruebese: al I-- a2.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 6.

1 ? I\x Rxx

2 Y Rxx

3 ,Rxx

4 Vx (Rxx /\ -. Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx)

5 !' , Vx (Rxx /\ --. Rxx)

6 " Vx (Rxx /\ ,Rxx)

7 Vx (Rxx /\' Rxx)

8 RUf1 /\ , Ruu

9 Ruu

10 -. Buu

11 I\xy (Rxy v Ryx)

12 Rxxv Rxx

13 Rxx

NP,2

EG,3

NCC,4

EC,5

EP,6

R,7

IP,8

premo Ctl

DN,6

EP,7

EC,8

EC,8

ED, 4,5

GEG,l1

ED, 12,.3

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio numero 7.

III = I\x (Vy (Lye /\ Cxy) ~, I\y (Lym ~ Cxy))

1l2""" Vx I\y (Lye v Lym ~ Cxy)

Ila'='= Vy (Lye ~ I\x Vu Cxu)

Pruebese: (%1, a2 I-- aa·

Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 7.

1 !' Vy (Lye ~ I\x Vu Cxu) I

2 \Ix I\y (Lye v Lym ~ Cxy)I

3 I\y (Lye v Lym -;. Cxoy)

4 Lwe v Lwm ~ Cx.so

5 y Lwe ~ I\x Vu Cxu

6 I I Lwe

7 I I LwevLwm

8/1 Cx.u: 9 Lwe /\ Cx.u:

10 II Vy(Lye/\CxoY)

11 Il\x (Vy (Lye /\ Cxy) ~, I\y (Lym ~ Cxy))

12 I Vy (Lye /\ Cx"y) -;., I\y (Lym ~ Cxoy)

13 , I\y (Lym ~ exoy)

14 Y I\y (Lym ~ Cx"y)

15 I!' Lym ~ CXoy

16 I Lym

17 I Lye v Lym

18 I I LyevLym~exoY 19 I I CXo!!

20 Vy (Lye ~ I\x Vu Cxu)

premo Ct2

EP,2

EG,3

ID,6

MP,4,7

IC,6,8

IP,9

premo at

EG,l1

MP, 12, 10

ID,16

EG,3

MP, 18, 17

IP,5

62 SINTAXIS: UN CALCUI,O DEDUCTIVO

Ejercicio numero 8.

cr:, = I\xy (Vu tRxu /\ Ryu) ~ Rxy)

el2 =:0 I\x VY Rxy

cr:~ == I\xyz (Rxy /\ Ryz ~ Rxz)

Pruebesc: a" a2 I--- O::j.

Deduccion corrcspondiente al ejercicio mrmero 8.

1 Y I\xyz (Rxy /\ Ry::. ~ Rxz)

2 r Rxy /\ Ryz .~ Rxz

3 Rxy /\ Ryz

4 I

Rxy

.5 Ry::

6 I\x Vy Rxy

7 VyRzy

8 Rzw

9 Rzw

10 Rzw /\ Rzw

11 Vu (Rzu /\ Rzu)

12 I\xy (Vu (Rxu /\ Ryu) ~Rxy)

13 Vu (Rzu /\ Rzu) ~ Rzz

14 Rzz

15 Hzz /\ Ryz

16 Vu (Rzu /\ Ryu)

17 Vu (Rzu /\ Ryu) ~ RZll

18 Rzy

19 Rxy /\ Rzy

20 Vu (Rxu /\ Rzu)

21 Vu (Rxu /\ Rzu) -'J> Rx;,;

22 Rxz

EC,.3

EC,3

premo a2

EG,6

EP,7

R,8

IC, 8, 9

IP,10

premo a1

CEG,12

MP, 13,11

IC, 14,5

IP,15

GEG,12

MP, 17, 16

rc, 4, 18

IP,19

GEG,12

MP, 21, 20

EJERCICIOS DE DEDUCCIONJ 6.3

Ejercicio numero 9.1

'I al = I\x (Aex ~ Hx /\ , Axx)) el2 = He

'J as =, Vx Aex , Pruebese: ell, a2 I--- CCs.

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Carlos afeita a todos los habitantes de Sitges que no se afeitan a si mismos y solo a enos. Carlos es un habitante de Sitges. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie".

) Deduccion correspondiente al ejercicio numero 9. l

\ , 1 r , Vx Aex

2 I I\x (Aex ~ Hx /\ , Axx) premo al 1

! 3 lIe premo CC2

I 4 Acc ~ He /\ , Ace EG,2

5 Acc ~ He /\ , Ace EB,4

6 He /\ , Ace ~ Ace EB,4

7 P Acc J

8 ,Ace

1 9 He /\ ' Ace IC, 3, 8

10 Ace MP,6,9

11 II c /\ , Ace MP,5,7 (

12 ,Ace EC,11

j

II \

I

1 5. - LOGICA DE PRIMER ORDEN"

Pruebese: a" CC2 I--- CCs.

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Quien desprecia a todos los fanaticos des precia

Ejercicio numero 10.

at"'" I\x (I\y (Fy ~ Rxy) ~ I\y (Py ~ Rxy»

a2 zss Vxy (Py /\ -, Rxy)

as - Vy (Fy /\' I\x Rxy)

I

I ~ I64 SINTAXIS; UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS DE DEDUCCION 65

tambien a todos los politicos. Alguien no desprecia a un determinado poli­tico. Por consiguiente hay un fanaticn aI que no todo el mundo desprecia".

Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 10.

1 ? Vy (Fy /\, Ax Rxy)

2 Ax (Ay (Fy -7 Rxy) -7 Ay (Py -7 Rxy))

3 Vxy (Py /\ ,Rxy)

4 Pu rc :» Rwu

5 Ay (Fy -7 Rwy) -7 Ay (Py -7 Rwy)

61 ? ,Ay(PY-7Rwy)

7

8

9

10

11

I,, Ay (pY-7 Rwy)

Ay (Py -7 Rwy)

Pu -7Rwu

Pu

I Rwu

12 I I ,Rwu

13 , Ay (Fy -7 Rwy)

14 Vy, (Fy -7 Rwy)

1.5 , (Fyo -7 Rwyo)

16 Fyo /\, Rwyo

17 Fyo

18 ,Rwyo

19 Vx, Rxyo

20 ,Ax Rxyo

21 Fyo /\ , Ax Rxyo

22 Vy (Fy /\ , Ax Rxy)

Ejercicio mimero 11.

ctl ~ (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx))

Pruebese: I- Ill'

premo ctl

premo ct;!

GEP,3

EG,2

DN,7

EG,8

EC,4

MP,9,1O

EC,4

MT,5,6

NG,13

EP,14

NCC,15

EC,16

EC,16

IP, 18

NG,19

'IC, 17,20

IP,21

~ Axyz (pz /\ Gy -7 Hz)

I Deduccion correspondiente al ejercicio numero ll.

1 l' (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) ~ Axyz (Px /\ Gy -7 Hz)11

(ii

11I

I

"~I

I'j·

Ii

II Ii

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

]3

14

15

16

17

18

19

20

21

l' (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) -7 Axyz (Px /\ Gy -7 Hz)

l.vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)

r Axyz (Px /\ Gy -7 Hz)

r Px /\ Gy -7 Hz

I Px /\ Gy

}lX EC,6

VxPx IP, 7

Vx Gx -7 Ax Hx MP, 3, 8

~ E~6

Vx Gx IP,1O

. I Ax Hx MP, 9, 11

I Hz EG,12

r Axyz (Px /\ Gy -7 Hz) -7 (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) I

Axyz (Px /\ Gy -7 Hz)

r Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)

VxPx

r Vx Gx -7 Ax IIx

VxGx

? AxHx I

l' Hx

22 I I I I I Pu

23 I Gw

24 Pu /\ Gw

25 Pu /\ Gw -7 Hx

26 Hx

27 (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) ~

EP, 17

EP,19

IC, 22, 23

GEG,15

MP,25,24

Axyz (Px /\ Gy -7 Hz) lB,2, 14

EJERCICIOS DE DEDUCCION 6766 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Ejercicio mimero 12. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 13.

a1 = /\x ((Bx y Nx) /\ , (Bx /\ Nx)) 1 ? /\x Hx

a2 = /\x (fx = a ~ Bx) 2 -, Vx (/\y (y = a ~ Py) ~ Hx) premo a[

a3=fa = a 3 Vx. Hx i-e r» /\x(Pa /\. Hx) premo a2

a4 = --'i /\x Nx 4 I ? /\x (Pa /\ -, Hx)

'Pruebese: 0:1, a2, 0:3 I- 0:4. 5

6 Deduccion correspondiente al ejercicio numero 12.

7

1 ? ,/\x Nx 8

2 " /\xNx 9

3 /\x Nx DN,2 10

4 Na EG,3 11

5 /\x (fx = a ~ Bx) premo Q;2 12

6 fa=a~Ba EG,5 13

7 fa=a premo a;1 14

8 Ba MP,6,7 15

9 /\x ((Bx y Nx) /\ , (Bx /\ Nx)) prem· 011 16

10 (Ba y Na) /\ , (Ba /\ Na) EG,9

I /\x. (/\y (y = a ~ Py) ~ Hx) NP,2

• (/\y (y = a ~ Py) ~ Hx) EG,5

/\y (y = a ~ Py) /\' Hx NCC,6

/\y (y = a ~ Py) EC,7

Pa EI,8

rv Hx EC,7

Pa /\ rv Hx IC,9,10

-,. /\x iPas ;» Hx) DN,4

,Vx.Hx MT,3,12

/\x,.Hx NP,13

, rv Hx EG,14

lIx DN,15

Ejercicio numero 14. II ,(Ba /\ Na) EC,10

0:1 - /\yz (/\x (XEy~ XEZ) ~ Y= z)12 (Ba /\ Na) rc, 8, 4

a2 = /\uw (/\x (XEU ~ Ex /\ a) /\ /\x (XEW ~ Ex /\ a) ~ U = w)

Pruebese: a1 I- a2.Ejercicio numero 13.

NOTA: a1 se puede interpretar como el axioma de extensionalidad de laa1 =, Vx (/\y (y = a ~ Py) ~ Hx)

teoria de conjuntos. a2 se puede interpretar del mismo modo como el 0;2 "::.CO Vx, Hx ~, /\x (Pa /\', Hx) teorema de la teoria de conjuntos (tipo Quine) que dice que para cada

condicion a hay a 10 sumo una clase de todos los elementos que satisfacen a. 2;\ ~C' /\x 1Ix

Pruebcse: aI, a2 I- a:].

69

15.

premo CCI

premo cc:!

premo CCs

EG,3

II,4

EG,6

MP,7,5

ED, 2, 8

EG,9

16.

1D,4

R,2

ID,8

R,2

II, 7

EG,ll

Sl,3

MP, 12, 13

68 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 14.

1 l' Auw (Ax (XEU ~ Ex /\ 2) /\ Ax (XEW ~ Ex r. a) ~ u = w)

2 I r Ax (XEU ~ Ex /\ IX) /\ Ax (XEW ~ Ex /\ a) -7 u = w

3 Ax (XEU ~ Ex /\ a) /\ Ax (XEW ~ Exr. a)

4 Ax (XEU H Ex /\ a) EC,3

5 /\x (XEW H Ex r. a) EC,3

6 l' Ax (XEU ~ XEW)

7 I I I l' XEU H XEW

XEU ~ Ex /\ C( E~4

XEW ~ Ex /\ a: E~5

XEU -o Ex r. a E~8

Ex /\ cc ~ XEU E~8

XEW ~ Ex /\ C( E~9

Ex /\ cc ~XEW E~9

II i::~X<w MP, 10,15I II Ex r. a

XEW MP, 13, 16 I r XEW ~XEU

XEW

Ex /\ cc MP, 12, 19

. I xeu MP, 11, 20

I XEU «-+XEW IB,14,18

Ayz (Ax (XEy H XEZ) -30 Y '--= z) premo al

Ax(xEU O(-~XEW) ~u = W GEG,23

U=tlJ MP,24,6

numero 15. hfce v Ax Rxx

a:! = Ax fcx =--=: C

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 I I

21

22

23

24

25

Ejercicio al ~. a =

EJERCICIOS DE DEDUCCION

CIS ==. a = he 0:1 == , Rcc -7 Rcc

Pruebese: C(l, C(~, as I- at·

Deducci6n oorrespondiente al ejercicio o numero

1 l' • Rcc -7 Rcc

2 I a = hf€Cv Ax Rxx

3 Axfcx = c

4 ,a=hc

5 fcc == e

6 \ Ax (x = C 0--'70 , a = !Ix)

7 fcc =p ~ • a = hfcc

8 ,a = !lfcc

9 AxRxx

10 Ree

Ejercicio numero 16.

al = , (. fa = fb v , Hfa) -) Hfb

Pruebese: I- CCI'

Deduccion correspondiente al e[ercicio numero

1 l' , (0 fa = fb v ' Hfa) ~ Hfb

2 II ,(, fa = fll v· Hfa)

r fa = fb

II ,fa = fb

I ('fa=fbv,Hfa)

I -, (, fa = fb v • Hfa)

r Ilfa

,Hfa

(, fa = fll v • Ilfa)

-, (. fa = fb v. Hfa)

Ax (x = fa ~Hx)

fb = fa -7Hfb

fb =fa

Hfh

I

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

70 SINTAXIS: UN CALCULO ··DEDUCTIVO

Ejercicio numero 17.

CCl - Pa ~ Vy (a = y 1\ Py)

Pruebese: I- CCI'

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 17.

1 ? Pa ~ Vy (a = y 1\ Py)

21 ?Pa~Vy(a=YI\PY)

3 I Pa

4 I I a=a I

.5 a=al\Pa [=5"(a=YI\PY)] IC, 3, 4 11

6 Vy(a=YI\PY) IP,5

7 ? Vy (a = y 1\ Py) ~ Pa

8 I Vy(a=YI\PY)

9 a = u 1\ Pu EP,8

10 Pu [= 5"., Px] EC,9

11 a=u EC,9

12 I\x (x = u ~ Px) 11,10

13 a zx ur-v Pa EG,12

MP, 13, 11 1411 Pa

15 Pa ~ Vy (a = y 1\ Py) IB,2,7

Ejcrcicio nurnero 18.

CCl = I\x (x = c ~. Vy (Py 1\ Myx))

CC2 =. Gc ~.I\y (Py~. Myc)

CC;j sss Gc

Pruebese: CCI, CC2 I- CCa.

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Deduccion correspondicnte al ejercicio numero 18.

1 ? Gc

2 ,Gc

3 I\x (x = c ~, Vy (Py 1\ Myx)) premo Cli

4 c = c ~,Vy (Py 1\ Myc) EG,3

5 c = c ~, Vy (Py 1\ Myc) EB,4

6 c=c I

7 , Vy (Py 1\ Myc) MP,5,6

8 ,Gc~, I\y (Py~. Myc) premo CC2

9 , I\y (Py ~ • Myc) MP,8,2

10 Vy,(Py~,Myc) NG,9

11 ,(Pu~. Muc) EP,1O

12 Pu 1\" Muc NCC,l1

13 "Muc EC,12

14 Pu EC,12

15 Muc DN,13

16 Pu 1\ Muc IC, 14, 15

17 Vy (Py 1\ Myc) IP, 16

Ejcrcicio numero 19.

ell - I\yz (I\x (Exy ~ Exz) ~ Y = z)

0:2 -I\x (Exu ~ I\v Rvx) 1\ I\x (Exw ~ Vy Ryx) ~ u = w

Pruebese: CCI I- CC2.

7J

13

72 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS DE DEDUCCION 73

Deduccion correspondiente al ejercicio mrmero 19. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 20.

1 l' I\x (Exu ~ I\v Rvx) /\ I\x (Exw ~ Vy Ryx) ~ u = tV 1 r Vzl\w(l\xfxw=x+-l>w=z)

2 I\x (Exu ~ I\v Rvx) /\ I\x (Exw +-l> Vy Ryx) 2

3 I\x (Exu ~ I\v Rvx) EC, 2 3

4 ,I\x (Exw ~ Vy Ryx) EC,2 4

5 I\yz (I\x (Exy ~ Exz) ~ y = z) prem.1I:1 5

6 I I\x (Exu ~ Exw) -'> U = w GEG,5 6

7 I l' I\x (Exu ~ Exw) 7

Exa +-l> I\v Rvx EG,3 8

9

8

Exu ~ I\v Rvx EB,8 9

10 Exw~ Vy Ryx EG,4 10

11 VY Ryx -';0 Exu: EB,lO 11

12 l' Exu~ Exw 12 I

Vz I\x (fxz = X /\ Vy fxy = z) premo (1.::1

I\x (fxzo = x /\ Vy fxy = Z(l) EP,2

l' I\w (I\x fxw = X +-l> W = zo)

I l' W = Zo ~ I\x [xu: = x

II w=zo

l' I\x [xu: = x

II fXzo = X /\ Vy fxy = Zo EG,3

I fxzo=x EC,8

I I\u (u = Zo ~ fxu = x) II,9

I w=zo~txw=x EG,10

[xu: = x MP,11,6

, Exu 13 I I 'F I\x [xu: = x ~ w = Zo

14 I' \ II\V Rex MP, 9,13 14

15 Rvx EG,14 15

1~ III ': Ryx1, , Exso

IP,15

MP, 11, 16

16

17

18 I tI = tV MP,6,7 18

19 I Ejercicio numero 20. 20

(1.1 = /\xy.UtV (fxu = Y /\ [xu: = y' ~ u = w) 21 'I,. ,

I\xfxw = x

fxw=x EG,14

fxzo = X/\ V y txy = Zo EG,3

fxzo = x EC,16

I\XyllW ijxu = Y /\ fxw = y ~ u = w) premo (1.1

fxz1J = X /\ fxw = X~ zo = W GEG,18

fXzo = X /\ fxw = x IC, 17, 15

MP, 19,20 Zo = w

0:::1 'ass Vz /I,x (fxz = X/\ Vy fxy = z) 22 I W=Zo SI,21

C(:; Vz I\w (I\xfxw = x~w = z) IB,13,523 I ~x [xu: = x ~ w= Zo . _ ~ Prucbcsc: 0:J, a:! !--- a:\. IP,424 V N I\w (I\x [xu: - x H tv - "')I

NOTA: a] y c::~ son dos tcorcrnas de 1a tcoria de grupos, que en los Ejercicio numero 21. cjercicios 23 y 22, rcspeetivamcnte, son dcducidos a partir de los axiomas de esa teoria. a;l es eI tcorerna de la teoria de grnpos que afirrna la existen­ 0:] = /\xyz ftxyz = tXfyz cia univoca de un elemento neutro. o::! = I\x fxhx = k

74 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS 0;-: DEDUCCION 75I

Il;{= Ax fkx = x \ Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 22. I 1l'4= Axy Vz fxz = y

1 F Vz Ax (f:CZ = x /\ Vy fxy = z) Pruebese: aI, a2, as I- a4. I

2 I Axy Vz fxz = y prem.a2

NOTA: aI, a2 y IlS constituyen una axiomatizacion posible de la teoria de grupos. 1l'4 seria en esta interpretacion el teorema que dice que siempre hay un cociente porIa derecha.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 21.

1 l' Axy V z fXZ = Y

2 I Axyz ftxyz = fx fyz

3 Axfxhx = k

4 jAXfkX = x

5 fky = Y [= 5~ fxy = y]

6 Ax (x = k -+fxy = y)

7 fxhx = k -+ ftxhxy = Y

8 fxhx = k

9 ffxhxy = Y

10 Az ftxhxz = fXfhxz

11 I ftxhxy = fxfhxy

12 I fxfhxy = Y

13 I VzfxZ =Y

Ejercicio numero 22.

premo at (

premo az

premo as

EG,4

11,5

EG,6

EG,3

MP,7,8

GEG,2

EG,10

TI,9,11

IP,12

(

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

VZfyz = Y GEG,2

fyu= y EP,3

If Ax (fxu = X /\ Vy fxy = u)

Axy VZ fZx= y premo as

Vz fZy = x GEG,6

fwy=x EP,7

Av (v = y ~ fWD = x) 11,8

fyu = Y -+ fwfyu = x EG,9

fwfYIl = x MP,10,4

Axyz fXfyz = ffxy:: prem.al

fwfyu = ffwYll GEG,12

I ffwyu = x TI, 13, 11

Av (v = fwy -+ [ou = x) I1,14

x = fwy -+ [xu = x EG,15

x=fwy 51,8

[xu = x MP, 16, 17

VZfxz = u GEG,2

fXzo = u EP,19

1l'1 = Axyz fXfyz = ffxyz 21 II Vy fxy = u IP,20

1l'2~ Axy Vz fxz = y 22 fxu = x /\ Vy fxy = u rc, 18,21 ,2a""" Axy Vz [zx = Y 23 I Vz Ax(fxz = X/\ Vy fxy = z) IP,5 ,24 == Vz Ax (fxZ = X /\ Vy fxy = z)

Ejercicio numero 23. iPruebese: al, a2, a;j I- a4' I, III =, Axyz fXfyz = ffxyz

NOTA: 1l'1, a2 y as son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 12'2 = Axy Vz fxz = y 7 4 es el teorema de la teoria de grupos que dice que hay un elemento neutro as = Axy Vz fZX = Y y qut" para cada elemento del grupo hay un inverso.

a4 raa Axyuw (fxu = Y /\ [xu: = Y -+ U - w)

I l.

76 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS DE DEDUCCION 77

25 I I f{Z2XW = u TI,24,23Pruebese: 0:1, 0:2, AS \--- 0:,1.

NOTA: 0:1, 0:2 Y O:s son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 124 es el teorema de la teoria de grupos que dice que para cada dos elemen­tos del grupo hay a 10 sumo un cociente porIa derecha.

Deduccion correspondiente al ejercicio numcro 23.,

1 Y Axyuw (fxu = Y /\ fxw = Y -,)U = w)

2 r fxu = Y /\ fxw = y -,) u = w

3 fxu = Y /\ fxw = Y

4 fxu = Y EC,3

5 fxw = y EC,3

6 fxw = [xu TI,5,4

7 Axy Vz fzx = y prem.o:s

8 I VZfzu = u GEG,7

9 fZ1U = u EP,8

10 Vz [zx = Zl GEG,7

11 fZ2X = Zl EP,lO

12 /\xy VZ fxz = Y prem.0:2

13 Vzfuz= w GEG,12

14 fUzs = w EP,13

15 Av (v = Zj -,) fvu = u) II, 9

16 fZ2X = Zl -,) ffz'2XU = U EG,15

17 ffz2XU = U MP, 16,11

18 Axyz fx fyz = ffxy;:, premo al

19 fZ2 fxu = ff::"21'11 GEG,18

20 I I fZ2 fxu = u TI,19,17

21 Av (v = [xu -,) fz:>.v = u) II, 20

22 fxw = fxu -,) fZ:>. [xu: = u EG,21

23 fZ2 fxw = u MP, 22, 6

24 I I fZ2 fxw = ffz2XW GEG,18

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Ejercicio

Av (v = fZ2X -,) fvw = u) II, 25

Zl = fZ2X -,) fZ1W = u EG,26

Zl = fZ2X SI,11

fZ1W = u MP,27,28

Av (v = w -,) fZ1V = u) II, 29

fUzs = w -,) fzduzs = u EG,30

fZ1 fUZ3 = u MP,31,14

fZl fUzs = ff z1UZS GEG,18

ffz1UZS = U TI,32,33

Av (v = fZ1U -,) fVZ3 = u) II, 34

I U = fZ1U -,) fUzs = U EG,35

U = fZ1U SI,9

{uzs = U MP, 36, 37

u=w TI,38,14

numero 24.

a1 0=:= Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ 1'= y) /\ Y = r)

a:!:=:o Ax (Sx /\ , X= r -,) Arx)

as ~ Vx (Sx /\ Gx /\ Apx)

a4 = Axy (Axy -,) , Ayx)

a" =" Sp,

Pruebese: aI, a2, as, a4 I- iX5.

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentaci6n: "S610 hay un sofista que ensefia gratuitamente, y este es S6crates. S6crates argumenta mejor que ningun otro sofista. Plat6n argumenta mejor que algun sofista que ensefia gratuitamente. Si una per­sona argumenta mejor que otra segunda, entonces, esta segunda no argu­menta mejor que Ia primera. POI' consiguiente, Plat6n no es un sofista".

I

I

78 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO EJERCICIOS DE DEDUCCION 79

Deducci6n correspondiente al ejercicio

1 r ,Sp

numero 240 I

j

2811 App 29 App ---'>,App

30 I,App

MP,27,26

GEG,19

MP,29,28

2 I "Sp 31 Sp /\ , P = r ---,> Arp EG,22

3 Sp DN,2 32 Sp /\' P = t IC, 3, 23

4 Vx (Sx J\ Gx /\ Apx\ premo o;;{ 33 ,(Sp /\' P = r) MT,31,21

5 Su/\ Gu /\ Apu EP,4

6 Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ x = y) /\ Y = 1') premo 0;1 Ejercicio numero 25.

7

8

9

Ax (Sx J\ Gx ~ x =

Ax (Sx /\ Gx ~ x =

Su/\ Cu e- u = w

w) /\ W

w)

= r EP,6

EC,7

EG,8

( I

Pruebese: I- 0;1'

0;1 = Ax (Px ~ x = a) ---,> ~x Px = a

10 I Su /\ Gu ---,>u =

11 Su /\ Gu

w EB,9

EC,5 Deducci6n correspondiente al ejercicio numero 25.

12 I u = w MP, 10, 11 1 r Ax (Px ~ x = a) ---,> tX Px ~ a

13 I w=r EC,7 2 I Ax (Px ~ x = a)

14

15

16

r=u

Apu [ 5:: Apx]

Ax (x = u ---,> Apx)

TI, 13, 12

EC,5

11,15

3 I Vy Ax (Px ~ x =

4 r« Px

5 Pvx Px ~ ~x Px =

y)

a

IP,2

D~3

E~2

17 r = u ---,>Apr EG,16 6 Pix Px ---,> ~x Px = a E~5

18 Apr MP, 17, 14 7 ~x Px = a M~~4

19 Axy (Axy ---,> , Ayx) premo 0;4

20 Apr---'>,Arp GEG,19 Ejercicio numero 26.

21 ' Arp MP, 20,18 0;1 = , Vx 0; ---,> tX 0; = ~u u = u

22

23

Ax (Sx J\ ,

j',p=r

X = r ---,> Arx) premo 0;2

Pruebese: I- 0;1'

24 "p=r

25 p=r DN,24

26 p=u TI, 25,14

27 P = u---,>App EG,16

6. - LbcICA DE PRIMFR ORDEN

81 80 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 26.

1 ? , Vx IX ~ tX (X = tU U = U

2 I,VXIX

3 I ? , Vy Ax (IX ~ X = y) "

41I"VYAX(IX~X=Y)

5 VyAx(IX~x=y) DN,4

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio mimero 28.

121 = Vy (Ax (Hx ~ x = y) A By) ~ B tX Hx

Pruebese: \- 121'

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 28.

1 ? Vy(Ax(Hx~x=Y)I\By)~BtxHx

6 5""'" IX:r;

DP,5 I 2 Vy (Ax (Hx ~ x = y) 1\ By)

7

8

VXIX

,Vx IX

IP,6

R,2 :1

:l

3

4

Ax (Hx ~ x = u) 1\ Bu

Ax(Hx~x=u)

EP,2

EC,3 9 tXIX= tUU= U

" Donde y es una variable que no esta libre en IX.

Ejercicio numero 27.

121- R efa

a:! - Ax (Rxfa~x = c)

123 =c= R tX Rxfa fa

Pruebese: 121, 1%2 \- 123.

DI,3 II

I \ i

I J

I

5

6

7

8

9

10

11

12

Vy Ax (Hx ~ x = y)

HtxHx

H txHx~ txHx=u

H vx Hx s-o ix Hx s-: U

txHx=u

Bu [-5: Bx]

Ax (x = U ~ Bx)

eX Hx = u ~ B ex Hx

IP,4

DP,5

EG,4

EB,7

MP,8,6

EC,3

II, 10

EG,11

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 27. 13 B «u« MP,12,9

1

2

? R tX Rxfafa

I Refa prem.a1 Ejercicio mirnero 29.

3

4

Ax (x = e ~ Rx fa)

Ax (Rxfa ~ x = c)

II,2

prem.1%2

121 = Vy (Ax (IX ~ x =

Pruebese: \- ct1'

y) 1\ By) ~ B tX IX, donde y no esta en ct.

5 ? Ax (Rxfa~x = c) Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 29.

6 x= e~Rxfa

7 Rxfa~x = e

8 Bxia co « = e

9 Vy Ax (Rxfa ~ x =

10 I Rex Rxfafa

y)

EG,3

EG,4

IB,6,7

IP,5

DP,9

\ I,

1

2

3

4

5

? Vy(Ax(a~x=Y)I\By)~B~xa

Vy (Ax (a~ x = y) 1\ By)

Ax (a ~ x = u) 1\ Bu

Ax (a ~ x = u)

VyAx(a~x=y)

EP,2

EC,3

IP,4

EJERCICIOS DE DEDUCCION 83 82 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

6 I 5""" a DP,5

EG,4

EB,7

MP,8,6

EC,3

II,10

EG,ll

MP, 12,9

Ejercicio numero 31.

(Xl Vy Ax (Amx ~ x = y)

(X:2 = eX Amx = eX Aax

(Xa = exAax = p

(X4 ~ Am eX Axa

a~ = txAxa = p

Pruebese: aJ, :;t2, :;ta, a4 I- 116­

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de 1a siguiente argumentacion: "Maria ama solamente a un hombre. E1 hombre amado por Maria es aque1 a quien Apo1onia ama. Pituso es e1 hombre a quien Apo1onia ama. Maria ama a1 hombre que ama a Apo1onia. Por consi­

7

8

9

10

11

12

13

IV

Si,~a a ~ eX a = u '"

5 tax a ---c> ex a = u IV

exa=u

Bu[- S'~ Bx],f.

Ax (x = U ---c> Bx)

eX a = u -v B eX a

B exa

Ejercicio numero 30.

al = Ax (Px ~ x = eX Px) H

Pruebese: I- 111.

? Ax(Px~x= exPx)~VyAx(Px~x=y)

I YAx(Px~x- exPx)---c>VyAx(Px~x=y)

I Ax (Px ~ x = eX Px)

II VyAx(Px~x=y)

'f Vy Ax (Px ~ x = y) ---c> Ax (Px ~ x = eX Px)

I VyAx(Px~x=y)

Ax(Px~x=u)

P cx Px

P eX Px ~ eX Px = u

P eX Px ---c> eX Px = u

l/tXpx= u

I Aw (w = U ---c> Ax (Px ~ x = w))

eX Px = u ---c> Ax (Px ~ x = ex Px)

Ax (Px ~ x = eX Px)

Ax(Px ~x = ex Px) ~ Vy Ax (Px ~x = y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Vy Ax (Px ~ x = y)

IP,3

EP,6

DP,6

EG,7

EB,9

MP, 10, 8

II,7

EG,12

MP, 13, 11

IB,2,5

guicnte, e1 hombre que ama a Apo1onia

Deduccion correspondiente al ejercicio

1 r 'exAxa = p

2 Am exAxa

3 Vy Ax (Amx ~ x = y)

4 AmtxAmx

5 Ax (Amx ~ x = u)

6 Am exAmx~exAmx= u

7 Am eX Amx ---c> eX Amx = u

8 exAmx=u

9 Am exAxa ~ eX Axa = u

10 Am exAxa ---c> exAxa = u

11 txAxa =u

12 exAmx = eX Axa

13 eX Amx = eX Aax

14 tXAxa = exAax

15 exAax = I' 16 txAxa = p

L

es Pituso".

numero 31.

premo 124

premo al

DP,3

EP,3

EG,.5

EB,6

MP,7,4

EG,5

EB,9

MP,1O,2

TI, 8,11

premo :;t2

TI, 12, 13

premo :;t3 •

TI,14,15

85 84 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Ejercicio numero 32.

Cl1 = t = ex Axc

Cl2 '== I Srk

Cl3 = Ax(-. Sxk -? Axc)

Cl4 = Vy Ax(Axc ~x= y)

Cl5'== t = r

Pruebese: OIl, Cl2, 013, 014 I-- Cl5'

NOTA: Este ejercicio puede considerarse Como una formalizaci6n de la siguiento argumentacion, "Toribio es el hombre que ama a Clotilde. A Ro­berto no Ie cae simpatioa Carina. Todo el mundo que no simpatiza con Carina ama a Clotilde. Unicamente una persona ama a Clotilde. Por con­siguiente, Toribio y Roberto son la misma persona".

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 32.

1 ? t=r

2 Ax (-. Sxk -? Axc) prem· 013

3 I Srk ~Arc EG,2 4 I Srk

prem· 012

5 Arc MP,3,4 6 Vy Ax(Axe~x= y) premo Cl4

7 A exAxee DP,6 8 Ax(Axe~x = u) EP,6 9 A ex Axe e ~ tX Axe = u EG,8

10 A tX Axe e -? tX Axe = u EB,9 11 txAxe =u MP, 10, 7 12 Are~r= u EG,8 13 Are-?r= II EB,12 14 r=u MP,13,5 15 ex Axe = r TI,11,14 16 t = txAxe prem· 011

17 t = r TI,16,15

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio mimero 33.

011 ~ Vxy (Px 1\ Py /\ I X = y) -? tX Px = tZ Z = Z

Pruebese: I-- 011.

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 33.

l' Vxy (Px 1\ Py 1\ I X = y) -? eX Px = tZ Z = Z

I Vxy (Px 1\ Py 1\ I X= y)

Pu 1\ Pw 1\ I U = w GEP,2

l' I Vy /\x(Px~x = y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

I I Vy Ax(Px~x = y)

Vy Ax(Px~x =y) DN,5

Ax(Px~x = c) EP,6

Pu~u=v EG,7

Pu-?u = v EB,8

Pu EC,3

u=v MP,9,10

Pw~w=v EG,7

Pw-?w=v EB,12

Pw EC,3

w=v MP, 13, 14

u=w TI, 11, 15

IU=W EC,3

tXPx= tZZ = Z DI,4

Ejercicio mimero 34.

OIl"=- tX, Vy (Py 1\ Myx) = d

(};2=Pd

Cl3 = Vx (Px 1\ Ex)

..

87 86 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

a4 = Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy»

a5 = I Ed ~ Vz (pz 1\ Mz eX IVy (Py 1\ Myx»

Pruebese: a1, a2, a3, a4 I- 1Z5.

NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Dios es el ser mayor que eI cual nada puede ser pensado. Dios puede ser pensado. Algun ser puede ser pensado y existe. Cualquier ser que pueda ser pensado y exista es mayor que cualquier otro que solo pueda ser pensado, pero no exista. POI' consiguiente, si Dios no existe, entonces hay un ser que puede ser pensado y que es mayor que aquel mayor que eI cual nada puede ser pensado". Observese que en esta formalizacion la existencia se considera como un predicado y no como un cuantificador,

Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 34.

1 ? I Ed ~ Vz (Pz 1\ Mz IX IVy (Py 1\ Myx»

2 rv Ed

3 Vx (Px 1\ Ex) prem. a3 4 Pu 1\ Eu EP,3 5 Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy» premo a4

6 Pu 1\ Eu ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Muy) EG,5 7 I,y (Py 1\ I Ey ~ Muy) MP,6,4 8 Pd 1\ I Ed ~ Mud EG,7 9 Pd premo a2

10 Pd 1\ I Ed IC,9,2 11 Mud MP,8,10 12 Aw(w=d~Muw) II, 11 13 tX, Vy (Py 1\ Myx) = d premo al 14 eX IVy (Py 1\ Myx) = d ~ Mu tX IVy (Py 1\ Myx) EG,12 15 Mu IX IVy (Py 1\ Myx) MP, 14, 13 16 Pu EC,4 17 Pu 1\ Mu ex IVy (Py 1\ Myx) IC, 16, 15 18 Vz (Pz 1\ Mz tX IVy (Py 1\ Myx» IP,17

EJERCICIOS DE DEDUCCION

Ejercicio mimero 35.

al = Vz Ax fxz = x

a2 - Axyuw (fxu = Y 1\ fxw = Y ~u -: w)

a3 = Ax fx ty Ax fxy = x = x

Pruebese: aI, a2 I- a3'

Deduccion correspondiente al ejercicio numero 35.

1 ? Ax fx ey Ax fxy = x = x

2 Vz Ax fXz= x

3 AXfxzo = x

4 ? Ay (Axfxy = XHy = zo)

5 I ~ Ax fxy = X H Y = Zo

6 ? Ax fxy = x ~ y = Zo

7 Axfxy = x

8 fxy=x

9 fXzo = x

10 Axyuw (fxu = Y 1\ fxw = Y ~ u = w)

11 fxy = X1\ fXzo = x ~ y = Zo

12 fxy - X1\ fXz'O = X

13 y=zo

14 I I I or y = Zo ~ Ax fxy = x I

15 y=zo

16 Au (u = Zo ~ Ax [xu = x)

17 y = Zo ~ Ax fxy = x

18 Axfxy = X I

19 Ax fxy = XH Y = Zo I I

20 Vz Ay (Axfxy = XHy = z)

21 Ax fx ty Ax fxy = x = x

premo al

EP,2

EG,7

EG,3

premo a2

GEG,lO

IC,8,9

MP, 11,12

II, 3

EG,16

MP, 17, 15

IB,6,14

IP,4

DP,20

TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD88 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO 89

11.5. Teoremas sintacticos sobre la deducibilidad 'I 5.1. Primer teorema de la deducci6n: 1% sea una sentencia de 2. Si

IX 1-"", (3, entonces 1-"", (IX -...,.. (3). Prueba: Sea IX 1-"", (3, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de (3 a

partir de IX, y tenga esta deduccion n Iineas, Entonces, consideremos la deduccion .@2: 1 ?' (IX --+ (3)

2 I a 2+1 ?'(3

2+ n) I ~ ( i

cuyas lineas 2 + 1, ... ,2 + n solo se diferencian de las n lineas de 9J1 en poseer una marca mas. En los lugares de 9J2 correspondientes a aquellos de 9J1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos 1% par aplicacion de la regIa de repeticion a la linea 2. As], pues, 9J2 es una de­duccion sin premisas y, par tanto, I-z (a --+ (3).

5.2. Segundo teorema de la deduccion: r sea un conjunto de senten­cias. Si r I-z IX, entonces hay un numero finito de formulas 11, •.. , I" E r, tales que I-z hI /\ ... /\ "[" --+ IX).

Prueba: Sea r I-z 1%. Por 2.8, hay un numero finite n de formulas "[I, ... ,

"["Er, tales que ·(1) ... ,I,,l-z01. Por 2.9 d), (11/\ ... /\"[,,)-l-zlX. Y por 5.1 I-z (11/\ ... /\ I" --+ IX).

5.3. Teorema: Sea ct una sentencia de 2. (1) Si r U jctll-",' ct, entonces r 1-"" a. (2) Si r U 1,all-z c, entonces I' I-z a.

Prueba: Sea r U 11X11-z' IX, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de ---, IX a partir de r U lIXI, y tenga esta deduccion n lineas, Entonces, conside­remos la deduccion 9J2 : 1 't , !% ­

2 I"a

3 1 a DN,2 3+1 ?',a

3+n

cuyas Iineas 3 + 1, ... ,3 + n solo se diferencian de las n lineas de 9J1 en poseeruna marca mas. En los lugares de ~2 correspondientes a aquellos

de 9J1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos IX por apli­cacion de la regIa de repeticion a la Iinea 3. As], pues, las unicas premisas introducidas en 9J2 son las que provienen de r y, por tanto, r I-z' IX.

Con 10 que (1) queda probado. De igua,l modo se prueba (2).

5.4. Teorema:

Si t es un termino de 2, entonces I- z VX X = t.

Prueba:

1 r- Vxx=t 2 I ,Vxx=t 3 Ax ---, x = t NP,2 4 ,t=t EG,3 5 t= t I

5.5. Teorema:

Si x no esta libre en 1% y I-z (IX --+ (3),entonces 1-"", (IX --+ Ax (3).

Prueba: x no este en IX. Sea I-z (IX --+ (3).

1 ? (IX --+ Ax (3) 2 IX 3 "? Ax (3 4 I? Ct. --+ (3

I . pues 1-2 (IX --+ (3)

I : m I I (3 MP, 4, 2

Luego t-z (~ --+ Ax (3).

5.6. Teorema: Sean ts, t2 Y ftl , ... , t" terminos de 2, en los que ninguna de las variables x, y, Xl ... x" este lihre. Sea Ptl , ... , t: una formula de 2. Entonees:

a) I-z Pth "', t" B VXh ... , x" (Xl = t1 /\ ... /\ X" = t n /\ PxI, ... , x,,)

b) 1-2 X . ttl, "', tn BVX1' "', x" (Xl = t1 /\ ... /\ Xn = t.; /\ X=-fXI, ... , XII)

c) I-z t l = t2 B Vxy (x = t1 /\ Y = t2 /\ x= y)

90 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD 91

Prueba de c): Prueba:

1 r t 1 = t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X= y) 1 y Ax IX ~ Ax f3

2 I ? t) = t~ -+ Vxy (x = t1 1\ Y= t~ 1\ X = y) 2 premisalAX (IX ~ /3) 3 I t] = t~ 3 r Ax IX -+ Ax /3

4 ? Vxy (x = t] 1\ Y = t 2 1\ X = y) 4 II Ax a , Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X = y) 5 y Ax /3

6

5

Axy, (x = t) 1\ Y = t 2 1\ X= y) GNP, 5 6 EG,4

7 , (t l = t) 1\ t~ = t~ 1\ t 1 = t~) GEG,6 7 ill :~/3 EG,2(I t) = t 1 I8 8 a-+/3 EB,7

9 t2 = t2 I 9 I (3 MP,8,6

10 tl = t, 1\ t~ = t~ IC,8,9 10 ? Ax /3 -+ Ax a

11 I (t 1 = t 1 1\ t 2 = t~ 1\ t) = tJ IC, 10,3 11 AX/3\

12 l' Vxy (x = t 1 1\ Y = t~ 1\ X = y) -+ t) = t 2 r Ax a

13

12

Vxy (x = t1 1\ Y= t~ 1\ X= y) ,Ax a13

u = t1 1\ W = t2 1\ U = W -GEP, 13 ft, W no eaten en I" t, Vx,a NG,13

15

14 14

u = t) 1\ W = t« EC,14 ,5"a EP,1415 J!

u = t1 EC,15 1616 5~ a~5:;/3 EG,2

17 u=w EC,14 17 5~/3 -+ 5::, a EB,16

18 MT, 17, 15 t1 = w TI,16,17 r 18 ' 5~/3

19 w = t~ EC,15 19 5~/3 EG,11I t) = t 2 TI, 18, 19 ( i ! 20 Ax a ~ Ax /3 IB,3,1O20 i

t) = t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y = t 2 1\ X = y) IB, 2, 1221 5.8. Teorema: Sea ): una formula de 2. w no este en rz a.

De igual modo se prueban a) y h) de 5.6. Entonces:

1-2' X = ~z IX ~ (Az (a ~;::: = x) v (-, Vw Az: (a ~ z = w) 1\ X = ty y = y)).5.7. Teorema: Sean a y f3 formulas de 2. Entonces:

!\X (): ~ /3) he Ax ): ~ Ax {3.

CUASIELIMINACION DE DESCRIPTORES 93

I 24 Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = tY Y ''':= y)

I ID,18,f25 Vw Az (IX ~ Z = w) V --, Vw Az (IX~Z = w) ~ (Az (IX ~

z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y)) IDA, 10, 4 !

26 Vw Az (IX ~ z= w) v --, Vw Az (IX ~z = w) TND

27 Az (IX ~ Z = x) v (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y) MP,25,26

28 y Az (IX ~ Z = x) ~ x = tZ IX

29 Az(IX~z =x)

30 VwAz(IX~z=w) IP,29 5'za IX31 z DP,30( 5'za IX ~ tZ IX = XI 32 z EG,29

33 5'za IX ~ tZ IX = Xz . EB,32

I 34 tZ IX = X MP, 33, 31

35 x = rz IX SI,34

.36 y --, Vw Az (IX ~ Z ~ w) A X = ty y = y ~ x = tZ IX

37 --, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = tY Y = Y

38 --, Vw Az (a. ~ z = w) EC,37

39 rz IX = ty Y = Y DI,38

40 x= tyy=y EC,37

41 X = tZ IX TI, 39,40 42 (Az (IX~ z = x) v (--, Vw Az (Cf.~Z = w)

A X = ty y = y)) ~ x = iz IX IDA, 28, .36

43 X = tZ IX~(Az (IX~Z = X) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) AX = ty Y = y)) IB,2,42

11.6. Cuasieliminacion de descriptores

6.0. En los lenguajes que posean al menos una constante individual podemos hallar formulas y terminos sin descriptores en cierto modo equi­valentes a cualesquiera formulas y terminos dados, identificando para ello

20

21

22

23

.~

92 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Prueba:

1 f x = !Z IX ~ (Az (IX ~ Z = x) v (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y))

2?I X = ez IX ~ (Az (IX ~ Z = X) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w)I AX= tyy =y))

3 I X = rz IX

4 f --, Vw Az (IX ~ Z = w) ~

I (Az (IX ~ z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y))

5 --, Vw Az (a. ~ z = w)

6 tZ IX = ty Y = Y DI, 5

7 x = ey y = y TI, 3, 6

8 --, Vw Az (IX ~ z::;::: w) A X = ty y = Y IC, 5,7

9 Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X:- ty y = y)ID, 8

10 Y Vw Az (IX ~ Z = w) ~

(Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y))

11 I I I Vw Az (IX ~ Z = w) .

12 5'za IX z DP,11

13 Az (IX ~ Z = u) (donde uno esta en IX y U ¢ z), pues 5;:'IX = IX, ya que w no esta en IX EP,ll

14 5~za IX ~ tZ IX = U EG,13

15 5'za IX ~ tZ IX = U z EB,14

16 iz IX = U MP, 15,12

17 u=X TI,16,3

18 III Y Az (IX ~ Z = x)

19 I--'Az(IX~z=x) [=5~--,Az(IX~Z=U), ya que 5~ IX = IX, porque u no esta en IX]

Au (u = x ~ --, Az (IX ~ Z = u)) II, 19

u = x ~ --, Az (IX ~ Z = u) EG,20

--, Az(IX~z = u) MP, 21, 17

Az(IX~z=u) R,13

94 SINTAXIS: UN, CALCULO DEDUCTIVO CUASIELIMINACION DE DESCRIPTORES 95i

una de las constantes individuales con una descripcion impropia. EI teore­ Por 2.9, c) obtenemos ~ rna siguiente expresa esto con mas exactitud.

6.1. Teorema: Sea c una constante individual del formalismo ;C. En­tonces:

a) Para cada formula a de .2 hay una formula sin descriptores a' de5f:,

J !

C = ty y = Y 1-2 X = it-; ..., t; +.,> VXl, ... , x" (Xl = t.,»; ... /\X" = tn /\ X =

tx), .. " xn) De aqui podemos pasar a

c = ty Y = Y 1-2 X = ttl, ... , t« +.,> VXI, ... , Xn (<PI/\ ... /\ <p" /\ X = tXI, ... , x,,)

con las mismas variables libres que a y tal que c = ty y = Y 1-2 a +.,> a'. Este ultimo paso esta justificado porque de 10 que damos por supuesto b) Para cada termino t de .2 y cada variable x que no este en t hay una para <PI, ... , <pn se sigue que

formula sin descriptores <P de 2, con las mismas variables libres que x = Y tal que c = ty Y = Y 1-2 X = t +.,> <po

6.2. Demostracion de 6.1 por induccion semiotica simultanea:

Sea t v.

t

( ,

i

c =!y Y = y 1-2 VXI, ... , X" (Xl = t,». ... /\ XII, = tn) ~VXl, ""'Xn (<PI /\ ... /\ 'in)

Luego hay una formula sin descriptores <P de .2, con las mismas varia­bles libres que x = ttl, ..., t« y tal que

c = ty y = Y1-2 X = ttl, "', t; +.,> <P; a saber,

<P ~ VxI, ''', x" (<PI /\ ... /\ <pn /\ X = i«: ..., XII) x no este en t, e. d., x =1= V Sea a - Pt I , .. " tn'

1-2 X = V +.,> X = V Xl, ... , Xn sean n variables distintas que no esten en a. C = ty Y = Y 1-2' X = V +.,> X = v por 2.9, c)

Luego hay una formula sin descriptores <P de .2, con las mismas varia­bles libres que x = v y tal que c = ty Y = Y1-2 X = t +.,> <P; a saber,

Por hipotesis inductiva, hay n formulas sin descriptores <P), ... , <pn de 2, tales que para cada i (1 < i < n), <Pi tiene las mismas variables lib res que Xi = t, Y C= ty y = Y 1-2 Xi = t, +.,> <Pi'

<P = x = v. Ahora bien, por 5.6, a) Sea t = a. 1-2 Ptl, .. " t« +.,> VXI, ... , Xn (Xl = t l /\ .", /\ XII, = tn. /\ PXI, ... , Xn)

x no puede estar en t, pues una variable nunca esta en una constante Por 2.9, c) obtenemos .Individual.

c = ty y = Y 1-2 PtI , "', t« +.,> VXI , ... , Xn (Xl = tl /\ ... /\ XII = t n0 PxI, ... , xn )

1-2 X =a~x = a De aqui podemos pasar a C = ty Y= Y 1-2 X = a ~ x = a por 2.9, c)

C = ty y = Y 1-2 Pt b "', t; +.,> VXI, ... , Xn (<PI/\ ... /\ <pn /\ PXI, ... , X,,). Luego hay una formula sin descriptores <p de 2, con las mismas varia­

bles lib res que x = a y tal que c = ty y = Y1-2 x= t ~ <P; a saber, Este ultimo paso se justifica como en el caso anterior.

'i-x=a. Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia­

bles libres que Pt I , .. " t« y tal que . Sea t ­ ttl, .. ", t". C = ty y = Y1-2 a +.,> a'; a saber, a' = VxI,... , Xn (cpl/\ '" /\ <pn /\ PXI, ... , x,,). x no este en t. Sea a=-'/3. xl, ... , x" sean n variables que no esten en t,

Por hipotesis inductiva, hay ,

una formula sin descriptores /3' de .2, con

c = ty Y = Y1-", Xi = t, ~ <Pi

Ahora bien, por 5.6, b)

Por hipotesis inductiva, hay n formulas sin descriptores <PI, ... , <p" de 2, tales que para cada i (1 < i < n), <Pi tiene las mismas variables libres que x;=t; y

las mismas variables lib res que /3 y tal que

C = ty y = Y 1-2 /3 +.,> /3'. Entonces, C = ty y = Y 1-2 -, /3 +.,> -, /3'.

Luego bay una formula sin descriptores a' de .2 con las mismas varia­bles libres que -, /3 y tal que C = ty y = Y 1-2 ex +.,> a'; a saber, a' ­ -, /3'.

1-2' X = ttl, ''', t" ~ VXl, .. ", Xn (Xl = t, /\ ... /\ Xn = t ; /\ X = tXI, ... , x,,) Sea a ­ (f3 /\ Y).

7. -- LOGIC'\. DE PR.IMER ORDEN

96 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

POl' hipotesis inductiva, hay dos formulas sin descriptores {3' y or' de 2, con las mismas variables libres que {3 y T, respectivamcnte, y tales que c = ey y = y 1-2 {3 -B {3' C = ey y = y 1-2 T -B 1'. POl' tanto, c = ty y = Y 1-2 {3 1\ T -B {3'1\ 1'.

Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia­bles libres que ({3 1\ T) Y tal que

C = ty y = Y 1-2 a -B a'; a saber, a' = ({3' 1\ 1'). De igual modo se prueba el teorema para a-({3VT) a = ({3 --'}> T) Y a = ({3 -BT). Sea a = Ax{3.

POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores {3' de 2, con las mismas variables libres que {3 y tal que

c = ey y = y 1-2 {3 -B h'. POl' tanto, 1-2 C = ty y = y --'}> ({3 -B {3') pOl' 5.1 1-2 C = ty y = y --'}> Ax ({3 -B {3') pOl' 5.5

C = ty y = Y1-2 Ax({3 -B {3') Ax ({3 -B {3') 1-2 Ax{3 -B Ax{3' pOl' .5.7 C = ty y = Y 1-2 Ax{3 -B Ax{3' pOl' 2.9, b) Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia­

bles libres que Ax {3, y tal que

C = ty y = Y1-2 a -B a' ; a saber, !x' = Ax{3'.

De igual modo se prueba el teorema para a~ VX{3. Sea t= rz a. x no este en t

POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas variables lib res que a y tal que C = ey y = y 1-2 a -B a'.

Ahora bien, pOl' 5.8,

1-2 x = tZ a -B (Az (ex -B Z = x) V (-, Vw Az (a B Z = w) 1\ X = tY Y = y)) POl' tanto,

c= tY y=y 1-2 X = tZ a -B (Az (a -B Z = x) V(, Vw Az (a -B z= w) 1\ X = tY Y = y))

c= tY Y - Y 1-2 X = tZ a -B (Az (a -B Z = x) V (, Vw Az (a -B Z = w) 1\ X = c))

c= tY Y = Y 1-2 X = tZ ex -B (Az (!X' -B Z = x) V (, Vw Az (a' -B Z = w) 1\ X = c))

CONSISTENCIA Y CONTRADICCION 97

Luego hay una formula sin descriptores cp de 2, con las mismas varia­bles libres que x = rz a, y tal que

C = ty y = Y ~-'2 X = t "''"). 9;

a saber, 'jJ = !\z (a' B Z = x) V (, Vw Az (a' -B Z = w) 1\ X = c) q.e.d.

II.7. Consistencia y contradicelon

7.0. Consistencia y contradiccion son propiedades de formulas 0 de eon juntos de formulas. Supongamos que r es un conjunto de formulas de un forrnalisrno £7. Si una de las formulas de r es la negacion de otra de las formulas de r, diremos que r es contradictorio. Si ese es el caso, enton­ces todas las formulas del formalismo 2 seran dedueibles a partir de r.

Cuando se descubre una contradiccion en una teoria de la matematica o de alguna ciencia empirica, inmediatamente es rechazada la teoria, pues carece de todo valor, ya que cualquier cosa se sigue de ella, tanto una afirrnacion cualquiera como su negacion.

Para definir la contradiccion de un conjunto de formulas eligiremos pre­cisamente la propiedad de que cualquier formula sea deducible de el.

7.1. Definicion:

Un conjunto I' de formulas de 2 es contradictorio en cC£ si y s610 si cada formula de 2 es deducible de r.

Un conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 si y solo si r no ('5 contradictorio en 2.

\ I Es dccir, un coniunto r de formulas de /L' es consistente en 2 si v solo '\1 si hay alguna foml~la de 2 que no es deducible de r. ­

Una formula IX de /£ es contradictoria (resp., consistente) en 2 si y solo si la! es contradictorio (resp., consistente) en 2.

'1.2. Teorema:

a) 51 r es consistence en 2 y A c r, entonces A es consistente en ;t:. b) SI r es contradictorio en 097 y r C li, entonces L\ es contradictorio

en 2,

Prueba de a): Sea r consistente, Si L1 fuese contradictorio en oC£', enton­ces toda formula de 2 seria deducible a partir de /). y, pOl' 2.9, a) a partir

99 98 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

de I', con 10 que r seria contradictorio. Pero I' es consistente y, por tanto, tambien A.

De igual modo se prueba b).

7.3. Teorema: r es contradictorio en 2 si y solo si hay una formula 0: de 2, tal que r 1-2 (0: /\' 0:).

Prueba: r sea contradictorio en 2. Entonces, cualquier formula de 2 es deducible a partir de r. En especial, la formula de 2 (0: /\ ' il) es dedu­cible de I': r 1-2 (il/\' 0:).

Sea r 1-2 (0: /\' 0:). Entonces, cualquier formula 13 de 2 es deducible a partir de r. En efecto,

1 ? {3 2 I ? (Cl./\' 0:)

pues r 1-" (0: /\ , il)

0: EC 2 ,0: EC 2

es una deduccion en 2 de {3 a partir de I'.

7.4. Teorema: Sea a una sentencia de 2.

(1) ,a es contradictoria en 2 si y solo si 1-2 a. (2) aes contradictoria en 2 si y solo si 1-2' a. Prueba de (1): Sea, a una sentencia contradictoria en 2. Entonoes,

, ill-2 0: </> U I, 0:11-2 il

</> 1-2 0: pOl' 5.3 1-2 il

Sea 1-2 Cl.. Entonces , 0: es contradictoria, pues para cualquier formula {3 de 2, , 0: 1-2 {3. En efecto,

1 ?{3 2 I 'i' a pues 1-2 a

2 + n I ,a premisa

es una deduccion en 2 de {3 a partir de a, en la eual la unica premisa in­troducida ha sido , a.

Con 10 que (1) queda probado. De igual modo se prueba (2). dEs neoesatia la restriccion a sentencias en la Iormulacion del teorema

7.4? En la direccion de izquierda a derecha, si, pues Ia prueba se basa en

CONSISTENCIA Y CONTRADICCION

el teorema 5.3, que a su vez esta restringido a sentencias. En la otra direc-. cion, no, pues Ia prueba no haoe uso para nada del hecho de que a sea una sentencia. Es deoir, para cualquier formula a: si 1-2 a, entonces ' 0: es contradictoria en 2. Y para cualquier formula , a: si 1-2' a, entonces a es contradictoria en 2.

7.5. Dado un forma1ismo 2 al que posiblemente no pertenece Ja cons­tante individual c, designemos mediante "2 U lei" al formalismo que re­sulta de afiadir a 2 la constante e.

Teorema:

Si { e no esta en il

1-2u{ej 5~, il {

entonces: 1-2 il

Con ayuda de este ,teorema, que aqui no probamos, podemos pasar a demostrar el siguiente teorema 7.6.

7.6. Teorema: Si r U IVx ill es consistente en 2 y e no esta en T U IVx ill entonces r U {Vx il} U {5:;'il} es consistente en .2 Ulel·

Prueba: r U {Vx «} sea consistente en 2; c no este en r U {Vx il}. Pro­baremos el teorema indirectamente. Supongamos que r U IVx ill U {5.~ o:} fuera contradictorio en 2 U {c}. Entonces,

r U lVx ill U 15~ 0:1 I- £ule} , 5~ il

r U {Vx il} I- .Pule}' s- il por 5.3. II!

r U {VX «} I- .Pule] 5~ 5~, 0:; U no este en r U {Vx c}

pues 5~ 5~ , il - 5e• ' 0: = , 5~, il

por 5.2I-£'u{('} 11/\'" /\ In /\ Vx 0: ~5~,5~, 'J.

1-2U{cj 5~ (11 /\ ... /\ In /\ Vx il ~ 5~, a..) pues u no esta en I], ... , In, Vx 0:

1-2' (11 /\ ... /\ In /\ Vx il ~ 5~, 0:) por 7.5

r U \Vx!111-2,5~0: pues 5~,o:-,5~a

Sea {3 una formula de 2 en la que no este u. Entonces, r U IVx 0:1 he({3/\ ,13)· En efeeto, 1 ? (13/\ ,{3)

2 V X il Premisa 3 5~Cl. EP,2 4 ? ,5,~!1 Puesto que

r U !Vxilll-2"5.~a..

l

100 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

Luego, por 7.3, r u 1Vx 17,1 es contradictorio en 2, contra Ja hipotesis. Luego r u lVx 0:1 u 15~0'.1 es consistente en 2 U leI.

7.7. Teorema: Si el conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 y c no pertenece a 2, entonces rUle = ty Y = Yl es consistente en en 2u leI.

Prueba: Sea r consistente en 2 y c '12. Prueba indireeta. Supongamos que I' U [c = ey y = Yl es contradictorio en 2 U [c]. 19'

rUle = ty Y= Yl I-zu{cl --1 c = :y Y = Y r i-zu{cl -, c = ty Y = Y por 5.3

Por 5.2, hay Y1, ..., y.. Er, tales que

I-Z\*l ('h /\ ... Ii I" ~, c = ey y = y) u no este en 11, ... , I'"

I-zulcl (11/\ ... /\ Yn ~ 5~, u = :1] Y = Y pues 5~ -1 U = ty Y = Y """ -. c = ty y = Y

I-zu{cl S~ (11/\ ... /\ In -30 -, U = ty y = y)

pues 5~(11/\ ... /\ 1.. ~' u=ey y = y) = (11/\ ... /\ 1,. -30S~, U = ey y=y)

1-,2' (11/\ /\ 1'n ~ -. U = ty y = y) por 7.5

1-2' (11/\ /\ 'Tn ~ Au, U = ty Y= y) por 5.5 r 1-2 Au, u = ey y = y 1-.2" Au, u = ey y = y.

En efecto, 1 r -, Au I U = ty y= Y 2 I I I Au I u= ty y = y. 3 Au , u = ty y = Y DN,2 4 I I ty Y = Y. ty Y = Y EG,3 5 ty Y = Y = ey Y = Y I

r 1-2' I Au I U = ty y = y por 2.9, e)

r 1-2' Au I U = ey y = y A I Au -. u = ty y = y por Ie

Luego r seria contradictorio en 2, por 7.3, contra la hip6tesis. Por con­siguiente, rUle = ty Y = Yl es consistente en 2 U leI.

q.e.d.

II.8. Consistencla maxima y ejempliftcaelen

8.1. Definicion: Sea r un conjunto de sentencias de 2. r es maximamente consistente si y solo si r es consistente y para cual­

quier sentencia a: de 2: si ex ti r, entonces r U 10:1 es contradictorio,

CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION 101

r es ejemplificado si y solo si para cualquier sentencia Vx 0: de 2: si Vx a: EI', entonces hay un designador t de 2, tal que 5~0: Er.

8.2. Teorema: Si r es un conjunto maximamente consistente de senten­cias de 2, entonces para cualesquiera sentencias 0: y /3 de 2:

(1) Si r I- 0:, entonces 0: Er (2) Si I- r:t., entonces 0: Er (3) ,r:t. Er si y s6lo si 0: ti r (4) (0: /\ /3) Er syss 0: Er y /3 Er (5) (0: v /3) Er syss o:E r 0 /3 Er (6) «(]; 4 /3) E r syss si 0: Er, entonces /3 Er (7) (a: ~ /3) Er syss: 0: Er syss /3 Er

Prucha de 8.2: Sea r un conjunto maximamente consistente de senten­cias de 2.

Prueba de (1): Sea r I- 0:.

Supongamos que 0: f1. I',

r U Ial es contradictorio pues r es maximarnente r U 10:11-, 0: consistente

fl-'O: por 5.3 fl-(O:/\'O:)

Entonces, I' seria contradictorio, por 7.3, contra la hipotesis, Luego 0: E r.

Prueba de (2): Si I- 0:, entonces r I- 0:, por 2.9, e). Luego 0: Er, por (1).

Prucha de (3): Sea 10: Er.

Si 0: E r, r .seria contradictorio, contra Ia hipotesis. Luego 0: f1. r.

Sea 0: tir.

Si la f1. I', entonces r U I" 0:1 es contradictorio, pues r es maximarnen­te consistente

r U 1"0:11- 0: rI-O: por 5.3 O:Er por (1)

en contradiccion con 0: ti r. Luego I O:E r.

Prueba de (4): Sea (0: /\ /3) E r. (0:/\/3)1-0: y (0:/\/3)1-/3 rl-r:t.yrl-/3 pues (r:t. /\ /3) Er aErY/3Er por (1)

102 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION 103

Sea IX. Er y f3 EI' ficado de sentencias sin descriptores de 2 U Cf5, donde Cf5 es una clase IX., f3 I-- ((0, (3) numerable y disjunta can 2 de constantes individuales, tal que r C r-.

f I-- ((0, (3) pues a, f3 Ef I Prueba de 8.4: F sea un canjunto consistente de sentencias sin descrip­!((XI\ (3) E r par (1) tares de 2.

Cf5 sea un conjunto infinito numerable de constantes individuales, tal De igual modo se prueban (.5), (6) Y (7). que 2 n Cf5 =.p. Las constantes de Cf5 esten numeradas. q.e.d. Partimos de una enumeracion ao, aI, a2, a3, ... , de tadas las sentencias sin

descriptores del lenguaje 2 U Cf5. (Una tal enumeracion existe, pues el 8.3. Teorema: Si f es un conjunto maximarnente consistente y ejempli­ conjunto de las sentencias sin descriptores, que es un subconjunto del con­

ficado de sentencias de 2 y a es una formula de 2 en la cual a 10 sumo la junto de las formulas, de un lenguaje es numerable.) variable x esta libre, entonces: Par induccion aritmetica definimos en funcion de I' una sucesion f j de

conjuntos de sentencias de la siguiente manera:Vx IX.(1) EI' syss hay un designador t de 2, tal que 5~a Ef

(2) Ax a Ef syss para cada designador t de 2: 5~ a Ef fo=f

Prueba de 8.3: f sea un conjunto maximamente consistente y ejempli­ficado de sentencias de 2.

f j +1 = Prueba de (1): Sea Vx a Ef. Hay un designador t de 2, tal que 51 a EI', pues f es un conjunto

ejemplificado.

Sea 5~ a EI", para algun designador t de 2.5; a I-- V x IX. par IP

f; si r j U !ajl es contradictorio

r j U Iajl es consistente r, U jajl {

jsi aj no es una particularizacion

r j U Iajl es consistente ' i . a. j = Vx a'.r, U lajl U !5"

E a jl' SI J , c es la constante de minima muicc de Cf5, que no esta en I', U la)l.

f I-- V X IX. pues 5; IX. EI' V x IX. EI' par 8.2, (1), pues f es maximamente consistente

Prueba de (2): Sea Ax a Ef.

Ax a I-- 5~ a para cada designador t de 2, par EG "I' I-- 5~ a " " " pues Ax a Ef

5 t a Ef " " " " par 8.2, (1)IV

Sea 5; a Ef pata cada designador t de 2.

No hay ningun designador t de 2, tal que 5~ a ~ f

,5~a E f par 8.2 (3) 5~, a E f

Vx, a ~ f par 8.3 (1) ,Vx,aEf par 8.2. (3) , V x , a I-- Ax a par NP

f I-- Ax a pues ,Vx , a Ef AxaEf par 8.2 (1)

q.e.d,

8.4. Teorema: Para cada conjunto consistente f de sentencias de 2 sin descriptores hay un conjunto f" maxirnamente consistente y ejempli-

A la union de todos los conjuntos que forman esta sucesion le llamare­mas I'".

00

r- = U r, j=O

a) r C r-. 00

En efecto, r =fo y f o C U r, = r-. Luego r C r-. )=0

b) Para cada ;, I', es consistente.

Prueba par induccion aritmetica sabre [.

foes par hipotesis consistente, ya que f 0 =T.

Supongamos que I', es consistente. Entonces, tambien 10 es f)+l' En efecto, distingamos los tres casas de la definicion de f)+]. En el primer caso, f j+l = f j. Luego f j +1 es consistente, pues f j 10 era. En el segundo caso, fj+l = I', U la)l, y I', U la)l es par construccion consistente. Luego f j +1 es consistente. En el tercer caso, f j+1 = r, U IVx a~l U 15~a:l,

r j U IVx a~ I es par construccion consistente y c no esta en r. U IVx a~ I. Luego fj+l es consistente, par 7.6.

Asi, pues, para cada i. f j es consistente.

c) I'" es consistente.

Prueba indirecta. Si f" fuese contradictorio, entonces habria pol' 7.3 una

104 SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO

sentencia 1% de .2 U Yif, tal que I'''' I- (1% 1\ -, IX). Por 2.8, habria n sentencias I!, ... , In E I"\ tales que

I!, ... , In I- (GC 1\ -, a)

I'lc sea el I', de minimo subindice, tal que I!, ... , In E I'i' C, I- (IX 1\ -, a)

I', seria contradictorio, por 7.3, contra 10 que homos probado en b). Luego I'" es consistente.

d) Sea Ol una sentencia de .2 U Yif. Si <X Ii f", entonces I'''' U !<X! es con­tradictorio. PARTE TERCERA

Sea IX 't I''''. 1% es una sentencia de.2 U Yif. Por tanto, C! ocupara un lugar en la suce- (

sion de que partimos. Sea Cl = ai' . SEMANTICA 1%; 't I''' 1%;I{;I'j+1, pues si no, I%;Ef".

I'; U !IX;! es contradictorio, pues si no, IX; E I';+l >

r- U lCt'jl es contradictorio, por 7.2, b), pues f j U \aj! C T''' U 10:jl I''' U 11%1 es contradictorio, pues I%j =0 1%. c) I''' es maximamente consistente.

Se sigue de c) y d), por definicion.

f) I'''' es ejemplificado.

Sea ctj - Vx ex una sentencia de .2 U Yif. Sea Vx ex E I''''.

r, U lVxal es consistente, por 7.2, a), pues I'; U !Vx1%1 C I''' y I'''' es consistente.

Vx IX E I'j+], por construceion de I' j+l, en el tercer caso. Para algun c, 5~ ex E r i+], por construccion de f j+1, en el tercer caso de la definicion.

Luego hay un designador t de.2 U Yif (a saber, t = c), tal que S~a E I';+l,

y, par tanto, tal que 5~IX E I''', pues I';+l C r-. Asi, pues, I''' es ejcmplificado.

En I'" no hay descriptores, pues no los habia en I'0 ni se han introducido en la sucesion de los Tj, Con esto y con a), e) y f) queda probado que I'" es un conjunto maximamente consistente y ejemplificado de sentencias sin descriptores de .2 U Yif, donde Yif es una clase numerable y disjunta con .2 de constantes individuales, tal que I' C I'"

I11.1. Interpretaciones

1.0. El alfabeto de los formalismos esta constituido pOl' un conjunto de signos. Colocando unos signos detras de otros formamos filas de signos. Y de entre las filas de signos elegimos algunas -los terminos y las formu­las- y les prestamos especial atencion. Con ayuda de las formulas forma­mas lineas, A determinadas sucesiones de lineas les llamamos semideduccio­nes, y a determinadas semideducciones, deducciones. As! establecemos la re­lacion de deducibilidad entre formulas. Hasta aqui todo ha sido, pues, como un juego -mas 0 menos complicado- con figuras graficas.

Ahora, gracias a la introduccion de las interpretaciones, nuestros for­malismos se convertiran en lenguajes formales, nuestro juego con figuras adquirira una dimension signiflcativa 0, al menos, refereneiaL

Interpretar un formalismo consiste principalmente en indicar un universo o conjunto no vacio de individuos, al que se referiran nuestras variables, y en asignar a cada constante individual del formalismo un individuo del

( universo, a cada functor n-adico del formalismo una Funcion n-adica en el universo, y a cada relator n-adico del formalismo una relacion n-adica en el universo. La interpretacion de un formalismo consta, pues, fundamen­talrnente, de dos partes: la indicacion de un universo al que se refieran las variables y la asignacion de significados 0 referencias adecuadas a los sil:,111oS peculiares del formalismo.

Ademas, habra que elegir en cada cuso un individuo cualquiera del universo como "cabeza de turco" al que atribuir todas las descripciones impropias que propiamente no designarian nada, a fin de que cada designa­dol' del fonnalismo designe efectivamente un individuo del universo.

Con estos tres elementos (determinacion de un universo, asignacion de referencias a los signos peculiares y eleccion arbitraria de un individuo

SEMANTICA108 r

como referencia comun de todas las descripciones impropias) queda defini­da una interpretacion. Por conveniencias tecnicas afiadiremos a la inter­pretacion una asignacion de un individuo del universo a cada variable.

El concepto de interpretacion es el concepto basico de la semantica Iogica.

1.1. Definicion:

07 es una interpretacion del formalismo se si y solo si 07 = (oa, fit, a>, donde

1.0 oa es una clase no vacia, es decir, oa # 4>. 2.° fie es una aplicacion 0 asignacion tal, que a cada constante indivi­

dual de ::t' le asigna un individuo de 91, a cada functor n-adico de 2 le asigna una funcion n-adica en '11, a cada relator n-adico de 2 le asigna una relacion n-adica en oa. y a cada variable le asigna un individuo de oa.

3.° a es un individuo de oa, a E '11.

1.2. De ahora en adelante, para referirnos al individuo de oa que la aplicacion ?If asigna a una constante a de 2 0 a una variable x, en vez de escribir "?If(a)" 0 "?If(x)" escribiremos "J(a)" e "07(x)". 19ualmente, en vez de "?If(ft 0 "?If(P)", escribiremos "J(f)" e "J(P)". No hay confusion posible.

1.3. si. 07 es una interpretacion del formalismo 2, mediante "J~"

(donde x E oa) designaremos la interpretacion que coincide con 07 absoluta­mente en todo, can la posible excepcion del individuo que asigna a la va­riable x. J~ asigna a la variable x el individuo x en cualquier caso, y cual­quiera que sea la asignacion que 07 le atribuya. Es decir, para toda variable z:

J~(z) = f J(z), si z =1= x I. x , si z -x

Con "JXY" designaremos a (J'x)y.my L ,1] II

Con "J~;~" designaremos a ((J~)~)~. etc.

1.4. De 1.3 se desprende que:

(1) Si x ~ z, entonces J~,~ = J~~

(2) Para todo x: J:~,j~ = Jz

DENOTACION Y SATISFACCION 109

IH.2. Denotacion y satisfaccion

2.1. Dada una interpretacion 07 de 2, cada termino de 2 denota en 07 un elemento del universo oa de J. Para indicar que t denota x en 07, escri­biremos "J(t) = x".

Dada una interpretacion 07 de 2, cada formula de 2 es satisfecha 0

no satisfecha por J. Para indicar que 07 satisface 0:, escribiremos, abrevia­damente, "_7 sat a".

2.2. Definicion por induccion semiotica simultanea de la denotacion de un termino de 2 en 07 y de la satisfaccion de una formula de 2 por 07, donde .7 es una interpretacion cualquiera de 2. Sea 07 = (oa, ?If, a).

J(x) = .7(x)

07(a) = 07(a) JWtt, ... , tn) = J(fn) J(t1) , ••• , J(tn)

07 sat pntl, ... , t« syss (J(t1 ) , ... , J(t,,) E 07 (P") (en especial, 07 sat t 1 = t2 syss J(t1 ) =J(t2 ) )

07 sat --, ex syss no 07 sat 0:

07 sat (ex /\ (3) syss 07 sat ex y 07 sat (3

07 sat (ex v (3) syss 07 sat 0: 0 07 sat. (3

07 sat (IX -7 (3) syss (si 07 sat 0:, entonces 07 sat (3)

07 sat (IX ~ (3) syss (07 sat 0: syss 07 sat (3)

07 sat Ax IX syss para todo x E oa: J~ sat 0:

07 sat Vx 0: syss para alglin x E oa:J~ sat 0:

el unico x Eq1, tal que J~ sat 0;, si hay. un tal x 07 (tX ex) = y solo uno

{ a , si no

2.3. La definicion de satisfaccion es al mismo tiempo una definicion precisa del concepto semantico de verdad en los lenguajes formales. Una sentencia 0: es verdadera en una interpretacion 07 si y solo si 07 satisface a.

2A. Teorema:

Si x no esta libre en t, entonces J~(t) = J(t)

Si x no esta libre en a: JX sat 0; svss J sat ex :v ~'

llO SEMANTICA INTERPRETACION Y SUSTITUCION 111

2.5. Demostracion de 2.4 par induccion semiotica simultanea. En cada De igual modo: paso suponemos que x no esta libre en el termino a formula considerado. J~ sat Vz 0: syss J sat Vz 0:

J~~) = J(z) [pues z ¢ x, ya que x no esta libre en z] Finalmente veamos que el teorema tambien vale para las descripciones,

J~(a) = J(a) a) Sea z ¢ x y haya un unico z con J~~ sat 0:.

J:(fntl, ... , tn) = J~(fn) J~(tl)' , J~(tn) J~( rz 0:) = el iinico z, tal que JXZ sat 0: ~ ~

= J(fn) J(t1), ,J(tn) [supuesto inductivo] = " ,tal que J~: sat 0: [por 1.4.(1)] = J(fnt1 , "', tn) tal que J~ sat 0: [sup. induct.]

J~ sat pnt1, ••• , t.; syss (J:(t1) , • ", J~(tn) E J~(pn) J (tZ 0:)

(en especial, J~ sat t1 = t2 syss J~(tl) = J~(t2)

syss (J(t1 ) , ••• , J(tn) syss J sat pnt1, ... , t;

E J(pn) [sup. induct.] b) Sea z = x y haya un unico z con J:: sat 0:

J:(~z a) = el unico z, tal que J~: sat 0:

= " , tal que J~ sat 0: [pOI' 1.4.(2)] syss J (t1) = J (t2 ) [sup. induct.] =J(tZ 0:) syss J sat t1 = t2 )

c) Sea z ¢ x y no haya un unico z tal que J~: sat 0:. JXsat.o:

a!

JX sat (0: 1\ (3)a!

syss no J~ sat 0:

syss no J sat 0:

syss J sat. 0:

syss JX sat 0: y JX sat 13 a! a!

syss J sat 0: y J sat (:1

syss J sat (a 1\ (3) [sup. induct.]

[sup. induct.] z, tal que

, tal que

tal que

J (tZ 0:) = a = J:(tZ 0:)

JX(~z 0:) = a '"

No hay un unico

JZ sat 0: e

JXZ sat 0: ;.vz

7 ZX sat 0:• zx [pOI' 1.4.(1)]

[suo induct.]

De igual modo: d) Sea z = x y no haya un unico z tal que J~: sat 0:.

JX sat (0: v (3)a!

J: sat (0: ~ (3) syss J

syss J

sat (0: v(3) sat (0: ~ (3)

J~(~z 0:) = a

No hay un {mica z, tal que J: sat 0:

JX sat (0: ~ (3):r syss J sat (0: ~ (3) , tal que J~ sat 0: [pOI' 1.4.(2)]

Para mostrar que el teorema vale/para 'las generalizaciones I\z 0:, distin­ ( J(~z 0:) = a = JX(tZ 0:)a!

guircmos dos casos posibles: que z ¢ ~ Y que z '= X. I" q.e.d.

a) sea z ¢ x

J~ sat I\z ex syss para todo

syss

Z E vlL: J:: sat 0:

JZX sat 0: Za!

[pOI' 1.4.(1)] i III.3. Interpretacion y sustitucion

para todo Z E '1L:

syss

syss J sat I\z 0:

b) sea z ­ x

J~ sat I\z 0: syss

syss

syss J sat I\z 0:

JZ sat 0: Z

JZ sat 0: z

J~: sat 0:

[par 1.4.(2)]

[sup. induct.]

I I

3.1. Teorema:

Para todo terrnino to: J~(t)(t()) = J(5~to)

Para toda formula 0:: J ~(t) sat 0: syss J sat 5~0:

3.2. Demostracion de 3.1 pOl' induccion aritmetica sobre la de las expresiones.

longitud

8. - LOGICA DE PRIMER ORDEN

112 SEMANTICA

El teorema vale para las expresiones de longitud 1:

Sea to - z. Distinguiremos dos casos posibles: que z ¥= x y que z = x.

a) Sea z =1= X.

o7J(t)(z) =o7(z) =o7(st z)~ x

b) Sea z = X.

o7J(t)(z) = o7(t) = o7(Stz) ~ x

Sea to""" a. o7J(t)(a) = o7(a)=.7 '(Sta)

x x

EI teorema vale para las expresiones de longitud rn, suponiendo que valga para las expresiones de longitud menor que m (supuesto inductivo):

o7J(t)(rtl, ... , tn) = o7J(t) (r) o7J(t)(t1), ... , o7J(t)(tn)a: a; a; 3J

=o7(fn) o7(S~t1)' ... , o7(S~t,,) [sup. induct.]

=.7. (rS t t1 ... St tn) x x =o7(S;fnt1, ... , t,,)

o7~(t) sat pntl, ... , tn syss <o7:(t)(t1), "', .7~(t)(t,,» E o7(P")

syss <07 (S~t1)' ... , 07(S~tn) >E 07(P") [sup. induct.]

syss 07 sat P"S~tl, ... , 5~t"

syss 07 sat 5; P"t1, ••• , t«

(en especial, J.,J(t) sat t1= t2 syss 07,; (t) (t1 ) = o7~(t)(t2) [sup. induct. ]

syss 07 (S~ t1) = 07(S~ t2) syss 07 sat S~(t1 = t2»

o7J(t) sat ',IX syss no 07~ (t) sat IX IN

syss no 07 sat S~ IX [sup. induct.]

syss 07 sat " st 0: x (

svss 07 sat st " ex J '"

.T:(t) sat (IX /\ 13) syss 07~ (t) sat. IX y 07~(t) sat (3

syss 07 sat st IX y 07 sat st f3 [sup. induct I x x

syss 07 sat (S~ IX /\ 5~)

syss 07 sat 5~ (IX /\ (3)

Del mismo modo se prueba:

o7;(t) sat (av(3) syss 07 satS;(aV(3)

o7:;,(t) sat (a -+ (3) syss 07 sat S~(a -+ (3) o7:;,(t) sat (rxHf3) syss 07 satS~(IX-H>f3)

INTERPRETACH)N Y SUSTITUCION 113

Para mostrar que el teorema vale para las generalizaciones I\z IX, dis­tinguiremos los tres casos posibles: 1.0: que x no este libre en I\z rx; 2.°: que x si este libre en I\z rx, pero z no este en t; 3.°: que x si este libre en I\z rx y z este en t. En cada uno de los tres casos probamos 10 que afirrna el teorema:

o7:;,(t) sat I\ZIX syss 07 sat S~AzIX

1.eo' caso: x no esta libre en I\z IX.

o7:;,(ti sat I\z rx syss 07 sat I\z IX [por 2.4]

syss 07 sat S:.l\z IX [pues S~l\iJ IX ~ I\z IX]

2.° caso: x esta libre en I\z IX; z no esta en t,

o7;(t) sat I\z IX syss para todo z e UU: 07:;'(0: sat IX

syss o7~~(t) sat IX [por 1.4.1, ya que x ¥= z]

syss o7z.o7:(t) sat IX eJ:

[pues o7~ (t) = o7(t), por 2.4, ya que z no esta en t]

syss o7~ sat S~ IX [sup. induct.]

syss 07 sat I\z S~ IXIi I

syss 07 sat S~ I\z IX

3:' caso: x esta libre en I\z IX; Z esta en t; v no este en I\z IX ni en t; :1 j o7;(t) sat I\ZIX syss para. todo zeOLI: r:': sat IX

i' syss o7J(tJzz. sat IX .'1J VZ'i

[por 2.4, ya que'v noII esta en IX] o7J(t)z(v)

syss o7J(t)Z e v sat IX x v z

[pues o7~(t)~(v) = z]

o7J(t)Z 'sat Sv IX [sup. induct.],: syss :c v z

syss o7zJ(t) sat s- IX vx z

') [por 1.4.1, pues v ¥= z]I

syss o7zo7~(t) sat sv IX vx z

[pues o7~(t) = o7(t), por 2.4, ya. que v no esta en t]

I,

Ii lji

114 SEMANTICA

syss para todo Z E OU: .7~, sat 5~ 5; a [sup. induct.]

syss .7 sat I\v 5~5~ a

syss .7 sat 5 t I\z a x

Del mismo modo se prueba:

.7~(I) sat Vz a syss .7 sat 5~ Vz a

Para mostrar que el teorema vale para las. descripciones tZ a, distingui~. remos los tres casos posibles: 1.0 que x no este libre en tZ a; 2.°: que x S1 este libre en tZ a, pero Z no este en t (en cuyo caso distinguiremos las dos posibilidades de que haya 0 no haya en el universo de la interpretaci6n .7 un unico individuo z, tal que .7~(I)~ sat a); 3.°: que x este libre en tZ a y Z este en t (en cuyo caso volveremos a distinguir las dos posibilidades indicadas). En cada uno de estos casos probamos 10 que aRrma el teorema:

.7~(I) (tZ a) =.7 (5,: tZ a)

1."' caso: x no esta libre en tZ a.

.7~(t) (tZ a) =.7 (tZ a) [por 2.4]

[pues tZ a - 5~ tZ a, ya =.7 (5,~ tZ a) que x no esta libre en

tZ a] 2.° caso: x esta libre en tZ a; z no esta en t.

a) Hay un unico z, tal que .7~(I): sat a.

.7~(t) (tZ a) = el unico z, tal que .7~(t)~ sat a

- tal que .7:;(t) sat a [por 1.4.1, pues Z ~ x]

- , tal que .7~ sat 5; a [sup. induct.]

=.7 (rz 5~a)

=.7 (5; tZ a)

b) No hay un unico z, tal que .7~(I)~ sat a.

.7.7(t) (tZ a) = a it

No hay un unico z, tal que .7:(t): sat a

tal que .7~~(t) sat (J [por 1.4.1, pues z~x]

[pues .7~ (t) = .7(t), yatal que .7~ !z"(t) sat a

que Z no esta en t]

tal que .7~ sat 5~ a [sup. induct.] .7 (rz 5,: cc) = a

.7 (5t tZ a) = a = .707(t) (rz a)it it

SATISFACIBILIDAD, VALIDEZ Y CONSECUENCIA 115

3:' caso: x esta libre en rz a; Z esta en -t; v no este en tZ a ni en t.

a) Hay un unico z, tal que :7:,t): sat (.I.

.7: (I) tZ a) =el unico z, tal que .7~(t): sat a

= " ,tal que .7~(t)~: sat a [por 2.4, pues v no esta en a]

tal que .7.7(1)Z .7:(I)~(v) x D e sat cc

[pues.7~(I):(v) = z]

tal que .7~(t)~ sat 5~ a [sup. induct.]

tal que .7~)~(I) sat 5;a [por 1.4.1, ya que x ~ v]

.7Z (t) , tal que .7~ sat 5~ axV

[pues .7~(t) = .7(t) ya que v no esta en t]

_ , tal que .7~ sat 5~5~ a [sup. induct.]

= .7 (tV 5~5~ a)

=.7 (5~tz a)

b) No hay un unico z, tal que .7:(1): sat a.

.7.7(1) (tZ a) = a. ,D

No hay un unico z, tal que .7~(t)~ sat a.

(como arriba, en a))

No hay un unico z, tal que .7~ sat 5~5Dz a.

.7 (tV 5~5~ a) = a

.7 (5~tz a) =a = .7~(t) (tZ a)

q.e.d.

111.4. Satisfacibilidad, validez y consecuencia

4.1. Una interpretaci6n .7 de .2 satisface un conjunto r de f6rmulas de .2 syss .7 satisface cada f6rmula de r.

Toda interpretaci6n satisface al conjunto vacio </> de f6rmulas de .2. En efecto:

117 116 SEMANTICA

.7 sat cp syss para toda a: si a E cp, entonces .7 sat a, y, puesto que para todo a, a It cp, resulta que .7 sat cp.

4.2. Definiciones: Una formula a de 2 es satisfacible si y solo si hay al menos una interpretacion de 2 que la satisface.

Una formula a es 'insatisfacible si y solo si a no es satisfacible. Un conjunto r de formulas de 2 es satisfacible si y solo si hay al menos

una interpretacion de 2 que satisface r. Un conjunto r de formulas es insatisfacible si y solo si r no es satis­

facible. Una formula a de 2 es Iogicamente valida si y s6lo si toda interpre­

tacion de 2 satisface a. Una formula a de 2 es una consecuencia en 2 de un conjunto I' de

formulas de 2 si y solo si toda interpretacion de 2 que satisface r satisfacc tambien a.

En 10 sucesivo, y cuando no sea imprescindible, dejaremos de lado la alusion a 2.

4.3. Abreviaturas:

'T 1=2' a" sea una abreviatura para "Of es una consecuencia en 2 de I'", 'T 1= a" sea una abreviatura "a es una consecuencia de I'". "a 1= /3" sea una abreviatura para "!IXll= /3". " al, ... , an 1= /3" sea una abrevia. tura para " Ial, ... , anII 1= /3" •

"1= a" sea una abreviatura para "cp 1= a".

4.4. Teoremas:

a) 1= a syss a es logicamente valida,

Prueba: 1= a syss cp 1= a

syss para toda .7: si .7 sat cp, entonces .7 sat a

syss para toda .7: .7 sat IX (por 4.1)

syss a es logicamente valida.

b) 1'1= a syss r U !' al es insatisfacible.

Prueba: r 1= a syss para toda .7: si .7 sat I', ent.,.7 sat a

syss " " : si .7 no sat a, .7 no sat r

syss " " : si .7 sat I a, .7 no sat r

syss no hay ninguna .7 que satisfaga I a y I',

syss r U I' IXl es insatisfacible.

INDEPENDENCIA

c) 1= a si y s610 si I Gt es insatisfacible.

Se sigue de b), para r = 9.

d) a es l6gicamente valida si y s610 si I a es insatisfacible.

Se sigue de a) y c).

e) r es insatisfacible si y solo si para a.lguna formula a del mismo len­

guaje: r 1= (ex A I ex).

Prueba: si .7 sat r, ent, .7 sat (a A I a)

1'1= (a A I a) syss para toda .7: si .7 sat I', ent .7 sat a y .7 no sat IX syss .7 no sat I'syss

syss r es insatisfacible.

14.5. Teorema: Si todos los signos peculiares del formalismo 2 10 son tambien de 2

2, r 1 es un conjunto de formulas de 2 1 y r 2 es un conjunto

de f6rmulas de 2 , 1'1 c r 2 y r 2 es satisfacible en 2 2 sobre un universo Oll,2

entonces 1'1 es satisfacible en 2 1 sobre el mismo universo °li. Prueba: Sean todos los signos de 2 1 tambien signos de 2 2 , f 1 sea un

conjunto de formulas de 2 1 y r 2 de 2 2, sea r 1 C r, y sea 1'2 satisfaci­

ble en 2 2 sobre un universo OU. Hay una interpretacion .7 sobre Oll de 2 2, tal que:

Para toda a E f 2: .7 sat a Para toda a E 1'1: .7 sat a, pues r 1 C r 2·

Sea .7' = <OU, fl{", a>, donde fl{" es la aplicacion ~e de .7, restringida a los signos de 21' Por tanto, .7' interpreta todos los signos peculiares de 2 (que tambien 10 son de 2 2) de igual modo que .7.

1Puesto que .7 e .7" s610 se difereneian respecto a signos peculiares que

no estan en 21, .7 e .7' interpretan del mismo modo las formulas de 2 1 ,

Por tanto, para toda 0; E r 1: .7' sat a. Es decir, .7' sat 1'1'

Ahora bien, .7' es por definicion una interpretacion de 2 1 sabre OU. Luego I', es satisfacible en £\ sobre el mismo universo OU sobre el que 1'2

era satisfacible en 22' q.e.d.

1n.5. Independencia

5.1. Si una sentencia a de 2 no es una consecuencia de un conjunto r de sentencias de 2, decimos que a es independiente de I', Por tanto, dada una sentencia cualquiera a y un conjunto cualquiera r de sentencias, siem­pre ocurre que a es una consecuencia de roque a es independiente de I'.

118 SEMANTICA

5.2. Definicion: Cl es independiente de r si y solo si Cl no es una con­secuencia de r.

Si ee fuese una consecuencia de I', todas las interpretaciones que satis­faciesen r satisfarian tambien a. Al no ser Cl una consecuencia de I', no sera el caso que todas las interpretaciones que satisfacen r satisfagan tam­bien a, es decir, habra alguna interpretacion que satisface T, pero no a. Por tanto, otra manera de formular la definicion seria: a es independiente de f si y s610 si hay una interpretacion 07 de 2, tal que 07 satisface r, rero 07 no satisface oc.

Para probar que una sentencia a es independiente de un conjunto r de sentcncias hay que probar que a no es una consecuencia de r. Para ello hay que ofrecer una interpretacion 07, tal que 07 satisface I', pero no a. No hace falta especificar la interpretacion 07 en todos sus detalles. Basta COIl indicar cual es el universo Cfi de la interpretacion elegida 07 y como interpreta 07 los signos peculiares de 5£ que aparecen en r y a. (Si aparecen descriptores en r 0 en ee, hay que indicar tambien cual es eJ individuo a de °d al que habran de referirse las descripciones impropias.)

5.3. En la conversacion ordinaria, en e1 comercio, en la politica, en los tribunales, etc. se usa con frecuencia de la argumentacion. En una argu­mentacion sacamos una conclusion a partir de una sene de datos, conside­raciones 0 premisas.

Una argumentacion es correcta, valida 0 concluyente si y solo si su conclusion es una consecuencia de sus premisas; incorrecta 0 invalida, si su conclusion es independiente de sus premisas.

Para controlar una argumentacion enunciada en el lenguaje ordinario hemos de empczar por formalizarla, es decir, por simbolizar cada una de sus premisas y su conclusion' en un formalismo logico. Probar la incorreccion o invalidez de la argumentacion consistira entonces en probar la indepen­dencia de Ia formula-conclusion respecto al conjunto de las formulas-pre­misas,

5.4. A veces hablamos no de la independencia de una formula 0 sen­tencia respecto a un conjunto de sentencias, sino de la independencia de un conjunto de sentencias entre S1. Asi se dice que determinados sistemas de axiomas son independientes, que Hilbert probo la independencia de su axiomatizacion de la geometria euclidea, etc.

Al decir que un conjunto de sentencias es independiente (en este segundo sentido) queremos decir que cada sentencia de este conjunto es independiente (en e1 primer sentido) de las demas,

5.5. Definicion: I' es independiente si y solo si para cadasentencia 0: E I': a es independiente de r - ICll.

EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA 119

En otras palabras: r es independiente si y solo si cada sentencia de r es independiente de las demas: si y solo si ninguna sentencia de r es una consecuencia de las demas,

Para probar que un conjunto finito r = lal, ..., anl de n sentencias de 2 es indcpcndicnte hay que mostrar que ninguno de sus elementos es una consecuencia de los demas, Para ello hay que ofrecer n interpretaciones 071, ... ,07"., tales que para cada j (1 < j < n), .r, satisface r ---)oc:d, pero o7j no satisface aj. Bastara con indicar el universo, la interpretacion de los signos peculiares de !e y la interpretacion de las descripciones im­propias (caso de que aparezcan descriptores en I', si no, no hace falta) par~

cada 07j (1< i< n).

nut Fj~rcicios de prueha de independencia

Asi como para aprender a deducir no basta con conocerIa definicion de la .deduccion, sino que es necesario ejercitarse en el arte de hacer deduc­ciones, asi tambien no basta con haber leido la definicion de Ia indepen­dencia para saber probar la independencia de una sentencia respecto a un conjunto de sentencias 0 la independencia de las sentencias de un conjunto entre si,

Si sospechamos que una determinada argumentacion 0 una presunta prueba es valida, la formalizamos y tratamos de obtener una deduccion de su conclusion a partir de sus premisas. Si, por el contrario, sospeehamos que es incorrecta 0 invalida, hemos de tratar de obtener una prueba de independencia de su conclusion respecto a sus premisas.

A continuacion ofrecemos a1 lector unos cuantos ejercicios de prueba de independencia. Es conveniente que el lector trate de haeerlos por su cuenta y solo mire las pruebas de independencia correspondientes aqui presenta­das despues de haber hecho 61 mismo los ejercicios. £1 hecho de que 1a prueba de independencia que se le ocurra al lector sea distinta de Ia aqui presentada no significa en modo a1guno que est6 mal. Siempre que Cl es independiente de r hay un numero infinite de pruebas distintas de la inde­pendencia de a respecto a r.

Ejercicio numero 1.

a1 == Ax (Sx ---7 Mx)

a2 == --, Sa

a3 == --, Ma

Pruebese: CIa es independiente de IClI, cc21·

121 120 . SEMANTICA

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que 1a siguiente argumentacion es incorrecta: "Cualquiera que pueda solucionar este problema es un maternatico. Antonio no puede solucionar este proble­ma. POl' consiguiente, Antonio no es un matematico".

Prueba de. independencia correspondiente a1 ejercicio numero 1.

Sea ] una interpretacion con

oIL = lGl ](a) = 0 ](S) = q:. ](M) = !Ol Como facilmente se comprueba,

.r sat 1a1, a21

.7 no sat aa

Ejercicio numero 2.

al = Ax (Ix -? Rx) -? De a2 = Ax(Rx~ Mx) aa = Ax (Mx -? Ix) a4=Dc

Pruebese: a4 es independiente de la1, a2, aal.

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que la siguiente argumentaclon es incorrecta: "Si todos los justos merecen el res­peto de sus compatriotas, entonces Corio1ano merecio su destino. Todos los magnanimos, y solo ellos, merecen el respeto de sus compatriotas. Todos los magnanimos son justos. POI' consiguiente, Coriolano merecio su des­tino" .

( : Prueba de independencia correspondiente al ejercicio mimero 2.

Sea ] una interpretacion con

OIL = 101 ](c) =0 ](J) = 101 ](R) = ](D) =](M) = q:.

Como facilmente se comprueba,

] sat laI, a2, aal ] no sat a4

EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA

Ejercicio numero 3.

al ~= Axy (Vu (Rxu /\Ryu) -? Rxy) a2 ~ Ax Vy Rxy aa = Axyz (Rxy /\ Ryz -? Rxz)

, { (1): a2 es independiente de Ia1, asl Pruebese: (CJ) • d di d

~ : al es ill epen iente e Ia2, aa!

NOTA: aa no es independiente de la1, <J:2!, sino una conseouencia de 1aI, a21· Recuerde el lector que en e1 ejercicio de deduccion numero 8 pro­bamos:

1aI, a21 f- aa

Prueba de independencia correspondiente al ejercicio rnimero 3.

(1) ]1 sea una interpretaci6n con

°U=lOI ]I(R) = q:.

Como facilmente se comprueba,

.r1 sat 10:1, 0:3l

] 1 no sat 0:2

(2) ]2 sea una interpretacion con

0(1 = 10, 11 ]2(R) = 1<0, 0>, <1, 0>1 Como facilmente se comprueba,

] 2 sat 10:2, 0:3l

] 2 no sat 0:1 (pues <0, 0> E ](R), <1, 0> E ] (R), pero <0, 1> ~ ](R»

Ejercicio mimero 4.

0:1 = --. Vx a = fx a2 = Axy (fx = fy -? X = y) 0:3 ~ Pa /\ Ax (Px -? Pfx) -? AxPx 0:4 = Axy (Px /\ Py -? Rxy y Ryx) 0:,; = Vxy (x # y /\ Rxy) 0:6 = Ax (Rxx -? Ay (Rxy Y Ryx» 0:7 ~ Ax Vy (x # y /\ Rxy) 0:8 := Ax(Rax Y Px)

122 SEMANTICA

Pruebese: a7 y as son independientes de Ia!, a2, aa, (%4, a5, ce61.

Prueba de independencia correspondiente al ejercicio numero 4.

Sea .7 una interpretacion con

011 = (,) (el conjunto de los numeros naturales) .7(a) = ° .7(f) = la funcion "el siguiente de ...": n 1--+ n + 1 .7(P) = ep .7(R) = !<O, 1)l Como facilmente se comprueba,

.7 sat !(.(1, (.(2, (.(a, 0:4, <?:5, cent

.7 no sat 0:7 (pues para 1 no hay ningun numero natural y, tal que ( I 'I G, s> E .7(R)).

.7 no sat O:s (pues para °no es el caso que <0, 0> E .7 (R) ni que°E .7 (P)).

Ejercicio numero 5.

0:1 - tX --. Vy (Py 1\ Myx) = d 0:2 - Pd 0:3 = Vx (Px 1\ Ex) 0:4 - I\x (Px 1\ Ex ~ I\y (Py 1\ --. Ey ~ Mxy)) 0:5 = Ed

NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que la siguiente argumentacion es incorrecta: "Dios es el ser mayor que el cual nada puede ser pensado. Dios puede ser pensado. Algtm ser puede ser pensado y existe. Cualquier ser que pueda ser pensado y exista es mayor que cualquier otro que solo pueda ser pensado, pero no exista. POl' consi- (. guiente, Dios existe" .

Esta argumentacion es el famoso "argumento ontologico" de San Ansel­mo para probar la existencia de Dios. Muchos filosofos se han encargado de mostrar la invalidez de este argumento, al que tampoco han faltado defen­sores. Segun Kant, el "argumento ontologico" solo seria valido si la existen­cia fuera un predicado, 10 cual no es el caso. Pero aun considerando la existencia como un predicado, el argumento ontologico tampoco resulta valido, como se muestra en la prueba de independencia de este ejercicio.

Sin embargo, esto no significa que de las premisas del "argumento onto­logico" no se siga nada. Se sigue,por ejemplo, que "si Dios no existe, enton­ces hay un ser que puede ser pensado y que es mayor que aquel mayor que el cual nada puede ser pensado", como qued6 probado en el ejercicio

EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA 123

de deduccion numero 34. De aqui se desprende que la expresion •. el ser mayor que el cual nada puede ser pensado" es una descripcion impropia a la que propiamente no corresponde ningun objeto.

Prueba de independencia correspondiente al ejercicio mimero 5.

Sea .7 una interpretacion con

011=1°,11a=O .7(d) = ° .7(P) = 10, 11 .7(E) = 111 .7(M) = 1<1, 0>, <1, 1>1 Como facilmente se comprueba,

l

I, .7 sat 10:1, a2, a3, a41 .7 no sat (.(5

Ejercicio numero 6.

0:1 ~ I\x Rxx a2= I\xy (Rxy ~ Ryx) a3 - I\xyz (Rxy 1\ Ryz ~ Rxz) r = Ia!, 0:2, a3l

Pruebese la independencia del conjunto r.

NOTA: r es un conjunto de axiomas que define una relacion de equi­valencia.

Pruebas de independencia correspondientss a! ejercicio numero 6.

1.0: a1 es independiente de la2, a31

.71 sea una interpretacion con

011= 10l .71(R) = ep .71 sat !0:2, 0:31, pero .71 no sat a1

2.°: a2 es independiente de lal, a3!

.7 2 sea una interpretacion con

-u = 10, 11 .72(R) = !<O, 0>, G, 1>, <0, 1>1 .72 sat IaI, a31, pero .72 no sat (.(2

,124 SEMANTICA EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA 125

3."::X3 es independiente de l:xl, 1%2! :Xs ~ /\z (Rz -? Vxy (x =1= Y 1\ Px 1\ Py 1\ Exz 1\ Eyz))

:7 3 sea una interpretacion con

qi= 1°,1,21 :7(R) = 1<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <0, 1>, <1, 0), (1, 2), <2, l>l :7;{ sat I:Xl, :X21, pero :7 3 no sat I%s

Ejercicio numero 7.

1%1 = /\xyz (Rxy 1\ Ryz -? Rxz) a2 ~ /\xy' (Rxy 1\ Ryx -? X = y) 1%3 = /\xy (Rxy v Ryx) ( ~ = l:xl, 1%2, I%al

Pruebese la independencia del conjunto ~.

Pruebas de independencia correspondientes al ejercicio numero 7.

1.U: :Xl es independiente de 1(X2, I%sl

:7 1 se~ una interpretacion con

OU = 10, 1,21 :71(R) = !<O, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <0, 1>, <1, 2>, <2, 0>1 :7 1 sat 11%2, I%sl, pero :7 1 no sat (Xl

2.": :X2 es independiente de 11%1, I%sl

:72 sea una interpretacion con

(J2{ = 10, 11 :7 2(R) = !<O, 0), <1, 1>, <0, 1>, <1, o» :72 sat I:Xl, I%:ll, pero :7 2 no sat 1%2

3.": I%s es independiente de 11%1, 1%21 /

\ :7 3 sea una interpretacion con

OU= 10! :7 s(R) = <P :7 3 sat 10:1, 1%21, pero :7 a no sat I%s

Ejercicio nlimero8.

1%1 ~ /\xy (x =1= Y 1\ Px 1\ Py -? Vz (Rz 1\ Exz 1\ Eyz)) (X2 = /\xyuz (x =1= Y 1\ Px 1\ Py 1\ Ru 1\ Rz

i\ Exu 1\ Eyu 1\ Exz 1\ Eyz -? U == z)

1%4 == Vxzy (x =1= Y1\ Y =1= z 1\ X =1= Z 1\ Px 1\ Py 1\ Pz'\ 1\ -, Vu (Ru 1\ Exu 1\ Eyu t\ Ezu)) i r = 11%1, 1%2, I%s, (X41

Pruebese la independencia del conjunto r. NOTA: Las sentencias de r pueden considerarse como la formalizacion

de los primeros axiomas de enlace en la axiomatizacion de la geometria euclidea por Hilbert:

1) Para cada dos puntos distintos hay una recta en la cual esos dos puntos estan.

2) Para cada dos puntos distintos no hay mas de una recta en la cual csos dos puntas esten,

3) Para cada recta hay al menos dos puntos distintos que estan en ella.

4) Hay tres puntos distintos que no estan en la misma recta.

Pruebas de independencia correspondientes al ejercicio numero 8.

1.": 1%1 es independiente de 11%2, I%s, 1%41

:71 sea una interpretacion con

qi= 1°,1,21 :7 1(P) = 10, 1, 21 :7 1(R) = tf> :7 1(E) = tf> :7 1 sat 11%2, :X3, 1%41, pero :7 1 no sat 1%1

2.°: 1%2 es independiente de 11%1, I%s, (,(41

.72 sea una interpretacion con 1 OU = 10, 1, 2, 3, 4, 5, 61

.72(P) = 10, 1, 21

.72(R) = 13, 4, 5, 61 ~ , :7 2(E) = 1<0, 3>, <0, 4>, <1, 3>, <1, 5>, <1, 6>,

<2, 4>, <2, 5>, <2, 6>1 :7 2 sat !1%1, I%;h 1%4! pero :7 2 no sat 1%2

1 3.": 1%3 es independiente de 10:1, 0:2, a41 :7a sea una interpretacion con

\ OU = !O, 1, 2, 3, 4, 5, 61 :7s(P) = IV, 1, 21 :7 s(R) = 13, 4, 5, 61 :7 3(E) = !<O, 3>, <0, 4>, <1, 4>, <1, 5>, <2, 5>, <2, 3>1 .7a sat ll%l, 1%2, I%il, pero :7a no sat :X3

I, i I

,II

126 SEMANTICA CORRECCION SEMANTICA 127

4.0: a4 es independiente de !aI, a2, a3l 7 3 sea una interpretacion con

7 4 sea una interpretacion con -u = \01 7 4(P) = \01 7 4(R) = cf> 7 4(E) = cf> 7 4 sat !21, a2, a31, pero 7 4 no sat 0:4·

Ejercicio numero 9.

21 = Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ x = y) /\ Y = r) 22 = Ax (Sx /\ -, X = r ~ Arx) 2;l ~ Vx (Sx /\ Gx'/\ Apx) :X4 - Axy (Axy ~ -, A~x)

;l = IaI, a2, a3, a41

Pruebese la independencia del conjunto /1.

Pruebas de independencia oorrespondientes al ejercicio numero 9.

I.e>: a1 es independiente de la2, a3, a41 7 1 sea una interpretacion con

OIJ = lO, 11 7 1(r) =° 7 1(p) = 0 7 1(S) = 10, 11 7 1(G) = \11 7 1(A) = 1<0, 1>1 7 1 sat 1:X2, a:l, a41, pero 7 1 no sat al

2.0: a2 es independiente de lab a3, a41

7 2 sea una interpretacion con

OIJ = 10, 11 7 2(1') =° 7Ap) = 1 7 2(S) = 10, 11 7 2(G) = 101 7 2(A) = 1<1,0>1 7 2 sat la1, a3, a4! pero 7 2 no sat a2

3.": a3 es independiente de la1' a2, a41

cU= \01 7 3(r) =° 7 3 (p) = 0,: 10!7 3(S) = 7 3(G) = 101 7 3(A) = cf> 7:! sat IaI, a2, a41, pero 7:! no sat a:!

4.°: a4 es independiente de \0:1, a2, a31 7 4 sea una interpretacion con

/1

J (7)/= 101 .7.k) = 0 .74 (p) = ° .71(S) 1°1= .7t (G) = 101

) ~ .7,(A) = 1<0, 0>1

.7, sat lal, a2, a:!l, pero 7 4 no sat 24.

\ 111.7. Correccion semantica

7.0. Una argumentacion -0 una prueba- es correcta, valida 0 con­cluyento cuando su conclusion es una consecuencia de sus premisas. El que su conclusion sea una consecuencia de sus premisas se prueba ofreciendo una deducciou de la conclusion a partir de las premisas, Este proceder tiene sentido ponIne snponemos que, dado un conjunto r de sentencias, todo 10 que podamos dcducir (con nuestro calculo deductivo) a partir de r sera tambien una consecucncia de r. Esto se puede expresar con otras pala­bras diciendo que suponcmos <Iue nuestro calculo deductive es semantica­mente correcto.(

, I,;

Un calculo deductivo es un conjunto de reglas pOl' medio de las cuales unas sentencias pueden deducirse de otras. El concepto de deducibilidad solo depende- de esc conjunto ,de rcglas, es un concepto sintactico, El con­cepto de consecuencia es un concepto sernantico, Son dos conceptos dis­tintos que, en principio, pueden no coincidir. Sin embargo, un concepto de deducibilidad que no implique la consecuencia es de poca utilidad. Un calculo deductivo por medio del cual puedan deducirse a partir de r sen­tencias que no son consecuencias de r es inaplicable desde el punto de vista del control de pruebas y argumentaciones.

7.1. Definicion: Un calculo deductivo es sernanticamente correcto si y solo si para cualquier eonjunto r de sentencias y para cada sentencia a:

9. - LOGICA DE PRIMER ORD".:N

128 SEMANTICA

si a es deducible a partir de I' por medio de las reglas del calculo, entonccs a es una consecuencia de r.

7.2. Teorema de correccion sernantica de nuestro calculo deductivo: Para cualquier conjunto I' de sentencias de 2 y cualquier sentencia a de /£:

Si I' I-£, a, entonces I' I=£' a.

Para probar 7.2. tendriamos que mostrar que siempre que una scntcn­cia es deducible a partir de otras en el calculo deductivo, la primcra cs una consecuencia de las tiltimas, Para ello habriamos de examinal' todas las reglas de inferencia y construccion, etc. De las reglas de infcrencia, la unica que podria presentar dificultades es EP, pero su correccion en el ealculo queda garantizada por el teorema 7.3. que a continuaci6n proba­remos. De todos modos, aqui renunciamos al desarrollo detallado de la prueba de 7.2. El lector interesado la podra encontrar en el articulo "Remarks on Descriptions and Natural Deduction", de R. Montague y D. Kalish (1957).

7.3. Teorema:

no esta en r, a, ,8; u ¥ xIu S' r u !S~ all=,8

I' 1= Vx a

1~ntonce" rl=,8

Prueba de 7.3: uno este en a, ,8, I'; u ¥ x.

Sea r u IS~all=,8 y rl= Vxa.

Hay que demostrar que toda interpretaci6n que satisface a I', satisface tambien a ,8. ,7 sea una interpretacion cualquiera, tal que: .,7 sat r. Entonces:

( ,7 sat Vx a pues I' 1= Vx a

Hay un x, tal que ,7~ sat a

, tal que ,7~ sat a por 2.4, pues u no esta en a , tal que ,7~ sat a por 1.4, pues x ¥ u

.r> (u)x sat atal que ,7~ u pues ,7~ (u) = x

, tal que ,7~ sat S~ a pOl' 3.1 sat rtal que ,7~ por 2.4, pues ,7 sat r y u no

no esta en I' , tal que ,7~ sat r u IS~ al

II i CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD 129 \ j Hay un x tal que ,7~ sat ,8 pues r u IS~ all= ,8 I

,7 sat ,8 por 2.4, pues u no esta en ,8

As], pues, r 1= ,8.

J\ q.e.d.

11 i ,~

1Il.8. Consistencia y satisfacibilidad

s.o. El concepto de consistencia es un concepto sintactico, definido en Iuuciou de la deducibilidad y, por tanto -indirectamente-, en funcion de las rcglas del calculo deductivo. En efecto habiamos dicho que un con­[unto I' de sentencias era consistente en eI caso de que hubiera al menos

I

1·' 1I11a f{ll'lllula que no fuese deducible de I', y que era inconsistente 0 con­r I rad ic-torio en el caso de que todas las f6nnulas fuesen deducibles de r. El ('Oll('('plo <Ie satisfacibilidad, por el contrario, es un concepto semantico, ddillido COlI independencia del calculo y en funcion solo de las interpre­

w t.u-iouc-x. .~ AprovlThalHlo los resultados sintacticos obtenidos en II.8, probaremosI a'llli IIl1a SITic dl' importantes teoremas referentes a la satisfacibilidad. En

II S.,I prol>allloS que todo conjunto satisfacible de sentencias es consistente, 10 c-uul ('S hastunt« trivial. Lo que no es nada trivial es que to do conjunto

~ ('OlISis[('IIIT d(~ scutcncias es satisfacible, 10 cual probamos en 8.3. En 8.5 ]TSllllliIJIOS ;lIl1bos resultados, enunciando la equivalencia del concepto

i. I

sillt(l('li('o d(~ c-onsistcncia y el concepto semantico de satisfacibilidad. 8.6 es IIII leorclIla COli importantes aplicaciones metarnatematicas. En 8.7, y como

1 «orolario dc S.:3, obtcnernos el famoso teorema de Skolem.

,i;~

S.l. Teorema: '1'0<10 eon junto maxirnamente consistente y ejernplificado tI(, sr-utc-uc-ias sill dcscriptorcs es satisfacible sobre un universo numerable.

I'nl('!Ja tI(~ I).] :

~ S('a I' 1111 conjunto rnaximumente consistente y ejemplificado de sentencias

sill tlcslTi plorcs dc ,'../'. Ell 1'1 coujunto '[', de los terrninos sin de scriptores del formalismo 2 defi­

lIi,IJOS una rclacion lli{ldica, a la que designaremos con -«, en funcion de I',It Ilf (k ]a siguientc mancra: para cualcsquiera terminos t-, t 2 de T",: t 1 "" t~ ,~ syss t, ....: t~ E I'. Tcniendo en cucnta que I' es un conjunto maximarnente{!

<j cons istcnte, resulta que

"" es una rclacion reflexiva: t "" t, pues t = t E I', por 11.8.2, (2), ya que

i:l

y t = t, por I.

"" cs una relaci6n siinetrica: si t 1 "" t-, entonces t:!. "" t-, pues si t 1 = t~ E I', cntonces t1 = tt E I', por 11.8.2, (1), ya que t, = t 1 1-2 t 2 = t-, pOl' SI.

'I '\

'I

Ii.

130 SEMANTICA

'" es una relacion transitiva: si t 1 '" t2 Y t2 '" t« entonces t l '" ta, pues si t 1 = t 2 E r y t2 = t« E r, entonces t l = ta E I', por I1.8.2, (1), ya que t1 = t2 ,

t 2 = ta 1-2 t1 = t-, por TI.

Por tanto, ,..., es una relacion de equivalencia. Mediante t designaremos la clase de equivalencia inducida por "', en

la que esta t, Es decir,

t,)= It I to'" tl = It I·to = t E fl. Ahora definimos una interpretacion 7 de la siguiente manera: El universo '11 de 7 sea el espacio cociente T2/,..." es decir, sea el con­

junto de las clases de equivalencia inducidas por ,..., en el conjunto de los terminos sin descriptores de .2.

La aplicacion f1{' de 7 sea definida asi: para cada relator n-adico P de .2:

7(P) = !<t1, ... , tn> II Ptl, ... , t« E r I Para cada functor n-adico f de .2:

7(f) t; ..., t; = it-, ..., t;

Para cada variable x: 7(x) = X.

Para cada constante individual a: 7(a): ii.

Estas definiciones utilizan representantes ts, ... , t; de las clases t l , ... , tn, pero son independientes de los representantes elegidos. En efecto, sean t 1'" <. ...,tit'" r. Entonces, t 1 = t~ E r, ..., t,,= r.E r y, por I1.8.2, (1), n; ... , t; E r syss Pt~, ... , t:, E r. Por tanto, 7(P) = l<t 1, ... , t n> I Pt1, •.• , tn E I'] = = l<t;, ... , t:> I Pt'l' ... , t~ E I'[. Es decir, la definicion de 7(P) es indepen­diente de los representantes elegidos. Y 10 mismo en los demas casos.

Para cada t6rmino sin descnptores t de .2, 7(t) = t. Esto puede probarse por induecion sobre la Iongitud de los terminos de

.2 sin descriptores. En efecto,

7(x) =x por definicion

7(c) = C por definicion

7(ft1 , ... , tn ) = 7(f) ls. :», i; supuesto inductivo

= ft;; ... , t« por definicion

Para cada sentencia sin descriptores a de .2: 7 sat a si y solo si a E r. Esto puede probarse por induecion sobre el numero de signos 16gicos

de las sentencias sin descriptores de .2. En efecto,

7 sat Pt1, ... , t; syss <7(t1) , ... , 7(tn » E 7(P)

syss<tI, ... , t,,> E !<tl, ... , t n>I Pt1, ... , t« E I'] pues 7(t) = t

CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD 131

syss Ptl, ... , t; E I'

(En especial, 7 sat t l = t 2 syss 7(t1 ) = 7(t2 )

syss i. = i. pues 7(t) = t syss t l '" t 2 por definicion

syss t l = t 2 E I')

7 sat --, a syss no 7 sat c!

sys no a E I' supuesto inductive

syss a ~ I' syss --, a E r par II.8.2, (3)

7 sat (a II (3) syss 7 sat a y 7 sat fJ

syss a E r y (3 E r supuesto inductivo

syss (a II (3) E I' por I1.8.2, (4)

7 sat (a v (3) syss 7 sat IX 0 :7 sat (3

syss a E r 0 f3 E r supuesto inductivo

syss (a v (3) E r por II.8.2, (5) De igual modo:

7 sat (Cl' ---* (3) syss (a ~ (3) E r 7 sat (a~f3) syss (a~ (3) E r 7 sat Ax a syss para todo t, 7~ sat a

syss " " designador t: 7; sat a

syss "" " : 7;(t) sat a

pues 7(t) = i syss : 7 sat 5; a

por 3.1

syss : 5,~ a E r sup. inductive

syss /\x a E r por II.8.3, (2)

7 sat Vx a syss hay un L, tal que 7~ sat :x

syss hay un designador t, tal que 7~ sat :x

syss "" " , tal que 7~~(t) sat a

pues 7(t) = t syss , tal que 7 sat Sf{, a

par 3.1

syss tal que S;,:xE I'

sup. induct. syss Vx:x E r pOl' n.8.3, (1)

L~ __

132 SEMANTICA

Puesto que r es un conjunto de sentencias sin descriptores de 2, y cada sentencia sin descriptores de 2 es satisfecha pOl' J, resulta que J satisface cada formula de I', es decir, que J satisface r.

EI universo QU de J es numerable, pues su cardinalidad ha de ser igual o menor que la cardinalidad de T"" y T!£ es claramente numerable.

Luego r es satisfacible sobre un universo numerable.

q.e.d.

8.2. Teorema: Todo conjunto consistente de sentencias sin descriptores de 2 es satisfacible en 2 sobre un universo numerable.

Prueba de 8.2.

Sea r un conjunto consistente cualquiera de sentencias sin descriptores de 2.

Segun II.8A, hay un conjunto maximamente consistente y ejemplificado r" de sentencias sin descriptores de 2 U yg, donde yg es una clase de cons­tantes individuales, tal que

I'" es satisfacible sobre un universo numerable, pOl' 8.1, ya que I'" es maximamente consistente y ejemplificado.

r es satisfacible sobre un universe numerable, por 4.5, ya que todos los signos peculiares de 2 10 son tambien de 2 U yg, r es un conjunto de Iorrm las de 2 y r- es un conjunto de formulas de 2 U 'e, r c r-, y r" es satisfacible sobre un universo numerable.

q.e.d.

8.3. Teorema: Todo conjunto consistente de sentencias de 2 es satis­facible en 2 sobre un.universo numerable.

Prueba de 8.3.

r sea un conjunto consistente de sentencias de 2. e sea una constante individual que no pertenece a ;;;.

rUle = ty Y = Yl es consistente en 2: U lei pOl' II.7.7.

Definicion: A = la' I a' es una formula de 2 U {c}; hay un a E I', tal que e = tyY = Y 1-2U{f') a ~ a'; a' carece de descriptores y tiene las mismas variables lib res que al.

Como las formulas de r son sentencias y las de A tienen las mismas va­riables libres que ellas, A es un conjunto de sentencias.

A es, pues, el conjunto de las sentencias sin descriptores a' de 2 U {c} para las que existe una a E I', tal que c = !Y Y= Y I-.'i'u{cj a' ~ a.

CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD 133

Para cada (:/ E A hay una a E r, tal que

e = !Y Y = Y 1-2U{cj a ~ ce' pOl' definicion de A

e = ty y = Y 1-2U{cj a ~ a' por EB

e = tIJ Y =y, a I-£U{cj a'

rUle = ty Y = Yl I-!£ulcj a' pues a E r Asi, pues, todas las formulas de A son deducibles a partir de ru [c =

tIJ IJ = yl· Si A fuese contradictorio, tambien 10 seria rUle = ty Y = IJI, porIa transitividad de la deducibilidad (II.2.9, b). Pero rUle = ty Y = Yl es consistente. Luego A es consistente tambien.

A es, pues, consistente en 2 U lei. A es satisfacible sobre un universo numerable, pOl' 8.2, ya que A es un

conjunto consistente de sentencias sin descriptores, Hay una interpretacion c.Z de 2 U lei sobre un universo numerable QU,

tal que J satisface A.

Sea J = <ca, Wf, a>. J sat A.

Consideremos ahora la interpretacion J' de 2 U leI, que solo se dife­rencia de J en aplicar las descripciones impropias a J(e) en vez de a a. Es decir, sea '

J' = <ou., ?If, J(e» J' satisface r. En efecto, sea ce una formula cualquiera de r. Segun 11.6.1, a), hay una

formula sin descriptores a' de ;/;' U lel con las mismas variables libres que ex y tal que

C = ty Y = Y I-!£U{cj a ~ a'.

Es decir, hay una formula a' E A, tal que

e = ty Y = Y 1-2U{cj a ~ a'

e = ty Y = Y I=!£U{cj a~ a' pOl' 7.2

J' sat e = ty y = y pues J'(!y IJ = y) = J(e), pOl' definicion de J'

J' sat a.~ a'

J sat a' pOl' definicion de J, ya que a' E A

J' sat a' pues a' carece de descriptores y J e J' solo se diferencian respecto a las descripciones

J' sat a pues J' sat a ~ ex' y J' sat a'

Asi, pues, J' sat r.

135 134 SEMANTICA

.7' es una interpretacion de 2 U Ie! . .7" sea la interpretacion de 2 que coincide con .7' en todo (excepto en no poseer e entre sus constantes a interpretar, pues e no pertenece a 2).

Por definicion de .7", para cualquier formula de 2: .7" sat a si y solo si .7' sat a. .7" sat r, pues .7' sat r y r es un conjunto de formulas de 2.

El universo de .7" es el mismo que el de .7: 0(1, un universo numerable. Asi, pues, hay una interpretacion (a saber, .7") de 2 sobre un universo

numerable, tal que .7" sat r. Luego r es satisfacible en 2 sobre un uni­verso numerable.

q.e.d,

8.4. Teorema: Todoconjunto satisfacible de sentencias de 2 es con­sistente en 2.

Prueba de 8.4:

I' sea un conjunto satisfacible de sentencias de 2. Hay una interpretacion .7 de 2, tal que .7 sat r. Si r fuera inconsistente en 2, habria un /3 de 2, tal que

r 1-2/3/\ --. /3 por 11.7.3

r t=2! /3 /\ --. /3 por 7.2

.7 sat /3 /\ --. /3 pues .7 sat r

.7 sat /3 y .7 sat --. /3 .7 sat /3 y .7 no sat /3, 10 cual es imposible. Luego I' es consistente en 2.

q.e.d.

De 8.3 y 8.4 se sigue:

8.5. Teorema de equivalencia entre satisfacibilidad y consistencia: Sea r un conjunto de sentencias de 2.

I' es satisfacible en 2· syss r es consistente en 2.

8.6. Teorema de finitud para la satisfacibilidad: Sea I' un conjunto de sentencias de 2.

I' es satisfacible en 2 si y solo si cada subconjunto finito A c I' es satis­facible en 2.

Prueba de 8.6:

Sea r satisfacible en 2. Entonces, cada subconjunto finito A c r es satisfacible en 2, por 4.5. Sea cada subconjunto finito A c I' satisfacible en 2. Si r no fuera satisfacible en 2, entonces r seria inconsistente en 2,

por 8.5. Por tanto, habria un a de 2, tal que r 1-2 a /\ --. a, por 11.7.3.

COMPLETUD SEMANTICA

Habria un subconjunto finito A c I', tal que

A 1-21 a /\ --. a, por 11.2.8. .tl seria inconsistente. A no seria satisfacible, por 8.5. Pero A si es satisfacible. Por tanto, r es satisfacible en 2.

q.e.d.

8.7. Teorema de la satisfacibilidad numerable 0 teorema de Skolem: Para cualquier conjunto r de sentencias de 2: Si r es satisfacible en 2, entonces r es satisfacible en 2 sobre un universo numerable.

Dicho con otras palabras: Si hay al menos una interpretacion (con el universo que sea, y, por tanto, posiblemente con un universo infinito no numerable) que satisface I', entonces hay tambien una interpretacion con un universo finite 0 infinite numerable que satisface r.

Prueba: I' sea un conjunto satisfacible de sentencias de £. Entonces, r es consistente en 2:', por 8.4. Y, por tanto, I' es satisfacible en 2 sobre un universo numerable, pOl' 8.3.

q.e.d.

111.9. Completud semantica

9.0. El que nuestro calculo deductivo sea semanticamente correcto, es decir, el que por medio de sus reglas solo se puedan deducir de I' conse­cuencias de I', no significa que con su ayuda se puedan obtener todas las consecuencias de I', Por ejemplo, para otro tipo de formalismos que los aqui estudiados, a saber, para los formalismos de segundo orden (en los que no solo hay variables ligadas que se refieren a individuos, sino tarnbien variables ligadas que se refieren a propiedades 0 relaciones) no hay ningun calculo susceptible de obtener 0 deducir con sus reglas todas las consecuen­cias de un conjunto dado de sentencias. No solo no 10 hay, sino que no 10 puede haber, como mostro Codel en 1931 en su famoso teorema de la in­completud semanrticade Ia 10gica de segundo orden. Perael misrno Codel habia probado el afio anterior, 1930, que en la logica de primer orden eramos mils afortunados. En su igualmente farnoso teorema de la comple­tud semantica de la 16gica de primer orden, Codel probe que para los formalismos de primer orden es posible construir calculos deductivos con cuyas reglas pueden deducirse todas las consecuencias de un conjunto dado de sentencias.

En 9.2. se prueba la completud semantica de nuestro calculo deduc­tivo, aprovechando los resultados de III.S. Para llegar hasta aqui hemos

136 SEMANTICA COMPLETUD SEMANTICA 137

seguido un camino muy distinto al que siguio Codel, Fundamentalmente 9.3. Teorema de equivalencia entre deducibilidad y consecuencia: Sea hemos llegado a este importante teorema aplicando los metodos expuestos r un conjunto de sentencias de 2 y ~ una sentencia de .~. pOl' Henkin en 1949 y refinados pOl' Hasenjaeger en 1953. r 1="" a syss I' ~-.2" a

.Asi como en 8..5 habiamos establecido la equivalencia del concepto Es decir, una sentencia es una consecuencia de otras sentencias si y s610 sintactico de consistencia con el concepto sernantico de satisfacibilidad,

si es deducible a partir de ellas.asi tambien podemos aqui establecer en 9.3 la equivalencia del concepto De ahi se sigue, para r = </>:sintactico de deducibilidad con el concepto sernantico de consecuencia. I=,,:t syss 1-2 aTodo esto se resume a veces diciendo que en la logica de primer orden la

semantica y la sintaxis son equivalentes entre si. Es decir, una. sentencia es 16gicamente valida si ysolo si es un teorema logico.

9.1. Definicion: Un calculo deductivo es sernanticamente completo si De 11.2.8 y 9.3 se sigue:

y s610 si para cualquier conjunto r de sentencias y para cada sentencia a: si a es una consecuencia de I', entonces a es deducible a partir de r pOl' (; medio de las reglas del calculo, 9.4. Teorema de finitud para la consecuencia: Sea r un conjunto de

sentencias de 2 y a una sentencia de CPo

9.2. Teorema de [a completud semantica de nuestro calculo deductive r 1="" ex si y s610 si hay un subconjunto finito ~ c r, tal que ~ 1=", z, o teorema de Codel: Para cualquier conjunto r de sentencias de 2 y cualquier sentencia a de 2:

9.5. EI teorema 8..3, que dice que todo coniunto consistence de senten­Si r 1="" a, entonces r 1-.2" a. cias es satisfacible sobre un universo 'numerable, es Ilamado a veces "teo­Prueba de 9~.2. rema de Henkin", par haber sido Leon Henkin el primeroen formularlo y

probarIo de un modo parecido al aquf expuesto, En realidad, los teoremasSea r un conjunto de sentencias de 2 y a una sentencia de 2. Sea que Ie siguen se obtienen como mews corolarios del teorema de Henkin:r 1=" a. tanto el teorema de completud sernantica de Codel (9.2.), comoel teorerna

Toda interpretaci6n de .5!:' que satisface r, satisface tambien a, pues de satisfacibilidad numerable de Skolern {8.7.) y el teorema de finitud parar 1=,£ a. la satisfacibilidad 0 compactness theorem (8.6.).

No hay ninguna interpretacion de 2 que satisfaga I', pero no satisfaga a. EI teorema de Skolem tiene profundas repercusiones en la filosofia de la Es decir, no hay ninguna interpretaci6n .7 de 2, tal que .7 sat r y matematica --pues implica, entre otras cosas, que cualquier teoria formal .7 no sat a. construida para caracterizar una estructura de universo infinite supernume­

No hay ninguna interpretaci6n .7 de 2, tal que .7 sat r y .7 sat. a. rablees tambien satisfecha por interpretaciones sabre universos numerables.. pOl' 10 que 10 supernumerable no es caracterizable en la 16gica de primerr U I. al es insatisfacible en 2. orden- e importantes aplicaciones en la rnetateoria de conjuntos. EI tea­

Ahora bien, todo conjunto consistente de sentencias de 2 es satisfaci- rema de finitud para Ia satisfacibilidad tiene multiples aplicaciones en meta­ble en 2, pOl' 8.3. maternatica, tales como la obtenci6n de modelos no-standard de la aritmetica

-es decir, de sistemas no isomorfos con el de los rnrmeros naturales peroLuego r U I. al es inconsistente en 2. que, sin embargo, cumplen cuanto exigen los axiomas de 1'1 aritmetica de

r U !. all-.2" a pues r U I' al es inconsist. primer orden-s-. I' U I, all-.2" •• a porDN De hecho, ambos teoremas -el de Skolem y eI de finitud- constituyen

r 1-"" •• a pOl' 11.5..3 la base de la teoria de modelos, una de las ramas mas florecientes de Ia 16gica actual. Incluso es posible probar ambos teoremas sin hacer usa parar 1-,2' a porDN nada de un calculo deductivo ni, pOl' tanto, de los teoremas de Henkin y

q.e.d. Codel, En efecto, el teorema de Skolem puede ser probado directamente De 7.2 y 9.2 se sigue: a partir del de :finitud y este, a su vez, puede ser probado dentro de 1'1

138 SEMANTICA

teoria de modelos mediante la formacion de ultraproductos adecuados y sin refcrencia alguna a un calculo deductive, El lector interesado por estos desarrollos puede COD sul tar la sobras de Bell y Slomson, de Chang y Keisler

o de Schwabhauser.

BlBllOGHAFIA

Trabajos aludidos en este libra:

BELL, 1. Y SLOMSON, A., Models and Ultraproducts. Amsterdam. 1971.

CAHNAP, R., Meaning and Necessity, a Study in Semantics and M~dal Logic. Chicago; 1947.

CHANG, C. Y KEISLER, H. J., Model Theory. Amsterdam. 19'73.

FHEGE, G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.

FHEGE, G., Ueber Sinn und. Bedeutung. Zeitschnft fur Philosophie und philoso­pbische Kritik (vol. 100), 1892.

GENTZEN, G., Untersuchungen tiber das Logische Schliessen.: Math. Zeischrift (vol. 39), 1934.

GODEL, K., Die Vollstiindigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkiils. Mo­natshefte fur Mathematik und Physik (vol. 37), 1930.

GOIlEL, K., Ueber formal unentscheidbare Siitze der Principia Mathematica und ceruxmdter Systeme. Monatshefte fur Mathematik und Physik (vol. 38), 1931.

HASENJAEGER, G., Einc Bemerkung zu Henkin's Beweis fiiT die Vollstiindigkeit des Prddikatenkaikuls der ersten Stuie. Journal of Symbolic Logic (vol. 18),

( i 19.53. !

HENKIN, L., The completeness of the first-order functional calculus. Journal of Symbolic Logie (vol. 14), 1949.

HERMES, H., Einfiihrung in die mathematische Logik. Stuttgart, 1963. HILBERT, D. Y ACKERMANN, W., Grundziige der theoretischen Logik. Berlin, 1928.

KALISH, D. Y MONTAGUE, R., Remarks on descriptions and natural deduction. Ar­chiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung (vol. 3), 1957.

KALISH, D. Y MONTAGUE, R., Logic. Techniques of Formal Reasoning. New York, 1964.

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IAlgunos mammies de l6gica escritos en castellano:

DEANa, A., Introducci6n a la 16gica formal. Alianza Editorial. Madrid. I FERRATER MORA, J. Y LEBLANC, H., L6gica matematica. Fondo de Cultura Eco­ Inomica. Mexico.

GARRIDO, M., L6gica Simb6lica. Editorial Tecnos. Madrid. I I

MOSTERiN', J., Teoria axionuiiica de conjuntos. Ediciones Ariel. Barcelona.

SACRISTAN, M.: lntroduccion a la l6gica y al arullisis formal. Ediciones Ariel. Bar­celona.

Algunos manuales de l6gica traducidos al castellano :

DALLA CHIARA SCABIA, M. L., L6gica. Editorial Labor. Barcelona.

HASENJAEGEH, H., Conceptos y problemas de la 16gica moderna. Editorial Labor. Barcelona.

HILBERT, D. v ACKERMANN, W., Elementos de 16gica te6rica (traducciou de la 4." edicion' alemana). Editorial Tecnos. Madrid.

KLEENE, S. C., Introducci6n a la metamatemdtica. Editorial Tecnos. Madrid.

MATES, B., L6gica Elemental. Editorial Tecnos. Madrid. j

QUINE, W. V., Meiodos de la 16gica. Ediciones Ariel. Barcelona. QUINE, W. V., EI sentido de la nueva 16gica. Editorial Nueva Vision. Buenos Aires. QUINE, "V. V., L6gica matemdtica. Revista de Occidente. Madrid. I SUPPES, P. Y HILL, S., Introduccion a la 16gica matematica. Editorial Reverie. Bar­

celona.

TARSKI, A., Introducci6n a la 16gica matenuitica y a la metodologia de las ciCI1- ~ ~ cias deductivas. Espasa-Calpe, Madrid. i

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EI presente libra, Logica de primer orden, cons­tituye un manual universitario sucinto y r iguroso donde la parte central de la logica se presenta con una considerable precision, ofreciendose al estu­diante definiciones exactas y pruebas completas. Este rigor teorico se combina con la preocupacion practica por el dominio de las tecnicas. Precisa­mente la abundancia de ejercicios resueltos, que ofrecen al lector amplia oportunidad de practicar 10 aprendido, constituye una de las caracteristicas peculiares de esta obra. Su autor, Jesus Mosterin, se licenci6 por la Universidad de Madrid y docto­r6 por la de Barcelona en filosofia. Se especializ6 en logica durante 3 afios en el Institut fur mathe­matische Logik und Grundlagenforschung de la Universidad de Munster (Alemania). Desde 1966 es profesor de logica y filosofia de la ciencia de la Universidad de Barcelona.

Manuel Sacristan

INTRODUCCION A LA LOCICA Y AL ANAuSIS FORMAL

No hace mucho mas de siglo y medio que un gran filosofo consideraba la logica como perfecta y con­clusa en 10 esencial desde los tiempos de Aristo­teles. Hoy la logica, tras haber mostrado, con los espectaculares progresos conseguidos en ese siglo y medio, que no estaba, ni mucho menos, perfecta, sigue ademas sin concluirse.

Uno de los capitulos mas interesantes, utiles y no conclusos de la logica moderna es la aclaracion de conceptos frecuentemente usados en las ciencias particulares, como los de sistema teorico 0 teoria, calculo 0 algoritmo, funci6n, isomorfias, estructu­ras, etc. Para precisar 'esos conceptos hay que familiarizarse, por de pronto, con el punto de vista 16gico formal, y debe aclararse la relaci6n entre la 16gica y las ciencias reales. Este manual de intro­duccion, que se abre precisamente con unas pagi­nas dedicadas a las relaciones entre la logica for­mal y las ciencias reales, se destina a dar una vi­si6n general del punta de vista logico, sabre todo en la medida necesaria para estudiar aquellos con­ceptos forrnales que son de aplicacion general en las ciencias. Sus destinatarios no son, pues, princi­palmente, los gremios tradicionales de cultivadores de la logica -los fll6sofos y los matematicos v-, I sino los estudiosos de ciencias reales que, cada vez en mayor ntirnero, notan la conveniencia de aten­der tambien a los fundamentos formales de sus conceptos y metodos,