Campo Gravitacional de la Tierra

La gravedad varia de un punto a otro en la Tierra, por lo tanto, el potencial del campo

gravitacional se define en dos partes fundamentales: la primera es la atracción de la

Tierra debido a su masa de acuerdo con la Ley gravitacional de Newton, la segunda se

define por la aceleración centrífuga debido a la rotación de la Tierra; también hay una

atracción más, generada por otros astros, pero es muy pequeña (Fig. 3.1).

Luna

aL

vg rTL

aT

Tierra

Fig. 3.1 Fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna

La aceleración centrífuga producida por el movimiento de rotación de la Tierra, hace

disminuir el efecto gravitatorio, ésta es más fuerte en el Ecuador y nula en los Polos.

Debido a esta aceleración se tiene la forma de la Tierra, achatada de los polos y de

mayor grosor en el ecuador, afectando la distancia hacia el centro de la Tierra, por lo

tanto, al tener un radio más pequeño en los Polos se tiene mayor gravedad (9.83 m/s2), y

en el Ecuador por tener un radio más grande se tiene menor gravedad (9.78 m/s2).

Medición de la Gravedad

Se pueden encontrar tres distintas formas para medir las anomalías de la gravedad:

mediciones de la caída libre de un cuerpo, la cual consiste en tirar un objeto y calcular

directamente la aceleración que el cuerpo toma, midiendo cuidadosamente la distancia

recorrida y el tiempo al caer el objeto (Fig. 3.2); mediciones con el péndulo, en donde se

estima la aceleración gravitacional midiendo la oscilación periódica de un péndulo; y

mediciones en donde una masa se suspende de un resorte o fibras de torsión, y se

observa que tanto se deforma el resorte bajo la fuerza de gravedad, y así se estima la

aceleración gravitacional.

Medición de caída libre de un cuerpo.

El instrumento con el que se miden las anomalías de gravedad se le llama gravímetro;

estas variaciones que son prácticamente despreciables, se miden con una masa

suspendida un resorte sensible, el cual mide las variaciones verticales de atracción

gravitatoria del suelo que están asociadas a cambios de densidad (Fig.3.3). Por ejemplo,

los altos estructurales, o un depósito de mineral de alta densidad, harán aumentar

localmente la fuerza de la gravedad en sus proximidades (siempre que su densidad

media sea mayor que la circundante), mientras que los domos de sal, de densidad baja,

la disminuirán.

Gravímetro de resorte o torsión

Caída libre

Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad.

Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s², es decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo .

En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

La aceleración a la que se ve sometido un cuerpo en caída libre es tan importante en la Física que recibe el nombre especial de aceleración de la gravedad y se representa mediante la letra g.

Lugar g (m/s²)

Hemos dicho antes que la aceleración de un cuerpo en caída libre dependía del lugar en el que se encontrara. A la izquierda tienes algunos valores aproximados de g en diferentes lugares de nuestro Sistema Solar.

Para hacer más cómodos los cálculos de clase solemos utilizar para la aceleración de la gravedad en la Tierra el valor aproximado de 10 m/s² en lugar de 9,8 m/s², que sería más correcto.

Mercurio 2,8Venus 8,9Tierra 9,8Marte 3,7Júpiter 22,9Saturno 9,1Urano 7,8Neptuno 11,0Luna 1,6

En el gráfico y en la tabla se puede ver la posición de un cuerpo en caída libre a intervalos regulares de 1 segundo.

Para realizar los cálculos se ha utilizado el valor g = 10 m/s².

Observa que la distancia recorrida en cada intervalo es cada vez mayor y eso es un signo inequívoco de que la velocidad va aumentando hacia abajo.

tiempo (s)   0   1   2   3   4   5   6   7posición (m) 0 -5 -20 -45 -80 -125 -180 -245

Ahora es un buen momento para repasar las páginas que se refieren a la interpretación de las gráficas e-t y v-t y recordar lo que hemos aprendido sobre ellas.

Ya hemos visto que las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo pueden proporcionarnos mucha información sobre las características de un movimiento.

Para la caída libre, la gráfica posición tiempo tiene la siguiente apariencia:

Recuerda que en las gráficas posición-tiempo, una curva indicaba la existencia de aceleración.

La pendiente cada vez más negativa nos indica que la velocidad del cuerpo es cada vez más negativa, es decir cada vez mayor pero dirigida hacia abajo. Esto significa que el movimiento se va haciendo más rápido a medida que transcurre el tiempo.

 

Observa la gráfica v-t de la derecha que corresponde a un movimiento de caída libre.

Su forma recta nos indica que la aceleración es constante, es decir que la variación de la velocidad en intervalos regulares de tiempo es constante.

tiempo (s)   0 1 2 3 4 5velocidad (m/s)   0  -10  -20  -30  -40  -50

La pendiente negativa nos indica que la aceleración es negativa. En la tabla anterior podemos ver que la variación de la velocidad a intervalos de un segundo es siempre la misma (-10 m/s). Esto quiere decir que la aceleración para cualquiera de los intervalos de tiempo es:

g = -10 m/s / 1s = -10 m/s/s = -10 m/s²

Ecuaciones para la caída libre

Recuerda las ecuaciones generales del movimiento:

e = vo·t + ½·a·t²vf = vo + a·t

Podemos adaptar estas ecuaciones para el movimiento de caída libre. Si suponemos que dejamos caer un cuerpo (en lugar de lanzarlo), entonces su velocidad inicial será cero y por tanto el primer sumando de cada una de las ecuaciones anteriores también será cero, y podemos eliminarlos:

e = ½·a·t²vf = a·t

Por otro lado, en una caída libre la posición que ocupa el cuerpo en un instante es precisamente su altura h en ese momento.

Como hemos quedado en llamar g a la aceleración que experimenta un cuerpo en caída libre, podemos expresar las ecuaciones así:

  h = ½·g·t²vf = g·t

Física

 

 

 

El estudio del comportamiento de los objetos físicos en caída libre es un tema interesante. Su historia, sus leyes fundamentales, sus ecuaciones principales constituyen un aporte valioso en la Física por la característica de movimiento ideal y de notable practicidad que se manifiesta continuamente en el espacio y el tiempo.El término caída libre es una expresión aplicado tanto a los cuerpos que ascienden como a los que descienden. La caída libre es un movimiento de aceleración constante. 

Un poco de historia

El filósofo griego Aristóteles (348-322 a C) afirmó en sus escritos que los cuerpos caen a una velocidad proporcional a su peso.

Aristóteles formuló su teoría de los objetos en caída libre, suponiendo que todos se componen de cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. Los que están constituidos primordialmente por tierra y agua tratan de alcanzar su lugar natural de reposo: la Tierra; Los objetos que se componen de aire tratan de subir a su estado natural de reposo: el cielo.

Aristóteles era un filósofo muy respetado; de ahí que hubiera pocos dispuestos a poner en duda sus teorías y conclusiones. Por tal razón, se avanzó poco en muchos siglos en el conocimiento de los cuerpos en caída.

Fue Galileo Galilei (1564-1642) quien finalmente abrió el camino al desarrollo de la verdadera ciencia, realizando importantes avances en Astronomía, óptica y mecánica . El principal científico del siglo XVI acudió al experimento para descubrir la verdad y proclamar públicamente que la autoridad de Aristóteles al respecto debía ponerse en tela de juicio. Diseñó ingeniosos métodos para cronometrar con exactitud la forma en que caen objetos semejantes de distinto peso y pudo establecer que el peso de un objeto no influye en su aceleración, con la condición de que sean despreciables los efectos de la resistencia del aire .(Experimento)

Galileo dejó caer objetos de diferentes pesos desde lo alto de la Torre inclinada de Pisa y comparó sus caídas. En una ocasión, Galileo supuestamente reunió una gran multitud para que atestiguara la caída de un objeto ligero y uno pesado desde lo alto de la torre. Se dice que muchos observadores de esta demostración, quienes vieron a los objetos tocar el suelo juntos, se burlaron del joven Galileo y continuaron afianzados a sus enseñanzas

aristotélicas.

Fue Galileo quien introdujo por primera vez la idea de la aceleración. La desarrolló al descubrir el movimiento de los cuerpos que caen y probó su resultado haciendo ver primero que el movimiento de una pelota o esfera rodando por un plano inclinado era similar al de una pelota en caída libre.

Galileo demostró que si la aceleración a lo largo del plano inclinado es constante, la aceleración debida a la gravedad debe ser constante y verificó su suposición de que las esferas al descender por planos inclinados se incrementaban uniformemente con el tiempo. Encontró que las esferas adquirían la misma cantidad de rapidez en cada intervalo sucesivo de tiempo; esto es, las esferas rodaban con aceleración uniforme o constante. La velocidad en cualquier tiempo es simplemente igual a la aceleración multiplicada por el tiempo. Galileo encontró mayores aceleraciones para planos inclinados más empinados. La esfera adquiere su máxima aceleración cuando el plano se levanta a la posición vertical; esto es, la aceleración de Caída libre.

Definición de caída libre

El aprendizaje de las cualidades del movimiento de objetos físicos debe empezar con el estudio de la caída libre. El ejemplo más común de movimiento con aceleración constante es el de un cuerpo que cae en dirección a la Tierra. Al dejar caer un cuerpo desde una gran altura se tendrá que al comienzo el movimiento es uniformemente acelerado, siendo la velocidad muy pequeña y como consecuencia lo será también laresistencia del aire (R).

A medida que la velocidad aumenta, el valor de la resistencia del aire también aumenta y la aceleración del movimiento va disminuyendo gradualmente hasta llegar a un momento en que la resistencia y el peso del

cuerpo (  ) tiene el mismo valor, (  ). A partir de entonces no hay aceleración y el cuerpo sigue cayendo con velocidad constante. Esa velocidad final constante se denomina Velocidad límite o terminal del cuerpo.

Velocidades límite de varios objetos

Objeto Velocidad (m/seg)

Paracaidista con paracaídas cerrado 60

Pelota de tenis 42

Balón de baloncesto 20

Granizo 14

Pelota de ping pong 9

Gota de lluvia 7

Paracaidista con paracaídas abierto 5

¿Qué es la Caída Libre?Es el movimiento rectilíneo en dirección vertical con aceleración constante realizado por un cuerpo cuando se deja caer en el vacío.

La caída libre resalta dos características importantes:1)  Los objetos en caída libre no encuentran resistencia del aire.2) Todos los objetos en la superficie de la Tierra aceleran hacia abajo a un valor de aproximadamente 10 m/seg2 (Para ser más exacto 9.8 m/seg2 ).

Magnitud de la aceleración de gravedad

Valor Sistema

9,8 m/seg2 (MKS)

980 cm/ seg2 (CGS)

32 Pies/ seg2 (INGLES)

En el vacío, todos los cuerpos caen con igual velocidad. Esto se puede demostrar experimentalmente utilizando el tubo de Newton. Se trata de un tubo de vidrio cerrado por sus extremos, uno de los cuales lleva una llave de paso a través de la cual se le puede extraer el aire.

Se toma el tubo, en el cual hay contenidos una pluma y una moneda. Invirtiendo el tubo se ven caer estos cuerpos uno detrás de otro, cuando el tubo contiene aire; pero al abrir la llave y extraer el aire, se repite el experimento y los cuerpos caen todos a una misma velocidad. Caen simultáneamente.

Un objeto al caer libremente está bajo la influencia única de la gravedad. Se conoce como aceleración de la gravedad . Y se define como la variación de velocidad que experimentan los cuerpos en su caída libre. El valor de la aceleración que experimenta cualquier masa sometida a una fuerza constante depende de la intensidad de esa fuerza y ésta, en el caso de la caída de los cuerpos, no es más que la atracción de la Tierra. La aceleración de la gravedad tiene un símbolo especial para denotarla el símbolo  (

).

Para un cuerpo en caída libre se toma sobre la Tierra como sistema referencial de manera tal que el eje vertical o eje “Y” se tome positivo hacia arriba, esto

implica que la aceleración debido a la gravedad ( ) sea un vector apuntando

verticalmente hacia abajo ( ) y de magnitud 9,8 m/seg2. La altura h será simplemente coordenada y). 

Si se supone nula la resistencia del aire, se encuentra que todos los cuerpos independientemente de su tamaño, peso o composición, caen con la misma aceleración en el mismo punto de la superficie de la Tierra, y si la distancia recorrida no es demasiada grande, la aceleración se conserva constante en toda la caída. La gravedad varía con la latitud y la altura. Su valor máximo corresponde en los polos y el valor mínimo en el Ecuador terrestre.

Valores Experimentales de la Aceleración debida a la gravedad

LUGAR LATITUDALTURA (metro)

MAGNITUD (metro/segundo2

Caracas 10º 30' 980 9,778

Polo Norte 90º 0 9,833

Groenlandia 70º 20 9,825

Estocolmo 59º 45 9,818

Bruselas 51º 102 9,811

Banff (Canadá) 51º 1376 9,808

Nueva York 41º 38 9,803

Chicago 42º 182 9,803

Denver 40º 1638 9,796

San Francisco 38º 114 9,800

Zona del Canal 9º 6 9,782

Java 6º Sur 7 9,782

Nueva Zelanda 37º Sur 3 9,800

Ecuador Territorial 0º 0 9,779

Greenwich 67º 26' 41 9,811

Cambridge 42º 0 9,800

Jamaica 18º 0 9,782

La aceleración de gravedad es la misma para todos los objetos y es independiente de las masas de éstos.

La magnitud de la aceleración de gravedad se puede determinar experimentalmente a partir del análisis de una fotografía estroboscópica o de iluminaciones sucesivas de la caída libre de un objeto, conocida su escala de espacio y tiempo. Los objetos que caen se hacen visibles en intervalos iguales de tiempo por medio de una fotografía intermitente.

La fotografía se toma con la ayuda de una lámpara estroboscópica. El intervalo entre las iluminaciones se controla a voluntad.El obturador de la cámara se deja abierto durante el movimiento y cuando se produce cada iluminación, la posición del objeto en ese instante se registra sobre la película fotográfica. Las iluminaciones igualmente espaciadas subdividen al movimiento en intervalos de tiempo iguales. Comparando los desplazamientos sucesivos del objeto se puede hallar la variación de la velocidad en el correspondiente intervalo de tiempo. 

La magnitud de la aceleración constante en la caída libre se puede comprobar con el ejemplo de la fotografía estroboscópica de una bola de billar que cae libremente. Al oscurecer el lugar donde se realiza el experimento el objeto fue iluminado con una luz estroboscópica, a intervalos de 1/30 seg.

Comparando los desplazamientos sucesivos de la bola de billar se puede hallar la variación de la velocidad en el correspondiente intervalo de tiempo. Tabla Distancia -Tiempo

Distancia -Tiempo

Tiempo (Seg) Distancia (cm) Incremento Distancia (cm)

0 0 0

0,033 7,7 7,7

0,066 16,45 8,75

0,099 26,25 9,80

0,132 37,10 10,85

0,165 49,09 11,99

0,198 62,18 13,09

0,231 76,36 14,18

0,264 91,58 15,22

0,297 107,89 16,31

0,330 125,34 17,45

0.363 143,86 18,52

En tiempos iguales se recorre más distancia. La separación de las imágenes durante la caída demuestra que la velocidad va aumentando continuamente. El espacio recorrido es proporcional al tiempo. Eso significa que la bola de billar cae con movimiento acelerado. Tabla Velocidad –Tiempo

Velocidad-Tiempo

Tiempo (seg)

Velocidad (cm/seg)Variación de Velocidad (m/seg)

0 - -

0,033 231 -

0,066 263 0,32

0,099 294 0,31

0,132 326 0,32

0,165 360 0,34

0,198 393 0,33

0,231 425 0,32

0,264 457 0,32

0,297 489 0,32

0,330 524 0,35

0,363 556 0,32

Con la anterior tabla se construye la gráfica Velocidad-Tiempo.

Es una recta. El cociente   pendiente de la recta es constante. Esta constante mide la aceleración.La velocidad es proporcional al espacio recorrido. La velocidad es proporcional al tiempo.

Así sucesivamente se obtienen valores que se muestran en la tabla Aceleración-Tiempo. La variación de velocidad es constante en cada intervalo de tiempo. Evaluando la pendiente entre los valores de velocidad y tiempo se obtiene el valor de la aceleración como lo muestra la siguiente tabla. Se observa que el movimiento es de aceleración constante, que significa que la gravedad es constante.

Aceleración - Tiempo

Tiempo (seg) Aceleración ( )m/seg2

0 -

0.033 -

0.066 9.6

0.099 9.3

0.132 9.6

0.165 10.2

0.198 9.9

0.231 9.6

0.264 9.6

0.297 9.6

0.33 10.5

0.363 9.6

Promedio 9,8

Aceleración: Cambio de Velocidad/Tiempo. Se demuestra que el objeto acelera a la misma razón constante cuando cae.

La aceleración es la razón en la cual un objeto cambia su velocidad. La aceleración de la bola de billar en caída libre es alrededor de - 9,8 m/seg2.

Leyes fundamentales de la caída libre

Caída libre y Velocidad Un objeto al dejarse caer comienza su caída muy lentamente, pero aumenta su velocidad constantemente, acelera con el tiempo. Su velocidad aumenta a una razón constante. La velocidad de un objeto que cae desde un lugar elevado aumenta cada segundo una cantidad constante.Al comienzo   --  0 (cero) después de 1 segundo  --  g (m/seg) después de 2 segundos -- 2.g (m/seg) después de 3 segundos -- 3.g (m/seg)después de t segundos --  t.g = g.t (m/seg)

La rapidez instantánea de un objeto que cae libremente desde el reposo es igual al

producto de la aceleración por el tiempo de caída. En notación abreviada. 

v = g.t

Caída libre y distancia recorridaLa distancia que viaja un objeto uniformemente acelerado es proporcional al cuadrado del tiempo. Para el caso de un cuerpo en caída libre se expresa como:

Donde:y distancia recorrida o altura.t tiempo de caída.

Así por ejemplo dos objetos de masas diferentes, que se dejan caer sobre una altura “y” llegan al suelo en el mismo tiempo.

Leyes fundamentales de la Caída Libre:a)Todo cuerpo que cae libremente tiene una trayectoria verticalb) La caída de los cuerpos es un movimiento uniformemente aceleradoc)Todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Hasta aquí se ha considerado objetos que se desplazan directamente hacia abajo por efecto de la gravedad.

Ahora bien, cuando se lanza un objeto hacia arriba se sigue moviendo en esa dirección durante cierto tiempo, al cabo del cual vuelve a bajar.

En el punto más elevado, cuando el objeto cambia su dirección de movimiento la rapidez instantánea es cero. Entonces empieza a moverse hacia abajo como si se hubiese dejado caer desde el reposo y a esa altura.

El término caída libre, es aplicado tanto al movimiento de descenso como de ascenso, sólo que para ascender es necesario proporcionarle al campo una velocidad inicial y al descender puede ser que la velocidad inicial es cero.

Convenciones de signosEs muy importante llevar un control de los signos del desplazamiento, velocidad y aceleración, porque indican la dirección de tales cantidades.Se debe ser muy cuidadoso en las aplicaciones que incluyen movimiento ascendente y descendente. Es indispensable decidir al inicio de la solución de los problemas de caída libre que dirección será positiva. La elección es arbitraria, pero una vez hecha en un problema particular, hay que conservarla a lo largo de él.

Ecuaciones del movimiento de caida libre

Las ecuaciones del movimiento de un objeto que se mueve en dirección vertical bajo la acción de la fuerza de gravedad son las mismas del movimiento con

aceleración constante, cambiando  por  , y   por 

Los símbolos en la ecuación tienen un significado específico:

 :Es el desplazamiento del objeto.

t: Es el tiempo durante el cual el objeto se movió.

La aceleración del objeto. Aceleración de la gravedad

0 Velocidad inicial del objeto.

Velocidad final del objeto.

Características conceptuales.El uso de estas cuatro ecuaciones se puede ayudar con una comprensión

apropiada de las características conceptuales del movimiento de objetos en caída libre.

Características Conceptuales

Caída Libre

1. Un objeto en caída libre experimenta una aceleración de - 9,8 m/seg2 ( negativo (-) indica una aceleración hacia abajo.)2. Si un objeto se cae (en comparación con ser lanzado) de una cierta altura, la velocidad inicial del objeto es 0 m/seg.

3. La velocidad final (  ) después de viajar a la altura máxima será asignado un valor de 0 m/seg .

4. Si un objeto se proyecta hacia arriba en una dirección vertical, después la velocidad en la cual se proyecta es igual en magnitud y contrario a la velocidad que tiene cuando vuelve a la misma altura.

EjemploSe deja caer un objeto desde la parte superior de una ventana que está a una altura de 8,52 m. Determinar el tiempo requerido para el objeto tocar el piso.

SoluciónPrimer paso: Construir un diagrama informativo de la situación física.Segundo paso: Identificar la información conocida en forma de variable. En el ejemplo solamente hay un dato explícito: 8,52 m; el resto de información debe ser extraída de acuerdo al entendimiento de los principios de la caída libre. La distancia o altura (y) es –8,52 m. El signo negativo (-) indica el desplazamiento del objeto es hacia abajo. La velocidad inicial (Vo) puede deducirse como 0 m/seg .La aceleración de la gravedad (g) se puede tomar como –9,8 m/seg2.Tercer paso: Identificar la variable desconocida

Diagrama: Datos: Encontrar:

vo = 0,0 m/seg

y = –8,52 m

a =g =–9,8 m/seg 2

t = ?

Cuarto paso: Determinar la ecuación que nos permite encontrar cantidad o magnitud desconocida.

Quinto paso: Sustituir los valores conocidos. Se resuelve la ecuación utilizando propiedades algebraicas para encontrar el resultado final

  -8,52 m = (0 m/s).(t) + 0.5.(-9,8 m/seg2).(t)2

  -8,52 m = (0 m) .(t ) + (-4,9 m/seg2).(t)2

  -8,52 m = (-4,9 m/seg2 ).(t)2

 (-8.52 m)/(-4,9 m/seg2) = t2

  1,739 seg2 =t 2

  t = 1,32 seg = 1,3 seg

Fundación Educativa Héctor A. García