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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO Institución Universitaria adscrita a la Alcaldía de Medellín VICEDECANATURA DE CIENCIAS PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO Guía de trabajo SERIES Cálculo Integral 2009 - 2 ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. COMPETENCIA Comprender y aplicar el concepto de serie numérica, para modelar y dar solución a problemas en distintos contextos. INDICADOR DE LOGRO Identifica el tipo de serie numérica. Utiliza el método adecuado para determinar su convergencia. NOTA Asegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas. CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS Al sumar los términos de una sucesión infinita , obtenemos una expresión de la forma que se llama Serie Infinita , o simplemente Serie .
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INSTITUTO TECNOLÓGICOMETROPOLITANO
Institución Universitaria adscrita a laAlcaldía de Medellín
VICEDECANATURA DE CIENCIASPROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO
Guía de trabajo
SERIES
Cálculo Integral 2009 - 2
ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo.
COMPETENCIAComprender y aplicar el concepto de serie numérica, para modelar y dar solución a problemas en distintos contextos.
INDICADOR DE LOGROIdentifica el tipo de serie numérica.Utiliza el método adecuado para determinar su convergencia.
NOTAAsegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las definiciones para evitar ideas erróneas.
CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
Al sumar los términos de una sucesión infinita , obtenemos una expresión de la forma
que se llama Serie Infinita, o simplemente Serie.
Notación.
, o .
Para determinar si una serie tiene una suma, examinaremos las sumas parciales:
Definición.Dada una serie y sea la n-ésima suma parcial. Si la sucesión es
convergente y si existe el como número real, la serie se llama convergente, y se escribe
El número se denomina suma de la serie. Si la serie no es convergente, es divergente.
Teorema 1.Si la serie es convergente, entonces
Prueba de DivergenciaSi no existe , o si , entonces la serie diverge.
Propiedades.Si y son series convergentes, entonces también lo serán las siguientes.
a.
b.
c.
A continuación desarrollaremos varias pruebas (o criterios) que nos permiten establecer si una serie es convergente o divergente.
1. Prueba de la Integral
Sean una función continua, positiva y decreciente en , y .
a. Si es convergente, entonces es convergente.
b. Si es divergente, entonces es divergente.
Teorema 2.
La serie , , es convergente si , y divergente si
2. Prueba de Comparación
Supongamos que y son series de términos positivos.
a. Si es convergente y para todo , entonces es convergente.
b. Si es divergente y para todo , entonces es divergente.
3. Prueba de comparación de límites.
Supongamos que y son series de términos positivos.
a. Si , ambas series convergen o divergen.
b. Si y converge, entonces también.
c. Si y diverge, entonces también.
Ejemplos.
1. Demuestre que la siguiente serie es convergente y calcula suma.
Demostración.
y así
Luego la serie original es convergente y suma es
2. La Serie Geométrica , converge, si
y su suma es
y sí , la serie geométrica diverge.
3. Calcula la suma de la serie geométrica
Solución.
El primer término es y la razón y como , luego
la serie es convergente y su suma es
4. Demuestre que la serie diverge.
Demostración.
Luego por la prueba de divergencia, la serie diverge.
5. Calcular la suma de la serie .
Solución.Es claro que
y,
Luego la serie original es convergente y su suma es
6. Utilice la prueba de la integral para demostrar que la Serie Armónica
diverge.
Demostración.
La función es continua, positiva y decreciente en , por lo cual
podemos emplear la prueba de la integral:
Luego la integral impropia es divergente y por la prueba de la integral la serie armónica es divergente.
7. La serie es convergente o divergente.
Solución.
Serie , donde , luego la serie es divergente.
8. Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie
converge o diverge.Solución.
Para , es fácil aceptar que , entonces .
La serie es convergente por ser serie geométrica, luego la serie original
converge, de acuerdo a la prueba de comparación.
9. Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie
converge o diverge.
Solución.
Sean las sucesiones y . Entonces,
Como el límite existe y de que es una serie geométrica convergente,
entonces la serie original converge, de acuerdo a la prueba de comparación de límite.
Ejercicios.
1. Calcula por lo menos 10 sumas parciales de cada serie. Grafica las sucesiones de términos y de sumas parciales, ¿parece que la serie converge o diverge? Si es convergente, calcula la suma, si es divergente explica por qué?
a.
b.
2. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes series, en caso de convergencia, calcula la suma.
a.
b.
c.
d.
e.
3. Prueba la convergencia de cada una de estas series.
a.
b.
c.
4. Señala si las series son convergentes o divergentes.
a.
b.
