David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

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XV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica. Rev. Real Acad. Ci. Exactas Físicas y Naturales, Madrid, (2013), 123-145. David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre. Fernando Bombal Real Academia de Ciencias de España. Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, Madrid. Introducción. David Hilbert es una de esas figuras que marca una nueva época en las Matemáticas. Como veremos, realizó importantes contribuciones en muy distintas áreas (Álgebra, Geome- tría, Teoría de Números, Análisis Funcional, Física, etc.) pero, sobre todo, desarrolló nuevos métodos y técnicas que provocaron cambios radicales en la manera de entender y desarrollar la matemática. Como señala su colega y discípulo H. Weyl ([We; p. 614 y sigs.]) “el impacto de un científico en su propia época no es directamente proporcional al peso científico de su investi- gación.” Y pone el ejemplo de Gauss o Riemann, ciertamente de no menor estatura científi- ca que Hilbert, pero que no crearon “escuela” entre sus contemporáneos. No es el caso de Hilbert, quien sabía contagiar a sus mejores alumnos su entusiasmo y su pasión por las mate- máticas. Por ejemplo, entre los años 1900 y 1914, en los que se dedicó intensamente al estu- dio de las ecuaciones integrales y a crear el comienzo de lo que sería la Teoría Espectral en Espacios de Hilbert, dirigió unas 40 Tesis Doctorales 1 sobre estos temas. Entre los nuevos doctores figuran Georg Hamel (1901), Oliver Kellog (1903), Erhart Schmidt (1905), Her- mann Weyl (1908), Alfred Haar (1909), Richard Courant (1910) y Hugo Steinhaus 1 De un total de 69 , según se cita en [R1; pág. 205]

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XV Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica.

Rev. Real Acad. Ci. Exactas Físicas y Naturales, Madrid, (2013), 123-145.

David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

Fernando Bombal

Real Academia de Ciencias de España.

Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, Madrid.

Introducción.

David Hilbert es una de esas figuras que marca una nueva época en las Matemáticas.

Como veremos, realizó importantes contribuciones en muy distintas áreas (Álgebra, Geome-

tría, Teoría de Números, Análisis Funcional, Física, etc.) pero, sobre todo, desarrolló nuevos

métodos y técnicas que provocaron cambios radicales en la manera de entender y desarrollar

la matemática.

Como señala su colega y discípulo H. Weyl ([We; p. 614 y sigs.]) “el impacto de un

científico en su propia época no es directamente proporcional al peso científico de su investi-

gación.” Y pone el ejemplo de Gauss o Riemann, ciertamente de no menor estatura científi-

ca que Hilbert, pero que no crearon “escuela” entre sus contemporáneos. No es el caso de

Hilbert, quien sabía contagiar a sus mejores alumnos su entusiasmo y su pasión por las mate-

máticas. Por ejemplo, entre los años 1900 y 1914, en los que se dedicó intensamente al estu-

dio de las ecuaciones integrales y a crear el comienzo de lo que sería la Teoría Espectral en

Espacios de Hilbert, dirigió unas 40 Tesis Doctorales1 sobre estos temas. Entre los nuevos

doctores figuran Georg Hamel (1901), Oliver Kellog (1903), Erhart Schmidt (1905), Her-

mann Weyl (1908), Alfred Haar (1909), Richard Courant (1910) y Hugo Steinhaus

1 De un total de 69 , según se cita en [R1; pág. 205]

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(1911), entre otros. Nombres que resultarán familiares a muchos alumnos de Grado y, por

supuesto, a la mayoría de los especialistas en Análisis Funcional. Hilbert, en efecto, no sola-

mente realizó importantes y decisivas aportaciones en muchas partes de las matemáticas, sino

que ejerció una enorme influencia en el mundo científico a través de sus muchos alumnos,

una verdadera escuela. Uno de estos alumnos, el citado H. Weyl, recuerda así la fascinación

que le causó su maestro:

“Me parece escuchar todavía el dulce sonido de la flauta del encantador flautis-

ta que era Hilbert, seduciéndonos como a ratas para seguirle al profundo río de

las matemáticas. […] Cuando, atrevidamente, asistí al curso que Hilbert ofrecía

aquel semestre, […] las puertas de un nuevo mundo se abrieron ante mí […] y

en mi joven corazón se formó la resolución de que debía leer y estudiar todo lo

que este hombre había escrito.” [We; pág. 614])

Otra característica de Hilbert es la amplitud de sus campos de interés. Como tuvo ocasión

de poner de manifiesto durante la celebración del Segundo Congreso Internacional de Mate-

máticos en París, su famosa lista de Problemas (sobre la que volveremos) contemplaba temas

tan diversos que indicaba unos conocimientos impresionantes del estado de las matemáticas

en aquel momento. De hecho, se suele decir que Hilbert y Poincaré son los últimos universa-

listas en Matemáticas, esto es, que tenían un conocimiento casi total de todo el edificio de las

Matemáticas de su época.

Pero además, a lo largo de toda su vida Hilbert mostró siempre una firme e inquebran-

table fe en la confiabilidad de la inferencia matemática. Para Hilbert la investigación en Ma-

temáticas está fundamentada en la resolución de sucesivos problemas que surgen al realizarla.

Un buen problema es

Un verdadero hilo conductor a través de los dédalos del laberinto hacia las

verdades ocultas.

Y el objetivo de toda investigación es dar respuesta a los problemas planteados. Y para

Hilbert, todo problema determinado en matemáticas admite una respuesta, bien mediante una

prueba rigurosa de su solución o bien con la demostración de la imposibilidad de la misma,

porque “en matemáticas no existe el ignorabimus”2([H2; pág. 445]).

En esta convicción o “axioma” reside el núcleo de la epistemología de Hilbert y condi-

ciona su actividad investigadora cotidiana: Su obra se podría presentar como una serie de pro-

blemas resueltos en distintas áreas. Por supuesto, el camino para su solución no es lineal, pero

hay una unidad subyacente en los métodos de resolución, a saber: la construcción de un mar-

co teórico adecuado, usualmente a través del método axiomático, en el que se puedan desarro-

llar las herramientas para resolver el problema planteado. Como consecuencia, Hilbert no

2 En 1872 el fisiólogo alemán Emil du Bois-Reymond (hermano del famoso matemático Paul du Bois- Reymond) acuño la frase latina ignoramus et ignorabimus (desconocemos y desconoceremos) para designar la limitación esencial de la razón humana para conocer la Naturaleza, indicando que hay ciertas cuestiones que quedarán siempre más allá de nuestro conocimiento. Esta frase ha sido adoptada como lema por el agnosticismo moderno. A ella se refiere Hilbert en su comentario.

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solamente resuelve problemas, sino que abre nuevos campos de investigación hasta entonces

insospechados.

Hilbert es uno de los primeros en utilizar sistemáticamente en su obra la noción de es-

tructura, es decir, tratando y agrupando los objetos matemáticos no tanto por su naturaleza,

sino por las relaciones existentes entre ellos. Es así como surgieron a lo largo del siglo XIX

las primeras estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, ideales, etc. cuyo uso Hilbert

sistematizó en muchos de sus trabajos. El hecho de obviar la naturaleza de los objetos estu-

diados permite liberar los razonamientos de consideraciones contingentes ligadas a la natura-

leza de estos objetos, y consigue que se ponga de manifiesto las ideas fundamentales en la

demostración:

“La ventaja de este tipo de demostraciones [abstractas] es que se eliminan las

construcciones particulares aisladas para agruparlas bajo una idea fundamental,

de modo que se pone claramente en evidencia lo que es esencial en la demostra-

ción.” 3

Junto a una inquebrantable fe en su fiabilidad, Hilbert defendía también la unidad de las

matemáticas, frente a otras ciencias:

“La ciencia de las matemáticas, tal como yo lo veo, es un todo indivisible, un or-

ganismo cuya habilidad para sobrevivir reside en la conexión entre sus partes.”

[We; pág. 617]

Cualquiera de las dos últimas frases podrían haberlas suscrito los integrantes del famoso

grupo Bourbaki4, creado a mediados de los 1930’s por un grupo de jóvenes matemáticos

franceses para renovar las matemáticas, y que tuvo gran influencia durante más de 50 años (y

no sólo en matemáticas). Y, de hecho, en varias ocasiones algunos de sus más destacados

miembros declararon su admiración por Hilbert y su forma de abordar las matemáticas

Los primeros años

Para comenzar, no puedo resistirme a citar el comienzo de la biografía de Hilbert reali-

zada por Constance Reid ([R1]):

“La fortuita combinación de genes que produce un individuo excepcionalmente

dotado, fue realizada por Otto Hilbert y su esposa María en algún momento de la

primavera de 1861; y así, el 23 de enero de 1862, a la una de la tarde, nació su

primer hijo en Wehlau, cerca de Königsberg, la capital de Prusia oriental [hoy la

ciudad rusa de Kaliningrado]. Le pusieron por nombre David.”

3 D. Hilbert, Die Grunglagen der Mathematik. Abh. Aus d. Math. Sem. d. Hamb. Univ., (1928), 65-83. Citado en

[Ca; p. 38]). 4 El lector interesado puede consultar [B3]

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Se ha cumplido, pues, el 150 aniversario del

nacimiento de David Hilbert, que coincide, casi

exactamente, con el nacimiento del nacionalismo

alemán y la unificación de Alemania como nación

bajo el impulso de Prusia.

Königsberg, la capital de Prusia oriental, fue

fundada a mediados del siglo XIII por los caballe-

ros teutones a ambos lados del río Pregel, y sus

distintos barrios estaban conectados entre sí por

siete puentes. El problema, resuelto por el gran L.

Euler en el siglo XVIII, de si se podía realizar un

circuito cerrado por la ciudad pasando una y solo

una vez por cada uno de los puentes, se considera

el origen de la teoría de grafos y la topología. Cer-

ca de su Universidad, una de las más antiguas de

Alemania, estaba la tumba del más famoso de los hijos de Königsberg: el gran Immanuel

Kant.

La familia de Hilbert se había establecido en Königsberg a finales del siglo XVIII. Su

padre, Otto Hilbert, era juez del condado, uno de

sus tíos era abogado y otro director de un gymna-

sium o Instituto de segunda enseñanza. Formaban

parte, pues, una familia acomodada. Poco después

del nacimiento de David, su padre ascendió a juez

de ciudad y se trasladó con su familia a la cercana

Königsberg. De su madre, María, se tiene menos

información, aunque todas las referencias apuntan a

que era una mujer poco corriente, interesada en la

filosofía, la astronomía y ¡fascinada por los núme-

ros primos!

Hasta los nueve años, David estudió en su ca-

sa bajo la tutela de su madre. Al comienzo del curso

de 1872, se incorporó a un gymmsium privado muy

tradicional y rígido, en el que David no descolló

especialmente. Tras un último curso en un Instituto

estatal (en donde su rendimiento escolar mejoró

sustancialmente), en el otoño de 1880, a sus 18

años, David se inscribe en la Universidad de

Königsberg, una de las más antiguas y reputadas del

país.

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El joven Hilbert se inclina por los estudios de matemáticas, contra los deseos de

su padre, que hubiera preferido que estudiara leyes. Como en otras universidades ale-

manas, durante los 4 años que se supone duran los estudios de cada titulación los alum-

nos eligen con absoluta libertad los cursos a los que asisten y suelen pasar varios semes-

tres en otras universidades. No hay ningún control antes del examen final al término del

periodo de 4 años. Y así, Hilbert asiste, entre otros, a cursos de Heinrich Weber (que

trabajaba con Dedekind) y Ferdinand von Lindeman, quien había probado poco antes

(1882) la trascendencia del número (y con ello la imposibilidad de poder construir un

cuadrado con área igual a la de un círculo dado, usando solamente la regla y el compás).

También pasa un semestre en Heidelberg, donde asiste al curso de Lazarus Fuchs

(1833-1902) sobre ecuaciones diferenciales. Pero quizá lo más importante que le suce-

dió a Hilbert durante su época de estudiante fue conocer al que sería su mejor amigo,

Hermann Minkowski en 1883.

Aunque casi 3 años más joven, Minkowski había ingresado en la universidad un

semestre antes que Hilbert. Su precocidad y talento para las matemáticas eran conocidos

por sus compañeros y profesores. Había pasado un año en Berlín, donde había ganado

varios premios y, a su vuelta a Königsberg, se conoció la increíble noticia de que, con

tan sólo 18 años, le iba a ser concedido el Grand Prix des Sciences Mathématiques de la

Academia de Ciencias de París, por su elegante solución del cálculo del número de des-

composiciones distintas de un número natural en suma de cinco cuadrados. Hilbert y

Minkowski entablaron amistad casi inmediatamente, y esa relación se mantuvo durante

el resto de sus vidas.

Por otro lado, en la primavera de 1884 llega a Königsberg como profesor Extraor-

dinario con tan sólo 25 años, Adolf Hurwitz. Como en el caso de Minkowski, venía

F. Lindemann (1852-1939) H. Weber (1842-1913)

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precedido por su fama de brillantez y precocidad matemática5. Muy pronto Hilbert,

Minkowski y Hurwitz entablaron una estrecha amistad. Cada día “a las cinco, exacta-

mente”, daban largos paseos por los alrededores de Königsberg discutiendo sobre ma-

temáticas.

Es a lo largo de estos paseos cuando Hilbert descubrió la matemática contemporá-

nea y las distintas escuelas existentes en la matemática alemana, en particular la escuela

geométrica de Felix Klein y la algebraico-analítica de Berlín. Durante toda su vida re-

cordó Hilbert con cariño y añoranza estos interminables paseos en compañía de sus dos

grandes amigos.

Completados los 8 semestres requeridos para poder obtener el grado de doctor,

Hilbert se dirigió a Lindemann para que le sugiriera un tema de Tesis y éste le propuso

un problema sobre uno de los temas de moda del momento: la teoría de invariantes al-

gebraicos. El joven Hilbert se puso a la tarea y resolvió el problema de forma clara y

elegante, a plena satisfacción de su Director. También obtuvo elogiosos comentarios de

su amigo Minkowski, que se encontraba en Wiesbaden con su madre, tras el falleci-

miento de su padre. Y así, en diciembre de 1884, Hilbert supero los exámenes orales

que permitían el paso al proceso final de promoción y defensa pública, que se realizó el

7 de febrero de 1885.

El título de doctor en Alemania era solo el comienzo de una carrera académica, y

ni siquiera facultaba al poseedor a dar clases. Para ello, debía realizar una segunda Tesis

o Habilitation, que le facultaba para obtener la venia legendi de la Universidad y el títu-

lo de Privatdozent, que otorgaba el privilegio de poder dar clases sin sueldo fijo de la

5 Su primer trabajo lo había publicado, en colaboración con su Profesor H. Schubert, siendo todavía alumno del Gymnasium.

Hermann Minkowski (1864-1909) Adolf Hurwitz (1859-1919)

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Institución, sino el procedente de las matrículas de los alumnos que escogieran sus cur-

sos. Si se progresaba suficientemente en las tareas de investigación, podría alcanzar el

título de Profesor Extraordinarius, que ya recibía un salario fijo. Y luego estaban las

Cátedras, pero esas eran muy escasas (en la mayoría de las universidades alemanas ha-

bía sólo dos cátedras de matemáticas; en Königsberg, sólo una) y difíciles de alcanzar.

A Hilbert, pues, le quedaba un largo camino. No obstante, por si acaso, preparó y su-

peró las pruebas para poder impartir clases en la enseñanza secundaria.

A instancias de su amigo Hurwitz, Hilbert decidió pasar un semestre en Leipzig,

para entrar en contacto con F. Klein, por entonces, y con sólo 36 años, una figura ya

legendaria. A los 23 años había obtenido una Cátedra en Erlangen y en su lección inau-

gural que expuso su famoso “Programa de Erlangen” por el que se propone clasificar

las distintas geometrías mediante el estudio de las propiedades invariantes por un de-

terminado grupo de transformaciones. Hilbert llamó pron-

to la atención de Klein, y pronto se estableció entre ellos

una muy buena relación.

Fue a sugerencia de Klein el que Hilbert decidiera

pasar un tiempo en París, por entonces uno de los centros

de excelencia mundial en matemáticas. Allí tuvo ocasión

de conocer a los principales matemáticos franceses de la

época: Jordan, Hadamard, Picard, Poincaré… Espe-

cialmente agradable fue su contacto con Hermite, que a

la sazón contaba con 64 años, y se mostró muy hospitala-

rio con el joven alemán de 23 años. En sus conversaciones

le dirigió de nuevo hacia el tema de los invariantes, lla-

mando su atención hacia el llamado “Problema de Gor-

dan”, que iba a ser muy importante para Hilbert.

Hilbert volvió entusiasmado de París. A su vuelta, hizo una breve parada en Go-

tinga para visitar a Klein (que había aceptado allí una cátedra). Ya en Königsberg, ter-

minó de redactar su trabajo de Habilitation, también relacionado con la teoría de inva-

riantes, aunque sin aportaciones destacadas. Así, en julio de 1886, tras la presentación

del trabajo y la exposición de una Conferencia, Hilbert obtuvo su Habilitation, y su

puesto de Privatdozent. La verdad es que Klein hubiera preferido que Hilbert presentara

su Habilitation en una Universidad que no fuera Königsberg, tan alejada como estaba

de los centros de actividad matemática en Alemania. Pero Hilbert contestó a Klein di-

ciendo que la cercanía de Lindemann y, sobre todo, de Hurwitz era suficientemente es-

timulante para él y el aislamiento de Königsberg podía superarse a través de viajes pe-

riódicos a otros centros de investigación.

Sin embargo, en su primer año como docente Hilbert no realizó ninguno de los

viajes que con tanto optimismo había planeado, pero se dedicó intensamente a estudiar

en profundidad el tema objeto de su Tesis y su Habilitation: los invariantes algebraicos.

F. Klein ( 1849-1925)

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Primeros éxitos: la teoría de invariantes.

Ya hemos dicho que uno de los temas de moda en esta época era la teoría de inva-

riantes algebraicos. La cuestión se puede plantear del siguiente modo: Pensemos por

ejemplo en una expresión de la forma, p(x,y,z)=ax2+2bxy+2cxz+2dyz+ey2+fz2

a b c x x

x y z b e d y x y z A y

c d f z z

, que es lo que se llama una forma

cuadrática en las (tres) variables x, y, z. El conjunto de puntos que cumple p(x,y,z) = 0

representa una cónica en el plano proyectivo (o, haciendo z=1, una cónica en el plano

afín usual). Si se efectúa un cambio de referencia la ecuación cambia, pasando a una de

la forma

q(X,Y,Z) = a’X2+2b’XY+2c’XZ+2d’YZ+e’Y2+f’Z2

' ' '

' ' ' ,

' ' '

a b c X

X Y Z b e d Y

c d f Z

pe-

ro hay ciertas expresiones de los coeficientes que se mantienen invariantes a través de

los cambios de referencia. Por ejemplo, si escribimos el cambio de referencia, como es

usual, en la forma

x X Y Z

y X Y Z

z X Y Z

O, en forma matricial,

x X X

Py Y Y

z Z Z

, (con |det(P)| = 1) entonces la

matriz de coeficientes de p,

a b c

A b e d

c d f

, se transforma en la de q, ' tA P AP 6, y

claramente det(A’) = det(A)det(P)2 = det(A). Así pues, det(A) es un invariante de la

forma p. La propiedad det(A) = 0 refleja entonces una propiedad intrínseca de la curva

(la de ser degenerada), independiente de los cambios de coordenadas. La pregunta natu-

ral es: ¿hay más invariantes? ¿podemos describirlos todos?, y, por supuesto, la pregunta

tiene sentido no sólo para las formas cuadráticas en dos variables, sino para formas ge-

nerales de grado n en m variables:

1 2

1

1

1 2 , , 1 2

...

( , , , ) m

m

m

ii i

m i i m

i i n

f x x x a x x x

6 Pt designa la matriz transpuesta de la matriz P.

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Con este planteamiento, los primeros estudios sobre invariantes algebraicos se

iniciaron en la escuela británica: G. Boole publicó en 1841 un primer trabajo sobre in-

variantes de formas lineales, al que siguieron muchos otros de A. Cayley, J.J. Sylvester

y G. Salmon (la trinidad invariante, en palabras de Hermite). Por ejemplo, Cayley pro-

bó que la expresión ae -4bd + 3c2 es un invariante de la forma cuártica binaria f(x,y) =

ax4+4bx3y + 6cx2y2 + 4dxy3 + ey4. La cuestión que se plantea es saber si existe una fa-

milia finita de invariantes de una forma (o conjunto de formas) de modo que cualquier

otro invariante se pueda expresar de forma razonable en términos de los elementos de la

familia. Cayley construyó explícitamente sistemas completos de invariantes (o bases)

para las formas cúbicas y cuárticas binarias.

El avance más significativo en este campo se produjo en 1868, cuando Paul Gor-

dan (1837-1912) calculó explícitamente una base finita de invariantes para las formas

binarias de cualquier grado. La prueba involucraba grandes cantidades de cálculos y era

tremendamente complicada. Pero lo cierto es que, 20 años después y tras muchos es-

fuerzos de matemáticos franceses, alemanes, británicos e italianos, nadie había extendi-

do el resultado de Gordan (que había merecido el título de rey de los invariantes) a otras

formas (aunque se habían obtenido resultados parciales).

A principios de 1888 Hilbert se siente por fin preparado para realizar el viaje que

se había prometido a sí mismo y, en primer lugar, se dirige a Erlangen a encontrarse con

Gordan. El encuentro parece ser que le estimuló enormemente y el Problema de Gordan

atrajo su atención como ninguno otro lo había hecho con anterioridad, de modo que se

dedicó a él de forma absorbente. Y en septiembre de 1888 Hilbert envía una nota al Na-

chrichten de la Sociedad Científica de Gotinga dando una solución completa del pro-

blema de Gordan:

El álgebra A de los invariantes asociados a cualquier familia finita de for-

mas n-arias es siempre finitamente generada, es decir, existe una familia fi-

nita de invariantes f1, … fr de modo que cualquier otro gA se puede escri-

bir en la forma g = P(f1,…fr) para un cierto polinomio P de r variables.

¡El problema de Gordan resuelto de un plumazo! Pero quizá lo más innovador del

resultado son las técnicas empleadas. Hilbert utiliza la estructura (conocida) de álgebra

sobre los reales de los invariantes para sumergir el problema en un marco abstracto y

reducirlo a una serie de resultados generales que, de por sí, marcaron nuevas direcciones

de trabajo en áreas como la geometría algebraica, la teoría de números o el álgebra

conmutativa. Por ejemplo, utiliza de manera esencial un lema técnico auxiliar para la

prueba de su resultado que iba a tener importantes consecuencias, a saber: Todo ideal

del anillo de polinomios en n indeterminadas, es finitamente generado (Teorema de la

base de Hilbert). Por cierto, la noción de ideal había sido utilizada sobre todo en el mar-

co de la teoría de números, refiriéndose a ciertos ideales (en sentido moderno) de núme-

ros algebraicos. Es Hilbert quien utiliza sistemáticamente esta noción en toda su genera-

lidad.

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La prueba de Hilbert no es constructiva, lo que hizo que muchos especialistas en

el tema la recibieran con reparos. Cuando envió su trabajo completo a Mathematische

Annalen, Klein, su editor jefe pidió a Gordan que hiciera de recensor. Su informe fue

realmente muy crítico, llegando a decir la famosa frase “¡esto no es matemáticas; es

teología!” Hilbert se negó a realizar ningún cambio en su trabajo, que había sido ya

contrastado con muchos otros expertos en teoría de invariantes. Tras una reunión con

Gordan para limar asperezas, Klein decidió dar luz verde a la publicación de Hilbert,

que apareció en 1890 y le convirtió rápidamente en uno de los matemáticos más impor-

tantes del momento.

De todas formas, para acallar las críticas, Hilbert retomó el tema y logró demos-

trar su resultado reduciéndolo al cálculo de ciertas cuestiones de teoría de anillos que

habían sido estudiadas anteriormente por Kronecker y de la que conocían soluciones

constructivas. A lo largo del trabajo, Hilbert introduce una serie de ideas y técnicas que

iban a revolucionar la geometría algebraica. En particular, prueba su famoso Nullste-

llensatz o Teorema de los ceros de Hilbert, básico en el desarrollo posterior de esta dis-

ciplina. El trabajo apareció en la revista de Klein en 1893 y significó la consagración

definitiva de Hilbert. Conseguido su objetivo, Hilbert escribió en 1892 a su amigo Min-

kowski que pensaba abandonar definitivamente el estudio de la teoría de invariantes y

dedicarse por completo a su nuevo campo de interés: la Teoría de Números. Y así lo

hizo.

Profesor y hombre casado.

En 1892 Hurwitz aceptó un puesto en el Instituto Tecnológico de Zurich y la fa-

cultad, a la vista de los logros obtenidos por Hilbert, le propuso como Profesor Extraor-

dinarius en agosto del mismo año. Con 30 años,

Hilbert había establecido firmemente su carrera pro-

fesional y ya podía pensar en formar una familia.

Era un hombre sociable, al que le gustaba el baile y

las fiestas, y había participado con asiduidad en las

actividades sociales de la ciudad. En ellas había fre-

cuentado la compañía de una prima segunda suya,

Käthe Jerosh de la que se enamoró. Le propuso

matrimonio y se casaron en octubre de 1892. Al año

siguiente, en agosto, nació el que sería único hijo del

matrimonio, Franz (1893-1969).

Al poco tiempo de ocupar Hilbert su nuevo

puesto, Lindemann aceptó una oferta de una cátedra

en Munich y la Universidad ofreció su puesto a Hil-

bert, que de este modo, con 31 años, alcanzó el má-

ximo grado de la carrera docente (bien que en una

Universidad “de provincias”). El matrimonio Hilbert en 1892

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Por otro lado, Hilbert pensó que el puesto de Extraordinarius que dejaba vacante

podía ocuparlo Minkowski, que no se encontraba a gusto en Bonn, y de este modo re-

unirse de nuevo los dos amigos. Las negociaciones fueron difíciles, pero finalmente, en

la primavera de 1894, Minkowski se incorporó a la Universidad de Königsberg. Pero la

reunión de los dos amigos no iba a durar mucho: en diciembre Hilbert recibió una carta

“muy confidencial” de Klein, informándole de que Weber iba a ocupar una cátedra en

Estrasburgo, por lo que su puesto quedaba libre en Gotinga y él estaba dispuesto a apo-

yar la candidatura de Hilbert, si aceptaba. Gotinga, la Universidad de Gauss, Dirichlet y

Riemann, era por entonces una de las capitales de la matemática mundial. No es pues

extraño que, tras alguna reflexión, Hilbert aceptara el ofrecimiento. Tomo posesión de

su cátedra en marzo de 1895 y permanecería en Gotinga el resto de su vida. Y su amigo

Minkowski fue promovido a la cátedra que él dejó vacante.

La Teoría de números.

Como había anunciado a su amigo Minkowski, tras la solución del problema de

Gordan, Hilbert abandonó la teoría de invariantes y se centró en la teoría de números. A

principios de 1893 había obtenido nuevas demostraciones de la trascendencia de e y de

, sorprendentemente simples y directas, y después se había centrado en la teoría de

cuerpos de números, cuyo estudio había comenzado Gauss, quien extendió la teoría de

números más allá de los enteros y los racionales. Gauss consideró problemas de factori-

zación, irreducibilidad, etc. para “números” de la forma 2a b o, en general, del tipo

a b , siendo a, b números enteros o racionales y un número algebraico, es decir,

raíz de un polinomio p(x) = anxn+…+a1x + a0 con coeficientes enteros (si an = 1 se dice

que es un entero algebraico; por ejemplo 3 es un entero algebraico, raíz del poli-

nomio x2-3 =0, mientras que 32

es un número algebraico, pero no es un entero alge-

braico.) Los números algebraicos forman un subcuerpo de y los enteros algebraicos

forman un anillo (es decir, un subconjunto cerrado por las operaciones de suma y pro-

ducto). La teoría de cuerpos de números trata de estudiar propiedades del cuerpo de

números algebraicos y sus subanillos. El estudio del problema de factorización en ele-

mentos irreducibles en un anillo de enteros algebraicos (que no siempre es única) es lo

que llevó a E. Kummer (1810-1893) a introducir la noción de números ideales (real-

mente, ciertos conjuntos de números algebraicos) para los que probó un teorema de

factorización única y así pudo abordar (y resolver) muchos casos del último teorema de

Fermat. Más tarde, R. Dedekind (1831-1916) introdujo la noción actual de ideal de un

anillo y obtuvo importantes resultados estructurales. En particular, probó un análogo

para ideales del teorema de factorización única de un entero en producto de primos (que

ya dijimos no es en general cierto para anillos de enteros algebraicos): Todo ideal no

nulo de un anillo A de enteros de un cuerpo de números se puede descomponer de for-

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ma única (salvo el orden) como producto de ideales primos de A7. Hilbert encontró una

nueva demostración de este importante resultado, que expuso en la reunión anual de la

Sociedad Matemática Alemana celebrada en Munich en septiembre de 1893. Probable-

mente estos hechos motivaron que la Sociedad encargara a Hilbert, juntamente con

Minkowski, también bien conocido por sus trabajos en la teoría geométrica de números,

la redacción de un informe sobre el estado presente de la teoría de números. Poco des-

pués, Minkowski se retiró del proyecto, y este quedó totalmente en manos de Hilbert. El

trabajo le absorbió de tal manera que llegó a preocupar a sus amigos. Afortunadamente,

su esposa Käthe le ayudaba a pasar a limpio sus notas. Casi un año después de su llega-

da a Gotinga, el trabajo estaba terminado: una monumental obra de más de 350 páginas:

Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (Teoría de cuerpos de números algebraicos),

conocido generalmente por el Zahlbericht, en la que no sólo consiguió poner orden en

la enorme masa de resultados dispersos existentes, sino que aplicó muchas de las técni-

cas abstractas que había desarrollado en sus estudios sobre los invariantes y así abrió

nuevas direcciones en la teoría algebraica de números que iban a marcar gran parte de

las investigaciones en el tema hasta bien entrado el siglo XX. La obra apareció publica-

da en 1897 y en palabras de H. Weyl:

Su informe es una joya de la literatura matemática. Incluso hoy (1944), casi

50 años después, su estudio es indispensable para quien quiera profundizar

en la teoría algebraica de números. Introduciendo investigaciones origina-

les, Hilbert consiguió convertir la teoría en un cuerpo unificado. Las de-

mostraciones de los teoremas conocidos fueron cuidadosamente elegidas de

modo que los principios subyacentes pudieran generalizarse y utilizar en

investigaciones posteriores… [We; pág. 626]

El mismo Hilbert se dedicó en los dos años siguientes a explotar muchas de las

ideas planteadas en la Memoria, y gran parte de los trabajos en el área durante los si-

guientes 50 años tuvieron como objeto probar resultados que había anticipado Hilbert.

Los Fundamentos de la Geometría.

Tras el agotador trabajo que supuso la elaboración del

Zahlbericht, en el curso 1898-99 Hilbert sorprendió a sus

alumnos ofreciendo un curso sobre los elementos de la geo-

metría. Parecía que Hilbert había dado uno de sus habituales

cambios de rumbo en sus investigaciones. Pero, como en los

casos anteriores, se trata también de una consecuencia lógica

de la propia evolución interna de Hilbert: Una profundiza-

ción en la visión abstracta y estructural de la matemática. La

versión escrita Grundlagen der Geometrie (“Los fundamen-

tos de la Geometría”) apareció en 1899 e inmediatamente se

7 Recuérdese que un ideal I de un anillo A es primo si dados x, y A, la relación xy I implica x I o y I.

Page 13: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 13 -

convirtió en un bet seller, rápidamente traducido al francés, inglés y otros idiomas.

Alrededor del 300 antes de C. Euclides había recopilado los conocimientos geo-

métricos de su tiempo en un tratado conocido como Los Elementos, que se convirtió en

uno de los libros más conocidos de todas las épocas. En él, a partir de una pocas aseve-

raciones evidentes (23 definiciones casi intuitivas, 5 postulados o axiomas y 5 nociones

comunes a afirmaciones generales del tipo “el todo es mayor que la parte”, etc.) y, utili-

zando exclusivamente las leyes de la lógica deductiva (algunas recogidas en las nocio-

nes comunes, aunque la mayoría están implícitas en Los Elementos) se obtienen hasta

465 Proposiciones que recopilan todo el conocimiento geométrico de la época. Durante

mucho tiempo, Los Elementos se consideraron el paradigma del rigor en matemáticas.

Sin embargo, poco a poco se empezaron a notar algunos defectos en el majestuoso edi-

ficio: los axiomas de Euclides no eran suficientes para deducir todos los teoremas in-

cluidos. Por ejemplo, en la Proposición I.1 (¡la primera del libro!), se prueba que sobre

cualquier segmento AB se puede construir

un triángulo equilátero. Para ello, se trazan

circunferencias de centros en A y en B, de

radio la longitud del segmento (lo que está

permitido por los axiomas), y el punto de

corte C es el otro vértice del triángulo bus-

cado (véase la figura). Pero ¿por qué las dos

circunferencias se cortan? Nada en las defi-

niciones, los postulados olas nociones co-

munes permite asegurarlo.

A lo largo del siglo XIX, en gran parte

motivado por el descubrimiento de las geometrías no euclídeas, se renueva el interés por

los axiomas de la geometría y aparecen distintas propuestas para fundamentar la geome-

tría: Así por ejemplo, Sophus Lie (1842-1899) propone una axiomatización basada en

el uso de grupos de transformaciones (siguiendo el Programa de Erlangen de Klein);

M. Pasch (1843-1930) propone un conjunto de axiomas para la geometría proyectiva

basados en la intuición empírica (así una recta indefinida, no es un objeto que se pueda

percibir, luego sólo se podrá introducir la noción de segmento finito, etc.), pero una vez

introducidos los axiomas, los resultados sólo pueden deducirse a través de un promeso

puramente lógico-deductivo, sin apelar a la intuición. La versión de G. Peano (1858-

1932) es completamente abstracta, una especie de traducción del trabajo de Pasch al

lenguaje de lógica simbólica que él mismo había inventado, etc.

Lo que Hilbert propuso fue un sistema simple y completo de axiomas para probar

todos los teoremas de la geometría euclídea. Pero, mientras los axiomas que plantea

Euclides los basa en la evidencia e intuición física, Hilbert adopta una postura bien dis-

tinta. Comenzó su curso explicando a la audiencia que las definiciones de Euclides de

punto, recta y plano no tenían en realidad relevancia matemática. Lo importante es la

conexión que entre estos objetos establecen los axiomas. Como dijo alguna vez “en lu-

gar de hablar de puntos, rectas y planos, los objetos para los que se postula la validez

Page 14: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 14 -

de los axiomas podrían llamarse mesas, sillas y jarras de cerveza”. Por supuesto que en

su curso Hilbert opta por el lenguaje tradicional de Euclides. Pero se renuncia a tratar de

definir las nociones primitivas: los axiomas constituyen una especie de definición camu-

flada (“définition déguisée” en palabras de Poincaré) o determinación implícita de esas

nociones8. Sin embargo, el sistema de axiomas no determina de manera única los obje-

tos considerados. Cada conjunto concreto de objetos matemáticos que verifique los

axiomas constituye un modelo de la Geometría.

Los 20 axiomas que propone Hilbert están divididos en cinco grupos, según el ti-

po de propiedades que rigen: 8 de Incidencia, 4 de Orden, 5 de Congruencia, 2 de Con-

tinuidad y el Axioma de las Paralelas. Y tras exponer las distintas consecuencias de

cada grupo de axiomas, Hilbert emprende una tarea totalmente original: el estudio de los

problemas de independencia de los axiomas y su consistencia o ausencia de contradic-

ción. Para ello utiliza sistemáticamente el método de construcción de modelos. Probar la

independencia del axioma X respecto al sistema de axiomas significa que el sistema

obtenido añadiendo a la negación del axioma X, es consistente. Para ello, se cons-

truye un modelo (en una teoría más simple y segura) que verifica el sistema de axio-

mas y la negación del axioma X. Así, la existencia de una contradicción en implicaría

una contradicción en las proposiciones obtenidas dentro del modelo construido, y por

tanto en la teoría con la que se ha construido el modelo9. De esta forma, Hilbert prueba

la independencia de su sistema de axiomas y su consistencia (relativa), construyendo

diversos modelos formados por números algebraicos o números reales, utilizando sus

amplios conocimientos en esos campos.

Las ideas contenidas en el Grundlagen van a influir de manera decisiva en el de-

venir de la matemática moderna. Citando una vez más a Weyl:

Las ideas generales (sobre consistencia e independencia) nos parecen hoy

casi triviales, tanta ha sido su influencia en nuestro pensamiento matemáti-

co. Hilbert las estableció en un lenguaje claro e inconfundible y las incluyó

en un trabajo que es como un cristal: un todo irrompible con muchas face-

tas. Sus cualidades artísticas han contribuido indudablemente a su éxito

como una obra maestra de la ciencia.” [We; pág. 636]

El Congreso Internacional de Matemáticos.

8 Dice Hilbert al comienzo del Grundlagen: “Consideramos tres sistemas diferentes de objetos, que lla-maremos puntos, rectas y planos. Entre ellos imaginamos ciertas relaciones, que expresaremos por tér-minos como “estar sobre”, “estar entre” o “ser congruente con”. La descripción exacta y las propiedades de estas relaciones vienen dadas por los axiomas.” 9 Un importante precedente de este método es el famoso modelo de Klein (descubierto en 1870, cuan-do sólo tenía 21 años) de la geometría hiperbólica, formado por los puntos interiores a una elipse en el plano euclídeo dotado de una métrica adecuada. Las “rectas” son las geodésicas de ese conjunto, que coinciden precisamente con las porciones de rectas euclideas que intersecan el modelo. Este conjunto verifica los axiomas de la geometría hiperbólica, y prueba, por tanto, que si la geometría euclídea es consistente, también lo es la hiperbólica.

Page 15: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 15 -

En 1900 Hilbert se encontraba en la plenitud de su carrera profesional y personal.

Tras unos comienzos poco satisfactorios en Gotinga (tanto él como su esposa encontra-

ron la atmósfera social en Gotinga muy rígida y fría), poco a poco los Hilbert se fueron

encontrando más a gusto, al conocer nuevos amigos y, sobre todo, establecer relaciones

cordiales y de camaradería con los estudiantes más brillantes y los miembros más jóve-

nes del staff.

Además, el matrimonio decidió construir una casa en Wilhelm Weber Strasse, lu-

gar de residencia de la mayoría de los Profesores, que ya estaba concluida 1n 1897 y

que pronto se convirtió en lugar de reuniones con amigos y camaradas de estudio.

Además, era ya un matemático consagrado, conocido internacionalmente por sus

muchas e importantes contribuciones. No es pues de extrañar que recibiera una invita-

ción para dar una Conferencia Plenaria en el segundo Congreso Internacional de Mate-

máticos que se iba a celebrar en París en el verano de 1900. Como en tantas otras oca-

siones, recabó la opinión de su querido amigo Minkowski (a la sazón en Zurich, pero

con grandes deseos de volver a Alemania) sobre cuál sería el tema apropiado de su Con-

ferencia. El en Congreso anterior, celebrado en Zurich en 1897, Poincaré había dado un

discurso sobre la relación entre el Análisis y la Física. Hilbert siempre había querido

replicar a Poincaré, haciendo una defensa del valor de la matemática en sí misma y pen-

só que una posibilidad, aprovechando además la rotundidad de la fecha, sería discutir la

dirección que iba a seguir el desarrollo de las matemáticas en el nuevo siglo enumeran-

do una serie de problemas relevantes a los que los matemáticos venideros deberían de-

dicar sus esfuerzos.

Minkowski opinó que lo mejor sería una Con-

ferencia de tipo técnico, ya que la audiencia iba a

estar formada por especialistas. No obstante, tam-

poco le pareció mal la idea de intentar prever la

evolución de las matemáticas, aunque le previno

sobre las dificultades de las profecías. Hilbert no

respondió y Minkowski volvió a escribirle, sin ob-

tener de nuevo respuesta, hasta que a mediados de

julio recibió el manuscrito de la conferencia de Hil-

bert cuyo título era simplemente “Problemas ma-

temáticos”.

La Memoria (véase [H2]) comienza con una expo-

sición de la forma de entender las matemáticas que tenía Hilbert, reafirmando su con-

vicción de que todo problema en matemáticas admite una respuesta precisa, bien sea

dando una solución concreta a la cuestión planteada, o bien dando una prueba de la im-

posibilidad de tal solución. Tras enumerar alguno de los problemas que han tenido gran

importancia en el desarrollo de las matemáticas, pasa a enunciar una serie de 23 pro-

blemas que, en su opinión, debieran centrar la atención de los matemáticos del siglo

XX. Él mismo advierte que los problemas son de muy distinta naturaleza, señalando que

D. Hilbert alrededor de 1900

Page 16: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 16 -

los 6 primeros son problemas generales que afectan al fundamento de las matemáticas,

mientras que los siguientes son más concretos o especializados.

A la exposición oral de la Conferencia, celebrada en la mañana del miércoles 8 de

agosto, asistieron unos 250 matemáticos y, por falta de tiempo, Hilbert presentó sólo 10

de su lista de 23 problemas. En los próximos días, quedó claro que Hilbert había capta-

do la atención del mundo matemático con su lista de problemas. Y desde entonces esta

lista ha señalado gran parte de la investigación matemática posterior. Remitimos al lec-

tor interesado a [Br].

El nuevo siglo: Contribuciones al Análisis.

Aunque Hilbert siguió interesado en problemas sobre fundamentos de la Geome-

tría, otros temas empezaban a llamar su atención. En particular, Hilbert dirige su aten-

ción hacia el Análisis. Probablemente se trata de una evolución natural, tratando de ex-

tender al Análisis el método axiomático que tan buenos resultados había dado en Geo-

metría, y convertir así el análisis en una disciplina perfectamente rigurosa, como quería

Weierstrass. Pero para ello es necesario establecer los axiomas suplementarios precisos

para esta fundamentación, y eso lleva a analizar los principios esenciales presentes en la

resolución de los problemas del análisis. De esta forma, Hilbert se interesa por los gran-

des problemas del análisis de finales del siglo XIX. Y uno de ellos, que había resistido

todos los esfuerzos previos, es el llamado “Principio de Dirichlet”. Se trata de un mé-

todo, anticipado en 1833 por G. Green (1793-1841) para resolver un importante pro-

blema matemático que aparece constantemente al modelizar muchos fenómenos de la

Física (transmisión del calor, vibración de una membrana, cálculo de potenciales eléc-

tricos o gravitatorios, etc.) o de la Geometría. Matemáticamente, la cuestión (por ejem-

plo en el plano) es obtener una función de dos variables en un conjunto abierto U del

plano que verifique la ecuación 2 2

2 2: 0

u uu

x y

y tome en el borde U de U un

valor prefijado, digamos f. La solución propuesta por Green y, posteriormente por W.

Thompson (Lord Kelvin) (1824-1907) y J. L. Dirichlet (1805-1859)10 en sus leccio-

nes sobre teoría del potencial, consistía en encontrar, entre todas las funciones v regula-

res en U y que toman el valor f en la frontera U , aquella que hacía mínimo el valor de

la integral

2 2

( ) :U

v vD v

x x

Es fácil probar que si existe una de tales funciones en la que se alcance el mínimo, esa

función es solución del problema. Por consideraciones físicas, se solía admitir como

evidente la existencia de este mínimo. Pero pronto surgieron críticas y objeciones a esta

asunción. De hecho, pronto aparecieron contraejemplos que mostraban que no siempre

10 Se debe a B. Riemann (1826-1866), que fue discípulo de Dirichlet y utilizó ampliamente este método en sus trabajos sobre variable compleja, el nombre de Principio de Dirichlet con el que se conoce.

Page 17: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 17 -

se alcanzaba el mínimo o, lo que es peor, que el conjunto de funciones v entre las que

había que encontrar el mínimo era vacío. Pues bien, así las cosas, en la reunión de la

Sociedad Alemana de Matemáticas de septiembre de 1899 Hilbert presentó un breve

trabajo (de apenas 5 páginas) en el que probó que, bajo ciertas restricciones sobre la

naturaleza de las cuervas de la frontera U , el principio de Dirichlet era válido, desper-

tando la admiración (una vez más) de los asistentes. Como siempre, sus técnicas eran

tremendamente novedosas y originales y tuvieron importantes aplicaciones posteriores

en la solución de problemas de contorno de ecuaciones en derivadas parciales.

Por otro lado, a lo largo del siglo XIX habían surgido una serie de problemas cuya

solución implicaba resolver una ecuación del tipo

( ) ( , ) ( ) ( ) o simplemente ( , ) ( ) ( ) b b

a af x K x y f y dy g x K x y f y dy g x

(que reciben el nombre de ecuación integral de 2ª especie o de 1ª especie). En general,

se habían encontrado algunas soluciones concretas, pero se suponía que la teoría era

muy difícil, mucho más complicada que la de ecuaciones diferenciales. Por eso la co-

munidad matemática se mostró sorprendida cuando en 1900 apareció una nota, Sur une

nouvelle méthode pour la resolution du problème de Dirichlet, en la que un matemático

sueco hasta entonces desconocido, I. Fredhom (1866-1927) desarrolló un método com-

pleto para la solución delas ecuaciones de 2ª especie. La nota fue completada dos años

más tarde por un artículo publicado en Acta Mathematica que contenía los detalles

esenciales de lo que hoy se conoce como alternativa de Fredholm. En ambos trabajos se

establece un método de resolución y se demuestra que funciona, pero no se explicita el

porqué del método. En una entrevista en 1909, Fredholm declaró que su método estaba

inspirado en una discretización del problema, sustituyéndolo por un sistema de ecuacio-

nes lineales, cuya solución podía expresarse en una forma adecuada que permitiera pre-

ver el resultado obtenido por un paso al límite formal.

Pues bien, en 1901 el matemático sueco E. Holmgren (1872-1943) visita Gotinga

y expone los resultados de Fredholm en el Seminario de Hilbert. Inmediatamente éste se

interesó por el tema, que ocupó su atención preferente hasta 1912. Entre 1904 y 1912

publicó seis artículos sobre ecuaciones integrales en el Göttingen Nachrichten, que pos-

teriormente fueron reunidos en forma de libro publicado en 1912. En él aparecen tam-

bién numerosas aplicaciones a la Física Matemática. Como siempre, Hilbert introduce

también aquí nuevos métodos y técnicas que iban a ser determinantes para el desarrollo

de nuevas áreas de las matemáticas. En particular, el cuarto artículo ha sido considerado

por muchos como el artículo fundador del Análisis Funcional: con una perspectiva ac-

tual, en él se prefigura claramente la teoría de los Espacios de Hilbert en su versión ca-

nónica del espacio 2 y la teoría espectral de distintas clases de operadores (completa-

mente continuos, nucleares, de Hilbert-Schmidt, etc.) en su versión de formas cuadráti-

cas. Hilbert explota fuertemente las analogías algebraicas y geométricas de 2 con el

espacio euclídeo n-dimensional abriendo el camino a lo que, en palabras de F. Riesz

(1880-1956) sería la teoría de funciones de infinitas variables. Además, aunque todavía

no lo sabía Hilbert, se estaba creando la herramienta esencial para la formalización ma-

Page 18: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 18 -

temática de la naciente Mecánica Cuántica, que iba a culminar con los trabajos de J.

von Neumann (1903-1957), también bajo la dirección de Hilbert, en 192911.

La vida sigue.

La fama de Hilbert atraía a estudiantes y matemáticos de todo el mundo a Gotin-

ga. Muchas Academias extranjeras le nombraron miembro correspondientea Hilbert,

quien incluso fue distinguido con el título de Geheimrat por el gobierno alemán (más o

menos equivalente al de caballero en Inglaterra). Hilbert aceptó su éxito con naturalidad

y sin falsa modestia, y continuó siendo una persona cordial y accesible para sus alum-

nos. Por otro lado, sus relaciones con Klein eran correctas, pero no especialmente cor-

diales. Klein, al contrario que Hilbert, gustaba siempre de marcar las diferencias con los

estudiantes y otros profesores (exigía, por ejemplo, que siempre se le dirigiera por el

título de Geheimrat). Por eso, cuando poco antes de su 40 cumpleaños Hilbert recibió

una oferta para ocupar la cátedra en Berlín vacante tras el fallecimiento de Fuchs, mu-

chos de sus colaboradores y estudiantes avanzados se mostraron consternados: Era natu-

ral que el más grande matemático alemán del momento ocupara una cátedra en la capital

de la nación, ¡pero ellos habían ido a Gotinga precisamente porque allí estaba Hilbert!

Se organizó un comité para pedir a Hilbert que se quedara en Gotinga. La Sra. Hilbert

les recibió y les sirvió ponche en el jardín y Hilbert les escuchó atentamente, pero no

hizo ningún comentario. Los visitantes se marcharon descorazonados. No sabían que

Hilbert estaba tratando de resolver otro problema: él quería quedarse en Gotinga (prefe-

ría una pequeña ciudad que el ajetreo de la capital), pero también quería tener cerca un

colega al que apreciara como un igual y pudiera compartir muchas de sus inquietudes

11 Remitimos al lector interesado a [B1].

Page 19: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 19 -

científicass. Así que entabló una dura negociación y finalmente consiguió que, a cambio

de permanecer en Gotinga, se creara una nueva cátedra para Minkowski.

Así, en 1902, los dos amigos se reunieron en Gotinga, y esta vez de manera defi-

nitiva. Fue una época feliz para ambos y estimulante para los visitantes. Como dice

Reid en su biografía, “para Weyl, Born y otros estudiantes, Hilbert y Minkowski eran

héroes, realizando grandes tareas, mientras que Klein, gobernando por encima de las

nubes, era un dios distante.” [R1; pág. 95].

En 1908 Hilbert tenía 46 años y siempre había gozado de muy buena salud. Pero,

de repente, en verano sufrió una crisis de agotamiento nervioso y depresión. Afortuna-

damente, tras unos meses de reposo, volvió con más fuerza a sus tareas de investiga-

ción. Y para ello retomó uno de sus dominios favoritos: la teoría de números. Y como

siempre, eligió abordar uno de los problemas abiertos más difíciles de la teoría: el lla-

mado Problema de Waring. En 1770 el matemático británico E. Waring (1736-1798)

había incluido en su obra Meditationes algebraicae la afirmación de que todo número

entero puede representarse como suma de 4 cuadrados, nueve cubos, diecinueve poten-

cias cuartas y así sucesivamente. Es decir, se afirmaba (por supuesto, sin demostración)

que dada una potencia n, todo número entero k0 se podía escribir como una suma de a

lo más h(n) (número que solo dependía de n) potencias n-ésimas. Lagrange había pro-

bado el mismo año 1770 que todo entero es suma de cuatro cuadrados (es decir, h(2) =

4), pero pocos avances más se habían obtenido en la solución del problema. De hecho,

tras probar J. Liouville (1809-1892) que h(4) 53, sólo se habían encontrado cotas de

h(n) para n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 10 por diversos autores. La contribución de Hilbert fue

probar que, efectivamente, h(n) es siempre finito, dando un método para encontrar una

cota superior del mismo para cada n. G. H. Hardy (1877-1947), uno de los mayores

especialistas mundiales en el campo, calificó el resultado de Hilbert como “uno de los

hitos en la teoría moderna de números.

Hilbert mismo estaba muy orgulloso de su resultado, y anhelaba encontrarse con

Minkowski (que se había marchado durante las vacaciones de Navidad) para contárselo.

Al día siguiente a su regreso, el jueves 7 de enero, ambos amigos se encontraron e hicie-

ron juntos una pequeña excursión. Pero el domingo por la tarde, Minkowski se sintió

repentinamente enfermo, con un fuerte ataque de apendicitis que, desgraciadamente,

derivó en una peritonitis fatal. Murió el 12 de enero, a los 45 años.

Obviamente, Hilbert sufrió un duro golpe por la pérdida de su amigo y tardó en

recuperarse. Uno de sus estudiantes recuerda: “Yo estaba en clase cuando Hilbert nos

comunicó la muerte de Minkowski, y Hilbert lloró. Casi nos produjo este hecho más

impresión que la propia noticia de la muerte de Minkowski.” ([R1; pág. 115]). Cuando

apareció el trabajo sobre el problema de Waring, estaba dedicado “A la memoria de

Hermann Minkowski.”

Hilbert y la Física.

Durante toda su carrera académica, Hilbert había dado numerosos cursos sobre fí-

sica. Pero es sobre todo tras la incorporación de Minkowski a Gotinga cuando su interés

por estos temas comienza a aumentar. A partir de 1905 organizan ambos un Seminario

sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento (curiosamente, el mismo año de

la publicación del artículo seminal de Einstein en el que se formula la teoría especial de

Page 20: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 20 -

la Relatividad). Por entonces, Minkowski se había claramente decantado por la investi-

gación en física matemática y, en particular, en los aspectos matemáticos de la Relativi-

dad cuyo creador, A. Einstein (1879-1955) había sido alumno suyo en Zurich. Min-

kowski pensaba que la presentación matemática de Einstein era incómoda y poco clara

y se dedicó a mejorarla. Fue en su segundo trabajo sobre el tema, titulado “Espacio y

Tiempo” (1908) en el que desarrolló el formalismo geométrico tetradimensional que se

convertiría en la formulación estándar de la teoría. El espaldarazo llegó del propio Eins-

tein, quien reconoció que el enfoque geométrico de Minkowski había sido decisivo

también para la formulación de la teoría general de la relatividad.

Por otro lado, en sus investigaciones sobre ecuaciones integrales Hilbert había en-

contrado muchas aplicaciones a la Física, consiguiendo unificar y clarificar muchas teo-

rías bajo un punto de vista común.

Pero es a partir de 1912 cuando, en uno de sus habituales cambios, Hilbert centra

toda su atención en la física matemática. En el curso 1911-12 Hilbert da un curso sobre

teoría cinética de los gases en el que da una presentación axiomática de la teoría, utili-

zando sus resultados en ecuaciones integrales para obtener nuevas soluciones de la

ecuación de Boltzmann. Con técnicas similares, abordó el problema de la teoría de la

radiación y, al mismo tiempo, organizó un Seminario interdisciplinar y decidió contar

entre sus ayudantes con algunos dedicados a mantenerle actualizado en las últimas no-

vedades en física. Entre estos asistentes figuran nombres relevantes, como P. Ewald

(1888-1985), P. Bernays (1888-1977), L. Nordheim (1899-1985) o E. Wigner (1902-

1995).

Recordemos que el problema número seis de su famosa lista de París planteaba la

cuestión de la axiomatización de las teorías físicas. Vemos, pues, que este interés de

Hilbert por la física es absolutamente coherente con su trayectoria científica.

Durante los años 1915-16 Hilbert se centra

en la teoría de la Relatividad

En julio de 1915. Einstein realiza una visita

a Gotinga, invitado por Hilbert. En los meses que

siguieron ambos científicos en enzarzaron en un

intenso intercambio de ideas. En una carta a

Sommerfeld, Einstein hablaría de estos meses co-

mo el período más agotador y estimulante de toda

su vida. Y, como consecuencia, Hilbert presentaría

dos trabajos a la Academia de Ciencias de Gotin-

ga, con el título de Die Grundlagen der Physik (I y

II) (“Los Fundamentos de la Física, I y II) y Eins-

tein 4 notas a la Academia de Ciencias de Berlín

en las que, entre otras cosas, aparecen formulacio-

nes similares de las ecuaciones del campo gravita-

torio. Aunque alguna vez se ha planteado un pro-

blema de prioridad, Hilbert siempre reconoció que

las ideas fundamentales de la teoría se debían a

Einstein.

Mientras que para Einstein encontrar unas

ecuaciones de campo correctas (invariantes respecto a todos los cambios de referencia)

Page 21: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 21 -

y que explicaran fenómenos tales como el perihelio de Mercurio, para Hilbert se trataba

de un capítulo más de su ambicioso proyecto de unificación y axiomatización de la Físi-

ca. Como señala Rañada:

“En el fondo, Hilbert quiso hacer con la gravitación y el electro magnetis-

mo lo que había hecho con la geometría: establecer con claridad los fun-

damentos y deducir resultados de un conjunto reducido de puntos funda-

mentales claramente establecidos. De hecho, Hilbert basa su teoría en sólo

dos axiomas…” [Ra; pág 659].

En la década de los 1920, Hilbert da otro (aparente) cambio de rumbo en su acti-

vidad investigadora y se dedica esencialmente a los Fundamentos de la Matemática. No

obstante, sigue interesado puntualmente por problemas de física matemática. En 1924

aparece Methoden der matematischen Physik cuyo autor, R. Courant (1888-1972), que

había sido alumno de Hilbert, incluye el nombre de éste como co-autor. Courant justifi-

ca este hecho porque el libro recoge gran parte de conferencias y artículos de Hilbert

sobre el tema. El libro se convirtió inmediatamente en el texto de referencia por exce-

lencia en física matemática. En 1925-26, Hilbert volvió a interesarse en la cuestión de

la fundamentación axiomática de la Mecánica Cuántica, proceso que, como ya se ha

dicho, sería culminado por J. von Neumann en 1929.

Uno de los creadores de esta disciplina, W. Heisinberg (1901-1976) escribió:

Indirectamente, Hilbert ejerció una gran influencia en el desarrollo de la

mecánica cuántica en Gotinga […] Fue una especialmente afortunada

coincidencia que los métodos matemáticos de la mecánica cuántica resulta-

ran ser una aplicación directa de la teoría de ecuaciones integrales de Hil-

bert” [R1; pág. 183].

Los años de guerra.

En agosto de 1914 gran parte de Europa estaba en guerra. El ambiente bélico fa-

vorecía los sentimientos y actitudes nacionalistas. Frente a las acusaciones de “barba-

rismo y atrocidades de los Hunos” por parte del enemigo, la sociedad cultural alemana

respondió con un Manifiesto por un mundo civilizado (octubre 1914), firmado por 93

importantes intelectuales y científicos, defendiendo las razones de Alemania para decla-

rar la guerra. La reputación internacional de Klein y Hilbert eran tales que, aunque los

matemáticos no suelen ser muy conocidos fuera de su profesión, a ambos se les pidió su

firma. Klein, que era un nacionalista convencido, no tuvo ningún inconveniente. Pero

Hilbert, a quien las razones aducidas no le convencían y, además, pensaba que la guerra

era estúpida, rehusó firmar. Otro de las firmas claramente ausentes del documento era la

de Albert Einstein, a la sazón Profesor en Berlín.

Al menos Einstein podía argüir que era un ciudadano suizo, pero Hilbert no tenía

ese pretexto, por lo que muchos de sus alumnos y colegas se apartaron de él como si

fuera un traidor. Por cierto, Klein fue expulsado de la Academia de París, mientras que

Hilbert continuó siendo miembro.

Pero poco a poco las cosas fueron volviendo a su sitio. Muchos de los estudiantes

y profesores más jóvenes se incorporaron a filas (Courant y Weyl entre otros). Hilbert,

todavía absorbido por la física, tenía pocos estudiantes.

Page 22: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 22 -

Poco después de la batalla de Verdun llegó a

Gotinga una joven matemática, Emmy Noether

(1882-1935), hija y hermana de matemáticos, que im-

presionó muy favorablemente a Hilbert. Tenía un

enorme conocimiento en muchos temas que tanto Klein

como Hilbert necesitaban por su trabajo en teoría de

relatividad, y ambos deseaban que se incorporara a la

Universidad. Pero no era tarea fácil en una Universidad

alemana conseguir que se otorgara la Habilitation a una

mujer. Tras una agria discusión en el Senado de la

Universidad, se recuerda que Hilbert dijo: “Pero, seño-

res míos, no veo que el sexo del candidato sea un ar-

gumento en contra de su admisión. Al fin y al cabo, el

Senado no es una casas de baños!” Hilbert no consi-

guió su propósito, pero mantuvo a Emmy Noether en

Gotinga, y permitió que diera sus conferencias, anunciándolas bajo el nombre de Hil-

bert. A Emmy Noether se la considera como uno de los fundadores del Álgebra moder-

na. Permaneció en Gotinga (ya como profesora) hasta 1933, donde tuvo que emigrar a

U.S.A. por su condición de judía.

El bloqueo de los puertos alemanes por parte de la flota británica provocó una

gran escasez en toda Alemania. Pero con la indispensable ayuda de su esposa Käthe,

Hilbert consiguió mantener unos estándares de confort suficientes,

En la primavera de 1917 los Estados Unidos entraron en guerra, lo que iba a signi-

ficar el principio del fin para Alemania. El mismo año llegó la noticia de la muerte del

matemático francés G. Darboux (1842-1917), a quien Hilbert admiraba. Inmediatamen-

te, preparó una necrológica en su honor. Cuando apareció publicada en el Nachrichten,

una enardecida masa de estudiantes se reunió frente a la casa de Hilbert, pidiendo que la

necrológica sobre el “matemático enemigo” fuera retirada inmediatamente por su autor

y se destruyeran todas sus copias. Hilbert se dirigió al Rector y le amenazó con dimitir

si no recibía unas disculpas oficiales por el comportamiento de los estudiantes. Por su-

puesto, la necrológica de Darboux fue publicada.

El fracaso de la gran ofensiva de primavera de 1918 fue el comienzo del fin de la

guerra para Alemania. El 9 de noviembre de 1918, el Káiser cruzó la frontera danesa

hacia el exilio y el nuevo canciller pidió las condiciones para un armisticio.

Los Fundamentos de las Matemáticas: el Programa de Hilbert.

En su reseña sobre la obra matemática de Hilbert, uno de sus mejores discípulos,

Hermann Weyl, ([We], distingue 5 periodos en la actividad creadora de Hilbert:

i) Teoría de Invariantes (1885-1893).

ii) Teoría de cuerpos algebraicos de números (1893-1898).

iii) Fundamentos a) de la geometría (1898-1902), (b) de las matemáticas en

general (1922-1930).

iv) Ecuaciones Integrales (1902-1912).

v) Física (1910-1922).

Emmy Noether (1882-1935)

Page 23: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 23 -

De hecho hemos visto en nuestra exposición que, con algunas pequeñas excepcio-

nes (“Principio de Dirichlet”y “Problema de Waring” esencialmente), esta división es

bastante precisa. Sin embargo creo que esta clasificación no hace suficiente hincapié en

el hecho (que hemos tratado de poner de manifiesto en las páginas anteriores) de que el

apartado (iii) es realmente el hilo conductor y está presente en toda la obra de Hilbert: la

búsqueda del rigor y de principios generales de razonamiento, el descubrimiento de los

axiomas mínimos de los que se deducen los resultados de una teoría, la utilización, en

fin, del método axiomático en sentido moderno, permea toda su ingente tarea investiga-

dora.

Ya vimos que en su trabajo sobre los fundamentos de la geometría, Hilbert consi-

dera la consistencia o ausencia de contradicción de un sistema de axiomas como una

verdadera prueba de existencia de los objetos descritos. Para Hilbert un axioma es ver-

dadero no porque traduce un hecho basado en la experiencia, sino en tanto que forma

parte de un sistema consistente. Esa idea se va a repetir a lo largo de toda su obra. Así,

en el texto escrito de la Conferencia de París, comentando el problema número 2

(“compatibilidad de los axiomas de la aritmética”), dice:

“Si se puede probar que los atributos asignados a un concepto nunca pue-

den, por aplicación de un número finito de deducciones lógicas, conducir a

una contradicción, yo digo que se ha demostrado la existencia matemática

del concepto en cuestión.” [H2; pág. 448])

En otro momento, Hilbert hacer referencia al uso que él ha hecho de modelos nu-

méricos para probar la consistencia relativa de la geometría. Pero para demostrar la con-

sistencia de la aritmética no se puede uno remitir a un modelo más sencillo, con lo que

hace falta dar una demostración directa. Y Hilbert se muestra confiado:

“Estoy convencido de que es posible encontrar una demostración directa de

la compatibilidad de los axiomas de la aritmética12, por medio de un cuida-

doso estudio y una modificación adecuada de los métodos de razonamiento

en la teoría de números irracionales.” [H2; pág. 448]

Evidentemente, Hilbert era por entonces demasiado optimista. Se puede especular

que Hilbert pensaba que la consistencia de la aritmética podía obtenerse a partir de la

teoría de conjuntos. En efecto, las construcciones rigurosas de los números reales dadas

por G. Cantor (1845-1918) y R. Dedekind (1831-1916) en sendos artículos aparecidos

en 1872, utilizaban de manera esencia la consideración de conjuntos infinitos de núme-

ros racionales (y no meramente de infinitos potenciales). Los trabajos posteriores de

Cantor crearon una teoría bella y potente que permitía trabajar con los conjuntos infini-

tos. Y quizá es aquí donde Hilbert pensaba que podía construir un modelo consistente

de la aritmética.

El problema de la fundamentación de la aritmética había sido abordado ya ante-

riormente desde otro punto de vista. F. Frege (1848-1925), había tratado de reducir la

aritmética a la lógica, tratando de establecer una exposición deductiva de la aritmética, a

partir de unos axiomas y un desarrollo basado en las leyes de la lógica. Para ello, Frege

comienza un estudio sistemático de las leyes deductivas, que explicita, creando el cálcu-

12 Probablemente Hilbert se refería al sistema de axiomas que había dado Peano para formalizar la defi-nición de número natural que había dado Dedekind en su Memoria Qué son y qué deben ser los núme-ros, aparecida en 1888.

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lo de predicados. Pero para Frege los axiomas no son una definición, ni siquiera camu-

flada de las nociones. Estas designan conceptos que tienen una existencia previa a los

axiomas. Por otra parte, ya que lo que hacen es expresar nociones o leyes adquiridas por

la experiencia o deducidas de la lógica, los axiomas son verdaderos por naturaleza y, si

se siguen correctamente las reglas de inferencia, nunca podrán originar una contradic-

ción. Por ello, para Frege es absolutamente inútil dar una prueba de la consistencia. En

una carta dirigida a Frege , el 29 de diciembre de 1899, Hilbert mantiene exactamente la

postura contraria: Si los axiomas, elegidos arbitrariamente, no se contradicen, entonces

son verdaderos y las nociones que definen existen. Este es para mí el criterio de verdad

y de existencia. (Citado en [Ca; pág. 72].

Desgraciadamente entre 1895 y 1905 aparecen una serie de paradojas en la teoría

de conjuntos. Una de ellas en particular, la llamada Paradoja de Russell, iba a echar por

tierra el monumental sistema lógico creado por Frege. En efecto, Frege admitía que toda

propiedad enunciable en el sistema definía un conjunto (el formado por los elementos

que cumple esa propiedad; esta asunción había sido implícitamente aceptada por Cantor

y todos sus seguidores). Si ahora consideramos la propiedad “no pertenecer a sí mis-

mo”13 el conjunto U que definiría (conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí

mismos) es en sí contradictorio: U U si y sólo si U U14. El segundo volumen de la

monumental obra de Frege Die Grundgesetze der Arithmetik (“las leyes básicas de la

Aritmética”) estaba en prensa cuando éste recibió una carta de Russell en el que le co-

municaba su paradoja. Frege tuvo que modificar su sistema axiomático, pero entonces

muchos de los resultados del Volumen 1 quedaban en entredicho (y, por cierto, el siste-

ma seguía siendo inconsistente, aunque Frege nunca lo supo). El caso es que Frege que-

dó tan afectado que nunca publicó el Volumen 3 e incluso reconoció al final de su vida

que su intento de fundamentar la aritmética en la lógica estaba equivocado.

Este hecho supuso una llamada de atención para Hilbert. No se pueden dar por su-

puestas sin más las reglas de inferencia, como hizo en los Fundamentos de la Geome-

tría. Es preciso explicitar completamente el sistema de axiomas y las reglas de inferen-

cia subyacentes en la demostración matemática y probar además que este sistema com-

pleto es consistente. Por tanto, es necesario aplicar a la lógica el mismo tratamiento que

al resto de las teorías. Este es un primer esbozo de lo que iba a ser conocido como Pro-

grama de Hilbert.

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1904 en Heidelberg, Hilbert

enuncia un esquema de una prueba de la consistencia dela aritmética basada en los su-

puestos anteriores: a partir de un cierto “objeto de pensamiento” designado por | explici-

ta cuidadosamente una lista de signos, relaciones y reglas de inferencias que permiten

obtener nuevos objetos: | |, | | |, etc. y trata de probar que nunca se puede deducir en el

sistema una expresión del tipo | | = | | | (con distinto número de signos | a uno y otro

lado del signo =). Se trata del primer intento para dar una demostración de consistencia

basada en la sintaxis y no en la construcción de modelos más básicos. El trabajo fue

duramente criticado por Poincaré, señalando que en el mismo se utiliza implícitamente

el principio de inducción completa, que no estaba incluido en los axiomas, y si lo in-

13 Existen conjuntos que no tienen esa propiedad, como el de todas las ideas (que es una idea), y conjun-tos que la tienen, como el de todas las sillas de una habitación (que no es una silla) 14 La versión semántica de esta paradoja es la conocida paradoja del barbero: En un pueblo, el barbero afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, y sólo a ellos. La pegunta es ¿quién afeita al barbero?.

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cluía suponía utilizar ese principio para probar la validez del mismo, lo que provoca

ciertamente un círculo vicioso.

Hilbert no respondió a las críticas de Poincaré, bien porque no tuviera clara la so-

lución, bien porque por entonces estaba totalmente absorbido por la teoría de ecuaciones

integrales.

El retorno de Hilbert al estudio de los fundamentos puede cifrarse en 1917, con la

conferencia que impartió en Zurich invitado por la Sociedad Matemática Suiza, titulada

Axiomatisches Denken (“El pensamiento axiomático”. Traducción en [H1; pág. 23-35]),

que terminaba con una rotunda declaración: “Creo firmemente que todo lo que está su-

jeto al pensamiento científico cae bajo el poder del método axiomático y, por tanto, de

la matemática.” Y a continuación esboza un programa para el estudio mismo del proce-

so de demostración en matemáticas.

En gran parte, la vuelta de Hilbert a los temas

de fundamentos estaba motivada por la creciente

aceptación de las teorías de L. E. J. Brouwer

(1881-1966), que incluso abía seducido a uno de sus

más queridos discípulos, H. Weyl. Brouwer tenía

tras sí una importante obra en la matemática tradi-

cional15. Pero ya en su Tesis, presentada en 1907,

había defendido un punto de vista nada tradicional:

para Brouwer la matemática es una actividad inte-

rior de la mente humana, que se trascribe al exterior

por medio del lenguaje de la lógica. Pero el uso au-

tomático y abusivo de las reglas de la lógica formal

puede dar lugar a enunciados desprovistos de senti-

do y a paradojas. El lenguaje (formal o informal) no

está lo suficientemente adaptado para expresar los

experimentos mentales que realmente tienen lugar

en el pensamiento matemático.

La actividad matemática tiene su origen en el paso del tiempo, que al hacer abs-

tracción de la sensación de multiplicidad observada en el mundo exterior, conduce a la

intuición de la sucesión indefinida de los números enteros. Los objetos matemáticos se

engendran por construcciones efectivas en un número finito (aunque arbitrariamente

grande) de etapas, a partir de los enteros.

Brouwer y sus seguidores (la llamada escuela intuicionista) rechaza, por ejemplo,

el principio lógico del tertio excluso, que afirma que, dada una proposición A, o bien A

es verdadera o su negación lo es (excluyendo una tercera posibilidad).

Desde Aristóteles este principio ha sido aceptado (y utilizado) por los matemáti-

cos, y es el fundamento de la demostración por reducción al absurdo: Por ejemplo, si se

supone que todos los enteros verifican una cierta propiedad P y de ahí obtenemos una

15 Sus contribuciones en topología se consideraron las más importantes desde las de Cantor. Su famoso teorema del punto fijo o su prueba de que la dimensión del espacio euclídeo es un invariante topológico son verdaderos hitos en el desarrollo de la topología.

L. E. J. Brouwer (1881-1966)

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contradicción, el principio del tertio excluso permite deducir que existe al menos un

entero que no verifica la propiedad P. Para Brouwer esto no es aceptable, hasta que se

dé una construcción efectiva y finitaria de tal entero. Desde el punto de vista intuicionis-

ta, aceptar el principio del tertio excluso supone poder probar o refutar de forma efecti-

va toda proposición matemática. Por tanto, su rechazo supone también rechazar la tesis

hilbertiana de que todo problema matemático tiene solución. Y esto era demasiado para

Hilbert. Y a partir de 1922 se dedicó intensamente a reparar la tremenda mutilación que,

a su juicio, supondría para las matemáticas la aceptación de las tesis intuicionistas16.

Así,, Hilbert declara :

“Weyl y Brouwer intentan ofrecer una fundamentación de las matemáticas

que echa por la borda todo aquello que les resulta incómodo […] Al seguir

a tales reformadores, nos exponemos a perder una gran parte de nuestros

más valiosos conceptos, resultados y métodos”. (“Neuebegründen der Mat-

hematik” Texto de la conferencia presentada en Hamburgo en 1922. Inclui-

do en [H1; págs.. 37-62]]).

Así que Hilbert se pone a la tarea de remediar esta situación:

“Mis investigaciones acerca de los nuevos fundamentos de las matemáticas

tienen como propósito eliminar de manera definitiva cualquier duda en re-

lación a la confiabilidad de la inferencia matemática […] Una solución

completa de estas dificultades requiere una teoría cuyo objeto de estudio

sea la demostración matemática misma.” (Die logischen Grundlagen der

Mathematik, Math. Annalen (1923), 151-165; traducción incluida en [H1;

págs.. 63-81]).

Porque

“¿En dónde podríamos buscar la certeza y la verdad si el pensamiento ma-

temático mismo falla? […] La tesis de que todo problema en las matemáti-

cas posee una solución es compartida por todos los matemáticos […] ¡En

las matemáticas no hay ignorabimus!” (Über das Unendliche. Math. Anna-

len (1926), 161-190; traducción incluida en [H1; págs.. 83-121]).

Lo que propone Hilbert con su Teoría de la Demostración (Beweistheorie) es

“dar una base firme y segura de las matemáticas […] que se convierten así

en una especie de tribunal de suprema instancia para la evaluación y reso-

lución de cuestiones de principio.” (Obra citada).

Para ello, Hilbert propone la formalización completa del sistema estudiado. Ello

requiere, en primer lugar, explicitar el listado o vocabulario completo de signos que se

va a emplear, junto con las reglas de formación de las expresiones válidas. A continua-

ción, hay que especificar las reglas de transformación para pasar de una fórmula válida

a otra. Finalmente, para comenzar la tarea, se seleccionan algunas expresiones válidas

como axiomas. A partir de aquí, lo que pretende Hilbert es desarrollar una teoría de las

propiedades combinatorias del lenguaje formal que permita hacer afirmaciones sobre

una expresión determinada del sistema. Esta teoría la llamó Hilbert metamatemática.

16 En una Conferencia dictada en 1927 en la Universidad de Hamburgo, Hilbert dijo: expulsar el principio del tertio excluso de las matemáticas es como si se quisiera prohibir al astrónomo utilizar el telescopio o al boxeador emplear sus puños.

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Sus enunciados son pues afirmaciones sobre los signos del sistema formal y su disposi-

ción. La demostración de la consistencia de un sistema formal dado consistiría en pro-

bar, por enunciados metamatemáticos finitistas, que nunca puede obtenerse en el siste-

ma una fórmula y su negación.

Los signos y fórmulas que aparecen en el proceso carecen, en principio de un

significado concreto, tienen un mero valor formal (de ahí el nombre de programa for-

malista). Pero Hilbert sostiene que este juego de símbolos replica pensamientos que

constituyen la práctica habitual de los matemáticos. Por tanto, no puede prescindirse

nunca de las consideraciones obtenidas por la experiencia, esenciales para la elección

razonable de los axiomas.

La larga trayectoria investigadora de Hilbert en tantos y tan diferentes campos de

la matemática muestra claramente que para él los problemas matemáticos tienen conte-

nido y respuestas provistas de significado. Si llegó a propugnar una interpretación for-

malista de las matemáticas fue porque estaba dispuesto a pagar ese precio a cambio de

la certidumbre.

En el excelente artículo La demostración de Gödel, ([NN]) se establece una in-

teresante analogía entre esta idea de Hilbert y el juego del ajedrez, interpretando éste

como un sistema formal (cálculo para los autores):

El ajedrez es un juego de 32 piezas de forma determinada, jugado en un ta-

blero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas; Las piezas pueden mo-

verse de acuerdo con reglas fijas. Es obvio que puede jugarse sin atribuir ningu-

na “interpretación” a las piezas ni a sus distintas posiciones en el damero [...]

Las piezas y las subdivisiones cuadradas del tablero corresponden a los signos

elementales del cálculo; las configuraciones permitidas de las piezas en el table-

ro corresponden a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas

en el tablero corresponden a los axiomas o fórmulas iniciales del cálculo; las

configuraciones subsiguientes corresponden a las fórmulas derivadas a partir de

los axiomas (esto es, a los teoremas); y las reglas del juego corresponden a las

reglas de derivación del cálculo. Además, aunque las configuraciones de las pie-

zas en el tablero, igual que las fórmulas del cálculo, carecen de “significación”,

los enunciados acerca de esas configuraciones, igual que los enunciados meta-

matemáticos acerca de las fórmulas, tienen pleno significado. Un enunciado del

metaajedrez puede afirmar, por ejemplo, que hay 20 posibles jugadas de apertura

para las blancas [...] o que si las blancas no tienen más que dos caballos y el rey,

y las negras sólo el rey, es imposible que las blancas den mate [...] Pueden esta-

blecerse teoremas generales del metaajedrez mediante métodos de razonamiento

finitistas que consisten en el sucesivo examen de un número finito de configura-

ciones... ([NN; p. 67])

Hacia 1930 el Programa de Hilbert parecía bien encaminado, gracias a los esfuer-

zos del propio Hilbert y algunos de sus estudiantes, como W. Ackermann (1896-1962)

y P. Bernays (1888-1977). En particular, se había podido demostrar la consistencia

absoluta para el sistema de la aritmética de los números naturales con la adición (aunque

no con la multiplicación).

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Sin embargo, el año siguiente, un joven docen-

te en la Universidad de Viena, K. Gödel (1906-

1978) acababa con la esperanza de Hilbert17.

En un artículo que lleva el expresivo título de

“Sobre proposiciones formalmente indecidibles de

Principia Mathematica y sistemas afines, I” Gödel

prueba que todo sistema formal (en el sentido del

programa de Hilbert) consistente y que contenga a

la aritmética, es necesariamente incompleto, es de-

cir, contiene enunciados legítimos del sistema que

son indecidibles, esto es, ni su afirmación ni su ne-

gación son demostrables en el sistema. ¡Y uno de

esos enunciados es, precisamente, el que afirma la

consistencia del sistema!18

La primera reacción de Hilbert a los resultados de G¨Çodel fue de enfado, porque

los veía como un ataque frontal a su programa y, sobre todo, a su filosofía de las mate-

máticas. No obstante, el mismo Gödel había incluido en su trabajo la siguiente observa-

ción:

“Mi teorema no se opone al punto de vista formalista de Hilbert. En efecto,

este punto de vista sólo supone la existencia de una prueba de consistencia

realizada por medios finitarios y sería concebible que hubiera pruebas fini-

tarias que no fuesen representables en P.”

No obstante, más adelante Gödel dejó de ser tan optimista al respecto. Lo que está

claro es que los resultados de Gödel supusieron un golpe demoledor para el programa de

Hilbert en su versión original. La matemática clásica podía ser consistente (y probable-

mente lo era); pero su consistencia no podía ser establecida por los métodos finitarios

propuestos por Hilbert.

La confianza ilimitada de Hilbert en el poder del pensamiento humano hizo que se

pronto comenzara a buscar soluciones al sentimiento de frustración que le provocó los

resultados de Gödel. Por un lado, tanto Hilbert como algunos de sus discípulos enten-

dían que la idea de demostración finitaria del programa original no coincidía con las

restricciones impuestas por los trabajos de Gödel.

En otro orden de cosas, G. Gentzen (1909-1945), un alumno de Hilbert, logró pro-

bar en 1936 la consistencia de la aritmética y distintas partes del análisis utilizando un

proceso de inducción transfinita sobre cierta clase de ordinales. Este y otros resultados

indicaban la posibilidad de conseguir el objetivo propuesto inicialmente por el programa

17 Previamente, en su Tesis, Gödel había probado la completitud de la lógica de primer órden, lo que suponía un paso importante dentro del programa de Hilbert. Anteriormente, en 1918, Hilbert y Bernays habían probado la consistencia y completitud del cálculo de predicados o lógica de orden 0. 18 Gödel construye una proposición verdadera (es decir, universalmente válida) tal que ni ella ni su nega-ción pueden obtenerse por una demostración sintáctica dentro del sistema formal dado. Si añadimos la negación de esta proposición al sistema original, obtendremos un nuevo sistema consistente que con-tiene como axioma una proposición falsa (aunque no refutable dentro del sistema).

K. Gödel (1906-1978)

Page 29: David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre.

- 29 -

debilitando adecuadamente las restrictivas hipótesis impuestas a los métodos de demos-

tración.

Los últimos años.

En noviembre de 1919 Hurwitz falleció en Zurich. Ya no quedaba nadie más que

él de aquel trío inseparable de los primeros estudios en Königsberg. Por supuesto, Hil-

bert se encargó de la necrológica de su amigo. A raíz de este hecho se extendió el rumor

de que le habían ofrecido a Hilbert la cátedra de Hurwitz en Zurich lo que, teniendo en

cuenta la situación económica por la que atravesaba Alemania, parecía tentador. Un

grupo de estudiantes fue a verle para pedirle que que quedara en Gotinga, pero los temo-

res eran infundados: ninguna oferta llegó de Zurich.

En enero de 1922 Hilbert cumplió 60 años, y la revista Naturwissenschaften

(equivalente alemán a Nature) dedicó su número de enero a Hilbert, en el que intervi-

nieron muchos de sus antiguos alumnos. Al banquete oficial asistió Klein, con 73 años y

en silla de ruedas. Tres años después, en 1925, Klein murió. En fin, parecía que era la

hora del relevo en Gotinga. Poco después, a Hilbert le fue diagnosticada una anemia

perniciosa, sin cura en la época. Afortunadamente, un profesor de farmacología de Go-

tinga había leído la existencia de un tratamiento prometedor descubierto en los Estados

Unidos. Tras una serie de urgentes contactos, el tratamiento llegó a Gotinga y Hilbert

mejoró sensiblemente.

Desde el fin de la guerra, los matemáticos alemanes no habían sido invitados a los

Congresos internacionales. En 1928 se iba a celebrar en Bolonia el primer Congreso

Internacional de Matemáticos desde 1912, y los italianos enviaron invitaciones formales

a las instituciones matemáticas alemanas. Muchos matemáticos alemanes, liderados por

L. Bieberbach (1886-1982), secundado por el danés L. E. J. Brouwer se negaron a asis-

tir. Hilbert lideró la postura contraria, defendiendo la universalidad de la matemática por

encima de las diferencias políticas y, en agosto, en medio de un clamoroso aplauso, pre-

sidio una delegación de 67 matemáticos alemanes.

Hilbert todavía se dedicó intensamente al problema de los fundamentos, como

hemos visto, y también se interesó vivamente por los nuevos descubrimientos en Mecá-

nica Cuántica. Pero realmente ya no tenía el vigor de antaño. En 1930 alcanzó los 68

años, la edad obligatoria de jubilación, y recibió distinciones y homenajes de todas par-

tes. Entre ellos, probablemente el que más le satisfizo fue el nombramiento de hijo pre-

dilecto de su ciudad natal, Königsberg. Con este motivo, pronunció un discurso de agra-

decimiento, de gran contenido conceptual: Naturerkennen und Logik (“Lógica y la

comprensión de la Naturaleza”), en el que una vez más defendió el papel de las matemá-

ticas para entender la naturaleza, junto con una defensa de la matemática pura como la

mayor creación de espíritu humano. Concluyó reafirmando su convicción de que no

existen problemas insolubles. Sus últimas palabras fueron:

Wir Müssen wissen. Wir werden wissen.” (Debemos saber. ¡Sabremos!”)

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La situación política en Alemania se iba enrareciendo. En las elecciones de 1932

el Partido Nacional Socialista obtuvo importantes resultados y el año siguiente el Presi-

dente Hindenburg nombró a Hitler Canciller. Inmediatamente se institucionalizó la per-

secución contra los judíos, dictándose leyes para expulsar a todos los docentes con san-

gre judía. Eso provocó un gran éxodo en toda Alemania. En particular, en Gotinga tu-

vieron que abandonar los principales miembros del staff: Courant, Landau, E. Noether,

Bernays, Born, etc. El mismo Hilbert fue investigado por tener un nombre tan poco ario

como David (aunque la investigación concluyó con el resultado –previsible- de que la

familia Hilbert tenía unos sólidos antecedentes prusianos y cristianos).

Obviamente, Hilbert estaba muy molesto por la situación. En una ocasión, estando

sentado en un banquete al lado del nuevo ministro de educación nazi, éste le preguntó: -

-¿Cómo están las matemáticas en Gotinga, ahora que las hemos liberado de la influencia

judía?-. Y Hilbert le contestó: -¿Matemáticas en Gotinga? Ya no hay.-

Poco a poco Hilbert fue perdiendo memoria, creatividad e incluso interés por las

matemáticas. En 1939 Alemania invadió Polonia y estalló la Segunda Guerra Mundial.

Ello significó un nuevo éxodo para los estudiantes y profesores jóvenes que aún perma-

necían en Gotinga. En 1942, con motivo de su 80 cumpleaños, la Academia de Berlín

decidió otorgar un premio especial a Hilbert. El mismo día de la votación del premio,

Hilbert se cayó en la calle y se rompió un brazo. A resultas del accidente, surgieron una

serie de complicaciones que motivaron su muerte el 14 de febrero de 1943. Poco más de

una docena de personas atendieron a su funeral. De Munich vino uno de sus más anti-

guos amigos, Arnold Sommerfeld (1868-1951), quien pronunció unas palabreas sobre

el trabajo de Hilbert. Fue enterrado en el mismo cementerio en el que yacía Klein. En su

lápida se grabaron las palabras que había pronunciado en su conferencia en Kónigsberg:

Wir Müssen wissen. Wir werden wissen.

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- 31 -

Referencias

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cido en Göttinger Nachrichten en 1900 y en Archiv der Mathernatik una Physik,,

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