Datum, Nociones

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 1 1.CONCEPTOS PREVIOS: DATUM Y CAMBIO DE DATUM. Es necesario realizar un encuadre teórico de lo que significa y lo que implica el traspaso de datum. Para ello, es necesario en primer lugar tomar conciencia de las superficies de referencia que existen en cartografía. Superficies de Referencia en Cartografía. El proceso de formación de la cartografía implica una abstracción de la realidad. Necesariamente, tenemos que simplificar la complejidad de la realidad para poder introducirla y grafiarla sobre un mapa. Indudablemen te, este proceso de abstracción implica muchos niveles del proceso cartográfico, pero uno de ellos, quizá uno de los más profundos desde el punto de vista teórico, consiste en simplificar la propia superficie de referencia sobre la que trabajamos. Como es sabido, los mapas necesitan de un modelo matemático (sistema de proyección) que permita el paso de una superficie tridimensional parecida a la esfera (la tierra) a un medio plano como es el papel. Para poder aplicar cualquiera de los modelos matemáticos que permiten tal paso (o sistemas de proyección) es necesario reducir la complejidad de la superficie de la tierra a una superficie de aproximación que sea modelizable matemáticamen te. Sería imposible trabajar directamente con la superficie de la tierra, que está plagada de accidentes geográficos como sierras, valles, acantilados, etc. en una sucesión de complejidad infinita. A partir de esta necesidad de encontrar una primera simplificación de la superficie de referencia de la tierra, los geodestas han ido configurando a lo largo de la historia el concepto de geoide. El geoide podemos imaginarlo como la superficie que observaríamos si el mar estuviera en calma total y en ausencia de mareas, prolongada imaginar iamente por debajo de los océanos. Se trata de una superficie equipotencial, es decir, en la cual el potencial de la gravedad es constante en toda su extensión y aunque no existe físicamente (los mares nunca están en calma total, sin mareas y tampoco atraviesan los océanos por debajo) sí es medible y definible a partir de mediciones empíricas. file:///C|/Docume nts and S ettings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (1 de 25)25/11/2007 22:10:35

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1.CONCEPTOS PREVIOS: DATUM Y CAMBIO DE DATUM. Es necesario realizar un encuadre terico de lo que significa y lo que implica el traspaso de datum. Para ello, es necesario en primer lugar tomar conciencia de las superficies de referencia que existen en cartografa.Superficies de Referencia en Cartografa.

El proceso de formacin de la cartografa implica una abstraccin de la realidad. Necesariamente, tenemos que simplificar la complejidad de la realidad para poder introducirla y grafiarla sobre un mapa. Indudablemente, este proceso de abstraccin implica muchos niveles del proceso cartogrfico, pero uno de ellos, quiz uno de los ms profundos desde el punto de vista terico, consiste en simplificar la propia superficie de referencia sobre la que trabajamos. Como es sabido, los mapas necesitan de un modelo matemtico (sistema de proyeccin) que permita el paso de una superficie tridimensional parecida a la esfera (la tierra) a un medio plano como es el papel. Para poder aplicar cualquiera de los modelos matemticos que permiten tal paso (o sistemas de proyeccin) es necesario reducir la complejidad de la superficie de la tierra a una superficie de aproximacin que sea modelizable matemticamente. Sera imposible trabajar directamente con la superficie de la tierra, que est plagada de accidentes geogrficos como sierras, valles, acantilados, etc. en una sucesin de complejidad infinita. A partir de esta necesidad de encontrar una primera simplificacin de la superficie de referencia de la tierra, los geodestas han ido configurando a lo largo de la historia el concepto de geoide. El geoide podemos imaginarlo como la superficie que observaramos si el mar estuviera en calma total y en ausencia de mareas, prolongada imaginariamente por debajo de los ocanos. Se trata de una superficie equipotencial, es decir, en la cual el potencial de la gravedad es constante en toda su extensin y aunque no existe fsicamente (los mares nunca estn en calma total, sin mareas y tampoco atraviesan los ocanos por debajo) s es medible y definible a partir de mediciones empricas.

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Esta medicin del geoide no es fcil de hacer, e histricamente ha sido uno de los principales problemas de la geodesia fsica. Sin embargo, hagamos un experimento imaginario de cmo podramos precisar esa superficie. Imaginemos que tenemos un mar en calma y sin mareas e imaginemos que estamos en una balsa flotando sobre ese mar. Sostenemos una cuerda con un peso (una plomada); esa plomada sealar la vertical del lugar (o vertical astronmica) y con la imaginacin podemos prolongarla hasta tocar en un punto a la superficie del mar. Justo por ese punto de toque pasara la superficie del geoide, con la particularidad de que en ese punto del geoide la superficie de ste es perpendicular a la direccin de la vertical del lugar:

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Y si realizramos infinitas medidas como la anterior alrededor de todo el planeta? cuantas ms medidas realizramos en estas condiciones ms podramos precisar la superficie del geoide. En cada punto del planeta, la vertical astronmica sealara en una direccin diferente:

Obviamente, este procedimiento imaginario no es viable desde el punto de vista prctico... Sin embargo, se han desarrollado otros mtodos de medicin que han evolucionado sobre todo con el advenimiento de la geodesia por satlite. Por ejemplo, esta es una imagen del geoide donde podemos ver las zonas azules como depresiones y las zonas rojas como elevaciones:

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Montaas y valles en el mar? s, algo parecido... En la configuracin del geoide intervienen muchos factores: la diferente densidad de los materiales, la dinmica de fluidos que rige los complejos movimientos de los materiales fundidos del magma y ncleo del planeta, la fuerza centrfuga de la rotacin terrestre... Todo ello influye y hace que la gravedad se presente con un patrn irregular. Por eso es tan difcil delimitar el paso del geoide, y por eso es tan importante conocer el valor de la gravedad para la geodesia fsica. Ah est el uno de los puntos de conexin entre la fsica y la cartografa. Al observar la imagen de arriba, vemos que el geoide tampoco es una superficie muy regular. Ms bien tendra la forma de una especie de patata y sospechamos que con esa configuracin, no debe ser fcil modelizar su forma matemticamente. Otra rama de la geodesia, la geodesia geomtrica, se ha encargado de conseguir una superficie de aproximacin ms adecuada para su tratamiento matemtico: el elipsoide. El elipsoide es una figura tridimensional que intenta reproducir la geometra del geoide, pero con la particularidad de que su superficie s es modelizable a partir de ecuaciones. Tiene su origen en una elipse a la que imaginariamente hacemos rotar entorno a su eje ms corto:

A partir del giro de la elipse sobre su eje menor, se genera el elipsoide de revolucin que ya es una figura tridimensional. El elipsoide tiene como parmetros principales la longitud de sus dos semiejes. A partir de ellos se sacan otros valores de su geometra muy utilizados en los problemas geodsicos: el aplanamiento, la excentricidad, la segunda excentricidad, etc. En realidad, comprender la geometra de la elipse y del elipsoide abre las puertas a comprender la cartografa en toda su belleza. Sobre el elipsoide se miden las coordenadas geodsicas, expresadas en grados, minutos y segundos sexagesimales. Para ello, es fundamental el concepto defile:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (4 de 25)25/11/2007 22:10:35

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vertical geodsica, que es la vertical perpendicular al elipsoide. A partir de ella se fija nada menos que la latitud geodsica (representada normalmente con la letra (ambos smbolos son en realidad la misma letra griega cuya lectura se pronuncia "fi"). Recapitulando, tenemos tres superficies a considerar: la superficie que vemos de la tierra, el geoide y el elipsoide. Estas tres superficies no coinciden, y de hecho estn variando sus posiciones relativas constantemente. A la distancia existente entre un punto del elipsoide y su punto homnimo sobre el geoide se le llama ondulacin del geoide, desviacin geoidal, o altura geoidal:

Y esta diferencia es muy importante para muchas operaciones cartogrficas y geodsicas. Por poner uno de los ejemplos ms recurridos, el origen de las altitudes que vemos en nuestros mapas (curvas de nivel, puntos acotados, etc.) se establece normalmente en el geoide. En concreto, se establece en un punto del geoide: por ejemplo, en Espaa el origen de las altitudes cartogrficas es el nivel medio del mar en Alicante (NMMA). A estas altitudes medidas a partir del geoide se las denomina altitudes ortomtricas. Por otro lado, existen las altitudes medidas a partir del elipsoide y que se vienen usando en los ltimos aos y cada vez ms porque son las que nos dan las mediciones GPS. Estas altitudes presentan desfases notables con respecto a las ortomtricas, puesto que como hemos dicho, la relacin de distancia geoideelipsoide vara constantemente a lo largo de toda la tierra, y eso sucede con cualquier elipsoide considerado. La diferencia -ondulacin del geoide- puede llegar a variaciones de cientos de metros. Al punto tomado como referencia para medir las altitudes cartogrficas o cotas Z se le denomina datum vertical. Vemos que ya aparece el trmino datum, pero no es el datum vertical el que ocupa el presente artculo. El datum que nos interesa en este texto es el datum horizontal.Qu es el datum cartogrfico o datum horizontal?file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (5 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Bueno, ya hemos dicho que la superficie del elipsoide trata de ajustarse a la superficie del geoide en la medida de lo posible. Y tambin hemos dicho que existen cientos de versiones distintas del elipsoide (cientos de elipsoides, cada uno con sus parmetros de semieje mayor, semieje menor y resto de parmetros derivados). Pero... cmo ubicar tridimensionalmente el elipsoide que consideremos con respecto al geoide? Cmo situar uno con respecto al otro? pueden existir infinitas ubicaciones alternativas... Eso es precisamente lo que hace el datum: fija el elipsoide a utilizar con sus parmetros geomtricos correspondientes (siempre hay un elipsoide asociado a un datum), y establece el punto en el que la vertical geodsica coincide con la vertical astronmica. Es decir, el punto de relacin entre geoide y elipsoide, que normalmente se corresponde con un punto de tangencia entre ambas superficies. A ese punto de relacin se le denomina punto astronmico fundamental. En el caso de Espaa, hasta fechas recientes el datum que se utilizaba era el datum europeo de 1950 (ED50), que toma como elipsoide de referencia el elipsoide de Hayford (o elipsoide internacional de 1924 de 1909), y que establece el punto astronmico fundamental en la ciudad alemana de Potsdam; en concreto, en la Torre de Helmert que existe en el campus universitario de esa ciudad, y que se puede ver en la foto de la derecha. No es casualidad que sea un observatorio astronmico el lugar en que se pone en relacin el geoide con el elipsoide. Lgicamente, es necesario conocer con mucha precisin la vertical astronmica para orientar con precisin el elipsoide, pues es el punto inicial de materializacin del sistema geodsico de referencia, pero hay una implicacin an ms profunda: si la vertical astronmica y la vertical geodsica coinciden, significa que tambin las coordenadas geodsicas y las coordenadas astronmicas coincidirn. De ah que los puntos fundamentales de los datums estn frecuentemente en observatorios astronmicos y de ah procede la estrecha relacin entre la astronoma y la geodesia, que se plasma en la rama de la geodesia llamada geodesia astronmica. La siguiente idea importante es que un mismo punto de la superficie de la tierra, tiene diferentes coordenadas geodsicas en funcin del datum elegido:

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As, las coordenadas tomadas con GPS (referidas al datum WGS84), pueden diferir cientos de metros de su posicin real si equivocamos el datum con el que fueron tomadas. Puede que los valores de las coordenadas sean de buena calidad, pero si el usuario equivoca el datum de referencia, el error cometido puede ser de cientos de metros:

Por tanto, se deduce que conocer el datum de referencia de las coordenadas es un parmetro fundamental para mantener la exactitud cartogrfica. Por otro lado, la capacidad de traducir datos cartogrficos de un datum a otro es una habilidad que todo gegrafo ha de conocer. 2. TIPOS DE TRANSFORMACIONES DE DATUM. Existen diversos mtodos para realizar el traspaso de unas coordenadas en un datum a otro de destino. Unas operan con coordenadas cartesianas X, Y, Z con referencia al centro geomtrico del elipsoide de referencia considerado (no hay que confundir estas coordenadas geocntricas X Y Z con coordenadas de sistemas de proyeccin como el UTM); otras, operan directamente sobre las coordenadas geodsicas expresadas en grados, minutos y segundos; por ltimo, otras operan directamente con coordenadas proyectadas, si es necesario. Las que operan con las coordenadas geodsicas directamente son las Ecuaciones de Molodensky (o Molodenski, porque se ve escrito de las dos formas). De estas ecuaciones existe una versin simplificada denominada comnmente Abriged-Molodensky, aunque a veces tambin se refiere como transformacin de Molodensky a secas, lo cual introduce una cierta confusin. La versin reducida, viene a ser comparable a lo que veremos a continuacin como una transformacin de 3 parmetros, es decir, vlida para precisiones bajas. La transformacin de Molodensky completa es la que ofrece mayores garantas de precisin.

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En cuanto a las transformaciones que operan con coordenadas proyectadas directamente (si es necesario), se encuentran las transformaciones polinmicas que emplean expresiones de distinto grado de polinomio para hacer el mejor ajuste entre dos sistemas de coordenadas que no siguen una pauta regular de distorsin entre s. La versin ms sencilla de estas transformaciones sera una transformacin afn, que en esencia es la aplicacin de un polinomio de orden 1. Lgicamente, una transformacin de este tipo poco puede hacer por nosotros ante un problema tan complicado como un cambio de datum... Sin embargo, las transformaciones polinmicas ms complejas s que pueden resolver un complejo cambio de datum. De hecho, en Espaa hace algunas dcadas se tuvo que hacer una tarea bastante complicada como fue migrar toda la cartografa del datum de Madrid 1870 (referido al meridiano de Madrid, concretamente con punto fundamental en el centro de la cpula del Observatorio Astronmico de esta ciudad y que empleaba el elipsode de Struve), al datum europeo unificado de 1950 con punto fundamental en Potsdam y adopcin del elipsoide de Hayford. El paso de datum se resolvi usando trasformaciones polinmicas desarrolladas por el Servicio Geogrfico del Ejrcito (SGE). Dichas transformaciones son vlidas para el territorio penisular espaol y estn parcialmente documentadas aqu. En aquella poca, adems, coincidi esta problemtica con el cambio de sistema cartogrfico de representacin de la proyeccin polidrica que se usaba hasta entonces a la adopcin de la proyeccin UTM. Slo vamos a entrar en profundidad en las transformaciones que utilizan coordenadas cartesianas rectangulares. Veamos qu significa esto. Las transformaciones que operan con coordenadas cartesianas, requieren que estas coordenadas estn referidas al centro geomtrico o de masa del elipsoide. Son lo que en trminos geogrficos se denominan coordenadas ECEF (Earth Centered-Earth Fixed), que en castellano podramos traducir como coordenadas geocntricas fijas (a veces se llaman tambin coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares). Podemos imaginar el marco de referencia de estas coordenadas, como un sistema tridimensional de ejes con centro en el elipsoide de revolucin:

As, cuando queremos hacer el traspaso entre coordenadas referidas a dos datums diferentes, lo primero que tenemos que hacer es pasarlas a geodsicas; en segundo lugar, pasarlas a geocntricas; en tercer lugar, hacer el cambio de datum mediante la compensacin de las diferencias entre los dos sistemas de ejes cartesianos tridimensionales geocntricos:file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (8 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Luego veremos en detalle cmo se ejecuta todo este proceso, pero conceptualmente podemos ver que supone tener que considerar los desplazamientos de los centros, que se descomponen en un incremento de distancia en X, un incremento en Y y otro en Z. Tambin supone tener que compensar los ngulos que forman cada eje con su homnimo en el otro sistema. Si los sistemas de ejes fueran paralelos, estos ngulos seran inexistentes, pero si no lo son, es necesario conocer el ngulo de desviacin que presentan entre s. Y por ltimo, la diferencia de tamao entre las unidades de un sistema y otro, que se denomina factor de escala. Grficamente, visualizamos estas diferencias de la siguiente manera:

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En el grfico est sin simbolizar la diferencia en escala entre ambos sistemas. Imaginemos que el sistema de ejes coloreados en rojo toma como unidad el metro; y sin embargo, el otro sistema tiene una unidad equivalente a 0.997 metros; el factor de escala para pasar del sistema verde al rojo sera 1.003; en otras palabras, habra que multiplicar las coordenadas verdes por 1.003 En consecuencia, con la aproximacin aqu expuesta son 7 los parmetros que tenemos que considerar para hacer el paso entre los dos sistemas de coordenadas: incrementos de distancia en X, en Y y en Z, rotaciones en los ejes X, Y, Z, y por ltimo el factor de escala. La mayor parte de la diferencia entre ambos sistemas se compensa teniendo en cuenta la diferencia de los centros (los desplazamientos en el eje X, en el eje Y y en el eje Z). De hecho, una transformacin sencilla de datums consiste en pasar las coordenadas geodsicas a geocntricas y una vez en geocntricas compensar las diferencias de distancia al origen. Este tipo de transformacin, suele denominarse de 3 parmetros y es slo recomendable para aplicaciones de poca precisin. Por ejemplo, el conversor de coordenadas en lnea que aparece a la izquierda de esta pgina utiliza una transformacin de 3 parmetros para hacer las transformaciones de datum. En ese conversor de coordenadas, la conversin en el mismo datum es totalmente precisa, pero como digo si trasladamos datums el resultado ya no lo es tanto. Por qu entonces se usa una transformacin de 3 parmetros si no es precisa? Porque utiliza unos parmetros que son constantes y fcilmente obtenibles; de hecho, existen tablas que proporcionan las diferencias de origen entre datums: en este ejemplo tenemos las diferencias de varios datums con respecto al WGS84. Para aplicar una transformacin de 7 parmetros, sin embargo, no valen unos parmetros genricos de rotaciones de ejes y factor de escala, sino que es necesario tener unos concretos de la zona sobre la que estamos trabajando. Estos parmetros lgicamente tienen que hacer referencia a la relacin geomtrica entre los dos datums que vamos a traducir y de su calidad dependen directamente los resultados.file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (10 de 25)25/11/2007 22:10:35

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3. TRANSFORMACIONES DE DATUM CON 7 PARMETROS. Dentro de las transformaciones de 7 parmetros usadas en geodesia, existen dos alternativas de formulacin y una cierta confusin de nombres. Las dos formulaciones, casi idnticas, son las ecuaciones de Bursa-Wolf y la transformacin de Helmert. Son prcticamente iguales y slo presentan diferencias en la forma de plantear la matriz de rotaciones y sus signos:

En cuanto a los nombres, existen denominaciones alternativas que crean una cierta confusin. As, hay fuentes que atribuyen la expresin Coordinate Frame a la transformacin de Bursa-Wolf y el nombre alternativo Position Vector a la de Helmert (ese criterio asumo yo en este artculo). Sin embargo, otras fuentes a veces refieren estos nombres cruzados e incluso se cruzan tambin las denominaciones originales con respecto a las fomulaciones de las ecuaciones. Incluso consultando las bases de datos de transformaciones del EPSG (European Petroleum Survey Group, ahora llamado OGP), existe confusin y disparidad de criterios. Pero esto no es del todo importante. Lo importante es saber que dentro de la formulacin Bursa-Wolf existe otra variante, y que la forma de contar los ngulos (en el sentido de las aguas del reloj o contrario a las agujas del reloj) es importante para el funcionamiento de las ecuaciones. Tambin, hay que considerar que los paquetes de parmetros tienen un sentido de transformacin: consideran un datum origen y un datum destino, y por lo tanto si queremos revertir la conversin hay que variar el signo de los parmetros.file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (11 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Todas estas consideraciones obligan a una cierta cautela cuando recibimos un conjunto de parmetros para realizar una transformacin de datum. A priori es imposible saber a qu tipo de transformacin pertenece un conjunto de parmetros slo con verlos, y tambin hay que tener cuidado con el sentido de la transformacin. Los metadatos, aunque existan, no garantizan esta parte del trabajo, pues como he dicho anteriormente existen diferencias a nivel conceptual y lo que alguien llama a, puede ser b. Se hace necesario, pues, comprobar con las dos variantes de formulacin anteriormente expuestas, y hacer pruebas variando los signos. Sobre puntos de control con coordenadas conocidas en los dos sistemas, podemos ver si el funcionamiento es correcto o no, y cul es el error que nos est dando la transformacin. Por ltimo, y antes de cerrar este punto sobre las transformaciones de 7 parmetros hay que advertir tambin de sus inconvenientes, al menos a nivel terico. Las transformaciones de siete parmetros que hemos visto realizan una rotacin tomando como punto de rotacin el centro del elipsoide. Esto ocasiona que cuando se calculan los parmetros de desplazamiento y giro a partir de una serie de puntos de control con coordenadas en ambos sistemas, exista una alta correlacin entre las traslaciones y rotaciones. Para eliminar esta dependencia entre los parmetros, se utiliza una tercera variacin de las ecuaciones de 7 parmetros llamada modelo Molodensky-Badekas, que con la adopcin de 3 parmetros adicionales pasa a usar un total de 10 en el proceso. Estos tres nuevos parmetros de la variacin Molodensky-Badekas definen el punto de rotacin (Xp, Yp, Zp), que puede ser una posicin geomtricamente representativa de la zona en la que se estn traduciendo coordenadas (centroide del polgono de actuacin). Este punto se puede sacar por un procedimiento muy simple: sacando la media de las X de todos los puntos de control, la media de las Y y la media de las Z, naturalmente con las coordenadas en el datum origen. La variante Molodensky-Badekas queda como sigue:

Como es lgico, para usar esta transformacin tenemos que tener parmetros deducidos al efecto y no vale aplicar parmetros pensados para un modelo de 7 parmetros. La incorporacin de un punto de rotacin particularizado requiere de parmetros tambin con este condicionante extraidos con el modelo arriba representado. 4. LAS ECUACIONES DE BURSA-WOLF EN FUNCIONAMIENTO: UN EJEMPLO DE TRANSFORMACIN.file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (12 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Una vez presentado todo el encuadre terico anterior, estamos en condiciones de iniciar un ejemplo de conversin de datum y ver todos los detalles en los que an no hemos entrado. Utilizaremos la transformacin de Bursa-Wolf, propuesta por Bursa en 1962 ("The theory of the Determination of the Non-parallelism of the Minor axis of the Earth and Initial Astronomical and Geodetic meridians from observation of Artificial Satellitea", en Studia Geophysica et Geodetica, vol. 6, n2) y completada por Wolf en 1963 ("Geometric connection and re-orientation of three-dimensional triangulation nets" en Bulletin Godsique vol. 68, pp. 65-169). Esta transformacin es la ms empleada hoy da por los paquetes GIS y aunque arriba hemos hecho matizaciones sobre su uso, ofrece un nivel de calidad ms que suficiente para la mayor parte de las aplicaciones. El ejemplo lo haremos traduciendo las coordenadas de un vrtice geodsico del centro de Espaa: el vrtice de Carbonera. Las coordenadas de este vrtice las conocemos en dos datum distintos, a partir de clculos realizados por el Instituto Geogrfico Nacional. Se trata de uno de los vrtices de la red REGENTE, con coordenadas disponibles en ED50 y coordenadas en ETRS89 (~WGS84): Vrtice de Carbonera Datum ED50 Datum ETRS89 X UTM Y UTM Altitud -3 35' 53''0503 -3 35' 57''7335 39 32' 51''2352 39 32' 46''8905

448611.14 4377788.61 718.50 (ortomtrica, sobre NMMA) 448500.79 4377580.93 771.46 (elipsoidal, sobre GRS80)

Como se ve, tenemos coordenadas en UTM y en geodsicas, y en los dos datum con los que vamos a trabajar. Hay que decir en este sentido que ETRS89, el nuevo datum unificado que se usa hoy da en Europa, es en la prctica equivalente a WGS84, por lo que el presente ejercicio es asimilable a decir que vamos a traducir coordenadas de datum WGS84 a ED50. Se trata en todos los casos de coordenadas seguras, en el sentido de que han sido calculadas con una precisin centimtrica o de unos pocos centmetros. Adems, he escogido hacer el ejercicio con un vrtice geodsico situado en el centro de la Pennsula Ibrica, donde se supone que la red geodsica tiene una mayor robusted, y donde adems los parmetros de transformacin (tambin facilitados por el IGN) pueden funcionar mejor. Dichos parmetros calculados por el IGN se distribuyen en tres conjuntos, cada uno aplicable a una zona de la Pennsula Ibrica:

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Los desplazamientos se dan en metros, las rotaciones en segundos sexagesimales (que luego tendremos que transformar a radianes), y el factor de escala en partes por milln (que luego tendremos que dividir por 1 milln, o lo que es lo mismo, multiplicar por 10-6). Estos parmetros sirven para aplicaciones de precisin media, donde el error puede estar entorno al metro o metro y medio. Los parmetros pueden ser de mayor precisin cuanto ms reducido es el mbito. Cmo y dnde conseguir los parmetros de transformacin? Normalmente los usuarios han de solicitarlos para cada zona concreta del globo a su institucin nacional o regional encargada de la cartografa y geodesia; para el caso de Espaa, existe una aplicacin especfica para servir parmetros en la web del Centro Nacional de Informacin Geogrfica. Esa es la forma ms fcil de obtener parmetros seguros, pero tambin podemos deducirlos a partir de los modelos de ecuaciones anteriormente presentados. Tendramos que conocer mltiples puntos con coordenadas en los dos sistemas y pasaramos a despejar las incgnitas que seran los trminos de rotacin, traslacin y factor de escala; quiz en un prximo artculo abordemos prcticamente este tema. En este artculo asumiremos los parmetros denominados "Pennsula" de la tabla arriba expuesta, que como hemos dicho sirven para aplicaciones de media precisin. El ejercicio que vamos a hacer procede de coordenadas UTM en ETRS89 (~WGS84) y tiene destino en coordenadas UTM pero en un datum de destino diferentefile:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (14 de 25)25/11/2007 22:10:35

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(ED50). Para hacer este proceso, necesitamos realizar las siguiente secuencia general:

Paso de UTM en datum origen a Geodsicas en el mismo datum origen.

En un artculo de esta web se explicaba cmo realizar el paso de UTM a Geodsicas en el mismo datum, por lo que no describiremos el proceso. Si el lector precisa conocer dicho procedimiento, puede acceder al artculo aqu. Tan slo baste decir que las coordenadas geodsicas correspondientes al vrtice de Carbonera son, segn el mtodo descrito en el artculo antes referido, las siguientes:

Vrtice de Carbonera Datum ETRS89

X UTM

Y UTM

-3 35' 57''7336

39 32' 46''8909

448500.79 4377580.93

Existe una mnima diferencia en las geodsicas calculadas por este procedimiento y las geodsicas anunciadas por el IGN para el mismo punto. Esta diferencia, que como digo es mnima y totalmente compatible con la aplicacin, se debe al diferente procedimiento de clculo.El valor de las altitudes en el proceso y su clculo.

Antes de seguir adelante con el proceso, es necesario realizar algunas consideraciones sobre las altitudes. Para operar con transformaciones de datum, necesitamos conocer las altitudes del punto pero sobre el elipsoide. Antes hemos dicho que el elipsoide presenta una diferencia con respecto al geoide que vara en cada punto. Tambin hemos dicho, que las altitudes que nos muestran los mapas suelen ser altitudes medidas con origen en la superficie del geoide (altitudes ortomtricas), mientras que los GPS nos suelen dar las altitudes sobre el elipsoide (altitudes elipsoidales). En la transformacin nos hacen falta altitudes elipsoidales, que podemos calcular si conocemos la ondulacin del geoide en ese punto:

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Dado que:

donde h es la altitud elipsoidal, H es la altitud ortomtrica y N es la ondulacin del geoide. Podemos obtener una aproximacin a las alturas elipsoidales utilizando un modelo de geoide en lnea. Para ello, recomiendo el modelo de geoide EGM96 de la National Geospatial-Intelligence Agency. En este modelo, a partir de las coordenadas geodsicas en WGS84 (~ETRS89), podemos obtener la altura del geoide con respecto al elipsoide WGS84 (~GRS80) en ese punto:

Ver detalle del uso del modelo EGM96

Con este modelo, obtenemos la altura geoidal que es de 53.26 m, luego la altura elipsoidal ser:

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El nmero 718.50 sale de la altitud ortomtrica dada por el IGN o consultable en los mapas, y que en el caso de Espaa est medida sobre el nivel medio del mar en Alicante (NMMA). El valor h de altitud elipsoidal calculado por este procedimiento no difiere mucho con el calculado por el IGN de forma segura (771.46), y puede ser aceptado como vlido para el tipo de aplicacin de precisin media que suponemos en este artculo. Tambin podramos sacar la altlitud elipsoidal de lecturas directas realizadas con GPS de alta precisin sobre el punto. Por lo tanto, ya tenemos tambin altitud elipsoidal Z para el punto. Pero... cul es el valor realmente de las altitudes en el proceso de transformacin de datum? Se pueden convertir coordenadas de un datum a otro sin conocer las altitudes elipsoidales? Bien, yo creo que el valor de las altitudes elipsoidales en el proceso de conversin y si estas son estrictamente necesarias o no depende de la aplicacin. En casos como el que nos ocupa en el presente artculo en el que manejamos parmetros vlidos para una superficie muy grande de territorio (casi la totalidad de Espaa), y buscamos una transformacin con una precisin del orden de un metro o metro y medio, las altitudes elipsoidales no son totalmente necesarias. Digamos que el aporte del eje Z, que tiene un rango de mil y algo metros, es mnimo comparado con los aportes de los ejes X e Y, que tienen rangos mucho mayores. He plasmado en la siguiente tabla los resultados comparados de las transformaciones para varios puntos de la Pennsula Ibrica. Se comparan los errores de los cambios de datum utilizando altitud elipsoidal y sin usar altitud (osea, suponiendo h = 0). Los errores se sacan de comparar las coordenadas calculadas en ED50 con las coordenadas seguras ED50 del IGN:

Como se puede ver, los resultados casi no varan si usamos altitudes o suponemos estas igual a 0. Las disminuciones o incrementos de los errores (con respecto a las coordenadas ED50 facilitadas por el IGN) son mnimas. Insisto en que esta afirmacin es slo vlida para el caso que nos ocupa. No estoy afirmando que las altitudes elipsoidales no sean necesarias para la aplicacin del modelo Bursa-Wolf. En otras situaciones diferentes al escenario planteado en este artculo las altitudes elipsoidales s son estrictamente necesarias, especialmente cuando operamos con parmetros para reas de territorio ms reducidas. El recurso de suponer las altitudes elipsoidales iguales a 0 est siempre ah, pero depende del usuario evaluar la incidencia de este factor en el proceso. A veces puede ser perfectamente vlido operar con una altitud = 0 y otras veces no. En este artculo s utilizaremos la altitud elipsoidal de 771.76 que hemos calculado antes para aplicar el resto del proceso.Paso de geodsicas a geocntricas en datum origen.

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Anteriormente ya hemos explicado lo que supone pasar las coordenadas geodsicas a geocntricas. Veamos a continuacin cmo se hace el proceso de obtener la X, Y, Z cartesianas geocntricas (ECEF):

Donde:

Para una mayor claridad expositiva, pasar a escribir en negro las ecuaciones originales y en color azul las aplicaciones realizadas de estas ecuaciones con los datos concretos del ejemplo. Conocemos tambin los datos correspondientes al elipsoide en el que estn las coordenadas de origen. Como hemos dicho antes, el datum ETRS89 utiliza el elipsoide GRS80, que es prcticamente igual al elipsoide de referencia del sistema WGS84. Por lo tanto, tomaremos los parmetros de WGS84 como si fueran los mismos que GRS80:

Comenzamos con el clculo de N:

Aplicando al ejemplo que nos ocupa:

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Es importante destacar que tanto la latitud como la longitud han sido pasadas a grados sexagesimales en notacin decimal. Sobra decirlo, pero este paso se hace de la forma: grados decimales = grados + minutos/60 + segundos/60/60. Como se puede ver, los datos angulares as obtenidos y correspondientes a la latitud y longitud son tambin modificados para introducirlos en radianes. Por eso los multiplicamos por el nmero (pi) y dividimos por 180. Durante el resto del proceso tambin deberemos pasar todas las medidas angulares a grados decimales y luego a radianes. Ahora, ya podemos obtener las coordenadas geocntricas cartesianas, segn las formulaciones expuestas arriba:

Cambio de datum con la aplicacin del modelo Bursa-Wolf.

Ahora que ya disponemos de las coordenadas geocntricas cartesianas ECEF podemos aplicar el modelo de Bursa-Wolf. La aplicacin de este modelo no funcionara directamente sobre coordenadas proyectadas UTM X,Y,Z, por lo que es imprescindible pasar por las geocntricas. Ya hemos dicho antes que la formulacin del modelo es como sigue:

De lo que se deduce que las soluciones de X' Y' y Z' seran:

Hay que tener en cuenta que los parmetros de transformacin nos proporcionan los giros Rx, Ry, Rz en segundos sexagesimales. Deberemos pasar estos segundos a grados decimales y luego a radianes (grados decimales = segundos/60/60; radianes = grados decimales * / 180). Tambin hay que tener en cuentafile:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (19 de 25)25/11/2007 22:10:35

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que el factor de escala nos viene en partes por milln, por lo que tendremos que dividir la cantidad que nos facilitan por un milln para poder introducirla en el modelo. Teniendo en cuenta esto, transformamos los parmetros originales:

Con los parmetros ya transformados, procedemos a resolver el cambio de datum:

Estas coordenadas siguen siendo cartesianas geocntricas ECEF, pero estn ya en el datum de destino ED50. Hemos realizado el cambio de datum y ahora lo que nos queda es el proceso inverso de conversin de geocntricas a geodsicas y posteriormente a UTM, con lo que terminaremos el ejercicio.Paso de geocntricas a geodsicas en datum destino.

Para el paso de coordenadas geocntricas a geodsicas, utilizaremos las siguientes frmulas:

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Como vemos, se trata de sacar tres parmetros: latitud geodsica, longitud geodsica y altitud elipsoidal. Para ello, no obstante, debemos calcular previamente diversos parmetros que son necesarios. Como ya hemos realizado el traspaso de datum, estamos operando en el datum de destino (ED50). De este datum, conocemos los parmetros del semieje mayor y semieje menor del elipsoide asociado, que es el elipsoide de Hayford, tambin llamado Internacional de 1924 file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (21 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Internacional 1909. Sus parmetros son:

Aplicando las frmulas expuestas para el clculo de la excentricidad al cuadrado y la segunda excentricidad al cuadarado, tenemos:

Tambin podemos calcular los dos valores auxiliares p y :

Con estos valores, ya estamos en disposicin de calcular la latitud geodsica (), la longitud geodsica (), segn las formulaciones anteriormente expuestas:

Una vez que tenemos latitud y longitud geodsicas, podemos calcular tambin el valor de N:

Conociendo N, calculamos tambin la altitud geodsica (h):file:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (22 de 25)25/11/2007 22:10:35

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Como cabe suponer, la latitud y longitud geodsicas obtenidas estn expresadas en radianes, y para obtener su valor en grados sexagesimales dividimos las cantidades obtenidas por el cociente de /180:

Si pasamos los grados sexagesimales expresados en notacin decimal a expresarlos en grados, minutos y segundos, obtenemos las geodsicas finales:

Paso de Geodsicas a UTM en el mismo datum destino.

En un artculo de esta web se explicaba cmo realizar el paso de Geodsicas a UTM con origen y destino en un mismo datum, por lo que no describiremos el proceso. Si el lector precisa conocer dicho procedimiento, puede acceder al artculo aqu. Tan slo baste decir que las coordenadas UTM resultantes de la conversin de las geodsicas anteriormente expuestas resultan ser las siguientes: Vrtice de Carbonera Datum ED50 (convertidas con transformacin de 7 parmetros) X UTM 448610.60 Y UTM 4377788.16 -3 35' 53''0728 39 32' 51''2207

Con estas coordenadas UTM ya convertidas en datum destino hemos concluido el ejemplo de cambio de datum. 5. CONVERSOR DE COORDENADAS EN HOJA DE CLCULO EXCEL. He creado una hoja de clculo con la implementacin de lasfile:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (23 de 25)25/11/2007 22:10:35

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frmulas comentadas. Esta hoja, realizada en formato Microsoft Excel, permite ver cmo se van calculando todos los parmetros en cadena cuando se introducen unas determinadas coordenadas a convertir. En ella se incluyen todos los clculos descritos (incluido el paso de UTM a geodsicas y de geodsicas a UTM). Incorporan tres juegos distintos de parmetros adecuados todos ellos para la Espaa peninsular, si bien el usuario puede introducir sus propios parmetros de transformacin para su regin del globo. Tambin se pueden seleccionar diferentes elipsoides a partir de una lista predefinida y con posibilidad de incluir otros nuevos por parte del usuario. Descarga la Hoja de Clculo con la Conversin de Datum. Si vas a hacer un uso comercial del contenido, realiza una donacin voluntaria al proyecto en http://recursos.gabrielortiz.com/donaciones.htm. Si el contenido del texto te resulta til y te ayuda a aprender, te pido que cites esta pgina web en tu trabajo. 6. CONCLUSIONES. Es fundamental para el gegrafo conocer el datum en el que se encuentra cada conjunto de datos, as como tener la habilidad de transformar fuentes de datos de un datum a otro, conociendo las implicaciones, riesgos y condicionantes involucrados en el proceso. Existen mltiples procedimientos para realizar los cambios de datum. El modelo Bursa-Wolf con transformacin de 7 parmetros es una de las posibilidades ms extendidas para este procedimiento ya que tiene capacidad suficiente para realizar transformaciones de media y alta precisin. Si comparamos el resultado de las UTM obtenidas en el ejercicio realizado con las coordenadas calculadas por el IGN de forma segura para el mismo vrtice, observamos que los errores cometidos son de 0.54 m en el valor de X y de 0.45 m en el valor de Y. Es decir, el punto calculado con nuestra transformacin se encuentra a 0.7 m del punto calculado por procedimientos ms precisos por el IGN. Esta magnitud de error es un excelente resultado si tenemos en cuenta la calidad de los parmetros utilizados en el proceso, que como se ha dicho sirven para la mayor parte del mbito de la Pennsula Ibrica y tienen una precisin anunciada mejor que 1.5 metros. Los resultados son tan buenos porque estamos operando con un vrtice geodsico correspondiente a la parte central de la red geodsica espaola, y que indudablemente mantiene una calidad mucho mayor que muchos de los vrtices geodsicos de las zonas perifricas costeras de Espaa, donde la imposibilidad de compensar de forma ptima la antigua red de triangulacin por la presencia del mar impone unas mayores tensiones en la red. As, hemos realizado pruebas con algunos otros vrtices de la red geodsica espaola situados en estas condiciones perifricas y los errores en la transformacin de datum con la metodologa quefile:///C|/Documents and Settings/Julius/Mis documentos/Mis sitios Web/Datums.htm (24 de 25)25/11/2007 22:10:35

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hemos descrito arroja errores bastante mayores, incluso por encima de la precisin estimada para los parmetros utilizados: Garita (en Cantabria) con un error de 1.88 m, Llatias (tambin en Cantabria), con un error de 2.26 m, Miramundo (en Huelva) con un error de 1.90 m. Esta situacin contrasta con las precisiones de los vrtices situados en la parte central del pas, donde el comportamiento de los parmetros de transformacin es sustancialmente superior. Ya hemos hablado del vrtice de Carbonera (en Toledo), con un error de 0.7 m, o Los Cerrillos (en Madrid) con un error de 0.35 m. Esto demuestra la importancia de realizar la transformacin de datum con unos parmetros adecuados a nuestra zona y a nuestra precisin. De nada sirve aplicar toda la metodologa expuesta anteriormente si no disponemos de los parmetros adecuados y con el nivel de precisin apropiado para nuestra aplicacin. Por ltimo, termino como empec: pidindote que si el contenido de este artculo te ha resultado til y te ha ayudado a aprender, te pido que cites esta pgina web en tu trabajo. Si el contenido te sirve para una aplicacin comercial realiza una donacin voluntaria en http://recursos.gabrielortiz.com/ donaciones.htm. Para cualquier comentario, puedes encontrarme en [email protected]. Gabriel Ortiz. http://recursos.gabrielortiz.com/index.asp?Info=064

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