DATOS ENUM 2013 Modo de Compatibilidad

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05/10/2013 Rosmeri Mayta Estadistica Industrial

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ESTADISTICA INDUSTRIAL

DATOS ENUMERATIVOS

MG. ROSMERI MAYTA H

2013


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PRUEBA DE JI CUADRADO X²

OBJETIVOS:

� 1.- Enumerar las características de la distribución ji cuadrada.

� 2.- Realizar una prueba de hipótesis comparando un conjunto observado de frecuencias y una distribución esperada.

� 3.- Efectuar una prueba de hipótesis de normalidad aplicando la distribución ji cuadrada.

� 4. Llevar a cabo una prueba de hipótesis para determinar si están relacionados dos criterios de clasificación.


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DISTRIBUCION X2

� La prueba X² es una medida de compatibilidadentre una frecuencia observada (ƒo) de undeterminado evento o una de sus característicay la frecuencia teórica esperada (ƒe), con baseen una distribución supuesta. Cada X² dependedel tamaño de la muestra (n); para muestraspequeñas (o pocos grado de libertad, g.l.) estadistribución esta fuertemente sesgada endirección positiva.


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PROPIEDADES:

� 1.-Los valores de X² son mayores o iguales que cero.� 2.-La forma de una distribución X² depende del gl =n-1.

en consecuencia hay una familia de distribución X².� 3.-El área bajo una curva X² y sobre el eje horizontal es

uno.� 4.- La distribución X² no son simétricas tienen colas

estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estánsesgadas hacia la derecha.

� 5.-El valor de X² siempre es positivo.� 6.-En Tanto que la muestra se incrementa en tamaño,

X² tiende a aproximarse a la distribución normal.


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SQUARE DISTRIBUTION CHI-SQUARE DISTRIBUTION

gl = 3

gl = 5

gl = 10

χχχχ2222

2-2

Probabilidad

Valores de chi - cuadrada 05/10/2013 Rosmeri Mayta Estadistica Industrial

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Prueba de bondad de ajuste: Frecuencias Esperadas iguales

� Sean fo y fe las frecuencias observada y esperada respectivas.

� Procedimiento para realizar la Prueba de Hipotesis� 1.- Ho : No hay diferencia entre fo y fe� Ha : Existe una diferencia entre fo y fe� 2.- El nivel de significancia:α� 3.- Definir el estadístico : X2 :� 4.- Establecer la región de aceptación y rechazo:� El valor crítico es: X 2 (α,K-1)� Grados de Libertad: K-1� K= Numero de categorías

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� 5.-Calculo del estadístico y tomar una decisión:

� Si Xk pertenece a la región critica entonces se rechaza la hipótesis nula de lo contrario se acepta

( )x

f f

f

e

e

2 0

2

=−

Σ


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PROBLEMA

� En el siguiente cuadro se encuentra los datos deausentismo se recolectaron en una plantamanufacturera. Con un nivel de significancia de 0.05,realizar una prueba para determinar si existediferencia en el tasa de ausentismo por día de lasemana. Día Frecuencia

Lunes 120

Martes 45

Miércoles 60

Jueves 90

Viernes 130


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Solución

1.- H0 : No existe diferencia entre las frecuencias observadas yesperadas de ausentismo.Ha: Existe una diferencia entre las frecuencias observadas yesperadas de ausentismo.

2.- Nivel de significancia:α =0.053.- el estadistico es :X2

Calculo de frecuencias esperadas iguales:(120 + 45 + 60 + 90 + 130) / 5 = 89.

X2k = (120 – 89) 2/89 + (45-89) 2/89+…. (130-89) 2/89= 60.89

4.- Establecer la regla de decisión:G.L: k-1 =5-1=4


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�X20.05,4 =9.488

�5) Como el X2 k es mayor que el teórico

entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa.

�Si existe diferencia en la frecuencia observada y esperada del ausentismo


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PROBLEMA 1

El director de seguridad de la empresa Honda , de Estados Unidos ,tomó muestras al azar el archivo de accidentes menores , y losclasificó de acuerdo con el tiempo en que tuvo lugar cada uno .Utilizando la prueba de bondad de ajuste y el nivel de significanciade 0.01, Determine si los accidentes están distribuidosuniformemente o no durante el día . De una breve explicaciónacerca de la conclusión .

Hora Nº de accidentes

8 a 9 am. 6

9 a 10 am. 6

10 a 11 am. 20

11 a 12 pm. 8

1 a 2 pm. 7

2 a 3 pm. 8

3 a 4 pm. 19

4 a 5 pm. 6 05/10/2013 Rosmeri Mayta Estadistica Industrial

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Hora Nª accid. ( fo) Fe ( fo – fe ) ( fo – fe )2 ( fo – fe )2/fe

8-9 6 10 -4 16 1.6

9-10 6 10 -4 16 1.6

10-11 20 10 10 100 10

11-12 8 10 -2 4 0.4

1-2 7 10 -3 9 0.9

2-3 8 10 -2 4 0.4

3-4 19 10 9 81 8.1

4-5 6 10 4 16 1.6

∑ = 80 ∑ = 24.6

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Solución :

1) Planteamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativaHo : La cantidad de accidentes están distribuidos

uniformemente durante el día .Ha : La cantidad de accidentes no están distribuidos

uniformemente durante el día .2) Nivel de Significancia : α = 0.01

3) X2 = ∑ [ ( fo – fe )2 / fe]


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4) gl = k – 1 = 8 – 1 = 7X2

0.01 , 7 = 18.475

5) Como X2k cae en la región critica , rechazamos la Ho y

aceptamos la Ha , esto quiere decir que los accidentes no están distribuidos uniformemente durante el día .

X20.01 , 7 = 18.475


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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

FRECUENCIAS ESPERADAS DESIGUALES

� El U.S. Bureau of the Census indica que63.9% de la población está casada, 7.7%es viuda, 6.9% divorciada (y no vuelta acasar) y 21.5% soltera (nunca casada).Una muestra de 500 adultos del área deFiladelfia indica que 310 personas estabancasadas, 40 viudas, 30 divorciadas y 120solteras. Para .05 de nivel de significancia¿Se puede concluir que el área deFiladelfia es diferente al de Estados Unidoscomo un todo? 05/10/2013 Rosmeri Mayta

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Estado

Casado 310 319.5 .2825

Viudo 40 38.5 .0584

Divorciado 30 34.5 .5870

Soltero 120 107.5 1.4535

Total 500 2.3814

f 0 f e( ) /f f f

e e0

2−

Cálculos


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1.- H0 : El área de Filadelfia es igual al de Estados Unidos en cuanto a su estado civil. Ha : El área de Filadelfia es diferente al de Estados Unidos en cuanto a su estado civil.

2.- α =0.053.- X2

k = 2.38 24

4.- X2 0.05,3 =7.815 es mayor que el X2

k = 2.38 24 se acepta la hipótesis nula

�

,3=,815.7>2glxx

2 2 3824= .


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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA PROBAR LA NORMALIDAD

� Propósito: Probar si las frecuenciasobservadas en una distribución defrecuencias se ajusta a la distribución normalteórica.

� Procedimiento:• Determinar la media y la desviación estándar

de la distribución de frecuencias.• Calcular el valor z para el límite inferior y

superior de cada clase.• Determinar la Fe para cada categoría• Usar la prueba de bondad de ajuste X2 y luego

seguir el mismo procedimiento para la pruebade hipótesis.

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Nota: Los grados de libertad de X2 esta dado por:

K-m-1K: Es el número de categorías

m: Es el número de parámetros calculados


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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA PROBAR LA NORMALIDAD

La estación radiodifusora de FM, cuyo distintivo es ALFA, cree que la edad de sus radioescuchas siguen una distribución probabilística normal para confirmar esto se tomo una muestra de 50 oyentes y los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Tiene una media µ=44.8 y una σ = 9.36Al nivel de significancia del 10% ¿Se puede concluir razonablemente que distribución de las edades se aproximan a una de tipo normal?

Edad Frecuencia

20 hasta 30 1

30 hasta 40 15

40 hasta 50 22

50 hasta 60 8

60 hasta 70 4


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SoluciónCalculamos los valores de Z :

Z30 = = = -1.58

Z40 = = -0.51

Z50 = =0.55

Z60 = =1.62

Luego procedemos a calcular las áreas que vienen a ser las probabilidades , se reducen a tres categorías, porque las frecuencias esperadas deben ser mayor que cinco , se suman las áreas y luego se determinan las frecuencias esperadas.

µ

σ

µ−X

36.9

8.4430 −

36.9

8.4440 −

36.9

8.4450 −

36.9

8.4460 −


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EDAD Fo Valor de Z area Fe

De menos a 40 16 MENOS a -0.51 0.3059 15.295

40 – 50 22 -0.51 a 0.55 0.4029 20.145

50 A mas 12 0.55 a MAS 0.2912 14.56


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� 1) Ho : Las edades se distribuyen en forma normal� Ha : Las edades no están distribuidas en forma normal� 2.-α = 0.10� 3.- El estadistico es X 2

�

� 4.- Xk2 =

� gl: k-1� gl : 3-1 = 2 X2

0.1,2 = 4.60 ( de la tabla de ji cuadrado )

� 5.- Como Xk2 = 0.6534 es menor que X2

0.1,2 = 4.60pertenece a la región de aceptación entonces aceptamos la H0 .Quiere decir que las edades se distribuyen en forma normal

� .Nota Se han unidos categorías por tener las frecuenciasesperadas mas del 20% de las casilla una frecuencia menos decinco.

Fe

FeFo∑ − 2)(


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PROBLEMA NORMALIDAD

� Una muestra de 500 donativos a la Fundacionde artritis se presenta con la siguientedistribución de frecuencias. ¿Es razonableconcluir que se tiene una distribución normalcon media de $10 y desviación estándar de $2?Use .05 de nivel de significancia.

� Nota: Para calcular para la primera clase,primero se calcula la probabilidad de esta clase.P(X<6) = P [Z<(6-10)/2]=.0228. Así, es(.0228)(500)=11..4

fe

f e

5


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SOLUCIÓN

<$6 20 .02 11.40 6.49

$6-8 60 .14 67.95 .93

$8-10 140 .34 170.65 5.50

$10-12 120 .34 170.65 15.03

$12-14 90 .14 67.95 7.16

>$14 70 .02 11.40 301.22

cantidad

gastadaf 0 área f

e ( ) /f f fe e0

2−

Total 500 500 336.33 05/10/2013 Rosmeri Mayta Estadistica Industrial

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PROCEDIMIENTO

� 1.- H0 : La donativos sigue una distribución normal.� Ha : La donativos no sigue una distribución normal.

� 2.- α=0 .05� 3.- Definir el estadístico� 4.- Definir la región de aceptación y de rechazo� 5.- Calculo del estadistico

� X2 k = 336.33

� X2 = 11.05 , gl. K-1= 5

� X2 k = 336.33 se rechaza la H0 se acepta la hipótesis

alternativa. Los donativos no siguen una distribución normal.

�


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Prueba de bondad de ajuste:población multinomial

�En este caso cada elemento de unapoblación se asigna a una y sólo una devarias clases o categorias. Esta poblaciónse llama multinomial. La distribuciónmultinomial de probabilidad se puedeconcebir como una ampliación de ladistribución binomial para el caso de tres omás categorias de resultados.


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�En cada ensayo intento o prueba de un experimento multinomial sólo se presenta uno y solo uno de los resultados . Cada intento del experimento se supone independiente, y las probabilidades de los resultados permanecen igual para cada prueba


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Problema

� Scott Marketing elaboró un análisis de mercado, Durante el año pasado se estabilizaron lasparticipaciones del mercado con 30% para lacompañía A, 50% para la compañía B y 20%para la compañía C. hace poco la compañía Cinvento un nuevo producto nuevo y mejoradoque remplazará su participación actual en elmercado.Los gerentes de la compañía Cpidieron a Scott Marketing determinar si elnuevo producto causará alguna alteración en lasparticipaciones de los tres competidores en elmercado.


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�Supongamos que la empresainvestigadora uso un conjunto de 200clientes para el estudio. A cada personase le pidió especificar su preferencia decompra entre las tres alternativas elproducto de la compañía A, el de lacompañía B o el nuevo de la compañía C.Las 200 respuestas se tiene en elsiguiente cuadro

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�En este caso, la población de interés es multinomial; cada cliente se clasifica como comprador de la compañía A, de la de B o de la de C. Entonces, la población multinomial tiene tres clasificaciones o categorias.


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SOLUCIÓN

�1.-�Ho: PA=0.30, PB=0.50, PC=0.20�( El nuevo producto de la compañía C no

alterará la participación en el mercado)�Ha: las proporciones poblacionales no

son � PA=0.30, PB=0.50, PC=0.20�(La introducción del nuevo producto

influye en la participación del mercado)05/10/2013 Rosmeri Mayta

Estadistica Industrial 34

�2.- Nivel de significancia de 0.05�3.- X2

�4.- X2 (0.05,3-1) =5.99�5.-



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�5.- Como 7.34 > 5.99, rechazamos la hipótesis nula. Con ello concluimos que la introducción del nuevo producto de la compañía C si alterará la estructura actual de participaciones en el mercado.

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Problema

�Una empresa dedicada a la venta demuebles desea estudiar cual es el númerode solicitudes de crédito recibida por díaen los últimos 300 días. Esta informaciónse presenta a continuación.


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�¿Sería razonable concluir que ladistribución de la población es ladistribución de Poisson con media 2? Usenivel de significancia 0.05.


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�1.- Ho: La Distribución de la poblaciónsigue una distribución Poisson

�con media 2.� Ha: La Distribución de la población no

sigue una distribución Poissoncon media 2.

�2.- α = 0.05�3.- X2


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�4.- G.l = 6 - 1 = 5� X2 (0.05,5) = 11.070


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�P(X=x)=λx e-λ /x!�λ = Cantidad promedio de ocurrencias en un intervalo

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�5.- Como X2 pertenece a la región deaceptación, entonces se acepta lahipótesis nula, esto quiere decir que lapoblación sigue una distribución Poissoncon media 2.


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LIMITACIONES DE X² :

� Si hay un número pequeño de frecuencias esperadaspuede llevar a conclusiones erróneas.

� Como la fe está en el denominador y la división entre unnúmero pequeño produce un cociente demasiadogrande.

� Las frecuencias esperadas deben ser cinco o más.� Para más de dos celdas la X² no debe aplicarse, si más

del 20% de las celdas fe tienen frecuencias menos decinco.

� Para resolver este problema se debe unir categorias

Ejemplos Ejemplos Solución

Nivel Directivo fo fe Nivel Directivo fo fe Nivel Directivo fo fe

sobresaliente 18 16 Empleados 30 32 Empleados 30 32

Supervisor 30 37 Supervisor 110 113 Supervisor 110 113

Gerente 8 13 Gerente 86 87 Gerente 86 87

Gerente General 6 4 Gerente General 23 24 Gerente General 23 27

vicepresidente adj 82 78 vicepresidente adj 5 2 vicepresidente adj 14 7

vicepresidencia 10 15 vicepresidencia 5 4

Presidencia 4 1


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PRUEBA DE INDEPENDENCIA

� Otra aplicación importante de la distribución X2se relaciona con el usos de datos de muestrapara indicar la independencia de dos variables.

� También se le conoce como Tabla decontingencias .

� La prueba de independencia utiliza el formatode la tabla de contingencias, y por esta razón aveces se le llama la prueba de tabla decontingencias o prueba con tabla decontingencias. Aqui se encuentra todas lascombinaciones posibles.


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PRUEBA DE CONTINGENCIA

� Se usa para probar si dos características ovariables están relacionadas.

� La prueba de X2 también puede aplicarse para unproyecto de investigación relacionado con doscaracterísticas. En este caso el valor de fe secalcula mediante la siguiente fórmula:

� fe = (total por reglón)(total por columna)Gran total

y los grados de libertad se hallan por la siguientefórmula:G:L = (#reglones - 1)(#columnas - 1).

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PROBLEMA

�Se pidió a una muestra de empleados enuna gran planta industrial química queindicara su preferencia por uno de tresplanes de pensión o retiro. Los resultadosse presentan en la tabla que sigue.¿Parece haber alguna relación entre elplan de pensión seleccionados y laclasificación del trabajo de losempleados?

�Utilice el nivel de significancia de 0.01.


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SOLUCIÓN

� :� 1.- Ho: No existe relación entre el plan de pensión

seleccionado y la clasificación del trabajo de losempleados

� Ha: Existe relación entre el plan de pensión seleccionado y laclasificación del trabajo de los empleados

� 2.- α = 0.01� 3.- X2

� 4.- g.l = (renglones - 1)*(columnas -1) = (3 - 1)(3 - 1) = 4� X2t (0.01, 4) = 13.277


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�5.-



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�El valor de X2k cae en la región derechazo entonces se rechaza la Ho, estoquiere decir que existe relación entre elplan de pensión seleccionado y laclasificación del trabajo de los empleados

�Salida en Minitab:

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� Chi-Square Test: Plan A, Plan B, Plan C� Expected counts are printed below observed counts� Plan A Plan B Plan C Total� 1 10 16 29 55� 18.17 25.27 11.56� 2 19 80 19 118� 38.98 54.22 24.80� 3 81 57 22 160� 52.85 73.51 33.63� Total 110 153 70 333� Chi-Sq = 3.672+ 3.401+ 26.303 +10.240

+12.262+1.358+14.990+3.709+ 4.024 � = 79.960� DF = 4, P-Value = 0.000


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Problema

�Doscientos hombres de diversos nivelesgerenciales, seleccionados al azar, fueronentrevistados con respecto a su interés opreocupación acerca de asuntosambientales. La respuesta de cadapersona se registró en una de trescategorías: interés nulo, algo de interés ygran preocupación. Los resultados fueron:



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Utilice el nivel de significancia de 0.01 para determinar si existe o no relación entre el nivel directivo o gerencial y el interés en asuntos ambientales.Solución:Seguimos el siguiente procedimiento:

1.- Ho: No existe relación entre el nivel directivo o gerencial y el interés en asuntos ambientales.

Ha: Existe relación entre el nivel directivo o gerencial y el interés en asuntos ambientales.


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�2.-α = 0.01

�3.- X2

�4 .-� gl = (renglones - 1)*(columnas -1) = (4 -

1)*(3 - 1) = 6� X2t (0.01, 6) = 16.812

� Si el X2k > 16.812 se rechaza la H0


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�5.- Cálculos

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�El valor de X2k cae en la región deaceptación entonces se acepta la Ho, estoquiere decir que no existe relación entre elnivel directivo o gerencial y el interés enasuntos ambientales.

�


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� Salida en Minitab:� Chi-Square Test: sin interés, algo, gran preocupación� Expected counts are printed below observed counts� sin inte algo gran pre Total� 1 15 13 12 40� 14.00 12.00 14.00� 2 20 19 21 60� 21.00 18.00 21.00� 3 7 7 6 20� 7.00 6.00 7.00� 4 28 21 31 80� 28.00 24.00 28.00� Total 70 60 70 200� Chi-Sq = 0.071 + 0.083 + 0.286 + 0.048 + 0.056 + 0.000 +0.000 + 0.167

+ 0.143 + 0.000 + 0.375 + 0.321 = 1.550� DF = 6, P-Value = 0.956


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PROBLEMAS PROPUESTO

�¿Existe una relación entre el lugar deun accidente y el sexo de la personaaccidentada? Una muestra de 150accidentes presentada a la policíaestaba clasificada por tipo y sexo.Con =0.05 de nivel de significancia,¿Se puede concluir que el sexo y ellugar del accidente estánrelacionados?


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S e x o T rab a jo H o g a r O tro T o ta l

H o m b re 6 0 2 0 1 0 9 0

M u je r 2 0 3 0 1 0 6 0

T o ta l 8 0 5 0 2 0 1 5 0

Nota: La frecuencia esperada para la intersección

hombre-trabajo se calcula como (90)(80)/150 = 48.

De manera similar, se pueden calcular las frecuencias

esperadas para las otras celdas.

Problema

� La empresa Publicidad Pacific investiga la relación entre el tipo favorito demensaje comercial y el nivel de ingresos para una muestra deconsumidores.

� Pruebe si el nivel de ingreso se relaciona con la preferencia decomerciales. Considere un nivel de significancia del 5%. Los datos seencuentra en la tabla


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Comercial favorito

Ingreso A B C

Bajo 25 40 70

Medio 30 30 30

Alto 45 20 10

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� Resultados con Minitab:

� Chi-Square Test: A, B, C

� Expected counts are printed below observed counts� Chi-Square contributions are printed below expected counts� A B C Total� 1 25 40 70 135� 45.00 40.50 49.50� 8.889 0.006 8.490�

� 2 30 30 30 90� 30.00 27.00 33.00� 0.000 0.333 0.273�

� 3 45 20 10 75� 25.00 22.50 27.50� 16.000 0.278 11.136�

� Total 100 90 110 300�

� Chi-Sq = 45.405, DF = 4, P-Value = 0.000�

� Como el valor de P=0.000< , por lo tanto se rechaza Ho. Y se concluye que existe una relación entre el tipo de comercial favorito y el nivel de ingreso del espectador.

�


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DATOS ENUM 2013 Modo de Compatibilidad

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