Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1 Daniel Pizarro Manuel...

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón

Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Email: [email protected]

[email protected], [email protected] transparencias se han realizado contando con los apuntes confeccionados sobre el

tema por los profesores Felipe Espinosa y Luis M. Bergasa

CONTROL BORROSO


1. Control borroso frente a control convencional.

2. Fundamentos de lógica borrosa.

3. Fundamentos de control borroso.

4. Aspectos formales de lógica borrosa.

5. Ajuste de controladores borrosos.

6. Fuzzy toolbox de Matlab (introducción).

ContenidoContenido


Control borroso frente a control Control borroso frente a control

convencionalconvencional


Introducción al control borrosoIntroducción al control borroso

So far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so far as they are certain, they do not refer to reality.

Albert Einstein

As complexity rises, precise statements lose meaning and meaningful statements lose precision

Lotfi A. Zadeh



Proceso

Reference Input

r(t)

Inputsu(t)

Outputsy(t)

¿Por qué?: Dar solución al control de plantas de difícil modelado matemático.

¿Cómo?: Mediante el uso de la lógica borrosa.

¿Qué permite la lógica borrosa?: Proporciona una metodología formal para aplicar el conocimiento heurístico humano al control de procesos.

Algunos ejemplos cotidianos: Conducir una bicicleta, mantener una escoba en posición vertical sobre un dedo, conducir un coche.

Controlador borroso



Algunas razones que justifican el control borroso Es conceptualmente fácil de entender. Es flexible y tolerante a la imprecisión de datos. Permite modelar funciones no lineales, aunque su complejidad sea

elevada. Se describe a partir del conocimiento e intuición de expertos. Los controladores borrosos no son incompatibles con los convencionales.

¿Qué se va a abordar en lo que sigue? El estudio del control borroso como alternativa al control realimentado

sincronizado, continuo o periódicamente actualizado.

Control borroso y control convencional Control convencional: está basado en el modelo del proceso a controlar:

lineal y no lineal, continuo y discreto, en el dominio del tiempo o transformado. El lenguaje propio son ecuaciones diferenciales/diferencias.

Control borroso: parte del comportamiento del proceso a controlar, donde la intuición pesa tanto como la razón. El lenguaje propio son las reglas heurísticas.


Diseño de sistemas de control convencionalDiseño de sistemas de control convencional

Proceso (Process)

Modelo Matemático

Reference Input

r(t)

Inputsu(t)

Outputsy(t)

Controlador

PID, polo-cero, etc

Modelado matemático del proceso

Diseño del controlador

Evaluación diseño


Diseño de sistemas de control convencionalDiseño de sistemas de control convencional

Modelado matemático: Fundamental para obtener un buen comportamiento del sistema realimentado. Es importante conjugar, para obtener el modelo, tanto el estudio físico como la

identificación utilizando datos experimentales. Por muy bueno que sea el modelo nunca será un fiel reflejo de la planta (pero en

muchos casos un modelo aproximado es suficiente).

Diseño del controlador: A nivel de algoritmo: estabilidad, rechazo a perturbaciones externas, insensibilidad a

variaciones de parámetros de la planta, régimen transitorio, régimen permanente. A nivel de implementación: simplificación hardware, disponibilidad de sistemas

electrónicos, mantenimiento, fiabilidad, costes de desarrollo, etc. A nivel de soluciones: si se trata de sistemas lineales con modelo de función de

transferencia: PID´s, red cero-polo; si VVEE: realimentación del vector de estado con o sin observadores. Se pueden usar técnicas óptimo, robusto y adaptativo.

Evaluación del diseño: Estudio matemático basado en el modelo de la planta. Simulación del sistema en lazo cerrado. Ensayo experimental.


Diseño de sistemas de control borrosoDiseño de sistemas de control borroso

Elementos básicos de un controlador borroso: Base de conocimiento (“rule-base”). Mecanismo de inferencia (“inference mechanism”). Interfaz de borrosificación (“fuzzification”). Interfaz de desborrosificación (“defuzzification”).

Bor

rosi

fica

ción

(Fu

zzif

icat

ion

)

Base conocimientio(Rule-base)

Mecanismo inferencia(Inference mechanism)

Des

bor

rosi

fica

ción

(Def

uzz

ific

atio

n)

Proceso(Process)

Controlador Borroso (Fuzzy Controller)

Reference Input

r(t)

Inputsu(t)

Outputsy(t)

Inputs e(t)

Entradas borrosificadas

Conclusiones borrosas

com

par

ador


Fundamentos de laFundamentos de la

lógica borrosalógica borrosa


La lógica borrosa es una extensión de la lógica booleana. Se basa en la experiencia humana, y la pertenencia a un grupo u otro

es una cuestión de grado de precisión. En lógica borrosa cada afirmación es un problema “de grado de

verdad”. Un conjunto borroso es un conjunto sin límites abruptos ni claramente

definidos. Pueden existir elementos con un cierto grado de pertenencia. El conjunto borroso está asociado a un valor lingüístico, definido por

una palabra, adjetivo o etiqueta lingüística (muy joven, joven, adulto, mayor, muy mayor, etc).

La certeza o certidumbre con que una variable x se le puede asignar el valor lingüístico (conjunto borroso) “i” se indica por una función de pertenencia μ i (x).

Fundamentos de la lógica borrosaFundamentos de la lógica borrosa


FundamentosFundamentos de la lógica borrosade la lógica borrosa

La lógica borrosa es un procedimiento de análisis del razonamiento aproximado, que utiliza las imprecisiones del mismo.

Incluye (a grandes rasgos):

(1) Se puede considerar que es el acto de obtener un valor de entrada y encontrar el valor numérico de la función de pertenencia que esta definida para ese valor. Es otra forma de representación los valores numéricos de las variables de entrada.

Variables de entrada

Entradas borrosasConjuntos Borrosos

Funciones de pertenencia

Borrosificador (1)

(Fuzzification)

Inferencia(reglas)

Desborrosificador(Defuzzification)

Salidas borrosasConjuntos Borrosos

Funciones de pertenencia

Variables de salida


BorrosificaciónBorrosificación

1.-Definir las variables de entrada y salida: temperatura, edad, estatura, velocidad, fuerza,

Definir el margen de variación (universo de discurso) de cada variableTemperatura: - 40 a 70 ºC, Edad: 0 a 100 años, Estatura: 0 a 200 cm.

2.- Definir todos los conjuntos borrosos y el valor lingüístico, asociado a cada uno:Variable: Temperatura

Valores lingüísticos: negativa_alta, negativa_baja, cero, positiva_baja, positiva_altaVariable: Edad

Valores lingüísticos: muy_joven, joven, maduro, viejo

3.- Para cada conjunto (valor lingüístico) definir una función de pertenencia o inclusión (membership function) que indique el grado en que una variable “x”

está incluida en los conceptos representados por las variables lingüísticas.μi (x) indica el grado en que “x” está incluida en el conjunto “i”. A μi (x) se le conoce como función de pertenencia de “x” en “i”.

El valor de pertenencia tiene que variar entre 0 y 1.


1. Variable: x= edad. Universo de discurso: 0 ≤ x ≤ 100 años.2. Valores lingüísticos (conjuntos): MJ = muy_joven, JO= joven,

MA=maduro, VI=viejo.3. Definición de las funciones de pertenencia, μi (x).

Con conjuntos booleanos μi(x) sólo puede tomar dos valores: 0 ó 1. μi(x) = 0 indica negación, μi(x) = 1 indica afirmación.

x = edad = 27 años: μMJ(x) = 0, μJO(x) = 1, μMA(x) = 0, μVI(x) = 0

0 10 30 60 100 x = edad

1

0

μMJ(x) μJO(x) μMA(x) μ VI(x)

MJ JO MA VI

Borrosificación:Borrosificación: Caso de “Lógica clásica”Caso de “Lógica clásica”

Ejemplo: Edad de las personasEjemplo: Edad de las personas


1. Variable: x= edad. Universo de discurso: 0 ≤ x ≤ 100 años.2. Valores lingüísticos (conjuntos): MJ = muy_joven, JO= joven,

MA=maduro, VI=viejo.3. Definición de las funciones de pertenencia, μi (x).

Al tratarse de conjuntos borrosos μi(x) puede tomar cualquier valor entre 0 y 1.x = edad = 27 años: μMJ(x) = 0.4, μJO(x) = 0.6, μMA(x) = 0, μVI(x) = 0

0 10 27 30 60 100 x = edad

1

0.6

0.4

0

μMJ(x) μJO(x) μMA(x) μ VI(x)

MJ JO MA VI

Borrosificación: Caso de “Lógica borrosa”Borrosificación: Caso de “Lógica borrosa”

Ejemplo: Edad de las personasEjemplo: Edad de las personas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 160 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1mf1

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1mf1

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1mf1

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1mf1

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1mf1

La función de pertenencia puede ser una curva arbitraria. Dependiendo de la aplicación y del diseñador se pueden elegir diferentes tipos de

funciones de pertenencia (“membership function”). Las más frecuentes son: triangular, trapezoidal, gausiana.

Funciones de pertenenciaFunciones de pertenencia


Los conjuntos y operadores borrosos se pueden considerar como los sujetos y los verbos de la lógica borrosa.

Los conjuntos borrosos se combinan en reglas para definir acciones como por ejemplo, si la temperatura es alta entonces enfría mucho.

Para poder expresar algo útil es necesario hacer frases completas. Las afirmaciones condicionales, reglas if-then, son las que lo hacen posible.

La estructura general de una regla borrosa es:

If CONDICIONES then ACTUACIONES

If x1 es F1 and x2 es F2 and x3 es F3 then u1 es G1 and u2 es G2

“condiciones”= “antecedentes” = “premisas”: es un escalar comprendido entre 0 y 1 “actuaciones” = “consecuencia” = “conclusión”: es un conjunto borroso

Inferencia: Reglas borrosasInferencia: Reglas borrosas


Las reglas pueden ser tipo SISO, SIMO, MISO, MIMO:

SISO: If x es A1 then u es B1.SIMO: If x es A1 then u1 es B1 and u2 es B2 MISO: If x es A1 and y es A2 then u es B1

MIMO: If x es A1 and y es A2 then u1 es B1 and u2 es B2

Las reglas SIMO y MIMO se pueden convertir en SISO y MISO, respectivamente.Ejemplo: If x es A1 and y es A2 then u1 es B1 and u2 es B2

Es equivalente a:If x es A1 and y es A2 then u1 es B1

If x es A1 and y es A2 then u2 es B2

Inferencia: Reglas borrosasInferencia: Reglas borrosas


Inferencia:Inferencia: Operadores borrososOperadores borrosos

Caso de “Lógica clásica” Caso de “Lógica clásica”

Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable x. Se definen tres funciones básicas:

Intersección (AND): min(A,B): μA∩B(x) =min[μA(x), μB(x) ]

Unión (OR): máx(A,B): μAB(x) = max[μA(x), μB(x)]

Complemento (NOT): μA(x) = 1- μA(x)

AND OR NOT(A)

A B

μA(x) μB(x)

mín(A,B)

μA∩B(x) =min[μA(x), μB(x) ]

máx(A,B)

μAB(x) =máx[μA(x), μB(x) ]

μA(x) = 1- μA(x)

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0


Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable x. Se definen tres funciones básicas: intersección (AND), unión (OR) y

complemento 1. Intersección (AND) borrosa (norma triangular):

Alternativa 1:mín (A,B): μA∩B(x) = min[μA(x), μB(x)]

Alternativa 2:prod(A,B): μA∩B(x) = [μA(x).μB(x)]

2. Unión (OR) borrosa (co-norma triangular): Alternativa 1:

máx(A,B): μAB(x) =max[μA(x), μB(x) ] Alternativa 2 (suma algebraica):

probor(A,B): μAB(x) =[μA(x)+μB(x) - μA(x).μB(x)]

3. Función NOT: μA(x) = 1- μA(x)

AB

min(A,B)

AB

prod(A,B)

AB

max(A, B)AB

probor(A, B)

Inferencia: Operadores borrososInferencia: Operadores borrosos

Caso de “Lógica borrosa” Caso de “Lógica borrosa”


1.- Matching o correspondencia: Evalúa el grado de certeza de la premisa para los valores actuales de las variables de entrada, determina la función de pertenencia de la premisa.

Si regla que se evalúa es la “n”: el grado de certeza se representa por μPremisa(n)

2.- Conclusiones (Inferencia): Establece las conclusiones en función de las entradas actuales. Asigna a cada variable de salida del consecuente el conjunto borroso correspondiente modificado en el grado especificado por μPremisa(n).

La función de pertenencia del conjunto modificado se representa por μ(n)(u). Aquí “n” es la regla evaluada y “u” es la variable de salida .

Se entiende por inferencia borrosa la interpretación de las reglas if-then, con el objetivo de obtener las conclusiones de las variables lingüísticas de salida a partir de los valores actuales de las variables lingüísticas de entrada.

Conlleva dos fases:

InferenciaInferencia



¿Cómo se obtiene el grado de certeza de una premisa, μpremisa (n)?Supongamos la regla (n):

If x1 es F1 and x2 es F2 and x3 es F3 then u1 es G1

1. Evaluar para cada entra (x1, x2, …), en función de su valor actual, la función de pertenencia: μF1(x1), μF2(x2), μF3(x3)… certeza con que la variable de entrada “xi“ pertenece al conjunto borroso Fi

2. Evaluar la función “and”, para obtener μpremisa (n). Existen dos alternativas:

Mínimo:

Producto:

prem isa n F F Fx x x( ) m in { ( ), ( ), ( )} 1 1 2 2 3 3

prem isa n F F Fx x x( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3


Regla 1: If x es A and y es B then u es D

μpremisa(1)= min{μA(x) , μB(x)} = 0.4: “tenemos una certeza de 0.4 de que esta regla (regla 1) es aplicable a la situación actual (valores actuales)”

“x es A and y es B”

A BμA(x)=0.6

x y

Valor de x actual Valor de y actual

μB(y)=0.4

Cuantificado con

μA(x)

Cuantificado con

μB(y)

Inferencia Inferencia Ejemplo de inferenciaEjemplo de inferencia



¿Cómo se modifica el conjunto borroso de salida, en el grado especificado por μPremisa(n)?.

Principio general: “La acción no puede tener un nivel de certeza superior al que tiene la premisa” .

Llamando μaccion(n)(u1) el conjunto borroso de salida de la acción “u1”, y μregla_n(u1) al conjunto borroso de salida de la acción “u1” modificado por μPremisa(n), las dos alternativas más frecuentes son:

Truncamiento (chop off the top): μregla_n(u) = mín{μPremisa(n), μacción(n)(u)}

Escalado (product): μregla_n(u) = μPremisa(n).μacción(n)(u)



Truncamiento (chop off the top):Conjunto borroso de salida: μacción (n) (u)

μPremisa (n)

μregla_n(u) = min{μPremisa(n), μacción(n)(u)}

u Escalado (product):

Conjunto borroso de salida: μacción (n) (u)

μPremisa(n)

μregla_n(u) = μPremisa(n).μacción(n)(u)

u

Las áreas dan idea de certidumbre de la conclusión



Ejemplo: Control de frenadoEjemplo: Control de frenado

Control de frenado de un vehículo en función de su velocidad y distancia al que le precede.

Variables de entrada: x= velocidad, y= distancia Valores entradas de velocidad (conjuntos borrosos):

Valores entradas de distancia

Variable de salida: u= fuerza_sobre_ freno

Valores de salida:

A A A A baja m ed ia a ltax x x x { , , } { , , }1 2 3

A A A A m uy pequeña pequeña grandey y y y { , , } { _ , , }1 2 3

B B A A m uy fuerte fuerte deb ilu u u u { , , } { _ , , }1 2 3


Baja Media Alta

Débil fuerte muy_fuerte

μalta(x)

0 40 80 120 x=Velocidad (Km/h)

μmedia(x)μBaja(x)

muy_pequeña pequeña grande

0 25 50 75 y= distancia (m)

μmuy_pequeña(y) μpequeña(y) μgrande(y)

0 1 2 3 4 u=Fuerza (N)

μdebil(u) μfuerte(u) μmuy_fuerte(u)

Salidas nunca saturadas




0 40 70 80 120 x=Velocidad (Km/h)

0 10 25 50 75 y= distancia (m)

μmuy_pequeña(y)

μmedia(x) μalta(x)μBaja(x)

μpequeña(y) μgrande(y)

0.4

0.2

0.8

Supongamos: x=70Km/h, y=10m

Y dos reglas:1. If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte 2. If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte




“x es baja and y muy_pequeña”

Cuantificado con Cuantificado con

0 10 25 50 y

μmuy_pequeña(y)

0.4

0 40 70 80 x

μBaja(x)

0.2

μpremisa(1)=min{μBaja(x) , μmuy_pequeña(y)} = 0.2

0 40 70 80 120 x

μmedia(x)0.8

0 10 25 50 y

μmuy_pequeña(y)

0.4

“x es media and y muy_pequeña ”

μpremisa(1)=min{μmedia(x) , μmuy_pequeña(y)} = 0.4




1. If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte

2. If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte

0 40 70 80 120 x

μmedia(x)0.8

0 10 25 50 y

μmuy_pequeña(y)

0.4

2 3 4 u

μmuy_fuerte(u)

μregla_2(u)

μfuerte(u)

0 10 25 50 y

μmuy_pequeña(y)

0.4

0 40 70 80 x

μBaja(x)

0.21 2 3 u

μregla_1(u)




If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte

If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte

0 1 2 3 u

μfuerte(u)

0 1 2 3 4 u

μmuy_fuerte(u)

0 1 2 3 u

0 1 2 3 4

μPremisa(1) =min [μbaja(x), μmuy_pequeña(y)] =0.2

0.2μregla_1(u)

μPremisa(1) =min [μmedia(x), μmuy_pequeña(y)] =0.4

μregla_2(u)

Implicación

Implicación 0.4

u




En general se requieren dos o más reglas de forma que compitan unas con otras.

La salida de cada regla es un conjunto borroso (modificado por la correspondiente premisa μpremisa(n)).

La salida para un conjunto de reglas debe ser un único número. ¿Cómo se agregan (mezclan) los conjuntos borrosos, μregla(n)(u),

que resultan de cada regla para que la variable de salida sea un único número?: se agregan en un solo conjunto borroso y a partir de este último se obtiene el valor de la salida.

μrgla_1(u)

μregla_2(u)

μregla_n(u)

...

Agregación Desborrosificadorucrisp

Inferencia: Agregación de salida de reglasInferencia: Agregación de salida de reglas


If x es A and y es B then u es C

μPremisa(1) =mín [μA(x), μB(y)]

Premisa (1)

If x es D and y es E then u es F

μC(u)

Truncamiento

Concl.

Conclusión

Premisa (2) Concl.

μPremisa(2) =mín [μD(x), μE(y)]

u1 u u1 u

μF(u)

u2 u

TruncamientoConclusión

u2 u

u1 u2u

Salidaucrisp

Implicación

Implicación

Agregación de reglas

μregla_1(u)

μregla_1(u)=mín [μPremisa(1), μC (u)]

μregla_2(u)=mín [μPremisa(2), μF (u)]

μregla_2(u)



If x es A and y es B then u es C

μPremisa(1) =min [μA(x), μB(y)]

Premisa (1)

If x es D and y es E then u es F

μC(u)

Escalado

Concl.

Conclusión

Premisa (2) Concl.

μPremisa(2) =min [μD(x), μE(y)]

u1 u u1 u

μF(u)

u2 u

EscaladoConclusión

u2 u

u1 u2u

Implicación

Implicación

Agregación de reglas

μregla_1(u)

μregla_1(u)=μPremisa(1). μC (u)

μregla_2(u)=μPremisa(2).μF (u)

μregla_2(u)

Salidaucrisp



La entrada para la desborrosificación es un conjunto borroso, el que resulta de la agregación, y la salida es un número (ucrisp).

Se puede entender como el proceso de decodificación de la información borrosa producida por los procesos de inferencia y agregación.

De entre las diferentes alternativas de desborrosificación, las dos más conocidas son: Centro de gravedad (COG) del área definida por el conjunto

borroso resultante de la agregación. Centros ponderados (center-average).

Existen otras alternativas de desborrosificación, pero no existen argumentos para decidir cuál es la mejor.

DesborrosificaciónDesborrosificación


Desborrosificación: COGDesborrosificación: COG

Se suele utilizar para el caso de truncamiento.

ub

crisp i reg la ii

reg la ii

_

_

bi = centro de las funciones de pertenencia

del conjunto para la regla “i”, μregla_i

reg la i_ = área bajo la función

de pertenencia μ regla_i

Recordad: Para un trapecio de base “w” y altura “h”, su área es: w hh

( )2

2

Hay que asegurar que el denominador sea distinto de cero

…. b1 b2 b3 bi bN u

μregla_1 μregla_3 μregla_i μregla_Nμregla_2


Desborrosificación: Centros ponderadosDesborrosificación: Centros ponderados

Se suele utilizar para el caso de escalado

ub

crisp i prem isa ii

p rem isa ii

( )

( )

Para el cálculo de la función de pertenencia de la premisa μpremisa(i) se puede utilizar el mínimo o el producto

…. b1 b2 b3 bi bN u

μpremisa(1)

μpremisa(N)


Desborrosificación Desborrosificación EjemplosEjemplos

-20 -10 0 10 u(t), (N)

NP CE 0.75

0.25

μ(i)

u=-6.81

COG

Centros ponderados

-20 -10 10 u(t), (N)

NP CE 0.75

0.25 ub

crisp i prem isa ii

p rem isa ii

( )

( )

( . ) ( ) .

. ..

0 0 2 5 1 0 0 7 5

0 2 5 0 7 57 5

-7.5

ub

crispi regla ii

regla ii

_

_

[ ( .( . )

] ( ) [ ( ..

)

( ..

) ( ..

)

.0 20 0 25

0 25

210 20 0 75

0 75

2

20 0 250 25

220 0 75

0 75

2

-681

2 2

2 2

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