D4_Cárdenas, deber de integracion y derivacion

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZASARMADAS - ESPE

Departamento de Ciencias Exactas

INTEGRACION Y DERIVACION NUMERICA

Autor:

Andres Cardenas

Ingeniero:

Jose Luis Marcillo

2013 - 2014

I. DERIVACION NUMERICA

El deber de derivacion e integracion debe ser desarrollado por medio de matlab y presentar el deber en Latex, el debersera entregado el dia del examen al comandante de cada curso.

1. Escribir una funcion MATLAB df(x) que admita como entradas un vector de puntos x y los valodes de una funcion f enlos mismos, y que calcule el valor de la derivada primera en los mismos utilizando la formula de diferencia adelantada.Para calcular el valor en el extremo superior debe usarse la formula de diferencia retrasada.

El codigo utilizado es el siguiente:

function ejercicio1

clc

clear all

fprintf(’Derivacion Numerica\n’);

n=input(’Ingrese el numero de puntos que va a ingresar: ’);

h=input(’\nIngrese el valor de h: ’);

x=1:n;

y=1:n;

d=1:n;

for i=1:n

fprintf(’\nIngrese el valor de x %d: ’,i-1);

x(i)=input(’’);

fprintf(’\nIngrese el valor de f(x %d): ’,i-1);

y(i)=input(’’);

end

y1=polyfit(x,y,n-1);

%syms m;

display(y1);

%y2=poly2sym(y1,m);

%display(y2);

fprintf(’Derivada con diferencia adelantada\n’);

for i=1:n-1

d(i)=( polyval(y1,x(i)+h)-polyval(y1 ,x(i)))/h;

fprintf(’f´(x %d)= %.4f\n’,i-1,d(i));

end

fprintf(’Derivada con diferencia retrasada\n’);

d(n)=( polyval(y1,x(i))-polyval(y1,x(i)-h))/h;

fprintf(’f´(x %d)= %.4f\n’,n-1,d(n));

El programa admite como entrada los valores de x, f(x) con lo cual interpola y obtiene los coeficientes delpolinomio interpolador, donde luego de evaluar los f(xi) nos arroja resultados de las primeras derivadas.

2. Aplicar la formula de dos puntos adelantada al calculo de la derivada primera de f(x) = sinx en x = 2,13432.Comprobar que al ir reduciendo h el error se reduce de manera aproximadamente lineal con h.


function ejercicio2

clc

clear all



syms x

f=’sin(x)’;

xo =2.13432;


der =1:7;

disp(der);

m=xo:xo:7*xo;

for i=1:7

der(i)=(subs(f,x,xo*(i)+h)-subs(f,x,xo*(i)))/h;

end

f1=diff(sym(f));

d=subs(f1,x,m);

error=(d-der);

error=error ./d;

display(error);

display(m);

display(der);

h1=h:h:7*h;

xx=linspace(h,h*7);

p=polyfit(h1 ,error ,1)

z=polyval(p,xx);

error=abs(error);

plot(xx ,z,h1 ,error ,’ro’);

Una vez corrido el programa obtenemos los siguientes resultados, y la grafica donde se evidencia el comporta-miento del error en funcion de h:

3. Repetir el ejercicio anterior comparando la precision de la formula de diferencia adelantada con la retrasada. Aplicartambien ambas formulas al calculo de la derivada de la funcion g(x) = 1

(1+ex)en x = 1

2.

El codigo utlizado:

function ejercicio3

clc

clear all



syms x

f=’1/(1+ exp(x))’;

xo=1/2;


der=(subs(f,x,xo+h)-subs(f,x,xo))/h;

fprintf(’Derivada con diferencia adelantada: %.4f\n’,der);

der1=(subs(f,x,xo)-subs(f,x,xo -h))/h;

fprintf(’Derivada con diferencia atrasada: %.4f\n’,der1);

f1=diff(sym(f));

d=subs(f1,x,xo);

error=abs((d-der)/d);

error1=abs((d-der1)/d);

fprintf(’Error con diferencia adelantada: %f\n’,error);

fprintf(’Error con diferencia atrasada: %f\n’,error1);

if(error == error1)

fprintf(’El error es igual’);

else

if error >error1

fprintf(’El error de la diferencia retrasada es menor que la diferencia adelantada ’);

else

fprintf(’El error de la diferencia adelantada es menor que la diferencia retrasada ’);

end

end

El programa nos arroja a la pantalla lo siguiente:

4. Supongamos que se conoce el valor de la derivada mediante la formula de diferencia adelantada para tres valores de hdiferentes. ¿Es posible estimar el valor del h optimo? ¿Es posible estimar el error que se comete en el calculo en cadauno de los casos?. Aplicarlo al calculo de la derivada de la funcion f(x) = senx en x=0.6 usando h=0.1, h=0.01 yh=0.0000000001.

Solucion

El mejor valor que se le puede dar a b es aquel que este mas proximo a cero. En otras palabras h→ 0.

Es posible unicamente cuando se conoce el valor real de la derivada de la funcion original.

Los resultados que nos arroja Matlab son:

Calculo con h = 0,1

Calculo con h = 0,01

Calculo con h = 0,0000000001

5. Calcular la derivada de la funcion f(x) = tan(x) en x=3.14 usando h=0.1 y h=0.01. Comparar el resultado con elvalor exacto. ¿Es buena la aproximacion? ¿Por que?.

El valor de la derivada utilizando derivaicion numerica es muy bueno, porque el error estimado osila entre 0 y0.33 por ciento por lo tanto es una muy buena aproximacion.

El calculo con h=0.01 nos arroja un error del 0 por lo tanto es mucho mas preciso que si utilizamos h=0.1


function DerivacionAdelante

clc

clear all

syms x

h=0;

y=input(’Ingrese la funcion que desea derivar: ’);

xi=input(’Ingrese el punto en el cual desea calcular la derivada: ’);

while(h<=0)

h=input(’Ingrese h: ’);

if(h<=0)

display(’h debe ser mayor a cero’)

end

end

vreal=subs(diff(y),x, xi);

vaproximado =(subs(y,x,xi+h)-subs(y,x,xi))/h;

vreal2=subs(diff(diff(y)),x, xi);

vaproximado2 =(subs(y,x,xi+2*h) -2*subs(y,x,xi+h)+subs(y,x,xi))/(h^2);

error=abs((vreal -vaproximado)/vreal)*100;

error2=abs((vreal2 -vaproximado2)/vreal2)*100;

fprintf(’\nValor real 1ra derivada: %.4f\n’,vreal)

fprintf(’Valor aproximado 1ra derivada: %.4f\n’,vaproximado)

fprintf(’Error: %.2f %\n’,error)

fprintf(’\nValor real 2da derivada: %.4f\n’,vreal2)

fprintf(’Valor aproximado 2da derivada: %.4f\n’,vaproximado2)

fprintf(’Error: %.2f %\n’,error2)

La aplicacion en Matlab nos inidica lo siguiente:

6. Calcular cotas para el error de truncacion que se comete al aproximar las derivadas de las funciones f(x) = 11+senx

y g(x) = log(1 + 2x) . Calcular las cotas teniendo en cuenta el error de redondeo y comprobar que los errores realesestan por debajo de lo permitido por la cota. Las formulas mas utilizadas son las que emplean tres y cinco puntos deevaluacion. Las siguientes formulas se obtienen de las formulas de 3 puntos:

Si tomamos nodos equidistantes para aproximar f0(x) con x1 = x, x2 = x + h y x3 = x + 2h, con h > 0 deacuerdo con la formula anterior tenemos:

f ′(x) =−3f(x) + 4f(x+ h)− f(x+ 2h)

2h+h2

3f (3)(α)

que se conoce como formula progresiva de tres puntos.

Si los nodos son x1 = x− 2h, x2 = x− h y x3 = x, con h > 0 de acuerdo con la formula anterior tenemos:

f ′(x) =f(x− 2h)− 4f(x− h) + 3f(x)

2h+h2

3f (3)(α)

se conoce como formula regresiva de tres puntos.

Si tomamos x1 = x − h, x2 = x y x3 = x + h para aproximar f0(x), nos queda lo que se conoce como formulacentrada de tres puntos.

f ′(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h− h2

6f (3)(α)

Observemos que la cota del error en este ultimo caso es aproximadamente la mitad que en los otros dos casos,ademas esta formula necesita menos evaluaciones de f que la anterior.El error de truncamiento, si f (3)(α) no cambia muy rapidamente, tiende a cero a la misma velocidad que h2.Ahora bien de acuerdo al ejemplo anterior no es aconsejable elegir h demasiado pequeno, por lo que sera utildisponer de formulas que aproximen f ′(x) y que tengan un error de truncamiento de orden mayor al dado.

f(x) = 11+sin(x)

g(x) = ln(1 + 2x)

7. Construir una tabla de derivadas primeras de las funcion g(x) definida por la siguiente tabla en los puntos xj con lamayor precision posible mediante formulas de tres puntos.

x g(x)1.0 1.0000001.2 0.9975021.4 0.9900251.8 0.9603982.0 0.940678

Solucion y Calculos

Para la solucion de este ejercicio utilizaremos el programa que se realizo en el ejercicio numero 1, donde ingresamosel numero de puntos que deseamos y sus respectivas imagenes, el programa determina el polinomio interpolador,evalua las derivadas en esos puntos y nos devuelve los valores.

Codigo a utilizarse:

function ejercicio1

clc

clear all


n=input(’Ingrese el numero de puntos que va a ingresar: ’);


x=1:n;

y=1:n;

d=1:n;

for i=1:n

fprintf(’\nIngrese el valor de x %d: ’,i-1);

x(i)=input(’’);

fprintf(’\nIngrese el valor de f(x %d): ’,i-1);

y(i)=input(’’);

end

y1=polyfit(x,y,n-1);

%syms m;

display(y1);

%y2=poly2sym(y1,m);

%display(y2);


for i=1:n-1

d(i)=( polyval(y1,x(i)+h)-polyval(y1 ,x(i)))/h;

fprintf(’f´(x %d)= %.4f\n’,i-1,d(i));

end

fprintf(’Derivada con diferencia retrasada\n’);

d(n)=( polyval(y1,x(i))-polyval(y1,x(i)-h))/h;

fprintf(’f´(x %d)= %.4f\n’,n-1,d(n));

Con estos valores podremos completar el cuadro de las primeras derivadas.

x g(x) g’(x)1.0 1.000000 -0.00671.2 0.997502 -0.03081.4 0.990025 -0.05691.8 0.960398 -0.9662.0 0.940678 -0.0897

8. Usando la formula de diferencia centrada calcular la derivada primera de la funcion f(x) = arctanx en el punto x =√

2(el valor correcto es 1

3. Utilizar diferentes valores de h y estudiar los efecctos de los errores de redondeo y de truncacion.

Codigo a utilizarse

function DerivacionCentrada

clc

clear all

syms x

h=0;

y=input(’Ingrese la funcion que desea derivar: ’);

xo=input(’Ingrese el punto en el cual desea calcular la derivada: ’);

while(h<=0)

h=input(’Ingrese h: ’);

if(h<=0)

display(’h debe ser mayor a cero’)

end

end

vreal=subs(diff(y),x,xo);

vaproximado1 =(subs(y,x,xo+h)-subs(y,x,xo -h))/(2*h);

vaproximado2 =(-subs(y,x,xo+2*h)+8* subs(y,x,xo+h) -8*subs(y,x,xo-h)+subs(y,x,xo -2*h))/(12*h);

error1=abs((vreal -vaproximado1)/vreal)*100;

error2=abs((vreal -vaproximado2)/vreal)*100;

fprintf(’Valor real: %.8f\n’,vreal)

fprintf(’Valor aproximado de orden O(h^2): %.8f\n’,vaproximado1)

fprintf(’Valor aproximado de orden O(h^4): %.8f\n’,vaproximado2)

fprintf(’Error1: %.8f\n’,error1)

fprintf(’Error2: %.8f\n’,error2)

La aplicacion en Matlab nos muestra lo siguientePara h=0.1

Para h=0.01

Podemos observar en este ejemplo que el error disminuye a medida que h disminuye.

9. Deducir una formula de cinco puntos que utilice los valores de la funcion en lo puntos x, x+h, x+2h, x+3h y x-h paracalcular f ′(x).

Para la deduccion de la funcion con esos valores se empesara con la expacion de la serie de Taylor

f(x) = fn∗hn

n!

f(x+ 3h) = f(x) + f ′(x)h+ f ′′∗h2

2!+ f ′′′∗h3

3!

f(x+ 3h) = f(x) + f ′(x)h+ h2

2!∗ f(x+h)−2f(x)+f(x−h)

h2 + h3

3!∗ f(x+3h)−3f(x+2h)+f(x+h)−f(x)

h3

f ′(x) = −3f(x−h)+f(x)−6f(x+h)+3f(x+2h)+5f(x+3h)6h

II. INTEGRACION NUMERICA

1. Construya programas en MATLAB para las reglas compuestas: rectangulo, trapecio y Simpson”.

Para el desarollo de los siguientes ejercicios a desarollado, se emplearan los programas proporcionados por cadauno de los equipos.

PROGRAMA PARA TRAPECIO SIMPLE

clear all;

clc;

syms x

res=’s’;

while res~=’n’

fprintf(’Escuela Politecnica del Ejercito\n’);

fprintf(’ Metodos numericos\n’);

fprintf(’\n\t~~~~~~~~.:" INTEGRACION NUMERICA ":.~~~~~~~~ ’)

fprintf(’\n\t~~~~.:" REGLA DEL TRAPECIO ":.~~~~\n’)

fprintf(’Calculo de la integral por el Metodo del Trapecio\n\n’);

funcion=input(’ingrese la funcion \n f(x)=’,’s’);

b=input(’ingrese el limite superior de la integral\n’);

a=input(’ingrese el limite inferior de la integral\n’);

h=b-a;

x=a;

f=eval(funcion);

x=b;

fa= (f+eval(funcion))*(h/2);

fprintf(’El valor aproximado es: %10.15f\n\n’,fa)

fun=inline (funcion);

absc=a:0.001:b;

ezplot(fun ,absc);

grid on

ylabel(’F(x)’)

xlabel(’x’)

title(’Grafica de la funcion ’)

fprintf(’\n\nDesea ingresar otra funcion? (s o n)\n’)

res=input(’’,’s’);

while res~=’s’ && res~=’n’&&res~=’S’ && res~=’N’

fprintf(’s o n! \n’)


end

aprox =0;a=0;b=0;n=0;

end

PROGRAMA PARA TRAPECIO COMPUESTO

function trapecio_compuesto ()

syms x

res=’s’;

while res~=’n’

clc

fprintf(’Escuela Politecnica del Ejercito\n’);

fprintf(’ Metodos numericos\n’);

fprintf(’Integrantes :\n’);

fprintf(’\tMarco Paredes\n’);

fprintf(’\tJuan Paredes\n’);

fprintf(’\tJorge Martınez\n’);

fprintf(’\tLuis Roman\n\n’);

fprintf(’\n\t~~~~~~~~.:" INTEGRACION NUMERICA ":.~~~~~~~~ ’)

fprintf(’\n\t~~~~.:" REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO ":.~~~~\n’)

f=input(’\nIngrese la funcion: ’,’s’);

fprintf(’\tDigite los limites de integracion :\n(intervalo en que se evaluara el

valor numerico de la integral de la funcion)\n’)

a=input(’ a= ’);

b=input(’ b= ’);

fprintf(’\tDigite el numero de subintervalos :\n(partes en los que se dividira la

funcion dentro del intervalo)\n’)

n=input(’ n= ’);

fprintf(’\nFuncion: ’);

disp(f)

fprintf(’De a= %.2f’,a);

fprintf(’\t->\tHacia b= %.2f’,b);

fun=inline(f);

absc=a:0.001:b;

ezplot(fun ,absc);

grid on

ylabel(’F(x)’)

xlabel(’x’)

title(’Grafica de la funcion ’)

h=(b-a)/n;

aprox=fun(a)+fun(b);

for i=1:n-1

x=a+i*h;

aprox=aprox +2*fun(x);

end

aprox=(h/2)*aprox;

fprintf(’\n\nLa integral de la funcion en el intervalo [ %.2f, %.2f]( lımites), con n

= %.f\n’,a,b,n)

fprintf(’\nEs aproximadamente : %f’,aprox);

fprintf(’\n\nDesea ingresar otra funcion? (s o n)\n’)


while res~=’s’ && res~=’n’&&res~=’S’ && res~=’N’

fprintf(’s o n! \n’)


end

aprox =0;a=0;b=0;n=0;

end

PROGRAMA PARA SIMPSON 1/3 SIMPLE

function simpsonuntercio

clc

clear all

fprintf(’********************************* INTEGRACION NUMERICA SIMPSON 1/3

*****************************\n\n’)

syms x

y1=input(’ingrese la funcion: \n’)

a=input(’ingrese el limite inferior: \n’)

b=input(’ingrese el limite superior: \n’)

c= (b+a)*0.5

h=(b-a)*0.5

fxa=subs(y1 ,x,a)

fxb=subs(y1 ,x,b)

fxc=subs(y1 ,x,c)

int=(h/3)*(fxa+4* fxc+fxb)

integral=quadl(inline(char(y1)),a,b)

error=(integral -int)/integral;

disp(error)

fprintf(’la integral es: %.4f’,int)

hold on

grid on

absc=a:0.0001:b;

plot(absc ,subs(y1 ,x,absc),’r’);

xlabel(’X’)

ylabel(’Y’)

PROGRAMA PARA SIMPSON 1/3 COMPUESTO

function simpsonunterciocompuesto

clc

clear all

fprintf(’*************************** INTEGRACION NUMERICA SIMPSON 1/3 COMPUESTO

*****************************\n\n’)

syms x

y1=input(’Ingrese la funcion: \n’)

a=input(’Ingrese el limite inferior: \n’)

b=input(’Ingrese el limite superior: \n’)

n=3

while(mod(n,2) ~=0)

n=input(’Ingrese el numero de subintervalos (deben ser multiplos de 2): \n’)

end

v=1:n+1;

div=(b-a)/n

fv=1:n+1

for k=1:n+1

v(k)=a+div*(k-1)

fv(k)=subs(y1,x,v(k));

end

disp(v)

disp(fv)

h=(b-a)*0.5

fxa=subs(y1 ,x,a)

fxb=subs(y1 ,x,b)

acu1=0

for i=3:2:n

disp(i)

acu1=acu1+fv(i)

end

acu2=0

for j=2:2:n

disp(j)

acu2=acu2+fv(j)

end

int=(b-a)*(( fxa+2* acu1 +4* acu2+fxb)/(3*n))

y2=(x)y1;fprintf(’la integral es: hold ongrid

onabsc=a:0.0001:b;plot(absc,subs(y1,x,absc),’r’);xlabel(’X’)ylabel(’Y’)

PROGRAMA PARA SIMPSON 3/8 SIMPLE

function simpsontresoctavos

clc

clear all

fprintf(’*************************** INTEGRACION NUMERICA SIMPSON 3/8

*****************************\n\n’)

syms x

y1=input(’Ingrese la funcion: \n’);

a=input(’Ingrese el limite inferior: \n’);

b=input(’Ingrese el limite superior: \n’);

n=3;

v=1:n+1;

h=(b-a)/n;

fv=1:n+1;

for k=1:n+1

v(k)=a+h*(k-1);

fv(k)=subs(y1,x,v(k));

end

disp(v);

disp(fv);

fxa=subs(y1 ,x,a);

fxb=subs(y1 ,x,b);

int=(b-a)*(( fxa+3*fv(2)+3*fv(3)+fxb)/(8));

%q=quad(y1 ,0,1);

fprintf(’la integral es: %.4f’,int);

grid on

hold on

absc=a:0.001:b;

for i=a:0.001:b

plot(i,subs(y1,x,i),’b’);

end


area(subs(y1 ,x,absc));

xlabel(’X’)

ylabel(’Y’)

PROGRAMA PARA SIMPSON 3/8 COMPUESTO

function simpsontresoctavos

clc

clear all

fprintf(’*************************** INTEGRACION NUMERICA SIMPSON 1/3 COMPUESTO

*****************************\n\n’)

syms x

y1=input(’Ingrese la funcion: \n’)

a=input(’Ingrese el limite inferior: \n’)

b=input(’Ingrese el limite superior: \n’)

n=4

while(mod(n,3) ~=0)

n=input(’Ingrese el numero de subintervalos (debe ser multiplo de 3): ’)

end

v=1:n+1;

div=(b-a)/n

fv=1:n+1

for k=1:n+1

v(k)=a+div*(k-1)

fv(k)=subs(y1,x,v(k))

end

disp(v)

disp(fv)

h=(b-a)/n

fxa=subs(y1 ,x,a)

fxb=subs(y1 ,x,b)

acu1=0

for i=2:3:n

disp(i)

acu1=acu1+fv(i)

end

acu2=0

for j=3:3:n

disp(j)

acu2=acu2+fv(j)

end

acu3=0

for i=4:3:n-1

disp(i)

acu3=acu3+fv(i)

end

int =(3/8)*h*(fxa+3* acu1 +3* acu2 +2* acu3+fxb)

%q=quad(y1 ,0,1);

fprintf(’la integral es: %.4f’,int)

hold on

grid on

absc=a -1:0.0001:b+2;


xlabel(’X’)

ylabel(’Y’)

2. Aproxime cada una de las siguientes integrales, utilizando los programas desarrollados.

∫ 1

−1(1 + x2)−1dx Solucion

∫ 2

02xcon(x)dx Solucion

∫ π0sin(2x)e−xdx Solucion

3. Considere las siguientes funciones:

x3 para0 ≤ x ≤ 1

sin(x) para0 ≤ x ≤ π4

e−x para0 ≤ x ≤ 1

Teniendo presente que:

Longitud de una curva. La longitud de una curva y=f(x) definida sobre un intervalo [a,b] es:

longitud =∫ ba

√1 + (f ′(x))2dx

Area de una superficie de revolucion. El area de la superficie del solido de revolucion se obtiene al girar alrededordel eje OX la region limitada por la curva y=f(x) y el intevalo [a,b], viene dada por:

area = 2π∫ baf(x)

√1 + (f ′(x))2dx

Calcula la longitud de curva y la superficie de revolucion de las curvas dadas, utilizando las reglas compuestas.Realize, ademas, un analisis del error cometido por cada uno de los metodos. Mostrar las graficas.

f(x) = x3 para 0 ≤ x ≤ 1

f ′(x) = 3x2

longitud =

∫ 1

0

g(x)dx

=

∫ 1

0

√1 + 9x4dx

g′(0,5) = 1,8

g′′(0,5) = 8,208

g(4)(0,5) = −119,88

area =

∫ 1

0

h(x)dx

=

∫ 1

0

2πx3√

1 + 9x4

h′(0,5) = 1,1625

h′′(0,5) = 7,476

h(4)(0,5) = 199,1831

f(x) = sin(x) para 0 ≤ x ≤ π/4

f ′(x) = cos(x)

longitud =

∫ π/4

0

g(x)dx

=

∫ π/4

0

√1 + cos2(x)dx

g′(π/8) = −0,2596

g′′(π/8) = −0,5689

g(4)(π/8) = 1,9084

area =

∫ π/4

0

h(x)dx

=

∫ π/4

0

2πsen(x)√

1 + cos2(x)dx

h′(π/8) = 7,2786

h′′(π/8) = −7,6564

h(4)(π/8) = 38,6602

f(x) = e−x para 0 ≤ x ≤ 1

f ′(x) = −e−x

longitud =

∫ 1

0

g(x)dx

=

∫ 1

0

√1 + e−2xdx

g′(0,5) = −0,3145

g′′(0,5) = 0,5444

g(4)(0,5) = 0,8749

area =

∫ 1

0

h(x)dx

=

∫ 1

0

2πe−x√

1 + e−2xdx

h′(0,5) = −5,6558

h′′(0,5) = 8,9296

h(4)(0,5) = 37,5192

Al ingresar las funciones, sus lımites, y luego ponerlas como argumentos de los programas modificados:

f1l=@(x)(sqrt(1+9*x^4));f1a=@(x)(2*pi*x^3*sqrt(1+9*x^4));a1=0;b1=1;[l1r e1r]=int_rec2(f1l,a1,b1,1E5,1.8)[l1t e1t]=int_trap2(f1l,a1,b1,1E5,8.208)[l1s e1s]=int_simp2(f1l,a1,b1,1E5,-119.88)[a1r e1r]=int_rec2(f1a,a1,b1,1E5,1.1625)[a1t e1t]=int_trap2(f1a,a1,b1,1E5,7.476)[a1s e1s]=int_simp2(f1a,a1,b1,1E5,199.18)f2l=@(x)(sqrt(1+(cos(x))^2));f2a=@(x)(2*pi*sin(x)*sqrt((1+(cos(x))^2)));a2=0;b2=pi/4;[l2r e2r]=int_rec2(f2l,a2,b2,1E5,-0.2596)[l2t e2t]=int_trap2(f2l,a2,b2,1E5,-0.5689)[l2s e2s]=int_simp2(f2l,a2,b2,1E5,1.9084)[a2r e2r]=int_rec2(f2a,a2,b2,1E5,7.2786)[a2t e2t]=int_trap2(f2a,a2,b2,1E5,-7.6564)[a2s e2s]=int_simp2(f2a,a2,b2,1E5,38.6602)f3l=@(x)(sqrt(1+(exp(-2*x))));f3a=@(x)(2*pi*exp(-x)*sqrt(1+(exp(-2*x))));a3=0;b3=1;[l3r e3r]=int_rec2(f3l,a3,b3,1E5,-0.3145)[l3t e3t]=int_trap2(f3l,a3,b3,1E5,0.5444)[l3s e3s]=int_simp2(f3l,a3,b3,1E5,0.8749)[a3r e3r]=int_rec2(f3a,a3,b3,1E5,-5.6558)[a3t e3t]=int_trap2(f3a,a3,b3,1E5,8.9296)[a3s e3s]=int_simp2(f3a,a3,b3,1E5,37.5192)

Se obtiene los siguientes resultados para la longitud:

f1(x) f2(x) f3(x)rectangulo cuadratura 1.5478 1.0581 1.1927

error 9x10−6 8x10−7 1.57x10−6

trapecio cuadratura 1.5478 1.0581 1.1927error 6.84x10−11 2.29x10−12 4.53 x10−12

simpson cuadratura 1.5478 1.0581 1.1927error 4.16x10−22 1.98x10−24 3.03x10−24

y los siguientes resultados para el area:

f1(x) f2(x) f3(x)rectangulo cuadratura 3.5632 2.4224 4.8492

error 5.81x10−6 2.24x10−5 2.82x10−5

trapecio cuadratura 3.5629 2.4224 4.8492error 6.23x10−11 3.09x10−11 7.44x10−11

simpson cuadratura 3.5630 2.4224 4.8492error 6.916x10−22 4.01x10−23 1.3x10−22

Graficas

erl =[9E-6 8E-7 1.57E-6];

etl =[6.84E-11 2.29E-12 4.53E-12];

esl =[4.16E-22 1.98E-24 3.03E-24];

era =[5.81E-6 2.24E-5 2.82E-5];

eta =[6.23E-11 3.09E-11 7.44E-11];

esa =[6.916E-22 4.01E-23 1.3E-22];

x=1:3;

plot(x,erl);hold on;

plot(x,etl ,’c’);

plot(x,esl ,’y’);

plot(x,era);

plot(x,eta ,’c’);

plot(x,esa ,’g’);

ylabel(’Error ’)

grid on

Erect =(b− a)h

2f ′(c) h

b− aM

Etrap =(b− a)h2

12f ′′(c) h

b− aM

Esimp =(b− a)h4

180f (4)(c) h

b− a2M

Regla del rectangulo

disp(’Rectangulo compuesta ’)

syms x;

f=input(’Ingrese la funcion: ’);

a=input(’Ingrese a: ’);

b=input(’Ingrese b: ’);

t=input(’Ingrese t: ’);

[ int ] = int_rec( f,a,b,t )

h=(b-a)/t;

x=linspace(a,b,t);

int =0;

for i=1:t

int=int+h*f(x(i));

end

Regla del trapecio

disp(’Trapecio compuesta ’)

syms x;





[ int ] = int_trap( f,a,b,t )

h=(b-a)/t;

x=linspace(a,b,t+1);

int= (h/2)*(f(a) +f(b));

for i=2:t-1

int=int + h*( f( x(i) ) );

end

Regla de Simpson

disp(’Simpson compuesta ’)

syms x;





[ int ] = int_simp( f,a,b,M )

h=(b-a)/(2*M);

x=linspace(a,b, 2*M + 1);

int= (h/3)*(f(a) +f(b));

for i=2:M-1

int= int + ((2*h)/3)*(f(x(2*i)));

end

for i=2:M

int= int + ((4*h)/3)*(f(x(2*i-1)));

end

4. Determine las constantes wo, w1 y w2 de manera que:

∫ 2

0g(t)dt = wog(0) + w1g(1) + w2g(2)

Sea exacta para las funciones g(t)=1, g(t)=t, g(t)=t2

g(t) = 1g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 1∫ 2

0

g(t)dt =

∫ 2

0

dt

= t

∣∣∣∣20

= 2

por lo tanto:2 = w0 + w1 + w2

g(t) = tg(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 2∫ 2

0

g(t)dt =

∫ 2

0

tdt

=t2

2

∣∣∣∣20

= 2

por lo tanto:2 = w1 + 2w2

g(t) = t2

g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 4∫ 2

0

g(t)dt =

∫ 2

0

t2dt

=t3

3

∣∣∣∣20

=8

3

por lo tanto:8

3= w1 + 4w2

Armando el sistema con las 3 ecuaciones f(w) encontradas, se tiene:{w0 + w1 + w2 = 20 + w1 + 2w2 = 20 + w1 + 4w2 = 8

3

Resolviendo el sistema se obtienen los valores de las costantes:

w0 =1

3w1 =

4

3w2 =

1

3

5. Use la relacion f(x0 + ht)=g(t) y el cambio de variable x = xo + ht con dx = hdt para transladar la regla de Simpsondesde [0,2] hasta el intervalo [x0, x2].

Si se sabe que el polinomio interpolador de Lagrange para M = 2, que es el corespondiente a la regla de Simpson es:

P2(x) = f0(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)+ f1

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)+ f2

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)

Puesto que f0, f1, y f2 son constantes a la hora de integrar, las relaciones dadas en la parte de arriba quedan, en estecaso:

∫ x2

x0

f(x)dx ≈ f0

∫ x2

x0

(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)dx+ f1

∫ x2

x0

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

+ f2

∫ x2

x0

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)

∫ x2

x0

f(x)dx ≈ f0

∫ x2

x0

(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)dx+ f1

∫ x2

x0

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

+ f2

∫ x2

x0

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)∫ x2

x0

f(x)dx ≈ f0

∫ 2

0

h(t− 1)h(t− 2)

(0− h)(0− 2h)dx+ f1

∫ 2

0

h(t− 0)h(t− 2)

(h− 0)(h− 2h)dx

+ f2

∫ 2

0

h(t− 0)h(t− 1)

(2h− 0)(2h− h)

= f0

∫ 2

0

h(t− 1)h(t− 2)

(−h)(−2h)dx+ f1

∫ 2

0

h(t)h(t− 2)

(h)(−h)dx

+ f2

∫ 2

0

h(t)h(t− 1)

(2h)(h)

=f02

∫ 2

0

(t2 − 3t+ 2)hdt− f1∫ 2

0

(t2 − 2t)hdt+f22

∫ 2

0

(t2 − t)hdt

=hf02

∫ 2

0

(t2 − 3t+ 2)dt− hf1∫ 2

0

(t2 − 2t)dt+hf22

∫ 2

0

(t2 − t)dt

=hf02

(t3

3− 3t2

2+ 2t) |20 −hf1(

t3

3− t2) |20 +

hf22

(t3

3− t2

2) |20

=hf02

(8

3− 12

2+ 4)− hf1(

8

3− 4) +

hf22

(8

3− 4

2)

=h

3(f0 + 4f1 + f2)

∫ x2

x0

f(x)dx ≈ h

3(f0 + 4f1 + f2)

6. Determine en cada uno de los siguientes casos, el numero m y el tamano de los subintervalos h de manera que la regladel trapecio y la de Simpson (conciderar cada regla por separado) con m subintervalos nos permita obtener la integraldada con una presicion de 5x10−9.∫ π\6

−π\6 cos(x)dx∫ 3

21

5−xdx∫ 2

0xe−xdx

∫ π/6−π/6 cos(x)dx

Para la regla del trapecio

f(x) = cos(x)

f ′′(x) = −cos(x)

c = {max(|f ′′(x)|)/x ∈ [−π/6, π6]}= 0

|f ′′(c)| ≤ |f ′′(0)| = 1

reemplazando |f ′′(c)| en la formula del error:

ETrap =(b− a)f ′′(c)

12h2

=(π/6 + π/6)1

12h2

=π

36h2

la precision que nos pide el enunciado es de 5x10−9, entonces el error E deber ser menor o igual que dicha precision, ademaspara este caso h = 5/M , asa se tiene:

ETrap ≤ 5x10−9

π

36h2 ≤ 5x10−9

25π

36M2≤ 5x10−9

25π

36(5)x10−9 ≤ M2

20888, 56 ≤ M

pero como M debe, necesariamente se un numero entero, se aproxima al inmediato entero superior:

M = 20889

luego reemplazar el valor de M en h = 5/M :

h =5

M

=5

20889= 0,00023936

Para la regla de Simpson

f(x) = cos(x)

f (4)(x) = cos(x)

c = {max(|f (4)(x)|)/x ∈ [−π/6, π6]}= 0

|f (4)(c)| ≤ |f (4)(0)| = 1

reemplazando |f (4)(c)| en la formula del error:

ESimp =(b− a)f (4)(c)

180h4

=(π/6 + π/6)1

180h4

=π

540h4

la precision que nos pide el enunciado es de 5x10−9, entonces el error E deber ser menor o igual que dicha precision, ademaspara este caso h = 5/2M , asa se tiene:

ESimp ≤ 5x10−9

π

540h4 ≤ 5x10−9

625π

540(16)M4≤ 5x10−9

625π

540(16)(5)x10−9 ≤ M4

82, 108 ≤ M


M = 83

luego reemplazar el valor de M en h = 5/2M :

h =5

2M

=5

2(83)

= 0,03012048193∫ 3

21

5−xdx


f(x) =1

5− x

f ′′(x) =−2

(x− 5)3

c = {max(|f ′′(x)|)/x ∈ [2, 3]}= 3

|f ′′(c)| ≤ |f ′′(3)| = 0,25



12h2

=(3− 2)0,25

12h2

=1

48h2


ETrap ≤ 5x10−9

1

48h2 ≤ 5x10−9

25

48M2≤ 5x10−9

25

48(5)x10−9 ≤ M2

10206, 20 ≤ M


M = 10207


h =5

M

=5

10207= 0,000489859


f(x) =1

5− x

f (4)(x) =−24

(x− 5)5

c = {max(|f (4)(x)|)/x ∈ [2, 3]}= 3

|f (4)(c)| ≤ |f (4)(3)| = 0,75



180h4

=(3− 2)0,75

180h4

=1

240h4


ESimp ≤ 5x10−9

1

240h4 ≤ 5x10−9

625

240(16)M4≤ 5x10−9

625

240(16)(5)x10−9 ≤ M2

75, 53 ≤ M


M = 76


h =5

2M

=5

2(76)

= 0,03289473684∫ 2

0xe−xdx


f(x) = xe−x

f ′′(x) =x− 2

ex

c = {max(|f ′′(x)|)/x ∈ [0, 2]}= 0

|f ′′(c)| ≤ |f ′′(0)| = 2



12h2

=(2− 0)2

12h2

=1

3h2


ETrap ≤ 5x10−9

1

3h2 ≤ 5x10−9

25

3M2≤ 5x10−9

25

3(5)x10−9 ≤ M2

40824, 82 ≤ M


M = 40825


h =5

M

=5

40825= 0,000122473


f(x) = xe−x

f (4)(x) =x− 2

ex

c = {max(|f (4)(x)|)/x ∈ [0, 2]}= 0

|f (4)(c)| ≤ |f (4)(0)| = 4



180h4

=(2− 0)4

180h4

=2

45h4


ESimp ≤ 5x10−9

2

45h4 ≤ 5x10−9

2(625)

45(16)M4≤ 5x10−9

2(625)

45(16)(5)x10−9 ≤ M2

136, 506 ≤ M


M = 137


h =5

2M

=5

2(137)

= 0,01824817518

D4_Cárdenas, deber de integracion y derivacion

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