Curvas maravillosas

Click here to load reader

  • date post

    03-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.546
  • download

    16

Embed Size (px)

Transcript of Curvas maravillosas

  • 1. Curvas maravillosas CURVAS MARAVILLOSAS1.- IntroduccinA pesar del sugerente ttulo, el contenido de este trabajo no tiene nada de contenido ertico.Ms bien vamos a tratar con figuras geomtricas planas.Previamente, repasemos el concepto matemtico de funcin. Una funcin es una relacinentre dos o ms variables, expresable trminos matemticos.y = f (x1, x2, x3, )Nosotros vamos a tratar en este trabajo, nicamente con funciones de una sola variable. y = f(x)2.- Tipos de funcionesDado que vamos a limitar nuestro estudio a curvas en el plano y un punto en el plano tienedos grados de libertad, trabajaremos con UNA sola variable.Una coordenada puede variar libremente, pero la otra est obligada a tomar determinadosvalores, condicionados por la expresin matemtica que define la funcin.La variable independiente puede tomar cualquier valor. La variable dependiente o funcinva tomando valores, en funcin de la primera. Habitualmente, en Matemticas, la variable inde-pendiente la simbolizamos con la letra x y la variable dependiente con la letra y.Cuando la variable y est despejada, a un lado del smbolo de igualdad, decimos que la fun-cin est en forma explcita.y = 2x3 3x + 10 Vicente Viana Martnez Pg 1

2. Curvas maravillosasCuando la x y la y estn unidas entre s, mediante operadores matemticos decimos que lafuncin est expresada en forma implcita. x2y2 xy = 1Cuando la x y la y estn relacionadas en ecuaciones separadas, por un parmetro comn "t",decimos que la funcin est expresada en forma paramtrica. Obviamente despejando el parme-tro "t" en una de las ecuaciones y sustituyendo en la otra, obtendramos la funcin en forma impl-cita. x = cos3 t y = sen3 t3.- Representaciones grficasEn todo caso lo que a nosotros nos interesa es la representacin grfica de las funciones.Para ello utilizaremos las formas de representacin; cartesiana, polar y paramtrica.1) Coordenadas cartesianas o rectangularesLa x la representaremos en el eje horizontal, llamado eje de abscisas y la variable y en eleje vertical, llamado eje de ordenadas. Cada pareja de valores P (x, y) representa un punto en elplano. La unin del conjunto de puntos conforma una lnea (recta o curva) que nos permite visua-lizar grficamente la funcin. YY xP(x,y)P(x,y) y y = f(x)OX O X Vicente Viana Martnez Pg 2 3. Curvas maravillosas2) Coordenadas polaresPodemos representar un punto en el plano conociendo la distancia r del origen al punto y elngulo (en radianes) que forma ese radio con el eje horizontal.P(r,) r O X3) Coordenadas paramtricasPodemos representar la posicin de un punto usando la llamada forma paramtrica. Conesta forma, las coordenadas x e y son ambas funcin de un parmetro comn t.Se expresa como. x = x(t) y = y(t)Dando distntos valores a t, obtenemos todos los puntos P(x,y) que conforman el desarrollode la curva.RESUMEN:Forma rectangular : y = f(x)Forma polar:r = r()Forma paramtrica: x = x(t) y = y(t) Vicente Viana MartnezPg 3 4. Curvas maravillosas4.- Software para representacin de funcionesEs evidente que la representacin grfica supone ir calculando uno a uno cada punto de lafuncin y luego unirlos. Salvo en el caso de una recta, que con tan solo dos puntos, podemos di-bujar la funcin completa, en el resto de los casos, el proceso manual es realmente penoso y en-tretenido.Por ello, resulta de gran inters disponer de una herramienta informtica que nos ahorre esetrabajo. El programa elegido con el que vamos a trabajar es el Advanced Graphics.Advanced Graphics es un sencillsimo programa de poco ms de 1 Mb de tamao, que unavez instalado en nuestro ordenador, nos permite visualizar, entender y analizar las propiedades deuna funcin matemtica de forma perfectamente comprensible gracias a su agradable entorno gr-fico.Existen otros programas informticos como Derive o MatLab muchsimo ms potentes y enmuchos casos preferibles. Son excelentes programas matemticos muy completos entre cuyas ex-tenssimas posibilidades est incluida la representacin de funciones. En el caso de AdvancedGraphics se trata de un programa exclusivamente para la representacin de funciones en 2-D ycomo nicos complementos permite obtener la funcin derivada y el clculo de integrales defini-das (reas) Eso s, permite el uso de coordenadas rectangulares, polares y paramtricas, inclu-yendo tambin la posibilidad de presentar varias funciones en la pantalla usando distintos coloresy distintos grosores en el trazo, as como encontrar puntos de corte, ceros de la funcin y tablas devalores.El programa es muy intuitivo y prcticamente no es necesario aprender ningn extenso ma-nual. De todas formas, cuando se est un cierto tiempo sin usarlo se hace necesario repasar las op-ciones ms interesantes y por ello la conveniencia de contar con este breve manual.Este programa puede ser de gran utilidad para los alumnos y profesores de Secundaria comoelemento didctico y tambin para alumnos de Bachillerato y Universidad, principalmente en laenseanza y aprendizaje de las Matemticas, comenzando por la representacin de funciones sen-cillas y posteriormente con el anlisis funcional. Encontrar los ceros de funciones polinmicas, vi-sualizar la funcin derivada, o el clculo de integrales definidas son aspectos importantes y muyfrecuentes en la prctica diaria docente. Vicente Viana Martnez Pg 4 5. Curvas maravillosasAspectos que se comprenden muchsimo mejor cuando puede visualizarse la funcin mate-mtica, escrita algebraicamente, sobre la pantalla del ordenador o bien imprimindola sobre papelusando colores. No menos importante es el uso de las funciones en coordenadas polares y param-tricas aspectos que siempre aparecen desdibujados en los contenidos curriculares.Igualmente, en Fsica y en Qumica, a la hora de obtener ecuaciones del movimiento, tra-yectorias, encuentros, grficas del movimiento ondulatorio, etc. junto con la no menos importanterepresentacin de tablas de valores obtenidos en las prcticas de laboratorio, el programa resultamuy prctico y de una gran ayuda didctica por su capacidad de visualizar ciertos fenmenos f-sico-qumicos.Tambin para los profesores que deseen editar apuntes, escribir libros de texto, etc o bienalumnos que vayan a presentar trabajos, memorias, proyectos, Advanced Graphics les permiteobtener grficas de funciones para posteriormente exportarlas como ficheros grficos con exten-sin "bmp" e insertar esa imagen en el texto en el que estn trabajando.5.- Utilidades de las curvas matemticasEl estudio de las curvas (funciones) matemticas, junto con sus propiedades, vinculacionesy representaciones, constiuye un extenso, atrayente y no totalmente explorado tema dentro de lasMatemticas. De la pura belleza formal se ha pasado a importantes aplicaciones dentro del mundode la ingeniera, ya sea en pequeos mecanismos o en megaestructuras, aparte de su utilizacin enarquitectura, diseo, representaciones artsticas, sin olvidarnos de sus aplicaciones en Mecnicaceleste y el estudio de las formas geomtricas de algunas formas de vida.Es realmente fascinante que la Naturaleza, ya sea a nivel puramente visual como a nivel es-tructural pueda llegar a describirse en formas geomtricas perfectamente reproducibles como fun-ciones matemticas. Vicente Viana MartnezPg 5 6. Curvas maravillosas6.- Las primeras curvas. Curvas histricas1) Cardioide vdeo cardioide video cardioide2videocardioide3r = 4(1 cos )La cardioide es la ms sencilla de las epicicloides: es la curvadescrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizaralrededor de otra circunferencia de igual radio.2) Caracol de Pascalr = 4cos - 3 video caracol Pascal video caracol Pascal23) Astroide video astroide2 2 2x 3 + y3 = a 34) Cisoide de Diocles video cisoide Dioclessen 2 r = 10 cos 5) Concoide de Nicomedes video concoide Nicomedes2r= 10cos Vicente Viana Martnez Pg 6 7. Curvas maravillosas6) Folio de Descartesvdeo folio Descartes3 sen cos r= cos3 + sen 3 7) Lemniscata de Bernouilli video leminiscata Bernouillir = 2 cos 28) Lemniscata de Geromo9) Cocloidevideo cocloide sen tr = a t10) Concoide de Pascalk2 x2y= x2 a (x + a ) Vicente Viana Martnez Pg 7 8. Curvas maravillosas11) Bicornevideo Bicornex = asen t cos 2 ty = a (2 cos t )12) Curtica periformey = x 3 (a x ) 1 b13) Curva de Lam 2 2x y + =1a b14) Parbola de Neile o semicbicavideo parabola Neiley = 3 a x215) Nefroide video nefroide video nefroide2x = a (3 cos t cos (3 t ))y = a (3 sen t sen (3 t )) Vicente Viana MartnezPg 8 9. Curvas maravillosas16) Serpentina video serpentina Newtona d xy= ( x 2 + d2 )17) Tricspide o deltoidex = a(2cos t + cos 2t)y = a(2sen t - sen 2t)18) Tridente de Newtony= 1 x ( a x 3 + b x 2 + c x + d )19) Trisectriz de Mac Lauriny = x (3 a x )(a + x )20) Bruja de Agnesi8 a 3y= x 2 + 4 a 2 Vicente Viana Martnez Pg 9 10. Curvas maravillosas21) Estrofoide de Newtonx = asen ty = atg t(1 - sen t)22) Curva del diablo a2r= b +2 cos 2 2 t Vicente Viana Martnez Pg 10 11. Curvas maravillosas7.- Las espirales y los folios1) Espiral de Arqumedesr = 0,82) Espiral logartmicar = 2e0,33) Espiral de Fermatr = a t4) Espiral hiperblica ar= t5) Lituus ar=t Vicente Viana Martnez Pg 11 12. Curvas maravillosas6) Foliosr = sen 2r = sen 67)Trifolior = acos 3t Vicente Viana Martnez Pg 12 13. Curvas maravillosas8.- Las cicloidesForman un conjunto de curvas que representan el lugar geomtrico de los puntos situadossobre una rueda (circunferencia generatriz) cuando sta gira uniformemente sin resbalar sobre unasuperficie lisa.a) Si el punto est sobre la periferia de la circunferencia gene-ratriz a una distancia del centro = radio r, se forma la cicloide co-mn. x = 2t 2sen t y = 2(1 cos t)El rea encerrada por un arco de ci-cloide es igual a 3 veces el rea del crculogeneratriz. En esa posicin el rea del cr-culo (en blanco) es igual a cada una de laszonas sombreadas de los lados.La longitud del arco de cicloide es igual a 4 veces la longitud del dimetro del crculo gene-radorb) Si el punto est sobre el radio de la circunferencia genera-triz a una distancia < r, se forma una cicloid