CURVAS ESPIRALES DE

CURVAS ESPIRALES DE

TRANSICIN

Aunque las curvas de transicin hacen parte del diseo del alineamiento horizontal, pero dado que es un tema lo suficiente extenso y especifico se ha decidido tratarlo por separado.

El alineamiento horizontal con curvas circulares simples esta compuesto por tramos rectos enlazados por arcos circulares. Un tramo recto, o en tangente, presenta un radio de curvatura infinito mientras que un arco circular presenta una radio de curvatura constante lo que significa que en el PC y PT de una curva circular se presenta un cambio brusco y puntual de curvatura, ocasionando a su vez un cambio inmediato en la fuerza centrifuga. Lo anterior obliga a los conductores a desarrollar una trayectoria errnea durante un tramo de va, principalmente a la entrada y salida de las curvas, mientras se asimila el cambio en dicha fuerza centrifuga.

Por la razn expuesta anteriormente, y otras que se trataran ms adelante, se ha hecho necesario implementar una curva de transicin que permita un cambio gradual de curvatura entre una recta y una curva circular mejorando de manera ostensible la comodidad, seguridad y esttica en una va.

En la Figura 45 se puede observar el diagrama de curvatura de una curva circular

simple. Ntese la discontinuidad en la curvatura en el PC y en el PT de la curva.

6.1 VENTAJA DE LAS CURVAS DE TRANSICIN

Adems de brindar una mayor comodidad y seguridad para los usuarios de una va, las curvas de transicin presentan otras ventajas de gran importancia como son:

Permite un cambio de curvatura gradual y cmodo entre un elemento con un radio de curvatura infinito (recta) y un elemento con radio de curvatura constante (arco circular). Cuando se emplean solo lneas y arcos este cambio se realiza de una manera puntual ocasionando incomodidad e inseguridad en los conductores.Permiten ajustar el trazado de la va a la trayectoria recorrida por los vehculos en las curvas, evitando que estos invadan el carril contrario.

Brinda una mejor apariencia a la carretera.

Permiten desarrollar la transicin del peralte de forma que el valor de este en cualquier punto corresponda al requerido por la curvatura en dicho punto.

Cuando se tienen alineamientos slo con lneas y arcos circulares se tiene que en el punto de tangencia entre estos dos elementos se debe pasar de un peralte de cero a un peralte requerido para la curva de acuerdo al valor del radio y fuerza centrifuga. Lo anterior obliga a que este cambio de peralte, que debe ser gradual, se desarrolle ya sea en la recta, en el arco circular o en ambos elementos. Cualquiera que sea la solucin genera problemas tanto de incomodidad como de inseguridad.

Si la transicin del peralte se realiza en su totalidad en la recta entonces se est generando cierto grado de incomodidad ya que no se requiere peralte en una recta.

Si se desarrolla la transicin en la curva circular entonces se est generando inseguridad ya que tanto a la entrada como a la salida de la curva se esta suministrando un valor de peralte inferior al requerido. Adems esta solucin no es posible en muchas ocasiones debido a que la longitud de la curva circular es relativamente corta.Por ltimo, si se combinan las dos soluciones anteriores se est generando, aunque en menor proporcin, cierto grado de incomodidad e inseguridad.

Incrementa la visibilidad

Permite reemplazar largas tangentes por curvas cmodas y seguras sin alargar mucho la longitud de la va y sin afectar la visibilidad.

Facilita el cambio en el ancho de calzada en curvas donde, de acuerdo a su radio principalmente, se requiere un ancho adicional. Este ancho adicional se denomina sobreancho y ser estudiado en otro capitulo.

Se evita la necesidad de entre tangencias.

Ya que las curvas con espirales no requieren entre tangencias, la tendencia mundial en diseo de vas es la de obtener alineamientos suaves con curvas espiralizadas y sin tramos rectos.

En la Figura 46 se tiene el diagrama de curvatura de una curva con espirales de transicin la inicio y al final de esta.

6.2 TIPOS DE CURVAS DE TRANSICIN

Las curvas de transicin inicialmente se aplicaron en el trazado de lneas frreas a finales del siglo XIX mientras que para las carreteras su uso se inicia en la dcada de los treinta en el siglo pasado. A lo largo de todos estos aos se han planteado diferentes tipos de curvas de transicin dentro de las cuales tenemos:

La parbola cbica

La espiral cbica

Curva de transicin de Klein

Curva de transicin senoide de Bloss

Curva de transicin de Schram (parbola de cuarto grado)

Curva de transicin de Lange (ecuacin de quinto grado)

Curva de transicin de valos de Cassini o curva elstica (radioide a las abscisas)

La lemniscata de Bernoulli (radioide a las cuerdas)Clotoide o espiral de Euler (radioide a los arcos)

Curva de transicin de sptimo grado

Espiral de Searles

Espiral logartmica

Dentro de todas las anteriores las ms utilizadas son la espiral de Euler, la lemniscata de Bernoulli y la curva elstica. Siendo la primera la ms conveniente y empleada en ferrocarriles y carreteras.

6.3 LA CLOTOIDE O ESPIRAL DE EULER

Es tambin conocida como espiral de Cornu y espiral de Arqumedes y se trata de una curva plana que se desarrolla a partir de un punto dando vueltas, alejndose de l cada vez ms y disminuyendo su radio. Para el diseo geomtrico de vas se utiliza solo su parte inicial (Figura 47).

6.3.1 Ley de curvatura de la espiral de Euler. Cuando un vehculo transita sobre una curva de radio Rc a una velocidad constante V, experimenta una aceleracin centrfuga o radial cuya magnitud se calcula como:

Este valor sera el cambio inmediato que se tiene en el momento de pasar de una recta a una curva circular y viceversa, es decir en el PT y en el PC. Si entre el tramo recto y el tramo circular se ubica una curva de transicin, de longitud Le, se produce una variacin por unidad de longitud a lo largo de esta dada por:

Ahora, la aceleracin centrfuga en un punto cualquiera de la transicin, a una distancia L del punto inicial es igual a:

Reemplazando la ac en este punto donde el radio es R se tiene que:

Luego,

Rc.Le R.L

Llamando A2 el producto de las constantes Le y Rc:

A2 = R.L

Donde:

A2 Rc.Le (6 1)

A Rc.Le (6 2 )

Esta ltima ecuacin es llamada Ley de Curvatura de la Espiral de Euler e indica que el radio de curvatura R es inversamente proporcional a la distancia L recorrida a lo largo de la curva desde su origen. De otra manera, en un punto cualquiera de la curva el producto del radio R y la distancia L es constante e igual a A2 .La constante A se denomina parmetro de la espiral y permite hallar el radio de la curva en un punto cualquiera de esta con la expresin:

R = A2/L

Por ejemplo en una curva espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la longitud final L = Le = 40, el valor de A2 es 3600 se tienen los siguientes valores de R a lo largo de la curva:

En la Figura 48 se tiene la clotoide de la tabla anterior donde se puede observar adems la evoluta de la espiral que corresponde al lugar geomtrico de los

centros de los radios de curvatura.

6.3.2 Elementos de la curva espiral circular espiral. En la Figuras 49, 50 y 51 se presentan todos los elementos que conforman la curva compuesta por una espiral de entrada, un arco circular central y una espiral de salida. Luego se define cada uno de los elementos indicados en las figuras.

TE = Punto de empalme entre la recta y la espiral

EC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular

CE = Punto de emplame entre el arco circular y la espiral

ET = Punto de emplame entre la espiral y la recta

= Deflexin de la curva.

Rc = Radio curva circular

Le = Longitud curva espiral

o = Delta o deflexin curva espiral

Xc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CE

Yc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CE

P = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangente

K = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloque

Te = Tangente de la curva. Distancia TE PI y PI - ET

Ee = Externa

Tl = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y PIe

Tc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CE

Ce = Cuerda larga de la espiral. Lnea que une TE con EC y CE con ET

= Angulo de la cuerda larga de la espiral

c = Deflexin de la curva circular

G = Grado de curvatura circular

Lc = Longitud curva circular

Cc = Cuerda larga circula

Ecuaciones de la clotoide. Para calcular los elementos de una curva Espiral Circular Espiral se deben conocer inicialmente tres valores:

- El delta de la curva () que se puede leer en el terreno, en el plano o en el computador de acuerdo al procedimiento utilizado.

- El radio de la curva circular (Rc) que se define a partir de los mismos parmetros y criterios que el de la curva circular simple.

- La longitud espiral (Le) cuya longitud mnima se estudiar ms adelante.

De la Figura 52 se puede obtener que:

dl R.d

Pero:

R = A2/L

Por lo que:

Integrando:

Con en radianes (6 3)

Remplazando el valor de A2 por Rc.Le se tiene que:

Ahora para un valor de l Le se tiene que e por lo tanto:

Cone en radianes (6 4 )

Para obtener el valor en grados sexagesimales de debe multiplicar por 180 y dividir por :

, Cone en grados (6 5)

Ahora en el tringulo diferencial de la figura anterior se puede observar que, por tener los lados ortogonales entre s, el ngulo formado por dl y dx es , por lo tanto:

dx dl.Cos

dy dl.Sen

Para hallar las coordenadas cartesianas (x,y) del punto p se debe integrar:

xdl.Cos

y

ydl.Sen

Utilizando las series de McClaurin del seno y el coseno donde:

Reemplazando estos dos valores y el de la ecuacin (6 3) se tiene:

Por ltimo, integrando y reemplazando de nuevo el valor de se obtiene:

Los valores de estn en radianes y son suficientes los tres primeros trminos de la serie para el clculo de los valores de x y y en un punto cualquiera de la espiral a una distancia l del origen.

Normalmente la longitud de la espiral inicial o de entrada es igual a la longitud de la espiral final o de salida tenindose una curva simtrica. Inicialmente trataremos este tipo de curva, por lo tanto para hallar las coordenadas cartesianas del EC y del CE se reemplaza l por Le y por e quedando:

Si se observa la Figura 51 se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separndola un distancia Yc en el punto donde estas empalman (EC y CE) y una distancia p, llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estara ubicado ste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongacin de la curva circular es paralela a la tangente de la curva.

El punto p est ubicado a una distancia K desde el TE en la direccin de la tangente. El valor de K se conoce como abscisa media ya que su valor es aproximadamente igual a la mitad de Le. Podra decirse entonces, que el disloque es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral reemplaza parte de la curva circular.

De la Figura 51 se tiene que:

Despejando P obtenemos:

P Yc -Rc(1 -Cose) (6 10)

En el mismo tringulo,

Por lo tanto:

K Xc-Rc.Sene (6 11)

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transicin. Un valor muy pequeo significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transicin por lo que se podra prescindir de estas. Un valor alto indica que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transicin.

De acuerdo a la frmula de clculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales de transicin. Aunque se han manejado valores lmites para disloque, inicialmente fue de 0.30 m y luego de 0.09 m, por debajo de los cuales se recomienda no usar transiciones, los diseos actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.Ahora, en la Figura 49 se tiene que:

Te K (Rc P).Tan(/ 2) (6 12)

De la misma Figura;

(6 13)

Regresando a la Figura 51:

(6 14)

(6 15 )

De la Figura 50 podemos obtener Ce:

(6 16)

Ahora obtengamos los elementos de la curva circular. De la Figura 49 es claro que:

c -2 e (6 17)

Los valores de los dems elementos se calculan como en la curva circular simple, esto es:

(6 18)

(6 19)

o

(6 20)

Cc 2RcSen(c / 2)El valor del ngulo de deflexin para un punto cualquiera P de la curva espiral

desde el TE o el ET est dado por:

1 ( )

x

p Tan y

(6 21)

Pero para evitar el clculo de los valores de X y Y para cada estacin de la curva

espiral se ha probado que:

p J

3

(6 22)

Donde J es una correccin muy pequea, que se puede despreciar, y

equivalente a:

J (3.1x103 )3 (2.3x108 )5

Con en grados y J en segundos. V2

Ac= ------

Rc

V2

Acu= ---------

Rc Le

V2

Ac= [ ---------]L

Rc Le

V2 V2

----- = [ ---------]L

R Rc Le

l.dl

d= ------

A2

_1428231911.unknown

_1428232781.unknown

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_1428233714.unknown

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