Curso Turbomáquinas I 2014-1 SGCH (semana 4 y 5).pdf

3. TRANSFERENCIA DE ENERGIA EN LAS TURBOMAQUINAS

3.1 ALTURA TEORICA DE ROTOR Hr DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACION DE

CONSERVACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACION DE EULER La expresin de la energa que transfiere una turbomquina hidrulica, en trminos de altura, fue deducida por Euler en base a la aplicacin del principio de conservacin de la cantidad de momentum angular, generado por un fluido a su paso por el rotor de dicha turbomquina. A continuacin se realiza la deduccin considerando el rodete de una turbomquina hidrulica radial (por ejemplo una bomba o una turbina).

Rotor de una turbina Francis

UNI-FIM Dr. Salome Gonzles Chvez TURBOMAQUINAS HIDRAULICAS: TURBOMAQUINAS I

Esquema del rotor de una turbomquina radial Bajo el anlisis integral de la dinmica de un fluido, o volumen de control, tomando una parte del rotor de la turbomquina, para la determinacin de los tringulos de velocidades a la entrada y a la salida de dicho rotor, se tiene:

U2

U1C

W

U

N


Aplicando la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento, en este caso conservacin de momento cintico, se tiene:

..

).()()(CSVC

AdccxrdVcxrt

T

Siendo:

T : Sumatoria de momentos de torsin, conformado por: Tp: Torque ejercido por las fuerzas de presin que actan sobre superficies

paralelas y concntricas al eje, por lo que se considera nulo Tb: Torque ejercido por las fuerzas de campo, que por ser simtricas respecto al

eje, su participacin es nula Ts: Torque ejercido por las fuerzas de superficie (fuerzas cortantes y de friccin); se

considera despreciable, excepto el torque transmitido sobre la superficie del rodete cortado por la superficie de control (torque transmitido por el rotor al eje o viceversa) Te

: Densidad del fluido Q: Caudal

22 cxr : Producto vectorial del radio vector r2 por la velocidad absoluta del fluido en el punto

de salida 2, C2

11 cxr : Producto vectorial del radio vector r1 por la velocidad absoluta del fluido en el punto

de entrada 1, C1 Restricciones de flujo:

Flujo incompresible. Densidad constante, puesto que se trata de una turbomquina hidrulica

Flujo permanente. Se trata de un volumen de control que no vara en el tiempo, esto es:

VC

dVcxrt

0)(

Flujo uniforme y unidimensional. Se asume que las lneas de corriente son iguales a su paso por la turbomquina (no existe efecto de espesor ni nmero finito de alabes del rotor). Adems, solo existe una entrada (1) y una salida(2); entonces:

1122 cxrcxrQAdccxrCS

..

).)((

Finalmente, la expresin se resume a:

1122 cxrcxrQTe Evaluando el mdulo del torque al eje de acuerdo a la figura anterior, se tiene

)90()90( 111222 senCrsenCrQTe

111222 coscos CrCrQTe


Sea la velocidad angular del rotor de la turbomquina; por tanto multiplicando por a ambos miembros de la expresin anterior se tiene:

111222 coscos CrCrQTe Como:

Te : Potencia hidrulica transmitida a travs del eje del rotor P r2 : Velocidad tangencial en la salida U2 r1 : Velocidad tangencial en la entrada U1

Reemplazando:

111222 coscos CUCUQP

Si 111222 coscos

CUCUHgQ

Pr

Queda:

111222 coscos CUCUgH r Ecuacin de Euler Donde Hr se le denomina altura de Euler o altura torica de rotor, que tambin se puede expresar como:

g

CUCUH

UU

r

1122 (1)

Siendo:

Cm: Velocidad meridiana CU: Componente de la velocidad absoluta en la direccin de la velocidad

tangencial Otra forma de expresar la Altura de Euler se deduce del tringulo de velocidades:

U

W C

CU

Cm


cos2222 CUCUW

de donde : 2

cos222 WCU

CU

Reemplazando queda:

g

WW

g

UU

g

CCHr

222

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

(2)

3.2 ALTURA TEORICA DE ROTOR Hr, DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACION DE

CONSERVACION DE ENERGA Aplicando la ecuacin de conservacin de energa en la turbomquina como volumen de control, se tiene:

..

).(CSVC

AdcedVetdt

dW

dt

dQ

Siendo:

dt

dQ : Flujo de calor entregado al volumen de control. Para el caso, al ser una

turbomquina hidrulica, este valor es nulo

dt

dW : Flujo de trabajo total

W : Trabajos debidos a:

Wp: trabajo ejercido por las fuerzas de presin que actan sobre superficies paralelas y concntricas al eje, por lo que se considera nulo

Wb: trabajo ejercido por las fuerzas viscosas, que se consideran tericamente despreciables

Wm: trabajo motor en el eje, que atraviesa la superficie de control : Densidad del fluido Q: Caudal

gzc

ue 2

2

u: Energa interna del fluido. Al ser un fluido fro, este valor se mantiene constante C: Velocidad absoluta del flujo z: desnivel Adems, teniendo las siguientes restricciones de flujo:

Flujo incompresible. Densidad constante, dado que trata de una turbomquina hidrulica


Flujo permanente. Se trata de un volumen de control que no vara en el tiempo, esto es:

VC

dVet

0

Flujo uniforme y unidimensional. Se asume que las lneas de corriente son iguales a su paso por la turbomquina (no existe efecto de espesor ni nmero finito de alabes del rotor). Adems, solo existe una entrada (1) y una salida(2); entonces:

1

2

1

12

2

2

222

gzc

hgzc

hQAdceCS

()()...

Siendo h, la entalpa

up

h

No hay transferencia de calor ni cambio de energa interna, por tanto la ecuacin de la energa se reduce a:

1

2

11

2

2

22

22gz

cpgz

cpQWm

()(

Si se desprecia la diferencia de nivel entre salida y entrada al rotor, se tiene:

)()( 1

2

112

2

22

22gz

cpgz

cpQWm

mW : Cuando se trata de trabajo motor generado: turbinas hidrulicas

mW : Cuando se trata de trabajo recibido: bombas y ventiladores En el caso de una bomba:

2

2

1

2

212 ccpp

Q

Wm

Obtenindose finalmente la altura de Euler, como:

12

2

1

2

2

2

pp

g

ccH r

(3)

3.3. ANALISIS ENERGETICO (AERO-TERMODINAMICO) DEL FLUJO EN UNA ETAPA

DE UNA TURBOMAQUINA


Este anlisis se basa en la evaluacin de la transferencia de energa en una turbomquina a partir de la aplicacin de la ecuacin de conservacin de energa, tal como lo visto anteriormente, considerando a la turbomquina como un volumen de control con una entrada (1) y una salida (2), y entregando o recibiendo trabajo. Si el fluido de trabajo obedece a un flujo permanente, unidimensional a la entrada y salida y sin transferencia de calor, la ecuacin de energa para este caso estar dada por la siguiente expresin:

22

2

211

2

1

22hzg

C

dm

dWhzg

C r

Donde:

2,

2

2

2

2

1 CC : Energa cintica especfica a la entrada y salida de la turbomquina

gz1, gz2: Energa potencial especfica a la entrada y salida de la turbomquina h1 , h2 : Entalpa especfica a la entrada y salida de la turbomquina

dm

dWr : Trabajo especfico recibido o entregado por la turbomquina

Como se trata de un flujo incompresible, la energa interna u permanecer constante;

entonces las entalpas h1 y h2 de la ecuacin anterior se reemplazan por p1 / y p2 / . Adems, si dm / dt = Q reemplazando se tiene:

Qp

gzC

dt

dWQ

pgz

C r

12

2

211

2

1

22

12

2

1

2

2

2

ppCCHg

Q

Pr

Para el caso de una turbomquina movida (bomba o ventilador), se tiene:

g

pp

g

CCH r

12

2

1

2

2

2

CASO: Anlisis aero-termodinmico en la etapa de una turbina (por ejemplo en una turbina Francis), compuesta por un estator y un rotor, tal como se esquematiza en la figura siguiente:


Aplicando la primera ley de la termodinmica en toda la etapa (6-0)

22

2

0

2

606

CChh

m

WE

Pero: rotorestator hh

hhhhhh

)()()( 033606

naTurbomquiBernoulli22

;2

23

20

21

22

26

23 WWUUh

CCh rotorestator

Reemplazando queda:

22222

2

0

2

6

2

3

2

0

2

1

2

2

2

6

2

3 CCWWUUCC

m

WE

Ordenando, se tiene:

222

2

3

2

0

2

1

2

2

2

0

2

3 WWUUCCgHQ

P

t

mt

W

r

E

3.4. ECUACION DE FLUJO MASICO TEORICO La ecuacin del flujo msico terico que atraviesa el fluido por la turbomquina se determina por el principio de continuidad o conservacin de masa:

C6

C3

C0

Estator

Rotor

N

1

2


Turbomquina radial:

Flujo msico de entrada = Flujo msico de salida

1 Cm1 d1 b1 = 2 Cm2 d2 b2

Flujo incompresible: densidad constante

Q = Cm1 d1 b1 = Cm2 d2 b2

Turbomquina axial:

mie CddQ 224

CONDICIONES DE MAXIMA POTENCIA Para el diseo de una turbomquina se calcula para las condiciones de mxima potencia (tambin denominado condicin de ingreso radial), es decir cuando la altura de Euler es

de/2

r

2

Flujo

1

di/2

b1

b2

d1

d2


mxima. Esto sucede cuando el ngulo absoluto de entrada toma el valor de 90; consecuentemente la altura de rotor queda expresado como:

22 .1

Ur CUg

H ; cuando 1 = 90

3.5. ALTURA ESTATICA De las ecuaciones 1, 2 y 3, se tiene:

g

WW

g

UU

g

CCH r

222

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

g

pp

g

CCH r

12

2

1

2

2

2

Por tanto se determina que:

estdin HestticaAlturaHdinmicaAltura

rg

WW

g

UU

g

CCH

..

2

2

2

1

2

1

2

2

..

2

1

2

2

222

As se tiene, que la altura esttica tiene la siguiente expresin:

12

2

2

2

1

2

1

2

2

22

pp

g

WW

g

UUH est

Mientras que la altura dinmica se expresa como:

g

CCH din

2

2

1

2

2

3.6. GRADO DE REACCION (R) Se define como Grado de Reaccin de una turbomquina, a la relacin entre la altura esttica y la altura de Euler, y est referido a la forma como trabaja el rotor de la turbomquina. Su expresin matemtica es la siguiente:


r

esttica

H

HR

Teniendo en cuenta que:

g

WW

g

UU

esttica

g

CC

dinmicar HHH

222

22

21

21

22

21

22

En trminos fsicos, al Grado de Reaccin terico se le puede definir como la capacidad de transferencia de energa de presin en su rotor, en relacin con su altura energtica terica total (altura de Euler) Tambin se puede expresar como:

rH

pp

R

12

)()()(

)()(2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

WWUUCC

WWUUR

GRADO DE REACCION PARA TURBOMAQUINAS RADIALES

CASOS ESPECIFICOS: Cuando:

1 = 90 Cm1 = Cm2 = C1

Se demuestra que:

221 2

u

CR

u

Demostracin:

De 222

2

2

2

2

2 2 ucuuc 2

222

2

2

2

2 2 ccuu u


Luego:

22

2

2

2

1

2

1

2

2

22

2

2

2

1

2

1

2

2

2

22

uu cu

uu

g

cu

gg

uu

R

22

2

222

2

1

22

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2222

21

u

u

u

ccuc

cu

ccuc

cu

uuR

u

2

2

22

2

2

22

2

1

2

222

21

21

2

2

22

u

c

cu

c

cu

cccuR u

u

u

u

c

u

u

En el caso de que Cm1 Cm2 , el grado de reaccin se expresa como:

22

2

2

2

1

2 221 2

u

mmu

CU

CC

U

CR

VALORES TIPICOS DE R Caso de bombas:

R: 0.6 0.8 2: 20 40

Caso de ventiladores:

2 < 90; (2: 20 40 ) R: 0.6 0.8

2 = 90 R = 0.5

2 > 90; (2: 110 160 ) R: 0.14 0.18 Caso de turbinas (Francis)

2 < 90; (2: 60 85 ) R: cercano a 0.5

GRADO DE REACCION PARA TURBOMAQUINAS AXIALES Consideraciones:

1 = 90 U1 = U2 = U Cm1 = Cm2

Si Wu es la velocidad relativa media (solo en turbomquinas axiales) dada por:

2

21 UU

U

WWW


El grado de reaccin estar expresado por:

22

2

2

2

1

2 UCU

WWR

Tambin:

2U

WR U

Demostracin: Del tringulo de velocidades ltimo: 2

2

2

1

2

2

2

1 UU WWWW

222

2121

22

2

2

2

1

22

2

U

W

CU

WWWW

CU

WWR U

U

C

UUUU

U

UU

U

VARIACION DE LA ENERGIA EN UN VENTILADOR

Curso Turbomáquinas I 2014-1 SGCH (semana 4 y 5).pdf

Documents

Transcript of Curso Turbomáquinas I 2014-1 SGCH (semana 4 y 5).pdf