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Preguntas tipo test:

Representación gráfica de funciones

Cónicas

Geometría

Integrales

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1.- Sea una función continua y = f(x) tal que el dominio de f(x) = b,a , entonces: a) El máximo absoluto de f(x) se alcanza en uno de los valores x tales que f́ (x)=0. b) No tiene porque tener máximo absoluto. c) El máximo absoluto es el máximo de {f(a), f(b), máximos relativos}.

c)

b)

a)

X Una función continua en un intervalo cerrado está acotada y por tanto alcanza su máximo y su mínimo; el máximo absoluto será el mayor de los máximos relativos incluyendo los extremos de la función.

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2.- Si f(x) es una función cuatro veces derivable en x=a, y verifica f´(a) = f´´(a) = 0, f´´´(a) > 0. Entonces: a) f tiene un mínimo en x=a b) f tiene un máximo en x =a c) Ninguna de las dos anteriores. c)

b)

a)

X

f tiene un punto de inflexión en a.

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3.- Sea y= f(x) una función continua tal que en un entorno de x=a tiene un único mínimo relativo en dicho punto x=a. Podemos afirmar: a) f´(a)=0. b) No existe f´(a). c) A la izquierda de a la función es decreciente y a la derecha de a es creciente.

c)

b)

a)

X No sabemos si la función es derivable en x=a; pero en

un entorno de a pasa de ser decreciente a ser creciente.

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4.- Si 0)c(f)c(f , entonces: a) En c hay un extremo relativo. b) En c hay un punto de inflexión. c) No podemos afirmar nada acerca de la

existencia ni de valores extremos ni de puntos de inflexión.

c)

b)

a)

X

La condición f (c) f (c) 0 es necesaria pero no suficiente para determinar los extremos de la función, falta encontrar una derivada en c distinta de cero.

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5.- Si y = f(x) tiene un máximo en (c,f(c)), entonces: a) En un entorno de c, la función f es convexa. b) Si f es continua en c, f es convexa en un entorno

de c. c) Si f es derivable hasta el orden 2n entonces f es convexa en un entorno de c

c)

b)

a)

X No sabemos si la función es derivable en x=c; pero

en un entorno de c pasa de ser creciente a ser decreciente.

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6.- Sea Pn(x) un polinomio de grado 2n . Se verifica: a) No tiene asíntotas. b) Puede tener asíntotas horizontales, pero no

verticales. c) Puede tener asíntotas verticales, pero, no

horizontales. c)

b)

a)X Sea 2 n

n 0 1 2 nP (x) a a x a x ... a x un polinomio de grado n 2 como su dominio es todo R no puede tener asíntotas verticales; el límite cuando x tiende a infinito es infinito, luego no tiene asíntotas horizontales; por último

n

x

P (x)lím

x tampoco tiene asíntotas oblicuas.

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7.- Sea y=f(x) una función acotada en todo R. Se puede

asegurar que:

a) f tiene alguna asíntota horizontal.

b) f no tiene asíntotas verticales.

c) f es siempre positiva. c)

b)

a)

X

Por estar acotada en R no puede hacerse infinita, luego no tiene asíntotas verticales.

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8.- Sea y = f(x) una función continua que presenta un máximo relativo en el punto ))x(f,(x 00 . Podemos afirmar:

a) 0)(x f 0 o bien no existe )(x f 0

b) x )x(f)f(x 0 Dom f. c) f es creciente en un entorno de .x 0 c)

b)

a)X En un entorno del punto x0 pasa de ser decreciente a

ser creciente y si es derivable su derivada se anula; se cumple que 0f(x ) f (x) x entorno del punto x0.

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1 4 .- S i )x(fy e s u n a fu n c ió n re a l d e v a r ia b le r e a l, s e v e r if ic a : a ) f (x ) c o n t in u a f (x ) d e r iv a b le f (x ) d if e re n c ia b le . b ) f (x ) d ife re n c ia b le f (x ) d e r iv a b le f (x ) c o n tin u a . c ) f (x ) d e r iv a b le f (x ) c o n t in u a f (x ) d if e re n c ia b le . c)

b)

a)

X

Función diferenciable significa que posee derivadas, luego es derivable y por ser derivable es continua.

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1 7 .- Sea )x(g)x(f , sien do g(x) u n a fu n ción derivable Rx . E n ton ces:

a) f(x) es derivable Rx . b) f(x) es con tin u a Rx . c) f(x) es con tin u a y derivable Rx . c)

b)

a)

X

Por ser derivable g(x) es continua y también lo es f (x) g(x) por ser compuesta de funciones continuas.

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1 8 . - L a f u n c i ó n 1x)x(f , v e r i f i c a : a ) L a r e c t a t a n g e n t e e n x = 1 e s )1x)(1('f0y . b ) L a r e c t a t a n g e n t e e n x = 1 e s x = 1 . c ) N o e x i s t e r e c t a t a n g e n t e e n x = 1 . c)

b)

a)

X

La función f(x) no es derivable en

x=1, pero tiene tangente vertical.

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19.- Si una función f es continua en [a,b], entonces:

a) f tiene un máximo y un mínimo relativos en (a,b).

b) f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en [a,b].

c) f no puede estar acotada [a,b]. c)

b)

a)

X

Una función f continua en [a,b] está acotada y por tanto f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en [a,b].

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22.- Sea f una función derivable en R, entonces la derivada de g(x)=f(x2) es: a) )x('f 2 b) )x('f 2 2x c) )x2('f c)

b)

a)

X

Aplicando la regla de la cadena: (g(x))’=(f(x2))’=(x2)’f ’(x2) =2xf ’(x2).

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23.- Sea 1x)x(f , entonces en x=1, se verifica:

a) f es derivable pero no es continua. b) f es continua pero no es derivable. c) f no está definida. c)

b)

a)

X

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24.- Sea y=ln(3x+1)2, entonces:

a) 1x3

2'y

b) 2)1x3(

2'y

c) 1x3

6'y

c)

b)

a)

X

Si f(x)=ln(g(x)2)=2 ln(g(x)) entonces f ’(x)=2 g ’(x)/g(x) en nuestro caso

2 3 6

y'3x 1 3x 1

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25.- Sea y=f(x) una función derivable en el intervalo (-2,2) y tal que f(0)=0 y f es cóncava en (-2,2), entonces: a) f presenta en x=0 un máximo. b) f presenta en x=0 un mínimo. c) f presenta en x=0 un punto de inflexión. c)

b)

a)

X

Por ser f cóncava la segunda derivada es positiva luego f presenta un mínimo en x=0.

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26.- Si ,Rb,a Rb,a:f es continua y signo f(a) signo f(b), entonces: a) Existe un único valor )b,a(c tal que f(c)=0. b) Existe al menos un valor )b,a(c tal que f(c)=0. c) No existe ningún valor )b,a(c tal que f(c)=0. c)

b)

a)

X

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, luego existe al menos un valor c (a,b) tal que f(c)=0

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2 7 . - S e a Rb,a:f a ) f c o n t in u a = > f d e r iv a b le . b ) f d e r iv a b le = > f c o n t in u a . c ) f c o n t in u a < = > f d e r iv a b le . c)

b)

a)

X

Por ser derivable es continua, pero el recíproco no es cierto.

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28.- Dada la función RR:f definida por f(x) = e

x+x

2-1, existe c (0,2) tal que:

a) f ’ (c) =0 b) f ’(c) = (3+e

2)/2

c) f ’(c) = -1 c)

b)

a)

X

La función dada es continua en [0,2] y derivable en (0,2) por ser suma de la función exponencial y de un polinomio, aplicando el teorema del valor medio o de Lagrange existe c (0,2) tal que:

2 2 0 2 2f (2) f (0) e 2 1 (e 0 1) 3 ef '(c)

2 0 2 2

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29.- Dada f(x) = 1x2 , se verifica que f:

a) Alcanza su mínimo absoluto en x = 1 y x = -1. b) No tiene mínimos ya que no es derivable. c) Es derivable en todo R pero no tiene extremos relativos.

c)

b)

a)X

La función f es derivable en todo R salvo x=-1, y x=1; como f(-1)=f(1)=0 y la función es siempre positiva resulta que estos puntos son los mínimos.

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30.-La gráfica corresponde a la curva:

a) 2

3

1x

xy

.

b) 21x

xy

c) 1x

xy

3

.

c)

b)

a)

b) c)

X

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31.- Sea y = f(x) una función continua que tiene un punto de inflexión en ))c(f,(c , se verifica:

a) En x=c, f no puede tener ni máximo ni mínimo relativo.

b) Si f admite derivada segunda en un entorno de c, ''f cambia de signo a izquierda y derecha de c.

c) Si f admite derivada tercera en un entorno de c, 0)c('''f .

c)

b)

a)

X

En un punto de inflexión se pasa de cóncava a convexa o viceversa y se anula la derivada segunda (si existe), siendo la primera derivada que no se anula de orden impar.

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37.- Sea y=f(x) una función derivable en R tal que f(0)=f(1)=f(2). Se verifica:

a) La derivada )x('f se anula al menos en dos puntos en (0,2).

b) La derivada )x('f se anula únicamente en dos puntos en (0,2).

c) La derivada )x('f no tiene porqué anularse en el intervalo (0,2).

c)

b)

a)

Aplicando el teorema de Rolle sobre el intervalo [0,1] y sobre [1,2] podemos asegurar que la derivada se anula al menos en dos puntos del intervalo (0,2).

X

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53.- La función f(x)=tgx es: a) Periódica de periodo 2 y simétrica respecto

del eje OX. b) Periódica de periodo y simétrica respecto

del origen. c) Periódica de periodo 2 y simétrica respecto

del eje OY. c)

b)

a)

X

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Gráficas

61.- Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de distintos signo en los extremos del intervalo, entonces:

a) La función f(x) es derivable en [a,b]. X b) La función toma el valor f(x)=0 en un cierto

punto c a,b .

c) La función es monótona creciente o decreciente en [a,b].

c)

a)

b)

a b

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2 . - S e a

1x0 si2

0<x1- si1)x(f e n t o n c e s :

a ) f n o e s in t e g r a b le e n 1,1 p u e s n o e s c o n t in u a . b ) f e s in t e g r a b le e n 1,1 y

1

11dx)x(f .

c ) f e s in t e g r a b le e n 1,1 y

1

13dx)x(f .c)

b)

a)

X

f es integrable por estar acotada y su valor es: 1 0 1

1 1 0f (x)dx 1dx 2dx 1 2 1

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4.- La integral

xlnx

dxI

2 con el cambio de

variable lnx=t queda en la forma:

a)

2t te

dtI

b) 2t

dtI

c)

tlnt

dtI

2c)

b)

a)

X

2

dxI

x ln x

con el cambio lnx=t resulta dx/x=dt luego

2

dtI

t .

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8.- El área comprendida entre la curva y =senx considerando 2.0x , y el eje OX es: a) 0. b) 2.

c) 4. c)

b)

a)

X El área será: 2

00 0senx dx 2 senxdx 2 cos x 4

.

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9 . - E l á r e a e n c e r r a d a p o r l a f u n c i ó n 3xy y e le j e O X p a r a 2x1 , v a l e :

a ) 1 5 / 4 . b ) 1 7 / 4 . c ) N i n g u n a d e l a s d o s a n t e r i o r e s .c)

b)

a)

X

El área será: 0 24 4

2 0 23 3 3

1 1 01 0

x x 1 17x dx x dx x dx 4

4 4 4 4

.

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16.- Sea

1x0 si2

0<x1- si1)x(f entonces:

a) f no es integrable en 1,1 pues no es continua.

b) f es integrable en 1,1 y 1

11dx)x(f .

c) f es integrable en 1,1 y 1

13dx)x(f . c)

b)

a)

X

1 0 1

1 1 0f (x)dx 1dx 2dx 1

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20.- Dada la función y = f(x) Rx tal que f(x) < 0 para todo 4,3x ¿Cuál NO será la expresión del área limitada por f(x) y el eje OX en el intervalo 4,3 ?

a) 4

3 dx )x(f

b) 4

3 dx f(x)

c) 4

3 dx )x(f c)

b)

a)X

La integral 4

3f (x) dx es negativa por serlo f(x).

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26.- El área encerrada por la curva y=cosx y el eje OX para ,0x :

a) �

0xdxcos .

b) �

0dxxcos .

c) �

0xdxcos . c)

b)

a)

X

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28.- El área encerrada por la función f(x) = sen x,

2,

2x , viene dada por:

a)

2

2-

dx x sen

b)

2

2-

dx x sen

c)

2

2-

dx xsen c)

b)

a)

X

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37.- La integral

dx

xln1ln x

se transforma mediante el

cambio de variable t=lnx en:

a)

dt

t1t

b)

t

dt t1

te

c)

dt

t1t.lnt

c)

b)

a)

X

ln x dx

1 ln x con el cambio lnx=t resulta dx/x=dt;

dx=xdt=etdt luego t

t e dt

1 t .

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40.- El área del recinto determinado por una función continua y=f(x) en el intervalo [a,b] es:

a) � b

adx)x(f .

b) b

adx)x(f .

c) � b

adx)x(f .

c)

b)

a)

X

Cuando la gráfica de la función está situada por debajo del eje de abscisas resulta un valor de la integral negativo y daría un área negativa, se evita calculando la integral del valor absoluto.

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52.- Sea la función f(x)=x(x+1)(x-2). El área encerrada por f(x) y el eje OX en el intervalo [-2,2] es:

a)

2

0

0

1

1

2dx)x(fdx)x(fdx)x(fS .

b)

2

0

0

2dx)x(fdx)x(fS .

c)

2

0

0

1

1

2dx)x(fdx)x(fdx)x(fS . c)

b)

a)X

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58.- Sea y=f(x) continua e impar en R con f (x) 0 para x 0 . Se verifica que el área encerrada por y=f(x) en [-a,a] es:

a) a

aS f (x)dx

.

b) 0

aS 2 f (x)dx

.

c) a

0S 2 f (x)dx . c)

b)

a)

X

El área será:

0 a 0

a a aS 2 f (x)dx f (x) dx 2 f (x)dx

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62.- El área encerrada por la función 3

1f (x)

x en el

intervalo [-1,2] mide: a) -3/8 u2

b) 3/8 u2

c) Ninguna de las anteriores. c)

b)

a)

X El área no es finita, puesto que la integral

2

31

1dx

x

es divergente

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67.- El área encerrada por la función y=cosx y el eje OX para x 0,2 vale:

a) 2

0cos x dx

b) 2

0cosx dx

c) 0

2 cosx dx

c)

b)

a)

X

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70.- El área encerrada por la recta x-2y+2=0 y el eje OX, para 3 x 3 es:

a) 3

3

x1 dx

2

b) 3

3

x1 dx

2

c) 3

3

x1 dx

2 . c)

b)

a)

X x 2 x

x 2y 2 0 y 12 2

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1.- Un hiperplano de R3 es :

a) Una recta.

X b) Un plano.

c) {0}.

Un hiperplano es un subespacio vectorial de dimensión la del espacio vectorial menos uno, luego en este caso será: dim R3-1=3-1=2, luego es un plano.

c)

a)

b)

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2.- Sean a y b

dos vectores de 3R , si a

es ortogonal

a b

, entonces: a) 0ba

b) abba

Xc) baba

Si a es ortogonal a b

, entonces forman un

ángulo de 90º y por otra parte según la definición a b a b sen90º a b

b)a)

c)

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3.- Sea F una recta vectorial de 3R y F’ un subespacio suplementario de F. Se verifica: a) F’ es un plano vectorial cualquiera de 3R . b) F’ es una recta vectorial de 3R . Xc) F’ es cualquier plano vectorial que no contenga a F.

b)a)

c)

F’ es un subespacio suplementario a F con dimF’=dimR3- dimF=3-1=2, luego es cualquier plano vectorial que no contenga a F.

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5.- Sean r y s dos rectas que se cruzan, entonces se

verifica:

a) Existe una única recta perpendicular a ambas.

b) Existe un único plano paralelo a ambas.

X c) Existe un único plano que contenga a r y sea

paralelo a s.

Si las rectas se cruzan entonces no son coplanarias, pero existe un único plano que contenga a r y sea paralelo a s, para formar dicho plano consideramos los vectores directores de ambas rectas y un punto de la recta r.

b)

a)

c)

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8.- Dadas dos rectas r y s que se cruzan en el espacio

euclídeo, se verifica:

a) Existe una única recta perpendicular a ambas.

b) Existe un plano que contiene a r y a s.

X c) Existe únicamente una recta perpendicular y

secante a ambas.

Dadas dos rectas r y s que se cruzan en el espacio euclídeo, existen infinitas rectas perpendiculares a ambas, pero únicamente una perpendicular y secante.

b)

a)

c)

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10.- Sean w,v,u

vectores unitarios y ortogonales de

R3 tales que wvu . entonces:

a) vwu

Xb) w,v,u

es una base ortonormal con la misma

orientación que la canónica.

c) 0w)vu(

Si u v w

, entonces u,v,w

son linealmente independientes y por lo tanto forman una base de R3 que además es ortonormal por ser ortogonales y unitarios; u w v

; u v

y w

son paralelos.

c)

a)

b)

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11.- Si yxyx , entonces y e x

:

a) son perpendiculares.

b) son paralelos, pero tiene distinto sentido.

X c) tiene la misma dirección y el mismo

sentido.

Si x y x y

significa que los vectores son proporcionales y además con el mismo sentido, pues si no x y x y

.

b)

a)

c)

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12.- En el espacio euclídeo tridimensional, dos rectas perpendiculares: a) Se cortan siempre. b) Obligatoriamente son coplanarias. X c) Ninguna de las dos anteriores.

Dos rectas que se cruzan no pueden ser coplanarias y dos rectas perpendiculares puede que no sean secantes.

b)a)

c)

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13.- En el espacio euclídeo E3 dos rectas que se cruzan:

a) Son coplanarias.

Xb) Tienen infinitas rectas perpendiculares a ambas.

c) Sólo tiene una recta perpendicular a ambas.

Dos rectas que se cruzan no pueden ser coplanarias y podemos encontrar infinitas rectas con dirección perpendicular a ambas.

c)

a)

b)

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14.- En el espacio afín tridimensional A3, un sistema de

referencia afín esta constituido por:

a) tres puntos.

Xb) un punto y tres vectores linealmente independientes.

c) tres vectores linealmente independientes.

Un punto y tres vectores linealmente independientes o cuatro puntos linealmente independientes forman un sistema de referencia afín de un espacio afín tridimensional.

c)

a)

b)

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15.- Sean a y b

dos vectores de 3R tales que

0ba entonces:

a) a es ortogonal a b

.

b) a y b

son linealmente independientes.

X c) a y b

son linealmente dependientes.

Si a b 0

se tienen dos vectores proporcionales, es decir, linealmente dependientes.

b)a)

c)

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17.- Dadas las ecuaciones de 3 planos en el espacio afín euclídeo de R

3: ax+by+cz+d = 0; a’x+b’y+c’z+d’ = 0;

a”x+b”y+c”z+d” = 0 llamando A a la matriz de los coeficientes y A* a la matriz ampliada, si el sistema es compatible indeterminado y r(A) = r(A*) = 2 entonces: X a) Se cortan formando una recta. b) Dos planos son paralelos y el tercero les corta. c) Los tres planos coinciden.

El sistema formado por las ecuaciones lineales que determinan los tres planos tiene por solución una recta, pues r(A)=r(A*)=2 y queda una incógnita por determinar como único parámetro de la solución.

b)

c)

a)

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18.- Sean r y s dos rectas del espacio afín R3, u

y v

sus

vectores directores respectivos. Si r y s se cruzan,

entonces:

a) u

y v

son ortogonales.

Xb) u

y v

son linealmente independientes

c) El sistema formado por sus ecuaciones es

compatible determinado. Dos rectas que se cruzan no pueden ser coplanarias y por tanto sus vectores directores no son linealmente dependientes.

c)

a)

b)

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19.- Sean r y s dos rectas que se cruzan y t una recta perpendicular a ambas. Si u

, v

y w

son los vectores directores respectivos, entonces: a) r y t son coplanarias. b) w

v.u .

X c) w

y vu son linealmente dependientes.

La dirección perpendicular a las rectas r y s se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores.

b)a)

c)

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21.- Dada la recta r de ecuaciones: x = 2, y = 1 - 2, z = 2, con R, es cierto que:

a) r tiene de vector director

r = ( 2, -2, 2) b) El plano π de ecuación x + y + z = 2 pertenece al haz de planos de eje r. X c) r es paralela al plano z = -1.

El vector director de la recta r es (2,-2,0) y el vector normal al plano z=-1 son perpendiculares, luego la recta y el plano son paralelos.

b)a)

c)

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24.- En R2 la distancia del punto (1,1) a la recta 5x+3y-9=0 es:

a) 348

X b) 341

c) Ninguna de las anteriores.

Sea la recta ax+by+c=0 y el punto P(x0,y0), entonces la distancia del punto a la recta es:

0 o

2 2 2 2

ax by c 5 1 3 1 9 1d

34a b 5 3

=

1

34

c)

a)

b)

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25.- Sean x

, y

dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Entonces: a) 0y.x

b) yxy.x

X c) yx0y.x

Por la definición de producto escalar: x.y x y cos(x, y)

, si los vectores no son nulos entonces x.y 0

cos(x, y) 0

, y por tanto forman

un ángulo recto. Condición de ortogonalidad: x.y 0 x y

b)a)

c)

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26.- Sea F un subconjunto del espacio vectorial euclídeo V y F el subconjunto de V formado por todos los vectores ortogonales a F. Se verifica: X a) F es siempre un subespacio vectorial de V. b) F es un subespacio vectorial de V, si y solo si F es un subespacio vectorial de V. c) F nunca es un subespacio vectorial de V.

b)

c)

a)

Por construcción el conjunto formado por los vectores ortogonales a cualquier subconjunto de vectores es un subespacio vectorial, pues contiene a todas las combinaciones lineales de vectores ortogonales.

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27.- Sean r y s dos rectas cualesquiera del espacio euclideo 3

a) Siempre existe un plano que contiene a ambas rectas b) Hay una única recta perpendicular a r y a s X c) Si r y s se cruzan, el único subespacio afín que contiene a ambas es 3

Si las rectas se cruzan no hay ningún plano que las contenga a ambas y podemos encontrar infinitas rectas con dirección perpendicular a ambas.

b)

a)

c)

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28.- El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D es:

a) AB.(AC AD)

b) 1 AB.(AC AD)3

Xc) 1AB.(AC AD)

6

El volumen del tetraedro es 1/6 del volumen del paralelepípedo.

b)

a)

c)

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29.- Sean x

, y

dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Entonces: X a) x.x 0

b) x.y x y

c) x y 0 x y

x x x . x .cos x . x .cos x,x

2x . x .cos0º x 0

para cualquier vector no nulo.

b)

c)

a)

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31.- En el espacio euclídeo R3, el subespacio ortogonal del plano vectorial F de ecuación 2x+y-3z=0 es:

X a) La recta

x 2

y

z 3

b) El plano: x-2y=0 c) Ninguna de las anteriores.

b)

c)

a)

El subespacio ortogonal a un plano vectorial en el espacio R3 es una recta vectorial de dirección ortogonal al plano en nuestro caso (2,1,-3).

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32.- Dada la recta r:y 3

2x z2

y el plano

1: x 2y z 5 0

2 . Se verifica:

a) La recta r está contenida en el plano . X b) La recta r corta al plano .

c) La recta r es paralela al plano .

a)

c)

b)

El vector (1/2,2,1) es paralelo a la recta r y perpendicular al plano , por tanto, la recta es perpendicular al plano y por consiguiente le corta.

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33.- Sean los planos 1 y 2 de ecuaciones 2x-3y+z+5=0 y x-2z+4=0, respectivamente. Se verifica:

a) 1 y 2 son dos subespacios vectoriales ortogonales.

b) El sistema que forman las ecuaciones de 1 y 2 es compatible determinado.

X c) 1 y 2 son perpendiculares entre si.

b)

a)

c)

De cada plano conocemos un vector perpendicular (2,-3,1) y (1,0,-2) que a su vez son perpendiculares ya que su producto escalar (2,-3,1).(1,0,-2)=0. Entonces los planos son perpendiculares.

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34.- Un hiperplano de R4 es un subespacio de R4 a) de dimensión 1. b) de dimensión 2.

X c) de dimensión 3. b)

a)

c)

Un hiperplano es un subespacio vectorial de dimensión la del espacio vectorial menos uno, luego en este caso será: dim R4-1=4-1=3, luego es un plano.

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3.- El eje focal de la cónica 9y16x4 22 es: a) x = 0. Xb) y = 0. c) y = 3.

La ecuación de la cónica puede escribirse como

2 24x 16y 9 2 2x y

19 94 16

que tiene por centro

O(0,0) y corta al eje OX en dos puntos, pero no corta al eje OY.

c)

a)

b)

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5.- Las asíntotas de la hipérbola y2-4x

2-4=0 tiene por

pendientes los valores: X a) 2. b) ½. c) 1.

La pendiente m de las asíntotas de una hipérbola cumple la ecuación:

11 12

12 22

a a 11 m

a a m

2

11 12 22a 2a m a m 0 ,

en nuestro caso resulta la ecuación -4+m2=0, luego m=2.

c)

b)

a)

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6.- La cónica .0y4x2yx 22 a) Es una elipse de centro (-1,2). Xb) Es una circunferencia de centro (1,-2). c) Ninguna de las anteriores.

La ecuación es (x-1)2+(y+2)2=5, luego es una circunferencia de centro (1,-2).

c)

a)

b)

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8.- En una parábola de parámetro p la directriz es una recta que:

X a) Es perpendicular al eje focal y dista del vértice 2p .

b) Es perpendicular al eje focal y equidista del foco y del vértice. c) Es paralela al eje de simetría de la parábola.

El parámetro p es la distancia de la directriz al foco, luego al vértice es p/2.

c)

b)

a)

Directriz

Vértice

Foco

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9.- Las rectas y = ±3x son asíntotas de la hipérbola

a) 1y9

x 22

.

b) 19

yx

22 .

X c) 1x9

y 22

.

Si la ecuación es: 2 2

2 2

x y1

a b , entonces las asíntotas son

by x

a o bien si la ecuación es:

2 2

2 2

y x1

a b , entonces las

asíntotas son ay x

b .

b)

a)

c)

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10.- En una hipérbola equilátera se verifica: X a) Las asíntotas son perpendiculares entre sí.

b) La excentricidad es 2

2.

c) c2a .

En una hipérbola equilátera a=b, luego b

y xa

x , que son siempre rectas

perpendiculares. La excentricidad es 2 , puesto que c= 2a.

c)

b)

a)

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11.- Sea la elipse de ecuación 19

)3y(

4

)1x( 22

.

Se verifica: a) El centro es el punto (1,3).

X b) El semieje mayor está sobre la recta x=-1. c) El semieje menor está sobre la recta y=3.

En este caso es a=3 y el centro de la cónica es (-1,-3), luego el semieje mayor está sobre la recta vertical x=-1.

c)

a)

b)

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12.- Dada la parábola 1)+3(y- )2x( 2 , es FALSO que: a) V(2, -1). b) El eje de la parábola es la recta x=2. X c) La directriz es paralela al eje OY. b)

a)

c)

La directriz es paralela al eje de abscisas OX

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14- La hipérbola de ecuación 14

y

2

x 22

, tiene por

asíntotas las rectas: a) x2y Xb) x2y

c) x2

2y


2 2

x y1

a b , entonces las asíntotas son

by x

a , en nuestro caso a2=2 y b2=4, luego y 2x .

c)

a)

b)

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16.- Las hipérbolas equiláteras son cónicas cuya excentricidad vale:

a) 22

.

b) 3. X c) 2 .

En una hipérbola equilátera se cumple que

a=b y que 2 2 2c a b 2a

e 2a a a

b)

a)

c)

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20.- xy=2 es la ecuación de: a) Dos rectas que se cortan. Xb) Una cónica de excentricidad 2 . c) Ninguna de las anteriores.

La matriz que define la cónica es:

2 0 0

0 0 1/ 2

0 1/ 2 0

cuyo determinante es distinto de cero

y A00=-1/4<0 es la de una hipérbola equilátera cuya excentricidad es 2 .

c)

a)

b)

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22.- En una parábola:

a) El parámetro focal es ab

p2

.

b) La directriz es la recta ca

x2

.

X c) El foco y la directriz equidistan del vértice de la cónica.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz, en articular esto lo cumple el vértice que es un punto de la parábola.

b)

a)

c)

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23.- La hipérbola de ecuación 1by

ax

2

2

2

2

, verifica:

a) El eje focal es el eje x=0. Xb) Su excentricidad es 2 si a=b.

c) Las asíntotas son las rectas xba

y .

En una hipérbola equilátera la excentricidad es 2 .

c)

a)

b)

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24.- La hipérbola de ecuación 19x

4y 22

, verifica:

a) Las rectas x23

y son sus asíntotas.

Xb) Tiene el centro en el origen de coordenadas y su eje focal es el eje OY. c) Tiene por vértices a los puntos (3,0) y (-3,0).

La recta x=0, es decir, el eje de ordenadas es el eje focal, ya que el centro es el O(0,0) y la intersección de la cónica con el eje OY son dos puntos. Las asíntotas son:

2y x

3

c)

a)

b)

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25.- La cónica de ecuación y2=10x+2y+19 verifica: a) Es una cónica degenerada. b) Es una cónica con centro. X c) Su vértice es el punto (-2,1).

La ecuación y2=10x+2y+19 es equivalente (y-1)2=10(x+2) es una parábola de vértice el punto (-2,1).

b)

a)

c)

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30.- Dada la cónica de ecuación 1

253y

161x 22

, verifica:

X a) Es una elipse de eje focal x=1. b) Es una elipse de eje focal y=3. c) Su centro es el punto C(1,3) y el semieje focal es a=4. Es una elipse de centro (1,3), de eje focal x=1 y semieje

a=5, puesto que 2 2

2 2

x 1 y 31

4 5

que corresponde a

2 2

2 2

x y1

b a

, siendo a=5>4=b.

c)

b)

a)

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31.- Una hipérbola verifica: a) Su excentricidad es menor que 1. Xb) La diferencia de los radios vectores en cada punto es constante. c) Las asíntotas son perpendiculares entre sí.

c)

a)

b)

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

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33.- Sea una hipérbola cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. Sus asíntotas verifican: X a) Pasan por el centro de la cónica y tienen pendientes opuestas. b) Son rectas perpendiculares entre sí. c) No tiene porqué existir, de hecho a veces sólo hay una asíntota cuando la ecuación que nos da su pendiente a22m

2+2a12m+a11=0 tiene solución única.


2 2

(x ) (y )1

a b

, entonces las

asíntotas son b

y (x )a

.

c)

b)

a)

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34.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? X a) y=1/x es una hipérbola. b) La excentricidad de la circunferencia es igual a 1. c) El producto de las distancias de los focos a cualquier tangente a la elipse es igual al cuadrado del semieje mayor.

La ecuación y=1/x es equivalente a:

1 0 01

11 x y 0 0 x 0

2y1

0 02

que es una hipérbola por ser el

determinante distinto de cero y 00

10

2A 01

02

.

c)

b)

a)

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37.- El lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas y=m(x+2); my+3(x-2) = 0 es:

X a) Una elipse. b) Una parábola. c) Una hipérbola.

Eliminando m en el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas se obtiene:

2

2 2y3(x 2) 0 3x y 12 0

x 2

que corresponde a una elipse.

c)

b)

a)

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39.-Dada la cónica de ecuación x2-y2+2x-4y-8=0, se verifica:

X a) Sus asíntotas son las rectas )1x(2y . b) Su excentricidad es e =1/3. c) Es una cónica de centro el punto (1,2).


2 2

(x ) (y )1

a b

,

entonces las asíntotas son b

y (x )a

, en

este caso la ecuación es: 2 2(x 1) (y 2)

15 5

,

entonces las asíntotas son y 2 (x 1) .

c)

b)

a)

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40.- Las asíntotas de una hipérbola: a) Son siempre bisectrices de los ángulos entre los ejes. Xb) Son las bisectrices de los ángulos entre sus ejes si se trata de una hipérbola equilátera. c) Son siempre perpendiculares entre sí. c)

a)

b)

Si la hipérbola es equilátera x2-y2=a2 las asíntotas son: y x y los ejes son los de coordenadas.

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41.- La cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es x2+y2-x=0 es: a) Degenerada. Xb) Una circunferencia..

c) De tipo hiperbólico.

Es la ecuación de una circunferencia (x-1/2)2+y2=1/4. c)

a)

b)

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43.- La excentricidad de cualquier: a) parábola es mayor que uno. Xb) circunferencia es cero. c) hipérbola es menor que uno.

La circunferencia es una elipse en la que a=b, por lo tanto c=0 y la excentricidad es cero.

c)

a)

b)

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44.- Dada la cónica de ecuación xy=1, su gráfica es: ڤ a) ڤ b) X c)

La hipérbola equilátera referida a sus asíntotas es xy=1.

b)a) c)

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46.- En una parábola de parámetro p se verifica que: a) La distancia del foco a la directriz es igual a p/2. Xb) La distancia del foco al vértice coincide con la

distancia del vértice a la directriz. c) La excentricidad depende del valor de p

En cualquier punto de la parábola se cumple que la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz, puesto que la excentricidad es uno.

c)

a)

b)

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47.- La cónica de ecuación 9(x-1)2+4y2-36=0 verifica: a ڤ ) Es una elipse de centro C(1,0) y su eje focal es el eje OX. X b) Es una elipse cuyo eje focal es paralelo al eje OY. c ڤ ) Es una circunferencia de radio 6.

Es una elipse de centro (1,0), de eje focal x=1 y

semieje a=3, puesto que 2 2

2 2

x 1 y 01

2 3

que

corresponde a 2 2

2 2

x y1

b a

, siendo a=3>2=b.

c)

a)

b)

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48.- Los focos de la elipse 1ay

bx

2

2

2

2

siendo a>b,

a) Están sobre el eje OX. b) Están sobre la recta x=b. X c) Tienen abscisa nula.

b)

a)

c)

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49.- En una parábola, la distancia del foco a la directriz a) Es mayor que 1 b) Es menor que 1 Xc) Es una constante

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y la directriz.

b)

a)

c)

Dir

ectr

iz

Foco

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50.- Sea C una cónica cualquiera de foco “F” y directriz “r”. Un punto P pertenece a la cónica si y sólo si las distancias de P a F y P a r verifican:

a) d(P,F)=d(P,r) Xb) d(P,F) = k d(P,r) para una cierta constante k c) d(P,F) > d(P,r)

Por definición la cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias a un punto fijo es constante d(P,F) / d(P,r)=k

c)

a)

b)

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51.- La cónica 4 x2 + y2 – 8 x – 12 = 0 verifica: Xa) Sus directrices son paralelas al eje OX b) Es una elipse de semieje mayor a = 2 c) Su eje focal es el eje OX y su centro es el

punto (1,0)

La ecuación es

2 2x 1 y1

4 16

c)

b)

a)

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52.- La cónica de ecuación 2x 1 2 2 y 2

verifica: a) Su eje es la recta de ecuación y = -2. X b) Su eje es la recta de ecuación x = 1.

c) Su foco es el punto 2

1, 2

.

Es una parábola de eje x=1; vértice

(1,-2) y foco

21, 2

2

c)

a)

b)

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53.- En una parábola se verifica: X a) El foco y la directriz están a la misma distancia

del vértice de la parábola. b) El parámetro de la parábola “p” mide la

distancia del foco al vértice. c) Si su ecuación es Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,

entonces, obligatoriamente A ó B han de ser nulos. En cualquier punto de la parábola se cumple que la distancia al foco es igual a la distancia al vértice, puesto que la excentricidad es uno.

c)

b)

a)

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54.- En una elipse se verifica: Xa) La tangente a la elipse en uno de sus

puntos es la bisectriz del ángulo formado por un radio vector y la prolongación del otro.

b) Su excentricidad es e=1. c) Las directrices son paralelas al eje

focal.

Su excentricidad es menor que 1 y las directrices son perpendiculares al eje focal.

F’

P

N F

c)

b)

a)

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Es una hipérbola equilátera, 2 2x y

11 1

, ya que

a=b y resulta: 2 2 2c a b 2a

e 2a a a

55.- La excentricidad de la cónica x2-y2=1 es:

a) 1.

b) 2

2.

X c) 2 .

b)

a)

c)

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59.- Sea C una parábola de foco F, vértice V y directriz r. Se verifica: □ a) Un punto PC si y solo si d (P, F) > d (P, r). Xb) d (F, r) = 2 d (F, V). □ c) Un punto PC si y solo si d (P, F) < d (P, r).

Dir

ectr

iz

Vértice

Foco

En cualquier punto de la parábola se cumple que la distancia al foco es igual a la distancia a la directriz, puesto que la excentricidad es uno. En particular, en el vértice se tiene d(V,r)=d(V,F) luego d(F,r)=d(F,V)+d(V,r)=2d(F,V).

c)

a)

b)

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58.- La elipse de ecuación 2 2x 1 y 5

14 9

verifica: X a) Tiene por eje focal a la recta x=1. b) Tiene por eje focal a la recta y=-5. c) Tiene de semiejes a=2 y b=3. c)

b)

a)

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60.- Se llama parámetro p de una cónica con centro (elipse o hipérbola) al número positivo determinado por: a) p=a2/c b) p=b2/c X c) p=b2/a c)

b)

a)

Parámetro focal = semicuerda perpendicular

al eje focal por el foco

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61.- Las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares si y solo se verifica que: X a) a=b b) a=0 c) Nunca

c)

b)

a)

En una hipérbola equilátera a=b, luego

by x

a x , que son

siempre rectas perpendiculares. Por ello, se puede escribir la ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas, xy=k.

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