Curso Matemáticas Financieras ppt.

MATEMATICAS FINANCIERAS

En la empresa como en la vida personal, constantemente se debe tomar decisiones. Decisiones de distinta naturaleza relacionadas con el hacer o el dejar hacer. Para tomar una decisin, es necesario que el tomador de decisiones, disponga de la mayor cantidad de informacin, conozca los mtodos o herramientas que estn relacionados con el problema de decisin, de tal modo, que la eleccin del curso de accin a adoptar, sea el correcto.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 1

Con frecuencia una persona o empresa se enfrenta al problema: Qu hacer con cierto dinero?, Qu decidir entre alternativas mutuamente excluyente?, Cul Alternativa genera mayor rentabilidad o Ganancia?.Cul alternativa de financiamiento es la ms econmica?, Cmo comprobar que lo que me cobra una institucin financiera es lo correcto?, etc.

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En este sentido las MATEMTICAS FINANCIERAS Constituyen un conjunto de herramientas, de mtodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en materia de obtencin y uso del dinero.


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SUPUESTOS BSICOS DE LAS MATEMTICAS FINANCIERAS

1.- Costo de Oportunidad 2.- Valor del Dinero en el Tiempo


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1.1.1 Costo de Oportunidad

El problema de decisin, consiste en que para lograr un determinado objetivo, existen varios cursos de accin alternativos, cada uno de ellos tienen sus beneficios y costos. El tomador de decisiones deber elegir aquel curso de accin que le permita obtener mayores beneficios netos (ingresos menos costos). Estos beneficios y costos pueden corresponder a aspectos cuantitativos ( intereses ganados o pagados), como cualitativos (agilidad en la tramitacin, calidad en la atencin, etc.). El problema de estos ltimos, es que son altamente subjetivos.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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Por ejemplo:

Una persona desea comprar un televisor. No tiene el dinero necesario para comprarlo al contado, por tal motivo tiene dos alternativas: a.- Juntar el dinero, para que en una fecha futura compre el televisor pagndolo al contado (inclusive puede obtener un rebaja en el precio). b.- Comprar hoy el televisor a crdito, pagando cuotas mensuales durante cierto tiempoVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 6

Si se decide por la alternativa b, es decir, comprar al crdito el televisor, el beneficio ser usar y gozar el aparato inmediatamente. El costo ser pagar ms dinero por el televisor dado por los intereses que genera el crdito y tambin por no tener la posibilidad de una rebaja en el precio del producto. La alternativa a) tambin tiene sus beneficios y costos !Identifquelos! ).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 7

Si la persona elige la alternativa a) significa que para ella los beneficios netos que le reporta esa alternativa son mayores que los beneficios netos de la alternativa b). En la eleccin de la alternativa a) se debi tener presente los beneficios que le hubiese reportado el elegir la alternativa b ). Estos beneficios desde el punto de vista de la alternativa a) son considerados como costos, en otras palabras, se sacrifica los beneficios que proporciona la alternativa b) por elegir la alternativa a). Estos costos reciben el nombre de costo de oportunidad.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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Se entiende por costo de oportunidad los beneficios que habra generado la mejor alternativa de aquellas descartadas, producto de la eleccin adoptada por el tomador de decisiones. Siempre cuando se ha de adoptar una decisin es necesario tener presente el costo de oportunidad.


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Si por ejemplo una persona tiene la disyuntiva de depositar cierta cantidad de dinero o dejarlo guardado debajo del colchn . Si decide por esta ltima alternativa su costo de oportunidad sera el dejar de ganar los intereses que generara el depsito.


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1.1.2 Valor del Dinero en el Tiempo.

En la prctica, siempre es posible invertir el dinero, ya sea en un banco, en fondos mutuos o inclusive prestrselo a algn amigo. En cualquiera de los casos el dinero podr generar mas dinero ( intereses), lo que lleva a concluir que EL DINERO TIENE DISTINTO VALOR EN EL TIEMPO, o que UN PESO HOY TIENE MAYOR VALOR A UN PESO DE MAANA.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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Si observamos la grfica siguiente: $100 $ 100 ________________________________ 0 1 mes Esta puede representar dos cuotas de $ 100 cada una, la primera vence el da de hoy ( o tiempo 0) y la segunda vence al cabo de 1 mes.


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En la presente situacin, los $ 100 a pagar hoy tienen un mayor valor que los $ 100 a pagar dentro de 1 mes. Esto debido a que los $ 100 de hoy se pueden invertir a una determinada tasa de inters o de rentabilidad (por ejemplo 2% mensual). Durante el periodo de 1 mes dicha inversin generara una ganancia de $ 2, transformando los $ 100 hoy a $ 102 al cabo de 1 mes, es decir , los $ 100 hoy no valen $ 100 maana sino $ 102, en otras palabras UN PESO HOY ES MAYOR A UN PESO DE MAANA.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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En este momento se podra pensar que el dinero tiene distinto valor en el tiempo, producto del proceso inflacionario que pueda existir en un pas. Y se estaras pensando correctamente. La inflacin provoca prdida del poder adquisitivo del dinero, haciendo que el dinero futuro tenga un menor valor real ( o poder de compra), que el dinero de hoyVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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En consecuencia, ambos supuestos estn estrechamente relacionados


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CONCEPTO DE INTERS

Entenderemos por inters (I), desde el punto de vista del deudor, la renta que se debe pagar por el uso del dinero tomado en prstamo. Y desde el punto de vista del acreedor, la renta que se tiene derecho a cobrar cuando se presta dinero. En otra palabras, se entiende como el costo del dinero. Es lo que el deudor debe sacrificar por usar dinero ajeno.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 16

Quien pide prestado $ C hoy, debe devolver maana $ ( C + I ), donde I es el inters en pesos ( o cualquier otra unidad monetaria ). Quien presta $ C hoy, tiene derecho maana a la devolucin de $ ( C + I )


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1.2.2 FACTORES QUE DETERMINAN LA CUANTA DEL INTERS.

1.- CAPITAL O PRINCIPAL ( C ) : Suma de dinero originalmente prestado o pedido en prstamo. 2.- TIEMPO ( t ): Es el nmero de unidades de tiempo para el cual se calculan los intereses. Generalmente, la unidad de tiempo es anual, pero tambin puede ser mensual, semestral, etc.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 18

3.- TASA DE INTERS ( i ): Es el inters por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento (%) o tanto por uno del capital.(Generalmente las tasas se expresan en trminos mensuales o anuales). La relacin entre estos tres factores mencionados ( C, t , i ), y el Inters ( I ), es siempre directa. Por ejemplo, mientras mayor sea el capital invertido, mayor ser el inters que genere ( para una misma tasa de inters y tiempo).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 19

Para realizar los clculos siempre la tasa de inters debe utilizarse en tanto por uno, es decir, la tasa dividida por 100. Por ejemplo: La tasa de inters es del 2%, se debe utilizar 2 / 100 = 0,02.


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La cuanta del inters va a depender si la operacin es a inters simple o a inters compuesto. Estas son dos modalidades de clculo que se diferencian en la base de aplicacin de la tasa de inters. Inters Simple: En este mtodo, la base de clculo corresponde al capital inicial otorgado en prstamo. Los intereses que se generan no se transforman en capital, por tal motivo, los intereses resultantes para los distintos periodos de tiempo son iguales:Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 21

4.- MODALIDAD DEL INTERS:

Por ejemplo, si depositas $ 200.000 al 10 % anual, durante un periodo de 3 aos.


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Esta situacin la podemos representar en una recta de tiempo: $ 200.000_____________ _____________ ____________ 0 I = 2O.000 1 I = 20.000 2 i = 10 % anual I 20.000 3 aos


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Durante el primer ao los $ 200.000 generan intereses por $20.000. Para el segundo ao, el capital que sirve de base sigue siendo los $200.000, por lo tanto el inters resultante es de $ 20.000, igual que en el primer perodo. Para el tercer ao ocurre lo mismo (C = $ 200.000, I = $20.000). En otras palabras, el inters que se genera para un perodo de tiempo, en este caso, un ao, se obtiene de multiplicar el capital relevante por la tasa de inters (expresada en tanto por uno). Vctor Arismendi Barra - DocenteUniversidad Tecnolgica de Chile 24

Explicacin:

Inters para un periodo de tiempo (un ao) CAPITAL (C) x TASA DE INTERS (i) = INTERS (I) C x i = I $ 200.000 x 0,10 = $ 20.000


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Inters Compuesto: Esta modalidad de clculo de inters consiste, en que el inters que genera el capital para un perodo de tiempo se capitaliza, es decir, se transforma en capital. Por lo tanto, para el periodo siguiente, el capital relevante ser el capital inicial ms el inters resultante del primer periodo, generando con ello, un inters mayor en el segundo periodo, el cual tambin se capitaliza. Es decir, en inters compuesto, los intereses en los distintos periodos son diferentes y crecientes (los intereses se calculan sobre Vctor Arismendi Barra - Docente intereses). Universidad Tecnolgica de Chile 26

Supongamos que el problema anterior, se pact a inters compuesto.$ 200.000 220.000 242.000 266.200 3 aos ______________ _______________ ______________ 0 I1 = 20.000 1 I2 = 22.000 2 I3 = 24.200 i = 10 % anual


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PERIODO

CAPITAL RELEVANTE (C)

INTERS (I) Cxi

CAPITAL ACUMULADO

1 2 3

$ 200.000 220.000 242.000

$ 20.000 22.000 24.200Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

$ 220.000 242.000 266.200

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Respuesta: En inters compuesto los intereses se capitalizan, generando mayores intereses en los periodos siguientes, en cambio, en inters simple no existen las capitalizaciones, por lo tanto, los intereses para los periodos siguientes son iguales al primer periodo. En trminos generales, el inters simple se relaciona con operaciones de corto plazo, y el inters compuesto con operaciones de mediano y largo plazo. En un crdito con pagos intermedios de capital y / o intereses, la forma de pago, es otro factor que afecta la cuanta de inters acumulado.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 29

1.2.3 OPERACIONES A INTERS SIMPLE En esta modalidad de inters, mientras no vare el capital pendiente de pago, durante el periodo de aplicacin de la tasa de inters, el inters que se devengue por unidad de tiempo , en ese periodo, ser siempre el mismo. Si recuerdas en el ejemplo anterior, el capital solicitado en prstamo era de $200.000, la tasa de inters aplicada para un periodo de un ao era de un 10 % y el tiempo de uso del dinero, 3 aos.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 30

C = $ 200.000 i = 10% anual t = 3 aos


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Como la tasa de inters corresponde a un periodo de un ao, durante el tiempo de uso del dinero de 3 aos, habr tres periodos de generacin de intereses ( n = 3). Si la tasa de inters se hubiese pactado mensualmente, n sera 36, porque en un periodo de tres aos se produciran 36 periodos mensuales de generacin de intereses. Es decir n es el nmero de periodos de generacin de intereses en el tiempo de uso del dinero. Por lo tanto, de ahora en adelante solo usaremos n.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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1.2.3.1

INTERS SIMPLE ACUMULADO

Siguiendo con el problema anterior, el inters para un ao es de $ 20.000, el inters acumulado hasta el segundo ao es de $ 40.000, y el inters acumulado hasta el tercer ao es de $ 60.000.


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Inters acumulado al primer ao:$ 20.000 $ 40.000 ( 20.000 x 1 ) ( 20.000 x 2 ) Cx i x1 Cx i x2 Cxi x3

Inters acumulado al segundo ao: Inters acumulado al tercer ao:$ 60.000

( 20.000 x 3 )

Por lo tanto, si se quiere determinar el inters acumulado para n periodos, el inters que genere el capital, para un periodo ( C x i ), se debe multiplicar Vctor Arismendi Barra - Docente por el nmero de periodos ( n) Universidad Tecnolgica de Chile

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FORMULA INTERES SIMPLEI = C x n x i


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Aplicando la frmula en el problema.Si deseamos invertir el capital por un periodo de tres aos, el inters resultante ascendera a

:

I = 200.000 x 3 x 0,10 I = $ 60.000Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 36

La presente frmula nos permite determinar el inters acumulado para cualquier tiempo. Pero adems, conociendo el inters acumulado es posible determinar: a.- El tiempo necesario para generar dicho inters (conociendo el capital y la tasa de inters pactada ); b.- La tasa de inters necesaria para generar dicho inters ( conociendo capital y nmero de periodos de uso del dinero); c.- El capital o principal necesario para generar dicho inters ( conociendo i y n).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 37

Debes tener presente, que siempre el tiempo de la tasa de inters debe coincidir con el tiempo que indica n. Es decir, si la tasa de inters es anual, los periodos de uso del dinero (n) deben ser anuales. Si i es mensual, n debe ser tambin mensual. Si te enfrentas a un problema en que la tasa de inters pactada es anual y el tiempo del uso del dinero est dado en trminos mensuales, por ejemplo i = 10% anual, y el tiempo de uso del dinero es de 6 meses. Tienes dos alternativas para trabajar:Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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1.Operar con i en forma anual, y transformar el tiempo a ao, es decir, 0,5 ao (6 / 12 ). 2.Operar con los n en forma mensual ( 6), y transformar i a mensual. (tema tratado ms adelante).


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Ejercicio 1.1 De la frmula planteada anterior ( I = C x n x i ), obtn las frmulas necesarias para calcular n, i y C .


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Respuesta: n = I/( C x i ) i = I/( C x n) C = I/(n x i)Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 41

1.2.3.2 MONTO A INTERS SIMPLE.

Tomando el ejemplo inicial, la cantidad de dinero que tu retiras del banco al cabo de un mes, es decir, el dinero depositado ( C ) ms los intereses ( I ) generados durante ese mes, sea, $ 101.000, recibe el nombre de Monto de un capital o deuda. Por lo tanto, el Monto de una Deuda ( M ) a una fecha dada, corresponde al capital inicial ms los intereses acumulados a esa fecha, es decir: M = C + IVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 42

Como el inters, segn mtodo de inters simple, se obtiene a travs de la frmula: I = C x i x n Si reemplazamos la frmula de inters en la frmula de monto:M = C +

C x i x n

/ Factorizando por C

M = C ( 1 + i x n )


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Donde: M = Monto a inters simple C = Capital inicial n = Nmero de periodos de uso del dinero (Determinado por el tiempo que indica la tasa de inters) i = Tasa de inters


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Ejemplo: Recordando, el problema anterior consista en un prstamo de $ 300.000, a una tasa de inters del 2,2% mensual. Si te piden que determines el monto a un ao. Te estn solicitando que al capital inicial le agregas los intereses que genera ese capital durante el periodo de un ao (12 meses).


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El inters para un ao lo obtenemos de la siguiente manera: I = 300.000 x 0.022 x 12= $ 79.200 Si al capital de $ 300.000 le sumamos los intereses acumulados por un ao ($79.200), obtenemos un monto de $ 379.200. Aplicando la frmula de monto a inters simple: M = C ( 1 + n x i ) M = $ 300.000 ( 1 + 0,022 x 12 ) M = $ 379.200Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 46

OPERACIONES A INTERS COMPUESTO

Algunas expresiones relacionadas: Capitalizacin de intereses: Es el proceso de agregar a un capital, los intereses simples de los periodos de uso del dinero, entre la fecha en que se form ese capital y la fecha elegida para agregar intereses. Periodo de capitalizacin: Es el intervalo de tiempo convenido para capitalizar los intereses (meses, trimestres, aos , etc.). Tasa de inters compuesto: Es la tasa de inters por periodo de capitalizacin Frecuencia de capitalizacin: Tambin llamado periodo de capitalizacin o de conversin. Es el nmero de veces en que se capitalizan los intereses en el tiempo de uso del dinero.


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Ejemplo:

Un prstamo por $ 1.200.000 a 3 aos plazo, otorgado a una tasa de inters del 18 % anual, con capitalizacin anual. Identifica : 1.- Tiempo de uso del dinero 2.- Perodo de capitalizacin 3.- Frecuencia de capitalizacin


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Respuesta: a.b.c.3 aos anual 3


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Clculo Inters y Monto

i = 18% anual con capitalizacin anual I1 = C0 x n x i ( n = 1 ) I1 = 120.000 x 0,18 = $ 21.600 M1 M1 = = = = 141.600 = C0 + I1 = 120.000 + 21600 =$ 141.600 C1 x n x I(n = 1) 141.600 x 0,18 = $ 25.488 C1 + I2 + 25.488 = $ 167.088

I2 I2 M2 M2


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I3 I3

= C2 x n x i = 167.088 x 0,18 M3 M3

( n = 1) = $ 30.076 = C2 + I3 = 167.088 + 30.076

= $ 197.164

En el presente ejemplo, las capitalizaciones de los intereses son anuales, por lo tanto, en el tiempo de uso del dinero de 3 aos, existen 3 periodos de capitalizacin ( n = 3 dado que la tasa de inters es anual ).


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MONTO A INTERS COMPUESTOAl igual que en el caso de monto a inters simple, el monto ( M), es el resultante de la suma entre capital inicial y los intereses generados durante el tiempo de uso del dinero. La diferencia en este caso radica en la forma como se calculan los intereses. M = C + I


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Monto acumulado para el primer periodo Monto acumulado para el primer periodo: M1 = C0 + I1 I1 = C0 x i x n ( n = 1 ) M1 = C0 + C0 x i = C0 ( 1 + i )


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Monto acumulado hasta el segundo periodo: M2 = M1 + I2 I2 = M1 x i x n ( n=1 ) M2 = M1 + M1 x i M2 = M1 ( 1 + i ) M1 = C0 ( 1 + i ) M2 = C0 ( 1 + i ) ( 1 + 1 ) = C0 ( 1 + i)2


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Monto acumulado hasta el tercer periodo: M3 = M2 + I3 I3 = M2 x i + n (n=1) M3 = M2 + M2 x i M3 = M2 ( 1 + i ) M3 = C0 ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C0 ( 1 + i )3


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Monto acumulado para n periodos:

M = C (1 + i )n Donde: C = Capital inicial o Principal i = Tasa de inters por periodo de capitalizacin n = Nmero de capitalizaciones en el tiempo de uso de dinero


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INTERS COMPUESTO ACUMULADO, conociendo el monto compuesto:

Sabemos que por lo tanto

M I M I =

= = = =

C + I M C C ( 1 + I )n C ( 1 + I )n - C

I

C ( ( 1 +i ) n - 1 )


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TIEMPO DE USO DEL DINERO.

Por norma general, por cada da, mes o ao de uso del dinero tomado en prstamo o prestado, se genera o devenga intereses. Es por ello, que es necesario determinar el tiempo de uso del dinero, como tambin la fecha de vencimiento de la obligacin.


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DETERMINACIN DEL NUMERO DE DAS ENTRE DOS FECHAS.

Para determinar el tiempo de uso del dinero entre dos fechas ( fecha de inicio de la obligacin y fecha de termino de la obligacin ), existen dos criterios: a.1. Criterio Exacto a.2. Criterio Aproximado


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Criterio Exacto: Se cuenta el nmero exacto de das existente entre la fecha inicial y la fecha terminal. Criterio aproximado: Se cuenta el nmero de das de la fraccin de ao entre la fecha inicial y fecha terminal, y considerando que el mes tiene 30 das (si el mes tiene 28 29, 30 o 31 das, se considera que tiene 30 das).

Para contar los das es costumbre excluir el primer da e incluir el ltimo.


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Ejemplo.

Cierta cantidad de dinero se invierte desde el 15 de Enero hasta el 19 de Febrero del mismo ao. Segn el criterio exacto, se excluye el da 15. Se usa el dinero los 16 ltimos das de Enero y los 19 das de Febrero, obtenindose un total de 35 das. Segn el criterio aproximado, se excluye el da 15. Se considera que Enero tiene 30 das, por lo tanto, quedan por usar en el mes de Enero solo 15 das, ms los 19 das de Febrero, obteniendo un total de 34 das.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y terminal, en periodos mayores a un ao, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los aos de 360 das y los meses de 30 das. Otra forma que existe para determinar el tiempo de uso del dinero, segn el criterio aproximado, es realizar una simple resta, de la manera indicada en el siguiente ejemplo:


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Calculemos el tiempo transcurrido entre el 13 de Marzo de 1997 y el 25 de Junio de 1999. 1999 aos 6 meses 25 das Menos 1997 aos 3 meses 13 das 2 aos 3 meses 12 das

es decir, 720 das ( 2 aos x 360 das ) + 90 das ( 3 meses x 30 ) + 12 das = 822 das. Para periodos menores a un ao, la costumbre comercial es contar los das calendarios que existen entre dos las fechas ( usando el criterio exacto ).


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DETERMINACIN DE LA FECHA DE VENCIMIENTO DE UNA DEUDA

La fecha de vencimiento o fecha final ( FF ), se establece de acuerdo a lo que convengan las partes. Cuando slo esta dado el plazo de la obligacin, la fecha de vencimiento se determina de acuerdo a la siguiente conversin: 1.ser: FF ser: 2.FF Si el plazo esta dado en das, la fecha de vencimiento va a = Fecha inicial + N exacto de das

Si el plazo esta expresado en meses ( aos ), la fecha de vencimiento = Fecha inicial + N de meses ( aos )


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TASA DE INTERS:

Al comenzar a tratar el tema de los intereses, vimos un ejemplo, en que se depositaba $ 100.000 durante un ao. Por lo que se ganaba $ 1.000. Al relacionar la ganancia con la inversin o depsito que genera esa ganancia, obtenemos lo que se denomina rentabilidad de la inversin o rentabilidad del depsito. Como sinnimo de rentabilidad consideraremos: tasa de inters.


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CONCEPTO DE TASA DE INTERS: La Tasa de Inters, es la rentabilidad que genera el dinero invertido o entregado en prstamo, durante cierto perodo de tiempo. Se expresa como un porcentaje del capital (Ej. 2% mensual). Para determinar el inters de un capital, la tasa de inters se expresa en tanto por uno (Ej.: 0,02 sobre el capital, o sea 2/100).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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En general, la bibliografa existente, trabaja con una tasa de inters anual, por lo tanto, si nada se dice del tiempo de la tasa de inters, se ha de asumir que es anual. En el presente mdulo trabajaremos con tiempos anuales, semestrales y mensuales, principalmente.


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CLASIFICACIN DE LA TASA DE INTERS:

1.-

Segn su variabilidad, las tasas de inters pueden ser:

a.- Tasa de inters fija: La tasa de inters fija es aquella que permanece constante durante el perodo de uso del dinero. Ejemplo: Crdito Hipotecario par la vivienda. b.- Tasa de inters variable: La tasa de inters variable es aquella que va sufriendo modificaciones durante el tiempo de uso del dinero. Ejemplo: prstamos internacionales.


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2.- Segn si existe ajuste inflacionario, las tasas de inters pueden ser: a.- Tasa de inters nominal: Es aquella tasa de inters que se aplica sobre capitales expresados en pesos, ($) o cualquier unidad monetaria que pueda ser afectada por procesos inflacionarios. b.- Tasa de inters real: Es aquella tasa de inters que se aplica sobre unidades de poder adquisitivo constante, como por ejemplo Unidad de Fomento (UF), Unidad Tributaria Mensual (U.T.M.), y en general, capitales reajustados segn la variacin que experimente el I.P.C..( Este tema ser tratado ms adelante ).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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3.- Desde el punto de vista del tiempo en que se generan los intereses, las tasas de inters pueden ser: a.- Tasa de inters vencida: Es aquella tasa de inters cuya aplicacin generan intereses con posterioridad al uso del capital. Por ejemplo: 2% mensual, es decir, por usar el dinero durante un mes, al final de este mes se ha generado intereses del 2% sobre el capital invertido. b.- Tasa de inters anticipada: Es aquella tasa de intereses cuya aplicacin genera inters con anterioridad al uso del capital. Por ejemplo 3% mensual, es decir, si un capital se invierte durante un mes, el inters que se genere ( 3 % sobre el capital ) se hace efectivo al inicio del mes o cuando comienza a usarse el dinero.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

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TRANSFORMACIN DE LA TASA DE INTERS DE UN PERODO A OTRO, SEGN MODALIDAD DE INTERS SIMPLE: Si la tasa de inters se encuentra expresada en trminos anuales, y el inters se desea determinar para otro tiempo, por ejemplo, semestral o mensual, debers hacer el siguiente ajuste: a.- Para uno o varios semestres; la tasa anual se debe dividir por 2. (Porque hay dos semestres en un ao). b.- Para 1 o varios meses; la tasa anual se debe dividir por 12 ( Porque hay 12 meses en un ao).


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Por ejemplo: un capital de $150.000 se desea invertir al 12% anual, durante un ao y 6 meses. Calcula el inters para dicho perodo. Si utilizamos la tasa de inters anual: I = 150.000 x 0,12 x 1,5 = $ 27.000 Si utilizamos la tasa de inters semestral: I = 150.000 x 0,12 x 3 = $ 27.000 2 Se obtiene la tasa semestral dividiendo la tasa anual por dos ( 0,12 / 2 ). Por lo tanto n = 3 porque en un ao y 6 meses hay 3 semestres ( el semestre es el tiempo que indica la tasa de inters).


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Si utilizamos la tasa de inters mensual I = 150.000 x 0,12 x 18 = 27.000 12 Se obtiene la tasa de inters mensual dividiendo la tasa anual por doce (0,12 / 12), por lo tanto, n = 18 ( porque hay 18 meses en un ao y 6 meses )


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Resuelva el mismo problema, utilizando la tasa de inters en trminos trimestrales, semanales, bimestrales ( cada dos meses ) y bimensuales (dos veces en el mes ).


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Respuesta:

I = 150.000 x 0,12 x 4 I = 150.000 x 0.12 x 52 I = 150.000 x 0,12 x 6 I = 150.000 x 0,12 x 24

6= 78 = 9= 36 =

27.000 27.000 27.000 27.000

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Si una tasa de inters expresada para un periodo de tiempo, se desea transformar para un perodo mayor, en vez de dividirla se ha de multiplicar por la cantidad de veces en que esta comprendido el tiempo que indica la tasa de inters en el nuevo tiempo a considerar. Por ejemplo: a) Si una tasa mensual se debe transformar a anual, aquella se debe multiplicar por 12 (porque hay 12 meses en un ao). b) Si una tasa trimestral se desea transformar a anual, aquella se debe multiplicar por 4, porque hay 4 trimestres en un ao76

Por ejemplo, supn que el problema anterior se ha pactado a una tasa de inters del 1% mensual, calcule el inters que se genera en el perodo. I = 150.000 x 0,01 x 18 = $ 27.000 Si la tasa mensual, se expresa en trminos: a) Semestrales: I = 150.000 x 0,01 x 6 x 3 = $ 27.000

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b) Anuales: I = 150.000 x 0,01 x 12 x 15 = $ 27.000 c) Bimestrales: I = 150.000 x 0,01 x 2 x 9 = $ 27.000

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Transformacin de una tasa de inters anual a una tasa de inters diaria:

Para calcular la tasa de inters diaria, partiendo de una tasa anual, existe dos criterios: 1.- Criterio exacto 2.- Criterio Ordinario

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1.- El criterio exacto considera un ao de 365 das (en los aos bisiestos se deben considerar 366 das). Tasa diaria ISE = ia/365

2.- El criterio aproximado, considera que el ao tiene 360 das. Tasa diaria ISO = ia/36080

Transformacin de una tasa de inters mensual a una tasa de inters diaria.

Al igual que en el caso de transformar una tasa anual a diaria, existen dos criterios de transformacin: 1.- Criterio Exacto 2.- Criterio Ordinario

81

El criterio exacto considera los das exactos que tenga cada mes, ya sea, 28, 29, 30 31 das. El criterio aproximado considera que todos los meses tienen 30 das. tasa diaria ISE = i m / ( 28, 29, 30 o 31 das ) tasa diaria ISO = im 30

82

Supongamos que un C = $ 200.000 se invierte, al 15% anual. el 12 de Enero de 2009, hasta el 30 de Marzo de 2009. Determina el inters simple segn tiempo exacto tiempo aproximado los distintos criterios de clculo de intereses. = = 77 das 78 das

83

transformacin de tasa exacta

0,15 365 transformacin de tasa ordinaria = 0,15 360 ISE, TE = 200.000 x 0,15 x 77 = 365 ISE, TAPP = 200.000 x 0,15 x 78 = 365 ISO, TE = 200.000 x 0,15 x 77 = 360 ISO,TAPP = 200.000 x 0,15 x 78 = 360

=

$ 6.329 $ 6.411 $ 6.417 $ 6.500

84

De los cuatro mtodos anteriores, generalmente el que genera un mayor inters es ISO, TE. Este mtodo recibe el nombre de mtodo bancario, y es el que usualmente es utilizado

85

TRANSFORMACIN DE LA TASA DE INTERS DE UN PERIODO A OTRO, SEGN MODALIDAD DE INTERS COMPUESTO:

Para transformar la tasa de inters de un perodo a otro, es necesario conocer previamente los conceptos de tasa de inters nominal, tasa de inters efectiva, y tasas de inters equivalentes.

86

Tasa de inters nominal:

La tasa de inters nominal es aquella tasa de inters (generalmente anual), convenida por las partes, sin importar la forma de cmo se capitalizan los intereses. Ejemplo, si una deuda se pacta al 10% anual. Esto supone que al cabo de un ao se generan intereses y se capitalizan por un valor equivalente al 10% del capital relevante. Tambin es posible encontrar que las capitalizaciones de los intereses no se realicen en el tiempo que indica la tasa de inters (en este caso un ao), sino que se devengan por periodos ms reducidos.

87

Por ejemplo: 1.- 10% anual, capitalizacin semestral 2.- 10% anual, capitalizacin trimestral 3.- 6% semestral, capitalizacin trimestral

88

Si ahora modificamos la tasa de inters tal como se solicit: En los dos primeros casos, la tasa de inters nominal anual es de un 10% y en el tercer caso, la tasa de inters nominal semestral es del 6%.

89

En el ejemplo 1 (10% anual, capitalizacin semestral), el tiempo que indica la tasa de inters es de un ao, en dicho tiempo, se producen dos capitalizaciones de intereses, dado que las capitalizaciones se efectan en forma semestral. (Hasta el momento, en el ejemplo no se ha sealado el tiempo de uso del dinero (t)).

90

Para calcular el inters que genera el capital en forma semestral, es necesario determinar una tasa de inters semestral, es decir una tasa de inters por perodo de capitalizacin o tambin llamado perodo de conversin. Para ello, se puede usar la siguiente frmula:

i = J/ m

Donde: i = tasa de inters por periodo de capitalizacin J = tasa de inters nominal (generalmente anual) m = frecuencia de capitalizacin o nmero de periodos de capitalizacin en el tiempo que indica la tasa de inters.

91

Se debe tener presente que para calcular la tasa de inters por periodo de capitalizacin no se tiene que considerar el tiempo de uso del dinero.

92

Por ejemplo: 1.- 10% anual, capitalizacin semestral 2.- 10% anual, capitalizacin trimestral 3.- 6% semestral, capitalizacin trimestral

93

En el ejemplo 1 En el ejemplo 2 En el ejemplo 3

: i = 0,10 2 : i = 0,10 4 : i = 0,06 2

( tasa nominal ) ( m) ( tasa nominal ) ( m ) ( tasa nominal ) ( m )

94

En el ejemplo 3, el tiempo que indica la tasa de inters es semestral, la capitalizacin de los intereses son trimestrales, por lo tanto, el nmero de capitalizaciones trimestrales en el tiempo que indica la tasa de inters (semestre) es 2.

95

Para calcular el inters compuesto de un cierto capital, adems de conocer el tiempo de uso del dinero y el periodo de capitalizacin de los intereses, es necesario determinar el nmero de capitalizaciones en el tiempo del uso del dinero ( n ). Para obtenerlo, se ha de multiplicar la frecuencia de capitalizaciones ( m ) por el nmero de periodos ( que indica la tasa de inters nominal ), en el tiempo de uso del dinero ( n* ), es decir:

96

n =

Suponga que los 3 ejemplos anteriores estn relacionados con un capital invertidos durante 2 aos. El nmero de capitalizaciones en el tiempo de uso del dinero, en los tres casos sera:

m

x

n*

97

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

= = =

2 4 2

x x x

2 2 4

= = =

4 8 8

98

Dado que ahora la tasa de inters ( i ) se expresa como J / m y el tiempo de uso del dinero ( n ) se obtiene de multiplicar m por n*, la frmula de inters compuesto quedara:

M =

C ( 1 + j / m )m x

n*

99

Ejemplo: Un capital de $ 300.000 se invierte durante dos aos, a una tasa de inters anual del 10% con capitalizacin mensual: C = $ 300.000 M = 300.000 ( 1 + 0,10 / 12 )12 x 2 t = 2 aos M =$ 366.117 im = 0,10 / 12 n = m x n* = 12 x 2 = 24

(en el tiempo de uso del dinero, 2 aos, hay 24 capitalizaciones mensuales )

100

Tasa de inters efectiva anual (ie)

Es la tasa de inters anual que realmente acta en la operacin. En general, es una tasa anual con capitalizacin anual, pero tambin puede ser para otros periodos de tiempo (semestral, mensual, etc.).

101

Como sabemos: C = capital i = tasa nominal anual m = frecuencia de capitalizacin ie = tasa efectiva anual j/m= tasa de inters por periodo de capitalizacin

102

Si consideramos como un ao el tiempo de uso del dinero y la tasa de inters nominal tambin anual, el monto de un capital, lo podemos expresar de dos formas: 1.M = C ( 1 + i )n 2.M = C ( 1 + j / m )m donde m es el nmero de capitalizaciones de intereses en un ao.

103

Como ambas ecuaciones son iguales podemos dejarlas expresadas en una igualdad: C ( 1 + ie ) n despejando ie ie = ( 1 + j / m )m -1

=

C (1+j/m)

m

104

Observaciones: 1.- Si m = 1 la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal. 2.- Dado m, al aumentar j , aumenta ie . 3.- Dado J, al aumentar m, aumenta ie . 4.- Las tasa efectivas para periodos diferentes a un ao, se pueden determinar en una forma similar a la tasa efectiva anual.

105

Una segunda forma para determinar la tasa efectiva para cierto periodo de tiempo, consiste en el siguiente procedimiento: Se divide el inters que se genera el capital para un determinado tiempo por el capital inicial invertido: ie = Inters Capital = I C106

Por ejemplo, un capital de $100.000 invertido al 10% anual con capitalizacin mensual, durante un ao. Para determinar la tasa efectiva anual se debe calcular primero el inters para un ao, y luego dividir ste por el capital inicial.

107

1.-

Uso de frmula: ie = ( 1 + 0,10 / 12 )

12

- 1 = 10,47%

2.- Uso de procedimiento: a.- Clculo del inters anual ( tiempo de uso del dinero, un ao) I = 100.000 ( ( 1 + 0,10 / 12 ) 12 - 1 ) = $ 10.471 b.- Clculo de tasa efectiva anual: ie = 10.471 = 0,10471 = 10,47% 100.000

108

Tasa de inters equivalente:

Dos tasas de inters son equivalentes (no iguales) si aplicadas sobre un mismo capital, durante un mismo tiempo, permiten generar un mismo inters. Por ejemplo: si un C = $ 200.000 se invierte durante 3 aos, a una tasa de inters del 12% anual con capitalizacin semestral. Determinemos una tasa de inters equivalente mensual.

109

Para calcular la tasa equivalente mensual, lo primero es calcular el inters que genera la inversin durante el tiempo de uso del dinero, en este caso, 3 aos: I = 200.000 ( ( 1 + 0,12 / 2 ) 6 - 1 ) = $ 83.704 Posteriormente, debemos determinar una tasa de inters mensual que aplicada sobre el capital inicial durante tres aos, nos permita generar $ 83.704 por concepto de intereses

110

83.704 = 200.000 ( (1 + im)36 - 1 ) 83.704 + 1 = ( 1 + im )36 200.000 1,41852 = (1 +i m)36 / si sacamos la raz 36 im = 0,98 % Por lo tanto, la tasa de inters mensual del 0,98% es equivalente a la tasa de inters anual del 12 % con capitalizacin semestral.111

Para el mismo problema, determine la tasa equivalente: a.- Semestral b.- Semestral con capitalizacin trimestral c.- Trimestral con capitalizacin mensual

112

Respuesta:

a.b.-

83.704 is 83.704 i

= = = = = =

200.000 ( ( 1 + is )6 -1 ) 6% 200.000 ( (1 + is / 2 )2 x 6 -1 ) 5,9% semestral capitalizable trimestralmente 200.000 ( ( 1 + itr / 3 )12 x 3 -1 ) 2,9% trimestral capitalizable mensualmente

c.-

83.704 i

113

1.- Para determinar una tasa equivalente no es necesario conocer el capital inicial. 2.- El tiempo de uso del dinero, puede ser cualquiera, lo importante, que para ambos lados de la igualdad sea el mismo. 3.- Slo se debe conocer la tasa de inters a la que se ha de determinar la tasa equivalente.

114

DETERMINACIN DE LA TASA DE INTERS REAL:

Para determinar la tasa de inters real de un prstamo, es necesario conocer el capital el monto real y el tiempo de uso del dinero. Por otro lado, hay que considerar si el prstamo se cancela en un pago nico o a travs de pagos parciales.


115

Prstamo se cancela en Pago Unico

Si a un capital le aplicamos una tasa de inters nominal, obtenemos el monto nominal de dicho capital, y si le aplicamos una tasa de inters real, logramos su monto real. Por lo tanto, si conocemos el Capital, el Monto Real y el tiempo, podemos obtener la tasa de inters real ir.


116

MN = MR = O bien MR =

C(1+iNxn) MN / (1 + inf )

MN x IPC base IPC cteVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

117

Tambin podemos obtener el monto real: MR = C(1+irxn) Si unimos las dos frmulas: C ( 1 + i N x n ) / ( 1 + inf ) Factorizando y simplificando:Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

= C (1 + i r x n )

118

Factorizando y simplificando: ir = ( ( 1 + i N x n ) / ( 1 + inf ) ) - 1 n

NOTA: La inflacin a considerar debe corresponder al tiempo de uso del dinero, Es decir, el periodo comprendido entre la fecha del capital y la fecha del monto.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

119

Ejemplo 1: 1.053.571 = ir = 1.000.000 ( 1 + i r x 1 )

5,36 %


120

usando la frmula: ir = ( ( 1 + 0,18 x 1 ) / ( 1,12 ) - 1 1 ir = 5,36 %


121

Existe una forma ms fcil de obtener la tasa de inters real, corresponde al teorema llamado TEOREMA DE FISHER el cual dice que, para obtener la tasa de inters nominal basta agregarle a la tasa de inters real la inflacin del perodo, de la siguiente manera: (1 + in x n ) = (1 + ir x n ) x (1 + inf)n De este planteamiento podemos llegar a la siguiente frmula para obtener la ir, si el periodo es un ao. ir = (1 + in) - 1 (1 + inf)


122

CONCEPTO DE INFLACIN.La inflacin consiste en el alza sostenida en los niveles de precios. Cuando hablamos de niveles de precios nos referimos alconjunto de precios que existe en la economa, como por ejemplo, el precio de un automvil, de un dulce, de un pasaje escolar, etc.

123

En la mayora de los pases existe inflacin (unos ms, otros menos). Chile no est al margen de ello. Las personas que dependen de un sueldo, que en general viaria una vez al ao, se enfrentan a un ingreso fijo y a precios de productos en constante crecimiento. Esto lleva con sigo que con el mismo ingreso, producto de la inflacin, estas personas cada vez tengan menos poder de compra, es por ello, que se dice que la inflacin genera prdida del poder adquisitivo del dinero.124

Si pensamos que la riqueza de las personas, en trminos materiales, est dado por lo que stas poseen, la inflacin tiende a provocar una disminucin en la riqueza de las personas. Teniendo presente lo anterior, ya no es vlido pensar que si yo deposito $100.000 hoy al 10% anual, durante 1 ao, mi riqueza aumentar en $10.000 al cabo de un ao. La variacin de la riqueza va a depender adems de la tasa de inters, de la inflacin en el periodo ( en el ejemplo, 1 ao).

125

Si la inflacin en el ao fue de un 20% , significa que los precios de los bienes y servicios se incrementaron, en el ao, en un 20%. Para poder comprar dentro de 1 ao lo mismo que has adquirido con $ 100.000 el da de hoy, necesitars $ 120.000. Pero como slo podrs retirar $ 110.000 (monto), ello implicar que debers comprar menos de lo que hoy compras

126

Si no hubieses considerado la existencia de la inflacin, tu decisin habra sido el de depositar, es decir, te habras equivocado, porque con lo calculado anteriormente, lo que te conviene es comprar hoy y no invertir. En otras palabras, si no incluimos la inflacin en los problemas financieros, lo ms probable que estemos tomando malas decisiones

127

EXPRESIONES RELACIONADAS:

Valor monetario nominal: Es un valor monetario expresado en unidades de poder adquisitivo variable (decreciente en perodos inflacionarios). Por ejemplo $ 50.000. Valor monetario real: Es un valor monetario expresado en unidades de poder adquisitivo constante . En el ejemplo, los $ 100.000 hoy y los $ 120.000 dentro de un ao, son valores reales, dado que con ambas cantidades de dinero en las fechas correspondientes puedes adquirir la misma cantidad de bienes y servicios (Ej. Unidad de Fomento )

128

DETERMINACIN DE LA INFLACIN DE UN PERIODO:

Como es muy difcil determinar la inflacin de un pas, nos conformaremos con conocer la estimacin de la inflacin, dada por la variacin del ndice de precios al consumidor (I.P.C), entregado todos los meses por Instituto Nacional de Estadstica ( I.N.E ). Para conocer la variacin del IPC, es necesario que sepas que un ndice de precios es un indicador numrico que intenta cuantificar la variacin porcentual del precio de un bien o del nivel de precios de un conjunto de bienes, respecto a su precio o nivel de precios en un momento dado, llamado momento o periodo base.

129

Por lo tanto, entenderemos como ndice de Precios al Consumidor (I.P.C.) como un nmero ndice, que intenta reflejar el nivel de precios y medir las variaciones del nivel de precio de una canasta fija de bienes y servicios consumidos por una familia tipo, con respecto a un momento base.

130

IPC = Valor de la canasta base a precios del mes corriente x 100 Valor de la canasta base a precios del mes base

131

El IPC se calcula mensualmente y por convencin se asume que su valor es el del ltimo da del mes. Las variaciones anuales del IPC calculadas a partir de las variaciones mensuales no son el resultado de un proceso agregativo simple (no se suman), debido a que cada variacin mensual est referida al mes anterior. Si las variaciones de IPC estuvieran basadas en el mes base, entonces se podran sumar. (siempre el IPC del mes base es cero).132

Supongamos que la canasta base tiene un costo de $75.840.- en el mes base y hoy ( mes corriente ) esa misma canasta se valoriza a $84.355 Por lo tanto, el IPC para el presente mes ser: IPC = 84.355 x 100 75.840 IPC = 111,23

133

El IPC para este mes es de 111.23, esto significa que el valor de la canasta entre el mes base y el mes corriente (hoy) ha aumentado en un 11,23 % (111,23 - 100 )/ 100, es decir, la inflacin estimada para ese perodo fue de 11,23%. Pero nosotros no queremos conocer la inflacin entre un determinado mes, y el mes base, sino que deseamos saber cul es la inflacin mensual, semestral o anual. Para ello, debemos conocer los IPC de cada mes y calcular la variacin porcentual mes a mes, obteniendo la estimacin de la inflacin mensual.

134

Comprueba los resultados de las variaciones de IPC mensual! MES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio IPC 225,14 225,82 227,40 228,76 230,59 232,67 Var. IPC % 0,6 0,3 0,7 0,6 0,8 0,9135

1.- Explica qu significa que el IPC de Abril sea de 228,76. 2.- Explica qu significa que la variacin del IPC en Junio sea de 0,9 % 3.- Calcula la inflacin semestral.

136

a.b.-

La variacin del IPC de Enero IPC mes de Enero

= =

0,6 % 225,14

Por lo tanto, puedes determinar el IPC de Diciembre. Var.IPC ene = IPCene - IPC Dic IPCdic 0,006 = 225,14 - IPCdic IPCdic IPCdic = 223,79 x 100 x 100

137

Inflacin del primer semestre: = ( 232,67 - 223,79 ) x 100 223,79 = 3,96 % = 4,0 %

138

Definicin de la UF: La Unidad de Fomento (UF) es es una medida reajustable basada en la variacin del Indice de Precios al Consumidor (IPC). El Ministerio de Hacienda de Chile, en su Decreto Supremo N 40 del 2 de enero de 1967, cre la Unidad de Fomento asignndole un valor reajustable inicial de E 100 (cien escudos). En aquella poca, el valor de la UF se reajustaba el primer da de cada trimestre segn la variacin del IPC del trimestre anterior.


139

En la actualidad, segn las normas del Banco Central y mediante el acuerdo 05-03-900105 del 08-Ene1990, la UF contina reajustndose en forma diaria, siendo calculada a principios de cada mes para el perodo comprendido entre el da 10 de dicho mes y el da 9 del mes siguiente, de acuerdo a la tasa promedio geomtrica de la variacin del IPC del mes anterior. La variacin del IPC del mes anterior ser la que determine mensualmente el Instituto Nacional de Estadsticas (INE), o el organismo que a futuro lo pueda reemplazar.


140

Forma de Clculo de la UF:

A continuacin se muestra la frmula de clculo del factor de reajuste diario de la UF: Rd = (1 + vIPC)(1/d)


141

Donde: Rd = Factor de reajuste diario del valor de la Unidad de Fomento. d = N de das comprendidos en el perodo para el cual se calcula el valor diario de la UF. vIPC = Variacin porcentual del IPC registrada en el mes inmediatamente anterior. De esta manera, el valor de la UF para cada da se determinar sobre la base del valor del da anterior, segn la siguiente frmula: UFda = UFda-1 x RdVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

142

ANUALIDAD Y AMORTIZACIN DE CAPITAL ANUALIDAD

Cuando se solicita un crdito, ste se puede devolver en un pago nico, o en un nmero reducido de cuotas, tal como hemos visto los problemas anteriormente. Pero qu ocurre cuando la deuda se cancela en 6, 12, 24, 48, etc. cuotas?. En este caso, se puede utilizar la misma metodologa de pagos parciales recientemente tratadas. Pero existe el problema de ser un proceso lento, engorroso y de fcil equivocacin.143

Para hacer ms fcil los clculos, estudiaremos las llamadas Anualidades Una anualidad es una sucesin de ingresos o pagos peridicos. Por ejemplo tenemos sueldos, cuotas mensuales de crdito, cotizaciones previsionales, arriendos, etc.

144

EXPRESIONES RELACIONADAS CON ANUALIDADES:

Renta: Es la cuanta de cada pago o ingreso peridico. Puede ser en $, U$, UF, etc. Periodo de renta: Es el lapso de tiempo entre dos pagos o ingresos sucesivos. Ej.: Si las cuotas se pagan los das 1 de cada mes, el perodo de pago es mensual. Plazo de una anualidad: Es el intervalo de tiempo entre el comienzo del primer perodo de pago(renta) y el final del ltimo perodo de renta. En la recta de tiempo anterior se observa que el plazo de la anualidad es de 3 meses.145

Por ejemplo: Una persona el 01 de Junio contrajo una deuda. Se acuerda devolver el prstamo en 3 cuotas de $ 50.000 cada una, los das 01 de Julio, 01 de Agosto y 01 de Septiembre. En el presente ejemplo la renta Es de $ 50.000, el periodo de renta es de 1 mes, y el plazo de la anualidad es de 3 meses.146

CLASIFICACIN DE LAS ANUALIDADES:

Anualidades variables: Son aquellos en que el valor de las cuotas son distintas y/o el perodo de pago o renta es diferente. En este caso, tenemos tres tipos de anualidades: a.- Anualidad con cuotas distintas y periodos de pago iguales: 30.000 40.000 20.000 `__________`______________`______________` 0 1 2 3 meses

147

b.- Anualidad con periodos de pago diferentes y cuotas iguales: R R `____`_____`_____`_____`_____`_____` 0 1 2 3 4 5 6 aos

148

c.- Anualidad con periodos de pago diferentes y cuotas distintas: 30.000 40.000 20.000 `______`______`______`______`______`______` 0 1 2 3 4 5 6 aos

149

2.-

Anualidades de renta constante y perodo de pago constante.

Estas son aquellas en que todas las cuotas son de igual valor y los perodos de pago iguales, ya sea mensual, trimestral, semestral, anual, etc. De estas anualidades podemos encontrar las siguientes: 1.2.3.4.5.Anualidad vencida Anualidad anticipada Anualidad diferida Anualidad perpetua Anualidad eventual150

1.

Anualidad vencida:

Aquella en que los pagos o ingresos peridicos se efectan o se producen al final de cada perodo de pago. Tambin son conocidas con el nombre de anualidades ordinarias. Por ejemplo: la compra en una casa comercial a 3 meses precio contado pagando la 1 cuota al final del mes; prstamos hipotecarios, prstamos de consumo, etc.R R R R R R `_____`____`____`_____`_____`____` 0 1 2 3 4 5 6 R aos

151

2.

Anualidad anticipada:

Aquella en que los ingresos o pagos peridicos se producen al comienzo de cada uno de los periodos de renta. Por ejemplo, compra en una casa comercial a 3 meses precio contado, pagando la 1 cuota el da de la compra.R R R R R R R R `_____`_____`_____`_____`_____`_____`____ ` 0 1 2 3 4 5 6 aos152

Las anualidades vencidas y anticipadas vistas en los puntos 1 y 2 tambin reciben el nombre de anualidades actuales, ya que el primer periodo de renta comienza junto con el acto o contrato que le da lugar.

153

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

El valor actual de una anualidad a una fecha dada, y a una tasa de inters dada, (llamada tasa de descuento racional), es aquel capital que colocado a esa tasa de inters, por un lapso de tiempo igual al que existe entre la fecha del valor actual y la fecha del vencimiento de la renta futura, ascender exactamente a esa suma futura. En otras palabras, corresponde al valor equivalente en la fecha del valor actual, de la suma de cada una de las cuotas de la anualidad.

154

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A INTERS SIMPLE: Las anualidades a inters simple, generalmente corresponden a vencidas y anticipadas, por tal motivo, slo estos dos tipos sern tratadas en lo que respecta a su valor actual.

155

Valor actual de una anualidad vencida:

Recta de Tiempo_____R R R R `________`________`________`_ _ _ _ ` 0 1 2 3 n aos

156

VAAV =

R__________

+

R__________

+

R (1 + i x 3)

+ +

R (1 + i x n)_________

(1 + i x 1 )

(1 + i x 2)

__________

157

Como podemos observar, estamos en presencia de una suma de una proporcin geomtrica de n trminos, lo que nos lleva a concluir en la siguiente frmula.VAAV = R ( 2n + n i ( n - 1 ) ) 2(1+ixn)

158

donde: VAAV R n i = = = = Valor actual de una anualidad vencida Valor de la cuota o renta Nmero de cuotas Tasa de inters por periodo de pago

159

Ejercicio 1

Determina el valor actual de la siguiente anualidad: 10.000 10.000 10.000 10.000

`___________`___________`___________`____________`

0

1

2

3

4 meses

i =

3% mensual

160

Para resolver un problema de Anualidad, en este caso, Valor Actual de una anualidad vencida a inters simple, existen dos caminos: a.- Descontar a cada cuota los intereses correspondientes desde la fecha de la cuota y la fecha focal uno a uno. A continuacin lo denominaremos mtodo carretero b.- Usar la frmula de anualidad

161

a.-

Mtodo Carretero:

VAA = 10.000 / ( 1 + 0.03 x 1 ) + 10.000 / ( 1 + 0.03 x 2 ) + 10.000 / ( 1 + 0.03 x 3 ) + 10.000 / ( 1 + 0.03 x 4 ) VAA = $ 37.246

162

b.VAA =

Usando la frmula:10.000 ( 2 x 4 + 4 x 0.03 x 3 ) 2 ( 1 + 0.03 x 4) $ 37.321

VAA

=

163

Valor actual de una anualidad anticipada

Recta de tiempo:R R R R

`________`________`_ _ _ _ _ _ _ _`________` 0 1 2 n aos

164

VAAA =

R+

R + __________ (1+ix1)

R + ... + __________ (1+ ix2)

R __________ (1+ixn )

165

Aplicando la suma de una progresin geomtrica de n trminos, llegamos a la siguiente formula:

VAAA

=

R(2n + ni(n+1)) 2(1 +in)

166

Por ejemplo calcula el valor actual de una anualidad anticipada de 3 cuotas mensuales de $ 1.000 cada una, a una tasa de inters del 2% mensual.

a.- Mtodo carretero:VAAA = 1.000 + 1.000 / ( 1 + 0,02 x 1) + 1.000 / ( 1 + 0,02 x 2 ) VAAA = $ 2.942

167

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A INTERS COMPUESTO:

Para efectos del curso, sern, en este caso, tratadas las anualidades vencidas y anticipadas. Las diferidas y perpetuas, no sern estudiadas en este curso.

168

Valor actual de una anualidad vencida:

a.- Mtodo Carretero:VAAV = R + R _______ _________ (1+i ) ( 1 + i )2

+

R +.... + R ________ _______ (1+i )3 (1+i)n

169

Como estamos en presencia de una suma de una proporcin geomtrica de n trminos, podemos concluir en la siguiente frmula.VAAV = R ( 1 - ( 1 + i ) -n) i

170

RECUERDA:

Slo se pueden usar las frmulas si las cuotas y los periodos de pago iguales son iguales. La tasa de inters debe estar expresada en el mismo tiempo del perodo de pago.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 171

Por ejemplo, una persona pide un prstamo en un banco por $1.000.000 al 2,5% mensual, y acuerda pagarlo en 12 cuotas iguales mensuales y vencida. Cunto deber pagar mensualmente esa persona?


172

Usando la frmula: 1.000.000

=

R ( 1 - ( 1 + 0,025 ) 0,025

- 12

)

R

=

$ 97.487

La persona al pagar 12 cuotas de $ 97.487 estara devolviendo el prstamo de $1.000.000 ms los intereses respectivos.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile

173

Valor actual de una anualidad anticipadaR R R R `________`________`_ _ _ _ _ _ _ _`________` 0 1 2 n

aos


174

VAAA

=

R ( ( 1 + i ) ( 1 - ( 1 + i ) -n ) ) i

Como puedes observar de la frmula, la expresin ( 1 - (1 + i ) - n ) / i multiplicada por R, corresponde al valor actual de una anualidad vencida, por lo tanto, se estara determinando el valor de la anualidad un perodo (mes) antes de la fecha requerida, es decir, se ha descontado intereses por un periodo adicional. Para arreglar esto, se multiplica por (1 + i), lo que permite agregarle los intereses descontados adicionalmente ( por un periodo).


175

USOS DEL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A INTERS COMPUESTO: Cualquiera sea la anualidad o la frmula de anualidad que se utilice es posible determinar: a.- Valor de la cuota: Conociendo el capital, la tasa de inters por perodo de pago y el nmero de cuotas. ( Tema ya tratado anteriormente ) b.- Determinacin del capital vivo o saldo insoluto de una deuda:


176

En alguna oportunidad, el deudor de un prstamo con cuotas pendientes de pago desea saber cunto es el total de la deuda a una cierta fecha. Para determinar la deuda pendiente de pago, es necesario saber si es o no posible descontar los intereses que incluye cada cuota ( norma que generalmente es establecida por la institucin financiera ). Si la respuesta es negativa basta multiplicar el nmero de cuotas pendientes de pago por el valor de la cuota, como ocurre generalmente en las casas comerciales o en financieras. En cambio, si es posible descontar los intereses a las cuotas pendientes de pago se les ha de determinar su valor actual o equivalente a una determinada fecha, usando el llamado mtodo carretero o la frmula de anualidad.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 177

USOS DEL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD A INTERS COMPUESTO:

Cualquiera sea la anualidad o la frmula de anualidad que se utilice es posible determinar: a.Valor de la cuota: Conociendo el capital, la tasa de inters por perodo de pago y el nmero de cuotas.


178

Determinacin del capital vivo o saldo insoluto de una deuda:

En alguna oportunidad, el deudor de un prstamo con cuotas pendientes de pago desea saber cunto es el total de la deuda a una cierta fecha. Para determinar la deuda pendiente de pago, es necesario saber si es o no posible descontar los intereses que incluye cada cuota ( norma que generalmente es establecida por la institucin financiera ). Si la respuesta es negativa basta multiplicar el nmero de cuotas pendientes de pago por el valor de la cuota, como ocurre generalmente en las casas comerciales o en financieras. En cambio, si es posible descontar los intereses a las cuotas pendientes de pago se les ha de determinar su valor actual o equivalente a una determinada fecha, usando el llamado mtodo carretero o la frmula de anualidad.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 179

S.I.donde: S.I. = n = R = i =

=

R(1-(1+i)i

-n

)

Saldo insoluto de la deuda Nmero de cuotas pendientes de pago Valor de la cuota Tasa de inters por periodo de pagoVctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 180

Para ejemplificar, supongamos que una persona ha contrado una deuda, pagadera en 24 cuotas iguales vencidas mensuales, por un valor de $10.000 a una tasa de inters del 1,7% mensual. Despus de cancelar la cuota 20, le nace la inquietud de saber cunto debera pagar ese mismo da, para terminar con la totalidad de la deuda?.


181

usando la frmula: S.I.20 = 10.000 ( 1 - ( 1,017 ) 0,017 $ 38.356-4

)

S.I.20 =


182

Si no es posible descontar los intereses de las cuotas pendientes de pago. Deuda = Explicacin: Como te has de acordar, cada cuota est compuesta por una parte amortizacin de capital y por otra de intereses. 10.000 x 4 = $ 40.000


183

Cuota

amortizacin del capital intereses


184

Al determinar el valor actual de las cuotas pendientes de pago, estamos descontando los intereses que cada cuota habra generado, si en la fecha del valor actual la cantidad de dinero correspondiente se hubiese invertido a una determinada tasa de inters, por lo tanto, lo que queda de cada cuota es la parte de amortizacin de capital, al sumar stas, obtenemos el capital vivo de la deuda o saldo Insoluto.


185

Nmero de cuotas que permiten devolver totalmente un prstamo:

Conociendo el capital solicitado en prstamo, el valor de la cuota a cancelar y la tasa de inters por periodo de pago. (Para resolver el problema se requiere del uso de logaritmo). n = log ( 1 - ( VA x i ) / R ) log ( 1 + i )


186

Supn que una persona pide un prstamo de $ 500.000, y desea cancelarlo en cuotas de $50.000 mensuales; la tasa de inters aplicada es de un 3.5% mensual. En cuntas cuotas devolver el prstamo?. 50.000 ( 1 - 1,035 -n ) 0,035 Si aplicas la frmula vista en c: 500.000 El prstamo se devuelve en 13 cuotas; las 12 primeras de $ 50.000 y la ltima ( 13 ) de $ 26.000 ( 0,52 x 50.000 ).Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 187

=

n

=

12,52 meses

Tasa de inters aplicada al prstamo:

Es habitual observar la siguiente situacin: Un (a) representante de ventas de una institucin financiera, te entrega un folleto, donde aparece un cuadro que muestra distintas alternativas de prstamo y el valor de la cuota a cancelar segn la alternativa de pago que uno elija, pero no te informa respecto a la tasa de inters que te cobran. En este caso t conoces el valor actual de una anualidad vencida (prstamo), el nmero de cuotas (n) y el valor de la cuota $ ( R ) pero desconoces la tasa de inters por periodo de pago (i) que te aplica la institucin financiera.

188

Por ejemplo veamos el siguiente problema: Un prstamo de $ 1.000.000 cancelable en 24 cuotas iguales y vencidas de $60.000 cada una. 1.000.000 = 60.000 ( 1 - ( 1 + i ) - 24 ) i Lo que se debe hacer en este caso es ir probando tasas de inters hasta lograr que una determinada tasa permita que se produzca la igualdad.

189

Existen dos alternativas para seguir. 1.- Seguir probando hasta llegar a la igualdad 2.- Interpolar

190

191

El disminuir la tasa de descuento en un 1% hace aumentar el valor actual en $101.315 (1.016.133 - 914.818). Al aplicar la tasa del 4% quedamos cortos en $ 85.182 (1.000.000 - 914.818), por lo tanto, con una regla de tres podemos estimar la tasa de inters aplicada al prstamo. Si un aumento del valor actual de $ 101.315 esta relacionada con una disminucin de tasa del 1%, En cunto deber disminuir la tasa para obtener ahora un aumento de $85.182?. 101.315 1% X% = = 85.182 X% 0,84 %

192

Por lo tanto, la tasa del 4 % debe disminuir en 0,84 % para obtener la tasa de inters aplicada al prstamo, es decir, 3,16 %. Cabe mencionar que la interpelacin slo es una aproximacin al resultado, mientras menor sea el rango o intervalo empleado mayor ser la exactitud.

193

Factor Bancario:

Relacionemos sus conocimientos de valor actual de una anualidad, con lo que hace el ejecutivo del Banco. Lo que Ud. conoce Lo que hace el ejecutivo VA = R ( 1 - ( 1 + i ) - n ) Prstamo x factor = R i R = VA x i / ( 1 - ( 1 + i ) - n )

R = Prstamo x factor ( VA)

194

El factor va a estar dado por: Factor = i / 1 - (1 + i ) - n

195

Ejemplo. Supongamos que la tasa de inters mensual es de un 3%, y el nmero de cuota es 12. Calcula el factor y el valor de la cuota para un prstamo de $600.000. 1.Factor = 0,03 / 1 -(1,03)-12 = 0,100462 Valor de la cuota: = = = cuota cuota cuota

2.-

Prstamo x Factor 600.000 x 0,100462 $ 60.277

196

OBSERVACIN:

Las instituciones financieras tienen sus propias polticas respecto a las repactaciones o adelantamiento de cuotas, por ejemplo: a.- Se cancelan 3 cuotas sin descuento de intereses y el resto slo la parte de amortizacin de capital. b.- Aplica una tasa de descuento menor a la tasa de inters utilizada en el prstamo. c.- No descuentan los intereses (como en el caso de las financieras). Etc.

197

Ejemplo:

Jos Mara desea comprarse un automvil, cuyo valor asciende a $5.000.000. Para ello acude al Banco de la Plaza . Este cobra una tasa de inters del 2,0 % mensual. Se acuerda el pago de 24 cuotas iguales mensuales y vencidas. Determinar: a.Valor de la cuota b.Factor bancario c.Valor de la cuota, si stas se han pactado en forma anticipada d.Valor de la cuota, si el Banco otorga un plazo de gracia de dos meses. e.Si el banco determina como valor de cuota $280.000 Cul es la tasa de inters mensual que est aplicando?. f.Supn que el da en que corresponda pagar la cuota 20, Jos Mara desea terminar con toda la obligacin, haciendo un pago nico. (considera que el Banco permite el descuento de todos los intereses de las cuotas pendientes de pago).

198

a.- Valor de la cuota 5.000.000 = R ( 1 - 1,02)-24) 0,02 R = $ 264.355 b.F F F Factor Bancario: = i / ( 1 - ( 1+ i )-n ) = 0,02 / ( 1 - 1,02)-24 ) = 0,005287109725199

c.-

5.000.000 R

= =

R ( 1,02 ( 1 - 1,02)-24 ) ) 0,02 $ 259.172 R ( ( 1 - 1,02)-24 )/ 0,02 ) 1,02 2

d.R =

5.000.000.- = $ 275.035

200

e) 5.000.000

280.000 ( 1 - ( 1 + i ) -24 ) i aplicando tanteo e interpolacin tasa de inters ( i ) V. A. 2% 5.295.899 ( hay que aumentar la tasa ) 4% 4.269.150 La tasa de inters aplicado por el banco se encuentra entre 3% y 4 %. Ahora debemos interpolar Haciendo la regla de tres: 1.026.749 = 295.899 1% X% X % = 0,29 % Por lo tanto: 2 % + 0,29 % 3,29 %

=

5.295.899 - 295.499 5.000.000

3,29 % es la tasa de descuento aplicada por el banco

201

f) Estamos en presencia de una anualidad anticipada. La fecha focal elegida ser: mes 20. X = 264.355 ( 1,02 ( 1 - 1,02 -5 ) ) 0,02 X = $ 1.270.947

202

MONTO DE UNA ANUALIDADEl monto de una anualidad a una fecha dada y a una tasa de inters dada, es el monto que se acumulara a esa fecha, si cada renta fuera colocada inmediatamente a esa tasa de inters hasta dicha fecha .

203

MONTO DE UNA ANUALIDAD A INTERS SIMPLE:

Aplicando la sumatoria de una progresin aritmtica, obtenemos MA = R(n (2+(n-1)i)) 2 donde: M = Monto de la anualidad R = Cuota o renta n = Nmero de cuotas i = Tasa de inters por periodo de pago

204

Una persona debe 3 cuotas mensuales de $12.000 cada una. La primera vence hoy, la tasa de inters pactada es de un 3.5% mensual. Si no paga ninguna cuota cunto deber pagar en la fecha de la ltima cuota, si en esa oportunidad desea pagar toda la deuda?. (Se mantiene la tasa de inters).

205

Mtodo CarreteroM = 12.000 (1 + 0,035 x 2) + 12.000 (1 + 0,035 x 1) + 12.000 M = $ 37.260

La frmula de monto de una anualidad es aplicada para cualquier tipo de anualidad (anticipada, vencida , o diferida).

206

MONTO DE UNA ANUALIDAD A INTERS COMPUESTO:

Mtodo carretero MA = R(1 + i)n-1 + R(1 +i)n-2 + R(1 +i)n-3 + ........ + R(1+i) + R Como estamos en presencia de una sumatoria de una progresin geomtrica descendiente de n trminos, podemos llegar a obtener la siguiente frmula:

207

MA =Donde: MA = R = n = i =

R (( 1 + i )n - 1 ) iMonto de la anualidad Cuota o renta Nmero de cuotas Tasa de inters por perodo de pago

Recuerda siempre que n corresponde al nmero de cuota , y no al nmero de periodos.

208

Para aplicar la frmula, supongamos que el problema anterior se pacta a inters compuesto:MA = MA = 12.000 ( 1,035 3 - 1 ) 0,035 $ 37.275

209

Al igual que en Inters Simple, la frmula de monto de una anualidad a inters compuesto es aplicable tanto a anualidades vencidas, anticipadas como diferidas. (A una anualidad perpetua no se le puede calcular su monto, porque se desconoce cuando terminar n).

210

AMORTIZACIN DE UNA DEUDA

Cuando t tienes una deuda, cada vez que cancelas una cuota, estas haciendo dos cosas: 1.- Devolviendo o amortizando parcialmente el prstamo, y 2.- Pagando los intereses que ha generado el prstamo aun no devuelto por el periodo comprendido entre dos cuotas.

211

Entenderemos por amortizacin de una deuda, como un procedimiento, en el cual se extingue gradualmente una deuda, a travs de una serie de pagos o depsitos en el plazo de la deuda. Existen dos tipos de amortizacin. 1.- Amortizacin peridica 2.- Fondos de Amortizacin

212

AMORTIZACIN PERODICA DE UNA DEUDA

Es un proceso de amortizacin que se lleva a cabo por medio de una serie de pagos a intervalos regulares de tiempo, en que cada pago incluye los intereses sobre el saldo insoluto. En general, las cuotas son de igual cuanta y vencidas, por lo que esta materia constituye una aplicacin de anualidades vencidas. El amortizar una deuda, va a depender de lo que convengan las partes (deudor y acreedor), por tal motivo, pueden existir una infinidad de formas de amortizacin.213

AMORTIZACIN PROGRESIVA DE LA DEUDA:

Esta modalidad de amortizar la deuda, se basa en cuotas iguales peridicas y vencidas. En cada cuota se paga una parte del capital ( deuda) y se cancela intereses. A medida que se van cancelando las cuotas, el saldo insoluto va disminuyendo, por ende, los intereses son cada vez menores. Por lo tanto, como las cuotas son iguales, en las primeras se cancela gran cantidad de intereses, siendo reducida la amortizacin de capital, situacin que se va invirtiendo a medida que las cuotas se cancelan .

214

Veamos el siguiente problema: Rosa Mara, pidi $ 300.000 a cancelar en cuatro cuotas mensuales iguales y vencidas, con una tasa de inters del 2% mensual. a.- Determina el valor de la cuota. b.- Confecciona tabla de amortizacin. a.- Determinacin del valor de la cuota: $ 300.000 = R ( 1- (1,02) 0,02 R = $ 78.787-4

)

215

TABLA DE AMORTIZACIN PROGRESIVA DEL CAPITALPERIODO SALDO INSOLUT O VALOR DE LA CUOTA INTERESES AMORTIZACI N DE CAPITAL CAPITAL AL FINAL DEL PERIODO

1

$ 300.000

$ 78.787

$ 6.000

$ 72.787

$ 227.213

2 3 4

227.213 152.970 77.242

78.787 78.787 78.787

4.544 3.059 1.545

74.243 75.728 77.242

152.970 77.242 0

216

Como puedes observar en la tabla de amortizacin: 1.- A medida que se cancelan las cuotas: El saldo insoluto va disminuyendo Los intereses van disminuyendo La amortizacin de capital va aumentando.

217

AMORTIZACIN FIJA DE UNA DEUDA.

En este caso, la amortizacin de capital que se efecta en cada cuota es la misma. Para determinar la cuanta de la amortizacin de capital, basta dividir la deuda o capital por el nmero de cuotas. Cada vez que se cancela una cuota, se amortiza el capital y se cancela el inters que genera el saldo insoluto por el tiempo de uso del dinero (perodo de pago). Como el saldo insoluto va disminuyendo en la medida que se van cancelando las cuotas, los intereses resultantes cada vez son menores, por ende, las cuotas son decrecientes.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 218

Apliquemos este tipo de amortizacin en el problema anterior, para ello, supongamos que la amortizacin de la deuda se hace en forma fija. 1.- Determina la cuanta de la amortizacin de capital 2.- Confecciona la tabla de amortizacin 3.- Determina el valor de las cuotas.Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 219

1.- Determinacin de la amortizacin de capital: Ak = Prstamo N de Cuotas

Ak = $ 300.000 4 Ak = $ 75.000Vctor Arismendi Barra - Docente Universidad Tecnolgica de Chile 220

TABLA DE AMORTIZACIN FIJA DE CAPITAL

PERIODO

SALDO INSOLUTO

1 2 3 4

AMORTIZA CIN DE CAPITAL

INTERES

CUOTA

CAPITAL AL FINAL DEL PERIODO

300.000 150.000 75.000 225.000

75.000 75.000 75.000 75.000

6.000 4.500 3.000 1.500

81.000 79.500 78.000 76.500

225.000 75.000 0

150.000


221

AMORTIZACIN DE CAPITAL A FINAL DEL PERIODO DE PAGO.

En esta modalidad de amortizacin, peridicamente slo se cancela los intereses que genera el capital, a excepcin de la ltima cuota, en la que se paga el prstamo ms los intereses que genera ste en el ltimo periodo. El problema anterior dara como resultado la siguiente tabla de amortizacin:

222

TABLA DE AMORTIZACIN AL FINAL DEL PERODO DE PAGOPERIODO SALDO INSOLUTO 1 $ 300.000 AMORTIZACIN DE CAPITAL 0 INTERES CUOTA CAPITAL AL FINAL DEL PERIODO 300.000

6.000

6.000

2

300.000

0

6.000

6.000

300.000

3

300.000

0

6.000

6.000

300.000

4

300.000

300.000

6.000

306.000

0223

Para determinar la forma de amortizar una deuda, es muy importante el cmo se determina el valor de la cuota. La manera para determinar el valor de la cuota vara segn se trate de una institucin financiera o de una casa comercial.

224

DETERMINACIN DEL VALOR DE LA CUOTA EN CASAS COMERCIALES

1.- Se recarga al precio contado en un porcentaje de ste (k), se rebaja la cuota inicial, si existe, y la diferencia se divide por el nmero de cuotas mensuales a pagar. R = Precio contado(1 + k) - Cuota Inicial (Pie) N de cuotas

225

2.- Al precio contado se le rebaja la cuota inicial, si existe, y a este resultado, se le recarga en un k%, luego se divide por el nmero de cuotas mensuales vencidas. R = ( Precio Contado - Cuota Inicial ) ( 1 + k ) N de cuotas mensuales vencidas

226

Si deseamos obtener la tasa efectiva mensual compuesta cargada a un crdito de casa comercial, lo lograremos de la siguiente manera: Precio Contado = Cuota Inicial + R ( 1- ( 1 + i ) i Veamos el siguiente problema:-n

)

227

Una casa comercial vende un artculo electrnico en $ 120.000 precio contado. Ofrece implcitamente los siguientes planes alternativos para la adquisicin a crdito. a.- El precio contado se recarga en un 97,54%, pagndose 18 cuotas mensuales vencidas e iguales, y una cuota inicial de $ 10.000. b.- Una cuota inicial de $ 4.000 a la diferencia con el precio se recargan en un 100%, cancelndose 18 cuotas mensuales de igual cuanta. Se pide: 1.- Determina la cuanta de las cuotas 2.- Determina la tasa de inters efectiva mensual compuesta que se carga a cada alternativa.

228

1.- Cuanta de las cuotas: 1 alternativa: R = 120.000 ( 1 + 0,9754 ) - 10.000 18 R = $ 12.614

229

2 alternativa R = ( 120.000 - 4.000 ) ( 1 + 1,0 ) 18 R = $ 12.889

230

b.-

Tasas efectivas mensuales compuestas: = 12.614 ( 1 - ( 1 + i )^-18) i

1 alternativa: 120.000 10.000 i =

2 alternativa: 120.000 - 4.000 i =

=

12.889 ( 1 - ( 1 + i )^- 18 ) i

231

FONDO DE AMORTIZACIN:

Fondo de Amortizacin: Cantidad de dinero que se va acumulando mediante depsitos peridicos que generan intereses. Se usa principalmente para pagar el capital de una deuda al vencimiento, o bien, para cumplir compromisos futuros de otra ndole, por ejemplo, renovacin de maquinarias o equipos, compra de un televisor al contado, etc.

232

En lo que respecta a las deudas de mediano y largo plazo, el fondo de amortizacin se puede utilizar para el rescate de una emisin de bonos, en el cual los intereses se van pagando peridicamente con otras fuentes y el monto acumulado por el fondo de amortizacin es utilizado para cancelar el valor del bono a su vencimiento.

233

Solamente veremos fondos de amortizacin de depsitos de igual cuanta, de tal modo de utilizar la frmula de Monto de Anualidades. Si los depsitos son de distinta cuanta y/o de diferente perodo de depsito se deber usar el mtodo carretero. Por ejemplo, Una persona desea reunir $200.000 al cabo de 6 meses. Para ello depositar en un Banco cierta cantidad de dinero todos los meses. Comenzar a depositar al final del mes. El banco otorga una tasa de inters del 1,2% mensual. Cunto dinero deber depositar mensualmente?.234

Mtodo carretero: 200.000 = D 1,012 5 + D 1,012 1,012 2 + D 1,012 1 + D o bien 200.000 D = D ( 1,012 6 -1 ) 0,012 $ 32.347 =

4

+ D 1,012

3

+D

235

Activos Fijos y Mtodos de Depreciacin

Los problemas derivados con la valoracin de los activos fijos y su correspondiente depreciacin, pueden ser convenientemente separados en 4 tipos de situaciones: 1. Contabilizacin de la adquisicin de activos fijos. 2. Registro de su uso a travs del tiempo. 3.Registro de ajuste por cambios en su capacidad o eficiencia de produccin y por mantencin y reparaciones. 4. Registro de las ventas de activos fijos.

236

2.Registro del uso en el tiempo, Depreciacin: El propsito central de la depreciacin es el proceso de distribucin de los costos de estos activos fijos en varios perodos en una forma razonable y ordenada. Tambin podemos decir, que la depreciacin es el reconocimiento a travs del tiempo, del valor de los servicios potenciales que originalmente tena el activo y que han sido "recibidos" por la empresa.

237

Causas de la Depreciacin: Las causas de la depreciacin son motivadas por la declinacin en la capacidad de un activo fijo para proporcionar servicios y su posterior retiro o eliminacin como activo.

238

2.4. Problemas para Reflejar la Depreciacin

Hay principalmente 3 problemas en asignar o distribuir el costo del activo a travs del tiempo: a. Determinar la base de depreciacin del activo. b. Estimar su vida til. c. Decidir sobre la forma de expiracin de los servicios del activo a travs del tiempo.

239

2.5. Determinacin de la base de depreciacin del activoEn muchos casos al costo del activo a depreciar, se le debe deducir el valor residual del activo. Este valor residual corresponde al valor que se espera obtener al trmino de la vida til del bien y puede corresponder a su valor de desecho. Frente a las dificultades para determinar el valor residual al trmino de la vida til del bien, la solucin ms simple consiste en estimarlo en cero o en un peso. Se entiende que el trmino de la vida til de un activo fijo, es aquel momento en que el activo ya no est en condiciones de prestar en forma normal el servicio para el cual originalmente fue fabricado o construido.

240

2.6. Estimacin de la Vida til: Al efectuar esta estimacin debemos tomar en cuenta las causas fsicas y las funcionales. La experiencia pasada es la mejor pauta para determinar la vida til de los bienes.

241

Bienes Terrenos Edificios y construcciones (Cemento) Maquinarias (depende del N de turnos) Muebles Vehculos (depende del destino que se le dar: para reparto, para un Director, etc)

Aos de vida til No se deprecian 50 a 100 10 15 7 a 15

242

2.7. Mtodos de Depreciacin

Se deprecia un monto igual y constante por perodo, durante toda la Vida til del bien Mtodo Lineal (en relacin al tiempo). Mtodo de volumen de produccin o uso real (lineal en relacin al uso). Mtodo de saldos decrecientes. (Depreciacin Acelerada). Mtodo de la suma de los dgitos.243

Mtodo lineal (en funcin del tiempo): Se deprecia un monto igual y constante por perodo, durante toda la Vida til del bien Sean: CH (Costo Histrico) = $30.000 VR (Valor Residual) = $ 6.000 VU (Vida Util) = 12 aos

Dep. Anual = Dep. Anual =

CH VR = $ anuales VU

30.000-6.000 = $ 2.000 anuales 12 Este sistema, es el tradicionalmente aceptado para efectos tributarios

244

Mtodo Segn Volumen de Produccin (en base a "uso efectivo"):Se reconoce un gasto por depreciacin de acuerdo al uso real del Activo Fijo. Para su uso se necesita: cantidad mxima esperada de produccin del Activo Fijo durante su vida til.

Dep. por Unidad Producida = [ CH - VR ] (o por hora de trabajo, etc) N Max de unidades (o N Max de horas Ejemplo: Al mismo ejemplo anterior agreguemos otros datos: N Mx. de unid. que se pueden producir con el Activo Fijo = 300.000 unid. Dep. por unidad de produccin = (30.000 - 6.000) /300.000 = $ 0,08 por unid. Supongamos que la Produccin del mes de enero = 20.000 unid Gasto por Depreciacin enero = 20.000 x $0,08 = $1.600

245

Mtodos de Saldos Decrecientes o Depreciacin AceleradaConsiste en depreciar montos ($) mayores al comienzo de la vida til del bien y menores al final, (mayor cargo a resultado corno gasto por depreciacin al comienzo). Se aplica una "tasa de depreciacin" en funcin del tiempo. La base sobre la cual se aplica la tasa de depreciacin, es el Valor Neto de Libros del activo fijo al comienzo del perodo para el cual se est obteniendo la depreciacin. Esta base de depreciacin, es decreciente a travs del tiempo (ver ejemplo). El monto de depreciacin por perodo que resulta de la aplicacin de este mtodo, es decreciente a travs del tiempo.

246

Nota: Al valor Neto de Libros (V.N.L.), no se le resta el Valor Residual (ver ejemplo posterior). TASA = 1 n V.R. C.H.

n = nmero de aos de vida til.247

TASA = 1 -

0.8745

= 0.1255

Ao 1 2 3 11 12

Base de Dep. (VNL) 30.000 26.235 22.943 ------------------------7.847 6.862

Cargo por Dep. 3765 3.292 2.879 ------------------------985 862

Saldo 26.235 22.943 20.064 ------------------------6.862 VR = 6.000

248

Mtodo de Sumatoria de los DgitosCon este mtodo se puede generar una depreciacin por perodo creciente o decreciente a travs del tiempo. Se debe depreciar en cada perodo, una fraccin que viene dada por la proporcionalidad a depreciar en cada perodo (segn se desee creciente o decreciente), dividida por la sumatoria de los dgitos de vida til del bien.

249

En ejemplo: N = 12 aos dgitos = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 78 Con mtodo decreciente Depreciac. ao 1 = 12/78 x [Base de Dep] ao 2 = 11/78 x [Base de Dep] ao 3 = 10/78 x [Base de Dep] .. ... ao 12 = 1/78 x [Base de Dep]

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Con mtodo creciente Depreciac. ao 1 = 1/78 x [Base de Dep] ao 2 = 2/78 x [Base de Dep] ao 3 = 3/78 x [Base de Dep] .. ... ao 12 = 12/78 x [Base de Dep]

En ambos casos, al final del ao 12 se habr depreciado 78/78

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Ejemplo: Base de Dep. = [C.H. - VR] Mtodo: Suma de Dgitos Decreciente: Ao 1 2 12 Tasa 12/78 11/78 ------------------------1/78 X [Base de Dep] 24.000 24.000 ------------------------24.000 = = = = = = = (Cargo por Dep.) $ 3.692,31 3.382,62 ------------------------307,69 $ 24.000,00

Total 78/78=1

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Registro de la DepreciacinEl dbito que se efecta es un gasto del perodo (disminuye el valor del patrimonio) y puede disminuirse (crdito) directamente la cuenta de activo fijo (mtodo directo) o bien efectuar el crdito a una contra cuenta reserva de depreciacin (mtodo indirecto). El mtodo indirecto es el que habitualmente se emplea en Chile, en que la presentacin del activo fijo y depreciacin es como sigue: Activo fijo (diversas cuentas) menos: depreciacin acumulada Activo fijo neto 1.000 - 300 $ 700

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MATEMTICAS FINANCIERAS EN LA EVALUACIN DE INVERSIONES

OBJETIVOS: 1.- Conocer la importancia de las matemticas financieras en la evaluacin de inversiones 2.- Entender conceptualmente, y determinar el Valor Actual Neto (VAN) de una inversin. 3.- Entender conceptualmente, y determinar la Tasa Interna de Retorno (TIR) de una inversin.

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El presente mdulo no pretende hacer un estudio profundo respecto a la preparacin y evaluacin de inversiones. Sino slo mostrar cmo participa las Matemticas Financieras en algunas tcnicas de evaluacin de inversiones.

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ELEMENTOS BASICOS DE UN PROYECTO DE INVERSION

Estudio financiero: En este estudio se empieza a jugar con los nmeros, los egresos e ingresos que se proyectan, en un perodo dado, arrojando un resultado sobre el cual el inversionista fundamentar su decisin. Conceptos: pretende determinar cual es el monto de los recursos econmicos necesarios para la realizacin del proyecto. Cul ser el costo total de la planta (que abarque las funciones de produccin, administracin y ventas), as como otra serie de indicadores que servirn como base para la parte final y definitiva del proyecto, que es la evaluacin econmica, la que es muy importante para la toma de decisiones sobre la vida del proyecto. Objetivo: Demostrar la rentabilidad econmica y la viabilidad financiera del proyecto y aportar las bases para su evaluacin econmica. Elementos que lo componen:256 a) Identificar, clasificar y programar las inversiones a realizar en activos fijos

Diferidos y capital de trabajo. Las inversiones se consideran los recursos indispensables para la instalacin de cualquier tipo de empresa. Estas constituyen el capital fijo, las inversin diferida o activo diferido y el capital de trabajo de un proyecto. b) Conjuntar los datos del programa de produccin y venta formulados en los estudios de mercado, ingeniera y administrativo; incluidos los volmenes de produccin y ventas, precios alternativos de mercado, elementos con base tcnica para la determinacin de los costos de produccin as como las inversiones a realizar. c) Formular presupuestos de: Ventas o ingresos; costos y gastos de produccin; gastos de administracin y ventas, etc. d) Formular los estados financieros de: Prdidas y ganancias; balance general; estado de cambios en la situacin financiera en base a efectivo.257

Pasos para elaborar un estudio financiero:

a) Se deben concentrar en la hoja de clculo toda la informacin, como son los diferentes tipos de inversiones a realizar, los gastos de constitucin, los de operacin, tasas de impuestos, tasa del prstamo, el rendimiento que pide el inversionista y el precio de venta del bien o servicio. b) Se elabora un cuadro en el cual se debe obtener el valor de rescate de las inversiones, as como el importe de la depreciacin o amortizacin anual de cada una de ellas. c) Presupuesto de inversiones. Es necesario conocer y plasmar las diferentes inversiones que se realizarn durante el perodo de vida del proyecto. d) Presupuesto de produccin. Se elabora un flujo de efectivo tomando como base los datos anteriores, para obtener el flujo de operacin.

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e) Flujo neto de efectivo. Se elabora un concentrado en el cual se integran por ao el flujo neto de inversiones, el de operacin para realizar la suma algebraica y as obtener los flujos de efectivo. Pasos para elaborar la evaluacin econmica Evaluacin econmica Valor actual Neto Tasa interna de retorno Perodo de recupero Otros conceptos de inters

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Evaluacin econmica: Una inversin es el desembolso de recursos financieros, destinados a la adquisicin de otros activos que proporcionan rentas y/o servicios, durante un tiempo. Un proyecto de inversin es un plan, que asignado a un determinado capital, producir un bien o servicio de utilidad para una persona, clientes o la sociedad. La evaluacin econmica y financiera de un proyecto de inversin, es el anlisis de la informacin proveniente de la etapa anterior, con miras a tomar la decisin correcta. 8.1- Pasos para elaborar la evaluacin econmica: a) Con los flujos anteriores se tiene que obtener el VAN y la TIR, tomando en cuenta el rendimiento esperado por el i

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