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Curso Matemáticas Financieras Carlos Mario Morales C © 2009 Matemáticas Financieras Capitulo 6

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Curso

Matemáticas Financieras

Carlos Mario Morales C © 2009

Matemáticas Financieras

Capitulo 6

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s ContenidoContenido

Capitulo 6 –Gradientes� Definición de gradiente � Gradiente aritmético� Amortización con cuota creciente

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s

� Amortización con cuota creciente� Gradiente aritmético infinito� Gradiente geométrico� Gradiente geométrico infinito � Gradientes escalonados

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s GradientesGradientesDefinición de gradiente Definición de gradiente

Serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:

� Los pagos cumplen con una ley de formación� Los pagos se efectúan a iguales intervalos de

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s

� Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo

� Todos los pagos se calculan a la mista tasa de interés

� El número de pagos es igual al número de periodos

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s GradientesGradientes

Ley de Formación Ley de Formación

� Gradiente Lineal o Aritmético

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s

� Gradiente Lineal o Aritmético� Gradiente Geométrico

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s GradientesGradientes

Gradiente Lineal o AritméticoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.

A +2gCuotas Periódicas

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s

0 1 2 3 n

A

A +g

A +2gPeriodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+gPeriodo 3 ---- A+2g….Periodo n ---- A+(n-1)g

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s

Valor Presente Gradiente AritméticoGradientesGradientes

A +g

A +2g

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s

P = (A/i)(1-(1+i)-n)+(g/i)((1-(1+i)-n)/i)-(n(1+i)-n)

0 1 2 3 n

A

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s GradientesGradientes

Ejemplo 1

Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando una tasa del 5%.

14001600

1800

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s

0 1 2 3 5

800

4

1000

12001400

6 7 80 1 2 3 4 65

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s GradientesGradientes

Ejemplo 1

1. Se calcula el valor presente en 2

P2 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-(6(1+0,05)-6)

P2 = 6456,55P2 = 6456,55 + 800PP = 7256,55= 7256,55

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s

2

PP22 = 7256,55= 7256,55

2. Se calcula valor presente en 0P0 = 800(1+0,05)-1 + 7256,55(1+0,05)-2

PP00= 7.343,80= 7.343,80

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s GradientesGradientes

Valor Futuro Gradiente Aritmético

A +g

A +2g

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s

0 1 2 3 n

A

S = (A/i)( (1+i)-n-1)+(g/i)(((1+i)-n-1)/i)-(n))

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s GradientesGradientesEjemplo 2

Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un crecimiento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)

A = 13.339,66

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s

cuota para cada periodo

0 1 2 3 4

A = 13.339,66

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $13.345Periodo 2 ---- $25.345Periodo 3 ---- $37.345Periodo 4 ---- $49.345

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s GradientesGradientes

Tabla de Amortización (Ejemplo 2)

Periodo Saldo de Capital

Amortización Interés Cuota (Pago)

0 100.000

1 94.655 5.345 8.000 13.345

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s

1 94.655 5.345 8.000 13.345

2 76.882 17.773 7.572 25.345

3 45.688 31.194 6.151 37.345

4 (2) 45.690 3.655 49.345

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s GradientesGradientesEjemplo 3

Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un decremento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)

A = 47.040,00

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s

cuota para cada periodo

0 1 2 3 4

A = 47.040,00

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $47.040Periodo 2 ---- $35.040Periodo 3 ---- $23.040Periodo 4 ---- $11.040

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s GradientesGradientes

Tabla de Amortización (Ejemplo 3)

Periodo Saldo de Capital

Amortización Interés Cuota (Pago)

0 100.000

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s

1 60.960 39.040 8.000 47.040

2 30.797 30.163 4.877 35.040

3 10.221 20.576 2.464 23.040

4 (2) 10.222 818 11.040

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s GradientesGradientes

Gradiente Aritmético InfinitoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.

A +2gCuotas Periódicas

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s

0 1 2 3 n

A

A +g

A +2gPeriodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+gPeriodo 3 ---- A+2g….Periodo n ---- A+(n-1)g

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s

Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito (Valor Presente)

GradientesGradientes

A +g

A +2g

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s

0 1 2 3 n

A

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s GradientesGradientes

Gradiente Geométrico

Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una

tasa de crecimiento.

Cuotas PeriódicasA(1+t)2

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s

0 1 2 3 n

A

A(1+t)1

Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A(1+t)1

Periodo 3 ---- A(1+t)2

Periodo 4 ---- A(1+t)3

….Periodo n ---- A(1+t)n

A(1+t)

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s GradientesGradientes

Valor Presente Gradiente Geométrico

Se puede demostrar que el valor presente de una serie geométrica, se puede expresar como:

A(1+t)2

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s

0 1 2 3 n

A

A(1+t)1

A(1+t)

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s GradientesGradientes

Valor Futuro Gradiente Geométrico

Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica, se puede expresar como:

A(1+t)2

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s

0 1 2 3 n

A

A(1+t)1

A(1+t)

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s GradientesGradientesEjemplo 4

Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000=(A(1+0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (0,1-0,08)

A = 26.261

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s

crecimiento geométrico de la cuota del 10%

0 1 2 3 4

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- 26.261Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) = $28.888Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2= $31.776Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3= $34.954

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s GradientesGradientes

Tabla de Amortización (Ejemplo 4)

Periodo Saldo de Capital

Amortización Interés Cuota (Pago)

0 100.000

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s

0 100.000

1 81.739 18.261 8.000 26.261

2 59.390 22.349 6.539 28.888

3 32.365 27.025 4.751 31.776

4 1 32.365 2.589 34.954

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s GradientesGradientesEjemplo 5

Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de

1. Se calcula la cuota base (A), considerando que t = i

100.000=(Ax4)/ (1+0,08)

A = 27.000

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s

crecimiento geométrico de la cuota del 8%

0 1 2 3 4

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $27.000Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012

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s GradientesGradientes

Tabla de Amortización (Ejemplo 5)

Periodo Saldo de Capital

Amortización Interés Cuota (Pago)

0 100.000

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s

0 100.000

1 81.000 19.000 8.000 27.000

2 58.320 22.680 6.480 29.160

3 31.493 26.827 4.666 31.493

4 - 31.493 2.519 34.012

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s GradientesGradientesEjemplo 6

Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un decrecimiento geométrico

1. Se calcula la cuota base (A), considerando que t ≠ i

100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)

A = 34.766

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s

decrecimiento geométrico de la cuota del 10%

01 2 3 4

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $34.766Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) = $31.289Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2= $28.160Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3= $25.344

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s GradientesGradientes

Tabla de Amortización (Ejemplo 6)

Periodo Saldo de Capital

Amortización Interés Cuota (Pago)

0 100.000

1 73.234 26.766 8.000 34.766

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s

1 73.234 26.766 8.000 34.766

2 47.803 25.431 5.859 31.289

3 23.467 24.336 3.824 28.160

4 - 23.467 1.877 25.344

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s GradientesGradientes

Gradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)

A(1+t)2

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s

0 1 2 3 n

A

A(1+t)1

A(1+t)

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s GradientesGradientes

Ejemplo 7

Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es de $300

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s

primer pago es de $300

0 1 2 … n