Curso intersemestral. Métodos de integración y aplicaciones. PGYC

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES

Ilustración de

la integral con

métodos y

aplicacionesPablo García y Colomé

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESEjercicios de Integración

Cálculo

Diferencial

e Integral

Cálculo

Diferencial

e Integral


Teorema Fundamental del

CálculoSea una función continua en el

intervalo y sea . Si es

una función tal que

entonces se cumple que

f x

,a b ,x a b F x

x

aF x f u du

dF xf x

dx


Prueba

0

lim

x x x

a a

x

f u du f u dudF x

dx x

Por propiedades de la integral definida

x x x x x

a a xf u du f u du f u du

,x a x x


x x x x x

a a xf u du f u du f u du

0

lim

x x

x

x

f u dudF x

dx x

Por el teorema del valor medio del

Cálculo Integral

; ,x x

xf u du f c x c x x x


0

limx

dF x f c x

dx x

0limx

dF xf c

dx

0x f c f x

dF xf x

dx


Calcular a través de la suma de Riemann

el área bajo la curva de la función

5 34

4

xf x

de a con subintervalos del

mismo tamaño y considerando el valor

medio de cada subintervalo para evaluar

la función. Graficar

2x 6x

Ejemplo


Representación gráfica del problema:

x

y

2 61ix

ix

6

1

5 34

4

xf x

i

A


4x

n

0 1 1

4 42 ; 2 ; ; 2 1 ;

4 42 ; ; 2 6

i

i n

x x x in n

x i x nn n

1 4 22

2i i

i i

x xi

n n


20 1010 34

4

1 20 1024

4

i

i

in n

f

f in n

1

1 20 10 4lim 24

4

n

ni

A in n n

5 34

4

xf x

4 22

ii

n n


1 1 1

1 20 10lim 24 1 1

n n n

ni i i

A in n n

11 20 10lim 24

2n

n nA n n

n n n

1

lim 24 10 1 10n

A n nn

1

lim 24 10 10 10n

A n nn


14limn

nA

n

214A u

lim 14n

A

x

y

2 61ix

ix

6

1

5 34

4

xf x

i

A


Determinar el valor de la ordenada media

de la siguiente integral definida. Graficar

6

0

0 2

si 2 2 4

6 4 6

x si x

f x dx f x si x

x si x

Ejemplo


6 6

0 0

6 22 8

2A f x dx A f x dx

x

y

6

2

2 4

A

6

0

0 2

si 2 2 4

6 4 6

x si x

f x dx f x si x

x si x


8 4

8 66 3

f c f c f c

; ,b

af x dx f c b a c a b

Teorema del valor medio


x

y

6

2

2 4

A

A

4

3f c


3

1xdx

x

1

23 3 1 1

3 3x x x x

dx x x dxx x

3 1

2 233 ln

3 1

2 2

x xx x C

3

1 23 6 ln

3

xdx x x x x x C

x

Ejemplo


1

dx

senx

1

1 1

dx senx

senx senx

2 2

2

1 1

1 cos

sec sec tan

senx senxdx dx

sen x x

x x x dx

tan sec1

dxx x C

senx

Ejemplo


4

2

53

dx

x x

2 2

5 15 53u du dx du dx

x x x

541 1

5 5 5

uu du C

4 5

2

5 1 53 3

25

dxC

x xx

Ejemplo


2 1

1

xdx

x

2 1 2 2

1 11 1 1

xx x dx

x x x

2; 1

1

2 2ln

dx u x du dxx

duu C

u

2 21

2ln 11 2

x xdx x x C

x

Ejemplo


x x

x x

e edx

e e

x x x xu e e du e e dx

lnx x

x x

x x

e edx e e C

e e

lndu

u Cu

Ejemplo


3 4cot5x x dx

4 35 20u x du x dx

3 4 41cot5 ln 5

20x x dx sen x C

1 1cot ln

20 20udu senu C

Ejemplo


2 1x x dx 1 ; 1u x du dx x u

1 2 3u u dx u u dx 5 3

3 1 2 22 2

33

5 3

2 2

u uu u du C

5 3

2 22

2 1 1 2 15

x x dx x x C

Ejemplo


2

2

csc

1 cot

xdx

x2 2 2cot cot cscu x u x du xdx

2 2

1tan

du uang C

a aa u

2

2

csctan cot

1 cot

xdx ang x C

x

2 1 1a a

Ejemplo


2 4 9

dx

x x

2 2 24 9 4 4 4 9 2 5

dx dx dxdx

x x x x x

22 2 2u x u x du dx

2 5 5a a

2 2

1tan

dx uang C

u a a a

2

1 2tan

4 9 5 5

dx xang C

x x

Ejemplo


29

dx

x

2 2

2 9 3

u x u x du dx

a a

2 2

du uangsen C

aa u

2 39

dx xangsen C

x

Ejemplo


2

3 2

1 6 9

xdx

x x

2 21 6 9 6 18

6 3 1

u x x du x dx

du x dx

2 2 2

3 1 3 3 13

1 6 9 1 6 9 1 6 9

x x dxdx dx

x x x x x x

2

2

1 1

3 1 1

61 6 9

1 1ln ln1 6 9

6 6

x dudx

ux x

u C x x C

Ejemplo


2 2

2

3 31 6 9 9 6 1 1 1

32 3 1

dx dx

x x x x

dx

x

22

2

3 1 3 1 3

2 2

u x u x du dx

a a


2

2

3 2 1ln1 6 9

61 6 9

1 2 3 1ln

2 2 2 3 1

xdx x x

x x

xC

x

2 2 2

2 2

32 3 1

1 1 2 3 1ln ln

2 2 2 2 3 1

dx du

a ux

a u xC C

a a u x


2

3

2

xdx

x x

2 2 2 2

2 1

u x x du x dx

du x dx

2 2 2

3 12

2 2 2

x x dxdx dx

x x x x x x

Ejemplo

2

1 2

2

xdx

x x


1

2

2

1

22

1

1 1 1;

2 22

12

12

2

x dudx u du

ux x

uC x x C

2 2 2

2 2 22 2 1 1 1 1

dx dx dx

x x x x x

22 1 1u x u x du dx


2 2

22 2

2

2

2 2ln

2ln 1 1 1

duu u a C

u a

x x C

2

22

3

2

2 2ln 1 1 1

xdx

x x

x x x x C

2 1 1a a


320 cos

senxdx

x

cosu x du senxdx

12

2 2

1

1cos

senx du udx u du C C

ux u

2

1

coscos

senxdx C

xx

Ejemplo


33

200

1

coscos

1 1 1 12 1 1

1cos0 1cos

3 2

senxdx

xx

320

1cos

senxdx

x


5

32

3 21

1 11 dx

x x

2 3

1 21u du dx

x x

8 85 3 33

2

1 1 3 11

82 2 16

3

uu du C C

x

Ejemplo


25 8

3 32

3 2 21

1

8 8

3 3

1 1 3 11 1

16

3 1 3 11 1

16 4 16 1

dxx x x

8 8

3 33 3

1.25 2 0.1875 1.81316 16

0.1875 6.35 0.3399 1.190625

5

32

3 21

1 11 0.85dx

x x


senh xdx

x

2

2 2cosh

dxu x du

x

senhudu u C

2coshsenh x

dx x Cx

Ejemplo


Ejemplo3cosh xdx

2 2cosh cosh 1 senh coshx xdx x xdx 2cosh senh coshxdx x xdx

senh coshu x du xdx

32

3

udu u du u C

33 senh

cosh senh3

xxdx x C


Ejemplo3

3

21

xedx

x

2

3 3u du dx

x x

33

2 2

1 3 1 1

3 3 3

xu ux

edx e dx e du e C

x x

33

2

1

3

xx

edx e C

x

33

33

1 3 3

211

1 1 1 1

3 3 3 3

xx

edx e e e e e

x


Integración

por partes

Vincent Willem van Gogh (Países Bajos, 1853 -

Francia, 1890) Fue un pintor neerlandés, de los

principales exponentes del postimpresionismo.

Pintó 900 cuadros (de ellos 27 autorretratos y

148 acuarelas) y 1.600 dibujos. La figura central en

su vida fue su hermano menor Theo, quien continua

y desinteresadamente le prestó apoyo financiero

(“Noche estrellada”)

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Nl-Vincent_van_Gogh.ogg


u f x y v g x

udv d uv vdu

udv uv vdu

d uv udv vdu


2x sen x dx

cos2; 2

2

xu x du dx dv sen x dx v

udv uv vdu 2 cos2

22 2

xcos x xx sen x dx dx

2 12 cos2

2 2

xcos xx sen x dx x dx

2 22

2 4

xcos x sen xx sen x dx C


lnx dx

ln ;dx

u x du dv dx v xx

ln lndx

x dx x x xx

ln lnx dx x x dx

ln lnx dx x x x C

udv uv vdu


2 3xx e dx

32 32 ;

3

xx e

u x du x dx dv e dx v

2 3 3

2 3 23 3

x xx x e e

x e dx x dx

2 32 3 32

3 3

xx xx e

x e d xe dxx

udv uv vdu


3xxe dx3

3;3

xx e

u x du dx dv e dx v

3 33

3 33

1

3 3

3 9

x xx

x xx

xe exe dx dx

xe exe dx C

2 3 3 3

2 3 2

3 3 3 9

x x xx x e xe e

x e dx C

2 3 3 32 3 2 2

3 9 27

x x xx x e xe e

x e dx C


lntansenx xdx

2

lntan

cos lntan c

seclntan

tan cos

co

osco

s

s

x dxu x du dx du

x senx x

dv senx dx

senx x dx

dxx x x

senx x

v x

udv uv vdu


cos lntan cscx x x dx

lntan

cos lntan ln csc cot

senx x dx

x x x x C

lntansenx x dx

1cos lntanx x dx

senx


2

1

xxedx

x

2

1

11

x x xu xe du xe e dx

dxdv v

xx

2

1

1 11

xx x e xxe xedx dx

x xx

2 11

x xxxe xe

dx e Cxx


Diferenciales

trigonométricas

Alessandro di Mariano di Vanni

Filipepi (Florencia,1445 – 1510)

Apodado Sandro Botticelli. Su obra

se ha considerado representativa de

la gracia lineal de la pintura del

Renacimiento. El nacimiento de

Venus y La primavera son dos de las

obras maestras florentinas más

conocidas


2 23 cos 3sen x xdx

2 2

1 1 1 1cos6 cos6

2 2 2 2

1 1 1 1cos 6 cos 6

4 4 4 4

x x dx

x dx dx xdx


1 1 1 1cos12

4 4 2 2

1 1 1cos12

4 8 8

1 1cos12

8 8

dx x dx

dx dx xdx

dx xdx

2 2 123 cos 3

8 96

x sen xsen x xdx C


5cos xdx

senx

14 2

12

2 2

12 4 2

1 3 7

2 2 2

cos cos

1 cos

1 2 cos

cos 2 cos cos

x sen x xdx

sen x sen x xdx

sen x sen x sen x xdx

sen x xdx sen x xdx sen x xdx


1 5 91 3 7 2 2 22 2 2

cos

22

1 5 9

2 2 2

u senx du xdx

u u uu du u du u du C

1 5 95

2 2 2cos 4 2

25 9

xdx sen x sen x sen x C

senx


64

6

sec x dx

26 2 2

4 2 2

4 2 2 2 2

2

5 34 2

sec tan 1 sec

tan 2tan 1 sec

tan sec 2tan sec sec

tan sec

22

5 3

x dx x x dx

x x x dx

x x x x x dx

u x du x dx

u uu du u du du u C


5 3 5 3

5 3 464

66

5 3

5 3

2 tan 2tantan

5 3 5 3

tan 2tansec tan

5 3

tan 2tan4 4 tan

5 3 4

tan 2tan6 6 tan

5 3 6

u u x xu C x C

x xx dx x


5 3

1 12

1 2 13 31

5 3 5 3 3

28 1 2 1 28 56

15 1545 3 9 3 3 45 3

64

6

sec 1.1482x dx


3tan 4x dx

3 2

2

2

tan 4 tan 4 tan4

sec 4 1 tan4

tan4 sec 4 tan4

x dx x x dx

x x dx

x x dx x dx


2

2 2

1 1

2

tan4 4sec 4

1 1 tan 4

4 4 2 8

1tan4 ln sec4

4

u x du x dx

u xudu C C

x dx x C

23 tan 4 1

tan 4 ln sec48 4

xx dx x C


3 5sec tanx x dx

3 5 2 4

22 2

2 4 2

6 4

2

sec tan sec tan sec tan

sec sec 1 sec tan

sec sec 2sec 1 sec tan

sec sec tan 2 sec sec tan

sec sec tan

x x dx x x x xdx

x x x xdx

x x x x xdx

x x x dx x x x dx

x x x dx


6 4

2

7 5 36 4 2

sec sec tan 2 sec sec tan

sec sec tan

22

sec sec tan

7 5 3

u

x x x dx x x x dx

x x x dx

u u uu du u

x du x

du u du C

x dx

3 5

7 5 3

sec tan

sec 2sec sec

7 5 3

x x dx

x x xC


Sustitución

trigonométrica

Leonardo da Vinci (Vinci, 1452 – Amboise, 1519). Pintor

florentino y notable polímata del renacimiento.

Anatomista, arquitecto, artista, , botánico, científico,

escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico.

Poeta y urbanista. Estudió con el célebre Andrea de

Verrocchio. Sus primeros trabajos fueron creados en

Milán, al servicio de Ludovico Esforza y después en

Roma, Bolonia y Venecia. Pasó sus últimos años en

Francia, cobijado por el rey Francisco I (La última

cena)

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Loudspeaker.svg


1

2 2 2)i a ua u

2 2a u

1

2 2 2)ii a u u

a

2 2a u

1

2 2 2)iii u au 2 2u a

a

y

y

y


29 16x dx

2 2

2

9 ; 3 ; 3

16 ; 4

u x u x du dx

a a

2 21

3u a du

y

u

a

2 2u a

2 2

sec

sec tan

tan

u a y

du a y y dy

u a a y


2 2

2 2

2 23

1tan sec tan

3

sec tan sec sec 13 3

sec sec3 3

a y a y y dy

a ay y dy y y dy

a ay dy y dy

3 2

2

sec sec sec

sec ; sec tan

sec ; tan

y dy y y dy

u y du y ydy

dv ydy v y


3 2

3 3

3

3

sec sec tan sec sec 1

sec sec tan sec sec

2 sec sec tan sec

1 1sec sec tan ln sec tan

2 2

y dy y y y y dy

y dy y y y dy y dy

y dy y y y dy

y dy y y y y C

3 2sec sec tan sec tany dy y y y y dy


2

2

2 2

1 1sec tan ln sec tan

3 2 2

ln sec tan3

sec tan ln sec tan6 6

ay y y y

ay y C

a ay y y y C


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

ln6 6

ln6 6

a u u a a u u aC

a a a a

u u a a u u aC

a

y

u

a

2 2u a


2 23 9 16 16 3 9 16ln

6 6 4

x x x xC

2

2 2

9 16

9 16 8 3 9 16ln

2 3 4

x dx

x x x xC


2

21 4

x dx

x

2 2

2

4 2 2

1 1

u x u x du dx

a a

2

2 2

2 2 2 2 2

1 142 81 4

udu

x dx u du

x a u a u

2 2 2 2 2

cos

; cos

u aseny du a y dy

u a sen y a u a y

y

ua

2 2a u


2 2 2

2 2

1 1 cos

8 8 cos

u du a sen y a ydy

a ya u

2 22 1 1

cos28 8 2 2

a asen y dy y dy

2 2 2 2

cos2 216 16 16 32

a a a ady y dy y sen y C


2 2

2 2

2 2 2 2

2 cos16 32

cos16 16

16 16

a u aangsen seny y C

a

a u aangsen seny y C

a

a u a u a uangsen C

a a a

yu

a

2 2a u


2 2 2

2

2

16 16

1 2 2 1 4

16 1 16

1 1 42

16 8

a u u a uangsen C

a

x x xangsen C

x xangsen x C

2 2

2

1 1 42

16 81 4

x dx x xangsen x C

x


264 25

dx

x x

2 2

2

2 2 22

64 8 8

25 5

1

864 25 64 258

u x u x du dx

a a

dx du du

ux x u u ax

yu

a

2 2u a 2

2 2

tan sec

sec

u a y du a y dy

a u a y


2

2 2

sec

tan sec

du a y dy

a y a yu u a

1

1 sec 1 1coscsc

tan

cos

y dy ydy y dy

senya y a a

y

1ln csc coty y C

a


2 2

2

1ln

1 64 25 5ln

5 8

u a aC

a u u

xC

x

2

2

1 64 25 5ln

5 864 25

dx xC

xx x

1ln csc coty y C

a

yu

a

2 2u a


Sustitución

trigonométricadel ángulo medioRaffaello Sanzio (Urbino, 1483 – Roma,1520 ). Fue

un pintor y arquitecto italiano del Alto

Renacimiento. Además de su labor pictórica,

que sería admirada e imitada durante siglos,

realizó importantes aportes en la arquitectura y,

como inspector de antigüedades, se interesó en

el estudio y conservación de los vestigios

grecorromanos (La academia)


2

xz

1

2 1z

2 22

2 2 cos2 2 2

1

12

1 1

2

x x xsen sen

z

z

senx

z

zz

tan2

xz


2 2

2

2

2

2 2

2

cos

1

1

cos2 cos2 2 2

1

1 1

tan 2 ta2

2

1

n

x x xsen

z

z z

xang

x

z

z

dzd

z

xz

x ang z

2

xz

1

2 1z


2

cos

dx

senx x

2

2

2 2

2 2

22

22

2 12 1cos

1 1

4 42 1 2 1

4 42 1 1 1 2 1

dzdx z

z zsenx x

z z

dz dz

z z z z

dz dz

z z z


22

2

2 2 2

1 1

; 2 2

4 42 1

1 2 2 14 ln ln

2 2 2 1

u z u z

du dz a a

dz du

a uz

a u zC C

a a u z

2 1 tan2 22 ln

cos2 1 tan

2

xdx

Cxsenx x

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESDescomposición

en fraccionesracionales

Michelangelo Buonarroti (Caprese, 1475– Roma, 1564), Arquitecto, escultor y pintor italiano renacentista, considerado de los más grandes artistas de la historia tanto por sus esculturas como por sus pinturas y obra arquitectónica. Desarrolló su labor a lo largo de más de setenta años entre Florencia y Roma. Fue muy admirado por sus contemporáneos, que le llamaban el Divino. La escultura era su predilecta y la primera a la que se dedicó; a continuación, la pintura, casi como una imposición por parte del papa Julio II, y que se concretó en una obra excepcional que magnifica la bóveda de la Capilla Sixtina (La piedad)


1 2

2

) ; 1

; 1,2, ,

n

nn

i

i ax b n

A A A

ax b ax b ax b

A i n N

" "n

2 2

1 1 2 22 2

2 2

) ; 1 4 0

; 1,2,

n

n nn

i i

ii ax bx c n y b ac

A x B A x B A x B

ax bx c ax bx c ax bx c

A y B i n N


2

6

3 10

xdx

x x

2

1 22

1 2

2

1 1 2 22

1 1 2 2

3 10 2 5

6

3 10 2 5

5 26

3 10 2 5

5 26

3 10 2 5

6 5 2

x x x x

A Ax

x x x x

A x A xx

x x x x

A x A A x Ax

x x x x

x A x A A x A


1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

6 5 2 5 2 6

A A A A

A A A A

2 2 1 1

1 1 87 1 ; 1

7 7 7A A A A

1 2 2 2

2 2

1 ; 5 1 2 6

5 5 2 6

A A A A

A A

2

8 16 7 7

3 10 2 5

xdx dx dx

x x x x


2

6 8 1

3 10 7 2 7 5

x dx dxdx

x x x x

1 1

8 8 8 8ln ln 2

7 2 7 7 7

dx duu C x C

x u

2

5

u x du dx

v x dv dx

2 2

1 1 1 1ln ln 5

7 5 7 7 7

dx dvv C x C

x v


2

8

6 8 1ln 2 ln 5

7 73 10

21ln

7 5

xdx x x C

x x

xC

x


3 2

4

2 1

1

x x xdx

x

3 2 3 2 3 2

4 2 2 2

2 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x

x x x x x x

3 2

2 2 2

2 1

1 1 1 1 1

x x x

A x x B x x Cx D x

3 2

4 2

2 1

1 1 1 1

x x x A B Cx D

x x x x


3 2

3 2 3 2 3 2

2 1

1 1

x x x

A x x x B x x x Cx Cx Dx D

3 2

3 2 3 2 3 2

2 1x x x

Ax Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx Dx D

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1

A B C A B C

A B D A B D

A B C A B C C A B

A B D A B D D A B


1 1

1 2

A B A B

A B A B

1

2 2 2 44 1

2 2 3 5

4

AA B

AA B

B

1 51 0

4 4

1 5 11

4 4 2

C C

D D


3 2

4 2

2 1

1 1 1 1

x x x A B Cx D

x x x x

3 2

4

2

2 1

1

11 5 024 4

1 1 1

x x xdx

x

x

dx dxx x x


3 2

4

2 1

1

1 5 1ln 1 ln 1 tan

4 4 2

x x xdx

x

x x ang x C

3 2

4

5

2 1

1

11 1ln tan

4 1 2

x x xdx

x

xang x C

x


3

2 1

8

xdx

x

3 2

22

2

2 2

2 1 2 1

8 2 2 4

2 1

2 2 42 2 4

2 1 2 4 2

2 1 2 4 2 2

0

2 2 2

1 4 2

x x

x x x x

x A Bx C

x x xx x x

x A x x Bx C x

x Ax Ax A Bx Bx Cx

A B

A B C

A C

C


2 4

1 4 2

1

3

2 4 51 3

121 4 2

5

12

A CB A

A C

C

A CC A

A C

B

3 2

2

5 152 1 12 312

8 2 2 4

5 1 5 4

12 2 12 2 4

xx

dx dx dxx x x x

dx xdx

x x x


1

2

2 2

2 2

22

2

2

5 5ln 2

12 2 12

2 4 2 2 2 1

5 4 5 5 5 4

2 4 2 4

15 9

2 4 2 4

1 5 55 ln

2 22 4

5ln 2 4

2

dxx C

x

u x x du x dx x dx

x xdx dx

x x x x

x dxdx

x x x x

x dudx u C

ux x

x x C


2 2

2

2

22

2 4 2 1 1 4

1 3

3 ; 3

1 ; 1;

dx dx

x x x x

dx

x

a a

u x u x du dx

2 2 2 2

3 3

9 9 92 4 1 3

1 9 19 tan tan

3 3

dx dx dudx

x x u ax

u xang C ang C

a a


3

2

2

2 1

8

5 1 5ln 2 ln 2 4

12 12 2

9 1tan

3 3

5 5ln 2 ln 2 4

12 24

3 1tan

4 3 3

xdx

x

x x x

xang C

x x x

xang C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESSustituciones

diversas

Pierre-Auguste Renoir (1841 - 1919) Pintor francés impresionista. En sus creaciones muestra

la alegría de vivir, incluso cuando los protagonistas son trabajadores. Siempre son

personajes que se divierten en una naturaleza agradable. Trató temas de flores, escenas

dulces de niños y mujeres y sobre todo el desnudo femenino, que recuerda a Rubens por

las formas gruesas. (Almuerzo de remeros)


3

dx

x x

6 56x z dx z dz

5 5 3

3 23 36 6

66 6

1

dx z dz z dz z dz

zz zx x z z


32

3 2

16 6 1

1 1

2 3 6 6ln 1

z dzz z dz

z z

z z z z C

6

3 6 6

32 3 6 ln 1

dxx x x x C

x x


1

1

xdx

x

2 2x u dx udu

2 3

32

1 1 2 22

1 11

2 2 42 2 4

1 1

x u u udx udu du

u ux

u udu u u du

u u


2

3 32

2 2 4 41

2 2 24 4ln 1

1 3

duu du udu du

u

u u udu u u u C

u

1 24 4ln 1

31

x x xdx x x x C

x


1x

dx

e

2 21 1x xe u e u

2 tan 11

x

x

dxang e C

e

2

2

2

2

2ln 1

1

2

1 2 2 tan11x

udux u dx

u

ududx duu ang u C

u ue


1x

dx

e

1x xu e du e dx

1 1 1 11

x

x x

dx du du

u u u u

e

ee

2 2u w du wdw

22

22 2 tan

11

wdw dwang w C

ww w

2 tan 11

x

x

dxang e C

e

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESÁrea bajo

la curva

Pablo Ruiz y Picasso. (España,

1881 – Francia, 1973).

Pintor y escultor español, creador,

junto con Georges Braque y Juan

Gris, del movimiento cubista.

Participó desde la génesis en

muchos movimientos artísticos que

se propagaron por el mundo y

ejercieron una gran influencia en

otros grandes artistas de su

tiempo. Incansable y prolífico,

pintó más de dos mil obras,

presentes en museos y

colecciones de toda Europa y del

mundo. Abordó dibujo,

grabado, ilustración de libros,

escultura, cerámica y

diseño de escenografía y vestuari

o para teatro. Se

declaraba pacifista y comunista.

Fue miembro del PCE y Comunista

Francés hasta su muerte a los 91

años. (Retrato de Dora Maar)


30

2x y x

Calcular el valor del área limitada por

la gráfica de la función

el eje de las abscisas y las rectas

f x senx


2

y senx

0x 3

2x

y

x

A


3

2

0

3

20

cos cos

3cos cos0 cos cos

2

3cos cos0 cos cos

2

1 1 0 1 3

A senxdx senxdx

A x x

A

23A u


Calcular el valor del área limitada por la gráfica

de la siguiente función y el eje de las abscisas:

24f x x

y

x

4

2 2

24y x

A


2

2

02 4A x dx

3

22 4 2 43

xA x dx x C

323

0

22 4 2 4 2

3 3

xA x

28 322 8

3 3A A u


Área entre

curvas

Amedeo Clemente

Modigliani (Livorno,

1884 – París, 1920)

Pintor y escultor

italiano,

perteneciente a la

denominada

Escuela de París.

Arquetipo del

artista bohemio, en

su vida hubo

estupefacientes,

alcohol, mujeres,

pobreza y

enfermedad, y sólo

alcanzó la fama

después de muerto

(Niña con trenzas).


b

aA f x g x dx

A

A

A

x

x

x

y

y

y

f

f

f

g

g

g


Calcular el valor del área de la región

limitada por las curvas:2 4 1.5 1.5y x y x y

2 4y x

1.5 1.5x y

A

y

x

1, 3

2.5, 2.25


2 4

1.5 1.5 1.5 1.5

y f x x

x y y g x x

2.52

1

2.53 2

2.52

11

4 1.5 1.5

1.51.5 2.5 2.5

3 2

A x x dx

x xA x x dx x


3 2

3 2

2.5 1.5 2.52.5 2.5

3 2

1 1.5 12.5 1

3 2

5.2083 4.6875 6.25 0.3333 0.75 2.5

A

A

27.1459A u


Calcular el área limitada, en el primer

cuadrante, por las gráficas de las curvas:2

2 2 2; ; ; 88

xy x y y x y x

24 3

2

24 3

2

1 0

0 0

1 1

8 8 08

0 0

2 4

y xx x x x

y x

x y

x y

y xx x x x

y x

x y

x y


24

3

2

24

3

2

64 0864

0 0

4 2

8 512 0864

8

0 0

8 8

xy x

x x x

y x

x y

x y

xy x

x x x

y x

x y

x y


1A

2A

3A

y

x

2 8y x

2y x

2

8

xy

2y x 8, 8

2, 4

4, 2

1,1


4

2

22

1

2

8

2

3

1

48

8

8

A x

xA

x dx

A x x d

dx

x

x


23

1 3 222 2

1 1

1

2

3 3

8 4 2 1 2 4 23

3 3 3 3 3

x xA x x dx

2

11.114A u


43

1 1 242 2

2 2

2

22 2 2 2 1

3

16 4 22 2 1

3 3

xA x x dx

2

26.303A u


83

1 2 3282

3 4

4

4 22 2

8 3 24

128 64 32 2 8

3 3 3 3

x x xA x dx

2

1 2 316.332

T TA A A A A u

2

38.915A u


Área en

polares

José Clemente Orozco (México 1883 -1949). Muralista y litógrafo mexicano,

nacido en Zapotlán actual Ciudad Guzmán, Jalisco y falleció en la Ciudad de

México. Graduado en la Escuela Nacional de Agricultura, estudió más

tarde matemáticas y dibujo arquitectónico. (Zapatistas)

http://img413.imageshack.us/img413/9403/zapatistas1931leosobrel.jpg


2

21 1

2 2A f d r d

r f 2

A

0


Calcular el área interior a la circunferencia

de ecuación ; 0r a a

2

3

2

0

r a

2

0

12

2A a d

2 21 1

2 2A f d r d

2 2

0A a d A a


Calcular el área limitada por las curvas:

4 2r sen y r sen

2

3

2

0

4r sen

2r sen


2 2 2

0 0 0

1 116 4 6

2 2A sen d sen d sen d

00

1 1 26 cos2 6 6 3

2 2 2 2 2

senA d

23A u


Calcular el área situada en el interior de la cardioide de ecuación y arriba del eje polar2 2cosr

2

A 2 2cosr 2

0

2

2

4

A


2 21 1

2 2A f d r d

2

0

2

0

12 2cos

2

14 8cos 4cos

2

A d

d

2

0

0

2 4cos 2cos

1 12 4cos 2 cos2

2 2

d

d


0

0

3 4cos cos2

23 4

2

A d

sensen

2 02

3 4 3 0 4 02 2

sensensen sen

23A u


Longitudde arco

Diego María de la Concepción Juan Nepomuceno Estanislao de la Rivera y Barrientos

Acosta y Rodríguez (Guanajuato, 1886 - Ciudad de México, 1957). Muralista mexicano de

ideología comunista, famoso por plasmar obras de alto contenido social en edificios

públicos. Creador de diversos murales en distintos puntos del centro histórico de la Ciudad

de México, en la Escuela Nacional de Agricultura de Chapingo, y en ciudades

como Cuernavaca y Acapulco, San Francisco, Detroit y Nueva York. (La creación)


2

1 'b

aL f x dx

2 2dx dx

L dd d

x

y

b a

f


a) Con la expresión que define la longitud

de arco cuando la función está expresada

en su forma explícita, es decir,

Verificar que la longitud de una

circunferencia de radio esr 2 r

y f x

b) Mediante la expresión que define la

longitud de arco cuando la función está

dada por sus ecuaciones paramétricas


2 2 2x y r y

x

r

rr

r

2 2

2 2

y r x

dy x

dx r x

22

2 201 4 1

b r

a

dy xL dx L dx

dx r x

2 2 2 21

2 2 2 20 04 1 4

rx r x xL dx dx

r x r x


2 2 2 20 04 4

r rr dxdx r

r x r x

4

r

o

xL r angsen

r

4 1 0 42

L r angsen angsen r

2L r u


cosx r y y rsen

cos

cos

dxx r rsen

d

dyy rsen r

d

2 2dx dy

L dd d

20

4 2L r r

2 2

2 2

0 04 cos 4L rsen r d r d


Dada la función:

determinar la longitud de la curva

entre los puntos:

Graficar aproximadamente la curva

y señalar los puntos dados así como la longitud pedida

2

32 4f x x

1, 2 8,4y

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES8

1

y

2

32 4f x x

1, 2

8,4

x

y

4


2 1

3 31

3

4 42 4

33

dy dyy x x

dx dxx

82

213

161 ' 1

9

b

aL f x dx dx

x

2 2

3 38 8

2 11 13 3

9 16 1 9 16

39

x xdx dx

x x


2

3

1

3

1 9 16

3

xdx

x

2 1

3 31

3

69 16 6u x du x dx dx

x

332 223

1 1 2 19 16

18 18 3 27

uu du C x C

83

2 3 323 2 2

1

1 1 19 16 52 25 374.977 125

27 27 27L x

9.258L u

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESLongitud dearco en polares

José de Jesús Alfaro Siqueiros, más conocido como David Alfaro Siqueiros, (Ciudad de México; 29 de diciembre de 1896 –Cuernavaca; 6 de enero de 1974) fue un pintor y militar mexicano. Es considerado uno de los tres grandes exponentes

del muralismo mexicano junto con Diego Rivera y José Clemente Orozco. (El pueblo a la universidad, la universidad al

pueblo)


2

2 22'

drL f f d r d

d

0

2

r f


Calcular la longitud de arco de la gráfica de la

siguiente función en el intervalo considerado:

4cos ; ,2 2

r

4cosr

0

3

2

2

4

2


2 2 24cos 4 cos 4r r r x y x

22 2 24 4 4 0 2 4x x y x y

2

2 2 22

2

2 2

2 2

16cos 16

4 4 4

drL r d sen d

d

d

4L u


Calcular la longitud de la rosa de tres pétalos de ecuación 2 3r sen


Para calcular su longitud basta con hacerlo con uno de los pétalos y después el resultado se multiplica por tres

2

2 drL r d

d

2 23

0

2 3

4 3 36cos 36cos3

r sen

L sen ddrd

d

La resolución de esta integral puede resultar sumamente

compleja, por lo que se recurre a un método numérico a

través de una computadora. La longitud de un pétalo, solución de la integral definida dada y la total son

6.28 2 6R

L L u L u


Volúmenes de sólidos

de revolución (discos

Cilíndricos)

Rembrandt Harmenszoon van Rijn (Leiden, 1606 – Ámsterdam, 1669). Pintor y grabador

holandés. De los mayores maestros barrocos de la pintura y el grabado. Es el artista más

importante de la historia de Holanda. Su pintura coincide con la edad de oro holandesa.

Durante veinte años fue el maestro de todos los pintores holandeses. Entre sus mayores

logros creativos están los magistrales retratos que realizó para sus contemporáneos,

sus autorretratos y sus ilustraciones de escenas bíblicas. Por la empatía con que retrató la

condición humana, ha sido considerado "uno de los grandes profetas de la civilización


y f xy

x

y

if

ix

x

xa

a

b

b


2

1

2 2

limn

i in

i

b b

a a

V f x

V f x dx f x dx

2 2d d

c cV f y dy f y dy


Calcular el volumen del cono truncado que

se genera al hacer girar, alrededor del eje

de las abscisas, la superficie limitada por las

siguientes rectas y hacer un trazo

aproximado de la superficie de giro, así

como del cono truncado cuyo volumen se

pide:

5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x


cono

truncado3x

5y x 0x

0y

5

53xx

y y


2b

aV f x dx

3

32

0

25 5 75 45 9 393

xx x

3122.52V u

3 32 2

0 05 25 10x dx x x dx


Calcular el volumen que se genera al hacer girar la

superficie limitada por las gráficas de las curvas cuyas ecuaciones son alrededor del eje 2 4y x y y 5y

x

4

y

x

eje de giro4y

5y

2y x

2 2


2 2 22

0

22 4

0

2 5 5 4

2 25 10 1

V x dx

x x dx

2

3 5

0

102 24

3 5

80 32 8322 48

3 5 15

x xV x

V

3174.254V u

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONESVolúmenes de

sólidos

de revolución

(cortezas

cilíndricas)

Magdalena Carmen Frida Kahlo Calderón (México, 1907 – México,1954). Pintora

mexicana. Casada con Diego Rivera, su vida estuvo cruzada por el infortunio de una

enfermedad infantil y por un grave accidente en su juventud que la sometió a 32 cirugías.

Su obra pictórica gira temáticamente en torno a su biografía y a su sufrimiento. Fue

autora de unas 200 obras, principalmente autorretratos. Su obra está influenciada por

Diego Rivera, con el que compartió su gusto por el arte popular mexicano de raíces

indígenas. Gozó de la admiración de pintores e intelectuales como Pablo Picasso, Wassily

Kandinski, André Bretón o Marcel Duchamp. (Las dos Fridas)


y

y

x

x

a

a

b

bix

1ix

i

if

f

fix


eje de revolución

eje derevolución

2d

cV p y q y dy

2b

aV p x q x dx

q x

q y

p y

b

p x

a

c

d

y

x

x


¿Cuál es su volumen? (magnitudes

en metros). Utilizar para el cálculo los dos

métodos, el de las cortezas cilíndricas y el de

los discos

2

2 ; 4 48

xy x

" " " "x y y

Se construye un depósito de combustible

cuya forma se obtiene al hacer girar

alrededor del eje de las abscisas, el

segmento de la parábola


8 m

4 m x

y2

28

xy


2d

cV p y q y dy

2 4 4 2 ;q y x y p y y

y

2 4 2x y

2

28

xy

dy

y

x4 4

2

Cortezas


2 2

0 02 4 4 2 8 4 2V y y dy V y y dy

44 2 ; 4 2 2 ;

2

uy y dy u y du dy y

1 3

2 21 4 1 1

4 42 2 4 4

uu du u u u du u u du

3 53 52 22 2

1 4 2 1

3 54 3 10

2 2

u uC u u C

3 5

2 22 1

4 2 4 23 10

y y C


2

3 5

2 2

0

2 18 4 2 4 2

3 10V y y

3 5

2 22 1

8 4 43 10

16 328

3 10V

353.62V m


2

28

xy

y

x

dx

2

28

xy

44

2

2

2 22 2

4 4

4 02 2 2

8 8

b

aV f x dx

x xdx dx

Discos


22 2 4 3 5

2 4 48 2 64 6 320

x x x x xdx dx x C

43 5

0

64 10242 4 2 16

6 320 6 320

x xV x

353.62V m


En la ciudad de San Luis Missouri, EUA, se

construyó un arco que posee la forma de una

catenaria invertida. En el centro tiene de

altura y de extremo a extremo en la base hay

una longitud de . La forma del arco

obedece, en forma aproximada, a la curva de

ecuación:

192 m

192.28 m

231 39cosh39

xy

Determinar la longitud total del arco, así como

el área total bajo el mismo


231 39cosh39

xy

El Arco Gateway, o la Puerta hacia el Oeste, es la parte más

importante del Monumento a la Expansión Nacional de

Jefferson enSan Luis Misuri. Se construyó como un monumento

conmemorativo de la expansión hacia el oeste de los Estados

Unidos


231 39cosh39

xy

96.14,0 96.14,0

0,192

y

x

296.14

02 1

dyL dx

dx


2

2

231 39cosh ;39 39

39

x dy xy senh

dx

dy xsenh

dx

96.142

02 1

39

xL senh

96.1496.14

00

cosh 2 3939 39

x xdx senh

455.52L m


96.14

02A f x dx

96.14

02 231 39cosh

39

xA dx

96.14

2

0

2 231 39 2 22,208.34 8,882.6339

xx senh

226,651.42A m


Muchasgracias

Pablo García y Colomé

Blog “colomenta”

Yo gané,¿verdad?

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