Curso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas II

(SEMESTRE 2013-1)

Prof.: José Fernando Soriano FloresEmail: act_fernando@hotmail.com (Messenger)Tel Movil: 55-21064804Tel Oficina: 91577400 Ext. 2122 

Prof. Adjunto: Christian Arturo Quiroga V.Email: ch.quiroga@ciencias.unam.mx

TEMARIO GENERAL:

1. Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I2. Asset Share3. Probabilidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente4. Anualidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente5. Primas Netas para Vida Conjunta y último Sobreviviente6. Ley de Mortalidad Gompertz-Makeham7. Tabla de Decrementos Múltiples.8. Modelos Contingentes de Vida Bajo el Caso Continuo

(no incluido en este material)

FORMA DE CALIFICAR:

EXAMENES 60% TAREAS 40% ASISTENCIA 10%

INTRODUCCIÓN:

El curso será teórico-práctico y efectivo se verán a profundidad los temas conforme sean requerido en el temario para que su comprensión sea del 100% y considerar todo el temario de estudios.

CONSIDEREACIONES:

El curso ahora cuenta con modelos de vida, bajo enfoque continuo. La bibliografía correspondiente es el libro Actuarial Mathematics, Bowers, ACTEX.

Para el desarrollo del curso que compete al enfoque discreto, se han preparado estas notas de clase en formato PDF con el contenido de todo lo que se verá en el semestre, la finalidad de estas notas es que el alumno no anote ni tome apuntes en clase, simplemente pondrá atención a la clase y si cree conveniente anotar algo lo hará sobre las mismas notas ya impresas.

Además se cuenta con un nuevo blog del curso: actuarialestarea.wordpress.comEste blog contendrá de manera permanente el material de clase a lo largo del semestre

1.- Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas 1.

1.1 Tabla de Mortalidad

Definición: Una Tabla de Mortalidad es un Cuadro Estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo cerrado de personas (Cohorte Generalmente Ficticia) denotado como l x .

Clasificación: Generada o de Cohorte: Se construye en base a la observación de un grupo

cerrado de personas hasta que dicho grupo desaparezca por la causa de muerte Actual: Se construye en un periodo corto de tiempo tomando como referencia dos

censos o observaciones

Tipos: Abreviada: Como su nombre lo indica es una tabla abreviada la cual emplea

grupos de edad resumidos generalmente las edades 1, 4, 5, 10, 15, 20, etc. Completa: Utiliza edades completas (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.)

1

Construcción:

Para construir una tabla de Mortalidad es necesario hacer uso de la siguiente notación:

l x : Número de Vivos de Edad exacta x

d x : Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+1, es decir:d x=l x−lx+1

n d x : Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+n, es decir:

n d x=l x−l x+n

px : Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva 1 año más, es decir:

px=l x+1

l x

{Casos Faborables }{Casos Totales }

n px : Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años más

n px=lx+n

l x

qx : Probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x y x+1

qx=dx

lx

{Casos Faborables ¿{Casos Totales ¿

¿¿

Es decir:

qx=dx

lx=

l x−l x+1

lx=1−

lx+1

l x=1− px

n Lx : Años persona vividos entre las edades x y x+n.

Esta es una de las series más importantes de una tabla de mortalidad y generalmente es la que menos se entiende, su comprensión y estimación se vuelve esencial para poder comprender muchos tópicos actuariales, con el fin de que se entienda cuál es la interpretación de los Años-Persona Vividos considérese el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos un grupo de tres personas todas de edad 25, y supongamos también que una de ellas llega con vida a la edad 30, otra a la edad 29 y otra a la edad 28, eso quiere decir que una persona vivió 5 años entre las edades 25 y 30, otra vivió 4 años entre las edades 25 y 30, y otra vivió 3 años entre las edades 25 y 30, esto quiere decir que los años persona vividos entre las edades 25 y 30 fueron de 5+4+3=12 años.

Dado el ejemplo anterior podemos decir que los años persona vividos entre las edades x y x+n es el área bajo la función lx como se muestra en la siguiente figura:

En el caso de conocer la función lx de manera continua entonces diríamos que:

n Lx=∫x

x+n

l x dx

Como desconocemos dicha función entonces suponemos que la función lx se comporta de manera lineal entre las edades x y x+n, de tal manera que el área a calcular es de un rectángulo cuya base mide n y altura lx+n, y un triangulo de base n y altura lx – lx+n, de tal manera que:

n Lx=n (l x+n)+ n2 ( lx−lx+n ) =⏟

TAREA dEMOSTRAR

n2 [lx+ lx+n]

(TAREA 1. DEMOSTRAR ULTIMA IGUALDAD)

Lx : Años persona vividos entre las edades x y x+1

Lx=12 [ l x+lx+1 ]

T x : Años persona vividos entre las edades x y w

2

Lx=∑t= x

w

n Lt

e x : Esperanza de vida a la edad x (Número de años que se espera viva una persona de edad x:

e x=T x

lxEn términos generales se puede decir que estas son todas las funciones que componen una tabla de mortalidad, sin en cambio, el actuario para hacer cálculos financieros se apoya en funciones adicionales llamados “Valores Conmutados”

Valores Conmutados.

Dx :=V x⋅lx Donde Vx= (1+i )−x

e i = Interés Técnico

N x :=∑

t= x

w

Dt

Cx :=V x+1⋅d x

M x:=∑

t=x

w

C t

(TAREA 2. Calcular una tabla de mortalidad en base a la serie lx y un interés técnico del 5%)

1.2.- Anualidades Contingentes.

En el curso de matemáticas financieras se estudio este tema como “Anualidades Ciertas”, y consistía en una serie de pagos “ciertos”, en el caso de Matemáticas Actuariales I se estudia este tema como Anualidades “contingentes” que consisten en una serie de pagos que dependen de una contingencia, es decir, la serie de pagos va a depender directamente de la ocurrencia de una contingencia, en nuestro caso, va a depender de si vive o muere la persona.

n Ex Dotal Puro n años: En este caso se dará un solo pago de 1 u.m. (unidad monetaria) a una persona de edad x si esta llega con vida a la edad x+n, es decir, sobrevive n años, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

n Ex=1⋅V n⋅n Px=V x

V x⋅V n ( l x+n

lx)=V x+n⋅l x+n

V x⋅l x

=Dx+n

D x

ax Anualidad Vitalicia Vencida: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

ax=1 Ex+ 2 Ex+⋯+w− x Ex=D x+1

Dx+

D x+2

D x+⋯

Dw

D x=∑t=1

w

D x+t

D x=

N x+1

D x

ax Anualidad Vitalicia Anticipada: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

ax=N x

D x

ax : n Anualidad Vencida Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula:

ax : n=1 Ex+2 Ex+⋯+n Ex=D x+1

D x+

Dx+2

D x+⋯

D x+n

D x=∑t=1

w

Dx+t− ∑t=n+1

w

D x+t

D x

Es decir:

ax : n=N x+1−N x+n+1

D x

ax : n Anualidad Anticipada Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio de cada año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula, análogamente a lo anterior de la siguiente manera:

ax : n=N x−N x+n

Dx

3

Hasta ahora se han analizados los casos en los que se entrega una cantidad de unidades monetarias si una persona llega con vida, o vive determinado numero de años. Toca tiempo de analizar aquellos casos en los que se entregara una cantidad de unidades monetarias si la persona muere en un número determinado de años, a este tipo de casos se les llama “Seguros”.

.2.- Seguros

Ax Seguro Ordinario de Vida: Una persona de edad x, contrata un seguro ordinario de vida, y así en caso de que fallezca, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Ax=V⋅d x

lx+

V 2⋅d x+1

l x+⋯=V x

V x (V⋅dx

l x+

V 2⋅dx+1

lx+⋯)=

=V x+1⋅d x

V x⋅l x

+V x+2⋅d x+1

V x⋅l x

+⋯=Cx

D x+

Cx+1

D x+⋯=

∑t=x

w

C t

Dx=

M x

D x

nxA : Seguro Temporal n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Ax :n=V⋅dx

l x+

V 2⋅dx+1

lx+⋯

V n⋅dx+n−1

lx=V x

V x (V⋅d x

lx+

V 2⋅d x+1

l x+⋯+

V n⋅dx+n−1

lx)

=V x+1⋅dx

V x⋅lx

+V x+2⋅dx+1

V x⋅lx

+⋯V x+n⋅d x+n−1

V x⋅l x

=Cx

Dx+

Cx+1

D x+⋯+

Cx+n−1

D x

=∑t=x

w

C t− ∑t= x+n

w

C t

Dx=

M x−M x+n

D x

Ax :: { n¿ Seguro Dotal Mixto n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida Dotal Mixto, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años ó llegue con vida, se le

entregara una suma asegurada de 1 u.m. a el o a los beneficiarios. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

Ax :: { n=n Ex+ A x : n=M x−M x+n+D x+n

D x¿

1.3.PRIMAS

En términos Generales ya se vio este tema, pues el ultimo tema que vimos fue el de “seguros” denotado en general con una “A”, y dado que es un valor presente, también lo podemos ver como una “prima neta única”, es decir, a el valor presente de un seguro, se puede ver como una prima que se pagara en una sola exhibición para cubrir el siniestro (fallecimiento), pero que pasa si el asegurado no quiere pagar en una sola exhibición el seguro. Entonces se desprende la siguiente formula general para calcular una Prima Neta Nivelada:

PRIMA NETA NIVELADA

En este caso el asegurado pagara una prima “P” de manera anual y siempre de la misma cantidad durante la vigencia del seguro, de tal manera que se tiene que cumplir:

P⋅a=A

Es decir, que la prima P (Serie de pagos periódicos iguales) traída a valor presente debe de ser igual a la prima que se pagaría en una sola exhibición y finalmente la formula general quedaría:

P= Aa

Px Prima Neta Nivelada para un seguro Ordinario de Vida: Usando la formula general tenemos que:

Px=Ax

ax=

M x

Dx

N x

Dx

=M x

N x

4

P x :n Prima Neta Nivelada para un seguro Temporal n años: Usando la formula general tenemos que:

P x :n=A x :n

ax :n=

M x−M x+n

D x

N x−N x+n

D x

=M x−M x+n

N x−Nx+n

(Tarea 3: Calcular la formula para calcular la prima neta nivelada para un Seguro Dotal Mixto)1.4 Reservas:Sean:

VPOC t = Valor Presente de las obligaciones de la compañía en el año t.

VPOA t = Valor Presente de las obligaciones del asegurado en el año t.

Entonces la formula general para calcular una reserva en el año t sería:

t V= [VPOCt−VPOA t ]Por ejemplo:

t V x Reserva al año t de un seguro Ordinario de Vida contratado a edad x: Usando la formula general antes vista tenemos que:

t V x=[S . A .⋅Ax+t⏟VPOC t

−Px¿ ax+t⏟VPOAt ]=[S . A .(M x+t

D x+t )−Px (N x+t

D x+t )]=1

D x+t[ S . A .⋅M x+t−Px⋅N x+t ]

t V x :n Reserva al año t de un seguro temporal n años contratado a edad x: Nuevamente usando la formula general antes vista tenemos que:

t V x :n=¿¿¿

¿(Tarea 4.- Calcular la formula para calcular la reserva al año t de un seguro Dotal Mixto contratado a edad x)

Para aplicar en la práctica lo visto en este repaso el siguiente tema es:

2. ASSET SHARE:

Se pueden encontrar muchas definiciones de Asset Share e incluso la traducción al castellano es algo ambigua pero, para efectos de este curso lo definiremos como: la simulación de la rentabilidad que se espera tener por la venta de un seguro .En este caso, un seguro de vida, para simular dicha rentabilidad nos apoyaremos de la teoría actuarial que ya vimos y en una hoja de cálculo de Excel, de tal manera que la finalidad de este ejercicio nos ayudara a dominar esta herramienta tan usada en el mercado laboral y nos dará un ejemplo práctico de cómo usar los conocimientos adquiridos en nuestra carrera.

Para simular dicha rentabilidad es necesario partir de ciertas hipótesis como por ejemplo el número de asegurados que tendrá, tasas de inversión, gastos de administración y operación. En base a esto la Aseguradora pronosticará las ganancias en dinero que tendría por la venta de algún seguro en específico.

FACTORES DE CANCELACIÓN:Estos son factores de ajustes y como su nombre lo dice, corresponden a la frecuencia con la cual los asegurados "cancelan" el seguro, este factor lo calcula la CIA aseguradora en base a su experiencia i.e. analiza el número de asegurados que cancelan su seguro al pasar la vigencia de la póliza, en base a eso se calculan los factores de cancelación. Por ejemplo, supongamos que el factor de cancelación en el año 3 de la vigencia de la póliza es del 0.38, podemos decir entonces que en el tercer año el 38% de los asegurados cancelan su póliza.

FACTOR DE RESCATE:Análogamente como la CIA aseguradora calcula los factores de cancelación en base a su experiencia, los factores de rescate se calculan tomando en cuenta el numero de asegurados que hacen uso de los valores de rescate (Seguro Saldado, Seguro Prorrogado, etc), i.e. analiza cuantos asegurados usan el valor de rescate y en base a eso calcula el factor de rescate.

TASAS DEL FONDO DE INVERSIÓN. i( t )

5

No es más que la tasa a la que la CIA aseguradora cree invertirá todo el dinero que le entra ya sea de reserva ó de prima. Que generalmente son mayores al interés técnico.

SEGURO A PRIMA UNICA.Consiste en calcular un seguro a prima única dependiendo del tipo del seguro que se va a vender, por ejemplo si queremos calcular un seguro temporal a "n" años a prima única, con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:

A x : n=PU =M x−M x+n

Dx∗SA

ANUALIDAD ANTICIPADA.No es mas que calcular la anualidad anticipada de un seguro, como ejemplo si tenemos un seguro temporal a "n" años con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:

äx : n=N x−N x+n

D x

PRIMA NETA NIVELADA. Es la prima que siempre pagara el asegurado en todas sus anualidades, por ejemplo para un seguro temporal a "n" años.

P x :n=PN= PUäx :n

=M x−M x+n

N x−Nx+n∗SA

PRIMA DE TARIFA.Esta es la prima que sale al mercado, o prima comercial, en esta prima ya se recargan gastos de gestión externa (GGE) y los gastos de gestión interna (GGI). Se calcula de la siguiente manera:

PTarifa= PN(1−gge−ggi )

TABLA SELECTA (Qt).

Esta tabla se calcula a partir de la proporción que existe entre las tasas de mortalidad de la aseguradora y las tasas de la tabla de mortalidad utilizada, es decir, son probabilidades de muerte ajustadas por la Aseguradora en base a su propia experiencia. Generalmente las tasas de mortalidad de la tabla selecta son más grandes que las de una tabla de mortalidad.

CALCULO DE LAS FUNCIONES DEL ASSET SHARE:

#Aseg: en esta función se calculan los números estimados de asegurados tendrá la aseguradora, para calcular esta columna se osan los factores de cancelación para estimar cuantos asegurados al paso del tiempo van ir cancelando su seguro, se calcula de la siguiente manera:

¿ Asegt=¿ Asegt−1∗(1−Qt−1−Cant−1)

PRIMA.En esta colma se calcula, cuanto dinero le entra a la aseguradora en primas i.e.

Primat=(Ptarifa )∗(¿ Asegt )¿G.G.E. Estos Son los gastos de gestión externa, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por gastos como pago de Agentes de Seguros,

GGEt= Primat∗GGEG.G.I. Estos Son los gastos de gestión interna, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por Gastos de Administración (Ej. Pago de Nomina de empleados):

GGI t=Primat∗GGI

MORTALIDAD.En esta columna se calcula el dinero el cual espera pagar la aseguradora en sumas aseguradas, para ello se tiene que calcular el número esperado de muertos que tendrá.

Muertosesperadost=Round( ¿ Asegt∗Qt , 0 )¿

En general este producto no da un número entero, de tal forma que se tiene que redondear al entero más próximo. Entonces el dinero que espera pagar la Aseguradora esta dado de la siguiente manera:

Mortalidad t=(¿ Asegt∗Qt )∗SA ¿

RESERVA T.6

En esta columna se calcula la reserva terminal por asegurado, consiste en calcular la reserva al tiempo "t" por asegurado, para este efecto se usara el método prospectivo. i.e.

La reserva terminal por asegurado de un seguro temporal a "n" años al año "t" ó en el año "t" es:

t V x':n=[SA∗( M x+t−M x+n )−P x : n( N x+t −N x+n)]∗ 1

D x+tLa reserva terminal por asegurado de un seguro ordinario de vida (vida entera) al año "t" ó en el año "t" es:

t V x=[ SA∗M x+t−P x∗N x+ t ]∗ 1D x+t

La reserva terminal por asegurado de un seguro dotal al año "t" ó en el año "t" es:

t V x :n=[SA∗( M x+ t−M x+n+Dx+n )−P x :n ( N x+ t−N x+n )]∗ 1D x+t

VALOR DE RESCATE.En esta columna se calcula el dinero esperado que piensa pagar la aseguradora por el concepto de Valor de Rescate, dicho en otras palabras, la Aseguradora hace un estimado de cuanto dinero piensa desembolsar por que un asegurado decida cancelar su póliza, la forma de calcular es la siguiente; suponiendo que le devolverá el 95% de su reserva matemática una ves aplicándole el factor de rescate que le corresponde:

Valor de _Re scateEsperadot=¿ Aseg t∗Cant∗Rvat∗Rctet∗0 .95

RESERVA TERMINAL.En esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero tendrá en reserva por todos sus asegurados. i.e.

Re servaTer min alt=¿ Aseg t∗RvatDIVIDENDOS.Una ves que la aseguradora crea reservas ese dinero lo invierte a una tasa i(t) mayor a la del Interés Técnico, formando así los llamados "dividendos", la forma de calcularlos es:

Dividendost=¿ Asegt∗Rvat−1∗( i(t )∗0 . 90−it )

Suponiendo que dará el 90% de dividendos.

FONDO.

Esta es una de las funciones más importantes de un Asset Share pues hace uso de la mayoría de las columnas del Asset Share ya que a todas las entradas de dinero a la aseguradora le resta todas las salidas obteniendo así las ganancias. Se calcula de la siguiente manera:

Nótese que los GGI y Mortalidad fueron llevados a valor futuro o invertidos medio periodo eso suponiendo que el dinero que gasto la compañía en nomina de empleados y muertes ocurridas fueron entregados a mitad de año.

VP PRIMAS.En esta columna se llevan a valor presente el dinero en primas que le entraron a la aseguradora, se calcula de la siguiente manera:

VP Pr imast=Pr imat∗(1+ i1 )(−1)∗(1+i2 )

(−1)∗. .. ..∗(1+it−1)(−1)

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE VALORES GARANTIZADOS PARA EL ASEGURADO

Las siguientes columnas si bien no forman parte del Asset Share si son muy importantes verlas de manera didáctica y se calculan para mostrar un especie de catalogo al asegurado, en donde se le explique qué puede hacer con su dinero en reserva si decide cancelar su seguro.

VALOR DE RESCATE.Forma parte de los "valores garantizados", cuando el asegurado decide no continuar con el seguro entonces la Aseguradora le devuelve "parte" de la Reserva Matemática, cabe aclarar que este como todos los valores garantizados solo se tomaran en cuenta cuando el asegurado ya haya permanecido al menos dos años con la aseguradora. Se calcula de la siguiente manera:

ValRctepor Asegt=Rvat∗Rctet∗0 . 95

El 0.95 corresponde al porcentaje que la aseguradora dará de la reserva que a creado el asegurado una ves aplicado el factor de rescate que le corresponde.

SEGURO SALDADO

7

Fondot=[( Fondot−1+Pr imat −GGEt )∗(1+it ) ]−[(GGI t +Mortalidad t )∗(1+it )

1 /2 ]−VRscatet−Divdendost

Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido, el valor de rescate puede ser utilizados para pagar el plazo que falte de transcurrir de la vigencia del Contrato.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por le mismo plazo que contrató originalmente, pero con menor suma asegurada. Supongamos un Seguro Temporal n años, entonces la formula se deduce de la siguiente manera:

ValRctepor Asegt⏟

Re serva del Asegurado

= Ax +¿t :n−t⏟Costo del Seguro

⋅SeguroSaldadot

⏟Nueva Suma Asegurada

¿

ValRctepor Asegt=

( M x+t−M x+n )D x+t

SeguroSaldadot

SeguroSaldadot=

ValRcteporAsegt

( M x+t−M x+n)Dx+t

(Tarea 5, Construir la formula para calcular el Seguro Saldado en el tiempo t para un seguro Ordinario de Vida)SEGURO PRORROGADO

Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido con la misma Suma Asegurada, el valor de rescate podrá ser utilizado para este fin.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por la misma suma asegurada que contrató originalmente, pero por un plazo menor (plazo prorrogado).

La deducción de la formula es la siguiente:

ValRctepor Asegt⏟

Re serva del Asegurado

= Ax +¿t :1⏟Costo del Seguro en un año

⋅( Seguroprorrogadot

365 ) ¿

Entonces:

CUADRO DE RENTABILIDAD.Finalmente es hora de saber que rentabilidad (que tan rentable fue el seguro que vendió la aseguradora) tubo la aseguradora con el seguro que vendió. Para ello necesitamos calcular el Valor Presente del Fondo VPF (cuanto dinero obtuvo al invertir la aseguradora) y el valor presente de las primas VPP (cuanto dinero en primas entro a la aseguradora traído a valor presente.)

VPP=∑t=1

n

VP Pr imast

VPF=Fondo t+n∗(1+i(1))−1∗(1+i(2))

−1∗. .. .. .∗(1+ i( t ))−1

PORCENTAJE DE UTILIDAD.

Porcentajedeutilidad=VPF

VPP %

(Tarea 6, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un temporal 10 años)

(Tarea 7, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un temporal 20 años)

(Tarea 8, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un Ordinario de Vida)

3.- PROBABILIDAD DE VIDA CONJUNTA Y DE ÚLTIMO SOBREVIVIENTE

Recordemos la probabilidad de dos o más independientes que se presentan juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales:

P( A y B )=P ( A )⋅P( B )

Así pues, ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas, una de edad “x” y otra de edad “y” ambas lleguen con vida al siguiente año?, si suponemos que se trata de dos eventos independientes, es decir, que la muerte de una persona en nada afectará a la otra, tendríamos que:

px : y= px⋅p y

Ó dicho de otra manera:

8

px : y=lx+1

l x⋅

l y+1

l y=

l x+1 : y+1

l x : y

Es decir, por notación:

l x+1: y+1=l x+1⋅l y+1

l x : y=l x⋅l y

Pongamos un ejemplo de lo antes descrito:

¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas una de edad 18 y otra de edad 20 ambas lleguen con vida al siguiente año?

p18 :20=l19

l18⋅

l21

l20=

l19 :20

l18 :20

Probabilidad de vida conjunta de m participantes:

Se conoce así por que el grupo se destruye si alguno de los integrantes fallece, ó dicho de otra manera todos los participantes deben de continuar con vida.

En general supongamos que las vidas para edades x i para i=1,2,...,m son independientes, entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas todas sobrevivan n años más:

n px1 : x2 : . .. : xm=

l x1+n : x2+n : . .. : xm+n

lx1 : x2 : . .. : xm

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 3 personas de edades 18, 19 y 20 todas lleguen con vida dentro de 3 años:

3 p18 :19: 20=l18+3 :19+3: 20+3

l18 :19 :20

Probabilidad de destrucción de un grupo de m participantes

Ya vimos la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos sobrevivan, pero cuál es la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos mueran (destrucción del grupo). Para encontrar dicha probabilidad partamos de lo siguiente:

¿Cuál sería la probabilidad de que en un grupo de 2 personas, una de edad “x” y otra de edad “y” ninguna llegue con vida al siguiente año:

qx : y=qx⋅q y=(1− px)⋅(1− p y)=1−px−p y+ px : y

Ahora bien, supongamos que las vidas para edades x i con i=1,2,...,m son independientes, entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas muera a la edad x i+n se puede expresar por:

n qx1 : x2 : .. . : xm=( n qx1

)⋅( n qx2)⋅…⋅( n qxm

)=n d x1 : x2 : . .. : xm

lx1 : x2 : . .. : xm

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas con edades 18, 20 y 22 todas mueran dentro de 3 años?

3 q18 :20 :22=( 3 q18)⋅(3 q20)⋅( 3 q22)=3 d18:20 :22

l18: 20:22

Otra pregunta interesante podría ser:

¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de m participantes de edades x i todos mueran entre los años n y r con n < r?

n|r−n q x1 : x2 : . .. : xm=( n|r−n qx1

)⋅( n|r−n qx2)⋅…⋅( n|r−n qxm

)=r−n dx1+n : x2+n : .. . : xm+n

lx1 : x2 : .. . : xm

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas de edades 18, 20, y 22 todas mueran entre los años 6 y 8?

6|8−6q18 :20: 22=( 6|8−6q18)⋅(6|8−6 q20)⋅(6|8−6 q22)

6|2 q18 :20 :22=(6|2q18 )⋅(6|2 q20)⋅( 6|2 q22)=2 d18+6 :20+6 : 22+6

l18 :20 :22=2 d24 :26 : 28

l18 :20 :22

Como hemos visto hasta ahora hemos calculado probabilidad de sobrevivencia y destrucción de un grupo de m participantes los cuales todos en su conjunto deben sobrevivir o desaparecer. Ahora veremos el caso donde no a todos les tenga que ocurrir la contingencia:

9

Probabilidad de vida conjunta de último sobreviviente.

Si se recuerda en el capitulo anterior, vida conjunta de m participantes, este era destruido cuando cualquier participante falleciera, es decir todos los participantes debían continuar con vida. Por lo tanto el grupo de último sobreviviente, se destruye a la muerte del último sobreviviente.

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas de edades x1 y x2 al menos una llegue con vida el siguiente año?

p x 1:x 2

1

=1−qx 1 : x2underbracealignl prob . de que ¿⏟

ambos mueran ¿

¿ =1−(qx1)(qx2

) ¿ =1−(1− px1)(1−px2

) ¿ =px1+ px2

−px1 : x2¿ = ∑

i=1

2

pxi+(−1)2+1 px1 : x 2

¿¿

Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades x1 , x2 y x3 al menos una llegue con vida el siguiente año?

p x 1 :x 2 :x 3

1

=1−qx1 : x2 : x3=1−( qx1

)(qx2)(qx3

) =1−(1− px1)(1−px2

)(1− px3)

= px1+px2

+px3−px1 : x2

−px1 : x3−px2 : x3

+ px1 : x2 : x3

=∑¿

3

¿3

+(−1 )3+1 px1 : x2: x3

¿¿

Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas de edades x1 , x2 , x3 y x4 al menos una llegue con vida el siguiente año?

p x 1 :x 2 :x3 :x 4

1

=1−qx1 : x2 : x3 : x4=1−(qx1

)( qx2)(qx3

)(qx4)

=1−(1−px1)(1−px2

)(1−px3)(1− px4

)

=px1+ px2

+ px3+ px4

− px1 : x2− px1 : x3

−px1 : x4− px2 : x3

−px2 : x4− px3 : x4

+ px1 : x2 : x3+ px1 : x2 : x4

+ px1 : x3 : x4+ px2 : x3 : x4

−px1 : x2 : x3 : x4

=∑¿

4

¿4

(−1 )4+1 px1 : x2 : x3 : x4¿ ¿¿

Finalmente, Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades x1 , x2 , x3 ,…, xm al menos una llegue con vida el siguiente año?

p x 1 :x 2 :…: xm

1

=∑¿

m

¿m

(−1 )m+1 px1 : x2 :… : xm¿¿¿

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades x1 , x2 , x3 ,…, xm al menos una sobreviva n años más?

n p x1 : x2 :… : xm

1

= ∑¿

m

¿m

(−1 )m+1n px1 : x2 :… : xm

¿¿¿

Ejemplo:

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades 18, 20 y 22 al menos una sobreviva 3 años más?

3 p 18 :20 :22

1

=∑¿

3

¿3

+(−1)3+13 p18 :20 : 22¿¿

= 3 p18+3 p20+3 p22−3 p18:20−3 p18 :22−3 p20 :22+ 3 p18 :20 :22

Ahora nos enfrentamos a otro problema: ¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades 18, 20 y 22 al menos dos sobreviva 3 años más?, o más aún:

10

¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades x1 , x2 , x3 ,…, xm al menos r sobrevivan n años más?

Para resolver estas preguntas introduciremos el concepto de:

n p x1 : x2 :… : xm

[r ]

Que denota la probabilidad de que en un grupo de m personas con edades x1 , x2 , x3 ,…, xm exactamente r sobrevivan n años más.

Si conociéramos esta probabilidad nuestra pregunta principal:

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades x1 , x2 , x3 ,…, xm al menos r sobrevivan n años más sería:

n p x1 : x2 :…: xm

r

=n p x1 : x2 :… : xm

[r ]

+n p x1 : x2 :… : xm

[ r+1 ]

+⋯+n p x1 : x2 :… : xm

[m ]

Centrémonos entonces en calcular: np x1 : x2 :… : xm

[r ]

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad x1 y otra de edad x2 exactamente una llegue con vida al siguiente año?

En este caso recordemos que para dos eventos independientes:

P( A ó B )=P ( A )+P( B)Entonces la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad x1 y otra de edad x2

una llegue con vida al siguiente año, sería lo mismo que decir que ( x1 ) llegue con vida al

siguiente año y la otra muera ó (x2 ) llegue con vida al siguiente año y la otra muera:

px1

(1−px2)=px1

−px1 : x2

px2

(1−px1)= px2

−px1 : x2

Finalmente la probabilidad que queríamos encontrar seria:

p x 1 :x 2

[1 ]

=( px1−px1 : x2)+( px2

−px1 : x2) =px1+px2

−2 px1 : x2

=∑i=1

2

px i+2(−1 )2+1 px1 : x2

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas una edad x1 , otra de edad x2 y otra de edad x3 exactamente una llegue con vida al siguiente año?

Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 3 casos:

Solo llegue con vida x1 ó

Solo llegue con vida x2 ó

Solo llegue con vida x3

Es decir:

px1

(1−px2)(1−px3

)=px1−px1 : x2

−px1 : x3+ px1 : x2 : x3

px2

(1−px1)(1−px3

)=px2−px1 : x2

−px2 : x3+ px1 : x2 : x3

px3

(1−px1)(1−px2

)=px3−px1 : x3

−px2 : x3+ px1: x2 : x3

Sumando:

¿ i< j ¿¿¿3¿ (−1 )3+1 px1 : x2 : x3

¿ ¿¿¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas una edad con edades x1 , x2

, x3 y x4 exactamente una llegue con vida al siguiente año?

Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 4 casos:

Solo llegue con vida x1 ó11

Solo llegue con vida x2 ó

Solo llegue con vida x3 ó

Solo llegue con vida x4Es decir:

px1(1−px2

)(1− px3)(1−px4

)= px1− px1 : x2

−px1 : x3−px1 : x4

+ px1 : x2 : x3+ px1 : x2 : x4

+ px1 : x3 : x4− px1 : x2 : x3 : x4

px2(1−px1

)(1−px3)(1−px4

)=px2−px1 : x2

−px2 : x3−px2 : x4

+ px2 : x1 : x3+ px2 : x1 : x4

+px2 : x3 : x4

+ px 1 :x 2 :x 3 :x 4

px3(1−px1

)(1−px2)(1−px4

)=px3−px3 : x1

−px3 : x2−px3 : x4

+ px3 : x1 : x2+px3 : x1 : x4

+ px3 : x2 : x4

+ px 1:x 2 :x 3 :x 4

px4(1−px1

)(1−px2)(1−px3

)= px4− px4 : x1

−px4 : x2−px4 : x3

+ px4 : x1 : x2+ px4 : x1 : x3

+ px4 : x2 : x3

+ px 1 :x 2 :x 3 :x 4

Finalmente la probabilidad que buscamos es:

p x 1 :x 2 :x 3 :x 4

[1 ]

=px1+ px2

+ px3+ px4

−2 px1: x2−2 px1 : x3

−2 px1 : x4−2 px2 : x3

−2 px2 : x4−2 px3 : x4

+3 px1 : x2 : x3+3 px1 : x2 : x4

+3 px2 : x3 : x4+3 px1 : x3 : x4

−4 px1 : x2 : x3 : x4

O bien:

¿ i< j<k ¿¿¿4¿+4 (−1 )4+1 px1 : x2 : x3 : x4

¿

De acuerdo a todo lo anterior.

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de “m” personas de edades x1 , x2 , x3 , .. . , xm , respectivamente exactamente una llegue con vida al siguiente año?

¿ i< j<k ¿¿¿m¿−.. . .+(m)(−1)m+1 P x1 : x2 : .. .: xm

¿

Pero seguimos sin encontrar np x1 : x2 :… : xm

[r ]

, por lo que el último resultado evidencia lo complejo que es encontrar dicha probabilidad.

Ahora analicemos otro resultado....

¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de tres personas de edades x1 , x2 , x3 iguales exactamente dos lleguen con vida?

Para resolver la pregunta hay que analizar los casos posibles: Que x1 y x2 lleguen con vida y x3 muera ó Que x1 y x3 lleguen con vida y x2 muera ó Que x1 y x3 lleguen con vida y x1 muera

Dicho de otra manera:

px1

px2qx3 ó

px1

px3qx3 ó

px2

px3qx1

Y dado que x1=x2=x3=x (pues las edades son iguales) la probabilidad que buscamos es:

p x 1 :x 2 ::x3

[2 ]

=px px qx+ px px qx+ px px qx =3( px px qx )=3 ( px )2 (qx )1

=3⋅2⋅12⋅1⋅1 ( px )2 (qx )3−2=

3!2! (3−2 )! ( px )2 ( qx )3−2

Finalmente tenemos que:

p x 1 :x 2 ::x3

[2 ]

=C23 ( px )2 (qx )3−2

Ahora bien, ¿qué pasa para un grupo de 4 personas de la misma edad x , exactamente 2 lleguen con vida?Analicemos los casos:

px px qx qx ó

px qx px qx ó

px qx qx px ó

12

qx px px qx ó

qx px qx px ó

qx q x px px

Entonces tenemos que:

p x 1 :x 2 ::x3 :x 4

[2 ]

=6 px px qx qx=4 !

2 !(4−2 )! ( px )2 (qx )4−2 =C24 ( px )2 ( qx)4−2

Ahora que pasa si de ese mismo grupo de personas queremos que exactamente 3 sobrevivan:

px px px qx ó

px px qx px ó

px qx px px ó

qx px px px

Finalmente tendríamos que:

p x 1 :x 2 ::x3 :x 4

[3 ]

=4 px px px qx=4 !

3 !( 4−3)! ( px )3 (qx )4−3 =C34 ( px)2 (qx )4−3

Lo que podemos concluir es que la probabilidad de que de un grupo de m personas de la misma edad exactamente r lleguen con vida es:

p x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=Crm ( px )r (qx )m−r

Este último resultado nos sirve para encontrar la probabilidad de que de un grupo de m personas de la misma edad al menos r lleguen con vida:

p x 1 : x 2 : .. . : xm

r

=p x1 : x2 : .. . : xm

[r ]

+ p x1 : x2 : ... : xm

[r+1 ]

+. ..+ p x1 : x2 :. ..: xm

[m ]

Este último resultado solo funciona si las edades de los integrantes del grupo son las mismas, pero qué pasa si no lo son?

Método ZPara resolver este problema vamos utilizar un Método conocido como “Z” para aproximar dicha probabilidad para ello vamos a definir:

p x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=Z r +k 1 Zr+1 +k2 Z r+2+…+k t Z r+t +…+k m−r Zm …(1)

Donde:

Zs : simboliza la suma de las combinaciones de probabilidades de supervivencia al final del año de m participantes tomados de s maneras

k s : simboliza una constante de ponderación

Encontremos los Valores de Z y de K. Para ello recordemos uno de los resultados que obtuvimos:

p x : x : .. . : x

[r ]

=C rm ( px )r ( qx )m−r

Y por otro lado recordemos el teorema del binomio:

( x+ y )n=∑k=0

n

Ckn xn−k yk

O bien:

( x− y )n=∑k=0

n

(−1)k Ckn xn−k yk

Entonces:

p x : x : .. . : x

[r ]=C r

m ( px )r (qx )m−r

=Crm ( px )r (1− px )m−r

=Crm ( px )r ∑

k=0

m−r

(−1)k Ckm−r 1m−r−k px

k

=Crm px

r ∑k=0

m−r

(−1 )k Ckm−r px

k

=Crm px

r (−1 )0C0m−r px

0+Crm px

r (−1)1C1m−r px

1+Crm px

r (−1 )2 C2m−r px

2

+…+Crm px

r (−1)m−r Cm−rm−r px

m−r

O bien:

p x : x : .. . : x

[r ]

=C rm px

r−CrmC1

m−r pxr+1+C r

mC2m−r px

r +2+…+(−1)m−r Crm px

m…(2)

Por otro lado dado que Zs Simboliza la suma de las combinaciones de probabilidades de supervivencia de m participantes tomados de s maneras. Entonces podemos suponer que:

13

Zs=∑s=1

m

C sPx1: x2: . . .: xs =C s

m pxs

Si sustituimos esto en (1):

p x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=Crm px

r +k1 C r+1m px

r+1+k 2C r+2m px

r+2+…+k t Cr+tm px

r+t +…+km−r pxm−1

Llamemos este ultimo resultado Ecuación (3)

Para encontrar los valores K igualamos miembro a miembro la Ecuación 2 y 3, es decir, qué valor debe tomar K para que la ecuación 3 sea igual a la ecuación 2?

El primero miembro es exactamente igual:C r

m pxr=C r

m pxr

El segundo miembro:−C r

mC1m−r px

r+1=k1 C r+1m px

r+1

Entonces:

k1=−C r

mC1m−r px

r+1

Cr+1m px

r +1 =−C r

mC1m−r

Cr +1m =−C1

r +1

k 2=−C r

mC2m−r px

r+2

Cr +2m px

r +2 =−C r

mC2m−r

C r+2m =C2

r +2

O bien:

k s=−C r

mC sm−r px

r+s

C r+sm px

r+s =−C r

mC sm−r

C r+sm =C s

r+ s

Si sustituimos los valores K que acabamos de encontrar en la ecuación 1 hasta m-r tenemos que:

p x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=Zr−C1r+1 Z r+1 +C2

r+2 Z r+2+…+(−1 )t Ctr+t Z r+ t+…+(−1)m−r Cm−r

m Zm−1

p x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=∑t=0

m−r

(−1)t Ctr+t Zr+ t

Con esto podemos encontrar la probabilidad de que en un grupo de m participantes con

edades x i con i=1,2,..,m diferentes exactamente r lleguen con vida.Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas con edades x1 , x2 , x3 y x4 exactamente 2 lleguen con vida el siguiente año?

p x1 : x 2 :x 3 : x4

[2 ]

=∑t =0

4−2

(−1)t C t2+t Z2+t =C0

2+0 Z2−C12+1 Z2+1+C2

2+2 Z2+2

=Z2−3Z3+6 Z4= px 1 :x 2

+ px1 : x3+ px1 : x4

+px2 : x3+ px2 : x4

+ px3 : x4

−3 ( px1 : x2 : x3+ px1 : x2 : x4

+ px1: x3 : x4+ px2 : x3 : x4)

+6 px1 : x2 : x3 : x4

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas con edades x1 , x2 , x3 y x4 exactamente 2 sobrevivan 5 años más?

5 p x1 : x2 : x3 :x 4

[2 ]

=∑t=0

4−2

(−1)t Ct2+t Z2+t =C0

2+0 Z2−C12+ 1 Z2+1+C2

2+2 Z2+2

=Z2−3 Z3+6Z4= 5 px1 : x2

+5 px1 : x3+5 px1 : x4

+ 5 px2 : x3+ 5 px2 : x4

+5 px3 : x4

−3 (5 px1 : x2 : x3+5 px1 : x2: x4

+5 px1 : x3 : x4+5 px2 : x3 : x4)

+6 5 px1 : x2 : x3 : x4

En ese sentido podemos suponer que

n p x1 : x 2 : .. . :x m

[ r ]

=∑t=0

m−r

(−1 )t Ctr+t Z r+t

Ya hemos resuelto casi todas nuestras preguntas, y solo nos falta una:

n p x1 : x 2 : .. . :x m

r

=∑s=r

m

n p x1 : x2: .. .: xm

[ s ]

=∑s=r

m

∑t=0

m−r

(−1)t C ts+ t Z s+t

Pero resolver esta suma aún suena complicado por lo que veremos si hay manera de reducirla, para ello intentemos calcular la siguiente probabilidad:

p x 1 : x 2 :x 3 : x4

2

=∑s=2

4

p x1 : x2 : x3 : x4

[ s ]

= p x1 : x2 : x3 : x4

[2 ]

+p x1 : x2 : x3 : x4

[3 ]

+ p x1 : x2 : x3 : x4

[4 ]

Calculemos por separado cada una de las probabilidades:14

p x 1 : x 2 :x 3 : x4

[2 ]

=∑t=0

4−2

(−1)t C t2+t Z2+t =Z2−C1

3 Z3+C 24 Z4

p x 1 : x 2 :x 3 : x4

[3 ]

=∑t=0

4−3

(−1)t C t3+t Z3+t =Z3−C1

4 Z4

p x 1 : x 2 :x 3 : x4

[4 ]

=∑t=0

4−4

(−1 )t Ct4+t Z4+t =Z4

Finalmente:

p x 1 : x 2 :x 3: x4

2

= p x1 : x2 : x3 : x4

[2 ]

+p x1 : x2 : x3 : x4

[3 ]

+ p x1 : x2 : x3 : x4

[4 ]

=( Z2−C13 Z3+C2

4 Z4)+(Z3−C14 Z4)+(Z4 )

=Z2−C13 Z3+Z3+C2

4 Z4−C14 Z4+Z4

=Z2−Z3 (C13−C0

3)+Z 4 (C24−C1

4+C04 )

=Z2−Z3C12+Z4C2

3=Z2−C12 Z3+C2

3 Z4

=C01 Z2−C1

2 Z3+C23 Z4

= (−1 )2−2C2−12−1 Z2+ (−1 )3−2 C3−2

3−1 Z3+(−1 )4−2 C4−24−1Z4

=∑s=2

4

(−1 )s−2 C s−2s−1 Zs

Generalizando este resultado encontramos la probabilidad tan añorada:

p x 1 : x 2 : .. . : xm

r

=∑s=r

m

(−1)s−r Cs−rs−1 Z s

Como en el valor Z va implícito el número de años de supervivencia:

n p x1 : x 2 : .. . :x m

r

=∑s=r

m

(−1)s−rC s−rs−1 Z s

Ejemplo: Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas de edades x1 , x2 , x3 y x4 al menos 2 sobrevivan n años más?

n p x1 : x 2 :x 3:x 4

2

=∑s=2

4

(−1 )s−2C s−2s−1 Z s =Z2−C3−2

3−1 Z3+C4−24−1 Z4 =Z2−C1

2 Z3+C23 Z4

=Z2−2Z3+3Z 4

=n px1 : x2+n px1: x3

+n px1 : x4+ n px2 : x3

+ n px2 : x4+n px3 : x4

−2 (n px1 : x2 : x3+n px1 : x2 : x4

+ n px1 : x3 : x4+n px2 : x3 : x4 )

+3 n px1 : x2 : x3 : x4

Como podemos ver el método “Z” nos ayuda a encontrar este tipo de probabilidades de manera rápida.

Anualidades para más de 2 personas

4.- Anualidades Vitalicias

Recordemos que en el caso de 1 persona una anualidad vitalicia vencida a edad x se calculaba de la siguiente manera:

ax=∑t=1

ω−x

V tt px=V 1 px+V 2

2 px+. ..+V w− xw−x px

=V 1 lx+1

lx+V 2 l x+2

l x+.. .+V w− x lw

l x=

V 1 lx+1+V 2 l x+2+…+V w−x lw

lx

=V x

V x

V 1 l x+1+V 2 lx+2+…+V w− x lw

l x=

V x+1 l x+1+V x+2 lx+2+…+V w lw

V x l x

=D x+1+ Dx+2+. ..+Dw

D x=

N x+1

D x

En el caso de dos personas, el valor presente de 1 u.m. de personas de edades x1 y x2 , mientras las dos estén con vida sería:

ax1 :x2=∑

t=1

∞

V tt px1 : x2

Definimos lo siguiente:

D xx=D x lx

15

Dxxx=D x lx l x

N xx=∑

t=0

ϖ

D x+t : x+t

Dxy=D x l y

Entonces:

ax1 :x2=

V x1 (V 1lx1+1: x2+1+V 2 lx1+2: x2+2+. ..)V

x1 lx1 : x2

=D x

1+1 lx

2+1 +Dx

1+2l x

2+2+. ..

D x1l x2

=∑t=1

∞

D x1+ t lx2+t

Dx1lx

2

=N x1+1 : x2+1

D x1

: x2

En el caso de tres personas:

ax1 :x2 :x3=∑

t=1

ω

V tt px1 :x2 : x3

=N x1+1 : x2+1: x3+1

D x1 : x2 :x3

En el caso de m personas:

ax1 :x2 : .. : xm=∑

t =1

ω

V tt px1 : x2 : ..: xm

=N x1+1 : x2+1 : ... : xm+1

D x1 : x2 : ..: xm

Para el caso anticipado:

äx1 :x2 : .. : xm=∑

t =0

ω

V tt px1 : x2 : ..: xm

==N x1 : x2 : ... : xm

D x1 : x2 :.. : xm

Anualidades Temporales n años:

Recordemos que para el caso de una persona, la anualidad vencida temporal n años se calcula:

ax : n=∑t=1

n

V tt px=

N x+1−N x+n+1

D x

Dado los resultados anteriores una anualidad vencida temporal n años para dos personas sería:

ax1 :x2 :n=∑t=1

n

V tt px1 : x2

=N x1+1 : x2+1−N x1+n+1 : x2+n+1

D x1 : x2

Para el caso de m personas:

ax1 :x2 : .. : xm :n=∑t=1

n

V tt px1 : x2 :. .: xm

=N x1+1 : x2+1 :. ..: xm+1−N x1+n+1 : x2+n+1 : ... : xm+n+1

Dx1 : x2 :. .: xm

Para el caso anticipado:

äx1 :x2 : .. : xm :n=∑t=0

n−1

V tt px1 : x2 :. .: xm

=N x1 : x2 : ... : xm

−N x1+n : x2+n :.. .: xm+ n

Dx1 : x2 :. .: xm

Recordemos que hasta ahora solo hemos trabajado con edades iguales, trabajemos con otros casos:

Por ejemplo cual es la anualidad vitalicia vencida para un grupo de dos personas de edades diferentes si se desea que exactamente alguna de ellas sobreviva:

a x1 : x2

[1 ]

=∑t=1

ϖ

V tt p x1 : x2

[1 ]

=∑t=1

ϖ

V tt ( px1

+ px2−2 px1

px2)=

=∑t=1

ϖ

V tt px1

+∑t=1

ϖ

V tt px2

−2∑t=1

ϖ

V tt px1 : x2

=ax1+ax2

−ax1 : x2

Para el caso de tres personas:

a x1 : x2 : x3

[1 ]

=∑t=1

ϖ

V tt p x1 : x2 : x3

[1 ]

=

=∑t=1

ϖ

V tt ( px1

+ px2+ px3

−2 px1px2

−2 px1px3

−2 px2px3

+3 px1px2

px3)=ax 1

+ax2+ax3

−2ax1 x2−2 ax1: x3

−2 ax2x3+3 ax1 x2 x3

Finalmente para m personas:

¿ i< j<k ¿¿¿m¿−.. . .+(m)(−1)m+1 ax1 : x2 :. ..: xm

¿Para el caso de que exactamente r personas lleguen vida:

16

a x1 : x2 : . . .: xm

[ r ]

=∑t=1

∞

V tt p x1 : x2 :. ..: xm

[ r ]

Ahora bien, cuál es la anualidad vitalicia vencida para un grupo de m personas de edades diferentes si se desea que exactamente al menos r sobrevivan sobreviva:

a x1 : x2 : . . .: xm

r

=a x1 : x2 : .. .: xm

[r ]

+a x1 : x2: .. .: xm

[ r+1 ]

+. . .+a x1 : x2 :. ..: xm

[m ]

O dicho de otra manera:

a x1 : x2 : . . .: xm

r

=∑t=1

∞

V tt p x1 : x2 :. ..: xm

r

Se recomienda usar el Método Z

a x1 : x2 : . . .: xm

r

=∑s=r

m

(−1)s−r C s−rs−1 Zs

as

Ejemplo: Calcula el valor presente de 1 u.m. de un anualidad vitalicia siempre que al menos 2 de 4 integrantes de un grupo de edades x1, x2, x3, y x4 estén vivos:

a x1 : x2 : x3 : x4

2

=∑s=2

4

(−1)s−2C s−2s−1 Z s

as=Z2a2−C3−2

3−1 Z3a3 +C 4−2

4−1 Z4a4 =Z2

a2−C12 Z3

a3 +C23 Z4

a4

=Z2a2−2Z3

a3 +3 Z4a4

=ax1 :x 2+ax1: x3

+ax1 : x4+ax2 : x3

+ax2 : x4+ax3 : x4

−2 (ax1 : x2 : x3+ax1 :x2 : x4

+ax1 : x3 : x4+ax2 : x3 : x4)

+3 ax1 : x2 : x3 : x4

5. Primas Netas Únicas (Costo del Seguro)

Recordemos que para el caso de una sola persona, la prima neta única para un seguro ordinario de vida es:

Ax=∑t=0

ω

V tt−1|qx=

∑t=0

ω

C x+t

Dx=

M x

D xDefinamos:

Cx : y=C x d y

M x : y=∑

t=0

ω

C x+t d y+t

Entonces la prima neta única de un seguro ordinario de vida para dos personas sería:

Ax1 : x2=∑

t=0

ω

V tt−1|qx1 : x2

=∑t=0

ω

C x1+t d x2+t

D x=

M x1 : x2

D x1 : x2

Para 3 personas:

Ax1 : x2 : x3=∑

t=0

ω

V tt−1|qx1 : x2 : x3

=∑t=0

ω

C x1+t d x2+t : x3+t

D x1 : x2: x3

=M x1 : x2 : x3

Dx1 : x2 : x3

Para m personas:

Ax1 : x2 : . . .: xm=∑

t=0

ω

V tt−1|qx1 : x2 : ... : xm

=∑t=0

ω

C x1+ t dx2+ t :. ..: xm+t

Dx1 : x2 :. ..: xm

=M x1 : x2 : ... : xm

Dx1 : x2 :. ..: xm

En el caso de un seguro temporal n años recordemos que para una sola persona:

Ax :n=∑t=1

n

V tt−1|qx=

M x−M x+n

D x

17

En el caso de dos personas:

A x1 : x2 :n=∑t=0

n

V tt−1|qx1 : x2

=M x1 : x2

−M x1+ n : x2+n

Dx1 : x2

Para m personas:

Ax1 : x2 : . . :x m :n=∑t=1

n

V tt−1|qx1 : x2 : ..: xm

=M x1 : x2 :.. : xm

−M x1+n : x2+n : ..: xm +n

Dx1 : x2 :. .: xm

Ejemplos: Cual sería el costo de un seguro con una suma asegurada de 1 u.m. si dicha suma se entrega si y solo si exactamente 2 participantes de 4 de edades x1, x2, x3 y x4 mueren antes de n años (utilizando el método Z).

A x1 : x2 : x3 : x4 :n

[ 2]

=∑t =1

n

V tt−1|n q x1 : x2 : x3 : x4

[2 ]

=∑t=0

4−2

(−1 )t C t2+t Z2+t

A2+t=C02+0 Z2

A2−C12+1 Z3

A3 +C22+2 Z4

A 4

=Z2A2−3 Z3

A3 +6 Z4A 4

= A x1 : x2 :n+ Ax1 : x3 : n+ Ax1 : x4 : n+ Ax2 : x3 :n + Ax2 : x4 :n + Ax3 : x4 : n

−3 ( Ax 1 :x 2 :x 3 :n+ Ax1

: x2

: x4

: n+ Ax1

: x3

: x4

: n+ Ax2

: x3

: x4

: n)+6 A x1 : x2 : x3 : x4 : n

Si se quiere que al menos 2 lleguen con vida:

A x1 : x2 : x3 : x4 :n

2

=∑t=1

n

V tt−1|n q x1 : x2 : x3 : x4

2

=∑s=2

4

(−1)s−2C s−2s−1 Zs

As =Z2A2−C 3−2

3−1 Z3A 3+C 4−2

4−1 Z4A 4 =Z2

A2−C12 Z3

A 3+C23 Z4

A4

=Z2A2−2 Z3

A 3+3Z4A4

=Ax1 :x2 :n+ A x1 : x3 :n +A x1 : x4 :n +A x2 : x3 : n+ Ax2 : x4 : n+ Ax3 : x4 : n

−2 ( Ax 1 :x 2 :x 3 :n+ Ax1 : x2 : x4 : n+ Ax1 : x3 : x4 : n+ A x2 : x3 : x4 : n)+3 A x1 : x2 : x3 : x4 : n

PRIMAS NETAS NIVELADAS ANUALES

Prima Nivelada para un seguro ordinario de vida

Recordemos que para una persona:

Px=Ax

äx

En el caso de dos personas caso vida conjunta:

Px1 : x2=

A x1 : x2

äx1 : x2

=∑t=1

ω

V tt−1|qx1 : x2

∑t =1

ω

V tt px1 : x2

=M x1 : x2

N x1 : x2

Para m personas:

Px1 : x2 : . .: xm=

A x1 : x2 :. . : xm

äx1 : x2 :. .: xm

=∑t=1

ω

V tt −1|qx1 : x2 : ..: xm

∑t =1

ω

V tt px1 : x2 : .. : xm

=M x1: x2 : .. : xm

N x1 : x2 : ..: xm

En el caso donde exactamente r llegan con vida:

P x 1 : x 2 : .. . : xm

[ r ]

=A x1 : x2 : ... : xm

[ r ]

ä x1 : x2 : .. .:xm

[r ]

En el caso donde al menos r llegan con vida:

P x 1 : x 2 : .. . : xm

r

=A x1 : x2 : ... : xm

r

ä x1 : x2 : .. .: xm

r

Prima Nivelada para un Seguro Temporal n años18

Recordemos que para una persona:

Px :n=A x :n

äx :nPara el caso de dos personas:

Px1 : x2 :n=A x1 : x2 : n

äx1 : x2 : n=∑t=1

n

V tt −1|qx1 : x2

∑t=1

n

V tt px1 : x2

=M x1 : x2

−M x1+n : x2+n

N x1 : x2−N x1+n : x2+n

Para m personas:

Px1 : x2 : . .: xm : n=Ax1 : x2 : .. : xm : n

äx1 : x2 : . . : xm: n=∑t =1

n

V tt −1|qx1 : x2 : .. : xm

∑t=1

n

V tt px1 : x2 :. .: xm

=M x1 : x2 :.. : xm

−M x1+n : x2+n : .. : xm+n

N x1 : x2 :.. : xm−N x1+n : x2+n :. . : xm+n

En el caso donde exactamente r llegan con vida:

P x 1 : x 2 : .. . : xm :n

[r ]

=A x1 : x2 :. ..: xm : n

[ r ]

ä x1 : x2 : ... : xm : n

[ r ]

En el caso donde al menos r llegan con vida:

P x 1 : x 2 : .. . : xm :n

r

=A x1 : x2 :. ..: xm : n

r

ä x1 : x2 : ... : xm: n

r

Para ejemplificar todo lo antes visto, resolvamos el siguiente ejercicio:

Calcular la Prima Nivelada de un seguro temporal 3 años para el grupo de vida conjunta de dos personas de edades 37 y 38 años respectivamente que desean recibir una Suma Asegurada de $150,000 considerando una tasa de interés técnico del 4%.

Solución:

P37 :38 :3=A37:38:3

ä37 :38 :3=∑t=1

3

V tt−1|q37 :38

∑t=1

3

V tt p37 :38

=

=(1. 04 )−1 d37 :38+(1 . 04 )−2 d38 :39(1 . 04 )−3d39 :40

(1. 04 )0 l37:38+(1 . 04 )−1 l38 :39(1 .04 )−2 l39: 40

Considerando que:

d xy=l xy−l x+1 : y+n ,

Entonces tendríamos que:

P37 :38 :3=(1 . 04 )−1 d37 :38+(1. 04 )−2 d38 :39(1. 04 )−3 d39 : 40

(1 . 04 )0 l37 :38+(1.04 )−1 l38 :39(1 . 04 )−2 l39 :40

=

=(1 .04 )−1 ( l37 :38−l38 :39)+(1 .04 )−2 ( l38:39−l39: 40) (1. 04 )−3 (l39 : 40−l40 :41 )(1 .04 )0 l37 :38+(1.04 )−1 l38 :39(1 . 04 )−2 l39: 40

Como se ve, la Parte II del curso de Matemáticas Actuariales en general, es lo mismo que la parte I pero extrapolado a 2 o más personas, dado lo complejo que puede llegar a ser se recomienda usar el método de aproximación Z para encontrar resultados más rápidos.

A continuación veremos el tema de Tabla de Decrementos múltiples para ello hay que dominar un tópico muy importante:

6. Gompertz-Makeham.

Recordemos que en el repaso anterior, se vio a la tabla de mortalidad, que como recordaremos era un cuadro estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo cerrado de personas a través del tiempo, dicho estudio lo hacia en el mejor de los casos de

manera anual, es decir, nosotros conocíamos a la serie l x de manera discreta, pues el valor “x” solo podía tomar valores enteros (x=1,2,3,4,5.....), la cuestión aquí es saber por ejemplo, cuantos vivos tengo yo a la edad x= 12.00045, ó a la edad x=19.234676, la tabla de mortalidad no nos lo puede decir, pues sus observaciones son discretas y no continuas. Gompertz intento resolver este tipo de preguntas y lo que hizo simplemente fue asociarle una

función (un modelo matemático) continua a la función discreta l x de la tabla de mortalidad, dicha función tenía que cumplir con emular de la manera más exacta a la función discreta.

19

Es así que se presenta su desarrollo.

Recordemos una serie muy particular de la tabla de mortalidad: “Tasa Central de Mortalidad”:

n mx=n d x

n Lx

Es decir, el número de muertos en determinado tiempo, respecto al total de personas “presentes”,

Partiendo de esta igualdad y recordando que:

h Lx=h⋅lx−h2 h dx

Si suponemos que h es un número muy pequeño podemos decir entonces que:

h Lx=h⋅lx

Por lo que tendríamos:

h mx=h d x

h Lx=

lx−l x+h

(h )( lx )

Gracias a esto definimos a la Tasa Instantánea de Mortalidad μx :

μ(x )=limh→0

h mx=limh→0

l x− lx+h

(h)( l x)= 1

lxlimh→0

l x−l x+h

h=− 1

lxlimh→0

l x+h−l x

h

Que por definición de Derivada:

μ( x )=− 1lx⋅

d ( lx )dx

=underbracealignl por regla de ¿⏟la cadena¿

−d ( ln( l x))

dx¿

Como x es variable muda:

μ( y )=−d ( ln( l y ))

dy

Intentemos despejar a l y de la ultima expresión,

−μ( y )dy=d ( ln( l y ))

−∫0

x

μ( y )dy=∫0

x

d ( ln ( l y ))dy

−∫0

x

μ( y )dy= (ln( l y))|0x=ln ( l x )−ln ( l0 )= ln(l x

l0)

e−∫

0

x

μ( y )dy

=eln(l x

l0 )=

lx

l0Finalmente tenemos que:

l x=l0⋅e−∫

0

x

μ( y) dy

A esta última ecuación se le conoce como Ecuación Fundamental de la Ciencia Actuarial

Hasta ahora ya hemos encontrado un modelo matemático, una función lx continua, pero solo conocemos el “radix” y desconocemos la forma que puede tener la tasa instantánea de mortalidad. Es así que Gompertz también respondió esta pregunta haciendo el siguiente razonamiento:

El dijo: “la resistencia del hombre a la muerte, disminuye a una tasa proporcional a ella misma y decrece con el paso del tiempo”. i.e.

μ( y ) la podemos ver como la No resistencia a la muerte a morir de tal manera que

si μ( y ) es muy grande entonces la NO resistencia del hombre a la muerte es muy grande, esto quiere decir que la SI resistencia del hombre al morir es pequeña.

Entonces:

20

1/ μ( y ) la podemos ver como la SI Resistencia a la muerte o bien la resistencia del

hombre a morir ya que si μ( y )es muy grande entonces, 1/ μ( y ) , es muy pequeña.

Lo que hizo Gompertz entonces es decir que la resistencia del hombre al morir es 1/ μ( y ) la cual es proporcional a ella misma, y esta decrece al paso del tiempo. I.e. entre más tiempo pase la resistencia del hombre es menor.

Sea entonces:

h = constante de proporcional que asegura la hipótesis de Gompertz

1/ μ( y ) = resistencia del hombre a la muerte

ddy ( 1

μ( y ))= tasa de cambio de la resistencia del hombre a morir

)(1

)(1

ydyd

yh

Nótese que el factor "h" esta multiplicado por un signo negativo, esto se debe a que la resistencia del hombre al morir decrece con el paso del tiempo.

De esta última expresión ya podemos despejar aμ( y ), entonces:

−h 1μ ( y )

= ddy ( 1

μ( y ))

⇒−h=

ddy ( 1

μ( y ))1

μ( y )

= ddy ( ln( 1

μ ( y )))Resolviendo la Ecuación Diferencial tenemos que:

⇒∫−hdy=∫ ddy ( ln( 1

μ( y ) ))dy

⇒−∫hdy=ln ( 1μ( y ) )+B1

⇒−h⋅y+B2= ln( 1μ( y ))+B1

⇒−h⋅y= ln( 1μ ( y ))+B1−B2

Sea B1−B2=ln B

⇒−h⋅y= ln( 1μ ( y ) )+ ln B

⇒−h⋅y=ln ( Bμ ( y ))

⇒ e−h⋅y=eln( B

μ( y ))=( B

μ ( y ))⇒μ ( y )e−h⋅y=B

⇔μ( y )=B⋅eh⋅y

Sea eh

= C

⇒μ ( y )=B⋅C y

Donde:

B = Deterioro biológico C = Proporción en la que se están muriendo

Sustituyendo este último resultado en:

l x=l0 e−∫

0

x

μ( y )dy

=l0 e−∫

0

xB⋅C y dy

Resolvemos primero la integral:

21

−∫0

x

B⋅C y dy=−B∫0

x

C y dy

Recordemos que:

d (C y/ ln C )dy

=C y

⇒−∫0

x

B⋅C y dy=−B∫0

x

C y dy=−B[ C y

ln C ]0

x

= −BlnC [C y|0

x ]

Sea

−Bln C = ln g

⇒−∫0

x

B⋅C y dy=ln g [C y|0x ]=ln g [Cx−C0 ]=[Cx−1 ]⋅ln g

⇒−∫0

x

B⋅C y dy=[Cx−1 ]⋅ln g= ln g [C x−1 ]

⇒−∫0

x

B⋅C y dy=ln g[Cx−1 ]

⇒l x=l0 e−∫

0

x

μ ( y )dy

=l0e−∫

0

xB⋅C y dy

=l0¿e ln g[C x−1 ]=l0 ¿ g[ Cx−1]

⇒l x=l0⋅g [Cx −1 ]=l0 [ gCx

¿g−1 ]=l0[ gC x

g ]=l0

g¿ gC x

Sea

l0

g=K

⇒l x=l0

g⋅gCx

=K⋅gCx

⇒l x=K⋅gCx

Recapitulando Gompertz propuso que μ( y )=B⋅C y, y al sustituir este valor obtuvo que

l x=K⋅gCx

Tiempo después Makeham propuso que μ( y )=A+B⋅C y, donde A, era el factor de

"azar"

⇒l x=l0 e−∫

0

x

μ ( y )dy

=l0e−∫

0

x( A+B⋅C y)dy

Resolvemos primero la integral:

−∫0

x

( A+B⋅C y)dy=−∫0

x

Ady−∫0

x

BC y dy⏟

ln g[Cx−1 ]

⇒−∫0

x

( A +B⋅C y )dy=A ( y|0x )+ ln g [C x−1 ]=−A⋅x+ ln g [Cx −1 ]

Sea − A=−ln S

⇒−∫0

x

( A +B⋅C y )dy=−A⋅x+ ln g[ Cx−1 ]= x⋅ln S+ ln g[C x−1] =ln Sx¿ g[ Cx−1]

⇒−∫0

x

( A+B⋅C y )dy=ln S x⋅g[Cx−1 ]

⇒ l x=l0 e−∫

0

x

μ ( y )dy

=l0e−∫

0

x( A+ B⋅C y )dy

=l0 e ln Sx⋅g[C x−1]=l0¿ Sx¿ g[ Cx−1 ]

⇒l x=l0⋅Sx⋅g [C x−1 ]=l0 ¿Sx ¿ gC x

g=

l0

g¿Sx ¿gCx

Sea K=

l0

g

22

⇒l x=K⋅Sx⋅gC x

Esta ultima formula es conocida como la ley de Gompertz –Makeham

Hasta aquí, hemos descubierto aquel modelo matemático que nos describe a la función lx en forma continua, pero, cómo se calculan los parámetros K, S, G y C?

Esta pregunta la resolveremos usando el “Método de los Grupos no Superpuestos”

Calculo de los parámetros de la ley de Gompertz-Makeham.Método de los Grupos Superpuestos.

Se parte del hecho de tener i = 16 observaciones de la serie l x de la tabla de mortalidad

distribuidas de igual forma en el tiempo.

m i x lx

1

1 5 957742 10 956593 15 955734 20 95391

2

5 25 951536 30 947927 35 943678 40 93638

3

9 45 9258110 50 9087011 55 8788012 60 83975

4

13 65 7842914 70 6960315 75 5773216 80 43043

Con las 16 observaciones se hacen m = 4 grupos de igual tamaño. Y se hace el siguiente

análisis: Partimos de la ley de Gompertz-Makeham l x=K⋅Sx⋅gCx

Se hace una reetiquetación de la serie l x como se muestra en la columna "i" (Ej. Si i=1

entonces estaremos hablando de l5 ). Entonces la formula nos queda de la siguiente manera:

l( i)=K⋅S i⋅gC i

⇒ ln( l( i))=ln( K⋅S i⋅gC i)

⇒ ln ( l( i))=ln K +i⋅ln S+C i⋅ln gAnalizamos y sumando cada uno de los 4 grupos, tenemos que:

⇒ S0=∑i=1

m

ln ( l( i) )=∑i=1

m

ln K +∑i=1

m

i⋅ln S+∑i=1

m

Ci⋅ln g

⇒S1= ∑i=m+1

2m

ln ( l(i ))= ∑i=m+1

2m

ln K+ ∑i=m+1

2m

i⋅ln S+ ∑i=m+1

2m

C i⋅ln g

⇒ S2= ∑i=2m+1

3m

ln( l( i) )= ∑i=2 m+1

3 m

ln K + ∑i=2m+1

3m

i⋅ln S+ ∑i=2 m+1

3 m

C i⋅ln g

⇒S3= ∑i=3m+1

4 m

ln ( l( i ) )= ∑i=3 m+1

4m

ln K + ∑i=3 m+1

4 m

i⋅ln S+ ∑i=3m+1

4 m

Ci⋅ln g

Resolviendo estas sumas, tenemos que:

⇒S0=∑i=1

m

ln ( l( i))=m⋅ln K+m(m+1 )

2⋅ln S+ c−cm+1

1−c⋅ln g

⇒S1= ∑i=m+1

2m

ln( l (i ))=m⋅ln K+(m2+m(m+1)

2 )⋅ln s+cm( c−cm+1

1−c )⋅ln g

⇒S2= ∑i=2m+1

3m

ln( l( i))=m⋅ln K+(2 m2+m(m+1)

2 )⋅ln S+c2 m( c−cm+1

1−c )⋅ln g

Sacando diferencias tenemos que:

⇒ ΔS0=S1−S0=m2⋅ln S+( cm−1 )( c−cm+1

1−c )⋅ln g

⇒ ΔS1=S2−S1=m2⋅ln S+cm ( cm−1 )( c−cm+1

1−c )⋅ln g

23

⇒ ΔS2=S3−S2=m2⋅ln S+c2 m ( cm−1 )( c−cm+1

1−c )⋅ln g

⇒ Δ2 S0=ΔS1− ΔS0= (cm−1 )2 ( c−cm+1

1−c )⋅ln g

⇒ Δ2 S1=ΔS2−ΔS1=cm (cm−1 )2 ( c−cm+1

1−c )⋅ln g

De Δ2 S1 se puede despejar "c"…

⇒ c=( Δ2 S1

Δ2 S0)

1m

De Δ2 S0 se puede despejar "g"…

⇒g=exp { Δ2 S0

(cm−1)2 ( c−cm+1

1−c )}De

ΔS0 se puede despejar "a"…

⇒S=exp { 1m2 [ ΔS0−(cm−1)( c−cm+1

1−c ) ln g]}De

S0 se puede despejar "k"…

⇒ k=exp{ 1m [S0−

m(m+1 )2 ⋅ln S−( c−cm+1

1−c ) ln g]}(Tarea, Dado lo anterior encuentre la formula para calcular los parámetros de la ley Gompertz)

(Tarea, Dado el cuadro puesto al principio de este capitulo encuentre los parámetros de la Ley Gompertz-Makeham)

Una de las tantas aplicaciones que se le puede dar a Gompertz es la Tabla de decrementos Múltiples.

7. TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES.

En el repaso que se dio al principio se mencionaba el tema de “tabla de mortalidad”, la cual como recordaremos, estudiaba a un grupo cerrado de personas y cómo este grupo iba desapareciendo a través del tiempo por una causa, la de morir. En general un grupo de personas puede estar expuesto a salir del grupo por muchas causas, como por ejemplo, supongamos que tenemos a un grupo cerrado de personas en México, y se quiere estudiar cómo va desapareciendo dicho grupo de personas a través del tiempo, a saber hay dos causas por las cuales este grupo puede desaparecer, una es que las personas dejen el grupo por mortalidad, y la otra es que dejen el grupo por migración.

Una Tabla de Decrementos Múltiples es, un cuadro estadístico que estudia a un grupo cerrado de personas y como éste desaparece a través del tiempo por k causas de salida del grupo.

Para poder hacer dicho análisis es necesario definir lo siguiente:

l x(T )

: Número de personas vivas de edad exacta “x” sujetas a salir del grupo por cualquiera de las “m” causas de salida.

d x(k )

: Número de personas que dejan el grupo la causa “k” entre las edades x y x+1

d x(T )

: Número de personas que dejan el grupo por cualquier causa entre las edades x y x+1, es decir:

d x(T )=d x

(1 )+d x(2 )+d x

(3 )+⋯+d x(m)=∑

k=1

m

d x(k )

Por otro lado tenemos que:l x+1(T ) =lx

(T )−d x(T )

qx(T )

: Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por cualquier causa.

24

qx(k )=

d x(T )

l x(T )

=∑k=1

m

d x(k )

l x(T )

=d x

(1 )

l x(T )

+d x

(2)

l x(T )

+⋯+d x

(m)

lx(T )

=∑k=1

m

qx(k )

Todos estos resultados son ciertos siempre y cuando se cuenten con tablas de decrementos simples “limpias”, es decir, siempre y cuando estemos seguros que todas las probabilidades de salida del grupo no estén sobre estimadas o subestimadas, para poner en claro supongamos este ejemplo:

De 100 personas que hay en México, supongamos que 10 de ellas fallecen, 5 migran de manera legal, y 5 de ellas migran de manera ilegal, es decir, nadie se entera que dejaron el país, al fin y al cabo nosotros tendríamos que de 100 personas en un determinado tiempo solo quedaron 80, y supondríamos que 15 fallecieron (10 que realmente fallecieron más 5 que migraron ilegalmente) y solo 5 migraron, de esta manera estaremos sobre estimando la probabilidad de muerte y subestimando la probabilidad de migración.

Dado que en la práctica no hay tablas de decrementos simples limpias, es necesario hacer un ajuste a las probabilidades de salida del grupo, este ajuste se hace de dos formas: en base a la tasa instantánea de mortalidad (visto con Gompertz), y en base a la tasa centrales de mortalidad.

AJUSTE DE LAS PROBABILIDADES DE SALIDA DEL GRUPO PARA UNA TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES POR MEDIO DEL MÉTODO DE LAS TASAS INSTANTANEAS (GOMPERTZ)

Recordemos:

μ( x )=− 1lx⋅

d ( lx )dx

⇒ μx(T )=− 1

l x(T )

⋅d ( l x

(T ))dx

Por otro lado es importante hacer notar que para asegurar que no vamos a subestimar o sobreestimar alguna probabilidad es necesario que:

l x(T )=∑

k=1

m

l x(k )=l x

(1)+l x(2 )+lx

(3)+ .. .+lx(m )

Substituyendo esto:

μx(T )=−1

l x(T )

⋅d ( l x

(T ))dx

=−1lx(T )

⋅d (∑

k=1

m

lx(k ))

dx=

=−1l x(T )

⋅d( l x

(1 ))dx

−1l x(T )

⋅d ( lx

(2))dx

− .. .. .−−1l x(T )

⋅d( l x

(m))dx

=μx(1)+μx

(2)+μx(3)+. ..+μx

(m )

Por otro lado...

μ y(T )=−1

l y(T )

⋅d ( l y

(T ))dy

=−d ( ln ( l y

(T )))dy

⇒− ∫x

x+1

μ y(T ) dy= ∫

x

x+1

d ( ln ( l y(T )))dy

⇒− ∫x

x+1

μ y(T ) dy=ln ( lX+1

(T ) )−ln ( lX(T ))= ln(lX+1

(T )

lX(T ) )

⇒ exp {− ∫x

x+1

μ y(T ) dy}= lX +1

(T )

lX(T ) =PX

(T )

⇒PX(T )=exp {− ∫

x

x+1

μ y(T ) dy}

⇒PX(T )=exp {− ∫

x

x+1

(μ y(1)+μ y

(2)+. . .+μ y(m )) dy}

=exp {−∫x

x+1

( μ y(1 ))dy }⋅exp {−∫

x

x+1

(μ y(2)) dy}⋅.. .

=PX(1)⋅PX

(2 )⋅PX(3 )⋅. ..⋅PX

(m )

De esta última igualdad tenemos:

PX(T )=PX

(1)⋅PX(2)⋅PX

(3)⋅.. .⋅PX(m )

⇒ 1−q X(T )=(1−qX

(1))⋅(1−qX(2))⋅. ..⋅(1−qX

(m) )⇒1−(qX

(1 )+qX(2)+. . .+qX

(m) )=(1−qX(1 )' )⋅(1−qX

(2)' )⋅. ..⋅(1−qX(m) ' )

25

Donde:

qx(k )

: son las probabilidades ajustadas

qx(k )'

: son las probabilidades observadas

Por poner un ejemplo supongamos que m=3

1−(qX(1)+qX

(2 )+qX(3) )=(1−qX

(1 )' )⋅(1−qX(2)' )⋅(1−q X

(3) ' )=1−qX

(1 )'−qX(1 )'−qX

(1 )'+qX(1)' qX

(2) '+qX(1 )' qX

(3)'+qX(2 )' qX

(3 )'−qX(1)' qX

(2)' qX(3) '

Es decir:

q X(1)+qX

(2 )+q X(3)=q X

(1) '+qX(1 )'+q X

(1) '−qX(1)' q X

(2) '−q X(1) ' q X

(3 )'−qX(2 )' qX

(3 )'+q X(1) ' qX

(2 )' qX(3 )'

= qX(1 )'−1

2q X

(1) ' qX(2 )'−1

2q X

(1) ' qX(3 )'+1

3q X

(1)' q X(2) ' qX

(3 )'

+ q X(2) '−1

2qX

(1)' q X(3) '−1

2qX

(2) ' q X(3) '+1

3qX

(1)' qX(2) ' q X

(3) '

+ q X(3) '−1

2q X

(1) ' q X(3) '−1

2q X

(2) ' q X(3 )'+1

3qX

(1)' q X(2) ' q X

(3 )'

Finalmente distribuyendo esta suma unifórmenle:

q X(1)= q X

(1) '−12

qX(1)' qX

(2) '−12

qX(1)' qX

(3) '+13

qX(1 )' qX

(2)' qX(3) '

q X(2)= q X

(2) '−12

qX(1)' q X

(3) '−12

q X(2) ' q X

(3 )'+13

qX(1)' q X

(2) ' q X(3 )'

q X(3)= q X

(3 )'−12

q X(1) ' qX

(3 )'−12

q X(2) ' qX

(3 )'+13

q X(1) ' q X

(2) ' qX(3 )'

(Tarea: Encontrar la relación entre las tasas ajustadas y observadas para 4 causas de salida del grupo)

(Tarea: construir una tabla de decrementos múltiples)

(Tarea: Encontrar una formula general de la relación entre tasas ajustadas y observadas)

AJUSTE DE LAS PROBABILIDADES DE SALIDA DEL GRUPO PARA UNA TABLA DE DECREMENTOS MULTIPLES POR MEDIO DEL MÉTODO DE LAS TASAS CENTRALES.

Usando las mismas definiciones:

l x(T )

: Número de personas vivas de edad exacta “x” sujetas a salir del grupo por cualquiera de las “m” causas de salida.

d x(k )

: Número de personas que dejan el grupo la causa “k” entre las edades x y x+1

d x(T )

: Número de personas que dejan el grupo por cualquier causa entre las edades x y x+1, es decir:

d x(T )=d x

(1 )+d x(2 )+d x

(3 )+⋯+d x(m)=∑

k=1

m

d x(k )

Por otro lado tenemos que:l x+1(T ) =lx

(T )−d x(T )

qx(k )

: Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por la causa “k”.

qx(k )=

d x(T )

l x(T )

=∑k=1

m

d x(k )

l x(T )

=d x

(1 )

l x(T )

+d x

(2)

l x(T )

+⋯+d x

(m)

lx(T )

=∑k=1

m

qx( k )

Pero ahora definiremos nuevas funciones:

d x(−k )

: Número de personas que dejan el grupo por una causa diferente de “k” entre las edades x y x+1.

¿ i≠k ¿¿¿m¿

qx(−k )

: Probabilidad de que una persona deje el grupo entre las edades x y x+1 por una causa diferente de “k”.

qx(−k )=

dx(−k )

l xT

Ahora bien recordemos que en el caso anterior, esto solo funciona en teoría, es decir, puede darse el caso de que las probabilidades de decrementos simples estén sobreestimada o subestimada, por lo que para construir una tasa de decremento simple mas apegada a la realidad se tendría que tener:

26

q ' x(k )=

d x(k )

l x(k )

Es decir, las muertes ocurridas por la causa “k” entre el total de personas expuestas a salir

del grupo solo por la causa k, pero, ¿quién es l x(k )

?. Bueno, esta se puede estimar restándole

a l x(T )

todas aquellas personas que salieron del grupo por causa distinta de “k”:

l x(k )=l x

(T )−12

d x(−k )

Nótese que a las personas que dejaron el grupo por causa diferente de “k” se multiplicaron por un medio, esto suponiendo que se da una distribución uniforme de salida del grupo en el lapso de un año.

Con esto último podemos obtener una relación entre tasas ajustadas y observadas. Es decir:

q ' x( k )=

d x(k )

l x( k )

=d x

( k )

lx(T )−1

2dx

(−k )=

dx( k )

l x(T )

lx(T )

lx(T )−

12

dx(−k )

lx(T )

=qx

(k )

1−12

qx(−k )

Por lo tanto:

q ' x( k )=

qx( k )

1− 12

qx(−k )

En donde como en el caso anterior las tasas que tienen apostrofe son las tasas observadas y las que no tienen apostrofe son las ajustadas. Ahora bien para ejemplificar lo anterior, supongamos que tenemos solo 3 causas de salida del grupo, es decir m = 3, entonces:

q ' x(1)=

qx(1)

1−12 (qx

(2 )+qx(3))

;

q ' x(2)=

qx(2)

1− 12 (qx

(1 )+qx(3))

;

q ' x(3)=

qx(3)

1− 12 (qx

(1 )+qx(2))

O dicho de otra manera si trabajamos para la causa 1:

qx(1)=q ' x

(1)(1−12 (qx

(2 )+qx(3) ))=q ' x

(1)−12

q ' x(1)qx

(2)−12

q ' x(1)qx

(3)

Finalmente:

q ' x(1)=qx

(1)+ 12

q ' x(1) qx

(2 )+12

q ' x(1)qx

(3)

Y para las otras dos causas:

q ' x(2)=qx

(2)+12

q ' x(2 )qx

(1 )+12

q ' x(2)qx

(3)

q ' x(2)=qx

(3)+12

q ' x(3 )qx

(1)+12

q ' x(3) qx

(2 )

Ahora bien hay que notar que tenemos entonces un sistema tres ecuaciones con tres incógnitas, es decir:

q ' x(1)=qx

(1)+12

q ' x(1) qx

(2 )+12

q ' x(1)qx

(3)

q ' x(2)=qx

(2)+12

q ' x(2 )qx

(1 )+12

q ' x(2)qx

(3)

q ' x(2)=qx

(3)+12

q ' x(3 )qx

(1)+12

q ' x(3) qx

(2 )

Tal ves no es claro ver el sistema de ecuaciones, por lo que hay que acomodarlo:

q ' x(1)= qx

(1 )+12

q ' x(1)qx

(2)+12

q ' x(1)q x

(3 )

q ' x(2)=1

2q ' x

(2)qx(1)+ qx

(2 )+12

q ' x(2)qx

(3)

q ' x(2)=1

2q ' x

(3)qx(1)+1

2q ' x

(3 )qx(2)+ qx

(3 )

En donde desconozco las tasas ajustadas qx(1) , qx

(2) , qx(3 )

, y todo lo demás si lo conozco por lo que solo resta resolver el sistema de ecuaciones:

27

qx(1)=| q 'x

(1 ) 12

q ' x(1 ) 1

2q ' x

(1 )¿|| q ' x(2) 1 1

2q ' x

(2 ) ¿|¿

¿¿¿¿¿

;

qx(2)=| 1 q ' x

(1 ) 12

q ' x(1 )¿||

12

q ' x(2) q ' x

(2 ) 12

q ' x(2) ¿|¿

¿¿¿¿¿

Y finalmente:

qx(3)=| 1 1

2q ' x

( 1) q ' x(1 ) ¿||

12

q ' x(2) 1 q ' x

(2) ¿|¿

¿¿¿¿¿

Faltaría solo resolver los determinantes para llegar a una formula general que relacione las tasas ajustadas y observadas de una tabla de decrementos múltiples para tres causas.

(Tarea: Encontrar la relación entre las tasas ajustadas y observadas para 4 causas de salida del grupo)

(Tarea: construir una tabla de decrementos múltiples)

(Tarea: Encontrar una formula general de la relación entre tasas ajustadas y observadas)

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