Curso de Bioestadística ANOVA Modelo I: Comparación entre medias MGA/DEO.

121212N =

TRATAMIENTO

321

CP

O30

20

10

0

13

17

Curso de Bioestadística

ANOVA Modelo I: Comparación entre mediasANOVA Modelo I: Comparación entre medias

MGA/DEOMGA/DEO



¿Cómo diferenciar entre las medias de varios tratamientos?

• Las comparaciones debieran definirse antes del experimento. Estas son planeadas o a priori.

• Podríamos hacerlas después del experimento. Éstas son conocidas como no planeadas o a posteriori.



¿Por qué es necesario distinguir entre las comparaciones planeadas y las no planeadas?

• Si comparamos las muestras que parecen muy diferentes, repetidamente obtenemos diferencias mayores que los niveles críticos. Así, rechazaríamos a menudo la hipótesis nula siendo ésta cierta.

• Ese error debe ser compensado en las comparaciones que se hacen después de inspeccionar los resultados.


ANOVA Modelo I: Comparaciones planeadas.ANOVA Modelo I: Comparaciones planeadas.

Comparaciones ortogonales. Un ejemplo.

• El experimento que compara 2 tratamientos anticaries con un grupo control ofrece posibilidades de comparación de los 2 tratamientos contra el grupo control y de los tratamientos entre sí.

No. Control Tratamiento 1 Tratamiento 21 11.1 8.1 5.72 19.5 11.3 9.43 15.2 11.9 7.44 15.8 12.6 4.85 12.1 15.0 8.46 14.3 11.3 7.37 8.2 11.5 9.88 14.2 10.9 10.49 12.9 10.5 15.5

10 11.0 11.3 10.611 14.5 12.5 15.112 13.4 8.9 5.0

Media 13.5 11.3 9.1SS 88.7 33.9 136.3

MSentre = 9.7 *12/2 = 57.938MSintra = 258.9 / 33 = 7.846



Comparaciones ortogonales. Un ejemplo.

• La tabla del anova da la información inicial: hay (o no hay) diferencias entre los grupos; existe (o no existe) un efecto de los tratamientos.

Analize-itn 36

CPO por Tratamiento n Media SD SE

1 12 13.517 2.839 0.81952 12 11.314 1.756 0.50693 12 9.123 3.520 1.0162

Fuente de variación SS GL MS F p

Tratamiento 115.879 2 57.939 7.39 0.0022Dentro de grupos 258.894 33 7.845

Total 374.773 35



Comparaciones ortogonales.

• Primero decidimos cuántas y cuáles comparaciones haremos.• El procedimiento esencialmente consiste en calcular la MS de la contrastación y, luego, obtener el valor Fs . Para ello usamos la MSerror como denominador:

error

contrastes MS

MSF




• La SScontraste se calcula:

• La sumatoria y la media de las medias son de los k grupos comparados.

• Los ni y las medias de grupo de la fórmula son las que corresponden a cada grupo del contraste.

• Los gl equivalen al número de grupos menos 1.

2k

iicontraste)( YYnSS




• Primero, calculamos la SS para el grupo de muestras que será comparadas (k grupos de cualquier tamaño ni):

•Y obtenemos la MS del contraste

2k

iitrats2_controlcontraste)( YYnSSSS

0782.8710782.87

0782.87)210.1(24)837.4(12

)318.11218.10(24)318.11517.13(12

constraste

contrastecontraste

22

contraste

SSMS

SS




• Obtenemos la Fs usando la MSerror :

• La Fs se compara con el valor de la distribución F 0.05[1,33] .

• En este caso hay una clara diferencia (el grupo control es significativamente diferente vrs los grupos tratamiento).

**0994.118453.70782.87

error

contrastes MS

MSF




• Luego, comparamos los grupos tratamiento entre sí :

• Y obtenemos la MS del contraste:

2k

ii2trat_1tratcontraste)( YYnSSSS

8029.2818029.28

803.28)199.1(12)200.1(12

)218.10123.9(12)218.10314.11(12

constraste

contrastecontraste

22

contraste

SSMS

SS




• Obtenemos la Fs usando la MSerror :

• La Fs se compara con el valor de la distribución F 0.05[1,33] .

• En este caso NO hay una clara diferencia (los grupos tratamiento no son significativamente diferentes entre sí).

NS6714.38453.78029.28

error

contrastes MS

MSF


• Observemos qué sucede cuando aplicamos comparaciones ortogonales planeadas.

• Hemos ampliado la información que da la tabla anova.






Analize-itn 36

CPO por Tratamiento n Media SD SE

1 12 13.517 2.839 0.81952 12 11.314 1.756 0.50693 12 9.123 3.520 1.0162

Fuente de variación SS GL MS F p

Tratamiento 115.879 2 57.939 7.39 0.0022Control vrs tratamientos 87.078 1 87.078 11.10 0.0021

Trat 1 vrs trat 2 28.802 1 28.802 3.67 0.0641Dentro de grupos 258.894 33 7.845

Total 374.773 35



Comparaciones ortogonales. Algunas reglas.

Hay algunas restricciones para las comparaciones ortogonales:

• El patrón y el número de las pruebas planeadas son determinados por las hipótesis sobre los datos.• Hacemos tantas comparaciones como a - 1 grados de libertad entre grupos.• Cada prueba es una relación independiente entre las medias.• Los coeficientes de comparaciones lineares suman 0 (por comparación y en la suma de cada grupo).




Hay ortogonalidad cuando los coeficientes de comparaciones lineares suman 0 (por comparación y en el producto de cada grupo).

Los coeficientes de comparación linear en el ejemplo recién calculado fueron:Comparación 1: 2 -1 -1 = 0Comparación 2: 0 +1 -1 = 0

________________

Ambas (2 x 0) + (-1 x +1) + (-1 x -1) = 0




Las comparaciones ortogonales tienen la cualidad de que la SS de los contrastes alcanzan una suma total igual a la SSentre .

De igual modo, los gl de los contrastes suman igual que los gl de los tratamientos o efectos del anova.

Comparaciones no ortogonales.

• Si interesa realizar comparaciones no ortogonales, es necesario ajustar la probabilidad del error tipo I.

• Esto es necesario para que la probabilidad de hacer uno o más errores tipo I en la serie entera de pruebas no exceda .

• Esta probabilidad es la tasa del error en el sentido del experimento = = 1 - ( 1 - ´ ) k





Comparaciones no ortogonales. Técnica de Dunn-Šidák.

• La técnica de Dunn-Šidák genera una prueba más conservadora que si usáramos simplemente cuando las pruebas individuales no son independientes.

• La técnica de Dunn-Šidák calcula un ´ = 1 - ( 1 - )1/k .




• En el ejemplo: ´ = 1 - ( 1 – 0.05 )1/2 = 0.025 , el cual sirve de criterio de demarcación. Ese valor generalmente necesita interpolación, aunque hay tablas especiales para comparar el valor calculado de la razón Fs .

• 0.025 es el ´ que corresponde a una tasa de error en el sentido del experimento = = 0.05.




El presente cuadro facilita la comprensión de las relaciones entre el número de comparaciones y los correspondientes nivel crítico de significación indicado para cada prueba ´ y tasa de error en el sentido del experimento .

# pruebas ´ 2 0.025000 0.050003 0.016952 0.050864 0.012741 0.050965 0.010206 0.051036 0.008512 0.05107



Comparaciones no ortogonales. Técnica de Bonferroni.

• La técnica de Bonferroni es más conservadora y sencilla que la de Dunn-Šidák.

• La técnica de Bonferroni calcula un ´´= / k .

• En el ejemplo: ´´ = 0.05 / 2 = 0.025, el cual sirve de criterio de demarcación. La interpolación puede ser engorrosa.

• 0.025 es el ´´ que corresponde a = 0.05



Comparaciones no ortogonales. Técnica de Bonferroni.

• Si se aplica la técnica de Bonferroni, las relaciones entre el número de comparaciones y los correspondientes nivel crítico de significación indicado para cada prueba ´ y tasa de error en el sentido del experimento resultan así:

# pruebas ´ 2 0.0250 0.050003 0.0167 0.050004 0.0125 0.050005 0.0100 0.050006 0.0083 0.05000


ANOVA Modelo I: Comparaciones no planeadas.ANOVA Modelo I: Comparaciones no planeadas.

• Recientemente se han desarrollado muchas pruebas para hacer comparaciones no planeada o a posteriori. Cuál de ellas se utilizará depende de

1. cuáles y cuántas son las hipótesis, 2. si los grupos comparados tienen igual, desigual o similar

(no igual) número de observaciones, 3. la complejidad de los cálculos y 4. la disponibilidad de tablas estadísticas especializadas y5. otros criterios.



Para hacer comparaciones no planeadas podemos aplicar la prueba t con algunas modificaciones usando las expresiones ya conocidas para grupos iguales y desiguales.

Algunas de las principales variantes técnicas se conocen como método T´, método GT2, procedimiento de Tukey-Kramer, y procedimiento escalonado de Welsch.



•El método de Scheffé y la prueba simultánea de suma de cuadrados (SS-STP) se apoyan en la información que ofrece la tabla anova.

• La prueba SS-STP utiliza el procedimiento que hemos conocido para las pruebas no planeadas.

• La lógica de SS-STP es como sigue a continuación.


ANOVA Modelo I: Comparaciones no planeadas: SS-STPANOVA Modelo I: Comparaciones no planeadas: SS-STP

• En un anova de una entrada, la implicación de un resultado significativo entre los grupos es que (1)

• Dado que (2)

error

entrenaa

MSMS

F )]1(,1[

)]1(,1[1

naaerrora

entre

error

entre FMS

SS

MSMS



• Podemos escribir la desigualdad (1)

• Como (3)

• Por lo tanto, podemos calcular un valor crítico de SS para establecer diferencias en un anova.

error

entre)]1n(a,1a[ MS

MSF

)]1(,1[1

naaerroraentre FMSSS


• Entonces, una manera de calcular la significación global es estableciendo si la SSentre es mayor que el valor crítico de SS.

• También podemos ver las contribuciones de las SS de la diferencias entre las medias muestrales con la fórmula

• Una comparación es significativa cuando

2k

iicontraste)( YYnSS

)]1(,1[1

nakerrorkcontraste FMSSS



• En esta expresión, fijamos el número de medias sobre las cuales hacemos la comparación igual al número de grupos, es decir que declaramos que k = a .

• Con esa medida aumentamos el valor crítico de SS haciendo más difícil demostrar las diferencias con base en las SS de las muestras.

)]1(,1[1

nakerrorkcontraste FMSSS




Una guía para hacer comparaciones múltiples en el anova es:Tipo decomparaciones

Número k decomparaciones

Técnica Condiciones

Planeadasortogonales

k (a-1) Descomposición ortogonal dela MS entre grupos

Planeadas noortogonales y noplaneadas

Menos que el total decontrastes apareadosk < a (a-1) / 2

Dunn-ŠidákBonferroniDunn-Šidák secuencial

Todas lascomparacionesapareadas k = k* =a (a-1) / 2

TT´GT2Tukey-KramerWelsch

Muestras igualesMuestras casi igualesMuestras desigualesMuestras desigualesMuestras iguales

Todos los contrastesposiblesk > a ( a – 1 ) / 2

Scheffé

T

GT2

Pocas comparaciones ygrupos

Muestras iguales o casiiguales

Muestras desigualesTodos los posiblesgrupos decomparacionesk >> a ( a – 1 ) / 2

SS-STP



• Hay muchas técnicas para realizar comparaciones no planeadas después de un anova.

• La mayoría adopta un criterio conservador en el sentido que usan tasas del error debido al experimento para el error tipo I.

• El nivel de significancia ’ de una prueba para un subgrupo de medias puede ser mucho menor que . .

• Es decir, estas pruebas no son muy sensibles a las diferencias de medias individuales o pequeños subgrupos de medias.

• No muchas diferencias resultarán significativas. Este es el costo de las pruebas no planeadas.

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