NUMBER SYSTEMS

NUMBER SYSTEMS1. En sistemas de computadoras y lógica digital, las señales se transmiten por medio de conductores eléctricos

individuales, así como también en cableados donde se utilizan múltiples conductores para transmitir señalesde un lugar a otro, lo que se conoce como Bus System.

2. El número de líneas individuales en una Bus depende de la normativa del Bus particular, sin importar lasseñales en las líneas individuales, sin importar como éstas líneas se utilizan ni como están organizadas,pueden existir en dos estados básicos: 0 lógico (“Low" o “Off") o 1 lógico (‘High' o ‘On').

3. Debido a esto, la información dentro de un sistema digital está representado en la forma de una secuencia de1 y 0 conocidas como Binary Data.

4. Debido que los números binarios no son muy convenientes para el uso humano, a menudo convertimosnúmeros binarios a otras formas de números que son más fáciles de reconocer y manipular.

5. Estos sistemas numéricos incluyen Hexadecimal (base 16) y Octal (base 8). Este capítulo está diseñado paraintroducir a los diferentes tipos de sistema de números, así como el proceso de conversión de un tipo a otro.

DECIMAL NUMBERS1. Los números decimales que todos estamos familiarizados, usan base 10. En este sistema, el valor de cada

dígito es 10 veces mayor que el dígito inmediatamente a su derecha.

2. El dígito más a la derecha de un número decimal entero, es el lugar de la Unidad o sea , el dígito a suizquierda es la Decena o sea , el siguiente es la Centena o sea , y así sucesivamente.

3. Los dígitos válidos en un número decimal son del 0 al 9. Las figuras 2.1 y 2.2 muestran dos ejemplos de cómoestán formados los números decimales.

DECIMAL NUMBERS1. Observemos que hemos utilizado el sufijo "10" para indicar que el número es un decimal. Así, y son

ambos números decimales o Base 10.

2. El uso de subíndices, nos ayuda a evitar la confusión acerca de que base numérica estamos tratando.

BINARY NUMBERS1. En el sistema binario (base 2), el valor de cada dígito es dos veces mayor que el dígito inmediatamente a su

derecha.

2. El dígito más a la derecha de un número entero binario es Uno, el siguiente dígito a la izquierda es Dos, elsiguiente es Cuatro, el siguiente es Ocho, y así sucesivamente.

3. Los dígitos válidos en el sistema binario son 0 y 1. La figura 2.3 muestra un ejemplo de un número binario(nótese el uso del sufijo '2' para indicar la base numérica).

BINARY NUMBERS1. Los números binarios que son equivalentes a los números decimales 0-9 se muestran en la Tabla 2.1.

2. Notemos como el Most Significant Digit (MSD) es mostrado a la izquierda y el Least Significant Digit (LSD)aparece a la derecha.

3. En la tabla, el MSD tiene un valor de (8 en decimal), mientras que el LSD tiene un valor de (1 en decimal).

4. Dado que el MSD y el LSD están representados por los dígitos binarios (ya sea 0 o 1) a menudo nos referimosa ellos como Most Significant Bit (MSB) y Least Significant Bit (LSB), respectivamente, como se muestraen la Fig. 2.4.

BINARY TO DECIMAL CONVERSION1. Para convertir un número binario a su número decimal equivalente, podemos determinar el valor de cada dígito

binario sucesivo, se multiplica por el valor de la columna (en términos de la potencia de la base) y luego añadasimplemente los valores arriba.

2. Por ejemplo, para convertir el número binario 1011, tomamos cada dígito y se multiplica por el valor binario dela posición del dígito (8, 4, 2 y 1), y se suma el resultado, como se muestra en la Fig. 2.5.

DECIMAL TO BINARY CONVERSION1. Hay dos métodos básicos para la conversión de números decimales a su equivalente en binario.

2. El primer método consiste en separar el número en una sucesión de números que son potencias de 2 y luegocolocando el dígito correspondiente (ya sea un 0 o un 1) en la posición respectiva, como se muestra en la Fig.2.6.

DECIMAL TO BINARY CONVERSION1. Le segundo método, implica la división sucesiva entre 2, conservando el residuo como un dígito binario, a

continuación, se utiliza el resultado como el próximo número a ser dividido, como se muestra en la Figura 2.7.Observe cómo se construye el número binario en orden inverso, es decir, con el último resultado como el MSBy el primer resultado como el LSB.

BINARY CODED DECIMAL1. El sistema de números binarios que hemos visto hasta ahora, se conoce más correctamente como binario

natural.

2. Otra forma de número binario comúnmente utilizado en circuitos lógicos digitales, se conoce como BinaryCoded Decimal (BCD).

3. En este sistema más simple, la conversión binaria para y desde un numero decimal, implica organizar losnúmeros binarios en grupos de cuatro dígitos binarios de derecha a izquierda, cada una de las cualescorresponde a un solo dígito decimal, como se muestra en las figuras 2.8 y 2.9.

ONE’s COMPLEMENT1. El One´s Complement de un número binario, se forma invirtiendo el valor de cada dígito del número binario

original (es decir la sustitución de 1 con 0 y 0 con 1) Así, por ejemplo, el One´s Complement del númerobinario 1010 es simplemente 0101. Del mismo modo , el complemento a uno de 01110001 es 10001110.

2. Notemos que si se suma el One´s Complement de un número al número original, el resultado será todos 1,como se muestra en la Figura 2.10.

TWO’s COMPLEMENT1. La Notación Two’s Complement, se utiliza con frecuencia para representar números negativos en

matemáticas computacionales (con sólo un código posible para cero, a diferencia del One´s Complement).

2. El Two’s Complement de un numero binario está formado por inversión de los dígitos del número binariooriginal y luego añadiendo 1 al resultado.

3. Así, por ejemplo, el Two’s Complement del número binario 1001 es 0111. Del mismo modo, el Two’sComplement de 01110001 es 10001111.

4. Cuando se utiliza la notación Two’s Complement para representar números negativos el dígito mássignificativo (MSD) es siempre un 1.

TWO’s COMPLEMENT1. Figura 2.11 muestra dos ejemplos de la forma para encontrar el Two’s Complement de un número binario.

2. En el caso de la Figura 2.11 (b), es importante notar el uso de un dígito de transporte cuando se realiza laadición binaria.

OCTAL NUMBERS1. El sistema de numeración octal, se utiliza como una forma más compacta de representar números binarios,

debido a que octal consta de ocho dígitos (0-7), un solo dígito octal puede reemplazar tres dígitos binarios.

2. Dicho de otra manera, organizando un número binario en grupos de tres dígitos binarios (bits), podemosreemplazar cada grupo por un solo dígito octal, ver Figura 2.12.

3. Notemos que, de una manera similar a los sistemas numéricos que conocimos anteriormente, el valor de cadadígito en un número octal es ocho veces mayor que el dígito inmediatamente a su derecha.

4. El dígito más a la derecha de un número octal es la unidad o sea 8 , el dígito a su izquierda es ocho o sea 8 ,la siguiente es 64 o sea 8 y así sucesivamente.

OCTAL TO DECIMAL CONVERSION1. Para convertir un número octal en un número decimal, podemos determinar el valor de cada dígito octal

sucesivo, multiplicarlo por el valor de la columna (en términos de la potencia de la base) y sume simplementelos valores.

2. Por ejemplo, el número octal 207 se convierte tomando cada dígito y luego multiplicándolo por el valor octal dela posición del dígito y sumando el resultado, como se muestra en la Figura 2.13.

DECIMAL TO OCTAL CONVERSION1. Hay dos métodos para la conversión de números decimales a octal.

2. El primer método, consiste en descomponer el número en una sucesión descendente de números en potenciasde 8 y colocando el dígito relevante (que tiene un valor entre 0 y 7) en la posición respectiva del dígito, comose muestra en la Figura 2.14.

DECIMAL TO OCTAL CONVERSION1. El otro método de conversión, consiste en la división sucesiva entre 8, reteniendo el residuo como un digito

(con un valor entre 0 y 7), utilizando el resultado como el próximo numero a ser dividido, como se muestra enla Fig. 2.15.

2. Notemos como el numero octal es construido en orden inversa, o sea que el ultimo residuo es en MSD y elprimer residuo es el LSD.

OCTAL TO BINARY CONVERSION1. Para convertir un numero octal a binario, simplemente convertimos cada digito del numero octal, a su

correspondiente valor binario de tres dígitos, como se muestra en la Fig. 2.16.

BINARY TO OCTAL CONVERSION1. Convertir un numero binario a su equivalente octal, es extremadamente fácil, en este caso simplemente

necesitamos organizar el numero binario en grupos de tres dígitos binarios de derecha a izquierda, y convertircada grupo a su numero octal equivalente, como se muestra en la Fig. 2.17.

HEXADECIMAL NUMBERS1. Aunque para las computadoras es muy cómodo trabajar

con números binarios de 8, 16 o incluso 32 dígitosbinarios, a los seres humanos les resulta incómodotrabajar con tantos dígitos a la vez.

2. El sistema de numeración hexadecimal (base 16),ofrece un método práctico aceptable tanto para losseres humanos y para las computadoras.

3. Un dígito hexadecimal puede representar cuatro dígitosbinarios, por lo tanto un número binario de 8 bits sepuede ser representado mediante dos dígitoshexadecimales. Por ejemplo, 10000011 binario es elmismo que 83 cuando se expresa en hexadecimal.

4. La correspondencia entre un digito hexadecimal (hex) ylos cuatro dígitos binarios que representa es muysencillo y fácil de aprender (ver Tabla 2.2).

HEXADECIMAL NUMBERS1. Tenga en cuenta que, en hexadecimal, los números

decimales del 10 al 15 están representadas por lasletras desde la “A” a “F” respectivamente.

2. Por otra parte, la conversión entre binario yhexadecimal es bastante directa, simplementearreglando los dígitos binarios en grupos de cuatrobits, comenzando desde el LSB.

3. La notación hexadecimal es mucho más compactaque la notación binaria y más fácil de trabajar quela notación decimal.

HEXADECIMAL TO DECIMAL CONVERSION1. Para convertir un numero hex a un numero decimal, determinamos el valor de cada digito hex y lo

multiplicamos por el valor de la columna, en términos de la potencia de la base.

2. Por ejemplo el numero hex A7 es convertido, tomando cada digito y lo multiplicamos por el valor de laposición del digito, como se muestra en la Fig. 2.18.

DECIMAL TO HEXADECIMALCONVERSION

1. Para convertir un numero decimal a su equivalentehexadecimal, podemos descomponer el numero en formadescendiente en una sucesión de números con potencia 16 yponer el digito relevante en valor entre 0 y F en su posiciónrespectiva, como se muestra en la Fig. 2.19.

2. Notemos como, en el caso del ejemplo mostrado en la Fig.2.19.b, las letras F y E, reemplazan los números decimales 15y 14 respectivamente.

HEXADECIMAL TO BINARY CONVERSION1. Para convertir un número hexadecimal en un número binario simplemente tenemos que convertir cada dígito

del número hexadecimal a su correspondiente valor binario de cuatro bits, como se muestra en la Figura 2.20.

BINARY TO HEXADECIMAL CONVERSION1. La conversión de un numero binario a hex, es extremadamente fácil, en este caso simplemente debemos

organizar el numero binario en grupos de cuatro dígitos binarios de derecha a izquierda antes de convertircada grupo a su equivalente hex, como se muestra en la Figura 2.21.