1º de bachillerato. 21 de marzo de 2018.

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS. APLICACIONES 1. El increíble problema del conejo bajo la cuerda. 2. Tipos de interés (interés bancario). 3. Dobleces de un papel. 4. Criptografía. 5’. Una pregunta abierta.

1. El increíble problema del conejo bajo la cuerda. Gráfica:

Es lineal:

A aumentos iguales en la variable independiente corresponden

aumentos iguales en la variable dependiente.

2. Tipos de interés.

¿Qué son los tipos de interés?, ¿cómo se calculan? Primero recordemos cómo se calculan porcentajes.

El 25% de 𝐶 es

𝐶

100· 25 =

𝐶 · 25

100= 0,25𝐶

Si aumentamos 𝐶 un 7%, ¿cuál es el resultado?

𝐶 + 0,07𝐶 = (1 + 0,07)𝐶 = 1,07𝐶

2. Tipos de interés.

¿Qué son los tipos de interés?, ¿cómo se calculan? Veamos ahora cómo se calculan los intereses bancarios. Supongamos que depositamos una cantidad de 2000€ en un banco a un tipo de interés del 3%. ¿Cuánto tendremos al cabo de 5 años? 𝐶0 = 2000€

𝑟 = 3%

𝑡 = 5 años.

2. Tipos de interés. 𝐶0 = 2000€ ¿𝐶5? 𝑟 = 3% 𝑡 = 5 años.

Al cabo de un año: 𝐶1 = 1,03 · 𝐶0 Al cabo de dos años: 𝐶2 = 1,03 · 𝐶1 = 1,03 · 1,03 · 𝐶0 = 1,03

2 · 𝐶0 Al cabo de tres años: 𝐶3 = 1,03 · 𝐶2 = 1,03 · 1,03

2 · 𝐶0 = 1,033 · 𝐶0

Al cabo de 4 años: 𝐶4 = 1,03 · 𝐶3 = 1,03 · 1,033 · 𝐶0 = 1,03

4 · 𝐶0

Al cabo de 5 años: 𝐶5 = 1,03 · 𝐶3 = 1,03 · 1,035 · 𝐶0 = 1,03

5 · 𝐶0

𝐶5 = 1,035 · 𝐶0 = 1,03

5 · 2000 ≃ 𝟐𝟑𝟏𝟖, 𝟓𝟓€

2. Tipos de interés. Hemos visto cómo se calcula el interés compuesto anualmente:

Capital inicial: 𝐶0 Tipo de interés: 𝑟% Tiempo: 𝑡 años.

𝑪𝒇 = 𝑪𝟎 · (𝟏 +𝒓

𝟏𝟎𝟎)𝒕

2. Tipos de interés. ¿qué pasa si cada mes retiramos el dinero y lo volvemos a invertir? Al mes tendremos:

𝐶𝑚1 = 𝐶0 (1 +𝑟/12

100) = 𝐶0 (1 +

𝑟

1200)

2. Tipos de interés. Con los datos anteriores:

𝐶𝑚1 = 2000 (1 +3

1200) ≃ 2005€

Al año:

𝐶𝑚12 = 2000 (1 +3

1200)12

≃ 2060,83€

A los 5 años:

𝐶𝑚60 = 2000 (1 +3

1200)5·12

≃ 2323,23€

2. Tipos de interés. ¿qué pasa si cada día retiramos el dinero y lo volvemos a invertir?

𝐶𝑑1 = 𝐶0 (1 +𝑟/365

100) = 𝐶0 (1 +

𝑟

36500)

Al año:

𝐶𝑑365 = 2000 (1 +3

36500)365

≃ 2060,91€

A los 5 años:

𝐶𝑚60 = 2000 (1 +3

36500)5·365

≃ 2323,65€

2. Tipos de interés. ¿y qué pasaría si retiráramos el dinero cada hora para volverlo a invertir?, ¿y cada minuto?, ¿y cada segundo?,...

¿nuestro dinero aumentaría indefinidamente? A los 5 años tendríamos:

𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = lim𝑛→∞

𝐶0 (1 +𝑟/𝑛

100)5𝑛

= 𝐶0 lim𝑛→∞

(1 +1

100𝑛/𝑟)5𝑛

=

= 𝐶0 lim𝑛→∞

[(1 +1

100𝑛/𝑟)100𝑛/𝑟

]

5𝑟/100

= 𝐶0 · 𝑒5𝑟100

2. Tipos de interés. Para 𝐶0 = 2000€:

𝐶𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 2000 · 𝑒3·5100 = 2323,67€

En general:

𝑪𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑪𝟎 · 𝒆𝒓𝟏𝟎𝟎

𝒕

Tipo de interés compuesto continuo. (se utiliza, por simplicidad, en modelos de matemática financiera)

2’. Dinámica de Poblaciones.

La dinámica de poblaciones estudia el crecimiento o decrecimiento de una o varias especies.

Un argumento similar al desarrollado para los tipos de interés lleva al modelo poblacional más simple, denominado modelo de Malthus.

𝑵𝒕 = 𝑵𝟎𝒆𝒌𝒕

𝑁𝑡 es el número de individuos en el instante 𝑡. 𝑁0 es el número inicial de individuos. 𝑘 es una constante a determinar en cada caso.

2’. Dinámica de Poblaciones.

El modelo de Malthus es un modelo demasiado simplificado de la realidad, porque no tiene en cuenta que el crecimiento de una población depende también de los recursos de que dispone ésta. De hecho, Malthus conjeturó que la población humana se extinguiría rápidamente, pues según su modelo crece de manera geométrica/exponencial, mientras que el alimento crece de manera lineal. Aún así, es útil muchos casos. Por ejemplo: -En el crecimiento de la población una colonia de bacterias. -En la desintegración radioactiva (en este caso 𝑘 < 0, pues se trata de un decrecimiento). …

3. Dobleces de un papel. ¿Cuántas veces podemos doblar una hoja de papel? Largo: 29.7 cm

Ancho: 21 cm Grosor: 0.01 cm (aproximadamente)

¿Cuándo no podremos doblar más el folio?

3. Dobleces de un papel. ¿Cuántas veces podemos doblar una hoja de papel?

Dobleces: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Largo 29.7 21 14.85 10.5 7.43 5.25 3.71 2.63 1.86 Ancho 21 14.85 10.5 7.43 5.25 3.71 2.63 1.86 1.32 Grosor 0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64 1.28 2.56

En la práctica se comprueba que son 7 veces.

3. Dobleces de un papel. Si pudiéramos doblarlo indefinidamente, ¿qué grosor se alcanzaría…? 10 veces: 10.24 cm. 14 veces: 163.84 cm. 27 veces: 1342177.28 cm. … Es una progresión geométrica: tiene crecimiento exponencial.

51 veces: 2.25 · 1013 cm. = 225 · 106 km (la distancia de la tierra al Sol es de 150 · 106 km, aprox.)

4. CRIPTOGRAFÍA. El objetivo de la criptografía es hacer que un mensaje sea ilegible para un espía que lo haya podido interceptar.

Tradicionalmente se ha usado con fines bélicos, económicos, políticos,… También es importante para la seguridad en Internet.

4. CRIPTOGRAFÍA. Conceptos básicos.

Criptosistema: Es cada conjunto de “formas de cifrar”. Clave: Es, dentro de cada criptosistema, una especificación concreta. Se asume que el criptosistema que se va a utilizar es conocido por el espía. Se

trata entonces de ocultar la clave.

4. CRIPTOGRAFÍA. Preparación. Antes de cifrar un mensaje vamos a codificarlo, de manera que podamos trabajar numéricamente con él.

A 00 F 05 K 10 O 15 T 20 Y 25 B 01 G 06 L 11 P 16 U 21 Z 26 C 02 H 07 M 12 Q 17 V 22 D 03 I 08 N 13 R 18 W 23 E 04 J 09 Ñ 14 S 19 X 24

(realmente deberíamos incluir también el espacio en blanco)

Por ej.: ALONSO FERNÁNDEZ GALIÁN =

= 00.11.15.13.19.15.__05.04.18.13.00.13.03.04.26.__06.00.11.08.00.13.

4. CRIPTOGRAFÍA. Preparación. ASCII Carácter Código ASCII (binario) Decimal

espacio 00100000 1 · 25 = 32

! 00100001 1 · 25 + 1 · 20 = 33

1 00110001 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 20 = 49

A 01000001 1 · 26 + 1 · 20 = 65

Z 01011010 1 · 26 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 21 = 90

a 01100001 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 20 = 97 …

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César. Criptosistema: desplazar el abecedario. Clave: El número concreto de posiciones que desplazamos (27 claves) Por ejemplo, si 𝑐𝑙𝑎𝑣𝑒 = 3, Sin cifrar: A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-K-L-M-N-Ñ-O-P-Q-R-S-T-U-V-W-X-Y-Z. Cifrado: D-E-F-G-H-I-J-K-L-M-N-Ñ-O-P-Q-R-S-T-U-V-W-X-Y-Z-A-B-C. Numéricamente: Cada letra 𝐿 se cifra como 𝐿 + 3.

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César. Trabajamos módulo 27. (aritmética del reloj: es como trabajar en un reloj con 27 posiciones) 26 + 1 = 27 ≡ 0 Es una aritmética “rara”: 26 + 2 = 28 ≡ 1 26 + 3 = 29 ≡ 2 19 + 16 = 35 ≡ 8 26 + 4 = 30 ≡ 3 9 · 3 = 27 ≡ 0

…

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César. ¿Cómo se codifica “ALONSO FERNÁNDEZ GALIÁN” con 𝑐𝑙𝑎𝑣𝑒 = 3? 00.10.14.12.18.14.__05.04.18.13.00.13.03.04.26.__06.00.11.08.00.13.

↓ (+3) 03.13.17.15.21.17.__08.07.21.16.03.16.06.07.02.__09.03.14.11.03.16. (realmente, sería 031317152117_080721160316060702_090314110316)

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César: Descifrando el mensaje Una vez que el receptor ha recibido el mensaje debe descifrarlo.

𝑀 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑟 → 𝑀′

𝑀′𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑟→ 𝑀

En nuestro ejemplo: Cifrar: 𝑀′ = 𝑀 + 3 Descifrar: 𝑀 = 𝑀′ − 3

(el receptor debe conocer la clave)

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César: Rompiendo la clave Si un espía intercepta el menaje, ¿cómo puede hacer para descifrarlo?

Le basta con saber cómo se ha cifrado una letra Puede hacer un análisis de frecuencias:

E 13,68% A 12,53% O 8,68% S 7,98% …

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César: Rompiendo la clave Ejemplo: Supongamos que hemos interceptado el mensaje:

BFSOX_CSO_OV_FVESWA_OD_OV_BFO_ASOXDL_WLD_ÑODALNSZ La letra que más aparece es la O (aprox. 19%) Seguramente: 𝐸 → 𝑂 ó 𝐴 → 𝑂.

(con números: 04+11→ 15 ó 00

+15→ 15).

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César: Rompiendo la clave

BFSOX_CSO_OV_FVESWA_OD_OV_BFO_ASOXDL_WLD_ÑODALNSZ Probamos primero con 𝐸 → 𝑂 (que, además, “encaja bien” con las palabras) Sin cifrar/cifrado:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

QUIEN_RÍE_EL_ÚLTIMO_ES_EL_QUE_PIENSA_MÁS_DESPACIO (curiosamente, la segunda letra más frecuente en este texto es la I)

4. CRIPTOGRAFÍA. El criptosistema de César: Rompiendo la clave Ejercicio: Descifra el siguiente mensaje cifrado mediante una clave de César. WM__XMFPXMFTÑM__PE__WM__DPTYM__OP__WME__ÑTPYÑTME__K__

__WM__FPADTM__OP__YGXPDAE__PE__WM__DPTYM__OP__WME__

__XMFPXMFTÑM.

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos El criptosistema de César tiene muy pocas claves: basta ir probando. Veamos algunos otros criptosistemas.

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos El criptosistema afín: 𝑀′ = 𝑎𝑀 + 𝑏 (módulo 27) Por ejemplo, tomando 𝑎 = 4 y 𝑏 = 10, 03 ↦ 4 · 03 + 10 = 22. Es decir, 𝐷 ↦ 𝑊. 06 ↦ 4 · 06 + 10 = 34 ≡ 07. Es decir, 𝑍 ↦ 𝐸. 15 ↦ 4 · 15 + 10 = 70 ≡ 16. Es decir, 𝑂 ↦ 𝑃.

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos El criptosistema afín: 𝑀′ = 𝑎𝑀 + 𝑏 (módulo 27) Descifrando el mensaje:

𝑀 = 𝑎−1(𝑀′ − 𝑏) 𝑎−1 es el inverso de 𝑎: el número que multiplicado por 𝑎 da 1…

¡Pero módulo 27!

En el ejemplo, el inverso de 𝑎 = 4 es 𝑎−1 = 7. Veamos:

𝑎 · 𝑎−1 = 4 · 7 = 28 ≡ 1

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos: El criptosistema afín Descifrando el mensaje: 𝑀 = 𝑎−1(𝑀′ − 𝑏) 𝑎 = 4, 𝑏 = 10 𝑀 = 7(𝑀′ − 10)

Si por ejemplo recibimos 𝐷𝑍𝑃 (numéricamente 03.26.16.) 03 ↦ 7 · (03 − 10) = −49 ≡ 05 (mod. 27) 𝐷 ↦ 𝐹 26 ↦ 7 · (26 − 10) = 112 ≡ 04 (mod. 27) 𝑍 ↦ 𝐸 16 ↦ 7 · (16 − 10) = 42 ≡ 15 (mod. 27) 𝑃 ↦ 𝑂

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos: El criptosistema afín ¿Cuántas claves hay?

18 · 27 = 486 ¿Qué debe hacer un espía para romper la clave? Necesita conocer dos incógnitas (𝑎 y 𝑏): necesita conocer dos letras.

{𝑀′ = 𝑎𝑀 + 𝑏𝑁′ = 𝑎𝑁 + 𝑏

(como trabajamos módulo 27, resolver el sistema puede ser un poco más delicado, y podemos necesitar alguna letra más).

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos El criptosistema de Vigenère A partir de una palabra clave, por ej. BESO (4 letras), hacemos:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

La B Z A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y

La E W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V

La S I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H

La O M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L Ahora dividimos el mensaje en grupos de 4 letras (porque nuestra palabra tiene 4 letras) y codificamos la primera con el primero, la segunda con el segundo,…

4. CRIPTOGRAFÍA. Otros criptosistemas clásicos: Vigenère

A T A C | A R E M | O S M A | Ñ A N A Z Z Ñ N P Ñ O W I M T U Ñ X M M ATACAREMOS MAÑANA ZPIÑZÑMXÑO TMNWUM -Observemos que una misma letra (p.ej. la A) se ha encriptado de maneras diferentes. -Recíprocamente, una misma letra (p.ej. la Ñ), codifica distintas letras. -Es como tener 4 claves de César… pero con el 4 variable. -Se tardó más de dos siglos en encontrarse un método de ataque.

4. CRIPTOGRAFÍA. Criptografía de clave pública Los criptosistemas clásicos tienen dos problemas fundamentales: -El problema del intercambio de la clave. (la clave cambiarse con frecuencia). (si se rompe la clave, hay que enviar una nueva por otro medio). -La comunicación de un grupo grande de usuarios. (se requerirían muchísimas claves) (un nuevo usuario tendría que crear 𝑛 claves) (además, deberían intercambiarse estas nuevas claves).

4. CRIPTOGRAFÍA. Criptografía de clave pública -Otros tipos de criptosistemas son los de clave pública, o asimétricos. -La clave para cifrar no es la misma que la que se usa para descifrar. -Clave pública: -Cualquier usuario de una red puede enviarme un mensaje. -Sólo yo tengo la clave para descifrarla.

𝑀𝑓𝑐→𝑀′ ≠ 𝑀′

𝑓𝑑→ 𝑀

El criptosistema de clave pública más popular es el RSA.

4. CRIPTOGRAFÍA. Criptografía de clave pública: El RSA

Generación de claves: A partir de dos primos grandes 𝑝 y 𝑞 (que permanecerán ocultos) un usuario calcula 𝑛 = 𝑝𝑞.

- Después publica 𝑛 junto con una “función de cifrar” 𝑓𝑐.

Clave pública: (𝑛, 𝑓𝑐) - Guarda oculta la “función de descifrar” 𝑓𝑑.

Clave privada: 𝑓𝑑

Nota: Se utilizan números primos de unas 200 cifras.

4. CRIPTOGRAFÍA. Criptografía de clave pública: El RSA

Envío de mensajes: Para enviarle un mensaje hay que aplicar cierta función de cifrar:

𝑀 → 𝑓𝑐(𝑀) 𝑚𝑜𝑑. 𝑛

Romper la clave: Un espía tendría conocer la función de descifrar, pero esta función no se puede calcular si no se conocen 𝑝 y 𝑞. ¡Y factorizar es muy, muy difícil!

299 = …

1829 = …

4. CRIPTOGRAFÍA. Criptografía de clave pública: El RSA Notas: -Naturalmente ha de ser 𝑓𝑑 = 𝑓𝑒

−1, pero tal que sea “imposible” de encontrar en la práctica. Funciones así pueden encontrarse trabajando en aritmética modular. -La útil de este sistema depende de la velocidad de los ordenadores. Es posible que pronto deje de ser utilizable.

FIN…

5. Una pregunta abierta…

¿A qué distancia está el horizonte?