Cuestiones irrenunciables para la formación matemática del ... · Bueno hoy veremos raíces de...

MABEL RODRÍGUEZ

Si, más allá de nuestra formación inicial, enseñamos Matemática, compartimos desafíos Cómo gestionar la diversidad de saberes disponibles,

los tiempos de aprendizaje, desarrollo de competencias, cambios curriculares…

Decidir si hay que considerar, en nuestra propuesta, la carrera de nuestros estudiantes y, de ser así, cómo (hacemos lo mismo si enseñamos a futuros ingenieros, contadores, profesores…)

Qué usos de las TIC promover, cuándo, para qué…

…

TODAS ESAS TAREAS REQUIEREN

¿TENEMOS HERRAMIENTAS PARA HACER ESTO?

TOMAR DECISIONES – IMPLEMENTARLAS

EVALUAR

MODIFICAR– NUEVAS DECISIONES

TOMAR DECISIONES – IMPLEMENTARLAS

EVALUAR

MODIFICAR– NUEVAS DECISIONES

Si enseñamos a futuros profesores, más complejo aún En primer lugar: tal vez sepamos cómo lograr que

otros aprendan Matemática, pero ¿sabemos cómo formar a alguien para que éste logre que otros aprendan Matemática?

¿Y si no enseñamos Matemática? y enseñamos Educación Matemática, Prácticas Docentes… ¿qué tenemos en cuenta, ¿dónde se aprende a ser docente de estos espacios?, ¿debería ser parte de la formación del profesor?...

Si enseñamos a futuros profesores, más complejo aún “¿Debo considerar la carrera de nuestros estudiantes cuando

enseño Matemática?”. Si me respondo que sí, ¿qué cuestiones tendría en cuenta para enseñar Matemática en la formación inicial de un futuro profesor?

¿Qué cuestiones tendría en cuenta en la formación inicial y en qué espacios disciplinares, para que el futuro profesor tenga herramientas para adaptar su enseñanza en función de la carrera de sus estudiantes cuando él enseñe Matemática a nivel superior?

¿QUÉ HACEMOS EN LA FORMACIÓN INICIAL PARA QUE EL FUTURO PROFESOR TENGA HERRAMIENTAS PARA

ABORDAR LO ANTERIOR… ¡Y MÁS…!?

Foco en la formación matemática inicial

Foco en la formación didáctica inicial: en particular en lo referido al uso de TIC

ALGUNOS AVANCES PROBLEMAS QUE DIERON INICIO

ALGUNAS DEUDAS IDEAS

Formación de profesores

Materias de Educación

Matemática

ENSEÑANZA

DE LA MATEMÁTICA 1

ENSEÑANZA

DE LA MATEMÁTICA 2

RESIDENCIA

- Análisis / fundam.

- Elementos de E.M.

- Análisis de actividades / consignas de autoría ajena y mejora.

- un cuatrimestre

- Diseño propio de actividades.

- Planificación de clases, tema, etc.

- Diseño evaluaciones.

- Fundamentación.

- un cuatrimestre

Las materias

Muchas veces se escucha “no es lo mismo dar clase de Matemática para un futuro docente que para…(un ingeniero, un matemático, etc…)” pero, ¿en qué se diferencia una clase de otra?

Descontemos que estamos ante “buenas clases de Matemática”

Si entramos a una buena clase de Matemática, ¿podríamos darnos cuenta que es para futuros profesores?, ¿en qué?

TRABAJAMOS EN MATERIAS DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

¿CÓMO LLEGAMOS A PENSAR ALGO DE ESTO?

Problemática:

dificultades para resolver consignas de nivel secundario dificultades para interpretar textos de nivel superior (y

secundario) variedad de ejemplos (sostenidos año tras año /

independiente del contenido matemático) Agravado por: los contenidos de nivel secundario no son

parte de los planes

Primeras acciones: en las asignaturas de DM Un problema de investigación (tesis de maestría de

Paula Leonian, dirigida por Patricia Barreiro. Años 2016-2017)

Estado del Arte y Marco teórico: tras un recorrido extenso, diseñamos indicadores que permitan describir el conocimiento matemático en estudiantes avanzados del profesorado

Objetivo: describir el conocimiento matemático de estudiantes avanzados del profesorado

Aspectos metodológicos: diseño de un dispositivo: trabajos prácticos / individuales / domiciliarios / contenidos: expresiones algebraicas, ecuaciones cuadráticas, concavidad y análisis de positividad en funciones polinómicas / cubre los indicadores.

20 estudiantes

INDICADORES: DESCRIPCION

Ante produc-ciones ajenas

I.1. Definiciones, reglas, propiedades, demostraciones, teoremas, libros…

Reproducir Explicar Reflexionar

I.2. Lenguaje matemático (natural y simbólico), convenciones, notaciones

Reproducir Explicar Reflexionar

En produc-ciones

propias

I.3. Resolución de una actividad “simple” Usar Explicar Reflexionar

I.4. Resolución de una tarea intelectualmente exigente (problema, demostración, modelización, etc…)

Usar Explicar Reflexionar

Conocimiento del contenido matemático


An

te p

rod

ucc

ion

es a

jen

as I.1. DEFINICIONES,

REGLAS, PROPIEDADES,

DEMOSTRACIONES, TEOREMAS, ESCRITOS EN

LIBROS…

Reproducir Explicar (el concepto, propiedad,…) mostrando comprensión Reflexionar sobre las definiciones/propiedades/teorema… (qué características debe cumplir “una definición”/por qué la demostración prueba el enunciado …

I.2. LENGUAJE MATEMÁTICO (NATURAL Y SIMBÓLICO),

CONVENCIONES, NOTACIONES

Reproducir Explicar el uso del lenguaje Reflexionar sobre el uso del lenguaje (desde la rigurosidad de la comunidad matemática hasta contextos informales), notaciones, convenciones y su arbitrariedad…

Conocimiento del contenido matemático


En p

rod

ucc

ion

es p

rop

ias

I.3. RESOLUCIÓN

DE UNA ACTIVIDAD “SIMPLE”

Usar (Lenguajes, propiedades, procedimientos, etc.) Explicar (resolución, las propiedades,…) Reflexionar (por qué se puede “aplicar una propiedad usada”, utilidad de métodos empleados y la pertinencia –o no- de aplicarlos en diferentes contextos, la interpretación de lo hallado para dar la respuesta, la necesidad de responder a lo pedido…)

I.4. RESOLUCIÓN

DE UNA TAREA INTELECTUALME

NTE EXIGENTE (PROBLEMA,

DEMOSTRACIÓN, MODELIZACIÓN,

ETC…)

Usar (lenguaje matemático, operaciones, propiedades, procedimientos, buscar información, proponer una demostración, dar contraejemplos, etc.) Explicar (resolución, las propiedades,…) Reflexionar (heurísticas puestas en juego, si lo hecho responde a lo pedido, si se simplificó el enunciado para poder abordarlo, que las demostraciones requieren una sucesión coherente de pasos que deben estar bien fundamentados, que pueden o no llevar a concluir la demostración, formas de encarar demostraciones matemáticas: vía directa, método por reducción al absurdo y el contrarrecíproco

I.1 (Definiciones, reglas…: reproducir/explicar/reflexionar) - Definiciones o propiedades (que creen que saben): desde lo que

recuerdan. Provoca muchos errores. Incluyen ejemplos como parte de ellas, relatan, imprecisas

- Demostraciones (que saben que desconocen): copia textual. Sin explicación. A lo sumo “lectura textual”

Definición de fórmula resolvente: Toda ecuación cuadrática expresada de manera canónica, es decir: en donde a, b y c son números reales.

Tiene dos, una o 0 raíces reales. Para hallar las raíces de las ecuaciones cuadráticas expresadas de manera canónica se utiliza la fórmula de la resolvente, la cual es:

Con esta fórmula podemos averiguar cuáles serán las raíces de nuestra ecuación.

Ahora para saber si nuestra ecuación tiene una, dos o ninguna raíz, vemos el valor del discriminante. El discriminante es lo que tenemos dentro de la raíz de la fórmula de la resolvente, es decir. Si este valor nos da 0, quiere decir que nuestra ecuación tiene una sola raíz, si el valor que nos da es negativo, la ecuación no tiene raíces, y si el valor es positivo la ecuación tiene dos raíces

- Explicaciones: no muestran comprensión, intentan presentar el tema a un interlocutor que lo desconozca.

- Se ve en traducciones literales, conservan errores - Se ven “otras cosas”, no la explicación de lo escrito

Bueno hoy veremos raíces de funciones cuadráticas expresadas de manera

canónica, es decir, como: a por x al cuadrado más b por x más c, donde a, b y c son números reales que siempre los van a tener, por ejemplo, si tenemos dos por x al cuadrado más cinco x menos seis. Acá nuestros a, b, c serán dos, cinco y menos seis. Para hallar las raíces de esta ecuación o cualquier ecuación cuadrática escrita de esta manera vamos a usar una fórmula, la fórmula de la resolvente, esta fórmula es la que está en el pizarrón. Usando esta fórmula pueden hallar las raíces de una ecuación cuadrática, si volvemos a nuestro ejemplo deberíamos reemplazar las letras a, b, c que aparecen en la formula por los a, b, c de nuestro ejemplo, o sea por dos, cinco y menos seis. Pero si en vez de querer saber cuáles son las raíces de una ecuación cuadrática quisiéramos solo saber si la ecuación tiene una, dos o 0 raíces. Lo que usamos es el discriminante de la fórmula, miremos, si reemplazamos nuestros datos en el discriminante nos da que cinco al cuadrado es veinticinco menos cuatro por dos por menos seis nos queda veinticinco más cuarenta y ocho que es setenta y tres y este número es positivo por lo tanto ya sabemos, usando el discriminante, que la ecuación va a tener dos raíces.

I.2 (Lenguaje matemático, convenciones…: reproducir/explicar/reflexionar)

- Definiciones: lenguaje natural vs. Demostraciones: lenguaje simbólico

- Resuelven en lenguaje simbólico y al explicar “leen los símbolos”

- No hay reflexión sobre por qué los símbolos expresan una idea

I.3 (Resolución de una consigna simple: usar/explicar/reflexionar)

- Resuelven en lenguaje simbólico

- No cotejan condiciones para aplicar resultados

- Explican “leyendo” o relatando su resolución

I.4 (Resolución de una consigna exigente: usar/explicar/reflexionar)

- No logran resolver

- No comprenden el enunciado y no lo advierten

- Encontramos casos en los que “la resolución” presentada es “la explicación del enunciado”

- Ante demostraciones por realizar, dan ejemplos

- La explicación no es lograda pues no resuelven

LA REFLEXIÓN NO ES LOGRADA EN NINGUNO DE LOS CUATRO INDICADORES

- Una licencia…

- Materia de matemática avanzada: Análisis Matemático

- Conocimientos previos de cálculo en una y varias variables

- Muchos alumnos de la materia de DM

Diseñarla con los indicadores como “ejes” y objetivos

Se espera que el alumno: • Reproduzca conocimiento matemático existente utilizando

adecuadamente lenguaje matemático. • Explique, dirigiéndose a un par experto, los conocimientos matemáticos

con los que trabaja, mostrando su comprensión • Reflexione sobre los objetos matemáticos, las condiciones de aplicación

de teoremas, el uso de los símbolos para expresar ideas, etc. • Utilice conocimiento matemático para resolver consignas simples • Demuestre resultados utilizando contenidos del Análisis • Interprete textos matemáticos sobre contenidos nuevos • Produzca un texto matemático que incluya aclaraciones, explicaciones y

una reorganización personal sobre un texto interpretado • Modelice situaciones utilizando contenidos del Análisis

Contenidos en bloques

- Números reales y sucesiones

- Funciones (límite, derivada, aproximaciones por polinomios)

- Integración

- Generalización de nociones a otros espacios

Eje 1: recuperación y explicación de definiciones, propiedades, demostraciones (hechas por otros)

Eje 2: resolución y explicación de consignas simples (que cada estudiante hace)

Eje 3: resolución (intentos) de consignas complejas (demostraciones y modelización matemática)

Ejes transversales: • uso del lenguaje simbólico (al escribir) y el uso del lenguaje natural (al

explicar) en el trabajo sobre los ejes anteriores y en la explicación del uso del lenguaje simbólico (es decir, poder explicar por qué los símbolos representan lo que el estudiante está explicando)

• reflexión sobre lo que cada eje requiere (identificar qué se necesita para tener una definición correctamente presentada, su diferencia con la explicación del concepto, verificación de factibilidad de aplicación de resultados, necesidad de las hipótesis en los teoremas, construcción de contraejemplos para justificar conjeturas falsas, etc.)

• Un portfolio (con todas las consignas que son dadas de tarea o resueltas en clase y entregadas)

• Dos momentos de defensa presencial e individual del portfolio

• Un trabajo domiciliario individual sobre la interpretación de un texto sobre tema nuevo

• **Un trabajo domiciliario grupal de modelización de una situación

• Actividades para trabajar cada eje

• No hay “guía de trabajos prácticos”

• Hay tareas clase a clase / corrección (en clase o personalizada) y reescrituras

• Ejemplos (al final, si hay tiempo, si quieren…)

Alta producción de estudiantes

Mejoras progresivas tras muchas idas y vueltas

Sorpresa al reconocer que no entendían

Valoración de la propuesta

Sobre los docentes

Sobre la convivencia de esta cursada con otras

Problemática:

Modelo 1 a 1 – cambios en las materias de DM.

¿Cómo concebir, en el Profesorado, una formación que permita que el futuro docente diseñe (y luego gestione) clases de Matemática en las que los estudiantes hagan un uso pertinente y significativo de TIC?

Un problema de investigación (tesis de maestría de Patricia Barreiro. Años: 2013-2015)

Estado del Arte y Marco Teórico: tras un recorrido extenso, adaptamos –entre otros elementos- fases de integración de TIC de docentes formados a formación inicial de docentes

Objetivo: identificar obstáculos y facilitadores del paso de una fase a otra

Aspectos metodológicos: diseñamos dispositivos / evaluamos producción de estudiantes / propusimos las fases en las que se encuentran al inicio de EM 1 y al final de EM 2, seleccionamos dos muestras /entrevistamos

Del orden de 35 estudiantes

Fases de Integración –

Sandholtz- (docentes)

Aprenden su uso reproducen actividades tradicionales con TIC

F1

ACCESO

Aprende y comienza a

usar TIC

Selecciona o diseña, y

considera apropiadas,

tareas tradicionales que

presentan uso de TIC

FDI-1

ACCESO

Adaptación Fases de Integración

(formación de docentes)



Preocupación por integrar TIC dentro de sus programas

F2

ADOPCION

“Tengo que usar TIC”

Cumple FDI-1

Preocupación por

integrar TIC en sus

planificaciones

FDI-2

ADOPCION





Énfasis en el aumento de productividad del alumno Lo mismo que antes, pero más eficiente

F3

ADAPTACION

“Productividad-motivación”

Cumple FDI-2

Selecciona o diseña, y

considera apropiadas, tareas

con TIC que aumentan la

productividad del alumno o

considera que lo “motivan”

FDI-3

ADAPTACION





Incorporan las TIC en grado y momento oportuno Son tomadas como una herramienta más

F4

APROPIACION

“Significatividad de uso de TIC para

aprender Matemática”

Cumple FDI-3

Selecciona y diseña, y

considera apropiadas, tareas

con TIC en el momento

oportuno y grado necesario

FDI-4

APROPIACION





Descubren nuevas aplicaciones de las TIC Experimentan nuevos patrones de enseñanza

F5

INVENCION

“Creatividad y significatividad”

Cumple FDI-4

diseña, y considera

apropiadas, secuencias que

utilizan nuevas aplicaciones

de las TIC

FDI-5

INVENCION



Al finalizar EM1 mayoritariamente se

encontraban en la fase intermedia, ningún

alumno está en la 1º fase

Es posible lograr cambios de fases en un año

Logramos que estudiantes alcancen la última

fase, iniciando sin conocer software

No conocer software no impide transición entre

fases (no enseñamos ningún soft)

Los estudiantes que mayor salto dieron

tenían una visión macro de la secuencia que

debían diseñar (no empezar por actividades ni

clases)

Aparece una gestación conjunta de lo

matemático y TIC (última fase), a partir de

explorar lo matemático con distintos soft.

Es clave lograr conciencia del progreso

Un obstáculo: no darse cuenta de lo que

están haciendo mal Caminos que no son útiles:

seleccionar actividades y ver cómo hacer

intervenir las TIC

Partir de consignas extramatemáticas,

excepto de modelización

Foco en la formación matemática inicial

Foco en la formación didáctica inicial: en particular en lo referido al uso de TIC

ALGUNOS AVANCES PROBLEMAS QUE DIERON INICIO

ALGUNAS DEUDAS IDEAS

Mejorar las propuestas de formación matemática Analizar si es posible incluir en la formación inicial

formación/reflexión/…. para “otros roles” que un profesor tendrá, más allá de enseñar Matemática (2017: Curso de posgrado virtual, fuera de la formación inicial)

Mejorar las propuestas de formación de profesores para que consideren específicamente las carreras de sus estudiantes a nivel superior

…

PROFESOR – FUTURO

PROFESOR – PROFESIONAL

SECUNDARIA o NIVEL SUPERIOR

Posicionamiento-Metas

Reflexión-metacognición

Secundaria Superior

2

PROFESORES DE OTRAS MATERIAS



Programa ción

Instru mentos

En la

UNIV/IFD

5

CAPACITADORES DE DOCENTES

(¿profes de mate?)



Programa ción

Instru mentos

Virtual/ Presencial

8

QUIEN ENSEÑE MATEMATICA

Programa ción

Instru mentos

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