Cuestiones de Analisis de Varias Variables

CUESTIONES DE ANALISISDE VARIAS VARIABLES

Oscar Blasco

Contents

1 Espacio euclideo 51.1 Norma y producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Distancia y topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Sucesiones y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Calculo diferencial 112.1 Continuidad y continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Derivadas parciales, direccionales y diferenciabilidad. . . . . . 132.3 Teoremas clave de calculo diferencial. . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Extremos en varias variables 233.1 Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 233.2 Teoremas de la funcion inversa e implicita. . . . . . . . . . . . 263.3 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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Chapter 1

Espacio euclideo

1.1 Norma y producto escalar

Denition 1.1.1 Sean x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) con xi, yi R,A Rn denimos

x, y =ni=1

xiyi,

x =x21 + ...+ x

2n,

Si x, y Rn son no nulos, se dicen ortogonales ( x y) si x, y = 0.Se denen las bolas unidad abierta (respect. cerrada) y la esfera unidad

del espacio como

B1 = {x Rn : x < 1}(respect.B1 = {x Rn : x 1} ),

S1 = {x Rn : x = 1}.Se dene el angulo Ang(x, y) = como el valor [0, 2) tal que

cos() =x, yxy

Exercise 1.1.1 Probar que si x, y Rn(1) x max{x+ y, x y}.(2) Si x y entonces z2 + z x y2 = z x2 + z y2.

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6 Chapter 1. Espacio euclideo

Exercise 1.1.2 Calcular el angulo entre x, y Rn(1) x = ei e y = ej para i = j siendo ei = (0, ..., 1, ...0).(2) x = ai e y = ej para i = j siendo ai = ij=1 ej.(3) En R4 donde x = (1,1, 0, 1) e y = (1, 1, 1, 0).

Exercise 1.1.3 Sean x1 = ni=1 |xi| y x = maxi=1,...,n |xi|(1) Probar que son normas sobre Rn.(2) Probar que existen An, Bn > 0 tales que

Anx1 x Bnx1.(3) Probar que existen An, B

n > 0 tales que

Anx x Bnx.(4) Dibujar las bolas en R2 euclidea, y de las normas anteriores. Inter-

pretar gracamente los apartados (2) y (3).

Exercise 1.1.4 Sea 1 < p 0 entonces ab app

+ bq

qdonde 1

p+ 1

q= 1. (Ayuda:

Usar el apartado (1).)(3) Probar que si xp = yq = 1 entonces ni=1 |xiyi| 1.(4) Probar que xp es una norma en Rn. (Ayuda: Usar el apartado (3).)(5) Dibujar las bolas unidad en R2 con las distintas normas .p anteri-

ores.(6) Probar que si 1 p, q entonces existen An(p, q), Bn(p, q) > 0

tales queAnxp xq Bnxp.

1.2 Distancia y topologia

Denition 1.2.1 Sean x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) con xi, yi R,denimos el segmento que los une por

[x, y] = {tx+ (1 t)y : 0 t 1}y la distancia entre ellos

d(x, y) =

(x1 y1)2 + ...+ (xn yn)2.

1.2. Distancia y topologia 7

Si A,B Rn denotamos

d(x,A) = inf{d(x, y) : y A},

d(A,B) = inf{d(x, y) : x A, y B}.Dados x Rn and r > 0 se denen las bolas abiertas y cerradas de centro

x y radio r como

Br(x) = {y Rn : d(x, y) < r}, Br(x) = {y Rn : d(x, y) < r}.

Un conjunto A Rn se dice abierto si para todo x A existe > 0 talque B(x) A.

Un conjunto A Rn se dice cerrado si Rn \ A es abierto.Un conjunto A Rn se dice acotado si existe R > 0 tal que A BR(0).Un conjunto A Rn se dice convexo si para todo x, y A se tiene que

[x, y] A.Un conjunto A Rn se dice conexo (por poligonales) si para todo x, y A

se tiene que existen N N y xi A (i = 1, ..., N) tales que x1 = x, xN = yy ademas [xi, xi+1] A para i = 1, ..., N 1.

Un hiperplano de Rn es un conjunto

H = {y Rn : y, x = }

para cierto elemento no nulo x Rn (que llamamos vector normal del hiper-plano) y cierto R.

Exercise 1.2.1 Probar las siguientes armaciones:(1) Una bola abierta es un abierto de Rn.(2) Una bola cerrada es un cerrado de Rn.(3) Un hiperplano es un cerrado de Rn.(4) Un hiperplano es un convexo.(5) Si A,B son abiertos de Rn y denimos A+B = {x+y : x A, y B}

entonces A+B es un abierto. Es cierto para cerrados?(6) Si A es un abierto de Rn y R\{0} y denimos A = {x : x A}

entonces A es un abierto. Es cierto para cerrados?

Exercise 1.2.2 Calcular la distancias d(x, y), d(x,A) y d(A,B)(1) x = ei e y = ej para i = j siendo ei = (0, ..., 1, ...0).(2) x = ai e y = ej para i = j siendo ai = ij=1 ej.


(3) En R4 donde x = (1,1, 0, 1) e y = (1, 1, 1, 0).(4) En R2 donde x = (5, 3) y A = {(x, y) : (x 1)2 + (y 2)2 1}.(5) En R3 donde x = (0, 0, 0) y A = {(x, y, z) : x2

4+ y

2

9+ z

2

16= 1}.

(6) En R2 donde A = {(x, y) : x y = 10} y B = {(x, y) : x2 + y2 1}.

Exercise 1.2.3 Si A Rn denimos el diametro de A por la formula

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y A}.

Probar que(1) |d(x,A) d(y, A)| d(x, y) para x, y Rn(2) A es acotado si y solo si diam(A)

1.3. Sucesiones y compacidad 9

1.3 Sucesiones y compacidad

Denition 1.3.1 Denotamos los puntos de Rn por x = (x(1), ..., x(n)).Una sucesion (xk)kN se dice convergente a x si para todo > 0 existe

k0 N tal que xk x < para todo k k0.Una sucesion (xk)kN se dice de Cauchy si para todo > 0 existe k0 N

tal que xk xk < para todo k, k k0.Diremos que (yk)kN es una subsucesion de (xk)kN si existe una sucesion

(nk) N con nk < nk+1 tal que yk = xnk para todo k N.

Exercise 1.3.1 Sea (xk)kN una sucesion en Rn.(i) (xk)kN converge a x si y solo si (xk(i))kN converge a x(i) para i =

1, ..., n.(ii) (xk)kN es de Cauchy si y solo si (xk(i))kN es de Cauchy para i =

1, ..., n.(iii) Si (xk)kN es convergente entonces (xk)kN es de Cauchy. Es cierto

el reciproco?.(iii) Si (xk)kN es de Cauchy entonces (xk)kN es acotada. Es cierto el

reciproco?.

Exercise 1.3.2 Sea (xk)kN una sucesion en Rn.(i) Si (xk)kN converge a x entonces toda subsucesion (xnk)kN converge

a x.(ii) Si (x2k)kN y (x2k+1)kN convergen al mismo valor x entonces (xk)kN

converge a x.

Exercise 1.3.3 Sea (xk)kN = ((ak, bk))kN una sucesion en R2.(i) Sea (xk)kN convergente a x y sean (nk) N con nk < nk+1 y (mk)

N con mk < mk+1. Entonces (ank , bmk)kN converge a x.(ii) Suponer que (a3k)kN, (a3k+1)kN y (a3k+2)kN convergen al mismo

valor a y que (b2k)kN converge a b. Es cierto que (xk) converge (a, b)?.

Exercise 1.3.4 Sea A Rn y denotemos por A el conjunto de puntos deacumulacion de A, es decir x A si para todo > 0 existe y = x tal quey B(x, ) A.

(i) x A si y solo si existe una sucesion de puntos distintos (xk)kN talque xk A, xk = x convergente a x.

(ii) A es cerrado si y solo si A A.


Theorem 1.3.2 (Teorema de encaje de Cantor). Sea Fk una familia decerrados no vacios vericando

(i) F1 ... Fk Fk+1...(ii) limk diam(Fk) 0.Entonces kNFk = {x}.

Theorem 1.3.3 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto innitoy acotado posee un punto de acumulacion.

Exercise 1.3.5 (i) Probar que si suprimimos (ii) en el teorema de Cantorpor (ii) F1 acotado entonces kNFk = .

(ii) Puede suponerse Fk una familia de abiertos no vacios y obtener lamisma conclusion?.

Denition 1.3.4 Sea K Rn.A dice compacto si de todo cubrimiento de abiertos, es decir {Gi : i I},

Gi es abierto y K iIGi, se puede extraer un subrecubrimiento nito, esdecir existe {i1, ..., iN} I tal que K Nj=1Gij .Proposition 1.3.5 (i) Si K es compacto entonces toda sucesion de puntosde K posee una subsucesion convergente a un punto de K. (Ayuda: UsarTeorema de Bolzano-Weierstrass)

(ii) Si K es compacto entonces K es cerrado y acotado.

Exercise 1.3.6 (i) Probar que si F es nito entonces F es compacto.(ii) Sea (xk)kN convergente a x. Sea A = {xk : k N}. Es A com-

pacto?. Es A {x} compacto?.Theorem 1.3.6 (Caracterizacion sucesional de la compacidad) Sea K Rn. K es compacto si y solo si de toda sucesion de puntos de K se puede

extraer una subsucesion convergente a un punto de K.

Theorem 1.3.7 (Teorema de Heine-Borel). Sea K Rn. K es compactosi y solo si K es cerrado y acotado.

Exercise 1.3.7 Decir cuales de los siguientes conjuntos son compactos:(1) A1 = {x Rn : x, x0 = 0} para x0 Rn.(2) A2 = {(x, y) R2 : x = cos(t), y = sen(t), t R}.(3) A3 = {(x, y) R2 : x = tcos(t), y = tsen(t), t R}.(4) A4 = {(x, y) R2 : (x a)2 < y b} para a, b R.(5) A5 = {(xn, yn) R2 : xn = (1)n, yn = sen(1/n), n N}.

Chapter 2

Calculo diferencial

2.1 Continuidad y continuidad uniforme

Denition 2.1.1 Sean n,m N, D Rn abierto, x0 D y sea f : D Rm una funcion. Diremos que f es continua en x0 si para todo > 0 existe

> 0 (que depende de x0) tal que f(x) f(x0) < para todo x D talque x x0 < .

Sea A D. f se dice continua en A si es continua en todo punto de A.Diremos que f es uniformemente continua en A si para todo > 0 existe

> 0 tal que f(x) f(y) < para todo x, y A tal que x y < .Exercise 2.1.1 (i) Probar que f : Rn R dada por f(x) = x es continuapara todo x Rn.

(ii) Probar que si x0 = 0, x0 Rn entonces f : Rn R dada porf(x) = x, x0 es continua en todo punto.

(iii) Sea D = B(0, 1) \ {(0, ..., 0)} Probar que f : D R dada porf(x) = 1x es continua en D. Es uniformemente continua en D?.

Exercise 2.1.2 Sea D Rn abierto, x0 D y sea f : D Rm dondef(x) = (f1(x), ..., fm(x)) A las funciones fi : D R se les llama funcionescoordenadas. Probar que f es continua en x0 si y solo si fi son continuas enx0 para i = 1, ...,m.

Proposition 2.1.2 (Continuidad por sucesiones) Sea D Rn abierto, x0 D y sea f : D Rm una funcion.

f es continua en x0 si y solo si para toda sucesion (xk)kN de puntos deD convergente a x0 se tiene que (f(xk))kN converge a f(x0).

11

12 Chapter 2. Calculo Diferencial

Proposition 2.1.3 (Continuidad uniforme y sucesiones) Sea D Rn abierto,A D sea f : D R una funcion.

Si f es uniformemente continua en A y (xk)kN es una sucesion de Cauchyde puntos de A entonces (f(xk))kN es de Cauchy.

Exercise 2.1.3 (1) Probar que toda aplicacion lineal T : Rn Rm es uni-formemente continua en Rn.

(2) f : Rn Rm se dice Lipschiztiana si existe K > 0 tal que

d(f(x), f(y)) Kd(x, y)

para todo x, y Rn.Probar que toda aplicacion Lipschiztiana es uniformemente continua en

Rn.

(3) Sean , : R R derivables con derivada acotada. Denimosf(x, y) = ((x), (y)) para (x, y) R2. Probar que f es uniformementecontinua en R2.

Theorem 2.1.4 (Teorema de Heine-Cantor) Una funcion continua en uncompacto es uniformemente continua en el compacto.

Proposition 2.1.5 (Teorema de Weierstrass)(1) Si D Rn, f : D Rm es continua y K D es compacto entonces

f(K) es compacto.(Ayuda: Usar caracterizacion sucesional de la compacidad).(2) Si f : D R es continua y K D es compacto entonces alcanza su

maximo y minimo en K.(Ayuda: Usar el apartado (1).)

Denition 2.1.6 Sea S Rn, x0 S y f : S Rm. Decimos queel limite a traves del conjunto S en el punto x0 es y Rm, denotadolimxS,xx0 f(x) = y si para todo > 0 existe > 0 (que depende de x0)tal que f(x) y < para todo x S tal que x x0 < .

Exercise 2.1.4 Sean f(x, y) = xy2

x2+y4.

Estudiar los limites en (0, 0) a traves de los siguientes conjuntos:(1) S1 = {(x, y) : x = 0}, S2 = {(x, y) : x = y} y S3 = {(x, y) : x = y2}.(2) S1 = {(x, y) : y = mx} S2 = {(x, y) : x = my2} para m R.

2.2. Derivadas parciales, direccionales y diferenciabilidad. 13

Exercise 2.1.5 Sea f(x, y) = xyx2y2

.

Estudiar los limites en (0, 0) a traves de los siguientes conjuntos: S1 ={(x, y) : x > 0, y > 0}, S2 = {(x, y) : x = y} y S3 = {(x, y) : xy < 0}.

Exercise 2.1.6 Probar que si existe el limite a traves de S en un puntox0 S y se tiene que T S y x0 T entonces existe el limite a traves deT en un punto x0 y coincide.

Exercise 2.1.7 Sean n,m, k N, D1 abierto en Rn, D2 abierto en Rm y seaf : D1 Rm continua en x0 D1 con y0 = f(x0). Suponer que f(D1) D2y g : D2 Rk es continua en y0. Probar que h(x) = g(f(x)) es continua enx0.

Exercise 2.1.8 Sea f : R2 R una funcion continua en (0, 0). Si g : RR es tal que limx0 g(0) = 0. Probar que si S = {(x, y) : y = g(x), x R}entonces lim(x,y)S,(x,y)(0,0) f(x, y) = f(0, 0).

2.2 Derivadas parciales, direccionales y difer-

enciabilidad.

Denition 2.2.1 Sea D Rn un abierto, x0 D y f : D Rm dondef = (f1, ..., fm).

Escribimos la derivada parcial i-esima para cada i = 1, ..., n

Dif(x0) = limt0

f(x0 + tei) f(x0)t

.

Notese que el limite se toma con t R. Otra posible notacion es fxi

(x0).Observar que Dif(x0) = (Dif1(x0), ..., Difm(x0)) para i = 1, ..., n.Dados i {1, ..., n} y j {1, ...,m}, si denimos : (, ) R la

funcion (t) = fj(x0 + tei). Se tiene que (0) = Difj(x0).

Sea u Rn con u = 1, escribimos la derivada direccional segun ladireccion u en el punto x0 D,

Duf(x0) = limt0

f(x0 + tu) f(x0)t

.

Observar que Duf(x0) = (Duf1(x0), ..., Dufm(x0)) y que Dif(x0) coincidecon Duf(x0) para u = ei.


Dados i {1, ..., n} y u Rn con u = 1, si : (, ) R denota lafuncion (t) = fi(x0 + tu). Se tiene que

(0) = Dufi(x0).Si D Rn, x0 D y f : D R denimos el gradiente de f en x0 como

el vectorf(x0) = (D1f(x0), ..., Dnf(x0)).

Si D Rn, x0 D y f : D Rm denimos la matriz jacobiana de f enx0 como la matriz m n de entradas aj,i = Difj(x0),

J(f, x0) =

D1(f1)(x0) D2(f1)(x0) ... Dn(f1)(x0)D1(f2)(x0) D2(f2)(x0) ... Dn(f2)(x0)

... ... ... ...D1(fm)(x0) D2(fm)(x0) ... Dn(fm)(x0)

Notese que la la i-esima coincide con fi(x0) = (D1fi(x0), ..., Dnfi(x0)).Exercise 2.2.1 Sea f(x, y) = (x)(y) donde , : R R son derivablesen R con (0) = 1 y (0) = 1. Calcular D1f(0, 0), D2f(0, 0) y Duf(0, 0)para u = ( 1

2, 1

2).

Exercise 2.2.2 Sea f(x, y) = (xy) donde : R R es derivable en R.Calcular D1f(0, 0), D2f(0, 0) y Duf(0, 0) para u = (

12, 1

2).

Exercise 2.2.3 (1) Sea f : Rn R dado por f(x) = x, a para a Rn nonulo. Calcular f(x) para x Rn.

(2) Sean f : Rn R+ dada por f(x) = (x2) para : R R derivablecon (0) = 1. Calcular f(0).Denition 2.2.2 Sea {ei}ni=1 la base canonica de Rn y {ej}mj=1 la base canonicade Rm. Una aplicacion lineal T : Rn Rm tiene asociada la matriz m n(m las y n columnas) A = A(T ) respecto de las bases anteriores ai,j =T (ei), ej.

De este modo si y = T (x) se tiene yj =n

i=1 ai,jxi. En efectomj=1

yjej = T (x)

= T (ni=1

xiei) =ni=1

xiT (ei)

=ni=1

ximj=1

T (ei), ejej =mj=1

(ni=1

xiT (ei), ej)ej

=mj=1

(ni=1

ai,jxi)ej


Luego

y1y2...ym

=

a1,1 ... a1,na2,1 ... a2,n... ... ...am,1 ... am,n

x1x2...xn

o bien,

(y1, ..., ym) = (x1, ..., xn)

a1,1 ... am,1a1,2 ... am,2... ... ...a1,n ... am,n

,

donde usamos la matriz traspuesta (que es una matriz nm).Exercise 2.2.4 Sea T : Rn Rm una aplicacion lineal. Diremos que esacotada si existe K > 0 tal que T (x) Kx para todo x Rm. Probarque las siguiente armaciones son equivalentes:

(i) T es continua en x = 0.(ii) T es continua en Rn.(iii) T es uniformemente continua en Rn.(iv) T es acotada.

Exercise 2.2.5

(i) Probar que toda aplicacion lineal T : Rn Rm es acotada.(ii) Denamos T = supx=1{T (x)}. Probar que

(a) T = supx1{T (x)}.(b) T (x) Tx para todo x Rn.

Denition 2.2.3 Sea D Rn un abierto, x0 D y f : D Rm. f se dicediferenciable en x0 si existe Tx0 : R

n Rm lineal tal que

limh0

f(x0 + h) f(x0) Tx0(h)h = 0.

Si f es diferenciable en x0 entonces existen las derivadas parciales y setiene que la matriz asociada a Tx0, es decir ai,j = Tx0(ei), ej = Di(fj)(x0)coincide con la matriz jacobiana en x0.

Denotaremos Df(x0) : Rn Rm a la aplicacion lineal correspondiente a

la diferencial. Por tanto,

limh0

f(x0 + h) f(x0)Df(x0)(h)h = limh0

f(x0 + h) f(x0)ni=1 hiDif(x0)h = 0.


Exercise 2.2.6 Sea T : Rn Rm una aplicacion lineal.(i) Calcular DiT (x) para i = 1, ..., n y Duf(x) para u = 1.(ii) Calcular la matriz jacobiana en x.

Proposition 2.2.4 Sea f : D Rm, D Rn, x0 D.(i) Si f es diferenciable en x0 entonces f es continua en x0.

(ii) Si f es diferenciable en x0 entonces existen Du(f)(x0) para toda direccionu Rn con u = 1. Ademas

Duf(x0) = Df(x0)(u) =ni=1

Dif(x0)ui.

En particular m = 1 se tiene Duf(x0) = f(x0), u.

Exercise 2.2.7 Una funcion se dice homogenea de grado 1 si

f((x1, ..., xn)) = f(x1, ..., xn)

para todo (x1, ..., xn) y R. Sea f es homogenea de grado 1.(i) Probar que existen las derivadas direccionales en x = 0 para toda

direccion.(ii) f es diferenciable en x = 0 si y solo si es lineal.(iii) Dar un ejemplo de una funcion homogenea de grado 1 no lineal.

Denition 2.2.5 Si D Rn, x0 D y f : D R diferenciable en x0 conf(x0) = 0. Se llama hiperplano tangente a f en x0 a la soluciones de laecuacion

y = f(x0) +Df(x0)(x x0) = f(x0) + f(x0), x x0.

Exercise 2.2.8 (i) Dar las expresiones del hiperplano tangente de una funcionf : R2 R en el punto x = (0, 0) en terminos de las derivadas parciales.

(ii) Mismo problema para funciones f : R3 R en el punto (0, 0, 0).

Exercise 2.2.9 (i) Hallar los puntos donde el plano tangente de f(x, y, z) =4x+ 2y x2 + xy y2 es paralelo a plano XY .

(ii) Calcular la ecuacion del plano tangente en el punto (1, 0, 1).


Proposition 2.2.6 Sea f : D R, D Rn con f diferenciable x0 D yf(x0) = 0. Entonces

max{|Duf(x0)| : u = 1} = f(x0)

y se alcanza en la direccion del gradiente.

Exercise 2.2.10 Determinar los valores a, b para que la derivada direccionalde la funcion f(x, y) = abx2y + bxy3 en el punto x = (1, 1) tenga un valormaximo de 1 en la direccion del eje OY .

Theorem 2.2.7 (REGLA DE LA CADENA) Sean f : Rn Rm diferen-ciable en x0 Rn y g : Rm Rk diferenciable en y0 = f(x0) Rm entoncesh = g fes diferenciable en x0 y ademas

D(g f)(x0) = Dg(f(x0)) Df(x0).

Si ponemos f = (f1, ..., fm) con fi : Rn R y g = (g1, ..., gk) con

gj : Rm R entonces h = g f = (h1, ..., hk) con hl : Rn R la formula de

la regla de la cadena es la siguiente:

Dihj(x0) =ml=1

Dlgi(y0)Di(fl)(x0),

D1(h1)(x0) ... Dn(h1)(x0)D1(h2)(x0) ... Dn(h2)(x0)

... ... ...D1(hk)(x0) ... Dn(hk)(x0)

=

D1(g1)(y0) ... Dm(g1)(y0)D1(g2)(y0) ... Dm(g2)(y0)

... ... ...D1(gk)(y0) ... Dm(gk)(y0)

D1(f1)(x0) ... Dn(f1)(x0)D1(f2)(x0) ... Dn(f2)(x0)

... ... ...D1(fm)(x0) ... Dn(fm)(x0)

Exercise 2.2.11 Usar la regla de la cadena para probar las siguientes propiedades:

(i) Sean f, g : Rn Rm diferenciables en x0 y sean , R. Entoncesf + g es diferenciable en x0 y ademas

D(f + g)(x0) = Df(x0) + Dg(x0).


(ii) Sean f, g : Rn R diferenciables en x0 entonces f.g es diferenciable enx0 y ademas

f.g(x0) = f(x0)g(x0) + g(x0)f(x0).(iii) Sean f, g : Rn Rm diferenciables en x0. Probar que f, g : Rn Rdada por x f(x), g(x) es diferenciable en x0 y calcular f, g(x0).

Exercise 2.2.12 Sea f : R2 R2 dada por (x, y) (x2 + y2, sen(xy)) yg : R2 R3 dada por (u, v) (u2v3, log(u2 + v2 + 1), arcsen(v)).

Calcular la matriz Jacobiana de g f en el punto (0, 0) de manera directa(calculando explicitamente la formula de la composicion) y usando la reglade la cadena.

Exercise 2.2.13 (i) Sea f : R3 R una funcion diferenciable y sean i :R R , i = 1, 2, 3, funciones derivables en t = t0. Consideremos F (t) =f(1(t),2(t),3(t)). Calcular DF (t0).

(ii) Sea f : R2 R una funcion diferenciable y sean , : R2 R fun-ciones diferenciables en (x0, y0). Consideremos F (x, y) = f((x, y), (x, y)).Calcular DF (x0, y0).

(iii) Sea f : R R3 una funcion diferenciable en t0 y sean g : R3 R

2 funcion diferenciable dada por g(x, y, z) = ((x, y, z), (x, y, z)) paraciertas funciones diferenciables , : R3 R. Consideremos F (t) =f((x, y, z), (x, y, z)). Calcular DF (t0).

Exercise 2.2.14 Sea f(x, y, z) = (x2 + y, z3 xy) Consideremos g(u, v) =(u+ 2v, v2, uv). Calcular D2(f g)(1, 2). Hallar la matriz jacobiana de g fen (1, 0, 1).

Exercise 2.2.15 Sea f : R2 R diferenciable en todo punto. Transformarla ecuaciion xD2f(x, y) yD1f(x, y) = 0 mediante un cambio a polaresx = cos, y = cos.

2.3 Teoremas clave de calculo diferencial.

Theorem 2.3.1 (Teorema del valor medio)Sea D un abierto de Rn y f : D Rm una funcion diferenciable en D.

Dados x, y D tal que [x, y] D y dado u Rm existe z [x, y] tal que

u, f(x) f(y) = u,Df(z)(x y).

2.3. Teoremas clave de calculo diferencial. 19

En particular, existe z [x, y] tal quef(x) f(y) Df(z)x y.

Para m = 1: Dados x, y D tal que [x, y] D existe z [x, y] tal que

f(x) f(y) = f(z), x y =ni=1

Dif(z)(xi yi).

Exercise 2.3.1 Sea D un conjunto conexo por poligonales. Si f es difer-enciable en D y Df(x) = 0 para todo x D entonces f es constante enD.

Theorem 2.3.2 Sea D un abierto de Rn, x0 D y f : D Rm unafuncion. Si existen Dif(x) (i = 1, ..., n) para todo x B(x0, r) para algunr > 0 tal que B(x0, r) D y ademas son continuas en B(x0, r) entonces fes diferenciable en x0.

Exercise 2.3.2 (El reciproco del resultado anterior no es cierto) Existenf diferenciables en un punto de modo que las derivadas parciales no soncontinuas en el punto.

(i) Probar que (x) = x2sen( 1x) si x = 0, x R y (0) = 0 es derivable

con derivada no continua en x = 0.(ii) Construir f(x1, ..., xn) = (x1) + ... + (xn). Probar que es diferen-

ciable en (0, ..., 0) y las Dif no son continuas en (0, ..., 0).

Denition 2.3.3 Sea D un abierto de Rn, x0 D y f : D Rm unafuncion. Supongamos que existen Dif(x) (i = 1, ..., n) para todo x B(x0, r)para algun r > 0. A la derivada parcial de Di : B(x0, r) Rm respectoa la variable xj la denotamos Djif(x0) = Dj(Dif)(x0), a veces denotada2f

xjxi(x0), y se llama derivada segunda de orden 2 respecto de las variables

xi y xj.En el caso particular de D un abierto de Rn y f : D R que tiene

derivadas parciales de segundo orden, denimos la matriz Hessiana de f enel punto x0 como

H(f ;x0) =

D11(f)(x0) D12(f)(x0) ... D1n(f)(x0)D21(f)(x0) D22(f)(x0) ... D2n(f)(x0)

... ... ... ...Dn1(f)(x0) Dn2(f)(x0) ... Dnn(f)(x0)


Exercise 2.3.3 Probar que si f(x, y) = xy(x2y2)

x2+y2con f(0, 0) = 0 se cumple

que D12f(0, 0) = D21f(0, 0).

Exercise 2.3.4 Sea D = {(x, y, z) R3 : yz > 0} y f : D R dada porf(x, y, z) = x2 + 1

yz. Calcular el vector gradiente f(1, 1, 1) y calcular la

matriz Hessiana en (1, 1, 1).

Theorem 2.3.4 (Teoremas de igualdad de las derivadas cruzadas)(1) Teorema de Young: Sea D un abierto de Rn, x0 D y f : D Rm

una funcion. Supongamos que existen Dif y Djf en una B(x0, r) D parai = j y son diferenciables en x0. Entonces Dijf(x0) = Djif(x0).

(2) Teorema de Schwartz: Sea D un abierto de Rn, x0 D y f : D Rmuna funcion. Supongamos que existen Dif , Djf y Dijf en una B(x0, r) Dpara i = j y ademas Dijf es continua en x0. Entonces existe Djif(x0) ycumple Dijf(x0) = Djif(x0).

Denition 2.3.5 Sea D un abierto de Rn. Una funcion f : D Rm sedice de clase C1 en D (denotado f C1(D,Rm)) si existen las derivadasparciales de primer orden y son continuas.

En general, se dice de clase Ck en D (denotado f Ck(D,Rm)) si existenlas derivadas parciales de orden k y son continuas.

2.4. Formula de Taylor 21

2.4 Formula de Taylor

Denition 2.4.1 Sea D un abierto de Rn, x0 D y sea f C(m(D,R).Sea m N, llamamos polinomio de Taylor para la funcon f de orden m enel punto x0, denotado P

mx0

(f, x), al siguente polinomio

Pmx0(f, x) = f(x0) +mk=1

1

k!

ni1,i2,...,ik=1

Di1i2...ikf(x0)xi1xi2 ...xik .

La expresionn

i1,i2,...,ik=1Di1i2...ikf(x0)xi1xi2 ...xik para k = 1 coincide con

f(x0), x = Df(x0)(x),y para k = 2 coincide con

H(f, x0)x, x =n

i,j=1

Dijf(x0)xixj.

Se llama resto de orden m para la funcion f en el punto x0 a la diferencia

Rmx0(f, x) = f(x) Pmx0(f, x).

Exercise 2.4.1 (i) Sea f : R2 R de clase C3. Escribir la expresiondetallada del polonomio de Taylor de orden 3 en el punto x0 = (0, 0).

(ii) Sea f : R3 R de clase C2. Escribir la expresion detallada delpolonomio de Taylor de orden 2 en el punto x0 = (0, 0).

Exercise 2.4.2 Sea f(x, y) = 2 + 5x+ 4y x2 + xy y2 + x3 2y3 + 5x2y.(i) Calcular su polonomio de Taylor de orden 3 en el punto x0 = (0, 0).(ii) Calcular su polonomio de Taylor de orden 2 en el punto x0 = (1, 1).

Theorem 2.4.2 (Formula de Taylor con resto de Lagrange) Sea f C(m+1(B(x0, r),R).Si h < r entonces existe z [x0, x0 + h] tal que

f(x0 + h) = Pmx0

(f, h) +1

(m+ 1)!

ni1,i2,...,im+1=1

Di1i2...im+1f(z)hi1hi2 ...him+1 .

Proposition 2.4.3 (i) Sea f C(m+1(B(x0, r),R). Entonces

limh0

Rmx0(f, h)

hm = 0.


(ii) Si P es un polonomio de grado m tal que

limh0

f(x0 + h) P (h)hm = 0

entonces P (h) = Rmx0(f, h).

Exercise 2.4.3 Sean f, g C(m+1(B(x0, r),R). Demostrar que

Pmx0(f + g, h) = Pmx0

(f, h) + Pmx0(g, h).

Exercise 2.4.4 Sea F (x, y, z) = 2xyz+x2+y2+z2z3+(x)+(y)+(z)para ciertas funciones (x), (y), (z) tales que

limx0

(x)

|x|3 = 0, limy0(y)

|y|3 = 0, limz0(z)

|z|3 = 0.

Calcular el polinomio de Taylor de F de orden 2 en el punto (0, 0, 0).

Exercise 2.4.5 Sean C(m+1(R,R) y C(m+1(R,R). Denir F (x, y) =(x)(y). Supongamos que (k(0) = (k(0) = (1)k para todo k m. Cal-cular polinomio de Taylor de F de grado m en el punto x0 = (0, 0).

Chapter 3

Extremos en varias variables

3.1 Extremos de funciones de varias variables

Denition 3.1.1 Sea D un abierto de Rn y f : D R. Un punto x0 Ddiremos que es un minimo (respect. maximo) local o relativo de la funcionsi existe r > 0 tal que f(x0) f(x) (respect. f(x) f(x0)) para todox B(x0, r).

Se dice que x0 es minimo (respect. maximo) global o absoluto si f(x0) f(x) (respect. f(x) f(x0)) para todo x D.

Diremos que es un punto de silla si no es extremo local, es decir para todor > 0 existen x1, x2 B(x0, r) tales que f(x1) < f(x0) y f(x0) < f(x2).

Se dice que x0 es un punto critico de f si f es diferenciable en x0 yDf(x0) = 0, es decir Dif(x0) = 0 para i = 1, 2, ..., n.

Exercise 3.1.1 Demostrar que(i) (1, 1) es un punto de silla de f(x, y) = (x 1)(y 1).(ii) (0, 0, 0) es un maximo local de f(x, y, z) = 1 e(x2+y4+z6). Es

absoluto?

Exercise 3.1.2 Sea f(x) = 11+x2 para x Rn. Probar que tiene un

maximo en x = 0 y que no tiene minimo local.

Exercise 3.1.3 Sea (t) una funcion denida en R que tiene un maximolocal en t = 0.

(i) Sea f(x) = (|x|), x Rn. Es cierto que f tiene un maximo localen x = 0?.

23

24 Chapter 3. Extremos en varias variables

(ii) Sea f(x) = (1 |x|), x Rn. Es cierto que f tiene un maximolocal en x = (1, 0, ..., 0) ?.

Exercise 3.1.4 Sea f : R2 R continua, f(x) 0.(i) Probar que si f(x) = 0 para que |x| 1 entonces tiene algun maximo

y minimo local.(ii) Probar que si lim(x,y) f(x, y) = 0 existe maximo absoluto.

Denition 3.1.2 Dada una matriz A = (aij)nn se denen la aplicacionlineal TA : R

n Rn y forma cuadratica qA : Rn R asociadas a A a lasaplicaciones TA(x) = Ax y qA(x) = TAx, x = ni,j=1 aijxixj.

La matriz A (o bien la forma cuadratica qA) se dice denida positiva(respect. denida negativa) si qA(x) > 0 (respect. qA(x) < 0) para todox = 0.

Exercise 3.1.5 Probar que una forma cuadratica es diferenciable en todoRn y calcular su diferencial.

Exercise 3.1.6 Calcular la matriz hessiana de una forma cuadratica qA aso-ciada a una matriz A.

Theorem 3.1.3 Sea D abierto de Rn y f : D R.(i) (Condiciones necesarias de extremos relativos) Si x0 D es un ex-

tremo relativo y f es diferenciable en x0 entonces x0 es un punto critico, i.e.Dif(x0) = 0 para i = 1, 2, ..., n.

(ii) (Condiciones sucientes de extremos relativos). Sea x0 es un puntocritico y supongamos f C2(B(x0, r),R).

(a) Si H(f, x0) es denida positiva entonces x0 es un minimo local de f .(b) Si H(f, x0) es denida negativa entonces x0 es un maximo local de f .(c) Si H(f, x0) no es ni denida negativa ni denida positiva entonces x0

es un punto de silla de f .

Theorem 3.1.4 (Caracterizacion de las formas cuadraticas simetricas)Sea A una matriz simetrica de orden n n. Denotamos Ak la matriz de

orden k k resultante de suprimir las n k ultimas las y columnas de lamatriz original. Entonces

(i) Si det(Ak) > 0 para k = 1, ..., n entonces A es denida positiva.(ii) Si (1)kdet(Ak) > 0 para k = 1, ..., n entonces A es denida negativa.CASO n = 2: Sea x0 R2 y f C2(B(x0, r)).

3.1. Extremos de funciones de varias variables 25

detH(f, x0) = det

(D11(f)(x0) D12(f)(x0)D21(f)(x0) D22(f)(x0)

)= det

(A BC D

)

(1) Si A < 0 y AC > B2 entonces x0 es maximo local.

(2) Si A > 0 y AC > B2 entonces x0 es minimo local.

(3) Si AC < B2 entonces x0 es un punto de silla.

CASO n = 3: Sea x0 R3 y f C2(B(x0, r).

detH(f, x0) = det

D11(f)(x0) D12(f)(x0) D13(f)(x0)D21(f)(x0) D22(f)(x0) D23(f)(x0)

D31(f)(x0) D32(f)(x0) D33(f)(x0)

= det

A11 A12 A13A21 A22 A23

A31 A32 A33

(1) Si detH(f, x0) > 0, A11A22 > A212 y A11 > 0 entonces x0 es minimo

local.

(2) Si detH(f, x0) < 0, A11A22 > A212 y A11 < 0 entonces x0 es maximo

local.

Exercise 3.1.7 Sea f(x, y) = x(y2 + x) y sea g(x, y) = x6 + y6. Comprobarque detH(f, (0, 0)) = detH(g, (0, 0)) = 0 y en cada caso se tiene distintocomportamiento en un entorno de x0 = (0, 0).

Exercise 3.1.8 Sean (x), (y) funciones de clase C2(R) tales que (1) =(0) = 1 y (1) = (0) = 0. Denimos F (x, y) = (x)(y). Encontrar quecasos donde x0 = (1, 0) es extremo relativo y decir de que tipo (en funcionde las derivadas segundas de las funciones involucradas).

Exercise 3.1.9 Sean (x), (y), (z) funciones de clase C2(R) tales que(0) = (0) = (0) = 0. Denimos F (x, y, z) = (x) + (y) + (z).Encontrar casos donde x0 = (0, 0, 0) es extremo relativo y decir de que tipo(en funcion de las derivadas segundas de las funciones involucradas).


3.2 Teoremas de la funcion inversa e implicita.

Theorem 3.2.1 (Teorema de la funcion implicita: f(x, y) = 0 , y = g(x) )Sea D abierto de R2 y f : D R una funcion de clase C1(D,R). Sea

(x0, y0) D tal que

f(x0, y0) = 0, D2f(x0, y0) = 0

Entonces existe I intervalo abierto tal que x0 I y existe una unica g : I Rde clase C1(I) tal que y = g(x) y cumple

(i) g(x0) = y0, f(x, g(x)) = 0 para todo x I.(ii) g(x) = D1f(x,g(x))

D2f(x,g(x))para todo x I.

Exercise 3.2.1 Sea D abierto de R2 y f : D R una funcion de claseC1(D,R). Sea (x0, y0) D tal que

f(x0, y0) = 0, D1f(x0, y0) = 0

entonces existe J intervalo abierto tal que y0 J y existe una unica h : J R de clase C1(J) tal que x = h(y) y cumple

(i) h(y0) = x0, f(h(y), y) = 0 para todo y J .(ii) h(y) = D2f(h(y),y)

D1f(h(y),y)para todo y J .

Exercise 3.2.2 Sea F (x, y) = ( 2)x + y2 + 5xy + x4 + y siendo Run parametro.

(i) Calcular los valores de para que la ecuacion F (x, y) = 0 dena a ycomo funcion de x en un entorno del origen.

(ii) Existe algun valor de para que la ecuacion F (x, y) = 0 dena a xcomo funcion de y en un entorno del origen.?

(iii) Suponer que y = f(x) es la funcion implicita de F (x, y) = 0 en unentorno del origen. Hallar los valores de para los cuales x = 0 es un puntocritico de f .

Theorem 3.2.2 (Teorema de la funcion implicita: f(x, y, z) = 0 , z =g(x, y) )

Sea D abierto de R3 y f : D R una funcion de clase C1(D,R). Sea(x0, y0, z0) D tal que

f(x0, y0, z0) = 0, D3f(x0, y0, z0) = 0

3.2. Teoremas de la funcion inversa e implicita. 27

Entonces existe B abierto de R2 tal que (x0, y0) B y existe una unicag : B R de clase C1(B) tal que

(i) g(x0, y0) = z0, f(x, y, g(x, y)) = 0 para todo (x, y) B.(ii)

{ D1g(x, y) = D1f(x,y,g(x,y))D3f(x,y,g(x,y))D2g(x, y) = D2f(x,y,g(x,y))D3f(x,y,g(x,y))

para todo (x, y) B.

Exercise 3.2.3 Sea D abierto de R3 y f : D R una funcion de claseC1(D,R). Sea (x0, y0, z0) D tal que

f(x0, y0, z0) = 0, D2f(x0, y0, z0) = 0

Entonces existe U abierto de R2 tal que (x0, z0) U y existe una unicah : U R de clase C1(U) tal que

(i) h(x0, z0) = y0, f(x, h(x, z), z) = 0 para todo (x, z) U .(ii)

{ D1h(x, z) = D1f(x,h(x,z),z)D2f(x,h(x,z),z)D2h(x, z) = D3f(x,h(x,z),z)D2f(x,h(x,z),z)

para todo (x, z) U .

Exercise 3.2.4 Enunciar y probar la version correspondiente anterior conla hipotesis D1f(x0, y0, z0) = 0.

Exercise 3.2.5 Sea la ecuacion x2 y4 + 2z6 = 2. Demostrar que existe unentorno del punto (x0, y0) = (0, 0) donde podemos encontrar z = f(x, y) talque f(0, 0) = 1. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de la funcion fen el punto (0, 0).

Theorem 3.2.3 (Teorema de la funcion implicita:{ f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0

,{ x = (z)y = (z)

)

Sea D abierto de R3 y fi : D R, para i = 1, 2 funciones de claseC1(D,R). Sea (x0, y0, z0) D tal que

{ f1(x0, y0, z0) = 0f2(x0, y0, z0) = 0

, det

(D1f1(x0, y0, z0) D2f1(x0, y0, z0)D1f2(x0, y0, z0) D2f2(x0, y0, z0)

)= 0

Entonces existe I intervalo abierto de R tal que z0 I y existen unas unicas : I R, : I R de clase C1(I) tales que

{ x = (z)y = (z)

(i){ (z0) = x0(z0) = y0

y ,{ f1((z), (z), z) = 0f2((z), (z), z) = 0

para todo z I.


(ii) Se cumple{ D1f1(x0, y0, z0)(z0) +D2f1(x0, y0, z0)(z0) = D3f1(x0, y0, z0)D1f2(x0, y0, z0)

(z0) +D2f2(x0, y0, z0)(z0) = D3f2(x0, y0, z0)para todo z I. Luego

(z0) =det


)

det


)

y

(z0) =det


)

det


)

Exercise 3.2.6 Sea D abierto de R3 y sean fi : D R, para i = 1, 2,funciones de clase C1(D,R). Sea (x0, y0, z0) D tal que

{ f1(x0, y0, z0) = 0f2(x0, y0, z0) = 0

, det


)= 0

Entonces existe J intervalo abierto de R tal que y0 J y existen unas unicas : J R, : J R de clase C1(J) tales que

{ x = (y)z = (y)

(i){ (y0) = x0(y0) = z0

y ,{ f1((y), y, (y)) = 0f2((y), y, (y)) = 0

para todo y J .(ii) Se cumple

(y0) =det


)

det


)

y

(y0) =det


)

det


)

3.2. Teoremas de la funcion inversa e implicita. 29

Exercise 3.2.7 Enunciar y probar el resultado anterior con la hipotesis

det


)= 0.

Theorem 3.2.4 (Teorema de la funcion implicita:{ f1(x, y, z, u) = 0f2(x, y, z, u) = 0

y

{ x = (z, u)y = (z, u)

)

Sea D abierto de R3 y f : D R una funcion de clase C1(D,R). Sea(x0, y0, z0, u0) D tal que

f(x0, y0, z0, u0) = 0, det

(D1f1(x0, y0, z0, u0) D2f1(x0, y0, z0, u0)D1f2(x0, y0, z0, u0) D2f2(x0, y0, z0, u0)

)= 0

Entonces existe B abierto de R tal que (z0, u0) B y existen unas unicas : B R, : B R de clase C1(B) tales que

{ x = (z, u)y = (z, u)

(i){ (z0, u0) = x0(z0, u0) = y0

y ,{ f1((z, u), (z, u), z, u) = 0f2((z, u), (z, u), z, u) = 0

si (z, u) B.(ii) Para todo (z, u) B se cumple, denotando x0 = (x0, y0, z0, u0),

{ D1f1(x0)D1(z0, u0) +D2f1(x0)D1(z0, u0) = D3f1(x0)D1f2(x0)D2(z0, u0) +D2f2(x0)D2(z0, u0) = D4f2(x0) .

Exercise 3.2.8 Determinar los valores de a para que el sistema

{ x2z2 + y3u+ ax = 1zyu+ ux(a 1) + ayz = 0

dene a (x, y) como funcion implicita de (z, u) en un entorno del punto(x0, y0, z0, u0) = (0, 1, 0, 1). Si denotamos dicha funcion por (x, y) = G(z, u).Calcular los valores para los que G admite inversa local en un entorno delpunto (0, 1).

Theorem 3.2.5 (Teorema de la inyectividad local) Sea D abierto de Rn ysea f : D Rn de clase C1(D,Rn). Si det(J(f, x0)) = 0 entonces existe > 0 tal que f es inyectiva en B(x0, ).

Theorem 3.2.6 (Teorema de la aplicacion abierta) Sea D abierto de Rn ysea f : D Rn de clase C1(D,Rn). Si det(J(f, x)) = 0 para todo x Dentonces f es abierta, i.e. f() es abierto para todo abierto en D.


Denition 3.2.7 Un difeormorsmo (o transformacion regular) es una apli-cacion biyectiva f : D f(D) con D, f(D) Rn de clase C1(D,Rn) condet(J(f, x)) = 0 para todo x D.Exercise 3.2.9 Probar que la composicion de difeomorsmos es un difeo-morsmo.

Theorem 3.2.8 (Teorema de la aplicacion inversa) Sea D abierto de Rn ysea f : D Rn de clase C1(D,Rn) y denotemos T = f(D). Si det(J(f, x0)) =0 entonces existen U D,V T abiertos con x0 U, f(x0) V y existeuna unica g : V U biyectiva vericando f(g(y)) = y para todo y V .Ademas g C1(V,Rn) y se tiene Dg(y) = Df(g(y))1 para todo y V .Exercise 3.2.10 (Coordenadas polares) Sea f(x, y) = (

x2 + y2, arctag( y

x).

Estudiar donde es invertible y calcular la inversa.

Exercise 3.2.11 (Coordenadas esfericas) Sea

f(, , ) = (cos()cos(), sen()cos(), sen()).


Exercise 3.2.12 (Coordenadas cilindricas) Sea

f(, , z) = (cos(), sen(), z).


3.3 Extremos condicionados

Denition 3.3.1 Sea D abierto de Rn y f : D R. Sea S = {x D : gi(x) = 0, i = 1, 2, ...,m} donde g : D Rm es una funcion de claseC1(D,Rm). Un punto x0 S se dice maximo (o minimo) relativo condi-cionado a S si existe un abierto U de Rn tal que f(x) f(x0) ( o bienf(x) f(x0)) para todo x U S.Exercise 3.3.1 Sea f(x, y) = 2x2 y + 1.

(i) Calcular extremos relativos de f en D = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1}.(ii) Calcular extremos relativos de f condicionados a(a) P = {(x, y) R2 : x2 = y}.(b) R = {(x, y) R2 : x = y}.(c) S = {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}.(iii) Calcular extremos absolutos de f en D = {(x, y) R2 : x2 +y2 1}.

3.3. Extremos condicionados 31

Theorem 3.3.2 (Metodo de los multiplicadores de Lagrange) Sea D abiertode Rn y f : D R de clase C1(D). Sea S = {x D : gi(x) = 0, i =1, 2, ...,m} donde g : D Rm es una funcion de clase C1(D,Rm).

Supongamos que rang(J(g, x0)) = m y que x0 S es un extremo relativocondicionado a S entonces existen m (unicos) valores 1, 2, ..., m R talesque x0 es un punto critico de F = f +

mi=1 igi, es decir

mi=1

iDjgi(x0) = Djf(x0), j = 1, 2, ..., ngl(x0) = 0, l = 1, 2, ...,m

Theorem 3.3.3 Sea D abierto de Rn y f : D R de clase C2(D). SeaS = {x D : gi(x) = 0, i = 1, 2, ...,m} donde g : D Rm es unafuncion de clase C2(D,Rm) con rang(J(g, x0)) = m. Sea (x0, ) Rn Rmun punto critico de F (x, ) = f(x) + , g(x). Consideremos Qx0(h) =n

i,j=1 DijF (x0, )hihj.(i) Si Qx0(h) > 0 para todo h Ker(Dg(x0)), h = (0, ..., 0) entonces x0

es minimo de f condicionado a S.(ii) Si Qx0(h) < 0 para todo h Ker(Dg(x0)), h = (0, ..., 0) entonces x0

es maximo de f condicionado a S.(iii) Si x0 es minimo de f condicionado a S entonces Qx0(h) 0 para

todo h Ker(Dg(x0)), h = (0, ..., 0).(iii) Si x0 es maximo de f condicionado a S entonces Qx0(h) 0 para

todo h Ker(Dg(x0)), h = (0, ..., 0).

Exercise 3.3.2 Calcular la distancia minima entre:(i) Un punto (x0, y0) con x

20 + y

20 = 1 y la circunferencia x2 + y2 = 1.

(ii) Un punto (x0, y0, z0) con x0 +y0 + z0 = 1 y el plano x+y+ z1 = 0.(iii) La elipse x

2

4+ y

2

3= 1 y la recta x y = 10.

(iv) La esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x+ y + z = 9.

Exercise 3.3.3 Sea qA una forma cuadratica simetrica en Rn con matriz

A = (ai,j) y sea TA la aplicacion lineal correspondiente. Probar que qA tomasus extremos relativos condicionados a Sn1 = {x Rn : x = 1} en losvectores propios de TA y que los valores que alcanza en los mismos son loscorrespondientes a los valores propios.

Exercise 3.3.4 Sea qA una forma cuadratica denida positiva en Rn con

matriz A = (ai,j) y sea S = {x Rn : qA(x) = 1}. Calcular los extremos de


la funcion f(x) = x2 sobre S. Aplicarlo al caso q(x, y, z) = 7x2 + 4(y2 +z2) + 4xy 4xz 2yz.

Exercise 3.3.5 Calcular el paralelepipedo de mayor volumen inscrito en elelipsoide S = {(x, y, z) : x2

4+ y

2

9+ z

2

16 1}.

Exercise 3.3.6 Calcular el maximo de f(x, y, z) = (xyz)2 sobre la esferaunidad de R3. Aplicarlo para probar que si a, b, c > 0 entonces

(abc)1/3 a+ b+ c3

.

Generalizar el resultado a dimension n.

Exercise 3.3.7 Calcular la distancia del punto (2, 0, 0) a la circunferenciaresultante de cortar la esfera unidad de R3 con el plano x+ y + z = 0.

Cuestiones de Analisis de Varias Variables

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