Los Sólidos Geométricos

• Mientras que las figuras geométricas planas tienen dos dimensiones, largo y ancho, los sólidos geométricos tienen tres, largo, ancho y profundo.

• En la vida cotidiana, nosotros podemos observar muchos de estos sólidos, desde un dado hasta un obelisco y hasta el planeta en que vivimos.

Plan de Investigación

• En esta investigación haré todo por la Web y de esta manera ampliaré mis conocimientos sobre el INTERNET

• Además explicaré cada sólido geométrico y lo enviaré en una presentación de POWER POINT

Organización de los Sólidos

Geométricos • Los cuerpos geométricos

se dividen en tres grandes grupos:

• Los poliedros, que están limitados por polígonos y los cuerpos redondos como la esfera, el cilindro y el cono

• El resto son irregulares como las pirámides, los poliedros semirregulares, los prismas y deltaedros.

Los Poliedros

• Es la unión de polígonos en una porción de espacio.

• Dentro de los poliedros podemos destacar a los:

• Ortoedros, tetraedros, octaedros, icosaedros, dodecaedros, cubos o hexaedros, etc.

Partes del poliedro

• En un poliedro podemos destacar

los siguientes elementos:

• Caras: Cada polígono que limita al

poliedro (BCGF; DEIH; EBFI)

• Aristas: Cada segmento generado

por la intersección de las caras

(BF; BE; HI)

• Vértices: punto de intersección de

dos aristas (F es vértice de B e I)

• Angulo Diedro: ángulo formado

por dos caras con una arista común

(ABE y BEFI)

• Angulo Poliedro: ángulo formado

por varias caras con un vértice

común (BCA; BAE; DEA y DAC

con vértice A)

A

B

C D

E

F

G H

I

Poliedros Regulares

• Un poliedro es regular cuando:

• Tiene ángulos diedros y poliedros de igual medida

• Tiene caras en forma de polígonos regulares iguales

• Entre los poliedros regulares encontramos a los tetraedros, octaedros, cubos, dodecaedros e icosaedros.

Los Tetraedros

• Poseen cuatro caras en forma de triángulo equilátero.

• Posee 6 aristas, 4 caras, 4 vértices, y 3 aristas concurrentes.

• El área lateral se calcula multiplicando el perímetro de la base por la apotema*, y luego dividiendo el producto entre dos ((pb.a)/2) y el área total se calcula sumando el área lateral (al) más el área de la base (ab), (al+ab).

Apotema*.- Perpendicular

trazada del centro de un

polígono regular a uno de sus

lados.

Apotema

Los Hexaedros o Cubos

• Posee seis caras en forma de cuadrados.

• Es el único poliedro que tiene todas sus caras cuadradas, ya que, cada cara mide 90°, y si son cuatro medirían 360°, por tanto es el único poliedro con caras cuadradas.

• Posee 6 caras, 12 aristas, 8 vértices y 3 aristas concurrentes.

• Su área lateral se calcula multiplicando la arista por 4 elevada al cuadrado (6.a)2, y su área total se calcula multiplicando su arista por 6 al cuadrado, (4.a)2, y su volumen se calcula elevando la arista al cubo, (a3).

Los dados por ejemplo

tienen forma de cubo

Los Octaedros

• Son sólidos que poseen 8 caras en forma de triángulos equiláteros.

• Posee 6 vértices, 12 aristas y 4 aristas concurrentes.

• Se calcula su área multiplicando su base por 4 y luego por la altura (4.b.h)

• Entre los objetos con esta forma encontramos a los diamantes

Los Dodecaedros

• Es un poliedro que posee 12 caras en forma de pentágono regular.

• Además es el único poliedro con todas sus caras en forma de pentágono regular

• Posee 20 vértices, 30 aristas, y 3 aristas concurrentes.

• Su área se calcula de la siguiente manera, 6.p.ap.

Los Icosaedros

• Tienen 20 caras en forma de triángulos equiláteros.

• Tiene 12 vértices, 30 aristas y 4 aristas concurrentes.

• Su área se calcula multiplicando 10 por base por altura, (10.b.h)

Los Caleidociclos o Calidociclos

• Los Caleidociclos son un anillo de tetraedros unidos por sus aristas con la sorprendente propiedad de que puede ser girado continuamente, sin romperse ni deformarse, en torno a su centro.

• Incluso pueden construirse caleidociclos de manera que, al ser girados, los tetraedros confluyan en un punto.

Los Paralelepípedos u Ortoedros • Son figuras con seis caras

paralelas e iguales de dos a dos.

• El ortoedro es un caso particular de paralelepípedo, con sus seis caras en forma de rectángulo. El hexaedro también es un ortoedro.

• El área lateral del ortoedro es el perímetro por la altura, (p.h) y el área total calculando el perímetro por la altura + 2 . Lado 1 (a).lado2 (b), (p.h+2.a.b), y el volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura, (Ab.h)

Un cajón por ejemplo, ya sea el

instrumento criollo o el de una

cómoda tiene forma de ortoedro

Los Prismas

• Están limitados por dos caras iguales llamadas bases, y diversas caras laterales, que son paralelogramos.

• Recibe el nombre de la figura de sus bases, por ejemplo, si sus base tienen triángulos, entonces es un prisma triangular.

• Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, entonces son prismas rectos, en cambio si no lo son, son oblicuos.

• Además los prismas son utilizados para la descomposición de la luz

Los Prismas rectos • Como dije antes un prisma recto

posee aristas laterales perpendiculares a la base

• El número de aristas se calcula depende de la forma, y los lados de la forma se multiplican por tres, (si es un ortoedro o prisma rectangular, son 4 lados, así que 4.3 que es igual a 12 aristas), mientras que el número de vértices se calcula multiplicando el número de lados de la base por 2, (#l.2)

• El área lateral se calcula multiplicando el perímetro por la altura, mientras que el área total multiplicando el perímetro por la altura más dos por el área de la base.

Los Prismas oblicuos y los

antiprismas • Los prismas oblicuos y

los antiprismas son

prismas, sólo que están

girados de manera que

la vértice de una base se

una a dos vértices de la

otra.

• Estos tienen una forma

extraña y pueden

inclinarse casi hasta

180º

Las Pirámides • Limitada por una cara llamada base

y diversas caras laterales.

• La base tiene forma cuadrada, mientras que las caras laterales son triángulos equiláteros.

• Todas las caras laterales concurren en un punto común llamado vértice.

• La recta perpendicular a la base que pasa por la vértice se le denomina altura, mientras que la altura de las caras laterales es la apotema.

• La pirámide recibe el nombre de la figura de su base.

• Se dice que es regular si su base es un polígono regular y la altura va desde el vértice al centro de la base

Si App* es apotema de la pirámide y Apb*

es la apotema de la base de la pirámide

Se calcula el área lateral de una pirámide

de la siguiente manera: P.App*/2

Se calcula el área total de una pirámide:

P/2(App*+Apb*)

Se calcula el volumen de la pirámide:

1/3Ab.h

Las Pirámides de Egipto, las

pirámides más grandes del mundo

Tronco de Pirámide de bases

paralelas • Es el sector de la pirámide siendo

eliminada la vértice y teniendo una base menor en la parte superior

• Cuando tienen bases paralelas tiene forma de un trapecio, ya que sus caras laterales son trapecios isósceles

• El área lateral se calcula sumando el perímetro de la base mayor más el perímetro de la base menor por la apotema del tronco de la pirámide, y el área total se calcula dividiendo el perímetro de la base mayor y multiplicándolo por la apotema del tronco de la pirámide más la apotema de la base del tronco de la pirámide, luego haciendo lo mismo con el perímetro de la base menor y sumando los dos resultados

• Y su volumen es h/3(B+b+ la raíz cuadrada de B.b)

Algunas barras de chocolate tienen

forma de tronco de pirámides, al igual

que los lingotes de oro

Los Deltaedros y los poliedros

semirregulares • Los deltaedros son

poliedros limitados por triángulos equiláteros. Aunque sus caras son polígonos regulares, es irregular porque sus ángulos diedros y/o poliedros son de distinta medida

• Los poliedros semirregulares son aquellos que tienen caras de distintas figuras.

Algunas pelotas son

poliedros semirregulares,

como la antigua pelota de

fútbol que tiene doce caras

pentagonales, veinte caras

triangulares y treinta caras

cuadradas

Otros Poliedros Irregulares I • En primer lugar están los poliedros

Arquimedianos, que como lo dice su nombre fueron descubiertos por Arquímedes.

• Estos poliedros se caracterizan porque tienen todas sus caras regulares y las vértices de igual medida.

• Estos poliedros reciben el nombre de las caras que tienen o de los poliedros regulares que los componen, por ejemplo si son siete caras, heptaedro, si son catorce caras, cuboctaedro (cubo: 6 caras, octaedro: 8, 8+6:14), los poliedros semirregulares, como el cubo truncado y el rombicuboctahedro son también arquimedianos al igual que los deltaedros.

Otros Poliedros Irregulares II

• También están los poliedros compuestos, ya sea por poliedros regulares o irregulares. En la imagen de la derecha se distingue un compuesto de 5 octaedros y un compuesto de 3 cubos.

• También existen los poliedros Kleper-Poinsot, que en realidad son regulares, y junto con los otros cinco Cuerpos Platónicos* son los únicos poliedros regulares. Existen cuatro tipos de estos sólidos: el Gran Dodecaedro Estrellado, el Pequeño Icosaedro Estrellado, el Gran Icosaedro Estrellado y el Pequeño Dodecaedro Estrellado.

1 2

3 4

1. Compuesto de Tres Cubos

2. Compuesto de cinco octaedros

3. Gran Dodecaedro

4. Gran Icosaedro

Cuerpos Platónicos*.- Los cinco poliedros

regulares más conocidos y descubiertos por

Platón: Tetraedro, Octaedro, Cubo,

Dodecaedro e Icosaedro

Otros Poliedros Irregulares III

• También existen los poliedros

uniformes, que son poliedros

que tienen algunas de sus caras

hemisfericales o hundidas,

como los Tetrahemihexahedros,

los Octahemioctahedros y los

Cubohemioctahedros

• Además existen otros poliedros

irregulares tales como el

obelisco y el decaedro que por

su irregularidad supina no están

en ningún grupo

Vista parcial del obelisco

Tello, famoso obelisco

Chavín descubierto por Julio

C. Tello

Los Teoremas • Al descubrir una propiedad

en la geometría del espacio, un matemático muy conocido, Euler planteó un teorema.

• El teorema de Euler dice lo siguiente: “En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos”:

C + V = A + 2

Los Cuerpos Redondos

• Existen 3 cuerpos

redondos básicamente:

el cilindro, que es

como un prisma

circular, el cono y la

esfera.

• A continuación

analizaremos cada uno

de ellos

La Esfera: Definición y partes I

• Es el cuerpo que se obtiene al hacer girar un círculo alrededor de su diámetro

• En una esfera podemos resaltar las siguientes partes:

• Casquete Esférico.- Es la superficie esférica obtenida al cortar a la esfera de una manera perpendicular al diámetro.

• Zona Esférica.- Es el sector de la superficie esférica entre dos paralelos perpendiculares al diámetro.

• Huso Esférico.- Es la parte de la superficie esférica entre dos planos interceptados por el diámetro

La Esfera: Definición y partes II • Segmento esférico de una base.-

Porción de volumen esférico limitado por un plano perpendicular al plano y el casquete esférico.

• Rebanada esférica.- Sector del volumen esférico limitado por dos planos y la zona esférica correspondiente.

• Cuña esférica.- Es la parte del volumen esférico dentro de dos planos , está limitada por dichos planos y el huso esférico correspondiente

• Sector Esférico.- Porción de volumen esférico formado por un segmento esférico y un cono cuya generatriz es el radio de la esfera y cuyo radio de la base coincide con el del segmento.

La Esfera: Área y Volumen

• Para calcular el área de una esfera se utiliza la siguiente fórmula: 4pr2

• Para calcular el área de las distintas partes de la esfera se utilizan las siguientes fórmulas:

• Casquete Esférico: 2p.r.h

• Huso esférico: (p.r2.x°) /90°

• Zona Esférica: 2p.r.h

• Para calcular el volumen de la esfera y sus distintas partes se utilizan las siguientes fórmulas:

• Esfera: 4pr2

• Segmento Esférico: Vs*-Vc*

• Rebanada Esférica: Vs1*-Vs2

• Cuña Esférica: p.r3.x°/270°

• Sector Esférico: 2 r2.h/3

Vs* es el volumen del sector, Vc* es

el volumen del cono, Vs1* es el

volumen del segmento esférico 1 y

Vs2* es el volumen del segmento

esférico 2.

La Esfera: Coordenadas

Geográficas • En la Tierra se utilizan las

coordenadas geográficos para ubicar lugares.

• Para eso se divide la Tierra en pequeños cuadrados al cruzarse dos planos: los meridianos, verticales, y los paralelos, horizontales.

• Para eso se utilizan dos factores en grados:

• Latitud.- Distancia entre cualquier punto de la Tierra y el paralelo de 0°, de norte a sur

• Longitud.- Distancia entre cualquier punto de la Tierra y el meridiano base, de oeste a este

El Cono

• El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

• Un elemento notable en el cono es la generatriz que es la línea que al moverse genera la superficie de un cuerpo.

• Para calcular el área el volumen, y la generatriz del cono se utilizan las siguientes fórmulas

• Área lateral: .r.g (g: generatriz)

• Área total: .r.g+ .r2

• Volumen: b.h/3

• Generatriz: Raíz cuadrada de Ca2+Cb2 (C: catetos)

El cono de helado tiene

forma cónica

El Tronco de cono

• El tronco de cono es el

sólido que se forma al

eliminar el vértice

sustiyendola por una base

menor de forma circular.

• Para calcular el área del

tronco de cono utilizamos

las siguientes fórmulas:

• Área lateral: r+r’).g (r’:

radio de la base menor)

• Área total:

[(r+r’).g+r2+r’2]

La boca de un megáfono

tiene forma de tronco de

cono

El Cilindro

• El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

• Al igual que el cono posee una generatriz

• El área y le volumen se calculan con las siguientes fórmulas:

• Área lateral: r.h

• Área Total: 2. .r.h+2 .r2

• Volumen: .r2.h

• Los tubos por ejemplo tienen una forma cilíndrica, al igual que un resorte

Otros Cuerpos Redondos

• Existen otros cuerpos redondos tales como la semiesfera, que tiene la forma de un semicírculo tridimensional.

• Algunas vasijas tienen forma de semiesfera, generalmente el sopero y la dulcera.

• La ovo esfera es otro cuerpo redondo irregular, también llamada esfera ovalada, esta es como un óvalo tridimensional.

• Los huevos, por ejemplo tienen forma de ovo esfera.

Los demás Sólidos

• Existen muchísimos más sólidos pero no los podemos explicar ya que son muchos.

• En otra oportunidad explicaremos cada uno de ellos y nos profundizaremos en los que ya hemos explicado

Dos Acertijos por resolver

• El cubo soma fue inventado por Piet Hein en 1936. Este cubo consta de 7 piezas, 6 de ellas poseen 4 cubos y una 3, es decir en total 27 cubitos, el acertijo por resolver es formar un cubo grande con todas esas piezas. Consta de 540 posibilidades

• El cubo mágico o de Rubik es un desafío para cualquiera que lo quiera resolver. Consta de muchísimos cubito de distintos colores y lo que se tiene que hacer es colocar todos los cubitos del mismo color en una cara.

Los Sólidos Geométricos en el Arte • En la pintura y los inventos:

• Leonardo Da Vinci, hacía todas sus pinturas e inventos a base de sólidos geométricos

• Salvador Dalí, mezclaba su técnica de surrealismo con la geometría del espacio, obteniendo resultados satisfactorios, especialmente en sus grabados.

• En la arquitectura:

• La mayoría de los edificios están construidos a base de prismas, especialmente a base de ortoedros, ya que son los más resistentes.

• Antoní Gaudí, utilizaba superficies curvas para sus construcciones, generalmente irregulares, aunque también utilizaba esferas y cilindros.

• Otras construcciones estables fueron las pirámides que sirvieron como edificaciones importantes a muchas culturas, como la egipcia.

Stonehengen, Inglaterra; un ejemplo

perfecto de la antigua arquitectura

utilizando sólidos geométricos

Maqueta de “Baby’s Gym”

• Mi maqueta representa un taller e psicomotricidad y estimulación temprana para niños de 0 a 6 años.

• El material que se ha utilizado para realizar todos los ejercicios para el desarrollo psicomotor del niño han sido sólidos geométricos de distintos colores de tamaño

• La maqueta está dividida en tres sectores básicamente: el área de 0 a 2 años con estímulos visuales y sensoriales, el área de 3 a 4 años con módulos para realizar ejercicios y destrezas físicas y el área de 5 a 6 años que estimula la coordinación oculomanual y podal, el balance corporal, equilibrio, destrezas de mayor

precisión y creatividad

Materiales usados:

Un cubículo hecho a base de “triplay” con ruedas

pequeñas

Microporoso, cartulina plastificada, espejo,

cuerda plástica, cañitas de color, cartón

corrugado, tecnopor, tela, madera (palitos de

helado), cañitas plásticas, tachuelas, pegamento,

pintura para madera, alambre, témpera, “stickers”

o pegatinas, zapatos y bebé de jugete, cinta

adhesiva y bolsa plástica

Bibliografía

• “Gran enciclopedia Visual mi primaria” Editorial: Lexus

• “Diccionario Encilopédico El Comercio Tomo 3” Editorial: Santillana

• www.google.com.pe

• Libro “El Mundo de las Matemáticas 3” Editorial: Oceano

• Lista de páginas dadas en la pagina www.santamaria.edu.pe