Cuarto encuentro uta 11 06-2011
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1
Módulo de Ecuaciones Diferenciales (4)
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
0y
u
x
u
0yyy3y
0dy)xy(dx)yx(
0yxdx
dy
2
2
2
2
2
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Observación:
Otra forma de transformar a una ecuación homogénea, las ED que no son Homogéneas, es mediante la sustitución de la variable:
Ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a ya variable y; el grado , a la derivada
zy
1
dx
dy
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ejemplo: resolver la ecuación diferencial
0)13()4( 22 dyyxdxxySea
Reemplazando en la Ecuación Diferencial se tiene:
Luego:
dzzdyzy 1
0))(3()4(
0))(13()4(11222
122
dzzzxdxxz
dzzzxdxxz
1
122
2
de grado el es 1
3 de grado el es 12
4 de grado el es 12
z
zx
xz
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Para que la ecuación diferencial dada sea homogénea debe cumplirse:
Donde la ED:
dzzdyzyzy 32 2
2112
homogénea ldiferenciaEcuación 0)3(24
0)2)(13()4(22
3224
dzzxxzdx
dzzzxdxxz
Cyxy
duuu
u
x
dx
u
u
dx
duxu
u
u
dx
dz
dx
duxu
dx
dzxuz
x
zu
xz
xz
dx
dz
zx
xz
dx
dz
22
3
2
2
2
2
22
)1(
3
26
426
4
. reemplazo
26
4
26
4
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Cambiamos de variable: taller
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ecuaciones Diferenciales EXACTAS
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Diferencial Total
Si es una función diferenciable en
Entonces la diferencial total de , es la función,
cuyo valor está dado por:
Diferencial Exacta:
Una expresión de la forma:
se denomina Exacta si existe una función
Tal que:
RRf 2: 2),( Ryx
dyy
yxfdx
x
yxfyxdf
),(),(),(
dff
0),(),( dyyxNdxyxM
RRDf 2:
dyyxNdxyxMyxdf ),(),(),(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Definición de una EDO Exacta
Consideremos la ecuación
Si existe una función tal que:
Diremos que la ecuación es una Ecuación Diferencial Exacta.
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
),( yxfz
),(),(
),(),(
yxNy
yxfyxM
x
yxf
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Teorema: Criterio para EDO Exacta
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial
sea exacta es que cumpla la condición de Euler:
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
x
yxN
y
yxM
),(),(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Solución de una EDO Exacta
Aplicamos la siguiente igualdad:
La solución general está dada de la forma:
Puesto que es exacta si es la
diferencial total de
),(),(),(
),(),( yxdfdyy
yxfdx
x
yxfdyyxNdxyxM
Cyxf ),(
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
Cyxf ),(
0)22()22( 22 dyxyxdxyxy
Ejemplo:
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
i) Establecemos el criterio de exactitud:
Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.
ii) Entonces
24),(
24),(
22),(
22),(2
2
xyx
yxN
xyy
yxM
xyxyxN
yxyyxM
),(),(),(
),(),(),( yxdfdyy
yxfdx
x
yxfdyyxNdxyxMyxf
Suponemos que:
La función f(x,y) se puede obtener integrando respecto a x, dejando a y como constante:
)(),(),( ygdxyxMyxf
dxyxMdxx
yxf),(
),(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
dxyxydxx
yxf)22(
),( 2
)(2)22(),( 222 ygxyyxdxyxyyxf
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
se puede determinar g(y) derivando este resultado respecto a y e igualando a:
Resultando:
Igualando:
Para obtener g(y) Integramos:
Reemplazamos en la ecuación * y resulta:Finalmente aplicamos el teorema de la solución resultante:Obteniendo la solución general:
y
yxFyxN
),(
),(
CyxF ),(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
dyyxNygxyxdyy
yxf),()(22
),( 2
0)(22)(22 22 ygxyxygxyx
cygdxdyyg )(0)(
Cxyyxyxf 2),( 22
122 2 Cxyyx
ED exactas
Ejemplo:
Es exacta puesto que
Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y
De donde
Finalmente la solución general es
0)3()1( 2 dyyxdxyx
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
x
yx
y
yx
)3()1( 2
dxyxyxf )1(),(
)(2
),(2
yhxxyx
yxf
3)(),( 2
yxyhxy
yxf
12 )3()( Cdyyyh
Cyy
xxyx
yxf 332
),(32
15
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A EXACTAS
Si en la ecuación:
0),(),( dyyxNdxyxM
La ecuación No es exacta
x
yxN
y
yxM
),(),(
Entonces se busca un factor integrante u(x,y); de manera que al multiplicar por la ecuación diferencial, ésta se convierta en una ecuación diferencial exacta.
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
...0),(),(),(),( ExactaDEyxNyxudxyxMyxu
Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye
EDOS Reducibles a ExactasFactor Integrante
Entonces se dice que es m(x,y) un factor integrante. Y en esta nueva ecuación la condición de Euler se cumple y toma la forma:
Una vez obtenida la nueva expresión,
se resuelve la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas.
x
N
y
M
NdyMdxdu
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Reglas para obtener los factores de integración u(x,y)
Condición Factores de integración
Si puede escribirse de la forma:
)(
),(),(
xfN
xyxN
yyxM
dxxf
exu)(
)(
)(
),(),(
ygM
xyxN
yyxM
dyyg
eyu)(
)(
homogénea es 0),(),( yxNdxyxMyNxM
yxu
1
),(
),()(y 0)()( yxgxyfdyxyxgdxxyyf yNxMyxu
1),(
0),(),( yxNdxyxM
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
1),(2),(
0)2(2
yxNxxyyxM
dydxxxyxxydx
dy
Ejemplo caso a)
No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta.
Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).
La función más fácil de integrar es N(x,y)=1, por tanto el factor integrante debe ser u(x), que lo calculamos con la expresión:
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
En nuestro caso sería:
Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x):
2
)(
)()(21
02
)()(1
)1()2(
)2(
)(
x
dxx
dxxf
exu
exuxfxx
exuxfx
Ny
xxyM
Ce
ye
dyedxexyxdydxxxye
dydxxxyxu
xx
xxx
2
0)2(0)2(
0)2()(
2
2
222
)(
),(),(
xfN
xyxN
yyxM
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
xyyxNyyxM
xydydxy
),(),(
exactitud de Criterio
0
2
2
Ejemplo caso b)
No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta. Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).La función más fácil de integrar es M(x,y)=y2, por tanto el factor integrante debe ser u(y), que lo calculamos con la expresión:
dyyg
eyuygM
xyxN
yyxM
)()()(
),(),(
Resolver:
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
En nuestro caso sería:
Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(y):
00
1
0)(
2
2
xdyydxxydydxyy
xydydxyyu
yeyu
eyuygyy
yy
eyuygy
xxyN
yyM
y
dyy
dyyg
1)(
)()(12
)()(
)()(
ln
1
2
)(
2
2
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ejemplo caso c)
344
344
),(),(
0)(
xyyxNyxyxM
dyxydxyx
La ecuación dada es homogénea, entonces el factor de integración se calcula mediante:
yNxMyxu
1),(
5344
1
)(
1),(
xxyyyxxyxu
Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):
4444
3
5
4
3445
ln401
0)(1
cxyxxdyx
ydx
x
y
x
dyxydxyxx
Resolver
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ejemplo caso d)
xyxNxyyyxM
exactituddeCriterio
xdydxxyy
),()1(),(
0)1(
No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta.
Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).
Resolver:
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
En nuestro caso sería:
Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):
Cxy
xSol
dyxy
dxyx
xyxdydxxyy
xy
xdydxxyyyxu
1ln:
011
0)1(1
0)1(),(
222
2
1
))1((
1),(
1),()()(
xyyxxyyxyxu
yNxMyxuxyxgNxyyfM
Factor Integrante
Ejemplo: Para la siguiente ED
Entonces
Por lo tanto
Así obtenemos la ecuación diferencial exacta:
01ln2 222 dyyyxydxxy
222 1,ln2 yyxNyxyM
yy
M
x
N
M
11
yydy
d 11ln
01
ln2222
dyy
yyxydxx
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Cy
yxSol
3
)1(ln:
2/322
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Primer Orden
Son de la forma
Para solucionarlas tomamos en cuenta lo siguiente:
i) Si q(x)=0, la ecuación resulta:
Que es una ecuación lineal homogénea de variable separable, por lo tanto su solución es:
dx)x(p
ogéneahom e.c)x(y
xqy)x(pdxdy
ED Lineales de 1er orden
0)( yxpdx
dy
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
ii) Si la ecuación es lineal no homogénea y no es exacta, que admite un factor integrante de la forma
Multiplicando este factor por la ecuación diferencial, la convertimos en exacta y la resolvemos con el método ya estudiado ó aplicando la expresión siguiente, que es la Solución General de la ecuación diferencial.
0)( xq
Cdxexqexy
dxxpdxxp
general
)()(
)()(
ED Lineales de 1er orden
dxxp
exu)(
)(
La solución total de la ecuación diferencial será igual a:
Cumpliéndose el principio de superposición, puesto que la solución total se la puede expresar como una suma de soluciones:
)()()( hom xyxyxy generalogéneatotal
Cdxexqeecxy
dxxpdxxpdxxp
total
)()()(
)(.)(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ejemplo:
i) El factor integrante es:
Multiplicando a la ecuación tenemos:
xxqx
xpxyxdx
dy )(
1)(
1
xeeexu xdx
xdxxp
ln1
)()(
3
),(),(
0)(1
2
2
22
x
x
cy
xyxNxyyxM
xdydxxyxydx
dyxxxy
xdx
dyx
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
ii)
xxqx
xpxyxdx
dy )(
1)(
1
generalogéneatotal
general
general
general
xxgeneral
dxx
dxx
general
dxxpdxxp
general
x
x
C
x
Cy
x
x
Cy
Cx
xxy
Cdxxx
xy
Cdxxeexy
Cdxexexy
Cdxexqexy
3
3
3
1)(
1)(
)(
)()(
)()(
21
hom
2
3
2
lnln
11
)()(
ED Lineales de 1er orden
Ejemplo:
xxydx
dy22 2 xxxqxp 2)(2)( 2
Cdxexxexy
dxdx
general
22
2
)2()(
Cdxe)x2x(ee)x(y
dx22
dx2dx2
total
dx
ogénea cexy2
hom )(
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
33
Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Primer Orden
BERNOULLI
RICATTI
LAGRANGE
CLAUROUT
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
Ecuación Diferencial de Bernoulli
Una ecuación de la forma:
Se denomina diferencial de Bernoulli, si dividimos a esta para P0 (x), obteniéndose:
nyxqyxpdx
dyxp )()(0
1,)( nZnyxQyxPdx
dy n
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
OBSERVACIONES:
1. Si n = 0, entonces la ecuación es lineal de primer orden:
2. Si n = 1, entonces la ecuación es lineal homogénea de primer orden.
y)·x(Pdxdy
=
)y,x(Fdxdy
y)·x(Qy)·x(Pdxdy
=
=+
Si n 0 y n 1, entonces tenemos que:ny)·x(Qy)·x(P
dxdy
=+
Es la ecuación de Bernoulli.
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
RESOLUCIÓN:
i) Multiplicamos a la ecuación por , es decir:
ii) A la ecuación diferencial anterior se multiplica por (1-n) es decir:
iii) Realizamos un cambio de variable: y calculamos su diferencial con respecto de x, tenemos:
ny
)()·( 1 xQyxPdx
dyy nn
)()1()·()1()1( 1 xQnyxPndx
dyyn nn
nyz 1
dx
dz
ndx
dyy
dx
dyyn
dx
dz nn
1
1.1
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
RESOLUCIÓN:
iv) Se reemplaza la expresión del literal iii) en la expresión del literal ii) y obtenemos:
Que es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden.v) Solucionamos dicha ecuación.vi) Sustituimos en la ecuación encontrada y expresamos la solución.
Ejemplo:
)()1()·()1( xQnzxPndx
dz
nyz 1
322 xyydx
dyx
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga
RESOLUCIÓN:
i) Multiplicamos por y se obtiene:
ii) Multiplicamos por
se obtiene
La solución general es:
32
1)(
1)(
2
11 3
nxq
xxpyy
xdx
dy
0;2
1x
x
213 2)1( yzyzny n
1)(2
)(12
xq
xxpz
xdx
dz
23
223
22
)()(
1
)1(
)(
Cxxy
yzCxxz
Cdxeez
Cdxxqeey
dxx
dxx
dxxpdxxp
23
223
22
)()(
1
)1(
)(
Cxxy
yzCxxz
Cdxeez
Cdxxqeey
dxx
dxx
dxxpdxxp
MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga