Cuadratura del círculoCuadratura del círculo

¿Es posible, utilizando ¿Es posible, utilizando tan sólo la regla y tan sólo la regla y

compás, construir un compás, construir un cuadrado que tenga cuadrado que tenga

exactamente la exactamente la misma área que un misma área que un

circulo dado?circulo dado?

El problema surgió sin duda de la exigencia práctica de El problema surgió sin duda de la exigencia práctica de determinar el área conociendo su radio o su diámetro, y determinar el área conociendo su radio o su diámetro, y

traduciéndose geométricamente en un problema de traduciéndose geométricamente en un problema de equivalencia: dado un segmento como radio de un equivalencia: dado un segmento como radio de un círculo, determinar otro segmento como lado del círculo, determinar otro segmento como lado del

cuadrado equivalente.cuadrado equivalente.

Una construcción geométrica aproximada de la cuadratura Una construcción geométrica aproximada de la cuadratura del círculo con regla y compás debería cumplir los del círculo con regla y compás debería cumplir los

siguientes requisitos:siguientes requisitos:

1)1) la la aproximaciónaproximación de pi debería ser la de pi debería ser la mejormejor posibleposible

2)2) el el número de pasosnúmero de pasos debería ser el debería ser el mínimomínimo posibleposible

3)3) la construcción debería poder hacerse la construcción debería poder hacerse siguiendo la lógica de cualquier problema: siguiendo la lógica de cualquier problema: partir del dato ... para llegar a la solución, en partir del dato ... para llegar a la solución, en este caso partir del este caso partir del radioradio del círculo (el del círculo (el datodato) para llegar al lado del ) para llegar al lado del cuadradocuadrado ( (la la solución)solución)..

Una posible Una posible soluciónsolución

Por ejemplo partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se haya su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C,D,E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución.

Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado eses

que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico pues es el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años pues es el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años a.C.).a.C.).

Sin poderlo demostrar Sin poderlo demostrar hasta finales del siglo hasta finales del siglo

XIX…XIX…

Parece que en otro tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él.

Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba inaplicable

Uno de los primeros Uno de los primeros Griegos en dedicarse a Griegos en dedicarse a

este problema fue este problema fue AnaxágorasAnaxágoras, cuando , cuando estaba encarcelado. estaba encarcelado.

Después de el, Después de el, AntifónAntifón el el sofista intento realizar la sofista intento realizar la

cuadratura mediante cuadratura mediante inscripción de polígonos inscripción de polígonos

regulares en el circulo, con regulares en el circulo, con duplicación indefinida del duplicación indefinida del

número de sus lados. número de sus lados. BrisónBrisón dio un paso más al dio un paso más al

considerar a la vez los considerar a la vez los polígonos inscritos y los polígonos inscritos y los

circunscritos circunscritos

Antifón y Brisón.Antifón y Brisón. AntifónAntifón parte de la propiedad: es siempre posible, dado un polígono inscrito parte de la propiedad: es siempre posible, dado un polígono inscrito en un círculo, construir otro de doble número de lados, agregando que si el en un círculo, construir otro de doble número de lados, agregando que si el número de lados aumenta, el polígono se aproxima cada vez más al círculo; número de lados aumenta, el polígono se aproxima cada vez más al círculo; llegando a la conclusión de que, al ser todos los polígonos cuadrables, lo será llegando a la conclusión de que, al ser todos los polígonos cuadrables, lo será en definitiva también el círculo, conclusión final falsa, pues, como ya observó en definitiva también el círculo, conclusión final falsa, pues, como ya observó Aristóteles, por grande que sea el número de lados, el polígono jamás llenará Aristóteles, por grande que sea el número de lados, el polígono jamás llenará el círculo. el círculo.

Brisón,Brisón, por su parte, agregó a estas consideraciones las análogas por su parte, agregó a estas consideraciones las análogas referentes a los polígonos circunscritos, mostrando cómo las dos series de referentes a los polígonos circunscritos, mostrando cómo las dos series de polígonos estrechan cada vez más al círculo, cuya área estará siempre polígonos estrechan cada vez más al círculo, cuya área estará siempre comprendida entre la de dos polígonos: uno inscrito y otro circunscrito. Si comprendida entre la de dos polígonos: uno inscrito y otro circunscrito. Si Brisón llegó hasta aquí, aún sin resolver el problema, habría señalado la Brisón llegó hasta aquí, aún sin resolver el problema, habría señalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará notables resultados, pero sí, senda por la cual más tarde Arquímedes logrará notables resultados, pero sí, como se dice, agregó que el área del círculo es media proporcional entre la como se dice, agregó que el área del círculo es media proporcional entre la de los cuadrados inscrito y circunscrito, habría entonces cometido un error de los cuadrados inscrito y circunscrito, habría entonces cometido un error bastante grosero, aproximadamente del 10%.bastante grosero, aproximadamente del 10%.

Hipócrates de QuíosHipócrates de Quíos

Sus contribuciones son Sus contribuciones son importantes ya que, sin lograr importantes ya que, sin lograr

cuadrar el círculo, logró cuadrar cuadrar el círculo, logró cuadrar recintos limitados por arcos de recintos limitados por arcos de círculos, aparentemente más círculos, aparentemente más

complicados que el círculo, que complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se por su forma de luna creciente se los llamó “lúnulas de Hipócrates”.los llamó “lúnulas de Hipócrates”.

Hipócrates no hizo por supuesto la solución del problema de la cuadratura del Hipócrates no hizo por supuesto la solución del problema de la cuadratura del circulo sino que él resolvió uno relacionado a esto:circulo sino que él resolvió uno relacionado a esto:

Calcular un área curvilínea que fuera igual a un área acotada por líneas Calcular un área curvilínea que fuera igual a un área acotada por líneas rectas.rectas.

Área del semicírculo ABC / Área del semicírculo AEB = AC2/AB2 = 2/1Por lo tantoÁrea (s.c.)ABC = 2(Área (s.c.)AEB)Área OADB = Área AEBPor otro ladoÁrea AEB = Área (lúnula I) +Área (lúnula II)Área OADB = Área Triángulo (OAB)+ Área (lúnula II)Ya queÁrea AEB = Área OADBEntoncesÁrea (lúnula I) + Área (lúnula II) = Área Triángulo (OAB) + Área (lúnula II)Por lo tantoÁrea (lúnula I) = Área Triángulo (OAB)

Tal y como demostró, el área de la Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado lúnula es la cuarta parte del cuadrado

inscrito, que corresponde a un triángulo.inscrito, que corresponde a un triángulo.La cuadratura del triángulo ya era La cuadratura del triángulo ya era

conocida, con lo que cuadrar la lúnula conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir mediante (es decir mediante regla y compásregla y compás) era ) era

posible.posible.

EudoxioEudoxioEl método que utilizó Eudoxio, fue el método de El método que utilizó Eudoxio, fue el método de exhaución, donde se encuentra una aplicación exhaución, donde se encuentra una aplicación válida en el caso del círculo. Considerando que válida en el caso del círculo. Considerando que el cuadrado inscrito en el círculo es más que su el cuadrado inscrito en el círculo es más que su mitad, sustrayendo de él se obtienen cuatro mitad, sustrayendo de él se obtienen cuatro segmentos circulares. Pasando del cuadrado al segmentos circulares. Pasando del cuadrado al octágono, sustraerlo del círculo equivale a octágono, sustraerlo del círculo equivale a sustraer de los cuatro segmentos circulares sustraer de los cuatro segmentos circulares precedentes cuatro triángulos que son más de precedentes cuatro triángulos que son más de la mitad de aquellos. Se obtienen ocho la mitad de aquellos. Se obtienen ocho segmentos circulares. Doblando el número de segmentos circulares. Doblando el número de lados, esto es, pasando del octágono al polígono lados, esto es, pasando del octágono al polígono regular de dieciséis lados inscritos, se vuelve a regular de dieciséis lados inscritos, se vuelve a sustraer de los ocho segmentos circulares más sustraer de los ocho segmentos circulares más de su mitad, obteniéndose dieciséis segmentos de su mitad, obteniéndose dieciséis segmentos circulares. Continuando el procedimiento, los circulares. Continuando el procedimiento, los segmentos circulares tienden a ser cada ves segmentos circulares tienden a ser cada ves más pequeños, de forma que la suma de sus más pequeños, de forma que la suma de sus áreas tiende a cero, mientras que la sucesión de áreas tiende a cero, mientras que la sucesión de las áreas de los polígonos inscritos tiende al las áreas de los polígonos inscritos tiende al círculo.círculo.

Los Historiadores de la matemáticas Los Historiadores de la matemáticas presentan a Eudoxo como un presentan a Eudoxo como un “malabarista” del infinito; su “malabarista” del infinito; su

procedimiento, aunque laborioso, tiene procedimiento, aunque laborioso, tiene su validez, y ello no sólo por el rigor su validez, y ello no sólo por el rigor

científico.científico.

Este procedimiento sirve para demostrar una Este procedimiento sirve para demostrar una propiedad: propiedad: dos círculos son proporcionales a los dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetroscuadrados de sus diámetros. . Esto es, si un Esto es, si un círculo tiene el diámetro doble del diámetro del círculo tiene el diámetro doble del diámetro del otro, el área del primero es el cuádruplo del otro, el área del primero es el cuádruplo del área del segundo. área del segundo. No se puede sino considerar que el método de No se puede sino considerar que el método de Eudoxo es más bien artificioso. Este autor evita Eudoxo es más bien artificioso. Este autor evita el obstáculo directo del infinito, pero el obstáculo directo del infinito, pero indirectamente lo utiliza cuando considera la indirectamente lo utiliza cuando considera la posibilidad de construir polígonos inscritos posibilidad de construir polígonos inscritos doblando indefinidamente el número de lados. doblando indefinidamente el número de lados. El suyo es todavía un infinito, por que no El suyo es todavía un infinito, por que no considera la totalidad de los polígonos inscritos, considera la totalidad de los polígonos inscritos, sino que determina un cierto número le añade sino que determina un cierto número le añade otro al volver a doblar el número de lados.otro al volver a doblar el número de lados.

DinostratoDinostratoUtilizó la cUtilizó la cuadratriceuadratrice (una curva inventada por el (una curva inventada por el sofista Hippias para la división del ángulo) para sofista Hippias para la división del ángulo) para resolver el problema de resolver el problema de la cuadratura del círculo.la cuadratura del círculo. Parece que Hipias ha descubierto esta curva, pero Parece que Hipias ha descubierto esta curva, pero que más tarde fue Dinostratus el primero en usarla que más tarde fue Dinostratus el primero en usarla para encontrar una plaza área igual a un para encontrar una plaza área igual a un determinado círculo. La cuadratrice permite poner determinado círculo. La cuadratrice permite poner en relación la duración de un círculo con que ciertos en relación la duración de un círculo con que ciertos segmentos de recta.segmentos de recta.

Sporo de Nicea fue crítico sobre esta construcción, Sporo de Nicea fue crítico sobre esta construcción, tanto desde el punto de vista de la construcción de tanto desde el punto de vista de la construcción de quadratrice mismo, tanto de lo que hizo Dinostratus quadratrice mismo, tanto de lo que hizo Dinostratus para la cuadratura del círculo. para la cuadratura del círculo.

Generación de la cuadratriz Generación de la cuadratriz Supongamos inscrito en el cuadrado un arco de Supongamos inscrito en el cuadrado un arco de

circunferencia con centro A . Sea D un punto circunferencia con centro A . Sea D un punto que parte de C y se desplaza por el arco a que parte de C y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea E un punto que parte de C velocidad uniforme. Sea E un punto que parte de C en el mismo momento que D y se desplaza por el en el mismo momento que D y se desplaza por el segmento CA a velocidad uniforme y de forma que segmento CA a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que E recorre CA es el mismo que el el tiempo en que E recorre CA es el mismo que el tiempo en que D recorre el arco . Entonces, en tiempo en que D recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento EA es a la cada instante, la longitud del segmento EA es a la longitud del segmento CA como la longitud del longitud del segmento CA como la longitud del arco es a la longitud del arco , lo que arco es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación . El punto expresamos con la notación . El punto H, en que se cortan la perpendicular a AC por D y H, en que se cortan la perpendicular a AC por D y la recta AD, describe la curva llamada la recta AD, describe la curva llamada cuadratrizcuadratriz..

Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.

En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculoque permite cuadrar el círculo

Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto I de intersección de la cuadratriz con la base AB. Ese punto I no se produce como intersección de las rectas AD y EG en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a I, y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando AD y EG se acercan a AB.La propiedad del punto I que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que , o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento AB como la longitud del segmento AB es a la longitud del segmento AI.Ello implica que si R es la intersección de la paralela a CI que pasa por B con la prolongación de AC, la longitud AR es igual a la longitud del arco (porque ).Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si S es el punto medio de AR, el área del sector circular es igual al área del rectángulo . Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado, podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto I de la cuadratriz en el segmento AB.

Ferdinand LindemannFerdinand Lindemann En En 18821882, el matemático alemán , el matemático alemán Ferdinand LindemannFerdinand Lindemann probó que probó que ππ es es

un un número trascendentenúmero trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el , lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. problema.

Importancia de Importancia de

Siendo el área del círculo y el área del cuadrado, donde y Siendo el área del círculo y el área del cuadrado, donde y son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, . observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, . En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo el factor de proporción.proporcionales, siendo el factor de proporción.

Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener con regla y compás, es decir, se podría obtener por medio de con regla y compás, es decir, se podría obtener por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentalesnúmeros trascendentales son un son un subconjuntosubconjunto de los de los números realesnúmeros reales que se caracterizan que se caracterizan precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si es un número trascendental, como demostró Lindemann, es un número trascendental, como demostró Lindemann, también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.manera griega.

La resolución de este problema trató de La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la desde la antigüedad clásicaantigüedad clásica hasta el hasta el

siglo XIXsiglo XIX.. Se llegó a la conclusión de que no existe Se llegó a la conclusión de que no existe un método geométrico que permita la un método geométrico que permita la cuadratura del círculo, es decir, relacionar cuadratura del círculo, es decir, relacionar un círculo y un cuadrado de igual área, un círculo y un cuadrado de igual área, utilizando sólo regla y compás.utilizando sólo regla y compás.

Las pruebas usuales usan álgebra (teoría Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.de Galois por ejemplo) y variable compleja.

BIOGRAFÍASBIOGRAFÍAS

AnaxágorasAnaxágoras

Clazómenas, actual Turquía, 500 a.C. - Clazómenas, actual Turquía, 500 a.C. - Lámpsaco, id., 428 a.C.Lámpsaco, id., 428 a.C.Filósofo, geómetra y astrónomo griego. Filósofo, geómetra y astrónomo griego. Probable discípulo de Anaxímenes, Probable discípulo de Anaxímenes, Anaxágoras perteneció a la denominada Anaxágoras perteneció a la denominada escuela jónica y abrió la primera escuela de escuela jónica y abrió la primera escuela de filosofía en Atenas. filosofía en Atenas. Padeció la expulsión de Atenas bajo la Padeció la expulsión de Atenas bajo la acusación de ateísmo; según los testimonios acusación de ateísmo; según los testimonios de la época, el motivo real fue su afinidad de la época, el motivo real fue su afinidad con Pericles, quien se hallaba en oposición a con Pericles, quien se hallaba en oposición a Tucídides.Tucídides.

AntifonteAntifonte o o AntifónAntifón

AtenasAtenas o o RamnunteRamnunte, ca. , ca. 480480 a a.. C C.. - - 411411 a a.. C C.. Fue un Fue un oradororador, , filósofofilósofo y y matemáticomatemático griegogriego.. Nacido en el seno de una familia aristocrática. Nacido en el seno de una familia aristocrática.

Pertenecía a la escuela Pertenecía a la escuela sofistasofista, manteniendo que , manteniendo que todo es uno para el λογος, de tal suerte que nada todo es uno para el λογος, de tal suerte que nada existe de manera individual para los sentidos ni existe de manera individual para los sentidos ni para el conocimiento humano. El mundo de la para el conocimiento humano. El mundo de la verdad lo identificaba con la naturaleza y el mundo verdad lo identificaba con la naturaleza y el mundo de la apariencia (el humano) con lo falso. Fue un de la apariencia (el humano) con lo falso. Fue un gran retórico y escritor de discursos políticos. gran retórico y escritor de discursos políticos. Antifonte fue contemporáneo de Antifonte fue contemporáneo de SócratesSócrates, con , con quien mantuvo largas y tediosas discusiones.quien mantuvo largas y tediosas discusiones.

Hipócrates de QuíosHipócrates de Quíos

MMatemáticoatemático griegogriego del siglo V a.C. del siglo V a.C. Nació en la isla de Quíos, enfrente de las Nació en la isla de Quíos, enfrente de las

costas de la actual costas de la actual TurquíaTurquía. No muy lejos se . No muy lejos se encuentra la encuentra la isla de Cosisla de Cos, donde nació el , donde nació el también célebre también célebre Hipócrates de CosHipócrates de Cos ( ( siglo siglo V aV a.. C C.., , siglo siglo IV aIV a.. C C..), autor del ), autor del juramento hipocráticojuramento hipocrático..

Hipócrates de Quíos es conocido por su Hipócrates de Quíos es conocido por su cuadratura de la lúnulacuadratura de la lúnula, esto es, la cuadratura , esto es, la cuadratura mediante mediante regla y compásregla y compás, de una , de una lúnulalúnula de de características muy específicascaracterísticas muy específicas

EudoxioEudoxio

Fue el matemático griego más notable del s. IV a.C. No sólo Fue el matemático griego más notable del s. IV a.C. No sólo fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó fundó la astronomía matemática, sino que contribuyó decisivamente a la teoría de la proporción y al método de decisivamente a la teoría de la proporción y al método de “convergencia” (o, peor llamado,de“exhausción”). “convergencia” (o, peor llamado,de“exhausción”).

Nació en Cnido -en la península hoy de Resadiye, Turquía- en Nació en Cnido -en la península hoy de Resadiye, Turquía- en un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al un medio familiar relacionado tal vez con la medicina: al menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros menos, fueron médicos quienes tutelaron sus primeros viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no viajes. Pertenece a la saga de los antiguos sabios viajeros, no siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero siempre fiable a propósito de viajes concretos, pero reveladora de la transmisión y comunicación de reveladora de la transmisión y comunicación de conocimientos por el Mediterráneo desde las costas conocimientos por el Mediterráneo desde las costas orientales y Egipto hasta la Magna Grecia. orientales y Egipto hasta la Magna Grecia.

Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Según esta tradición, Eudoxo estudió matemáticas con Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego Arquitas, en Tarento, y medicina con Filistio en Sicilia. Luego visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de visitó Atenas y pudo asistir a la recién creada Academia de Platón. Platón.

DinostratoDinostrato

(390 a.C(390 a.C. - . - 320 a.C.)320 a.C.) Geómetra griego nacido en Geómetra griego nacido en Alopeconnesus, Asia Menor, hoy Turquía, un discípulo de Alopeconnesus, Asia Menor, hoy Turquía, un discípulo de Eudóxio y hermano de Menaecmo de Atenas.Eudóxio y hermano de Menaecmo de Atenas.

Conocido por haber utilizado la cConocido por haber utilizado la cuadratriceuadratrice (una (una curva trascendentecurva trascendente descubrimiento de descubrimiento de Hipias)Hipias) para resolver el para resolver el problema de problema de la cuadratura del círculo.la cuadratura del círculo.

Dinostratus probablemente contribuyó tanto un mayor Dinostratus probablemente contribuyó tanto un mayor desarrollo de la desarrollo de la geometría,geometría, pero por desgracia no se conoce pero por desgracia no se conoce nada más. nada más.

BibliografíaBibliografía

http://gaussianos.com/la-cuadratriz/http://gaussianos.com/la-cuadratriz/ http://es.wikipedia.org/wiki/http://es.wikipedia.org/wiki/

Cuadratura_del_c%C3%ADrculoCuadratura_del_c%C3%ADrculo