CUADRADOS MÁGICOS PERFECTOS, Revista matemática imperfecta

CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC, Colombia

MATEMÁTICA INSÓLITA Derechos de Autor Registrados y Reservados================================================================================

INTRODUCCIÓN

El profesor Florencio Brook Jiménez publicó en NÚMEROS (Revista de Didáctica de las Matemáticas, de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas) un método general, sin fundamentos e incompleto, para obtener ordenamientos mágicos pandiagonales (también denominados perfectos). Brook es, o era, Licenciado en Filosofía y ello lo disculpa del hecho de haber creído que su genial y sencillo método genera todos los ordenamientos mágicos perfectos de los cuadrados de orden impar no múltiplo de 3; el artículo fue publicado en Marzo del año 2000, Volumen 41, Págs.13-21, aparece en Internet.

En este documento se explica el que se denominará Método Brook y se muestra que no se generan todos los ordenamientos mágicos perfectos si el orden del cuadrado es número compuesto; también se demuestra que la fórmula de cálculo de Brook no es correcta para su propio método. De otra parte, se demostrará que el profesor Brook mintió en cuanto al tiempo que tardó para confeccionar el cuadrado mágico perfecto de orden 200… Sin embargo, la comunidad matemática tiene una deuda de gratitud con el Profesor Florencio; él aportó un método que combinado con los Algoritmos Ultramágicos, aportados por el suscripto, sirve para determinar la cantidad exacta de ordenamientos mágicos perfectos…

A Brook se le escapó una amplia gama de soluciones mágicas perfectas y el suscripto no observó otro vasto horizonte, los dos conjuntos dejados de observar son disjuntos; pero… el trabajo del profesor Brook y el del autor del presente artículo completan el universo de los cuadrados mágicos perfectos… avanzar en ese universo es, en parte, el objetivo de este artículo.

CUADRADOS MÁGICOS PERFECTOS O PANDIAGONALES

Un cuadrado mágico perfecto, o pandiagonal, es un cuadrado en el cual toda fila, columna, diagonal y pandiagonal suma la constante mágica.

Pandiagonal

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Ordenamiento normal, original o tradicional

Se denomina pandiagonal a las celdas ubicadas en líneas paralelas, por encima y debajo de las diagonales del cuadrado, tal que la cantidad de celdas equivale al orden del cuadrado. Cada cuadrado de la derecha muestra una pandiagonal.

http://www.sinewton.org/numeros/index.php?option=com_content&view=frontpage&Itemid=55

http://www.sinewton.org/numeros/index.php?option=com_content&view=frontpage&Itemid=55



Propiedad mágica pandiagonal del ordenamiento normal 1, 2, 3, … ,

En el ordenamiento normal la suma de los números de toda pandiagonal y de las diagonales equivale a la constante mágica. La propiedad se conserva si en el ordenamiento natural se permutan filas, o columnas, o filas y columnas; el resultado de las permutaciones se denomina ordenamiento modificado; en el ordenamiento modificado cada grupo de números se conserva en filas y columnas, aunque en lugar diferente, Existen conjuntos de números que ordenados normalmente carecen de la propiedad mágica pandiagonal, aunque generan cuadrados mágicos (no pandiagonales).

La constante mágica equivale a si el orden del cuadrado es n.

El Método Brook se fundamenta en la propiedad mágica pandiagonal (PMP) y en el mismo ordenamiento cíclico por filas y columnas. La PMP es necesaria pero no suficiente.

Método Brook, cuadrados de orden m impar

1. Transforme pandiagonales secundarias en filas; éstas serán mágicas (según PMP).

Las columnas no son mágicas; mediante 2. y 3. se transforman en mágicas.

2. En un nuevo casillero marque la celda superior izquierda y continúe marcando mediante jugada de caballo; al salir del cuadrado regrese m celdas al interior del mismo.

3. Ubique los números de la columna izquierda en las celdas marcadas y en cada fila escriba, a partir de ellos, los demás números de cada fila; conserve el orden anterior en sentido →; la primera fila no se altera.

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1 10 14 18 222 6 15 19 233 7 11 20 244 8 12 16 255 9 13 17 21

1 10 14 18 2219 23 2 6 15 7 11 20 24 3 25 4 8 12 1613 17 21 5 9



Ahora las columnas son mágicas, e igual sucede con las pandiagonales.

El siguiente trío de casilleros muestra el procedimiento aplicado a un ordenamiento modificado.

La figura siguiente muestra el Algoritmo aplicado a un ordenamiento modificado de orden 7

Variante del Método Brook

1. Transforme pandiagonales principales en filas y aplique los pasos 2 y 3, el resultado será ordenamiento mágico pandiagonal.

Ejemplo

PROPIEDAD DEL ORDENAMIENTO MÁGICO PANDIAGONAL

Ciclo. Denomínese ciclo al conjunto de números de cada fila del ordenamiento normal. En un conjunto no interesa el orden de los elementos y, por ende, al permutar filas, columnas o filas y columnas del ordenamiento normal se genera un nuevo orden cíclico con los mismos elementos en el ordenamiento modificado.

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6 5 14 18 227 1 15 19 238 2 11 20 249 3 12 16 2510 4 13 17 21

6 5 14 18 2219 23 7 1 152 11 20 24 825 9 3 12 1613 17 21 10 4

7 1 2 3 4 5 6

→

7 13 19 25 31 37 43

→

7 13 19 25 31 37 4314 8 9 10 11 12 13 1 14 20 26 32 38 44 38 44 1 14 20 26 3221 15 16 17 18 19 20 2 8 21 27 33 39 45 27 33 39 45 2 8 2128 22 23 24 25 26 27 3 9 15 28 34 40 46 9 15 28 34 40 46 335 29 30 31 32 33 34 4 10 16 22 35 41 47 47 4 10 16 22 35 4142 36 37 38 39 40 41 5 11 17 23 29 42 48 29 42 48 5 11 17 2349 43 44 45 46 47 48 6 12 18 24 30 36 49 18 24 30 36 49 6 12

15 11 13 14 12 12 5 16 8 24 12 5 16 8 245 1 3 4 2 14 2 20 6 23 6 23 14 2 2020 16 18 19 17 13 4 17 10 21 4 17 10 21 1310 6 8 9 7 11 3 19 7 25 25 11 3 19 725 21 23 24 22 15 1 18 9 22 18 9 22 15 1

Se permutaron las dos filas superiores del ordenamiento normal y se obtuvo el ordenamiento mágico pandiagonal



El ordenamiento mágico pandiagonal se caracteriza por distribuir los números de cada ciclo del ordenamiento normal en filas, columnas, diagonales y pandiagonales, de tal forma que en cada una de dichas líneas exista exactamente un número de cada ciclo (equidistribución); ésta es la razón por la cual, por ejemplo, en ninguna fila, columna, diagonal o pandiagonal aparece más de un múltiplo del orden del cuadrado en un ordenamiento mágico pandiagonal.

La jugada de caballo tiene la virtud de equidistribuir los números de cada ciclo en filas, columnas, diagonales y pandiagonales.

Los pasos 2 y 3 del Método de Brook se encaminan a la equidistribución de los números de cada ciclo, ese es el fundamento de la jugada de caballo y del corrimiento de los números de cada fila.

BROOK Y SU ERROR DE CÁLCULO

El profesor Florencio razonó de la siguiente forma para obtener una fórmula que “predice” el total de ordenamientos mágicos pandiagonales de cualquier cuadrado de orden m impar,

‹Una vez escrita la serie en la cuadrícula correspondiente puede cambiarse el orden de una o más filas, o columnas, o filas y columnas al mismo tiempo, lo cual daría 5! al cuadrado combinaciones diferentes (14400).›

Traducción general:

Una vez escrita la serie en la cuadrícula correspondiente puede cambiarse el orden de una o más filas, o columnas, o filas y columnas al mismo tiempo, lo cual daría

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Equidistribución del primer ciclo →

12 5 16 8 246 7 8 9 10 6 23 14 2 2011 12 13 14 15 4 17 10 21 1316 17 18 19 20 25 11 3 19 721 22 23 24 25 18 9 22 15 1

1 2 3 4 5

Equidistribución de múltiplos del orden del

cuadrado →

12 5 16 8 246 7 8 9 10 6 23 14 2 2011 12 13 14 15 4 17 10 21 1316 17 18 19 20 25 11 3 19 721 22 23 24 25 18 9 22 15 1



El error de cálculo de Brook se debe a su presunción de que todo par diferente de series modificadas produce un único ordenamiento mágico pandiagonal, la presunción es incorrecta y se prueba demostrando que cada ordenamiento pandiagonal se obtiene de 8 series modificadas en las que los números se conservan en filas y columnas (sin transformar filas en columnas o viceversa).

Enseguida se muestran 8 series modificadas y el mismo ordenamiento mágico pandiagonal obtenido a partir de ellas mediante el Método Brook. La solución mágica pandiagonal es el tercer casillero de cada trío horizontal. El primer ordenamiento pandiagonal gira sucesivamente 90 grados; igual sucede con el cuarto.

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8 4 15 16 22

8 4 15 16

7 6 10 9 8 21

7 3 14 20 14

20 21 7 3

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6 2 13 19 6 2 13 19 25

12 11 15 14 13 24

10 1 12 18 18

24 10 1 12

17 16 20 19 18 23

9 5 11 17 5 11 17 23 95 2 4 1 3 5 18 6 14 22 5 18 6 14 2220 17 19 16 18 2 20 8 11 24 1

124 2 20 8

10 7 9 6 8 4 17 10 13 21 17

10 13 21 4

15 12 14 11 13 1 19 7 15 23 23

1 19 7 15

25 22 24 21 23 3

16 9 12 25 9 12 25 3 169 10 6 7 8 9 23 17 11 5 9 23 17 11 524 25 21 22 23 1

024 18 12 1 1

21 10 24 18

19 20 16 17 18 6 25 19 13 2 25

19 13 2 6

14 15 11 12 13 7 21 20 14 3 3 7 21 20 144 5 1 2 3 8 22 16 15 4 1

615 4 8 22

16 19 17 20 18 16

3 25 12 9 16

3 25 12 9

1 4 2 5 3 19

1 23 15 7 15

7 19 1 23

21 24 22 25 23 17

4 21 13 10 4 21 13 10 17

11 14 12 15 13 20

2 24 11 8 8 20 2 24 11

6 9 7 10 8 18

5 22 14 6 22

14 6 18 523 24 25 21 22 22

8 4 15 16 22

8 4 15 16

8 9 10 6 7 21

7 3 14 20 14

20 21 7 3

3 4 5 1 2 25

6 2 13 19 6 2 13 19 25

13 14 15 11 12 24

10 1 12 18 18

24 10 1 12

18 19 20 16 17 23

9 5 11 17 5 11 17 23 9



La

demostración general del error de Brook es similar al ejemplo anterior.

FÓRMULA CORRECTA DE CÁLCULODE SOLUCIONES MÁGICAS PANDIAGONALES

Todo filósofo sabe y afirma que un hombre parado sobre los pies, o sobre la cabeza, y mirando hacia cualquier dirección es único; lo mismo sucede con los cuadrados mágicos.

De lo anterior se deduce, aparentemente, que el total de ordenamientos mágicos pandiagonales de un cuadrado natural de orden m impar, es

Y, por ende, el total de ordenamientos mágicos del cuadrado de orden 5 es 1800; sin contar giros ni reflexiones especulares.

La fórmula anterior es cierta si el orden del cuadrado es número primo, si el orden del cuadrado es número compuesto ella es falsa: al filósofo se le escapó el hecho de que en el caso de los números compuestos entran en juego otras clases de ordenamientos “no normales”, tales que se cumplan las

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8 6 9 7 10 4 17 10 13 21 17

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21 10 24 18

18 17 16 20 19 6 25 19 13 2 25

19 13 2 6

13 12 11 15 14 7 21 20 14 3 3 7 21 20 143 2 1 5 4 8 22 16 15 4 1

615 4 8 22

18 20 17 19 16 16

3 25 12 9 16

3 25 12 9

3 5 2 4 1 19

1 23 15 7 15

7 19 1 23

23 25 22 24 21 17

4 21 13 10 4 21 13 10 17

13 15 12 14 11 20

2 24 11 8 8 20 2 24 11

8 10 7 9 6 18

5 22 14 6 22

14 6 18 5



condiciones de que diagonales y pandiagonales equivalgan a la constante mágica (condiciones del Método Brook). La cantidad de dichos ordenamientos no normales depende del número de factores del orden del cuadrado.El menor cuadrado de orden compuesto es el de orden 4 y los números en él se pueden distribuir, al menos de dos formas diferentes, tales que se conservan las propiedades de las diagonales y pandiagonales (suma de la constante mágica), igual sucede con cualquier cuadrado de orden compuesto. Observe que cada ordenamiento siguiente es mágico pandiagonal.

El menor cuadrado de orden impar compuesto no múltiplo de 3 es el de orden 25 y los números en él se pueden distribuir de muchas formas diferentes al ordenamiento normal, tales que se conservan las propiedades de las diagonales y pandiagonales (suma de la constante mágica); igual sucede con cualquier cuadrado de orden impar compuesto no múltiplo de 3. Por ende, para dichos ordenamientos se obtienen ordenamientos mágicos pandiagonales mediante el Método Brook.

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1 2 5 63 4 7 89 10 13 1411 12 15 16

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1 2 3 10 11 12 19 20 214 5 6 13 14 15 22 23 247 8 9 16 17 18 25 26 2728 29 30 37 38 39 46 47 4831 32 33 40 41 42 49 50 5134 35 36 43 44 45 52 53 5455 56 57 64 65 66 73 74 7558 59 60 67 68 69 76 77 7861 62 63 70 71 72 79 80 81

FÓRMULA CORRECTA DE CÁLCULODE SOLUCIONES MÁGICAS PANDIAGONALES

En general, el total de ordenamientos mágicos pandiagonales de un cuadrado natural de orden m queda definido mediante



Determinar la función no es tarea fácil, es factible que algún matemático se halle en condiciones de acometer y terminar el trabajo para obtener dicha función.Enseguida aparece uno de los muchos ordenamientos “no normales” posibles del cuadrado de orden 25 para que Usted verifique las condiciones de aplicabilidad del Método Brook y luego, si le place, obtenga uno o varios ordenamientos mágicos pandiagonales mediante el mencionado método.

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126 127 128 129 130 151 152 153 154 155 176 177 178 179 180 201 202 203 204 205 226 227 228 229 230

131 132 133 134 135 156 157 158 159 160 181 182 183 184 185 206 207 208 209 210 231 232 233 234 235

136 137 138 139 140 161 162 163 164 165 186 187 188 189 190 211 212 213 214 215 236 237 238 239 240

141 142 143 144 145 166 167 168 169 170 191 192 193 194 195 216 217 218 219 220 241 242 243 244 245

146 147 148 149 150 171 172 173 174 175 196 197 198 199 200 221 222 223 224 225 246 247 248 249 250

251 252 253 254 255 276 277 278 279 280 301 302 303 304 305 326 327 328 329 330 351 352 353 354 355

256 257 258 259 260 281 282 283 284 285 306 307 308 309 310 331 332 333 334 335 356 357 358 359 360

261 262 263 264 265 286 287 288 289 290 311 312 313 314 315 336 337 338 339 340 361 362 363 364 365

266 267 268 269 270 291 292 293 294 295 316 317 318 319 320 341 342 343 344 345 366 367 368 369 370

271 272 273 274 275 296 297 298 299 300 321 322 323 324 325 346 347 348 349 350 371 372 373 374 375

376 377 378 379 380 401 402 403 404 405 426 427 428 429 430 451 452 453 454 455 476 477 478 479 480

381 382 383 384 385 406 407 408 409 410 431 432 433 434 435 456 457 458 459 460 481 482 483 484 485

386 387 388 389 390 411 412 413 414 415 436 437 438 439 440 461 462 463 464 465 486 487 488 489 490

391 392 393 394 395 416 417 418 419 420 441 442 443 444 445 466 467 468 469 470 491 492 483 494 495

396 397 398 399 400 421 422 423 424 425 446 447 448 449 450 471 472 473 474 475 496 497 498 499 500

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506 507 508 509 510 531 532 533 534 535 556 557 558 559 560 581 582 583 584 585 606 607 608 609 610

511 512 513 514 515 536 537 538 539 540 561 562 563 564 565 586 587 588 589 590 611 612 613 614 615

516 517 518 519 520 541 542 543 544 545 566 567 568 569 570 591 592 593 594 595 616 617 618 619 620

521 522 523 524 525 546 547 548 549 550 571 572 573 574 575 596 597 598 599 600 621 622 623 624 625

Observe que el ordenamiento precedente obedece la PMP y la propiedad cícilica.

Existen otros procesos diferentes al del Método Brook, de fácil e inmediata aplicabilidad para obtener

ordenamientos mágicos pandiagonales, sin que haya necesidad de escribir varias veces los números del conjunto; es decir, dichos procesos son instantáneos y solo requieren del empleo de un casillero. Esos procesos aparecen explicados en otros documentos de www.matematicainsolita.8m.com

Página 8

http://www.matematicainsolita.8m.com/



El cuadro siguiente muestra un ordenamiento mágico pandiagonal del cuadrado de orden 25 no obtenible mediante el Método Brook aplicado al ordenamiento normal o modificado. Verifique que las pandiagonales suman la constante mágica.

610 618 601 614 622 60 68 51 64 72 135 143 126 139 147 335 343 326 339 347 410 418 401 414 422

611 624 607 620 603 61 74 57 70 53 136 149 132 145 128 338 349 332 345 328 411 424 407 420 403

617 605 613 621 609 67 55 63 71 59 142 130 138 146 134 342 330 338 346 334 417 405 413 421 409

623 606 619 602 615 73 56 69 52 65 148 131 144 127 140 348 331 344 327 340 423 46 419 402 415

604 612 625 608 616 54 62 75 58 66 129 137 150 133 141 329 337 350 333 341 404 412 425 408 416

260 268 251 264 272 460 468 451 464 472 535 543 526 539 547 110 118 101 114 122 185 193 176 189 197

261 274 257 270 253 461 474 457 470 453 536 549 532 545 528 111 124 107 120 103 186 199 182 195 178

267 255 263 271 259 467 455 463 471 459 542 530 538 546 534 117 105 113 121 109 192 180 188 196 184

273 256 269 252 265 473 456 469 452 465 548 531 544 527 540 123 106 119 102 115 198 181 194 177 190

254 262 275 258 266 454 462 475 458 466 529 537 550 533 541 104 112 125 108 116 179 187 200 183 191

35 43 26 39 47 235 243 226 239 247 310 318 301 314 322 385 393 376 389 397 585 593 576 589 597

36 49 32 45 28 236 249 232 245 228 311 324 307 320 303 386 399 382 395 378 586 599 582 595 578

42 30 38 46 34 242 230 238 246 234 317 305 313 321 309 392 380 388 396 384 595 580 588 596 584

48 31 44 27 40 248 231 244 227 240 323 306 319 302 315 398 381 394 377 390 598 581 594 577 590

29 37 50 33 41 229 237 250 233 241 304 312 325 308 316 379 387 400 383 391 579 587 600 583 591

435 443 426 439 447 510 518 501 514 522 85 93 76 89 97 160 168 151 164 172 360 368 351 365 372

436 449 432 445 428 511 524 507 520 503 86 99 82 95 78 161 174 157 170 153 361 374 357 370 353

442 430 438 446 434 517 505 513 521 509 92 80 88 96 84 167 155 163 171 159 367 355 363 371 359

448 431 444 427 440 523 506 519 502 515 98 81 94 77 90 173 156 169 152 165 373 356 369 352 365

429 437 450 433 441 504 512 525 508 516 79 87 100 83 91 154 162 175 158 166 354 362 375 358 366

210 218 201 214 222 285 293 276 289 297 485 493 476 489 497 560 568 551 564 572 10 18 1 14 22

211 224 207 220 203 286 299 282 295 278 486 499 482 495 478 561 574 557 570 553 11 24 7 20 3

217 205 213 221 209 292 280 288 296 284 492 480 488 496 484 567 555 563 571 559 17 5 13 21 9

223 206 219 202 215 298 281 294 277 290 498 481 494 477 490 573 556 569 552 565 23 6 19 2 15

204 212 225 208 216 279 287 300 283 291 479 487 500 483 491 554 562 575 558 566 4 12 25 8 16

Página 9

k + 24m3k + 2m3k + 5m3k + 13m3k + 16m3k + 10m3k + 18m3k + 21m3k + 4m3k + 7m3k + m3k + 9m3k + 12m3k +

15m3k + 23m3k + 17m3k + 20m3k + 3m3k + 6m3k + 14m3k + 8m3k + 11m3k + 19m3k + 22m3k

Cada celda del cuadro de la derecha es representativa del subcuadrado homólogo del cuadrado mágico anterior; siendo m el orden del subcuadrado, k la constante mágica del inferior derecho. La suma que aparece en las demás celdas representa la constante mágica del correspondiente subcuadrado homólogo. Si en el cuadro de la derecha se suman los valores de cada fila, o columna, o diagonal, se concluye que el ordenamiento anterior es mágico.

Para demostrar la pandiagonalidad mágica se debe acudir a otro formato diferente.



Queda demostrado que la fórmula de Brook para calcular la cantidad de ordenamientos mágicos pandiagonales es falsa cuando el orden del cuadrado es número compuesto.Ejemplos de no aplicabilidad del Método Brook para obtención de ordenamiento mágico perfecto.

Si a Usted le entregan el siguiente conjunto de números es posible que pase serios aprietos para construir un cuadrado mágico de orden 5 con ellos.

Con los números del cuadro anterior no es factible aplicar el Método Brook dado que el ordenamiento “normal” anterior incumple con la propiedad mágica pandiagonal, sin embargo, con ellos se construye el siguiente ordenamiento mágico.

El resultado será un cuadrado mágico no pandiagonal si al siguiente ordenamiento se aplica el Método Brook. ¿Qué propiedad incumple para no producirse el ordenamiento mágico perfecto al aplicar el Método Brook?

BROOK Y SU CUADRADO PERFECTO DE 40 000 NÚMEROS

“En las Jornadas Matemáticas celebradas en Castellón en marzo del 91 tuve la oportunidad de exponer parte de mis investigaciones en este tema, incluyendo a título de curiosidad un cuadrado

Página 10

17 41 211 241 269

271 277 307 349 601

607 691 751 761 787

1039 1051 1181 1321 1381

1489 1741 1801 1831 1879

691 607 211 1181 1489

787 1039 271 1321 761

1831 1741 17 349 241

269 751 1801 1051 307

601 41 1879 277 1381

1 3 5 2 47 9 6 8 10

13 15 12 14 1119 16 18 20 1725 22 24 21 23



mágico perfecto de 40 000 números (200x200), cuyo mayor mérito, a mi modo de ver, estriba en el tiempo que tardé en confeccionarlo (28 horas), ya que cuando se conoce el algoritmo adecuado ni su construcción ni su tamaño ofrecen dificultades apreciables”. El relato anterior fue publicado por Florencio Brook Jiménez en NÚMEROS, Revista de didáctica de las matemáticas, Volumen 41, Marzo de 2000, página 13.

Vamos a probar que el profesor, en el supuesto de que haya confeccionado el cuadrado, faltó a la verdad en cuanto al tiempo empleado.

1. Debió emplear 40 000 números.

2. Usó 9 números de un dígito, 90 de dos dígitos, 900 de tres dígitos, 9000 de 4 dígitos y 30 001 de 5 dígitos.

3. En total, usó 188 894 dígitos

4. Trabajó durante 188 894 segundos, suponiendo que escribió a razón de un dígito por segundo.

5. Tardó 52 horas, según lo anterior.

La conclusión del numeral cinco se hace en el supuesto de que Brook haya trabajado sentado, pero… para cumplir con la hazaña debió utilizar un cuadrado mínimo de dos metros de lado y, por ende, el tiempo promedio por dígito se incrementa considerablemente, por efecto del desplazamiento dentro de la superficie del cuadrado. Existen otras razones que incrementan el tiempo en la confección del cuadrado del relato.

Escribiendo los 40 000 números en un cuaderno, sin necesidad de confeccionar el cuadrado mágico, el lector puede comprobar que Brook mintió respecto del cuadrado mágico perfecto del cuento.

EL CUADRADO MÁGICO PERFECTO DE ORDEN 5

Se sabe y se puede demostrar que el cuadrado normal de orden 5 tiene solamente 16 ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos, cada uno de ellos determina un algoritmo general para ejecutarlo iniciando en cualquier celda con cualquiera de los 25 números, sin producir el mismo ordenamiento girado o reflejado especularmente, el ordenamiento mágico pandiagonal asociativo se produce cuando se comienza con 13 en el centro del cuadrado; el resultado será solamente mágico pandiagonal si el 13 no confluye en el centro del cuadrado. El mencionado algoritmo se denomina, en este portal, Algoritmo Ultramágico.

Un ordenamiento natural mágico pandiagonal es asociativo cuando todo par de números simétricos

con relación al centro del cuadrado suma

Página 112, 1

El esquema de la izquierda es representativo de un algoritmo ultramágico; traducido a lenguaje común dice: inicie con cualquier número en cualquier celda, realice siempre la jugada de caballo sin cambiar de orientación, al llegar a un múltiplo del orden del cuadrado escriba el siguiente número en la celda contigua inferior y siga escribiendo…



Al salir del cuadrado regrese al interior contando m celdas en línea recta.

El algoritmo ultramágico anterior es aplicable a todo cuadrado natural de orden impar no múltiplo de

3 y genera, siempre, ordenamiento mágico pandiagonal o mágico pandiagonal asociativo si

confluye en el centro del cuadrado.

Observe que el algoritmo le evita recurrir al Método Brook.

Dado que existen celdas, se concluye que el algoritmo genera ordenamientos mágicos pandiagonales.

Teniendo en cuenta que el cuadrado de orden 5 genera 16 ordenamientos mágicos pandiagonales asociativos, para cada uno de los cuales se define un algoritmo ultramágico, entonces se contabilizan 16x25 = 400 ordenamientos pandiagonales.

Del total de 1800 ordenamientos mágicos pandiagonales del cuadrado de orden 5 quedan 1400 no definidos mediante algoritmos ultramágicos. Los mencionados ordenamientos se definen

mediante algoritmos, estos algoritmos se representan de forma más compleja que el

ultramágico mostrado en líneas anteriores, se aplican iniciando en cualquier celda del cuadrado y son propios del cuadrado que los define, al igual que los ultramágicos no elementales.

Por consiguiente, la totalidad de ordenamientos pandiagonales del cuadrado de orden cinco se obtiene mediante 16 + 56 = 72 algoritmos; cuatro de los cuales sirven para resolver cuadrados de orden mayor.

En general, si el orden m del cuadrado es primo impar diferente de 3, entonces el total de algoritmos pandiagonales será:

Página 12

1 14 22 10 18

7 20 3 11 24

13 21 9 17 5

19 2 15 23 6

25 8 16 4 12

10 18 1 14 22

11 24 7 20 3

17 5 13 21 9

23 6 19 2 15

4 12 25 8 16



Ejemplo de algoritmo pandiagonal no ultramágico (no genera mágico asociativo)

Con el algoritmo anterior obtendrá 25 ordenamientos mágicos perfectos del cuadrado de orden 5, sin necesidad de aplicar el Método Brook; ninguno de los ordenamientos estará repetido. Veamos dos de los 25 ordenamientos mágicos perfectos.

Se han dado ejemplos de algoritmos pandiagonales con una sola jugada de caballo igualmente orientada; también los hay con varias jugadas de caballo y, por consiguiente, con orientación diferente.

Página 13

19 7 312 5 23 9

25 18 6 14 2 2511 4 22 20 8

1 17 10 13 1 24 173 21 19 7 159 12 5 23 16

6

2 25 18 148 11 4 22 20

1 24 17 10 137 15 3 21 1923 16 9 12 5 2314 2 25 18 620 8 11 4 22

21

Inicie en cualquier celda, al llegar a un múltiplo del orden del cuadrado siga en la celda indicada según los círculos rosados.2,1

20,25

2,1

10

2,1

5, 15

2,1

20,25

2,1

10

2,1

5, 15 Luego de 5 y 10 descienda a la celda contigua inferior, después de 10 pase a la celda contigua superior izquierda, enseguida de 20 y 25 descienda dos celdas en sentido ↙.

2,1

15, 20 15

2,1

5

2,1

10,25Otro algoritmo pandiagonal para que Usted lo aplique iniciando en la celda que le plazca



El máximo número de orientación de jugadas de caballo para algoritmos pandiagonales del cuadrado de orden 5 es 4; en los algoritmos pandiagonales la cantidad de orientaciones de jugadas de caballo es menor que el orden del cuadrado, debido a que todo ciclo debe seguir la misma regla que equidistribuye los números en el cuadrado.

¿Intentaría descubrir algoritmos pandiagonales con diferentes orientaciones de la jugada de caballo?

¿Estaría en condiciones de listar los 72 algoritmos pandiagonales del cuadrado de orden 5?

Listar los 72 algoritmos pandiagonales del cuadrado de orden 5 permite obtener los 1800 cuadrados mágicos perfectos en el menor tiempo posible… si se deseara hacer esa tarea innecesaria.

NOTAS. En este documento se presume que el aquí denominado Método Brook es originario del Profesor Florencio Brook Jiménez, el autor de este documento no ha encontrado que antes del año 2000 dicho método haya sido aportado por otro personaje. Tampoco ha sido posible contactar al Profesor Brook.

Lo aportado en este documento, excepto el Método Brook en sí, corresponde al suscripto; lo dicho es verificable mediante la lectura del artículo de Brook, publicado en la revista NÚMEROS. Los algoritmos ultramágicos no tienen deuda alguna de gratitud con el Método Brook, algoritmos producidos antes de conocer el artículo mencionado… habrá deuda de gratitud con relación a algunas novedades plasmadas en el presente escrito.

El Método Brook es genérico, válido para cualquier cuadrado de orden impar no múltiplo de 3 que cumpla con las condiciones de aplicabilidad, su desventaja radica en la cantidad de casilleros que se deben emplear y en la no definición de algoritmos pandiagonales,

Los algoritmos pandiagonales genéricos, de validez para todo orden mayor definido no múltiplo 3, tienen la ventaja de emplear un solo casillero e iniciar con cualquier número en cualquier celda del cuadrado. Los algoritmos pandiagonales restrictivos, válidos para un único orden permiten iniciar con cualquier número en cualquier celda del correspondiente cuadrado.

Los algoritmos ultramágicos (algoritmos pandiagonales genéricos), de validez para todo orden mayor definido no múltiplo 3, y sus correspondientes restrictivos no requieren del Método Brook para su formulación; los genéricos se determinan instantáneamente mediante tableros algorítmicos que no requieren de números.

Hasta ahora no se ha determinado una metodología que permita definir los algoritmos pandiagonales no generadores de cuadrados mágicos pandiagonales asociativos sin acudir al Método Brook.

Página 14



Pero… a partir del Método Brook se pueden obtener todos los algoritmos pandiagonales genéricos y restrictivos. ¿Existe el mecanismo abreviado que permita listar los 72 algoritmos pandiagonales del cuadrado de orden 5?

OTROS ARCHIVOS ACERCA DE CUADRADOS MÁGICOS

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Cuadrados mágicosTransformador mágico

Cuadrados mágicos 4n+6Cuadrados mágicos imparesTransformador mágico 2n+1

Juego mágicoRed mágica

Locura mágicaHipermágicos pares

Orbital mágico

Yinyang mágicoMagibur

Magibur transformeMagiloco

Magiloco 10 x 10

Algoritmos mágicos asociativos 6n+3Simetría Mágica

Algoritmos UmágicosAlgoritmos Ultramágicos y Tableros

Cuadrados 4n + 6, So^2

Magiloco menor y locurasAlgoritmo general de La Loubère

Ciclo de Loubère Algoritmos ultramágicos

Triangulo aritmético, camino mágico

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CUADRADOS MÁGICOS PERFECTOS, Revista matemática imperfecta

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