Cuaderno No. 6 Anillos y Modulos

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 6

Anillos y modulos

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado Carlos Hernando, mi hermano.

Contenido

Prologo iv

1. Condiciones de cadena 1

1.1. Condiciones de Noether y Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Cadenas de submodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Modulos de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. El teorema de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Anillos locales no conmutativos 19

2.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Idempotentes y nilpotencia 23

3.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Descomposicion ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Anillo de un monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Anillos y algebras libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Teorema de Krull-Schmidt 39

4.1. Teorema de descomposicion irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5. Anillos y modulos semisimples 45

5.1. Modulos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2. Anillos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

iv CONTENIDO

6. Teorema de Artin-Wedderburn 546.1. Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2. Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7. Radicales 637.1. Radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2. Radical primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Bibliografıa 74

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categorıas; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categorıas, publi-cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuyaedicion esta totalmente agotada (vease [11]). Un material similar, pero mucho mascompleto que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de SergeLang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el2004 (vease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su pre-sentacion ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchas pruebas omitidasen la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de anillos y modulos. En este cuaderno estudiaremos, desde unpunto de vista moderno (veanse por ejemplo [2], [6], [9], [10] y [15] ), los aspectosmas importantes de la teorıa general de anillos y modulos, incluyendo el teoremade Artin-Wedderburn para anillos semisimples. Un anillo semisimple puede definirse

v

vi PROLOGO

como aquel que se puede descomponer en una suma directa finita de ideales mini-males; agrupando adecuadamente estos minimales, el anillo puede expresarse comouna suma directa finita de bilateros, cada uno de los cuales resulta ser un anillosimple artiniano. El teorema de Artin establece que estos ultimos son, salvo isomor-fismos, anillos de matrices sobre anillos de division. La unicidad de la descomposicionanterior se garantiza fundamentalmente por el teorema de Krull-Schimidt, el cualestablece la unicidad de la descomposicion de un modulo en su suma directa desubmodulos irreducibles con anillos de endomorfismos locales. Ası pues, desde elpunto de vista moderno, una prueba completa del teorema de Artin-Wedderburnincluye elementos de la teorıa general de anillos y de la teorıa general de modulos.En este cuaderno nosotros hemos seguido precisamente esta tendencia combinada.La gran mayorıa de las pruebas han sido tomadas o adaptadas de [6], y [9]. Enrelacion con el material similar presentado en [11], hemos adicionado en el capıtulo3 una seccion sobre anillos y algebras libres. En el capıtulo 1 hemos incluido unejemplo con la demostracion completa del teorema de la base de Hilbert para elanillo conmutativo de series formales.

Para una buena compresion del presente cuaderno se recomienda al lector con-sultar los cuadernos 2 y 3 (veanse [12] y [13]) ya que usaremos los resultados y lanotacion consignados en ellos. En particular, A denotara un anillo no necesariamenteconmutativo y con unidad 1. A∗ denota el grupo multiplicativo de los elementos in-vertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f(1) = 1. Salvoque se advierta lo contrario, los modulos seran considerados a derecha. Si M es unA-modulo a derecha lo denotaremos tambien por MA. Si N es un submodulo deM escribiremos N ≤ M . Para n ≥ 1, Mn(A) es el anillo de matrices cuadradas detamano n × n con componentes en A, GLn(A) denota el grupo lineal general deorden n sobre A, es decir, GLn(A) = Mn(A)∗. La matriz identica de tamano n× nse denota por En.

El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barragan Moreno,colega y amiga, por la digitalizacion del material del presente cuaderno, y a Clau-dia Milena Gallego Joya, discıpula y amiga, por la revision cuidadosa de todo elcontenido.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Condiciones de cadena

Sea R un dominio de ideales principales, entonces cada cadena ascendente de idealesde R se estabiliza, es decir, si

〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ 〈a3〉 ⊆ · · ·

es una cadena ascendente de ideales de R, entonces existe k ≥ 1 tal que 〈ak+i〉 = 〈ak〉,para todo i ≥ 0 (vease [12]). En este capıtulo estudiaremos esta condicion de cadenaascendente tanto para anillos como para modulos, ası como tambien la condiciondescendente. Mostraremos la prueba de uno de los teoremas mas importantes delalgebra, el teorema de la base de Hilbert.

1.1. Condiciones de Noether y Artin

Definicion 1.1.1. Sea M un A-modulo.

(i) M es noetheriano (artiniano) si cada conjunto no vacıo de submodulos deM tiene elemento maximal (minimal).

(ii) El anillo A es noetheriano a la derecha (artiniano a la derecha) si el moduloAA es noetheriano (artiniano).

De manera similar se definen los anillos noetherianos o artinianos a izquierda. Lasiguiente proposicion establece que estas condiciones se pueden expresar en terminosde cadenas ascendentes y descendentes.

Proposicion 1.1.2. Sean M un A-modulo y N ≤M . Entonces,

(a) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es artiniano.

1

2 CAPITULO 1. CONDICIONES DE CADENA

(ii) N y M/N son artinianos.

(iii) Cada cadena descendente

N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ · · ·

de submodulos de M se detiene, es decir, existe k ≥ 1 tal que Nk = Nk+i

para todo i ≥ 0.

(iv) Para cada conjunto {Ni | i ∈ I} 6= ∅ de submodulos de M existe un sub-conjunto finito I0 ⊆ I tal que⋂

i∈I

Ni =⋂i∈I0

Ni.

(b) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es noetheriano.

(ii) N y M/N son noetherianos.

(iii) Cada cadena ascendente

N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ · · ·

de submodulos de M se detiene, es decir, existe k ≥ 1 tal que Nk = Nk+i

para todo i ≥ 0.

(iv) Para cada conjunto {Ni | i ∈ I} 6= ∅ de submodulos de M existe un sub-conjunto finito I0 ⊆ I tal que∑

i∈I

Ni =∑i∈I0

Ni.

Demostracion. Realizamos la prueba de la parte (a), la demostracion de la parte(b) es similar y la dejamos al lector.

(i)⇒(ii) Puesto que cada conjunto no vacıo de submodulos de N es un conjuntono vacıo de submodulos de M , entonces en dicho conjunto hay un elemento minimal,y ası N es artiniano. Sea {Qi}i∈I un conjunto no vacıo de submodulos de M/N ysea j : M −→ M/N el epimorfismo canonico; {j−1 (Qi)}i∈I es una familia novacıa de submodulos de M . Sea j−1 (Qi0) su elemento minimal. Veamos que Qi0 esminimal de {Qi}i∈I . En efecto, sea Qi ≤ Qi0 , entonces j−1 (Qi) ≤ j−1 (Qi0) y, porla minimalidad, j−1 (Qi) = j−1 (Qi0). De aquı resulta j (j−1 (Qi)) = j (j−1 (Qi0)), esdecir, Qi = Qi0 .

(ii)⇒(iii) Sea N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ · · · una cadena descendente de submodulos de My sea j : M −→ M/N el epimorfismo canonico. Sean Γ := {Ni | i = 1, 2, · · · },j (Γ) = {j (Ni) | i = 1, 2, · · · }, ΓN := {Ni ∩N | i = 1, 2, · · · }. Claramente estos con-juntos no son vacıos, entonces en j (Γ) y ΓN hay elementos minimales, digamos j (Nl)y Nm ∩N . Sea n := max (l,m), entonces

1.1. CONDICIONES DE NOETHER Y ARTIN 3

j (Nn) = j (Nn+i), Nn ∩N = Nn+i ∩N , i = 1, 2, . . .

Se quiere probar que Nn = Nn+i, para i = 1, 2, . . . . De j (Nn) = j (Nn+i) resulta

j−1 (j (Nn)) = j−1 (j (Nn+i))Nn +N = Nn+i +N

(Nn +N) ∩Nn = (Nn+i +N) ∩Nn

Nn = Nn+i + (N ∩Nn)= Nn+i + (Nn+i ∩N)= Nn+i.

(iii)⇒(i) Supongase que M no es artiniano. Existe entonces un conjunto no vacıoΓ de submodulos de M que no contiene elemento minimal. Para cada N ∈ Γ existeN ′ ∈ Γ tal que N ′ � N . Por el axioma de eleccion, podemos asignar a cada N unN ′. Sea N0 un elemento cualquiera de Γ, entonces resulta la cadena descendente

N0 N ′0 N ′′

0 · · ·

la cual no se detiene, en contradiccion con la condicion (iii).(i)⇒(iv) En el conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de submodulos

Nj, j ∈ I, hay elemento minimal, digamos D =⋂

i∈I0Ni, I0 ⊆ I finito. Para cada

j ∈ I, D ∩ Nj esta en el conjunto mencionado, pero por la minimalidad de D setiene que D ∩ Nj = D, es decir, D ≤ Nj. Entonces D ≤

⋂j∈I Nj ≤ D, es decir,

D =⋂

j∈I Nj.(iv)⇒(iii) Sea N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ · · · una cadena descendente de submodulos,

existe n tal que ⋂∞i=1Ni =

⋂ni=1Ni = Nn;

esto implica que Nn = Nj, j ≥ n.

Probaremos ahora que los modulos finitamente generados sobre anillos noethe-rianos (artinianos) son noetherianos (artinianos).

Proposicion 1.1.3. Sea M un A-modulo.

(i) Si M es una suma finita de submodulos noetherianos (artinianos), entoncesM es noetheriano (artiniano).

(ii) Si A es noetheriano a la derecha (artiniano a la derecha) y M es finitamentegenerado, entonces M es noetheriano (artiniano).

(iii) Cada anillo cociente de un anillo noetheriano a derecha (artiniano a derecha)es un anillo noetheriano a derecha (artiniano a derecha).


Demostracion. (i) Sea M =∑n

i=1Ni, Ni ≤ M . La prueba se realiza por induc-cion sobre n. Para n = 1, la afirmacion es cierta por la hipotesis. Ahora, si Ni esnoetheriano (artiniano) para 1 ≤ i ≤ n−1, entonces por induccion L :=

∑n−1i=1 Ni es

noetheriano (artiniano). Se tiene el isomorfismo M/Nn = (L+Nn) /Nn∼= L/L∩Nn.

Segun la proposicion 1.1.2, L/L ∩Nn es noetheriano (artiniano), es decir, M/Nn esnoetheriano (artiniano). Aplicando nuevamente la proposicion 1.1.2, obtenemos queM es noetheriano (artiniano).

(ii) Sea x1, . . . , xn un sistema de generadores para M , es decir, M =∑n

i=1 xi ·A;para cada xi definimos

fxi: A −→ xi · Aa 7−→ xi · a,

fxies claramente un A-homomorfismo. Ademas, A/ ker (fxi

) ∼= xi ·A. Puesto que AA

noetheriano (artiniano), entonces xi · A es noetheriano (artiniano). Segun el punto(i), M es noetheriano (artiniano).

(iii) Sea I un ideal bilatero de A. Entonces, IA es noetheriano (artiniano) y(A/I)A es noetheriano (artiniano). Si probamos que los ideales derechos de A/Icoinciden con los submodulos de (A/I)A, entonces el punto (iii) esta probado: bastaobservar que la estructura de A/I-modulo de A/I es

a · r = a · r = ar, a, r ∈ A/I,

ya que (A/I) · I = 0 (vease [12]).

Ejemplo 1.1.4. Con respecto al punto (i) de la proposicion anterior es pertinentehacer la siguiente anotacion: la suma directa externa de una familia finita de modulosnoetherianos (artinianos) es un modulo noetheriano (artiniano): en efecto,

M =⊕n

i=1Mi =∑n

i=1⊕M ′i , con M ′

i∼= Mi, M

′i ≤M .

De otra parte, la suma directa externa de una familia infinita de modulos noetheri-anos (artinianos) no es un modulo noetheriano (artiniano): para {Mi}i∈I , I infinito,Mi noetheriano (artiniano), sea M :=

⊕ni=1Mi. Existe J ⊆ I, con card(J) =

card(N), sea N :=⊕

i∈J Mi ≤M . Entonces,

N =∑∞

i=1⊕M ′i , M

′i∼= Mi,∑∞

i=1⊕M ′i

∑∞i=2⊕M ′

i · · ·

no se detiene, y de igual manera M ′1 � M ′

1 ⊕M ′2 � · · · no se detiene.

Otra consecuencia interesante de la proposicion 1.1.2 es la siguiente propiedad.

Proposicion 1.1.5. Sea M un A-modulo. M es noetheriano si, y solo si, cadasubmodulo de M es finitamente generado.

1.2. CADENAS DE SUBMODULOS 5

Demostracion. ⇒) Sea N ≤ M y consideremos la coleccion de submodulos cıclicos{{n〉 | n ∈ N}. Segun la parte (b) de la Proposicion 1.1.2, existe un conjunto finito{ni}k

i=1 de elementos de N tal que∑

n∈N{n〉 =∑k

i=1{ni〉, es decir, N es finitamentegenerado.

⇐) Sea {Ni}i∈I una coleccion no vacıa de submodulos de M . El submodulo∑i∈I Ni es por hipotesis finitamente generado, digamos

∑i∈I Ni = {m1, . . . ,mr〉.

Cada generador mj puede expresarse en la forma

mj = nij1 + · · ·+ nijkj, nijl

∈ Nijl, ijl ∈ I,

con 1 ≤ j ≤ r. Ası,∑

i∈I Ni =∑

i∈I0Nj, con I0 = {i11, · · · , i1k1 ; · · · ; ir1, · · · , irkr}.

Esto garantiza que M es noetheriano.

Ejemplo 1.1.6. (i) Notemos que todo modulo finito es claramente noetheriano yartiniano, ası por ejemplo, el Z-modulo Z2 es noetheriano y artiniano; a pesar de esto,no es un modulo libre, en constraste con la siguiente situacion: sea K un cuerpo ysea V un K-espacio vectorial infinito dimensional con base enumerable X = {xi}∞i=1.V es entonces un K-modulo libre, pero no es artiniano ni noetheriano:

V = 〈x1, x2, x3, . . . 〉K 〈x2, x3, . . . 〉K 〈x3, . . . 〉K · · ·

〈x1〉K � 〈x1, x2〉K � 〈x1, x2, x3〉K � · · ·

(ii) Sea A un anillo y A [x] el anillo de polinomios con coeficientes en A. Notese queA [x] es un A-modulo derecho no noetheriano:

0 � {1〉A � {1, x〉A � {1, x, x2〉A � · · ·

Sin embargo, si A es noetheriano a derecha (izquierda), entonces A [x] es tambiennoetheriano a derecha (izquierda). Este es el teorema de la base de Hilbert, del cualnos ocuparemos mas adelante. De otra parte, notemos que A [x] no es artiniano nicomo A-modulo ni como anillo:

A[x] = {1, x, x2, x3, . . . , 〉A {x, x2, x3, . . . , 〉A {x2, x3, . . . , 〉A · · ·

A[x] = {1, x, x2, x3, . . . , 〉A[x] {x, x2, x3, . . . , 〉A[x] {x2, x3, . . . , 〉A[x] · · ·

1.2. Cadenas de submodulos

Una estrategia para estudiar un modulo es considerar sus cadenas de submodulosy la longitud de estas. Estudiaremos en la presente seccion esta tecnica, en parti-cular, veremos el toerema de Jordan-Holder-Schreier sobre refinamientos isomorfosde cadenas de submodulos. En la presente y la siguiente seccion una cadena desubmodulos se entendera siempre finita.


Definicion 1.2.1. Sea M un A-modulo.

(i) Una cadena de M es una sucesion finita de submodulos de M totalmenteordenada comenzando en 0 y terminando en M :

0 = N0 ≤ N1 ≤ · · · ≤ Nk = M (1.2.1)

Se dice ademas que k es la longitud de la cadena; los cocientes Ni+1/Ni,0 ≤ i ≤ k − 1, se denominan secciones de la cadena.

(ii) Sea

0 = L0 ≤ L1 ≤ · · · ≤ Lr = M (1.2.2)

otra cadena de M . Se dice que (1.2.1) y (1.2.2) son isomorfas si k = r yexiste una permutacion p ∈ Sk (grupo simetrico de grado k) tal que

Ni+1/Ni∼= Lp(i)+1/Lp(i), 0 ≤ i ≤ k − 1.

(iii) Se dice que (1.2.2) es un refinamiento de (1.2.1), o tambien que (1.2.1) esuna subcadena de (1.2.2), si {N0, N1, · · · , Nk} ⊆ {L0, L1, · · · , Lr}.

(iv) Se dice que (1.2.1) es una cadena de composicion de M si cada seccion essimple, es decir, Ni+1/Ni es un modulo simple para 0 ≤ i ≤ k − 1.

(v) Se dice que M es un modulo de longitud finita si M = 0 o M posee al menosuna cadena de composicion de longitud k ≥ 1.

Ejemplo 1.2.2. Las definiciones anteriores pueden ser facilmente ilustradas en gru-pos abelianos, es decir, en Z-modulos:

(i) Notese que

0 � 6 · Z � 3 · Z � Z,

0 � 45 · Z � 15 · Z � 3 · Z � Z

son cadenas de Z con secciones

6 · Z/0 ∼= Z, 3 · Z/6 · Z ∼= Z2, Z/3 · Z ∼= Z3,

45 · Z/0 ∼= Z, 15 · Z/45 · Z ∼= Z3, Z/3 · Z ∼= Z3.

(ii) Z no posee cadenas de composicion: si 0 � N1 ≤ Z, entonces entre 0 y N1

siempre se puede encajar un submodulo no trivial.(iii) Notemos que en Z48 la cadena 0 ≤ Z2 ≤ Z6 ≤ Z12 ≤ Z24 ≤ Z48 es un

refinamiento de la cadena 0 ≤ Z2 ≤ Z12 ≤ Z48.

1.2. CADENAS DE SUBMODULOS 7

(iv) 0 ≤ Z2 ≤ Z6 ≤ Z24 y 0 ≤ Z4 ≤ Z12 ≤ Z24 son cadenas isomorfas de Z24: enefecto,

Z2/0 ∼= Z2,Z6/Z2

∼= Z3,Z24/Z6

∼= Z4,

Z4/0 ∼= Z4,Z12/Z4

∼= Z3,Z24/Z12

∼= Z2.

(v) Determinemos todas las cadenas de composicion de Z60: los subgrupos de Z60

son: 0,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z10,Z12,Z15,Z20,Z30,Z60, y las cadenas de composicion son:

0 ≤ Z2 ≤ Z4 ≤ Z12 ≤ Z60,0 ≤ Z2 ≤ Z4 ≤ Z20 ≤ Z60,0 ≤ Z2 ≤ Z6 ≤ Z12 ≤ Z60,0 ≤ Z2 ≤ Z6 ≤ Z30 ≤ Z60,0 ≤ Z2 ≤ Z10 ≤ Z20 ≤ Z60,0 ≤ Z2 ≤ Z10 ≤ Z30 ≤ Z60,0 ≤ Z3 ≤ Z6 ≤ Z12 ≤ Z60,0 ≤ Z3 ≤ Z6 ≤ Z30 ≤ Z60,0 ≤ Z3 ≤ Z15 ≤ Z30 ≤ Z60,0 ≤ Z5 ≤ Z10 ≤ Z20 ≤ Z60,0 ≤ Z5 ≤ Z10 ≤ Z30 ≤ Z60,0 ≤ Z5 ≤ Z15 ≤ Z30 ≤ Z60.

Todas las cadenas de composicion son isomorfas con secciones Z2,Z3,Z5.(vi) Cualquier cadena de QZ, 0 = B0 � B1 ≤ B2 ≤ · · · ≤ Bk = Q se puede refinar

de una manera no trivial ya que Q no posee submodulos maximales ni minimales.Q no posee entonces cadenas de composicion.

El que todas las cadenas de composicion del ejemplo 1.2.2 (iv) sean isomorfas noes coincidencia. El teorema de Jordan-Holder-Schreier establece precisamente estehecho. Para su prueba necesitamos el siguiente lema preliminar.

Lema 1.2.3 (Lema de Zassenhaus). Sean N ′ ≤ N ≤M , L′ ≤ L ≤M submodu-los de M . Entonces,

[N ′ + (N ∩ L)] / [N ′ + (N ∩ L′)] ∼= [L′ + (L ∩N)] / [L′ + (L ∩N ′)].

Demostracion. Debido a la simetrıa de las condiciones basta probar que el modulo dela izquierda es isomorfo a (N ∩ L) / [(N ′ ∩ L) + (L′ ∩N)]. Puesto queN∩L′ ≤ N∩Lentonces

N ′ + (N ∩ L) = (N ∩ L) + [N ′ + (N ∩ L′)].

Se tiene ademas la identidad

(N ∩ L) ∩ [N ′ + (L′ ∩N)] = (N ∩ L ∩N ′) + (N ∩ L′)= (N ′ ∩ L) + (N ∩ L′),


y en consecuencia el isomorfismo

[N ′ + (N ∩ L)] / [N ′ + (N ∩ L′)] = (N ∩ L) + [N ′ + (N ∩ L′)] / [N ′ + (N ∩ L′)]∼= (N ∩ L) / [(N ∩ L) ∩ (N ′ + (N ∩ L′))]= (N ∩ L) / [(N ′ ∩ L) + (N ∩ L′)].

Teorema 1.2.4 (Teorema de Jordan-Holder-Schreier). Dos cadenas cuales-quiera de un modulo M tienen refinamientos isomorfos.

Demostracion. Sean

N : 0 = N0 ≤ N1 ≤ · · · ≤ Nk = ML : 0 = L0 ≤ L1 ≤ · · · ≤ Lr = M

dos cadenas del modulo M . Entre Ni y Ni+1 insertamos los submodulos

Ni,j := Ni + (Ni+1 ∩ Lj), j = 0, 1, . . . , r.

Notese que

Ni = Ni,0 ≤ Ni,1 ≤ · · · ≤ Ni,r = Ni+1.

Analogamente, entre Lj y Lj+1 insertamos los submodulos

Lj,i := Lj + (Lj+1 ∩Ni), i = 0, 1, . . . , k.

Se tiene

Lj = Lj,0 ≤ Lj,1 ≤ · · · ≤ Lj,k = Lj+1.

Los refinamientos obtenidos de L y N se denotan por L∗ y N ∗ y tienen longitud kr.Segun el lema de Zassenhaus

Ni,j+1/Ni,j = Ni + (Ni+1 ∩ Lj+1) /Ni + (Ni+1 ∩ Lj)∼= Lj + (Lj+1 ∩Ni+1) /Lj + (Lj+1 ∩Ni)

= Lj,i+1/Lj,i.

Reindizando los elementos de L∗ y N ∗, no con parejas sino con naturales de 0 a krencontramos π ∈ Skr en la forma

(i, j) 7→ t, (i, j + 1) 7→ t+ 1π(t) 7→ (j, i), π(t) + 1 7→ (j, i+ 1)

y entonces

N∗t+1/N

∗t∼= L∗π(t)+1/L

∗π(t), 0 ≤ t ≤ kr − 1,

con lo cual L∗ ∼= N ∗.

1.3. MODULOS DE LONGITUD FINITA 9

El teorema anterior es particularmente importante para los modulos de longitudfinita.

Corolario 1.2.5. Sea M un modulo de longitud finita. Entonces

(i) Cada cadena de la forma N : 0 = N0 � N1 � · · · � Nk = M se puede refinarhasta una cadena de composicion.

(ii) Cualesquiera dos cadenas de composicion de M son isomorfas.

Demostracion. (i) Segun la hipotesis, M tiene una cadena de composicion L. Deacuerdo con el teorema 1.2.4, N y L tienen refinamientos isomorfos N ∗ y L∗, res-pectivamente. Como L es de composicion entonces L∗ = L y ası N ∗ es tambien unacadena de composicion, que es a su vez un refinamiento de N .

(ii) Consecuencia directa del teorema 1.2.4.

1.3. Modulos de longitud finita

El corolario 1.2.5 permite definir la longitud de un modulo de longitud finita. Enesta seccion mostraremos que los modulos de longitud finita coinciden con aquellosque son simultaneamente noetherianos y artinianos.

Definicion 1.3.1. Sea M un modulo de longitud finita. Se denomina longitud deM , denotada por long (M), a la longitud de cualquier cadena de composicion de M .Si M = 0, entonces long(M) = 0.

Proposicion 1.3.2. Un modulo M es artiniano y noetheriano si, y solo si, M esun modulo de longitud finita.

Demostracion. ⇒) Segun la proposicion 1.1.5, cada submodulo de M es finitamentegenerado. Esto implica que en cada submodulo N de M hay un submodulo maximal(vease [13]). Denotemos por N ′ un submodulo maximal de N . Aplicando esto a Mresulta la cadena M M ′ M ′′ · · · ; como M es artiniano, esta cadena se detieneen 0, es decir, esta es una cadena de composicion de M .

⇐) Sea

N : N1 ≤ N2 ≤ · · ·

una cadena ascendente de submodulos de M . Supongase que long(M) = k. Afir-mamos que en N hay maximo k+ 1 submodulos diferentes. Supongase lo contrario,entonces en N existe una subcadena de la forma

Ni1 � Ni2 � · · · � Nik+2.

Segun el corolario 1.2.5, la cadena


N ′ : 0 � Ni2 � · · · � Nik+1� M

se puede refinar hasta una cadena de composicion de M . Como long (N ′) = k + 1entonces long (M) ≥ k + 1, lo cual es contradictorio. Ası pues, M es noetheriano.De manera analoga se establece que M es artiniano.

Ejemplo 1.3.3. (i) Z y Q no son modulos de longitud finita: Z es noetheriano perono artiniano; Q no cumple ninguna de las dos condiciones de cadena.

(ii) Segun el ejemplo 1.2.2 (iv), long(Z60) = 4 .(iii) Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial de dimension n con base

X = {x1, · · · , xn}. Entonces, 0 � x1 ·K � x1 ·K⊕x2 ·K � · · · �∑n

i=1⊕xi ·K = Ves una cadena de composicion de V , y ademas long(V ) = n.

A continuacion mostraremos que para los modulos de longitud finita los endo-morfismos inyectivos, los sobreyectivos y los automorfismos coinciden. Notese queesta propiedad la tienen los espacios vectoriales finito dimensionales.

Proposicion 1.3.4. Sean M un A-modulo y f : M −→ M un endomorfismode M . Entonces,

(i) Si M es artiniano, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 se tiene M =Im (fn) + ker (fn).

(ii) Si M es artiniano y f es inyectivo, entonces f es un automorfismo.

(iii) Si M es noetheriano, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 se tiene0 = Im (fn) ∩ ker (fn).

(iv) Si M es noetheriano y f es sobreyectivo, entonces f es un automorfismo.

(v) Si M es de longitud finita, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 setiene M = Im (fn)⊕ ker (fn).

(vi) Si M es de longitud finita, entonces f es un automorfismo si, y solo si, f esinyectivo si, y solo si, f es sobreyectivo.

Demostracion. Notemos inicialmente que (v) y (vi) son consecuencias directas delas primeras cuatro afirmaciones. Ademas, (ii) es consecuencia de (i), y (iv) es con-secuencia de (iii): en efecto, como f es inyectivo entonces fn es tambien inyectivo(si x ∈ ker (fn), entonces f (fn−1 (x)) = 0, de donde fn−1 (x) = 0; continuandoası encontramos que f (x) = 0 lo cual implica que x = 0). Resulta entonces queM = Im (fn) ⊆ Im (f) ⊆M . La prueba de (iv) a partir de (iii) es similar.

Probemos entonces (i) ((iii) queda como ejercicio para el lector). Puesto queIm (f) ≥ Im (f 2) ≥ · · · debe existir n0 tal que para cada n ≥ n0 se cumpleIm (fn0) = Im (fn) = Im (f 2n). Sea m ∈ M , entonces fn (m) ∈ Im (f 2n) y existem′ ∈ M tal que fn (m) = f 2n (m′); esto implica que fn (m− fn (m′)) = 0, es decir,m− fn (m′) ∈ ker (fn), con lo cual M = Im (fn) + ker (fn).

1.4. EL TEOREMA DE LA BASE DE HILBERT 11

1.4. El teorema de la base de Hilbert

El teorema de Hilbert que estudiaremos a continuacion es sin duda uno de los teo-remas mas importantes del algebra, junto con el teorema de sicigias del algebrahomologica y el teorema de ceros de la geometrıa algebraica (veanse [16] y [3]),ambos tambien debidos a David Hilbert. El teorema de la base de Hilbert se puedeconsiderar como una forma de construir anillos noetherianos.

A pesar de que estamos considerando los modulos por el lado derecho, probare-mos el teorema en su version izquierda. Desde luego que el teorema es tambien validopor el lado derecho.

Teorema 1.4.1 (Teorema de la base de Hilbert). Sea A un anillo. A [x] noethe-riano a izquierda si, y solo si, A es noetheriano a izquierda.

Demostracion. ⇒) Consideremos el homomorfismo sobreyectivo de anillos A[x]f−→ A

definido por p(x) 7→ p(0). Entonces, A[x]/ ker(f) ∼= A. Por la proposicion 1.1.3, Aes noetheriano a izquierda.

⇐) Segun la proposicion 1.1.5, basta probar que cada ideal izquierdo no nulo Ide A [x] es finitamente generado. Dividimos esta prueba en tres pasos.

Paso 1. Si p(x) = p0 + p1x + · · · + pnxn ∈ A [x], pn 6= 0, lc(p(x)) := pn es el

coeficiente principal del polinomio p(x); el polinomio nulo tiene coeficiente principalnulo, vease [12]. Sea lc(I) el conjunto de coeficientes principales de los polinomiosdel ideal I, notemos que lc(I) es un ideal izquierdo de A: sean a, b ∈ lc(I), existenpolinomios

p1(x) = axm + am−1xm−1 + · · ·+ a0 ∈ I

p2(x) = bxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b0 ∈ I

y entonces xnp1(x) + xmp2(x) ∈ I, ası a + b ∈ lc(I); si r ∈ A, entonces rp1(x) ∈ Iy ra ∈ lc(I). Como A es noetheriano a izquierda entonces lc(I) es finitamentegenerado, sea {a1, . . . , ak} un sistema de generadores para lc(I), ai 6= 0, 1 ≤ i ≤ k.Existen entonces polinomios pi(x) ∈ I tales que lc(pi(x)) = ai. Al multiplicar estospolinomios por una potencia adecuada de x podemos suponer que todos tienen elmismo grado, digamos n. Consideremos el ideal izquierdo

J := 〈p1(x), . . . , pk(x)} =∑k

i=1A [x] · pi(x) ⊆ I.

Paso 2. Sea f(x) ∈ I, afirmamos que f (x) se puede escribir en la forma

f (x) = g (x) + h (x) , (1.4.1)

donde g (x) ∈ J y h (x) = 0 o gr (h (x)) ≤ n. En efecto, si f (x) = 0 o gr (f (x)) ≤n, entonces la afirmacion es trivialmente cierta con h (x) = f (x), g (x) = 0. Seaentonces gr (f (x)) := t > n. El coeficiente principal b del polinomio f (x) se puedeexpresar en la forma


b = r1a1 + · · ·+ rkak, ri ∈ A.

Es claro que el polinomio

f1(x) := f(x)− xt−n(∑k

i=1 ripi(x))

tiene grado a lo sumo igual t− 1, o, es nulo; por tanto, si

g1(x) := xt−n(∑k

i=1 ri · pi(x))

entonces

f (x) = g1(x) + f1(x),

donde g1(x) ∈ J . Si todavıa gr (f1 (x)) > n repetimos el razonamiento anterior ydescomponemos f1 (x),

f1 (x) = g2(x) + f2(x),

con g2 (x) ∈ J y f2(x) = 0, o, gr (f2 (x)) ≤ t− 2. Resulta

f (x) = g1(x) + g2(x) + f2(x),

con g1(x) + g2(x) ∈ J y f2(x) = 0, o, gr (f2 (x)) ≤ t − 2. Maximo al cabo de t − npasos llegamos a la descomposicion (1.4.1).

Paso 3. Como f(x) ∈ I y g(x) ∈ J ⊆ I entonces

h (x) = f(x)− g(x) ∈ I ∩ (A+ A · x+ · · ·+ A · xn) (1.4.2)

Consideremos el A-modulo izquierdo

L := I ∩ (A+ A · x+ · · ·+ A · xn).

Este es un submodulo del A-modulo finitamente generado A+A·x+· · ·+A·xn; comoA es noetheriano a izquierda, entonces, por la proposicion 1.1.3, A+A·x+· · ·+A·xn

es A-noetheriano y, por tanto, L es tambien A-finitamente generado. Ası pues,

L =∑m

i=1A · qi(x), para algunos qi(x) ∈ L.

Entonces,

I =∑k

i=1A [x] · pi(x) +∑m

i=1A [x] · qi(x).

En efecto, como pi(x), qi(x) ∈ I, la suma de la derecha esta en I, pero segun (1.4.1)y (1.4.2), esta suma contiene a I. Hemos probado que I es finitamente generado yla demostracion esta completa.

Corolario 1.4.2. Si A es un anillo noetheriano a izquierda, entonces A [x1, · · · , xn]es un anillo noetheriano a izquierda.

1.5. EJEMPLOS 13

1.5. Ejemplos

Presentamos en esta seccion varios ejemplos y contraejemplos relativos a modulos yanillos noetherianos y artinianos.

Ejemplo 1.5.1. (i) Sean R un anillo conmutativo y A una R-algebra. Si A como R-modulo es noetheriano (artiniano), entonces A como anillo es noetheriano (artiniano)a izquierda y derecha. En efecto, sea I un ideal derecho de A. Entonces, para cadax ∈ I y r ∈ R se tiene

x · r = (x1) · r = x (1 · r) ∈ I,

ası pues, I es un R-submodulo de A. De igual manera, si I es un ideal izquierdo deA, entonces para cada x ∈ I, r ∈ R se tiene que

x · r = r · x (ya que R es conmutativo)= r · (1x) = (r · 1)x ∈ I.

En consecuencia, cada cadena ascendente (descendente) de ideales derechos o izquier-dos de A es una cadena ascendente (descendente) de R-submodulos de A y, por tanto,debe detenerse. En particular, cada K-algebra de dimension finita sobre un cuerpoK es noetheriana y artiniana a ambos lados.

(ii) El recıproco de (i) no es necesariamente cierto: Q como anillo es noetherianoy artiniano, pero como Z-modulo no es noetheriano ni artiniano.

Una R-algebra A se dice noetheriana (artiniana) a derecha si A es un anillonoetheriano (artiniano) a derecha. Notese que si R es un anillo noetheriano (ar-tiniano) y A es una R-algebra finitamente generada como R-modulo, entonces Aes noetheriana (artiniana). En particular, las K-algebras de dimension finita sonartinianas y noetherianas.

(iii) Sea p primo y

Qp :={

apk | a ∈ Z, k ∈ N

},

Qp es un Z-modulo, mas exactamente, es un submodulo de QZ que contiene a Z.Notese que Zp∞ := Qp/Z es artiniano pero no es noetheriano, vease [12].

(iv) Mostramos ahora un ejemplo de anillo noetheriano y artiniano a derecha perono noetheriano ni artiniano a izquierda. Sean F y K cuerpos tales que F es unaextension infinita de K, [F : K] = ∞, es decir, F como K-espacio es de dimensioninfinita (por ejemplo, F = R, K = Q). Sea

S :=

{[k f1

0 f2

]| k ∈ K, f1, f2 ∈ F

}.

Notese que S es un anillo (ya que es subanillo de M2 (F )). Sea {xi}i∈N un conjuntoinfinito ennumerable de elementos de F linealmente independientes sobre K. Sea


si :=

[0 xi

0 0

], i ∈ N.

Entonces, [k f1

0 f2

]si =

[0 kxi

0 0

]y ası, el ideal izquierdo generado por si es de la forma

〈si} = Ssi =

[0 kxi

0 0

].

Resultan las siguientes cadenas ascendente y descendente de ideales izquierdos de Sque no se estabilizan:

Ss1 � Ss1 + Ss2 � · · ·∑∞i=1 Ssi

∑∞i=2 Ssi · · ·

Probaremos ahora que SS es de longitud finita: vemos inicialmente la forma quetoma el producto de dos elementos de S,[

h a1

0 a2

] [k f1

0 f2

]=

[hk t0 a2f2

], donde t = hf1 + a1f2.

Sean

A1 :=

[0 10 0

]S =

[0 F0 0

],

A2 :=

[0 00 1

]S =

[0 00 F

].

Entonces, los ideales derechos A1, A2 son simples (ya que F es un cuerpo), ademas,A1 ∩ A2 = 0; (A1 + A2) /A1

∼= A2 es simple. Se tiene entonces que 0 ( A1 (A1 +A2 ( S es una cadena de composicion para SS. En efecto, resta solo demostrarque A1 + A2 es maximal en SS. Sea[

h a1

0 a2

]/∈ A1 + A2,

entonces h 6= 0 y para

B := A1 + A2 +

[h a1

0 a2

]S

se tiene

1.5. EJEMPLOS 15

[0 00 1− a2

]+

[h a1

0 a2

] [h−1 −h−1a1

0 1

]=

[1 00 1

]∈ B,

es decir, B = S.(v) El anillo S del ejemplo anterior, considerado como S-modulo a izquierda, es

libre con base finita {1}, sin embargo, no es noetheriano ni artiniano. Oro ejemplocon estas mismas condiciones es el anillo de polinomios A[x] (vease el ejemplo 1.1.6).

(vi) Sea S como antes; SS es finitamente generado como S-modulo pero no esnoetheriano. Por tanto, en SS hay al menos un submodulo que no es finitamentegenerado.

(vii) A es noetheriano (artiniano) a derecha si, y solo si, Mn (A) es noetheriano(artiniano) a derecha (desde luego la afirmacion tambien es valida a izquierda):

⇒) Puesto que Mn (A) es un A-modulo finitamente generado, entonces Mn (A)es noetheriano (artiniano) como A-modulo. Sea J un ideal derecho de Mn (A). En-tonces, J es un A-submodulo de Mn (A) ya que

Xa = X

a 0. . .

0 a

∈ J , X ∈ J , a ∈ A.

Ası pues, cada cadena de ideales derechos se estabiliza y Mn (A) es noetheriano(artiniano) a derecha.

⇐) Supongase que A no es noetheriano (artiniano) a derecha. Entonces existeuna cadena ascendente (descendente) de ideales derechos en A

I1 � I2 � · · · (I1 I2 · · · )

la cual no se estabiliza. Esta cadena induce en Mn (A) la cadena ascendente (des-cendente) de ideales derechos

I1 · · · I10 · · · 0...

...0 · · · 0

�

I2 · · · I20 · · · 0...

...0 · · · 0

�

I3 · · · I30 · · · 0...

...0 · · · 0

� · · ·

la cual no se estabiliza.(viii) Sean A1, · · · , An anillos noetherianos (artinianos) a derecha. Entonces, el

anillo producto A = A1×· · ·×An es noetheriano (artiniano) a derecha, y viceversa.⇐) Sea J1 ⊆ J2 ⊆ · · · ⊆ Jm ⊆ · · · una cadena ascendente de ideales derechos

de A. Entonces, existen ideales derechos I i1, I

i2, . . . , I

in en A1, A2, · · · , An, respectiva-

mente, de tal forma que

I11 × I1

2 × · · · × I1n ⊆ I2

1 × I22 × · · · × I2

n ⊆ · · · ⊆ Im1 × Im

2 × · · · × Imn ⊆ · · ·


Se obtienen entonces las cadenas

I11 ⊆ I2

1 ⊆ · · · ⊆ Im1 ⊆ · · ·

I12 ⊆ I2

2 ⊆ · · · ⊆ Im2 ⊆ · · ·

I1n ⊆ I2

n ⊆ · · · ⊆ Imn ⊆ · · ·

Para cada 1 ≤ j ≤ n, existe mj tal que cada una de las anteriores cadenas se detieneen mj. Sea p := max {mj}n

j=1. Entonces, Ik1 = Ip

1 , · · · , Ikn ⊆ Ip

1 para cada k ≥ p, esdecir, Jk = Jp, para cada k ≥ p. Esto muestra que A es noetheriano a derecha.

⇒) Esta parte se deduce de la proposicion 1.1.3 y de que para cada 1 ≤ i ≤ n,Ai es una imagen homomorfa de A.

Ejemplo 1.5.2. Veremos en este ejemplo el teorema de la base de Hilbert para elanillo de series formales en el caso conmutativo, es decir, demostraremos que si Res un anillo conmutativo, entonces

R[[x]] es noetheriano ⇔ R es noetheriano.

En efecto, supongamos que R[[x]] es un anillo noetheriano y consideremos el homo-morfismo sobreyectivo f definido por

α : R[[x]]f−→ R

(pi) 7→ p0.

Entonces, R[[x]]/ ker(f) ∼= R y de esta manera R es noetheriano (proposicion 1.1.3).Supongamos ahora que R es noetheriano. Probaremos inicialmente la siguiente

propiedad debida a Cohen:Sea R un anillo conmutativo. R es noetheriano si, y solo si, cada ideal primo de

R es finitamente generado.La condicion necesaria es evidente. Veamos la prueba de la condicion suficiente:

sea M el conjunto de todos los ideales de R que no son finitamente generados. Laidea es mostrar que M es vacıo. Supongamos lo contrario, es decir, sea M 6= ∅,mediante el lema de Zorn podemos garantizar que M tiene un elemento maximalP ; si probamos que P es primo obtendremos una contradiccion con lo supuesto.Veamos entonces que P es un ideal primo de R: si P no es un ideal primo, existenelementos a, b ∈ R con ab ∈ P, pero a /∈ P, b /∈ P. Entonces el ideal P + Ra(el cual contiene a a) y (P : 〈a〉) = {x ∈ R |xa ∈ P} , (el cual contiene a b), sonestrictamente mas grandes que P, ası que son finitamente generados debido a lamaximalidad de P. Sea P + Ra = 〈p1 + r1a, . . . , pn + rna〉 con pi ∈ P, ri ∈ R,entonces P0 := 〈p1, . . . , pn〉 ⊆ P. Claramente se satisface que P0+Ra = P +Ra. Masaun, P0 +(P : 〈a〉)a = P : en efecto, la inclusion ⊆ es trivial. Para la otra inclusion,sea p ∈ P. Como P ⊆ P +Ra = P0 +Ra, entonces, p = p0 + ra con p0 ∈ P0, r ∈ R,luego ra = p− p0, luego r ∈ (P : 〈a〉), y ası p ∈ P0 + (P : 〈a〉)a. Finalmente, como

1.6. EJERCICIOS 17

P0 y (P : 〈a〉), son finitamente generados y P = P0 + (P : 〈a〉)a, se tiene que P esfinitamente generado, lo cual es una contradiccion; luego P es un ideal primo.

Con la propiedad de Cohen podemos completar el presente ejemplo: probemosque si R es noetheriano, entonces cada ideal primo P de R[[x]] es finitamente ge-nerado. Consideremos el conjunto P0 de elementos r ∈ R tal que r es el termi-no independiente de alguna serie f(x) de P . Entonces, P0 = 〈r1, . . . , rn〉, y seanf1, . . . , fn las series de P que tienen terminos constantes r1, . . . , rn, respectivamente.Consideremos dos casos.

Caso 1. x ∈ P . Entonces P = 〈r1, . . . ., rn, x〉. En efecto, sea g una serie de P , cong = g0 +g1x+g2x

2 + · · ·= g0 +x(g1 +g2x+ · · · ), entonces g0 ∈ P0, luego g0 = r′1r1 +· · ·+r′nrn. En consecuencia, g = r′1r1 + · · ·+r′nrn +x(g1 +g2x+ · · · ) ∈ 〈r1, . . . , rn, x〉.Recıprocamente, sea g ∈ 〈r1, . . . , rn, x〉, entonces existen series s1, . . . , sn, s ∈ R[[x]]tales que g = s1r1 + · · ·+snrn +xs= s1(f1−x(serie))+ · · ·+sn(fn−x(serie)))+xs,de donde g = s1f1 + · · ·+ snfn + x(serie) ∈ P .

Caso 2. x /∈ P . Entonces P = 〈f1, . . . , fn〉. En efecto, es claro que 〈f1, . . . , fn〉 ⊆P . Sea g un elemento de P con termino constante g0, en este caso podemos escribirg0 = a

(0)1 r1 + · · · + a

(0)n rn, con a

(0)i ∈ R. Por tanto, g − (a

(0)1 f1 + · · · + a

(0)n fn) tiene

termino constante nulo, luego es de la forma xg1 para algun g1 ∈ R[[x]]. Pero como P

es primo, entonces g1 ∈ P , y tenemos pues g−(a(0)1 f1+· · ·+a(0)

n fn) = xg1, con g1 ∈ P ,

es decir, g = (a(0)1 f1 + · · ·+ a

(0)n fn) + xg1. Podemos repetir este procedimiento para

g1 de tal forma que g1 = (a(1)1 f1 + · · ·+ a

(1)n fn) + xg2, reemplazando obtenemos que

g = (a(0)1 f1 + · · ·+a(0)

n fn)+x((a(1)1 f1 + · · ·+a(1)

n fn)+xg2), y de esta manera podemos

decir que g = (a(0)1 + a

(1)1 x+ a

(1)1 x2 + · · · )f1 + (a

(0)2 + a

(1)2 x+ a

(1)2 x2 + · · · )f2 + · · ·+

(a(0)n +a

(1)n x+a

(1)n x2 + · · · )fn. Hemos pues probado que en este caso P = 〈f1, . . . , fn〉.

1.6. Ejercicios

1. Demuestre la parte (b) de la proposicion 1.1.2.

2. Demuestre la parte (iii) de la proposicion 1.3.4.

3. Demuestre que si A es un anillo artiniano a derecha sin divisores de cero,entonces A es un anillo de division.

4. Sean A, B anillos y M un A-B-bimodulo. En el conjunto

C :=

{[a m0 b

]| a ∈ A, m ∈M , b ∈ B

}se definen la adicion por componentes y el producto por


[a1 m1

0 b1

] [a2 m2

0 b2

]:=

[a1a2 a1 ·m2 +m1 · b2

0 b1b2

].

Demuestre que

(i) C es un anillo.

(ii) C es noetheriano (artiniano) a derecha si, y solo si, AA, BB, MB sonnoetherianos (artinianos).

5. Sea R un anillo conmutativo y sea S un sistema multiplicativo de R. Demuestreque si R es noetheriano (artiniano), entonces RS−1 es noetheriano (artiniano)(la construccion de los anillos de fracciones en el caso conmutativo se puedeconsultar en [12]).

6. Sean M1, . . . ,Mn A-modulos. Demuestre que M1 ⊕ · · · ⊕Mn es de longitudfinita si, y solo si, cada Mi es de longitud finita, 1 ≤ i ≤ n.

7. Sean R un anillo conmutativo, M un R-modulo finitamente generado. De-muestre que para todo R-modulo noetheriano N , HomR(M,N) es un R-modu-lo noetheriano.

8. Sea R un anillo conmutativo noetheriano y sean M,N R-modulos finitamentegenerados. Demuestre que HomR(M,N) es un R-modulo finitamente genera-do.

9. Sean A un anillo y MA un A-modulo. Demuestre que M es noetheriano si, ysolo si, en cada coleccion no vacıa de submodulos finitamente generados hayelemento maximal.

10. Sea G un grupo abeliano. Demuestre que las siguientes condiciones son equi-valentes:

a) En cada coleccion no vacıa de subgrupos cıclicos hay elemento minimal.

b) T (M) = M , donde T (M) es el subgrupo de torsion de M (vease [13]).

c) En cada coleccion no vacıa de subgrupos finitamente generados hay ele-mento minimal.

11. Sea R un anillo conmutativo artiniano. Demuestre que cada ideal primo de Res maximal.

Capıtulo 2

Anillos locales no conmutativos

Los anillos locales conmutativos juegan un rol central en algebra conmutativa, enparticular, la localizacion de un anillo conmutativo por medio de un ideal primoconstituye una de las tecnicas fundamentales de esta area del algebra (veanse [1]y [?]). La construccion de un anillo local a partir de un anillo conmutativo y unideal primo puede ser consultada en [12]. Estudiaremos en este segundo capıtulo ladefinicion y algunas propiedades basicas de los anillos locales no conmutativos, quegeneralizan el caso conmutativo.

2.1. Definicion y propiedades

Proposicion 2.1.1. Sea J := A − A∗ el conjunto de elementos no invertibles delanillo A. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) J es cerrado para la adicion.

(ii) J es un ideal bilatero de A.

(iii) J es el mayor ideal derecho propio de A.

(iv) En A existe un ideal derecho propio maximo.

(v) Para cada a ∈ A se cumple que a es invertible a derecha, o, 1− a es invertiblea derecha.

(vi) Para cada a ∈ A se cumple que a es invertible, o, 1− a es invertible.

Los enunciados anteriores son tambien equivalentes por el lado izquierdo.

Demostracion. La simetrıa de la situacion muestra que basta realizar la demostra-cion por un solo lado, la haremos por el lado derecho.

19

20 CAPITULO 2. ANILLOS LOCALES NO CONMUTATIVOS

(i) ⇒ (ii) Probemos inicialmente que cada elemento invertible a la derecha esinvertible. Sea b ∈ A tal que bb′ = 1, con b′ ∈ A. Consideremos dos casos.

Caso 1. b′b /∈ J . Existe s ∈ A tal que 1 = sb′b, de aquı resulta que b es invertiblea derecha e izquierda, es decir, b es invertible.

Caso 2. b′b ∈ J . En este caso, 1− b′b /∈ J y existe s ∈ A tal que 1 = s (1− b′b),resulta b′ = s (1− b′b) b′ = s (b′ − b′bb′) = s (b′ − b′) = 0, en contradiccion con lacondicion bb′ = 1.

Sean ahora a ∈ J y x ∈ A. Supongase que ax /∈ J , existe s tal que axs = 1;teniendo en cuenta lo probado anteriormente, xsa = 1, y ası, a /∈ J , lo cual escontradictorio. Analogamente se prueba que xa ∈ J , y ası, J es un ideal bilatero.

(ii)⇒(iii) J es claramente un ideal derecho propio. Sea I � A un ideal derechode A, entonces I no posee invertibles, es decir, I ⊆ J .

(iii)⇒(iv) Evidente.(iv)⇒(v) Sea I el ideal derecho propio maximo de A. Supongamos que existe

a ∈ A tal que a y 1−a no son invertibles a derecha, entonces aA ( A, (1− a)A ( A,aA ⊆ I, (1− a)A ⊆ I, 1 ∈ aA+(1− a)A ⊆ I, pero esto ultimo implica que I = A,lo cual es contradictorio.

(v)⇒(vi) Es suficiente probar que cada elemento invertible a derecha es inverti-ble. Sea bb′ = 1. Consideremos nuevamente dos casos.

Caso 1. b′b es invertible a derecha. Entonces b′ es invertible a izquierda y derecha,es decir, b′ es invertible, de donde b resulta invertible.

Caso 2. 1 − b′b es invertible a derecha. Existe s tal que 1 = (1− b′b) s, b =b (1− b′b) s = bs− bb′bs = 0, en contradiccion con b′b = 1.

(vi)⇒(i) Supongase que a1, a2 ∈ J son tales que a1 + a2 ∈ A∗. Existe s ∈ Atal que s (a1 + a2) = 1 = (a1 + a2) s, es decir, sa1 = 1 − sa2. De (vi) obtenemosque sa2 ∈ A∗ o 1 − sa2 = sa1 ∈ A∗; puesto que s es invertible entonces el primercaso a2 resulta invertible, falso, y el en segundo a1 resulta invertible, tambien falso.Ası pues, a1 + a2 ∈ J .

Definicion 2.1.2. Un anillo A es local si satisface una de las condiciones equiva-lentes de la proposicion anterior.

Corolario 2.1.3. Sea A un anillo local y J su ideal de elementos no invertibles.Entonces,

(i) A/J es un anillo de division.

(ii) Cada elemento invertible a derecha (izquierda) de A es invertible.

(iii) Cada imagen homomorfa de A es local.

Demostracion. (i) y (ii) son consecuencia directa de la proposicion 2.1.1. La pruebade (iii) no es difıcil y queda a cargo del lector.

2.2. EJEMPLOS 21

2.2. Ejemplos

Presentamos ahora algunos ejemplos y contraejemplos relativos a anillos locales.

Ejemplo 2.2.1. (i) La definicion 2.1.2 de anillo local generaliza la del caso conmu-tativo (vease [12]). En efecto, si R es local conmutativo, entonces R−R∗ es un ideal(vease [12]) y por lo tanto es local en el sentido de la definicion 2.1.2. Si R es localen el sentido de la definicion 2.1.2, entonces R − R∗ es un ideal y R es local en elsentido conmutativo.

(ii) La definicion para el caso conmutativo no corresponde exactamente a la dadaaquı para anillos no conmutativos, es decir, si un anillo no conmutativo tiene un soloideal maximal bilatero esto no implica que sea local: en M2 (R), M2 (0) es el unicomaximal bilatero, sin embargo[

1 00 0

]/∈ GL2 (R),

[1 00 1

]−[

1 00 0

]=

[0 00 1

]/∈ GL2 (R),

con lo cual M2 (R) no es local.(iii) Todo anillo de division es local.(iv) El producto de anillos locales no necesariamente es local: T × T no es local,

donde T es un anillo de division.(v) Mn (A) es local si, y solo si, n = 1 y A es local: E11 /∈ GLn (A), E − E11 /∈

GLn (A), para n ≥ 2.(vi) Si A es local, AX no necesariamente es local: RN.(vii) Si A es local, no necesariamente cada subanillo de A es local: Z ≤ Q.(viii) Sean A un anillo local y J su ideal de elementos no invertibles. Entonces,

el anillo de sucesiones formales sobre A es local. Esto se deduce del hecho que elconjunto de elementos no invertibles de A [[x]] es

J0 := {(a0, a1, . . . ) | a0 ∈ J},

y J0 es cerrado para la suma. Notese ademas que A [[x]] /J0∼= A/J . Recıprocamente,

si A [[x]] es local, entonces A es local ya que A es una imagen homomorfa de A[[x]].(ix) Artiniano no implica local: Mn (T ), donde T es un anillo de division y n ≥ 2.(x) Noetheriano no implica local: Z.(xi) Artiniano y noetheriano no implica local: Mn (R), n ≥ 2.(xii) Local no implica artiniano: sea A [[x]] el anillo de sucesiones formales sobre

un anillo local A. Consideremos los subconjuntos

I0 := {(a0, a1, . . . ) | a0 = 0}I1 := {(a0, a1, . . . ) | a0 = a1 = 0}

...In := {(a0, a1, . . . ) | ai = 0, i = 0, 1, . . . n}.

22 CAPITULO 2. ANILLOS LOCALES NO CONMUTATIVOS

In claramente es un ideal izquierdo de A [[x]] (en realidad bilatero). Resulta entoncesla cadena descendente de ideales izquierdos

I0 I1 · · · In In+1 · · ·

la cual no se estabiliza.(xiii) Local no implica noetheriano: si R es un anillo conmutativo no noetheriano

y P es un ideal primo de R, entonces lam localizacion RP es un anillo local nonecesariamente noetheriano (vease [12]).

2.3. Ejercicios

1. Complete la demostracion del corolario 2.1.3.

2. Sea A un anillo. Demuestre que el anillo de polinomios A[x] no es local.

3. Sea A un anillo local. Demuestre que para cada A-modulo M las siguientescondiciones son equivalentes:

(i) El conjunto de submodulos de M es completamente ordenado respectode la inclusion.

(ii) El conjunto de submodulos cıclicos de M es completamente ordenadorespecto de la inclusion.

(iii) Cada submodulo finitamente generado de M es cıclico.

(iv) Cada submodulo de M generado por dos elementos es cıclico.

4. Sea A un anillo tal que cada elemento a de A es invertible o nilpotente , esdecir, existe n ≥ 1 tal que an = 0. Demuestre que A es local.

5. Sea A un anillo local y sea x ∈ A con inverso a derecha. Demuestre que x esinvertible.

6. Sea A un anillo contenido en un anillo de division T . Demuestre que si paracada x ∈ T − {0} se cumple que x ∈ A o x−1 ∈ A, entonces A es local.

7. Sea I un ideal bilatero propio en un anillo A tal que I es maximal en lacoleccion de ideales derechos de A. Demuestre que para cada n ≥ 1, A/In eslocal.

Capıtulo 3

Idempotentes y nilpotencia

Los elementos idempotentes y nilpotentes de un anillo A son utiles para estudiar suspropiedades. En este capıtulo los emplearemos para caracterizar los ideales minima-les derechos (izquierdos) de A. Estudiaremos descomposiciones de A en suma directade ideales derechos (izquierdos, bilateros). Ademas, presentaremos un nuevo tipo deanillo construido a partir de un monoide y un anillo de coeficientes; en particular,construiremos las llamadas algebras libres.

3.1. Definiciones y propiedades

Definicion 3.1.1. Sean A un anillo, a un elemento de A e I un ideal propio derecho(izquierdo, bilatero) de A.

(i) Se dice que a es idempotente si a2 = a.

(ii) Se dice que a es nilpotente si existe n ≥ 1 tal que an = 0. El menor n conesta condicion se denomina ındice de nilpotencia de a.

(iii) Se dice que I es un nilideal si cada elemento a ∈ I es nilpotente.

(iv) Se dice que I es nilpotente si existe n ≥ 1 tal que In = 0. El menor n conesta condicion se denomina ındice de nilpotencia de I.

Se presentan a continuacion ejemplos que ilustran las definiciones anteriores.

Ejemplo 3.1.2. (i) En un anillo local A los unicos idempotentes son los triviales,0 y 1.

(ii) Z muestra que el recıproco del ejemplo (i) no es cierto, o en forma mas gene-ral, podemos tomar cualquier dominio. Z ademas no posee elementos nilpotentes nonulos. Como Z es noetheriano, sus nilideales coinciden con sus ideales nilpotentes

23

24 CAPITULO 3. IDEMPOTENTES Y NILPOTENCIA

(vease la proposicion 3.1.3 mas adelante), sin embargo, el unico ideal nilpotente esel nulo.

(iii) Sea∏

i∈I Ai el anillo producto de la familia {Ai}i∈I . Notese que (ai) ∈∏i∈I Ai es idempotente si, y solo si, para todo i ∈ I, ai es idempotente de Ai.(iv) Del teorema de correspondencia de la teorıa general de anillos se obtiene

facilmente que Zn es local si, y solo si, n = pl, con p primo y l ≥ 2 (vease [12]).De aquı resulta que Zm tiene 2k idempotentes, donde k es el numero de primosdiferentes en la descomposicion de m = pr1

1 · · · prkk . En efecto, se tiene el isomorfismo

de anillos Zm∼= Zp

r11× · · · × Zp

rkk

y basta aplicar (i) y (iii).

(v) Calculemos los elementos nilpotentes de Zm, m = pr11 · · · p

rkk . Sea r, con

1 ≤ r ≤ m, un elemento nilpotente de Zm, entonces rn = 0, m | rn , prii | rn,

1 ≤ i ≤ k, pi | rn, pi | r, 1 ≤ i ≤ k, p1 · · · pk | r y r = p1 · · · pks , donde1 ≤ s ≤ pr1−1

1 · · · prk−1k . Recıprocamente, cada elemento de esta forma es nilpotente:

sea t := max {ri}, entonces rt = pt1 · · · pt

kst = 0, y t es el ındice de nilpotencia de r.

(vi) Zm, con m ≥ 2, es noetheriano, y por tanto, sus nilideales coinciden con susideales nilpotentes. Como los ideales de Zm son principales, segun (v), los nilpotentesson de la forma 〈r〉, con r como en el ejemplo (v).

Algunas propiedades notables relacionadas con los conceptos de la definicion3.1.1 son las siguientes.

Proposicion 3.1.3. Sea A un anillo y a ∈ A.

(i) Si a es nilpotente, entonces a /∈ A∗ pero 1− a ∈ A∗.

(ii) Si a es idempotente, entonces 1 − a tambien es idempotente y se tiene ladescomposicion de Pierce:

A = aA⊕ (1− a)A.

(iii) Si a es idempotente e invertible, entonces a = 1.

(iv) Si a es idempotente y nilpotente, entonces a = 0.

(v) Sea e idempotente y x ∈ A. x ∈ eA si, y solo si, x = ex. En forma similar,x ∈ Ae si, y solo si, x = xe. Ademas, eAe es un anillo con identidad e.

(vi) Cada ideal derecho (izquierdo, bilatero) nilpotente es un nilideal derecho (iz-quierdo, bilatero).

(vii) La suma finita de ideales derechos (izquierdos, bilateros) nilpotentes es un idealderecho (izquierdo, bilatero) nilpotente.

(viii) Si AA es noetheriano, entonces cada nilideal bilatero es nilpotente. La afirma-cion tambien es valida para AA.

3.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 25

(ix) Sea I un ideal minimal derecho (izquierdo). Entonces, I2 = 0 o I = eA, cone2 = e 6= 0 (en el caso a izquierda, I = Ae).

(x) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) A no contiene ideales bilateros no nulos nilpotentes de ındice 2.

(b) A no contiene ideales derechos no nulos nilpotentes de ındice 2.

(c) A no contiene ideales izquierdos no nulos nilpotentes de ındice 2.

(d) A no contiene ideales bilateros no nulos nilpotentes.

(e) A no contiene ideales derechos no nulos nilpotentes.

(f) A no contiene ideales izquierdos no nulos nilpotentes.

(xi) Sea A un anillo que no contiene ideales bilateros no nulos nilpotentes de ındice2 y sea e un idempotente no nulo de A. Entonces, eA es minimal derecho, siy solo si, eAe es un anillo de division si, y solo si, Ae es minimal izquierdo.

Demostracion. Los puntos (i)-(vi) son de demostracion directa a partir de las defini-ciones.

(vii) Basta efectuar la prueba para dos ideales derechos (el caso izquierdo seprueba en forma similar). Sean In = 0, Jm = 0, con n,m ≥ 1. Afirmamos que(I + J)n+m = 0. Los elementos de (I + J)n+m son sumas finitas en las que cadasumando es un producto de la forma

n+m∏i=1

(ai + bi) , ai ∈ I, bi ∈ J. (3.1.1)

El desarrollo del producto anterior es una suma en la que cada sumando es unproducto de n + m factores. En cada uno de estos factores hay por lo menos nelementos de I o por lo menos m elementos de J . Ası pues, cada sumando deldesarrollo de (3.1.1) es nulo y la afirmacion esta probada.

(viii) Sea I un nilideal bilatero de A. Puesto que AA es noetheriano entonces elconjunto de ideales nilpotentes derechos contenidos en I tiene elemento maximal I0.Sea In

0 = 0, n ≥ 1. Segun (vii), I0 es ademas el maximo ideal nilpotente derecho deA contenido en I. Puesto que para cada x ∈ A, xI0 es un ideal derecho nilpotentede A contenido en I, entonces I0 es un ideal bilatero. De otra parte, notese que sib ∈ I es tal que (bA)k ⊆ I0 para algun k ≥ 1, entonces (bA)kn = 0 y bA ⊆ I0.Concluimos la prueba de (viii) afirmando que I0 = I. Supongase lo contrario. Paracada elemento b ∈ I − I0 el conjunto

rA (b, I0) := {r ∈ A | br ∈ I0} (3.1.2)

es un ideal derecho de A (notese que este ideal se puede definir para cualquierelemento b de A). Como I − I0 6= ∅ entonces la coleccion de ideales derechos comoen (3.1.2) no es vacıa; en vista de la noetherianidad existe b0 ∈ I − I0 tal que


rA (b0, I0) := {r ∈ A | b0r ∈ I0}

es maximal. Como I e I0 son bilateros, entonces para cada x ∈ A

xb0 ∈ I, rA (b0, I0) ⊆ rA (xb0, I0).

Para los x ∈ A tales que xb0 /∈ I0 se tiene que

rA (b0, I0) = rA (xb0, I0) . (3.1.3)

Sea x ∈ A tal que xb0 /∈ I0. Como I es un nilideal y xb0 ∈ I, no es posible que todaslas potencias de xb0 esten fuera de I0 (alguna sera igual a 0 ∈ I0). Sea k el menorde tales exponentes, es decir, (xb0)

k−1 /∈ I0 , (xb0)k ∈ I0. Segun (3.1.3),

rA (b0, I0) = rA

((xb0)

k−1 , I0

).

Puesto que xb0 ∈ rA

((xb0)

k−1 , I0

), entonces xb0 ∈ rA (b0, I0), es decir, b0xb0 ∈ I0

para cada x ∈ A tal que xb0 /∈ I0. Ahora, si x es tal que xb0 ∈ I0 entonces tambienb0xb0 ∈ I0 (I0 es bilatero). En conclusion, para cada x ∈ A, b0xb0 ∈ I0, con lo cual(b0A)2 ⊆ I0. Segun lo probado arriba, b0A ⊆ I0, luego b0 ∈ I0, y se obtiene unacontradiccion.

(ix) Sea I un ideal minimal derecho de A (la prueba para izquierdos es analoga).Si para cualesquiera elementos a, b ∈ I, ab = 0, entonces I2 = 0 y el ındice denilpotencia de I es 2. Sean pues a, b ∈ I con ab 6= 0. aI es un ideal derecho no nulocontenido en I. Por tanto, aI = I. Sea e ∈ I con ae = a. Mostremos que eA = I,e2 = e, e 6= 0. La ultima condicion es evidente ya que de lo contrario a = 0. Como 0 6=eA ⊆ I entonces eA = I y (e2 − e)A ⊆ I. Si (e2 − e)A = I, entonces b = (e2 − e)x,x ∈ A, y de aquı ab = a (e2 − e)x = (ae2 − ae)x = (aee− a)x = (ae− a)x =(a− a)x = 0, lo cual es falso. Entonces, (e2 − e)A = 0 , y ası, (e2 − e) 1 = 0, esdecir, e2 = e.

(x) (a)⇒(b) Supongase que A tiene un ideal derecho no nulo I, nilpotente yde ındice 2; sea 0 6= a ∈ I y consideremos el ideal bilatero 〈a〉. Entonces, 〈a〉 esnilpotente de ındice 2: en efecto, (xay) (x′ay′) = x (ayx′) ay′ = 0.

(b)⇒(a). Evidente.

(a)⇔(c) Esta prueba es analoga a la de la equivalencia anterior.

(a)⇒(d) Sea I un ideal bilatero no nulo nilpotente de ındice n ≥ 2. Si n = 2k,

k ≥ 1, entonces Ik 6= 0 e(Ik)2

= 0, es decir, Ik es no nulo bilatero y nilpotente de

ındice 2. Si n = 2k + 1, k ≥ 1, entonces(Ik+1

)2= 0, donde Ik+1 es no nulo bilatero

y nilpotente de ındice 2 ya que k + 1 < 2k + 1.

(d)⇒(a) Evidente.

Las equivalencias (b)⇔(e), (c)⇔(f) son analogas a la anterior.

3.2. DESCOMPOSICION ORTOGONAL 27

(xi) ⇒) Sea eae no nulo en el anillo eAe, entonces 0 6= eaeA ⊆ eA, y ası,eaeA = eA. Existe x ∈ A tal que eaex = e, con lo cual e = (eae) (exe), y eae resultainvertible a derecha. Esto garantiza que eAe es un anillo de division.

⇐) Sea I un ideal derecho de A tal que 0 6= I ⊆ eA. Notese que Ie ⊆ eAees un ideal derecho de eAe; por tanto, Ie = 0, o, Ie = eAe. En el primer casoI2 ⊆ IeA = 0. Por tanto, Ie = eAe y e ∈ Ie ⊆ I, es decir, eA = I.

Los anillos que cumplen una cualquiera de las condiciones de la parte (x) de laproposicion anterior se denominan semiprimos , vease el ejercicio 2 del capıtulo 7.

3.2. Descomposicion ortogonal

La descomposicion de un anillo en suma directa de ideales esta en correspondenciacon la descomposicion de su elemento identidad en suma de idempotentes ortogo-nales, tal como veremos a continuacion.

Definicion 3.2.1. Dos elementos a y b de un anillo A son ortogonales si

ab = 0 = ba.

Teorema 3.2.2. Sea A un anillo.

(a) Si

A =∑i∈C

⊕Ii (3.2.1)

es una descomposicion de A en suma directa de ideales derechos. Entonces,

(i) El subconjunto C0 := {i ∈ C | Ii 6= 0} es finito no vacıo y

A =∑i∈C0

⊕Ii. (3.2.2)

(ii) Existen elementos no nulos ei ∈ Ii, i ∈ C0, tales que

1 =∑

i∈C0ei,

eiej =

{ei, i = j0, i 6= j,

Ii = eiA.

(iii) Si para cada i ∈ C0, Ii es un ideal bilatero, entonces cada ei esta en elcentro de A.

(b) Recıprocamente, si e1, . . . , en son idempotentes ortogonales no nulos de A talesque


1 = e1 + · · ·+ en, (3.2.3)

entonces

(i) A = e1A⊕ · · · ⊕ enA.

(ii) Si para cada 1 ≤ i ≤ n, ei esta en el centro de A, entonces eiA es un idealbilatero de A y eiA = Aei = eiAei es un anillo con identidad ei. Ademas, cadaideal derecho (izquierdo, bilatero) del anillo eiA es un ideal derecho (izquierdo,bilatero) de A. Cada ideal derecho (izquierdo) minimal de A contenido en eiAes un ideal derecho (izquierdo) minimal de eiA.

Demostracion. (a) (i) Existe un subconjunto finito C0 ⊆ C tal que 1 =∑

i∈C0ei, ei ∈

Ii, ei 6= 0 (escogemos la representacion de 1 con sumandos no nulos). Entonces, A ⊆∑i∈C0

⊕eiA ⊆∑

i∈C0⊕Ii ⊆ A, es decir, A =

∑i∈C0

⊕Ii. Puesto que la suma dada esdirecta, entonces Ii = 0 para i /∈ C0, es decir, C0 coincides with {i ∈ C | Ii 6= 0}.

(ii) Sea i ∈ C0, entonces ei =∑

j∈C0ejei; como la suma es directa y ei − e2i ∈

Ii ∩∑

j∈C0,j 6=i Ij = 0, luego ei = e2i , es decir, para cada i ∈ C0, ei es idempotente.Ademas, 0 =

∑j∈C0,j 6=i ejei, de donde, ejei = 0 para cada j 6= i, es decir, los

idempotentes elegidos son ortogonales entre si. Por ultimo, para cada i ∈ C0 tenemosque eiA ⊆ Ii, y si x ∈ Ii, entonces x =

∑j∈C0

ejx, de donde x = eix ∈ eiA, luegoIi = eiA.

(iii) Sea a ∈ A, entonces a =∑

i∈C0eia =

∑i∈C0

aei. Si para cada i ∈ C0, Ii esbilatero, entonces aei ∈ Ii y, en vista de la suma directa (3.2.1 ), eia = aei, es decir,ei esta en el centro de A.

(b) (i) Sea a ∈ A. De (3.2.3) resulta, a =∑n

i=1 eia, con lo cual, A =∑n

i=1 eiA. Si0 = e1a1 + · · ·+ enan, entonces ei0 = 0 = ei(e1a1 + · · ·+ enan) = e2i ai = eiai, luegoA =

∑ni=1⊕eiA.

(ii) Las primeras dos afirmaciones son evidentes. Sea entonces I un ideal derecho(izquierdo, bilatero) de eA. Para cada x ∈ A y cada a = eia ∈ I se tiene queax = eiax = a(eix) ∈ I, luego I es un ideal derecho de A (los casos izquierdo ybilatero se prueban en forma analoga)

Por ultimo, es claro que si I es un ideal derecho de A contenido en eiA, entoncesI es un ideal derecho de eiA; sea pues I un ideal derecho minimal de A contenidoen eiA. Sea I ′ un ideal derecho de eiA tal que 0 6= I ′ ⊆ I. Segun lo probado, I ′ esideal derecho de A, y ası, I ′ = I. La prueba para ideales izquierdos en analoga.

Una consecuencia directa del teorema anterior es el siguiente corolario.

Corolario 3.2.3. Sea A un anillo. Entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(i) AA es irreducible.

3.2. DESCOMPOSICION ORTOGONAL 29

(ii) AA es irreducible.

(iii) Los unicos idempotentes de A son los triviales.

Corolario 3.2.4. Sean M un A-modulo no nulo y B := EndA (M). Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

(i) MA es irreducible.

(ii) BB es irreducible.

(iii) BB es irreducible.

(iv) 0 y 1 son los unicos idempotentes de B.

Demostracion. Segun el corolario 3.2.3, basta probar la equivalencia (i)⇔(iv).(i)⇒(iv): sea e un idempotente de B, entonces 1 = e + (1 − e) y para cada

m ∈M , m = e ·m+ (1− e) ·m. Esto implica que M = e ·M ⊕ (1− e) ·M , ya quesi e · (m1) = (1− e) · (m2), entonces e2 ·m1 = e ·m1 = e · (1− e) ·m2 = 0. Segun (i),e ·M = 0 o (1− e) ·M = 0, es decir, e = 0 o e = 1.

(iv)⇒(i): sea M = N1 ⊕N2, con N1, N2 ≤M . Consideremos la proyeccion

p1 : M −→ N1

n1 + n2 7−→ n1

p1 es un endomorfismo idempotente de M , con lo cual p1 = 0 o p1 = 1. En el primercaso N1 = 0 y en el segundo N1 = M , ası, M es irreducible.

Corolario 3.2.5. Si B := End (MA) es local, entonces MA es irreducible.

Demostracion. Consecuencia del corolario anterior ya que en un anillo local losunicos idempotentes son los triviales.

Estudiamos ahora el recıproco del corolario anterior.

Lema 3.2.6. Sea M 6= 0 un modulo irreducible de longitud finita. Entonces, elanillo EndA (M) es local y sus elementos no invertibles coinciden con sus elementosnilpotentes.

Demostracion. Sea f ∈ EndA (M). Segun la proposicion 1.3.4, existe n ≥ 1 tal queM = Im (fn) ⊕ ker (fn). Como M es irreducible, ker (fn) = 0, o, Im (fn) = 0. Siker (fn) = 0, entonces ker (f) = 0 y f es un monomorfismo. Por la misma proposicionmencionada, f es un automorfismo, es decir, f es invertible. Si Im (fn) = 0, entoncesfn = 0 y f es nilpotente, es decir, 1− f es invertible, completando la prueba de laprimera afirmacion.

Si f no es invertible, entonces ker (f) 6= 0, ker (fn) 6= 0, y en consecuencia,Im (fn) = 0, es decir, f es nilpotente.


Ejemplo 3.2.7. El recıproco del corolario 3.2.5 es falso. En efecto, Z es irreduciblepero EndZ (Z) ∼= Z no es local.

Ejemplo 3.2.8. QZ no es de longitud finita pero EndZ (Q) ∼= Q es local. Estomuestra que el recıproco del lema 3.2.6 no es cierto.

Ejemplo 3.2.9. La segunda parte del teorema 3.2.2 se puede complementar de lasiguiente manera: sea A := A1×· · ·×An el anillo producto de la familia finita de ani-llos A1, . . . , An. El 1 de A tiene la siguiente descomposicion en suma de idempotentesortogonales centrales no nulos,

1 = e1 + · · ·+ en, ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), 1 en la posicion i, 1 ≤ i ≤ n.

Para A se tiene entonces una descomposicion en suma de ideales bilateros no nulosortogonales entre sı:

A = I1 ⊕ · · · ⊕ In,

con Ii := eiA = Aei = eiAei. Notese que Ii es un anillo isomorfo a Ai:

Ii = eiAei = 0× · · · × Ai × · · · × 0 ∼= Ai.

Por ultimo, si I es un ideal bilatero de A, entonces I es de la forma

I = J1 ⊕ · · · ⊕ Jn,

donde Ji es un ideal bilatero de A contenido en Ii y, por lo tanto, un bilatero delanillo Ii.

3.3. Anillo de un monoide

Los anillos y las algebras de grupo son pieza fundamental en el estudio de la teorıa derepresentacion de grupos y algebras y, en general, en la teorıa de algebras. Presenta-mos en esta seccion la construccion de tales anillos. Volveremos a considerarlos masadelante cuando estudiemos su semisimplicidad a traves del teorema de Maschke.

Sean G un monoide con identidad e y A un anillo cualquiera. Consideremosel A-modulo izquierdo A [G] libre con una base de cardinalidad igual a la de G.Recordemos que, salvo isomorfismo, A [G] es la suma directa externa de la familia{Ag}g∈G, con Ag :=A A. Por medio de las inyecciones canonicas

µg : Ag −→ A [G]

podemos identificar g := µg (1) y asumir que G ⊆ A [G] es una base de A [G]. Deesta manera, para cada g ∈ G y 1 ∈ A, 1 · g = g. Se afirma que A [G] es un anillocon unidad e = 1 · e. En efecto, como A [G] es A-libre con base G, cada elemento deA [G] se puede expresar como una combinacion lineal finita de elementos de G concoeficientes en A: si x ∈ A [G], entonces existe T ⊆ G, T finito, tal que

3.3. ANILLO DE UN MONOIDE 31

x =∑

g∈T ag · g, ag ∈ A.

La estructura aditiva de A [G] es la que tiene como grupo abeliano en el A-moduloA [G]: completando con sumandos nulos se tiene que∑

g∈T

ag · g +∑g∈T

bg · g =∑g∈T

(ag + bg) · g; (3.3.1)

notese que (3.3.1) es la descomposicion de la suma a traves de la base G. El opuestode∑

g∈T ag · g es∑

g∈T (−ag) · g; el cero es 0 = 0 · e. El producto en A [G] se definede la siguiente manera:(∑

g∈T

ag · g

)(∑g′∈T ′

a′g′ · g′)

:=∑g∈T

g′∈T ′

(aga

′g′

)· gg′ (3.3.2)

Notese que (3.3.2) no es en general una descomposicion del producto a traves dela base G. Si G = {g1, . . . , gn} es finito, (3.3.2) se puede simplificar y expresar elproducto a traves de la base:

(∑n

i=1 ai · gi)(∑n

j=1 bj · gj

)=∑n

i,j=1 (aibj) · gigj =∑n

k=1 ck · gk,

conck =

∑gigj=gk

i,j=1,...,n

aibj.

Es facil comprobar que A [G] es un anillo con identidad e = 1 · e. Se dice que A [G]es el anillo del monoide G sobre A. Si G es un grupo, se dice que A [G] es elanillo del grupo G sobre A.

Notemos que la inclusion canonica

ι : G→ A[G]

g 7→ 1 · g

es un homomorfismo inyectivo de monoides que permite considerar G ⊆ A[G] en talforma que g := 1 · g, y en particular, e := 1 · e como el elemento identidad de A[G].

Segun (3.3.1) y (3.3.2), la funcion canonica

ι′ : A→ A[G]

a 7→ a · e

es un homomofismo (inyectivo) de anillos y ι′(A) = A · e := {a · e | a ∈ A} es unsubanillo de A [G] isomorfo a A. Podemos entonces considerar que A ⊆ A [G] medi-ante la identificacion a := a · e. En particular, el elemento identidad 1 · e de A [G] seescribe tambien como 1. De esta observacion tambien se desprende que los elementosde A y de G conmutan en A [G]:


ga = (1 · g) (a · e) = (1a) · (ge) = a · g,ag = (a · e) (1 · g) = (a1) · (eg) = a · g.

Si A = R es conmutativo, R [G] es una R- algebra, llamada algebra del monoide(grupo) G sobre A.

Ejemplo 3.3.1. Sea {x1, . . . , xn} un conjunto finito de variables, y consideremos elmonoide conmutativo M que consta de todos los monomios de la forma xk1

1 · · ·xknn ,

con ki ∈ N, 1 ≤ i ≤ n; el producto en M esta definido por

(xk11 · · ·xkn

n )(xl11 · · ·xln

n ) := xk1+l11 · · ·xkn+ln

n .

El elemento neutro de M es el monomio 1 := x01 · · ·x0

n. Notemos entonces que parael habitual anillo de polinomios A[x1, . . . , xn] se tiene que

A[x1, . . . , xn] ∼= A[M ].

Este un isomorfismo de anillos y de A-modulos.

Ejemplo 3.3.2. Consideremos el algebra de grupo K [G], donde K es un cuerpoy G un grupo finito de orden n. Sea r :=

∑g∈G g. Claramente gr = r, para cada

g ∈ G; nr := r + · · · + r = g1r + · · · + gnr = (g1 + · · ·+ gn) r = rr = r2, es decir,nr = r2. Si char (K) | n, r2 = 0 y r es nilpotente (vease [12] para la caracterıstica

de un anillo). Si char (K) - n, entonces 1n∈ K y

(1nr)2

= 1n2 r

2 = nn2 r = 1

nr, es decir,

1nr es idempotente.

La construccion del anillo A[G] tiene la siguiente propiedad.

Proposicion 3.3.3 (Propiedad universal). Sean A un anillo, G un monoide yA[G] el anillo del monoide G sobre A. Sea B un anillo tal que existen un homo-morfismo θ : G→ B del monoide G en el monoide multiplicativo del anillo B y unhomomorfismo de anillos θ′ : A→ B de tal forma que

θ′(a)θ(g) = θ(g)θ′(a), para cada a ∈ A y g ∈ G.

Entonces, existe un unico A-homomorfismo de anillos, θ : A[G] → B, tal que θι = θ,donde ι : G→ A[G] es la inclusion de G en A[G]:

G A[G]

B?

θ

-ι ppppppppp θ

θ(a · g) := θ′(a)θ(g), a ∈ A, g ∈ G. (3.3.3)

3.4. ANILLOS Y ALGEBRAS LIBRES 33

Demostracion. Puesto que A[G] es A-libre con base G y B es un A-modulo a izquier-da con el producto dado por a · b := θ′(a)b, entonces existe un unico homomorfismode A-modulos θ : A[G] → B tal que θι = θ. Resta probar que θ es multiplicativo,θ(1) = 1 y la unicidad de θ. Recordemos que

θ(∑g∈T

ag · g) :=∑g∈T

ag · θ(g) =∑g∈T

θ′(ag)θ(g),

en particular (3.3.3) se cumple. Resulta θ(1) = θ(1 · e) = θ′(1)θ(e) = 1 (otra formade probar esto es de la siguiente manera: θ(1) = θ(1 · e) = θ(ι(e)) = θ(e) = 1).Si existe otro A-homomorfismo de anillos α : A[G] → B tal que αι = θ, entoncesla unicidad del homomorfismo de A-modulos implica que α = θ. Finalmente, θ esmultiplicativo ya que

θ((ag · g)(bg′ · g′)) = θ((agbg′) · gg′) = θ′ (agbg′) θ(gg′)

= θ′(ag)θ′(bg′)θ(g)θ(g

′) = θ′(ag)θ(g)θ′(bg′)θ(g

′)

= θ(ag · g)θ(bg′ · g′).

Corolario 3.3.4. Sean A, G, B, θ y θ′ como en el enunciado de la proposicion3.3.3. Si B cumple tambien la propiedad universal, entonces B ∼= A[G].

Demostracion. Ejercicio para el lector.

3.4. Anillos y algebras libres

Sean A un anillo y X un conjunto no vacıo, construiremos ahora un nuevo anillocon estos dos objetos, en forma analoga a como vimos en la seccion anterior. Enparticular, definiremos y construiremos las algebra libres, y probaremos que cadaalgebra es el cociente de un algebra libre.

El monoide libre GX en el alfabeto X se define de la siguiente manera: loselementos de X se denominan letras, una secuencia ordenada finita de letras se diceque es una palabra ,

x1x2 · · ·xn, xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ n.

Dos palabras x1 · · ·xn, y1 · · · ym son iguales si, y solo si, n = m y xi = yi, para cada1 ≤ i ≤ n. GX es el conjunto de todas las posibles palabras en el alfabeto X, juntocon la palabra vacıa , la cual no tiene letras, y se dentoa por e. El producto en GX

se define mediante la concatenacion de palabras:

(x1 · · ·xn)(xn+1 · · ·xn+m) := x1 · · ·xn+m.


El elemento neutro de GX es e; notemos que si Card(X) ≥ 2, entonces GX es noabeliano. En cualquier caso GX es infinito.

El anillo libre sobre A en el alfabeto X se define por A{X} := A[GX ], esdecir, es el anillo del monoide GX sobre el anillo A. Si X := {x} es unitario,entonces A{X} = A[x] es el anillo habitual de polinomios en la variable x; siX := {x1, . . . , xn} es finito, entonces A{X} = A{x1, . . . , xn} es el “anillo de poli-nomios” en las variables x1, . . . , xn, las cuales no conmutan entre si, pero tal comovimos en la seccion anterior, las variables conmutan con los coeficientes:

axi = xia, para cada a ∈ A, 1 ≤ i ≤ n.

Si R es un anillo conmutativo, la R-algebra R{X} se denomina el algebra libresobre R en el alfabeto X.

Proposicion 3.4.1 (Propiedad universal). Sean A un anillo, X un conjunto novacıo y A{X} el anillo libre sobre A en el alfabeto X. Sea B un anillo con unafuncion θ : X → B y un homomorfismo de anillos θ′ : A→ B de tal forma que

θ′(a)θ(x) = θ(x)θ′(a), para cada a ∈ A y x ∈ X.

Entonces, existe un unico A-homomorfismo de anillos, θ : A{X} → B, tal queθι = θ, donde ι : X → A{X} es la inclusion de X en A{X}:

X A{X}

B?

θ

-ι pppppppppp θ

θ(a · x) := θ′(a)θ(x), a ∈ A, x ∈ X. (3.4.1)

Demostracion. Notemos que ι induce la inclusion deGX en A{X} = A[GX ], es decir,ι(x1 · · ·xn) := x1 · · ·xn. De igual manera, θ induce un homomorfismo de monoidesθ : GX → B, θ(x1 · · ·xn) := θ(x1) · · · θ(xn). Notemos ademas que por hipotesis, paracada g ∈ GX y cada a ∈ A se tiene que θ′(a)θ(g) = θ(g)θ′(a); por tanto, segun laproposicion 3.3.3, existe un unico A-homomorfismo de anillos θ tal que el siguientediagrama es conmutativo:

GX A{X} = A[GX ]

B?

θ

-ι

��

��

��+

θ


es decir, sobre GX se tiene la igualdad θι = θ, pero como X ⊂ GX , entonces estaigualdad se tiene en particular sobre X. La igualdad (3.4.1) resulta de (3.3.3).

Sea β : A{X} → B otro A-homomorfismo de anillos tal que sobre X se tengala igualdad βι = θ, entonces esta igualdad tambien se tiene sobre GX , de dondeθ = β.

Corolario 3.4.2. Sean A, X, B, θ y θ′ como en el enunciado de la proposicion3.4.1. Si B cumple tambien la propiedad universal, entonces B ∼= A{X}.


Para el caso particular de R-algebras libres la proposicion 3.4.1 se enuncia de lasiguiente manera.

Corolario 3.4.3 (Propiedad universal). Sean R un anillo conmutativo, X unconjunto no vacıo y R{X} el algebra libre sobre R en el alfabeto X. Para cada R-algebra B y cada funcion θ : X → B, existe un unico homomorfismo de R-algebras,θ : R{X} → B, tal que θι = θ:

X R{X}

B?

θ

-ι pppppppppp θ

θ(r · x) := r · θ(x), r ∈ R, x ∈ X. (3.4.2)

Demostracion. Para la R-algebra B se tiene el homomorfismo de anillos θ′ : R→ B,θ′(r) := r · 1. En efecto, θ′(r + s) = (r + s) · 1 = r · 1 + s · 1 = θ′(r) + θ′(s),θ′(rs) = (rs) · 1 = r · (s · 1) = r · (θ′(s)) = r · (1θ′(s)) = (r · 1)θ′(s) = θ′(r)θ′(s),θ′(1) = 1·1 = 1 (en realidad θ′ es un homomorfismo de R-algebras: θ′(sr) = (sr)·1 =s · (r · 1) = s · θ′(r)). Se tiene ademas que θ′(r)θ(x) = θ(x)θ′(r) para cada r ∈ R ycada x ∈ X: θ(x)θ′(r) = θ(x)(r ·1) = r ·(θ(x)1) = r ·(1θ(x)) = (r ·1)θ(x) = θ′(r)θ(x).La propiedad universal es entonces consecuencia de la proposicion 3.4.1. Notemosademas que θ(r · x) = θ′(r)θ(x) = (r · 1)θ(x) = r · (1θ(x)) = r · θ(x), es decir, (3.4.2)se cumple.

El corolario anterior indica que para definir un homomorfismo de la R-algebralibre R{X} en una R-algebra B basta hacerlo sobre el alfabeto X. Esta propiedaduniversal caracteriza a R{X}.

Corolario 3.4.4. Sean R, X, B y θ como en el enunciado del corolario 3.4.3. SiB cumple tambien la propiedad universal, entonces B ∼= R{X}.



Recordemos que una R-algebra B tiene estructura de R-modulo y en este sentidopodemos interpretar que un sistema de generadores de B como R-modulo es unconjunto no vacıo X de B tal que cada elemento de B se puede expresar como unacombinacion lineal de elementos de X con coeficientes de R. Si X es finito decimosentonces que B es finitamente generada como R-modulo. Sin embargo, la siguientedefinicion introduce otro concepto de sistema de generadores de un algebra y dealgebra finitamente generada.

Definicion 3.4.5. Sea R un anillo conmutativo y sea B una R-algebra. Si diceque un conjunto no vacıo X de B es un sistema de generadores de B si cadaelemento de B se puede expresar como una suma finita de elementos de la formar ·xk1

1 · · ·xknn , con r ∈ R, xi ∈ X y ki ≥ 0, para 1 ≤ i ≤ n. Si X es finito se dice que

B es finitamente generada.

Ejemplo 3.4.6. Sea R un anillo conmutativo, el algebra habitual de polinomiosR[x1, . . . , xn] es finitamente generada por el conjunto {x1, . . . , xn}. Notese sin em-bargo que como R-modulo esta algebra no es de generacion finita. De otra parte, esclaro que si X es un sistema de generadores de B como R-modulo, entonces X esun sistema de generadores del algebra. Ası pues, si B es finitamente generada comoR-modulo, entonces B es finitamente generada como algebra.

Corolario 3.4.7. Toda R-algebra es el cociente de un algebra libre.

Demostracion. Sea B una R-algebra y sea X un sistema de generadores de B,entonces cada elemento b ∈ B es una suma finita de elementos de la forma r ·xk1

1 · · ·xknn , con r ∈ R, xi ∈ X y ki ≥ 0, para 1 ≤ i ≤ n. Segun el corolario

3.4.3, la inclusion θ : X → B, θ(x) := x, x ∈ X, induce un homomorfismo deR-algebras, θ : R{X} → B, el cual es claramente sobreyectivo. Resulta entoncesB ∼= R{X}/ ker(θ).

Ejemplo 3.4.8. El algebra de polinomiosR[x1, . . . , xn] es el cocienteR{x1, . . . , xn}/I,con I := 〈xixj − xjxi|1 ≤ i, j ≤ n〉, es decir,

R[x1, . . . , xn] ∼= R{x1, . . . , xn}/I. (3.4.3)

Esto es consecuencia del corolario anterior, y la prueba completa la dejamos al lector.

Otra consecuencia interesante del corolario 3.4.3 es la caracterizacion de los ho-momorfismos entre dos R-algebras.

Corolario 3.4.9. Sean A = R{X}/I y B dos R-algebras. Existe una correspon-dencia biyectiva entre la coleccion de homomorfismos de A en B y la coleccion defunciones θ : X → B, tales que θ(I) = 0, con θ definido como en (3.4.2).


Demostracion. Sea H la coleccion de homomorfismos de R-algebras de A en B ysea F la coleccion de funciones θ como en el enunciado del corolario. Sea θ : X → Bun elemento de F , definimos θ : A→ B por θ(a) := θ(a), a ∈ R{X}. Notemos que

θ esta bien definida: si a = a′, entonces a − a′ ∈ I, luego θ(a − a′) = 0, de donde

θ(a) = θ(b). Como θ es un homomorfismo de R-algebras, entonces θ es tambien unhomomorfismo de R-algebras. Tenemos entonces una aplicacion ϕ : F → H dadapor ϕ(θ) := θ.

Por otro lado, si β : A → B es un homomorfismo de R-algebras, definimosθβ : X → B por θβ(x) := β(x), x ∈ X. Notese que θβ = βj, donde j : R{X} →R{X}/I = A es el homomorfismo canonico. En efecto, βj : R{X} → B es unhomomorfismo de R-algebras tal que βjι = θβ, luego por la unicidad en la propiedaduniversal se tiene que βj = θβ. De aqui se obtiene que θβ(I) = 0. Definimos entonces

la aplicacion ψ : H → F por ψ(β) := θβ. Resulta, ψϕ(θ) = ψ(θ) = θθ = θ ya que

θθ(x) = θ(x) = θ(x)= θ(x). Se tiene entonces que ψϕ = iF . En forma similar sepuede probar que ϕψ = iH.

Ejemplo 3.4.10. Sean R un anillo conmutativo, R[x1, . . . , xn] el algebra de poli-nomios y B una R-algebra. Cada homomorfismo de R-algebras de R[x1, . . . , xn] en Bes caracterizado por una unica funcion θ : {x1, . . . , xn} → B, θ(xi) := bi, 1 ≤ i ≤ n,de tal forma que bibj = bjbi, para 1 ≤ i, j ≤ n. En otras palabras, hay una corres-pondencia biyectiva entre el conjunto H de homomorfismos de R[x1, . . . , xn] en By el conjunto {(b1, . . . , bn) ∈ Bn|bibj = bjbi, 1 ≤ i, j ≤ n}. Si B es conmutativa,entonces la correspondencia biyectiva es entre H y Bn. Esto es consecuencia delejemplo 3.4.8 y del corolario anterior. Los detalles los dejamos al lector.

Ejemplo 3.4.11. En el algebra de polinomios R[x], sea S := {xk|k ≥ 0}; el anillode fracciones

R[x, x−1] := R[x]S−1

se denomina anillo de polinomios de Laurent en la variable x con coeficientes enR. Notemos que R[x, x−1] es una R-algebra y se tiene el isomorfismo de R-algebras

R[x, x−1] ∼= R[x, y]/I, (3.4.4)

con I := 〈xy − 1〉. En efecto, segun el ejemplo 3.4.10, la funcion θ : {x, y} →R[x, x−1] definida por θ(x) := x, θ(y) := x−1 induce un unico homomorfismo de

R-algebras θ : R[x, y] → R[x, x−1] con θ(x) = x y θ(y) = x−1 (el elemento x deR[x, y] = R{x, y}/〈xy−yx〉 lo hemos denotado simplemente como x; lo mismo para

y); ademas, puesto que θ(I) = 0, se induce un homomorfismo de R-algebras, el

cual tambien denotamos por θ : R[x, y]/I → R[x, x−1], de tal forma que θ(x) :=

x y θ(y) := x−1. De otro lado, puesto que R[x, x−1] es un R-modulo libre con


base {xk|k ∈ Z}, entonces existe una funcion (R-homomorfismo) β : R[x, x−1] →R[x, y]/I dado por β(xk) := xk de tal forma que θβ = iR[x,x−1] y βθ = iR[x,y]/I . Estocompleta la prueba del isomorfismo (3.4.4).

3.5. Ejercicios

1. Demuestre el corolario 3.3.4.

2. Demuestre el isomorfismo (3.4.3).

3. En la demostracion del corolario 3.4.9, pruebe que ϕψ = iH.

4. Complete los detalles del ejemplo 3.4.10.

5. Demuestre que un anillo conmutativo no contiene ideales nilpotentes no nulossi, y solo si, no contiene elementos nilpotentes no nulos. Utilice el anillo M2 (R)para mostrar que en el caso no conmutativo lo anterior no es cierto.

6. Determine los ideales bilateros nilpotentes y los nilideales bilateros de

(i) Mn (Z), n ≥ 2.

(ii) Mn (Zm), n,m ≥ 2.

7. Sean e y f idempotentes del anillo A. Demuestre que HomA (eA, fA) ∼= fAe.

8. Sean e, f y A como en el ejercicio anterior. Demuestre que eA ∼= fA si, y solosi, existen a ∈ fAe y b ∈ eAf tales que ab = f y ba = e.

9. Sea R un anillo conmutativo y B una R-algebra conmutativa. Demuestre queexiste una correspondencia biyectiva entre los homomorfismos de algebra deR[x, x−1] en B y el grupo B∗ de elementos invertibles del anillo B.

10. SeaR un anillo conmutativo. El anillo de polinomios de Laurent en las variablesx, y con coeficientes en R se define por R[x, x−1, y, y−1] := R[x, x−1][y, y−1].Demuestre que: (a) R[x, x−1, y, y−1] ∼= R[x1, x2, x3, x4]/〈x1x2−1, x3x4−1〉. (b)Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de homomorfismos deR-algebras de R[x, x−1, y, y−1] en B, con B una R-algebra, y el grupo B∗×B∗.

Capıtulo 4

Teorema de Krull-Schmidt

En este capıtulo mostraremos que los modulos no nulos de longitud finita, es decir,aquellos que satisfacen ambas condiciones de cadena, poseen una descomposicionunica en suma directa finita de submodulos irreducibles no nulos. La unicidad de ladescomposicion la garantiza el famoso teorema de Krull-Schmidt.

4.1. Teorema de descomposicion irreducible

Teorema 4.1.1. Sea M 6= 0 un A-modulo.

(i) Si M es artiniano o noetheriano, entonces existen en M submodulos irre-ducibles no nulos M1, . . . ,Mn, n ≥ 1 , tales que

M = M1 ⊕ · · · ⊕Mn.

(ii) Si M es de longitud finita, entonces en la descomposicion anterior EndA (Mi)es local, para cada 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. (i) Sea M artiniano y sea Γ el conjunto de sumandos directos nonulos de M . Γ 6= ∅ ya que M = M ⊕ 0 y M 6= 0. Sea B0 un elemento minimalde Γ. Esto ultimo implica que B0 es irreducible. Sea Θ el conjunto definido dela siguiente manera: B ∈ Θ si, y solo si, B ≤ M es sumando directo de M yexisten B1, . . . , Bk, submodulos irreducibles no nulos de M , k ≥ 1, tales que M =B1 ⊕ · · · ⊕ Bk ⊕ B. Θ 6= ∅ ya que B0 es sumando directo irreducible de M . Noteseque cada B ∈ Θ es propio: si algun B ∈ Θ coincide con M , entonces los irreduciblesBi, 1 ≤ i ≤ k, serıan nulos. Sea B un minimal de Θ; segun lo anterior B 6= M ,veamos que B = 0: sean B1, · · · , Bk irreducibles tales que M = B1⊕· · ·⊕Bk⊕B. SiB 6= 0, entonces podrıamos repetir todo el proceso anterior y encontrar C1, . . . , Ct

irreducibles no nulos, t ≥ 1, tales que B = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck ⊕ C, con C � B y M =

39

40 CAPITULO 4. TEOREMA DE KRULL-SCHMIDT

B1⊕· · ·⊕Bk⊕C1⊕· · ·⊕Ck⊕C; pero se contradice la minimalidad de B. En total,B = 0 y M = B1 ⊕ · · · ⊕Bk es suma directa de irreducibles no nulos.

Consideremos ahora el caso en que M es noetheriano. Sea Γ′ la coleccion desumandos directos propios de M ; Γ′ 6= ∅ y sea A0 un elemento maximal de Γ′ conM = A0 ⊕ B0. Veamos que B0 es irreducible (y desde luego no nulo). Supongase locontrario, entonces existen X, Y � B0, X, Y 6= 0 tales que B0 = X ⊕ Y . ResultaM = A0⊕X⊕Y con A0 � A0+X � M , en contradiccion con la maximalidad de A0.Sea Θ′ el conjunto definido por: B ∈ Θ′ si, y solo si, B ≤M , B es sumando directode M y B se puede descomponer en suma directa finita de submodulos irreduciblesno nulos. Notemos que Θ′ 6= ∅ ya que B0 ∈ Θ′. Ademas, cada B ∈ Θ′ es no nulo. SeaN un maximal de Θ′ con M = N⊕N0, N = B1⊕· · ·⊕Bk, k ≥ 1, Bi 6= 0 irreducible,1 ≤ i ≤ k. Si suponemos que N0 6= 0 podemos repetir el razonamiento y encontrarN0 = A′

0⊕B′0, donde B′

0 es irreducible no nulo. Resulta entonces M = N ⊕B′0⊕A′

0

y N ⊕ B′0 = B′

0 ⊕ B1 ⊕ · · · ⊕ Bk una suma de irreducibles, lo cual contradice lamaximalidad de N en Θ′.

(ii) Esto es consecuencia del lema 3.2.6 ya que cada Mi es de longitud finita.

4.2. Teorema de unicidad

Teorema 4.2.1 (Teorema de Krull-Schmidt). Sea M un A-modulo que tieneuna descomposicion en suma directa de submodulos en la forma

M =∑

i∈I ⊕Mi, con EndA (Mi) local para cada i ∈ I.

Si M tiene otra descomposicion en suma directa de submodulos irreducibles no nulos

M =∑

j∈J ⊕Nj, Nj 6= 0 irreducible para cada j ∈ J ,

entonces existe una funcion biyectiva f : I −→ J tal que Mi∼= Nf(i) para

cada i ∈ I.

Para la prueba del teorema necesitamos algunas proposiciones preliminares.

Proposicion 4.2.2. Sea M un A-modulo que tiene una descomposicion en la formaM =

∑i∈I ⊕Mi, donde EndA (Mi) es local para cada i ∈ I. Sean g, t ∈ EndA (M)

tales que iM = g + t. Entonces, para cada j ∈ I, existen Uj ≤ M y un isomorfismofj : Mj −→ Uj inducido por g , o, por t (es decir, fj (x) = g (x), para todo x ∈Mj,o, fj (x) = t (x), para todo x ∈Mj) tales que

M = Uj ⊕∑i∈Ii6=j

⊕Mi.

4.2. TEOREMA DE UNICIDAD 41

Demostracion. Para j ∈ I, sean πj y µj la proyeccion e inyeccion canonicas corres-pondientes a Mj:∑

i∈I ⊕Miπj−→ Mj , Mj

µj−→∑

i∈I ⊕Mi.

Notese que

iMj= πj ◦ iM ◦ µj = πj ◦ (g + t) ◦ µj = πj ◦ g ◦ µj + πj ◦ t ◦ µj.

Como EndA (Mj) es local y iMjes invertible en este anillo, entonces alguno de los

endomorfismos πj◦g◦µj, o, πj◦t◦µj debe ser un invertible de EndA (Mj). Supongaseque πj ◦ g ◦ µj es un automorfismo de Mj. Sean

Uj := g ◦ µj (Mj) = g (Mj),

fj : Mj −→ Uj

x 7→ g (x).

fj es claramente sobreyectivo e inyectivo. Ademas,

µ′j : Uj −→ My 7→ y

es inyectivo. Resulta, πj ◦ µ′j ◦ fj = πj ◦ g ◦ µj. A partir de esta identidad se puede

probar facilmente que M = Im(µ′j ◦ fj

)⊕ ker (πj) = Uj ⊕

∑i∈Ii6=j⊕Mi. Notese que

fj (x) = g (x), para x ∈Mj.Al asumir que πj ◦ t ◦ µj invertible, resulta la segunda posibilidad.

La proposicion anterior se puede generalizar inductivamente de la siguiente ma-nera.

Proposicion 4.2.3. Sean M , {Mi}i∈I , g y t como en la proposicion 4.2.2. SeaE = {i1, · · · , ik} ⊆ I un subconjunto finito de I. Entonces, existen submodulosCij ≤M e isomorfismos

rij : Mij −→ Cij , 1 ≤ j ≤ k,

cada uno de los cuales es inducido por g o por t, tales que

M = Ci1 ⊕ · · · ⊕ Cik ⊕∑i∈Ii/∈E

⊕Mi.

Demostracion. Los submodulos Cij se construyen sucesivamente con ayuda de laproposicion anterior. Hagamos allı j = i1 y tomemos Ci1 := Ui1 . Obtenemos M =

Ci1 ⊕(∑

i∈Ii6=i1

⊕Mi

). Como Mi1

∼= Ci1 entonces EndA (Ci1) es local y podemos

aplicar la proposicion 4.2.2 a esta nueva descomposicion de M con j = i2. Al cabode k pasos obtenemos el resultado de la proposicion.


Proposicion 4.2.4. Sean M , {Mi}i∈I , g y t como en la proposicion 4.2.2. SeanN,N ′ ≤M con N 6= 0 irreducible tales que M = N ⊕N ′. Sea π′ : M −→ Nla proyeccion canonica. Entonces, existe k ∈ I tal que π′ induce un isomorfismo deMk sobre N y M = Mk ⊕N ′.

Demostracion. Sean µ : N −→ M la inclusion canonica y π := µ ◦ π′. En-tonces π, 1−π ∈ EndA (M), y ademas, 1 = π+(1− π). Aplicaremos la proposicion4.2.3 con g = π y t = 1 − π. Sea a ∈ N , a 6= 0, entonces π (a) = µ ◦ π′ (a) = a, dedonde (1− π) (a) = 0; a tiene una representacion en la forma,

a =∑l

j=1mij , con mij 6= 0, ij ∈ I, mij ∈Mij ,

y mediante la proposicion 4.2.3, con E = {i1, . . . , il}, encontramos submodulosCi1 , . . . , Cil e isomorfismos rij : Mij −→ Cij , 1 ≤ j ≤ l. Supongase que todoslos isomorfismos rij son inducidos por 1− π. Entonces

0 = (1− π) (a) =∑l

j=1 (1− π)(mij

)=∑l

j=1 rij

(mij

).

Como la suma es directa, rij

(mij

)= 0 y mij = 0, es decir, a = 0, lo cual es

contradictorio. Ası pues, existe ij ∈ E tal que rij es inducido por π. Denotemosk := ij ∈ I. Entonces,

rk : Mk −→ Ck

x 7→ π (x)

es un isomorfismo. Segun la proposicion 4.2.3, Ck es un sumando directo de M :

M = Ck ⊕ L.

Ademas, Ck = π (Mk) ⊆ π (M) = N , por tanto,

N = M ∩N = (Ck ⊕ L) ∩N = Ck ⊕ (L ∩N).

Como N es irreducible y Ck 6= 0 (ya que Mk 6= 0), entonces Ck = N . De aquı resultaπ′ ◦ µk = rk, donde µk : Mk −→ M es la inclusion y

mk 7→ mk = a+ b , a ∈ N , b ∈ N ′,

rk (mk) = π (mk) = µ ◦ π′ (mk) = µ ◦ π′ (a+ b) = µ (a) = a.

Como rk es un isomorfismo entonces

M = Im (µk)⊕ ker (π′) = Mk ⊕N ′.

Demostracion del teorema 4.2.1. Podemos ahora emprender la prueba de teoremade Krull-Schmidt. Notese en primer lugar que por la proposicion 4.2.4, para cadaj ∈ J , existe ij ∈ I tal que Nj

∼= Mij . De esta forma EndA (Nj), j ∈ I son locales.En I y en J definimos las siguientes relaciones de equivalencia:

4.2. TEOREMA DE UNICIDAD 43

i1 ∼ i2 si, y solo si, Mi1∼= Mi2 (i1, i2 ∈ I)

j1 ∼ j2 si, y solo si, Ni1∼= Ni2 (j1, j2 ∈ j)

Sean i la clase de i, j la clase de j, I y J los respectivos conjuntos cocientes. Definimos

h : I −→ Ji 7→ j, si Mi

∼= Nj .

h esta bien definida: dado i ∈ I, aplicamos la proposicion 4.2.4 a N = Mi y M =∑⊕Nj. Ademas, como la relacion de isomorfismo es de equivalencia, entonces h no

depende de los representantes ni en I ni en J .h es inyectiva: h

(i1)

= h(i2)

significa que j1 = j2, y entonces, Mi1∼= Nj1

∼=Nj2

∼= Mi2 , con lo cual i1 = i2.h es sobreyectiva: aplicamos la proposicion 4.2.4 con N = Nj.Si logramos probar que para cada i ∈ I existe una biyeccion

fi : i −→ j = h(i),

entonces tendremos una biyeccion f : I −→ J definida por f (i) := fi (i) parala cual Mi

∼= Nf(i). Para esto es suficiente, de acuerdo con el teorema de Cantor-Schroder-Berstein de la teorıa de conjuntos, definir funciones inyectivas

i → h(i)

y h(i)

→ i

Por la simetrıa del problema es suficiente mostrar la existencia de solo una de lasinyecciones, digamos h

(i)

→ i . Consideremos dos casos:

Caso 1. i es finito. Sea t el numero de elementos en i y E := {j1, . . . , jk} ⊆ h(i).

Aplicando la proposicion 4.2.4 para N = Nj1 , existe i1 ∈ I tal que Mi1∼= Nj1 ,

es decir, i1 ∈ i y ademas, M = Mi1 ⊕(∑

j∈Jj 6=j1

Nj

). Aplicamos nuevamente la

proposicion 4.2.4 para N = Nj2 y N ′ = Mi1 ⊕(∑

j∈Jj 6=j1,j2

Nj

), entonces existe i2 ∈ I

tal que Mi2∼= Nj2 , es decir, i2 ∈ i y ademas,

M = Mi1 ⊕Mi2 ⊕(∑

j∈Jj 6=j1,j2

⊕Nj

).

Continuando de esta manera obtenemos

M = Mi1 ⊕ · · ·Mik ⊕(∑

j∈Jj /∈E

⊕Nj

),

dondeMil∼= Njl

para 1 ≤ l ≤ k. Puesto que la suma es directa, losMil son diferentes,con lo cual k ≤ t (segun el proceso i1, . . . , ik ∈ i ). En conclusion, el numero deelementos de h

(i)

no es superior a t y existe pues una inyeccion h(i)

→ i.

Caso 2. i es infinito: denotemos por π′j la proyeccion de M en Nj, j ∈ J . Paracada k ∈ I definimos


E (k) :={j ∈ J | π′j induce un isomorfismo de Mk sobre Nj

}.

Afirmamos que E (k) es finito para cada k ∈ I (eventualmente E (k) puede servacıo): sea m 6= 0 en Mk, existe un subconjunto de ındices, Cm = {j1, . . . , jt} ⊆ Jtal que m = nj1 + · · ·+njt , donde njl

∈ Njl, njl

6= 0, 1 ≤ l ≤ t. Si j ∈ E (k), entoncesπ′j (m) 6= 0; pero si esto ultimo se cumple, entonces necesariamente j ∈ Cm. Ası pues,si j ∈ E (k), entonces j ∈

⋂m∈Mk−{0}Cm y E (k) es necesariamente finito.

h(i)⊆⋃

k∈iE (k): sea j ∈ h(i), entonces Mi

∼= Nj y segun la proposicion 4.2.4,existe k ∈ I tal que Mk

∼= Nj. Resulta Mi∼= Mk, es decir, k ∈ i, j ∈ E (k) y

j ∈⋃

k∈iE (k).⋃k∈iE (k) ⊆ h

(i): como h

(i)6= ∅ entonces, segun la inclusion establecida ante-

riormente,⋃

k∈iE (k) 6= ∅. Sea pues j ∈⋃

k∈iE (k). Existen k ∈ i y j ∈ E (k) talesque Mk

∼= Mi, Mk∼= Nj, es decir, Mi

∼= Nj y j ∈ h(i).

Consideremos ahora la union disyunta⋃

k∈iE (k) = h(i). Se tiene entonces la

inyeccion ⋃k∈iE (k) = h

(i)

→ i× N

(como E (k) es finito, se tiene una inyeccion E (k) → N , para todo k ∈ i). Pero

como i es infinito entonces i×N es equipotente con i. En total, existe una inyeccionde h

(i)

en i. 2

4.3. Ejercicios

1. Calcule una descomposicion irreducible del Z-modulo Z60.

2. Calcule una descomposicion irreducible del Z-modulo Mn(Z).

3. Calcule una descomposicion irreducible de Zp∞ . Ademas, calcule EndZ(Zp∞)(vease [13]).

Capıtulo 5

Anillos y modulos semisimples

Si un modulo se descompone en suma de submodulos de estructura suficientementesimple, entonces es facil determinar propiedades de dicho modulo. Uno de talesejemplos son los submodulos irreducibles que vimos en el capıtulo anterior, otrocaso interesante es el de los submodulos semisimples, de los cuales nos ocuparemosen este capıtulo.

5.1. Modulos semisimples

Teorema 5.1.1. Para cada A-modulo M 6= 0 las siguientes condiciones son equiv-alentes:

(i) Cada submodulo no nulo de M es suma de submodulos simples.

(ii) M es una suma de submodulos simples.

(iii) M es suma directa de submodulos simples.

(iv) Cada submodulo de M es sumando directo.

Demostracion. (i)⇒(ii) Evidente.(ii)⇒(iii)⇒(iv) Sea M =

∑i∈I Mi, donde Mi es simple para cada i ∈ I. Probare-

mos que dado N ≤M existe J0 ⊆ I tal que

M = N ⊕∑i∈J0

⊕Mi.

De ser ası, escogemos N = 0 y la implicacion (ii)⇒(iii) estara probada. La impli-cacion (iii)⇒(iv) corresponde precisamente a la propiedad mencionada. Sea

Γ :=

{J ⊆ I | N +

∑i∈J

Mi = N ⊕

(∑i∈J

⊕Mi

)}.

45

46 CAPITULO 5. ANILLOS Y MODULOS SEMISIMPLES

Como N + 0 = N ⊕ 0 y 0 =∑

i∈∅⊕Mi entonces ∅ ∈ Γ, con lo cual Γ 6= ∅. Γesta parcialmente ordenado por inclusion. Sea θ una cadena de Γ y sea J∗ :=

⋃J∈θ J .

J∗ es cota superior para θ, veamos que J∗ ∈ Γ, es decir,

N +∑i∈J∗

Mi = N ⊕∑i∈J∗

⊕Mi.

Sea u ∈ N y supongase que u+mi1 + · · ·+mik = 0 con {i1, . . . , ik} ⊆ J∗. Como θ estotalmente ordenado existe J ∈ θ tal que {i1, . . . , ik} ⊆ J ; pero como θ ⊆ Γ entoncesu = mi1 = · · · = mik = 0 y la suma N +

∑i∈J∗Mi es directa. De acuerdo con el

lema de Zorn, Γ tiene elemento maximal J0. Sea M ′ := N ⊕∑

i∈J0⊕Mi. Se quiere

probar que M ′ = M . Sea i0 ∈ I. Si i0 ∈ J0, entonces Mi0 ⊆ M ′. Sea i0 ∈ I − J0.Notese que M ′ + Mi0 6= M ′ ⊕ Mi0 , ya que de lo contrario J0 ( J0 ∪ {i0} ∈ Γ;entonces M ′∩Mi0 6= 0. Pero como Mi0 es simple entonces M ′∩Mi0 = Mi0 , es decir,Mi0 ⊆M ′. Resulta, M ⊆M ′.

(iv)⇒(i) Probemos inicialmente, bajo la suposicion (iv), que cada submodulono nulo N de M contiene un submodulo simple. Podemos suponer sin perdida degeneralidad que N es finitamente generado (cada modulo N distinto de 0 contieneun submodulo N ′ tal que si N ′ contiene un submodulo simple N ′′, entonces N ′′

es submodulo simple tambien de N). N contiene entonces un submodulo L quees maximal en N (vease [12]). Existe L′ submodulo de M tal que M = L ⊕ L′.N = M ∩ N = (L⊕ L′) ∩ N = L ⊕ (L′ ∩N); resulta N/L ∼= L′ ∩ N simple ycontenido en N .

Pasamos ahora a la prueba de (i): sean 0 6= N ≤M y

N0 :=∑

Nj es simpleNj≤N

Nj;

segun (iv) existeN ′0 ≤M tal queM = N0⊕N ′

0. Entonces,N = M∩N = (N0 ⊕N ′0)∩

N = N0 ⊕ (N ′0 ∩N). Si N ′

0 ∩ N = 0, entonces N = N0 y la prueba ha concluido.Si N ′

0 ∩ N 6= 0, entonces existe N ′′0 simple tal que N ′′

0 ⊆ N ′0 ∩ N ⊆ N , es decir,

N ′′0 ⊆ N0, pero entonces N ′′

0 ⊆ N0 ∩ (N ′0 ∩N), lo cual es contradictorio.

Definicion 5.1.2. El A-modulo M se dice semisimple si satisface alguna de lascondiciones del teorema 5.1.1. El modulo nulo es semisimple.

Ejemplo 5.1.3. (i) Es claro que todo modulo simple es semisimple.(ii) Cada espacio vectorial V sobre un anillo de division K es semisimple: V =∑

v∈V−{0}Kv y Kv es simple, para cada v 6= 0. Si dimV ≥ 2, entonces V no essimple.

(iii) Z y Q no son semisimples como Z-modulos ya que no poseen Z-submodulossimples.

5.1. MODULOS SEMISIMPLES 47

(iv) Zn es Z-semisimple si, y solo si, n es libre de cuadrados o n = 1:⇒) Si n ≥ 2 no es libre de cuadrados, entonces n = p2s con p primo. Afirmamos

que 〈p〉 no es sumando directo de Zn. En efecto, recordemos que 〈r〉 es sumandodirecto de Zn si, y solo si, m.c.d.(r, n) = 1 (vease [13]). Veamos una prueba directa:claramente 〈p〉 6= 0 y 〈p〉 6= Zn; supongamos que 〈p〉 es sumando directo de Zn,existe entonces k | n tal que 〈p〉 ⊕ 〈k〉 = Zn; resulta 1 = ap + bk, a, b ∈ Z; deaquı p2s | (ap+ bk − 1) y entonces p | (bk − 1); es decir, m.c.d. (p, k) = 1. De otraparte, kp = kp = pk debe ser nulo, es decir, n | kp y entonces kp = p2st, pero estoimplica p | k, lo cual es contradictorio.

⇐) Si n = 1, entonces Z1 = 0 y la semisimplicidad es por definicion. Sea n ≥ 2,n = p1 · · · pr un producto de primos diferentes. Sea N ≤ Zn. Si N = 0, o, N = Zn,no hay nada que probar. Sea entonces N de la forma 〈m〉, m | n, m 6= 1, m 6= n.Reordenando ındices podemos suponer sin perdida de generalidad que m = p1 · · · pt,con 1 ≤ t < r. Se tiene entonces Zn = 〈m〉 ⊕ 〈m0〉, con m0 = pt+1 · · · pr.

Este ejemplo muestra tambien que no todo modulo semisimple es simple.(v) Semisimple no implica noetheriano: un espacio vectorial de dimension infinita.(vi) Noetheriano no implica semisimple: Z.(vii) Semisimple no implica artiniano: el mismo contrajemplo que en (v).(viii) Artiniano no implica semisimple: segun el ejemplo 1.5.1, Zp∞ := Qp/Z es

artiniano y sus submodulos propios son los de la cadena 0 � 〈1p〉 � 〈 1

p2 〉 � · · · . Notese

que 〈1p〉 no es sumando directo de Zp∞ , con lo cual este ultimo no es semisimple.

(ix) Dados un moduloM y un submodulo N con N yM/N semisimples, entoncesno necesariamente M es semisimple: M = Zp2 , N = 〈p〉, p primo.

Algunas de las consecuencias inmediatas del teorema 5.1.1 son las siguientes.

Corolario 5.1.4. Sea A un anillo. Entonces,

(i) Cada submodulo de un A-modulo semisimple es semisimple.

(ii) Cada imagen homomorfa de un A-modulo semisimple es semisimple.

(iii) La suma de submodulos semisimples es semisimple. Tambien, la suma directaexterna de semisimples es semisimple.

(iv) La descomposicion de un A-modulo semisimple en suma directa de submodulossimples es unica en el sentido del teorema de Krull-Schmidt.

Demostracion. (i) Consecuencia directa del teorema 5.1.1.

(ii) Sean Mf−→ N un homomorfismo sobreyectivo y N0 ≤ N ; entonces f−1 (N0) ≤

M y existe M0 ≤M tal que M = f−1 (N0)⊕M0. Afirmamos que N = N0⊕ f (M0).En efecto, N = f (M) = f (f−1 (N0) +M0) = f (f−1 (N0)) + f (M0) = N0 + f (M0);


si n ∈ N0 ∩ f (M0) entonces n = f (m0) con m0 ∈ M0 ∩ f−1 (N0); esto implica quem0 = 0 y n = 0.

(iii) La primera afirmacion es evidente. Para la segunda notemos que una sumadirecta externa se puede ver como una suma directa interna.

(iv) Esto es consecuencia del lema de Schur que afirma que el anillo de endomor-fismos de un modulo simple es un anillo de division, y por lo tanto, local.

Para los modulos semisimples las condiciones de Noether, de Artin y de genera-cion finita son equivalentes.

Proposicion 5.1.5. Para un modulo semisimple M las siguientes condiciones sonequivalentes:

(i) M es suma finita de submodulos simples.

(ii) M es suma directa finita de submodulos simples.

(iii) M es de longitud finita.

(iv) M es artiniano.

(v) M es noetheriano.

(vi) M es finitamente generado.

Demostracion. (i)⇒(ii) En la demostracion del teorema 5.1.1 podemos tomar N =0.

(ii)⇒(iii) Si M =∑n

i=1⊕Mi, Mi simple, 0 � M1 � M1 ⊕M2 � · · · � M es unacadena de composicion para M .

(iii)⇒(iv) Consecuencia de la proposicion 1.3.2.(iv)⇒(v) Probaremos que cada submodulo de M es finitamente generado. Sea

0 6= N ≤ M y n1 ∈ N , n1 6= 0. Como N es semisimple existe N1 ≤ N tal queN = {n1〉 ⊕N1. Si N1 = 0 no hay mas que probar. Sea pues N1 6= 0 y n2 ∈ N1,n2 6= 0. Como N1 es semisimple existe N2 ≤ N1 tal que N1 = {n2〉 ⊕N2. Si esteproceso continuara indefinidamente, entonces tendrıamos una cadena descendenteinfinita de submodulos de M :

· · · � N2 � N1 � N , (n1 /∈ N1, n2 /∈ N2, · · · )

en contradiccion con la condicion de Artin de M . Ası, N = {n1〉 ⊕ · · · ⊕ {nt〉.(v)⇒(vi) Consecuencia de la proposicion 1.1.5.(vi)⇒(i) Sea M = {x1〉 + · · · + {xk〉; como M es semisimple entonces M =∑

i∈I Mi, con Mi simple. Para cada xj existe un subconjunto finito Ij ⊆ I tal quexj ∈

∑i∈Ij

Mi; esto implica que {xj〉 ⊆∑

i∈IjMi para cada 1 ≤ j ≤ k, M ⊆∑

i∈I0Mi, con I0 = I1 ∪ · · · ∪ Ik, es decir, M =

∑i∈I0

Mi, con I0 finito.

5.2. ANILLOS SEMISIMPLES 49

5.2. Anillos semisimples

Definimos y caracterizamos enseguida los anillos semisimples. La caracterizacion sehara de una manera externa, es decir, a traves de sus submodulos. En el capıtulosiguiente haremos una caracterizacion interna de estos anillos.

Definicion 5.2.1. Un anillo A se dice semisimple a derecha si AA es un modulosemisimple. De manera analoga se define la semisimplicidad de un anillo por laizquierda.

La siguiente proposicion hace que podamos considerar la semisimplicidad deanillos sin “lado”.

Proposicion 5.2.2. AA es semisimple si, y solo si, AA es semisimple.

Demostracion. Por la simetrıa, basta considerar la afirmacion en una sola direccion.Notese inicialmente que A no contiene ideales bilateros no nulos nilpotentes de ındice2: en efecto, sea I un ideal bilatero de A tal que I2 = 0. Como I es derecho y AA

semisimple, existe I ′ ideal derecho tal que A = I⊕ I ′; multiplicando por I a derechaobtenemos I = I2 + I ′I = I ′I ⊆ I ′, entonces I ∩ I ′ = I = 0.

Como AA es semisimple (y finitamente generado), entonces A es suma finitade ideales derechos minimales A = e1A ⊕ · · · ⊕ enA (proposicion 5.1.5), luego 1 =e1 + · · ·+ en y de aquı se obtiene la descomposicion A = Ae1⊕· · ·⊕Aen; de acuerdocon lo probado arriba y, segun la proposicion 3.1.3, numeral (xi), se tiene que paracada 1 ≤ i ≤ n, Aei es minimal, es decir, AA es semisimple.

De la ultima parte de la demostracion de la proposicion anterior y del corolario5.1.4 (iv), se desprende inmediatamente el siguiente resultado.

Corolario 5.2.3. Sea A un anillo semisimple. Entonces, A se descompone en unasuma directa finita de ideales minimales derechos (izquierdos). Tal descomposiciones unica en el sentido del teorema de Krull-Schmidt. Ademas, AA y AA tienen lamisma longitud finita.

Proposicion 5.2.4. Sea A un anillo. Entonces, A es semisimple si, y solo si, ca-da A-modulo derecho es semisimple. La proposicion es tambien valida por el ladoizquierdo.

Demostracion. ⇒) M =∑

m∈M mA es semisimple ya que mA es imagen homomorfadel semisimple AA.

⇐) Evidente ya que A es A-modulo derecho.

Ejemplo 5.2.5. (i) Todo anillo de division es un anillo semisimple ya que sus unicosideales derechos son los triviales y, por ende, sus unicos sumandos directos. Ası pues,Q, R, C son anillos semisimples.


(ii) Ya vimos que ZZ, QZ no son Z-modulos semisimples. Z como anillo tampocoes semisimple; sus ideales coinciden con sus submodulos. De otra parte, de acuerdocon el ejemplo anterior, Q es un anillo semisimple. Esto ilustra que si un anillo A essemisimple no necesariamente cada subanillo lo es.

(iii) Cada imagen homomorfa de un anillo semisimple es semisimple: la pruebaes como en el corolario 5.1.4. Si una imagen homomorfa es semisimple no se puedeafirmar que el anillo sea semisimple: Z, Zp, p primo.

(iv) Ya vimos que Zn, n ≥ 2, considerado como Z-modulo es semisimple, si, y solosi, n es libre de cuadrados. Puesto que los ideales de Zn son sus mismos submodulosentonces la condicion enunciada tambien caracteriza la semisimplicidad de Zn comoanillo.

(v) Sean A1, . . . , An anillos arbitrarios. Entonces A1× · · · ×An es semisimple si,y solo si, Ai es semisimple para cada 1 ≤ i ≤ n.

⇒) Consecuencia del ejemplo (iii).⇐) Sea I un ideal derecho de A1×· · ·×An; I es de la forma I = I1×· · ·×In donde

Ii es un ideal derecho de Ai, 1 ≤ i ≤ n; entonces Ai = Ii⊕I ′i, donde I ′i es ideal derechode Ai, 1 ≤ i ≤ n; notese entonces que A1×· · ·×An = (I1 × · · · × In)⊕(I ′1 × · · · × I ′n).

(vi) Todo anillo semisimple es artiniano (tambien noetheriano), pero no necesa-riamente simple: la primera afirmacion es consecuencia de la proposicion 5.1.5. Parala segunda tenemos Q×Q es semisimple (segun (v)), pero no es simple: 0×Q, Q×0son ideales bilateros no triviales.

(vii) Para cada anillo A, A[x] no es semisimple. En caso contrario, serıa artiniano.De otra parte, segun la proposicion 5.2.4, si A es semisimple, entonces A[x] es A-semisimple.

(viii) Los ejemplos (ii) y (vi) nos permiten hacer las siguientes observacionesrespecto a las R-algebras: Q es una Z-algebra; como Z-modulo Q no es semisimple,pero como anillo Q es semisimple. De otra parte, Sea K un cuerpo, entonces K [x] esuna K-algebra, como K-modulo es semisimple, pero como anillo no es semisimple.Ası pues, para hablar sobre semisimplicidad de algebras se debe ser explıcito sobreel tipo de estructura que se esta considerando.

(ix) Segun la proposicion 5.2.4, si A es un anillo semisimple, entonces Mn (A),n ≥ 1, es un A-modulo semisimple. ¿Es Mn (A) un anillo semisimple? La respuestaa esta pregunta la tendremos mas adelante, por ahora observemos que si T es unanillo de division, entonces Mn (T ), n ≥ 1, es un anillo semisimple:

Mn (T ) =

[T · · ·T

0

]⊕

0 · · · 0T · · ·T

0

⊕ · · · ⊕ [ 0T · · ·T

],

cada sumando es un ideal derecho minimal de Mn (T ). Proximamente probaremosque los anillos simples y artinianos son precisamente anillos de matrices sobre anillosde division. Ası pues, todo anillo simple artiniano es semisimple.

5.2. ANILLOS SEMISIMPLES 51

(x) Noetheriano no implica semisimple: Z es noetheriano no semisimple.

(xi) Artiniano no implica semisimple: si la condicion de artiniano implicarasemisimplicidad, entonces la condicion de Artin a derecha serıa equivalente a lacondicion de Artin a izquierda; pero eso es falso como lo vimos en el ejemplo 1.5.1.

(xii) Semisimple no implica local: Mn (T ), donde T es un anillo de division yn ≥ 2.

(xiii) Local no implica semisimple: si local implicara semisimple, entonces, segunel ejemplo (ix), local implicarıa artiniano, pero esto ultimo es falso como lo muestraK [[x]], donde K es un cuerpo.

(xiv) Si A es un anillo arbitrario, A [[x]] no es semisimple: si fuera semisimple,entonces serıa artiniano; pero ningun anillo de series formales es artiniano.

Cerramos esta seccion de ejemplos con un importante resultado conocido comoel teorema de Maschke:

(xv) El teorema de Maschke : seanG = {e = g1, g2, . . . , gn} un grupo finito,Kun cuerpo y A := K [G] el algebra de grupo deG. Entonces, A es un anillo semisimplesi, y solo si, char (K) no divide al orden de G (notese que segun el ejemplo 5.1.3(ii),A como K-modulo es semisimple, independientemente de la caracterıstica de K).

⇒) Supongase que char (K) | n. Sea a0 := g1 + · · · + gn; a0 6= 0 ya que pordefinicion g1, . . . , gn es una base del K-modulo K [G]. Sea a0A el ideal derecho de Agenerado por a0. Como {g1g, . . . , gng} = {g1, . . . , gn}, entonces a0g = a0, para cadag ∈ G. De aquı resulta

a20 = (g1 + · · ·+ gn) (g1 + · · ·+ gn)

= (g1 + · · ·+ gn) g1 + · · ·+ (g1 + · · ·+ gn) gn

= a0g1 + · · ·+ a0gn = a0 + · · ·+ a0︸︷︷︸n-veces

= 0

y ademas, a0A = a0K. Como K conmuta con cada elemento de A entonces a0A esun ideal derecho no nulo nilpotente de ındice 2; esto implica que A contiene un idealbilatero no nulo nilpotente de ındice 2 y segun la prueba de la proposicion 5.2.2, Ano es semisimple.

⇐) Si char (K) no divide a n, entonces para cada k 6= 0 en K se tiene quenk 6= 0. En particular, para k = 1 denotamos el inverso en K de n1 como 1

n. Para

cada f ∈ EndK (KA) definimos

f : A → A

f (a) := 1n

∑ni=1 g

−1i f (gia)

(La expresion de la derecha se entiende como un producto en A, donde 1n

= n−1e).

En primer lugar vemos que f ∈ EndA (A). Sea k ∈ K y a ∈ A, entonces f (k · a) =1n

∑ni=1 g

−1i f (gik · a) = k

[1n

∑ni=1 g

−1i f (gia)

]= k · f (a). Sea g ∈ G, entonces


f (ga) = 1n

∑ni=1 g

−1i f (giga)

= 1n

∑ni=1 gg

−1g−1i f (giga)

= 1n

∑ni=1 g (gig)

−1 f ((gig) a)

= g[

1n

∑ni=1 (gig)

−1 f ((gig) a)]

= gf (a) .

De las observaciones anteriores se desprende que f (xa) = xf (a), para todo a, x ∈ A,

es decir, f ∈ EndA (A).Sea I un ideal izquierdo de A; entonces I es un K- subespacio de A y existe un

K-subespacio I0 en A tal que A = I⊕I0. Sea p : KA → KA la K- proyeccionsobre I. Como I ≤ AA entonces para cada a ∈ I

p (a) = 1n

∑ni=1 g

−1i p (gia) = 1

n

∑ni=1 g

−1i gia = 1

nna = a

Para x ∈ A cualquiera tendremos p (x) = 1n

∑ni=1 g

−1i p (gix) ∈ I, ya que p (gix) ∈ I.

Estas dos propiedades implican que p es idempotente de EndA (A): sea x ∈ A,entonces p (x) := a ∈ I y p (p (x)) = p (a) = a = p (x), es decir, p2 = p. En total, Ies sumando directo y A es semisimple.

5.3. Ejercicios

1. Sea M un A-modulo semisimple y B := EndA (M). Demuestre que M es unB-modulo semisimple.

2. Sea A un anillo semisimple. Demuestre que cada A-modulo es isomorfo a unasuma directa de ideales derechos minimales de A.

3. Sean A un anillo semisimple e I un ideal bilatero de A. Pruebe que I es de laforma I = eAe, donde e es un idempotente central de A.

4. Sea A un anillo semisimple. Demuestre que si I es un ideal derecho y J es unideal izquierdo, entonces IJ = I ∩ J .

5. Sea A un anillo. Demuestre que A es semisimple si, y solo si, cada A-moduloP es proyectivo, es decir, cada homomorfismo sobreyectivo f : M → P eshendido.

6. Sea R un anillo conmutativo y sean M,N R-modulos semisimples finitamentegenerados. Demuestre que HomR(M,N) es semisimple.

7. Sean M un A-modulo y N ≤M . Se dice que N es pequeno en M , lo cual sedenota por N ≤◦ M , si para cada submodulo P de M se cumple

N + P = M ⇔ P = M .

5.3. EJERCICIOS 53

Demuestre que ∑N≤◦M

N =⋂

N≤M maximal

N =⋂

f∈HomA(M,N)N semisimple

ker (f)

(el submodulo M definido por cualquiera de estas tres formas se conoce comoel radical de Jacobson de M , y se denota por Rad (M)).

8. Sea M un A-modulo y N ≤ M . Se dice que N es grande en M , lo cual sedenota por N ≤∗ M , si para cada submodulo P de M se cumple

N ∩ P = 0 ⇔ P = 0.

Demuestre que ⋂N≤∗M

N =∑

N≤M minimal

N =∑

f∈HomA(M,N)N semisimple

Im (f)

(El submodulo M definido por cualquiera de estas tres formas se conoce comoel socalo de M , y se denota por Soc (M)).

9. Considerando a Z, Q y Zm como Z-modulos, demuestre que

(i) Rad (Z) = 0, Soc (Z) = 0.

(ii) Rad (Q) = Q, Soc (Q) = 0.

(iii) Rad (Zm) = 〈s〉, con s = p1 · · · pt y m = pk11 · · · pkt

t , Soc (Zm) = 〈r〉, conr = m/s.

10. Demuestre que si M es un modulo semisimple, entonces Rad (M) = 0.

11. Sea M un A-modulo. Demuestre que M es semisimple si, y solo si, Soc (M) =M .

Capıtulo 6

Teorema de Artin-Wedderburn

En el capıtulo anterior presentamos caracterizaciones externas de los anillos semisim-ples en terminos de sus modulos. Ahora agregaremos a la proposicion 5.2.4 algunascaracterizaciones internas entre las cuales tenemos la primera parte del teorema deArtin-Wedderburn.

6.1. Parte I

Teorema 6.1.1. Sea A un anillo. Entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(i) A es semisimple.

(ii) A es una suma directa finita de ideales minimales derechos en la forma

A = I1 ⊕ · · · ⊕ In, Ii = eiA, eiej =

{ei, i = j0, i 6= j

(6.1.1)

1 = e1 + · · ·+ en.

(iii) A es artiniano a derecha y⋂I = 0, donde la interseccion se toma sobre todos

los ideales maximales derechos I de A.

(iv) A es artiniano a derecha y no contiene ideales derechos no nulos nilpotentes.

(v) A es artiniano a derecha y no contiene ideales derechos minimales nilpotentes.

(vi) A es artiniano a derecha y cada ideal derecho minimal de A es sumando di-recto.

54

6.1. PARTE I 55

(vii) (Teorema de Artin-Wedderburn: parte I) A es una suma directa finitade ideales bilateros no nulos ortogonales entre sı, cada uno de los cuales es unanillo simple artiniano a derecha:

A = J1 ⊕ · · · ⊕ Jk (6.1.2)

Las afirmaciones del teorema tambien son validas por la izquierda.

Demostracion. (i)⇒(ii): esta implicacion es consecuencia de la proposicion 5.1.5 ydel teorema 3.2.2 (a).

(ii)⇒(iii): 0 � I1 � I1 ⊕ I2 � · · · � A es una cadena de composicion para AA,

ası que A es artiniano a derecha. Tambien, para cada 1 ≤ i ≤ n, Ii ∼= A/(∑

j 6=i⊕Ij)

es simple, con lo cual∑

j 6=i⊕Ij es maximal en A; sea Ji :=∑

j 6=i⊕Ij, entonces

⋂J maximal derecho

J ⊆n⋂

i=1

Ji = 0.

(iii)⇒(iv): segun la proposicion 3.1.3, basta probar queA no contiene ideales bilaterosno nulos nilpotentes de ındice 2. Sea I0 un ideal bilatero nilpotente de ındice 2. SeaI un ideal maximal derecho de A. Puesto que I0 + I ≥ I entonces I0 + I = I, o,I0 + I = A. En el primer caso I0 ⊆ I. En el segundo (I0 + I) I0 = AI0 = I0, con locual I0 = I2

0 + II0 = 0+ II0 ⊆ I, I0 + I = I = A, lo cual es contradictorio. Ası pues,I0 ⊆ I para cada ideal maximal derecho I, de donde, segun la hipotesis, I0 = 0.

(iv)⇒(v): evidente.(v)⇒(vi): segun la proposicion 3.1.3, parte (ix), I es de la forma I = eA, con

e 6= 0 idempotente. Entonces de la descomposicion de Pierce concluımos que eA essumando directo de A.

(vi)⇒(i): sea

Γ := {I ≤ AA | 0 6= I, I no es suma directa finita de ideales minimales derechos}

Supongase que Γ 6= ∅. Como AA es artiniano, Γ posee elemento minimal I0. SeaΓ1 := {J ≤ AA | 0 6= J ≤ I0}, I0 ∈ Γ1 y Γ1 6= ∅. Nuevamente, por la condicion deArtin, Γ1 tiene un elemento minimal I1. Notese que I1 es un ideal minimal derechode A (si J es un ideal derecho no nulo de A tal que J ≤ I1, entonces 0 6= J ≤ I0y ası J ∈ Γ1, y por la minimalidad de I1, se tiene que J = I1). Segun la hipotesis,existe I2 ≤ AA tal que A = I1 ⊕ I2. Entonces

A ∩ I0 = I0 = I1 ⊕ (I2 ∩ I0).

I2∩I0 6= 0 ya que de lo contrario I0 = I1 serıa suma finita de minimales derechos.Como I2∩I0 ⊆ I0, entonces por la minimalidad de I0, I2∩I0 /∈ Γ, de donde I2∩I0 es

56 CAPITULO 6. TEOREMA DE ARTIN-WEDDERBURN

suma finita de minimales y tambien I0 = I1⊕ (I2 ∩ I0) es suma finita de minimales,obteniendose una contradiccion. En consecuencia, Γ = ∅ y A es semisimple.

(ii)⇒(vii): supongamos queA tiene una descomposicion como se indica en (6.1.1).Consideremos la coleccion de ideales derechos de (6.1.1) que son isomorfos a I1 comoA-modulos. Sea J1 la suma de tales ideales derechos. Reindizando si es necesario,sea I2 un ideal derecho de (6.1.1) no isomorfo a I1 y denotemos por J2 a la sumade todos los ideales derechos de (6.1.1) isomorfos a I2. Continuando de esta maneraobtenemos

A = J1 ⊕ · · · ⊕ Jk,

donde logicamente cada Jj es un ideal derecho de A, 1 ≤ j ≤ k ≤ n. Desde luegocada Jj es no nulo. Afirmamos que para cada 1 ≤ j ≤ k, Jj es bilatero. En efecto,AJj = (J1 + · · ·+ Jj + · · ·+ Jk) Jj = J1Jj + · · ·+ JjJj + · · ·+ JkJj. Basta entoncesprobar que JiJj = 0 para i 6= j. Pero por la construccion de los Jj es suficienteprobar la siguiente afirmacion: sean A un anillo e I, I ′ ideales derechos (izquierdos)minimales no isomorfos, entonces, II ′ = 0: consideremos el caso derecho. Supongaseque II ′ 6= 0. Existe al menos un x ∈ I tal que xI ′ 6= 0. Consideremos la funcion

f : I ′ −→ Ia 7−→ xa

f es evidentemente un A-homomorfismo no nulo. Como I ′ es minimal, entoncesker (f) = 0. Tambien, como I es minimal, Im (f) = I y f es entonces un isomorfismo,pero es contradictorio con lo supuesto.

Hemos entonces probado la ortogonalidad de los ideales bilateros Jj. Segun elteorema 3.2.2, cada Jj es un anillo (mas exactamente, existen idempotentes ortogo-nales centrales no nulos fj en A tales que 1 = f1 + · · ·+fk, Jj = fjAfj). Al igual queen la prueba (ii)⇒(iii), A es un anillo artiniano a derecha, con lo cual cada anillo Jj

es artiniano a derecha (vease el ejemplo 1.5.1 (viii)).Resta probar que cada anillo Jj es simple (esto trae como consecuencia que Jj

es un ideal minimal bilatero de A: sea 0 6= I bilatero en A tal que I ⊆ Jj. Entonces,I es bilatero en Jj y ası I = Jj). Dividimos la prueba de la simplicidad en variospasos.

(a) Sea Jj := Ii1 ⊕ · · · ⊕ Iit , donde los Iil son los ideales minimales derechos deA tomados de la descomposicion (6.1.1). Notese que cada Iil es un ideal minimalderecho de Jj: evidentemente Iil es un ideal derecho en Jj. Sea I ′ un ideal derechode Jj, I

′ ⊆ Iil . Entonces, I ′A = I ′ (J1 + · · ·+ Jj + · · ·+ Jk) = I ′Jj ⊆ I ′. Ası pues,I ′ es ideal derecho de A y por la minimalidad de Iil , I

′ = 0 o I ′ = Iil . Resulta delo anterior que Jj es un anillo semisimple. Ademas, como los Iil son A-isomorfos,entonces ellos son Jj-isomorfos.

(b) Sea I un ideal minimal derecho de Jj, entonces existe 1 ≤ l ≤ t tal queI ∼= Iil (Jj-isomorfismo): en caso contrario, tal como vimos en la afirmacion probada

6.1. PARTE I 57

arriba, IIil = 0, para cada 1 ≤ l ≤ t, y ası IJj = I = 0, en contradiccion con lacondicion de I.

(c) Dados dos ideales minimales derechos I, I ′ de Jj existe x ∈ Jj tal que xI = I ′:en efecto, como Jj es un anillo semisimple, existe un idel derecho I ′′ en Jj tal que Jj =I ⊕ I ′′. Consideremos la proyeccion canonica π : Jj −→ I. Segun el paso an-terior y por transitividad, tenemos entonces un Jj-isomorfismo f : I −→ I ′.Notese entonces que f ◦ π : Jj −→ I ′ ⊆ Jj es un Jj-endomorfismo de Jj, esdecir, f ◦ π ∈ EndJj

(Jj). En consecuencia, existe x ∈ Jj tal que f ◦ π (b) = xb,para cada b ∈ Jj (en efecto, x := f ◦ π (1), vease [13]). En particular, para a ∈ I,f ◦ π (a) = f (a) = xa, con lo cual f (I) = xI = I ′.

(d) Si I es un ideal minimal derecho de Jj, entonces JjI = Jj. En efecto, segunel paso anterior, existen x1, . . . , xt ∈ Jj tales que x1I = Ii1 , . . . , xtI = Iit . Resulta,Jj = Ii1 + · · ·+ Iit = x1I + · · ·+ xtI ⊆ JjI.

(e) Completamos ahora la prueba de la simplicidad de Jj: sea J un ideal bilaterono nulo de Jj. Consideremos la coleccion de ideales derechos no nulo de Jj contenidosen J ; esta coleccion no es vacıa ya que J esta en ella. Como Jj es artiniano a derecha,entonces la coleccion tiene elemento minimal I, notemos que I es minimal derechode Jj. Resulta entonces de (d) que Jj = JjI ⊆ JjJ = J , es decir, J = Jj.

(vii)⇒(iv): A es un anillo artiniano ya que es producto finito de artinianos.Probemos que A no contiene ideales bilateros no nulos nilpotentes de ındice 2. SeaI bilatero en A con I2 = 0. Segun el ejemplo 3.2.9, I es de la forma

I = L1 ⊕ · · · ⊕ Lk,

con Lj bilatero de Jj, 1 ≤ j ≤ k. Resulta entonces I2 = L21 + · · ·+ L2

k = 0 (en vistade la ortogonalidad de los Jj) luego L2

j = 0 para cada 1 ≤ j ≤ k. Como Jj es unanillo simple, entonces Lj = 0 para cada j, de esta manera I = 0.

Observacion 6.1.2. Con respecto a la unicidad de las descomposiciones (6.1.1) y(6.1.2) del teorema 6.1.1 es conveniente hacer las siguientes observaciones: (i) Ladescomposicion de un anillo semisimple A en suma directa finita de ideales mini-males derechos es unica en el sentido del teorema de Krull-Schimdt. Ademas, segunse anoto en el corolario 5.2.3, dos de tales descomposiciones, una derecha y otraizquierda, tienen la misma longitud. (ii) En la prueba de (6.1.2) del teorema 6.1.1se establecio que cada Jj es un ideal bilatero minimal de A. Para la unicidad de ladescomposicion (6.1.2) consideramos el siguiente hecho mas general.

Proposicion 6.1.3. Sean

A = J1 ⊕ · · · ⊕ Jk = L1 ⊕ · · · ⊕ Ll

dos descomposiciones de A en suma directa finita de ideales bilateros minimales.Entonces, l = k, y reindizando se tiene que Jj = Lj para 1 ≤ j ≤ k.


Demostracion. Notese que para cada 1 ≤ j ≤ k y 1 ≤ i ≤ l, JjLi es un ideal bilaterocontenido tanto en Jj como en Li. Por la minimalidad de estos, JjLi = 0 o JjLi =Jj = Li. Sea j0 un ındice fijo, 1 ≤ j0 ≤ k. Supongase que para cada 1 ≤ i ≤ l,Jj0Li = 0. Entonces, Jj0A = Jj0 = Jj0 (L1 + · · ·+ Ll) = Jj0L1 + · · · + Jj0Ll = 0,lo cual no es posible. Existe pues i0, 1 ≤ i0 ≤ l, tal que Jj0Li0 = Jj0 = Li0 .Notese que i0 es el unico que posee tal propiedad. Si existiera otro i1 6= i0 se tendrıaJj0Li1 = Jj0 = Li1 = Li0 y obtendıamos una contradiccion. En total, dado j0 existeunico i0 tal que Jj0 = Li0 . Procediendo en forma simetrica se obtiene la afirmacionde la proposicion.

Corolario 6.1.4. Sean

A1 ⊕ · · · ⊕ Ak∼= B1 ⊕ · · · ⊕Bl

dos sumas isomorfas de anillos simples. Entonces, k = l, y reindizando, Aj∼= Bj,

para cada 1 ≤ j ≤ k.

Demostracion. Sean A := A1⊕· · ·⊕Ak, B := B1⊕· · ·⊕Bl y f : A −→ B unisomorfismo de anillos. Notese que A = A′

1⊕· · ·⊕A′k es una suma de ideales bilateros

minimales, A′j = 0 ⊕ · · · 0 ⊕ Aj ⊕ 0 · · · ⊕ 0, 1 ≤ j ≤ k. Mediante f , y aplicando a

B una descomposicion analoga, tendremos para B dos descomposiciones en sumafinita de ideales bilateros minimales. Resta aplicar la proposicion 6.1.3 y tener encuenta que f es un isomorfismo.

Corolario 6.1.5. Sea A un anillo semisimple con descomposiciones como en (6.1.1)y (6.1.2).

(i) Si I es un ideal minimal derecho de A, entonces existe Ii en (6.1.1) tal queI ∼= Ii como A-modulo.

(ii) Sea J es un ideal minimal bilatero de A, entonces existe Jj en (6.1.2) tal queJ = Jj.

Demostracion. (i) Si I � Ii para cada 1 ≤ i ≤ n, entonces segun se probo en elteorema 6.1.1, IIi = 0 para cada 1 ≤ i ≤ n, con lo cual IA = I = I (I1 + · · ·+ In) =II1 + · · ·+ IIn = 0, obteniendose una contradiccion.

(ii) La prueba es analoga a la demostracion de la proposicion 6.1.3.

6.2. Parte II

Veremos ahora la prueba de la segunda parte del teorema de Artin-Wedderburn. SiA es un anillo artiniano a derecha, entonces A contiene al menos un ideal minimalderecho. La prueba del teorema se realizara bajo esta ultima hipotesis y siguiendolas ideas de [6].

6.2. PARTE II 59

Teorema 6.2.1 (Teorema de Artin-Wedderburn: parte II). Sean A un anillosimple e I un ideal minimal derecho de A. Entonces,

A ∼= Mn (K),

donde K := EndA (I) es un anillo de division y n := dimK (I). Ademas, n es unicopara A y, salvo isomorfismo, K esta unıvocamente determinado por A.

Demostracion. (i) Segun el lema de Schur (vease [13]), K = EndA (I) es un anillode division; ademas, es bien conocida la estructura de K-A-bimodulo para I. Paracada a ∈ A definimos

a : I −→ Ix 7−→ (x) a = xa

(hemos cambiado aquı la disposicion de las funciones respecto al argumento). Note-mos que a ∈ EndK (I). En efecto, a es claramente una funcion aditiva, y si α ∈ K,entonces (α · x)a = (α(x))a = α(x)a= α(xa) = α · (xa) = α · (x)a. La funcion gdefinida por

g : A −→ EndK (I)a 7−→ a

es un homomorfismo de anillos. Ademas, g es inyectivo: ker (g) 6= A ya que g (1) 6= 0;entonces por la simplicidad ker (g) = 0. Veamos ahora que g es sobreyectivo. Sea AIel ideal izquierdo generado por I, en realidad AI es un bilatero no nulo de A, luegoAI = A. De aquı resulta

g (A) = g (AI) = g (A) g (I) . (6.2.1)

Veamos ahora que g (I) es un ideal derecho en EndK (I): sean f ∈ g (I) y h ∈EndK (I), existe a ∈ I tal que g (a) = a = f . Probemos que fh = ah = (a)h: seax ∈ I. Entonces, (x) (ah) = (xa)h. Pero dado x cualquiera en I la funcion

x : I −→ Ia 7−→ xa

es un elemento de K. Por tanto,

(x) (ah) = (x (a))h = (x · a)h = x · ((a)h) = x ((a)h) = (x) (a)h.

Sea B := EndK (I). Resulta entonces

g (I)B = g (I) . (6.2.2)

Como g (A) contiene al 1 de B (g (A) es subanillo de B), entonces el ideal derechogenerado por g (A) coincide con B:

g (A)B = B. (6.2.3)

De (6.2.1) - (6.2.3) resulta


B = g (A)B = g (A) g (I)B = g (A) g (I) = g (A)

lo cual establece que g es sobreyectivo.(ii) Debemos ahora ver que dimK (I) < ∞. Es conveniente hacer primero una

aclaracion: los anillos de division son dimensionales, es decir, sus modulos libres debases finitas tienen dimension definida por el tamano de una cualquiera de sus bases(vease [13]), y los teoremas de algebra lineal clasica son validos sobre ellos. En par-ticular, se tienen el teorema del rango y el isomorfismo del anillo de endomorfismosde un K-espacio de dimension finita n con el anillo de matrices Mn (K). Con estasobservaciones podemos probar el siguiente hecho mas general:

Sea K un anillo de division y KV un espacio vectorial de dimension infinita.Entonces, B := EndK (V ) no es simple ni semisimple.

En efecto, seaJ := {f ∈ B | dim (Im (f)) <∞} (6.2.4)

J es un ideal bilatero propio de B no nulo: J no es vacıo ya que el homomorfismonulo satisface la condicion de J . Sean f, g ∈ J , entonces

Im (f + g) ≤ Im (f) + Im (g)

y

dim (Im (f + g)) ≤ dim (Im (f) + Im (g)) =dim (Im (f)) + dim (Im (g))− dim (Im (f) ∩ Im (g)) <∞,

de donde f + g ∈ J . Sean f ∈ J , g ∈ B, puesto que Im (f ◦ g) ≤ Im (f) en-tonces dim (Im (f ◦ g)) ≤ dim (Im (f)) y f ◦ g ∈ J . Im (g ◦ f) ≤ g (Im (f)), comodim (Im (f)) <∞ entonces dim (g (Im (f))) <∞, es decir, g ◦ f ∈ J . J es no nuloya que podemos definir una transformacion f que envıa todos los vectores de unabase a un vector no nulo de V . J es propio ya que iV /∈ J . Hemos probado que Bno es un anillo simple.

Si B fuese semisimple existirıa para J un ideal derecho J ′ en B tal que

B = J ⊕ J ′,

como J es bilatero entonces J ′J ≤ J ∩J ′ = 0 luego J ′J = 0. Puesto que J es propioentonces J ′ 6= 0, sean h ∈ J ′, h 6= 0 y v ∈ V tales que (v)h 6= 0 (notacion derechapara funciones). Puesto que cada espacio V es K-semimple existe U ≤ V tal que

V = K 〈(v)h} ⊕ U .

Sea f la proyeccion de V sobre el primer sumando, entonces, f ∈ J y ((v)h) f =(v)h 6= 0, es decir, h ◦ f 6= 0 y J ′J 6= 0, lo cual es una contradiccion.

Como en nuestro problema inicial A ∼= EndK (I) = B es simple, entoncesdimK (I) = n <∞.

(iii) Resta probar la unicidad de n y K. Realizamos la prueba de la primera.La segunda queda a cargo del lector. Sean n1, n2 ≥ 1 y K1, K2 anillos de division

6.3. EJERCICIOS 61

tales que Mn1 (K1) ∼= Mn2 (K2) (isomorfismo de anillos). Simplificaremos un poco lanotacion y escribiremos A := Mn1 (K1) y B := Mn2 (K2). p : B → A un isomorfismode anillos; segun el ejemplo 5.2.5 (ix), B tiene una descomposicion

B = J1 ⊕ · · · ⊕ Jn2 (6.2.5)

en una suma directa de ideales minimales derechos (es decir, B es un anillo semisim-ple). Analogamente, A tiene una descomposicion

A = I1 ⊕ · · · ⊕ In1 (6.2.6)

en suma directa de ideales minimales derechos. Ademas, si J es ideal minimal derechode B, entonces p (J) es un ideal minimal derecho de A. De (6.2.6) resulta que p (B) =A = p (J1)⊕· · ·⊕p (Jn2) es otra descomposicion de A en suma de ideales minimalesderechos. Segun la observacion 6.1.2, n1 = n2.

Corolario 6.2.2. Sea A un anillo.

(i) A es simple artiniano si, y solo si, A es de la forma

A = Mn (K),

donde n ≥ 1 y K es un anillo de division. Ademas, n es unico para A y, salvoisomorfismo, K esta unıvocamente determinado por A.

(ii) A es semisimple si, y solo si, A es de la forma

A = Mn1 (K1)⊕ · · · ⊕Mnk(Kk),

donde ni ≥ 1 y Ki es un anillo de division, para cada 1 ≤ i ≤ k. Ademas, ky los ni son unicos para A, y los Ki estan unıvocamente determinados por A,salvo isomorfismo.

Ejemplo 6.2.3. Sea R un anillo conmutativo. R es semisimple si, y solo si, R es unproducto finito de cuerpos.

6.3. Ejercicios

1. Calcule una descomposicion de M2(R) ⊕ M2(Q) en suma directa de idealesminimales derechos.

2. Sea A un anillo semisimple. Demuestre que el numero de ideales maximalesbilateros de A es finito.


3. Sea A un anillo semisimple y sean a, b elementos de A tales que ab = 1.Demuestre que ba = 1.

4. Sean A un anillo y e := E11 ∈Mn(A). Demuestre que eMn(A)e ∼= A.

5. Sean n ≥ 1 y K1, K2 anillos de division tales que Mn (K1) ∼= Mn (K2) (isomor-fismo de anillos). Demuestre que K1

∼= K2.

Capıtulo 7

Radicales

Estudiaremos en este capıtulo dos ideales bilateros notables de un anillo A, el radicalde Jacobson y el radical primo. Para el caso de los anillos conmutativos artinianos,estos dos ideales coinciden, y constan de los elementos nilpotentes de A. Probaremostambien en este capıtulo el lema de Nakayama y el teorema de Hopkins-Akizuki.

7.1. Radical de Jacobson

Definicion 7.1.1. Sea A un anillo. Se denomina radical de Jacobson de A aderecha a la interseccion de todos los ideales maximales derechos de A:

Rad (AA) =⋂

Iideal max. der. de A

I.

De manera dual se define el radical de Jacobson de A a izquierda . Nuestroproposito inmediato es probar que Rad (AA) = Rad (AA), de donde Rad (A) es unideal bilatero de A.

Proposicion 7.1.2. Sea A un anillo. Entonces

(i) Rad (AA) =⋂

MA es simpleAnn (MA).

(ii) Rad (AA) = {a ∈ A | 1 + ax es invertible a derecha, para cada x ∈ A}.

(iii) Rad (AA) = {a ∈ A | 1 + zax ∈ A∗, para cualesquiera z, x ∈ A}.

Demostracion. (i) Sea

B :=⋂

MA es simple

Ann (MA)

y sean a ∈ B e I un ideal maximal derecho de A. Entonces, A/I es A-simplederecho y (A/I) a = 0; en particular, 1a = a = 0, es decir, a ∈ I. En consecuencia,a ∈ Rad (AA).

63

64 CAPITULO 7. RADICALES

Para probar la inclusion Rad (AA) ⊆ B notemos en primer lugar que como M esA-simple entonces para cada 0 6= m ∈M , Ann (m) es un ideal maximal derecho deA: en efecto, como M es simple entonces M = {m〉 ∼= A/Ann(m). Resulta entonces

Rad (AA) =⋂

I max. der. de A

I ⊆⋂

MA simple

(⋂

m∈M

Ann (m)) =

⋂MA es simple

Ann (MA) = B,

ya que Ann (M) =⋂

m∈M Ann (m), para cada A-modulo M .(ii) Sea C := {a ∈ A | 1 + ax es invertible a derecha para cada x ∈ A}. Sea a ∈

C y supongase que existe I maximal derecho de A tal que a /∈ I, entonces I+aA = Ay existen b ∈ I, x ∈ A tales que b+ax = 1, luego b = 1−ax es invertible a derecha, locual contradice la condicion de I. En consecuencia, a ∈ Rad (AA) y C ⊆ Rad (AA).

Rad (AA) ⊆ C: sea a ∈ Rad (AA) y supongase que a /∈ C. Existe x ∈ A tal que(1 + ax) no es invertible a derecha, entonces (1 + ax)A 6= A y existe I maximalderecho tal que (1 + ax)A ⊆ I, es decir, (1 + ax) ∈ I, pero como a ∈ Rad (AA)entonces ax ∈ I y obtenemos la contradiccion 1 ∈ I.

(iii) Sea D := {a ∈ A | 1 + zax ∈ A∗ para cualesquiera z, x ∈ A}. Es evidenteque D ⊆ Rad (AA). Rad (AA) ⊆ D: sea a ∈ Rad (AA), entonces zax ∈ Rad (AA)para cualesquiera z, x ∈ A (ya que segun (i), Rad (AA) es bilatero). Segun (ii), 1+zaxes invertible a derecha, luego existe b ∈ A tal que (1 + zax) b = 1, b = 1 − zaxb,pero como zaxb ∈ Rad (AA) entonces b es invertible a derecha y, en consecuencia, bes invertible. Resulta, (1 + zax) b = b (1 + zax) = 1, es decir, 1 + zax es invertible ya ∈ D.

Corolario 7.1.3. Sea A un anillo. Entonces, Rad (AA) = Rad (AA) := Rad (A).Rad(A) es un ideal bilatero de A.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion 7.1.2 (iii).

Corolario 7.1.4. Un anillo A es semisimple si, y solo si, A es artiniano a derecha(izquierda) y Rad(A) = 0.

Demostracion. Consecuencia directa del teorema 6.1.1 (iii).

Un anillo A es semiprimitivo si Rad(A) = 0; un ideal bilatero I de A esprimitivo si I = Ann(M), para algun A-modulo simpleM , el anillo A es primitivosi 0 es un ideal primitivo, i.e., si existe un A-modulo simple M tal que Ann(M) = 0.Ası pues, Rad(A) es la interseccion todos los ideales primitivos de A, ademas, todoanillo primitivo es semiprimitivo y los anillos semisimples son semiprimitivos.

Corolario 7.1.5. Sean A un anillo e I un ideal derecho (izquierdo) de A. Entonces,las siguientes condiciones son equivalentes:

7.1. RADICAL DE JACOBSON 65

(i) I ⊆ Rad (A).

(ii) Para todo a ∈ I, 1 + a es invertible a derecha (izquierda).

(iii) Para todo a ∈ I, 1 + a es invertible (⇔ (1 + I) ⊆ A∗).

Demostracion. Hacemos la prueba para el caso derecho, la del caso izquierdo esanaloga.

(i)⇒(ii) Consecuencia directa de la proposicion 7.1.2.(ii)⇒(iii) Sea a ∈ I, existe b ∈ A tal que (1 + a) b = 1, b = 1− ab; como ab ∈ I

entonces existe c ∈ I tal que (1− ab) c = 1. Resulta entonces que b es invertible aizquierda y a derecha, es decir, b es invertible y 1 + a es invertible.

(iii)⇒(i) Sean a ∈ I, x ∈ A, entonces ax ∈ I y 1+ax ∈ A∗, en particular, 1+axes invertible a derecha y, segun la proposicion 7.1.2, a ∈ Rad (A).

Corolario 7.1.6. Sean A un anillo e I un ideal bilatero propio de A tales queI ⊆ Rad (A). Entonces, para cada a ∈ A

a ∈ A∗ si, y solo si, a ∈ (A/I)∗.

Demostracion. ⇒) Evidente y valida para cada ideal bilatero propio.⇐) ab = 1 = ba, ab − 1 ∈ I, ab ∈ 1 + Rad (A), ab ∈ A∗, a (bc) = 1, con c ∈ A;

analogamente, ba ∈ A∗ y existe d ∈ A tal que (db) a = 1; resulta ası que a esinvertible a izquierda y a derecha, es decir, a ∈ A∗.

Ejemplo 7.1.7. (i) Sea Af−→ B un homomorfismo sobreyectivo de anillos.

Entonces,f (Rad (A)) ⊆ Rad (B) .

En efecto, si b ∈ f (Rad (A)), entonces b = f (a), con a ∈ Rad (A) y existe x ∈ A talque (1 + a)x = x (1 + a) = 1; aplicando f obtenemos (1 + b) f (x) = f (x) (1 + b) =1, es decir, 1 + b es invertible; segun el corolario 7.1.5, b ∈ Rad (B). La hipotesis desobreyectividad se utilizo para garantizar que f (Rad (A)) sea un ideal derecho deB.

(ii) Para cada anillo no trivial A,

Rad (A) 6= A.

En caso contrario, (1− 1) = 0 ∈ A∗. Como consecuencia, si A es un anillo simple,entonces Rad (A) = 0. En particular, para todo anillo de division T , Rad (T ) = 0;por ejemplo, Rad (Q) = Rad (R) = Rad (C) = Rad (H) = 0. H es el anillo dedivision de cuaterniones, vease [12].

(iii) Rad (Z) = 0; Rad (Zn) = 〈p1 · · · pt〉, donde n = pk11 · · · pkt

t es la descomposi-cion irreducible de n.


(iv) Rad (A/Rad (A)) = 0.(v) Sea I un ideal bilatero de A. Por (i), al aplicar j : A −→ A/I resulta

(Rad (A) + I) /I ⊆ Rad (A/I); si I ⊆ Rad (A), entonces Rad (A/I) = Rad (A) /I ={a | a ∈ Rad (A)}.

(vi) Sea {Ai}i∈I una familia no vacıa de anillos, entonces

Rad(∏

i∈I Ai

)=∏

i∈I Rad (Ai) .

En efecto, sea a = (ai) ∈ Rad(∏

i∈I Ai

), donde para cada i ∈ I, ai ∈ Ai, entonces

1 + ax es invertible a derecha, con x = (xi) ∈ A. Existe z = (zi) ∈ A tal que(1 + aixi) zi = 1, para cada i ∈ I, es decir, ai ∈ Rad (A), para cada i ∈ I. La pruebade la otra inclusion es similar.

Como caso particular de lo anterior tenemos que si X 6= ∅, entonces

Rad(AX)

= Rad (A)X .

(vii) Sea A un anillo cualquiera y n ≥ 1. Entonces

Rad (Mn (A)) = Mn (Rad (A)) .

Rad (Mn (A)) ⊆ Mn (Rad (A)): sea F =∑

r,s ars · Ers ∈ Rad (Mn (A)), entoncesEiiFEjj = aij · Eij ∈ Rad (Mn (A)). Sea Pij la matriz de permutacion definida porPij := E − Eij − Ejj + Eij + Eji, entonces

(aij · Eij)Pij = diag (0, . . . , 0, aij, 0, . . . , 0)︸︷︷︸posicion i

∈ Rad (Mn (A)).

Sea x ∈ A, entonces E + diag (0, . . . , 0, aij, 0, . . . , 0) diag (0, . . . , 0, x, 0, . . . , 0) es in-vertible a derecha, es decir, existe B ∈ Mn (A) tal que DB = E con D := E +diag (0, · · · , aij, · · · , 0) diag (0, · · · , x, · · · , 0). Notese que eii = 1 =

∑nk=1 dikbki =

diibii = (1 + aijx) bii. Esto implica que aij ∈ Rad (A), y la inclusion esta probada.Mn (Rad (A)) ⊆ Rad (Mn (A)): sean H = [aij] ∈ Mn (Rad (A)), X = [xij] ∈

Mn (A) y F = [fij] := E+HX. Notese que fij =∑n

k=1 aikxkj ∈ Rad (A) para i 6= j,ademas, fii = 1 +

∑nk=1 aikxki ∈ A∗. Por induccion sobre n se puede establecer que

bajo estas dos condiciones F resulta invertible, es decir, H ∈ Rad(Mn (A)).Una prueba mas corta es la siguiente: sabemos que Rad(Mn(A)) es un bilatero

de Mn(A), luego es de la forma Mn(J), con J un bilatero de A, ademas, J esta ca-racterizado por J := {a ∈ A|E11a ∈ Rad(Mn(A))} (vease [12]). La idea entonces esdemostrar que J = Rad(A). Si a ∈ J , entonces E+E11a tiene inversa a derecha, dedonde 1 + a es invertible a derecha. Esto prueba que a ∈ Rad(A). Recıprocamente,si a ∈ Rad(A), entonces 1 + a es invertible a derecha, es decir, existe b ∈ A talque (1 + a)b = 1. Esto implica que diag(1 + a, 1, . . . , 1)diag(b, 1, . . . , 1) = E, luegoE + E11a es invertible a derecha, es decir, E11a ∈ Rad(Mn(A)), de donde a ∈ J .

7.1. RADICAL DE JACOBSON 67

(viii) A es un anillo semisimple si, y solo si, Mn (A) es un anillo semisimple:⇒) Si A es semisimple, entonces A y Mn (A) son artinianos; ademas, segun el

ejemplo anterior, Rad (Mn (A)) = 0 (ya que Rad (A) = 0), esto quiere decir queMn (A) es semisimple.

⇐) Basta invertir los razonamientos precedentes.(ix) Sean A un anillo local y J su ideal de elementos no invertibles. Entonces,

J = Rad (A). En efecto, si a ∈ J , entonces a /∈ A∗, pero 1 − a ∈ A∗; segun elcorolario 7.1.5, a ∈ Rad (A). Recıprocamente, si a ∈ Rad (A), entonces a /∈ A∗ (encaso contrario, Rad (A) = A lo cual ya vimos no es cierto), de donde a ∈ J .

Notese ademas que

A es local si, y solo si, A/Rad (A) es un anillo de division.

⇒) Se probo en el corolario 2.1.3.⇐) Sea a ∈ A, si a ∈ Rad (A), entonces 1 − a es invertible. Si a /∈ Rad (A),

entonces ab = 1 = ba, con b ∈ A; segun el corolario 7.1.6, a ∈ A∗.(x) Sea A un anillo. Entonces,

Rad(A[[x]]) = {(ai)|a0 ∈ Rad(A)}.

Vease el ejemplo 2.2.1(viii).

Enunciamos y probamos a continuacion otro de los resultados clasicos de la teorıageneral de anillos y modulos.

Lema 7.1.8 (Lema de Nakayama). Sean M un A-modulo finitamente generadoe I un ideal derecho de A contenido en Rad (A). Entonces, para todo submodulo Nde M se cumple

M · I +N = M ⇔ N = M .

Demostracion. Primero probemos que si M e I son como en el enunciado del lemay tales que M · I = M , entonces M = 0: supongase que M 6= 0 y sea {x1, . . . , xk} unsistema minimal de generadores para M . Entonces, x1 ∈M · I, con lo cual x1 puedeexpresarse en la forma x1 = x1 · a1 + · · · + xk · ak, donde ai ∈ Rad(A) (recordemosque Rad(A) es bilatero), 1 ≤ i ≤ k; resulta, x1 · (1− a1) = x2 · a2 + · · · + xk ·ak, con (1− a1) ∈ A∗, es decir, x1 ∈ 〈x2, · · · , xk〉 y M = 〈x2, · · · , xk〉, lo cual escontradictorio.

Regresando al enunciado original, es claro que siN = M , entoncesM ·I+N = M .Para la otra implicacion, sea M := M/N ; notese que M = M · I, entonces, segun loprobado, M = 0, es decir, M = N .

Proposicion 7.1.9. Sea A un anillo. Entonces,

(i) Cada nilideal derecho (izquierdo, bilatero) esta contenido en Rad (A).


(ii) Si AA (AA) es artiniano, entonces Rad (A) es nilpotente.

(iii) Si AA (AA) es artiniano, entonces Rad (A) es el mayor ideal derecho (izquier-do) nilpotente de A, y por tanto, el mayor ideal bilatero nilpotente de A.

Demostracion. (i) Sean I un nilideal derecho de A y a ∈ I, existe n ≥ 1 tal quean = 0; (1 + a+ · · ·+ an−1) (1− a) = (1− a) (1 + a+ · · ·+ an−1) = 1 − an = 1, esdecir, 1 − a ∈ A∗ luego a ∈ Rad (A). Ası pues, I ⊆ Rad (A). La prueba es identicapara ideales izquierdos (y por tanto para bilateros).

(ii) La cadena Rad (A) ⊇ Rad (A)2 ⊇ · · · se detiene, es decir, existe n ≥ 1 talque Rad(A)n = Rad(A)n+i, para cada i ≥ 0. Supongamos que Rad(A)n 6= 0 y sea

Γ := {I ⊆ AA|IRad(A)n 6= 0}.

Γ 6= ∅ ya que A ∈ Γ; sea I0 un elemento minimal de Γ, entonces I0Rad(A)n 6=0. Existe a0 ∈ I0 no nulo tal que a0Rad(A)n 6= 0, luego (a0A)Rad(A)n 6= 0. Laminimalidad de I0 implica que a0A = I0. Resulta, (a0A)Rad(A)n+1 = I0Rad(A)n 6=0, es decir, (a0A)Rad(A)Rad(A)n = a0Rad(A)Rad(A)n 6= 0, pero como a0Rad(A) ⊆I0, entonces por la condicion de I0 obtenemos que a0Rad(A) = I0 = a0A. Existex ∈ Rad(A) tal que a0 = a0x, es decir, a0(1−x) = 0, pero 1−x ∈ A∗, luego a0 = 0,lo cual es una contradiccion.

(iii) Segun (ii), Rad(A) es nilpotente. Sea I un ideal derecho (izquierdo) nilpo-tente, entonces I es un nilideal. Segun (i), I esta contenido en Rad(A).

Definicion 7.1.10. Un anillo A es primario si A/Rad(A) es simple y artiniano.A es semiprimario si Rad(A) es nilpotente y A/Rad(A) es semisimple.

Es claro que los anillos artinianos a derecha (izquierda) son semiprimarios.

Proposicion 7.1.11. Sea A un anillo semiprimario. Entonces, para cada A-moduloderecho (izquierdo) M las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) M es artiniano.

(ii) M es noetheriano.

(iii) M es de longitud finita.

Demostracion. Puesto que (i) + (ii) ⇔ (iii) (vease la proposicion 1.3.2), basta de-mostrar que (i) ⇔ (ii). Ademas, para M = 0 la proposicion se cumple en formatrivial. Sea pues M un A-modulo no nulo y J := Rad(A); definimos

e(M) := mın{i ∈ N|M · J i = 0}.

7.2. RADICAL PRIMO 69

Como J es nilpotente, existe n := ındice de nilpotencia de J tal que Jn = 0, ası, e(M)existe. Probaremos (i) ⇔ (ii) mediante induccion sobre e(M). Sea e(M) = 1, en-tonces M ·J = 0, luego M es un modulo sobre A := A/J ; notese que los A-submodu-los de M coinciden con los A-submodulos de M . Como A es un anillo semisimple,entonces M es A-semisimple, y ası la equivalencia se obtiene de la proposicion 5.1.5.

Supongamos que (i) ⇔ (ii) para los A-modulos no nulos M tales que e(M) ≤ ky sea M tal que e(M) = k+1. Entonces e(M ·Jk) = 1 y, como (M/M ·Jk) ·Jk = 0,entonces e(M/M · Jk) ≤ k. Sea M artiniano (noetheriano), entonces M · Jk yM/M · Jk son artinianos (noetherianos); por induccion M · Jk y M/M · Jk sonnoetherianos (artinianos), de donde M es noetheriano (artiniano).

Corolario 7.1.12. Sea A un anillo y M un A-modulo a derecha (izquierda). En-tonces,

(i) Sea AA artiniano. Entonces, M es artiniano si, y solo si, M es noetheriano.La equivalencia es tambien valida si AA es artiniano.

(ii) (Teorema de Hopkins-Akizuki) Si AA es artiniano, entonces AA es noethe-riano. Tambien, si AA es artiniano, entonces AA es noetheriano.

(iii) Si AA es artiniano y AA es noetheriano, entonces AA es artiniano.Tambien,si AA es artiniano y AA es noetheriano, entonces AA es artiniano.

Demostracion. Esto es consecuencia directa de la proposicion 7.1.11 y del teorema6.1.1.

7.2. Radical primo

Definicion 7.2.1. Sea A un anillo. El radical primo de A es la interseccion detodos sus ideales primos, y se denota por rad(A).

Proposicion 7.2.2. Sea A un anillo. Entonces, rad(A) contiene todos los idealesnilpotentes derechos (izquierdos, bilateros).

Demostracion. Sea I un ideal bilatero de A y sea n ≥ 1 tal que In = 0. Sea J unprimo de A, entonces In ≤ J , luego I ≤ J , de donde I ≤ rad(A).

Sea I ideal derecho de A nilpotente de ındice n ≥ 1, entonces I ′ := 〈I} es bilateroy nilpotente. Entonces, I ⊆ I ′ ⊆ rad (A). De manera analoga se prueba que cadaideal izquierdo nilpotente esta contenido en rad (A).

Proposicion 7.2.3. rad (A) es un nilideal.

Demostracion. Sean a ∈ A no nilpotente y


Γ := {J ideal bilatero de A | an /∈ J para cada n ≥ 1}.

Γ 6= ∅ ya que 0 ∈ Γ. Con el lema de Zorn encontramos un elemento maximal I enΓ. Veamos que I es primo: sean I1, I2 ideales de A tales que Ii � I, i = 1, 2; puestoque Ii + I I, i = 1, 2, existen l, j ≥ 1 tales que

al ∈ I1 + I, aj ∈ I2 + I.

Entonces, al+j ∈ (I1 + I) (I2 + I) ⊆ I1I2 + I; pero como al+j /∈ I entonces I1I2 � I.Por construccion, a /∈ I, y en consecuencia, a /∈ rad (A).

Corolario 7.2.4. rad (A) ⊆ Rad (A).

Demostracion. Consecuencia directa de las proposiciones 7.1.9 y 7.2.3.

Corolario 7.2.5. Sea A un anillo. Entonces,

(i) Si Rad (A) es nilpotente, entonces rad (A) = Rad (A).

(ii) Si A es artiniano a derecha (izquierda), entonces rad (A) = Rad (A).

Demostracion. Consecuencia directa de las proposiciones 7.1.9, 7.2.2 y del corolario7.2.4.

Ejemplo 7.2.6. Sea R un anillo conmutativo. Entonces,

rad(R) = {x ∈ R|x es nilpotente}.

En efecto, sea J := {x ∈ R|x es nilpotente}; por la proposicion 7.2.3, rad(R) ≤ J .Sea x ∈ J , entonces existe n ≥ 1 tal que xn = 0, luego x ∈ P , para cada idealprimo P de R, es decir, x ∈ rad(R), con lo cual, J ≤ rad(R). Si R es artiniano,entonces Rad(R) es tambien la coleccion de elementos nilpotentes de R ya queRad(R) = rad(R).

Ejemplo 7.2.7. Sea R un anillo conmutativo. Entonces,

R[x]∗ = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn|a0 ∈ R∗, a1, a2, . . . , an ∈ rad(R)}.

En efecto, sea L := {a0 + a1x+ · · ·+ anxn | a0 ∈ R∗, a1, a2, . . . , an son nilpotentes}.

Veamos primero que L ⊆ R[x]∗. En un anillo cualquiera S se cumple que S∗ +rad(S) ⊆ S∗ : sean a ∈ S∗ y b ∈ rad(S), entonces a + b ∈ S∗ + Rad(S), luego(a+ b) a−1 = 1 + ba−1 ∈ 1 +Rad(S) ⊆ S∗, de donde a+ b ∈ S∗.

Para S = R [x] tenemos entonces que dado a0 +a1x+ · · ·+anxn ∈ L se tiene que

a(x) = a0 + (a1x+ · · ·+ anxn), donde a0 ∈ R [x]∗ y a1x+ · · ·+ anx

n ∈ rad(R [x]).Veamos ahora que R [x]∗ ⊆ L: sea a0 + a1x+ · · ·+ anx

n ∈ R [x]∗, existe entoncesb0+b1x+· · ·+bmxm tal que a(x) b (x) = 1; resultan entonces las siguientes relaciones:

7.2. RADICAL PRIMO 71

a0b0 = 1, luego a0 ∈ R∗.a0b1 + a1b0 = 0

a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0...

an−2bm + an−1bm−1 + anbm−2 = 0an−1bm + anbm−1 = 0

anbm = 0.

Resulta, (an−1bm + anbm−1)an = 0, es decir,

a2nbm−1 = 0,

(an−2bm + an−1bm−1 + anbm−2)a2n = 0, es decir, a3

nbm−2 = 0.

Continuando de esta forma encontramos que ar+1n bm−r = 0, 0 ≤ r ≤ m, es decir,

am+1n b0 = 0; pero b0 ∈ R∗, entonces an ∈ rad (R). Se tiene que a(x) − anx

n =a0 + a1x + · · · + an−1x

n−1 ∈ R [x]∗ + rad (R [x]) ⊆ R [x]∗. Por induccion podemosafirmar que a0 ∈ R∗ y a1, . . . , an−1 ∈ rad (R).

Ejemplo 7.2.8. Rad(R[x]) = rad(R[x]). En efecto, tenemos que rad (R [x]) ⊆Rad (R [x]) (corolario 7.2.4). Sea a (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n ∈ Rad (R [x]). Comoxa (x) ∈ Rad (R [x]) y 1 + xa (x) = 1 + a0x+ a1x

2 + · · ·+ anxn+1 ∈ R [x]∗, entonces

ai ∈ rad (R), para cada i = 0, 1, . . . , n. Por tanto, cada coeficiente de a (x) es nilpo-tente, y ası, cada monomio de a (x) es nilpotente, es decir, akx

k ∈ rad (R [x]), conlo cual a (x) ∈ rad (R [x]). Este ejemplo ilustra que el recıproco del corolario 7.2.5(ii) no es cierto.

Ejemplo 7.2.9. rad(R[x]) = rad(R)[x]. En efecto, sea a (x) ∈ rad (R) [x], entoncescada monomio de a (x) es nilpotente, es decir, cada monomio de a (x) ∈ rad (R [x]),luego a (x) ∈ rad (R [x]). Veamos ahora que rad (R [x]) ⊆ rad (R) [x]: sea a (x) =a0 + a1x+ · · ·+ anx

n ∈ rad (R [x]), entonces a (x) ∈ Rad (R [x]), de donde xa (x) ∈Rad (R [x]) y 1+xa (x) ∈ R [x]∗. Resulta, a0, a1, . . . , an ∈ rad (R) y por tanto, a (x) ∈rad (R) [x]. En particular, Rad (R [x]) = rad (R [x]) = rad (R) [x] = 0, donde R esun dominio de integridad.

Ejemplo 7.2.10. Si R es noetheriano, entonces rad(R[[x]]) = rad(R)[[x]]. En efecto,sea a = (ai) ∈ rad (R [[x]]). Existe n0 tal que an0 = 0, de donde an0

0 = 0, es decir,a0 ∈ rad (R). Entonces, a − a0 = x (a1, a2, a3, . . . ); notese que (a− a0)

2n0 = 0,con lo cual a2n0

1 = 0, es decir, a1 ∈ rad (R). Por induccion podemos suponer que(a − a0 − a1x − · · · − anx

n)m = 0 para algun m ≥ 1. Esto implica que amn+1 = 0,

es decir, an+1 ∈ rad(R), lo cual establece que a ∈ rad (R) [[x]]. Para esta parte nohemos usado la hipotesis de generacion finita sobre los ideales.

Sea a = (ai) ∈ rad (R) [[x]] y consideremos el ideal I = 〈ai〉i≥0. Existen b1, . . . , bn∈ I ≤ rad (R) tales que I = 〈b1, . . . , bn〉. Entonces

ai = c(1)i b1 + · · ·+ c

(n)i bn, i ≥ 0 luego a =

(c(1)i

)b1 + · · ·+

(c(n)i

)bn.


Sea r := r1 + · · ·+ rn, con brkk = 0, 1 ≤ k ≤ n. Entonces, ar = 0 y a ∈ rad (R [[x]]).

7.3. Ejercicios

1. Demuestre que todo ideal primitivo es primo y que cada ideal maximal esprimitivo.

2. Un ideal propio I de un anillo A es semiprimo si I es interseccion de idealesprimos, el anillo A es semiprimo si 0 es semiprimo, es decir, rad(A) = 0 (elanillo A es primo si el ideal nulo es primo; es claro que todo anillo primo essemiprimo). Demuestre que A se semiprimo si, y solo si, el unico ideal bilateronilpotente es el nulo si, y solo si, el unico ideal derecho nilpotente es el nulosi, y solo si, el unico ideal izquierdo nilpotente es el nulo.

3. Un anillo A es semilocal si A/Rad(A) es semisimple. Observe que todo anillolocal es semilocal. Demuestre que para cada n ≥ 1, Mn(A) es semilocal.

4. Sea R un anillo conmutativo y rad(R) su radical primo. Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:

(a) R tiene exactamente un ideal primo.

(b) Todo elemento de R es invertible o es nilpotente.

(c) R/rad(R) es un cuerpo.

5. Sea I un ideal propio de un anillo conmutativo R. Sea

√I :=

⋂I≤P

P primo

P

Demuestre que I =√I si, y solo si, I es interseccion de ideales primos.

6. Calcule rad (Z[[x]]×Q[[x]]).

7. SeaR un anillo conmutativo e I un ideal propio deR. Demuestre que rad(R/I) =√I/I.

8. Sean A un anillo, f ∈ A un idempotente y r ∈ Rad(A) tales que f + r estambien idempotente con fr = rf . Demuestre que r = 0.

9. Sean R un anillo conmutativo, M un R-modulo finitamente generado e I unideal de R tal que M = MI. Demuestre que existe a ∈ I tal que M(1+a) = 0.A partir de esto deduzca el lema de Nakayama.

7.3. EJERCICIOS 73

10. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal idempotente finitamente genera-do. Demuestre que existe e ∈ R idempotente tal que I = eR (utilice el ejercicioanterior).

11. Sea R un anillo conmutativo artiniano. Demuestre que R semilocal.

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